2015年高考数学试卷（理）（广东）（解析卷）

2015 年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分.1．若集合，，则 A． B． C． D．2．若复数 z=i ( 3 – 2 i ) ( i 是虚数单位 )，则 = A．3-2i B．3+2i C．2+3i D．2-3i3．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是 A． B． C． D．4．袋中共有 15 个除了颜色外完全相同的球，其中有 10 个白球，5 个红球。从袋中任取 2个球，所 取的 2 个球中恰有 1 个白球，1 个红球的概率为 A．1 B. C. D. 5．平行于直线且与圆相切的直线的方程是 A．或 B. 或 C. 或 D. 或6．若变量 x，y 满足约束条件则的最小值为 A． B. 6 C. D. 47．已知双曲线 C：的离心率 e=，且其右焦点 F2( 5 , 0 )，则双曲线 C 的方程为 （ ） A． B. C. D. 8．若空间中 n 个不同的点两两距离都相等，则正整数 n 的取值 A．大于 5 B. 等于 5 C. 至多等于 4 D. 至多等于 3二、填空题:本大题共 7 小题，考生作答 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分．（一）必做题（9-13 题）9．在的展开式中，x 的系数为 。第 1 页 | 共 15 页 10．在等差数列{}中，若，则= 。11．设△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a,b,c.若 a =，sinB=，C=，则 b = 。12. 某高三毕业班有 40 人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了 条毕业留言。（用数字作答）13．某高三毕业班有 40 人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了 条毕业留言。（用数字做答）（二）选做题（14-15 题，考生只能从中选做一题）14．(坐标系与参数方程选做题)已知直线 l 的极坐标方程为，点 A 的极坐标为 A(,)，则点 A 到直线 l 的距离为 。15.（几何证明选讲选作题）如图 1，已知 AB 是圆 O 的直径，AB=4，EC 是圆 O 的切线，切点为 C， BC=1，过圆心 O 做 BC 的平行线，分别交 EC 和 AC 于点 D 和点 P，则 OD= 。三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分 12 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，已知向量 m=（，），n=（sin x，cos x），x∈（0，）。 （1）若 m⊥n，求 tan x 的值 （2）若 m 与 n 的夹角为，求 x 的值。17．（本小题满分 12 分） 某工厂 36 名工人的年龄数据如下表。工人编号 年龄工人编号 年龄工人编号 年龄工人编号 年龄140244340441533103611311238133914431927204321412237233428342939304331383242第 2 页 | 共 15 页 图1POECDAB640745842943154516391738183624422537264427423353343735493639（1）用系统抽样法从 36 名工人中抽取容量为 9 的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为 44，列出样本的年龄数据；（2）计算（1）中样本的平均值 和方差；（3）36 名工人中年龄在与之间有多少人？所占的百分比是多少（精确到0.01％）？18．（本小题满分 14 分） 如图 2，三角形 PDC 所在的平面与长方形 ABCD 所在的平面垂直，，，.点 E 是 CD 边的中点，点 F，G 分别在线段 AB，BC 上，且，.（1）证明：；（2）求二面角的正切值；（3）求直线 PA 与直线 FG 所成角的余弦值.19．（本小题满分 14 分） 设 a>1，函数。 (1) 求的单调区间 ； (2) 证明：在（，+∞）上仅有一个零点； (3) 若曲线在点 P 处的切线与轴平行，且在点处的切线与直线 OP 平行（O 是坐标原点）,证明：第 3 页 | 共 15 页 图2ADCBHFGE20．（本小题满分 14 分）已知过原点的动直线 与圆相交于不同的两点 A，B.（1）求圆的圆心坐标；（2）求线段 AB 的中点 M 的轨迹 C 的方程；（3）是否存在实数，使得直线与曲线 C 只有一个交点：若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.21．（本小题满分 14 分） 数列满足 , . (1) 求的值； (2) 求数列前 n 项和 Tn；(3) 令，（），证明：数列{}的前 n 项和满足2015...