2027高考数学专题训练--极值点偏移与拐点偏移问题+答案

1极值点偏移与拐点偏移问题1、极值点偏移与拐点偏移问题极值点偏移是指函数在极值点左右的增减速度不一样，导致函数图象不具有对称性，极值点偏移问题常常出现在高考数学的压轴题中，是近几年高考的热点问题，这类题往往对思维要求较高，过程较为烦琐，计算量较大，解决极值点偏移问题，有对称化构造函数法和比值代换法，二者各有千秋，独具特色，突出数学运算、逻辑推理等数学素养，复习时要注意此类问题的求解。知识点 1极值点偏移问题及其解题策略1．极值点偏移的概念(1) 已知函数 y = f(x) 是连续函数，在区间 (a,b) 内只有一个极值点 x0，f(x1) = f(x2)，且 x0 在 x1 与 x2 之间，由于函数在极值点左右两侧的变化速度不同，使得极值点偏向变化速度快的一侧，常常有，这种情况称为极值点偏移.(2) 极值点偏移若，则极值点偏移，此时函数 f(x) 在 x = x0两侧，函数值变化快慢不同，如图 (2) (3).(左陡右缓，极值点向左偏移) 若 f(x1) = f(x2)，则 x1+ x2> 2x0；(左缓右陡，极值点向右偏移) 若 f(x1) = f(x2)，则 x1+ x2< 2x0.2．极值点偏移问题的一般题设形式(1) 函数 f(x) 存在两个零点 x1，x2且 x1≠ x2，求证：x1+ x2> 2x0(x0为函数 f(x) 的极值点)；(2) 函数 f(x) 中存在 x1，x2且 x1≠ x2，满足 f(x1) = f(x2)，求证：x1+ x2> 2x0(x0为函数 f(x) 的极值点)；(3) 函数 f(x) 存在两个零点 x1，x2且 x1≠ x2，令，求证：f'(x0) > 0；(4) 函数 f(x) 中存在 x1，x2且 x1≠ x2，满足 f(x1) = f(x2)，令，求证：f'(x0) > 0.3．极值点偏移问题的常见解法(1) (对称化构造法)：构造辅助函数：①对结论 x1 + x2 > 2x0 型，构造函数，通过研究的单调性获得不等式，利用导数证明不等式.②对结论型，方法一：构造函数，通过研究的单调性获得不等式，利用导数证明不等式；方法二：两边取对数，转化成 lnx1+ lnx2> 2lnx0，再把 lnx1，lnx2看成两变量即可.2(2) (比值换元法)：通过代数变形将所证的双变量不等式通过代换化为单变量的函数不等式，利用导数证明不等式.(3) (差值换元法)①题型特征：已知两零点或两极值点，证明两点差值大于定值；②解法：令 t = x2- x1(t > 0)，结合 f(x1) = f(x2) 消元，转化单变量不等式，利用导数证明不等式.知识点 2指数、对数均值不等式解决极值点偏移问题极值点偏移问题是近几年高考的热点问题，求解此类问题的一个重要工具就是指数均值不等式和对数均值不等式.1．对数均值不等式(1) 结论 1 对任意的 a,b > 0(a ≠ b)，有.(2) 应用对数平均不等式x1x2 2x0型；(2) 标准解法：①求二阶导数，解出拐点横坐标 x0；②构造辅助函数，求二阶导判断单调性；③利用 f(x1) = f(x2)，结合拐点两侧凹凸性完成证明.3．凹凸性辅助：拐点左侧凸、右侧凹 (或相反)，直接判断偏移方向.【题型 1对称化构造函数求极值点偏移问题】1. (25 - 26 高二下·河南许昌·期中) 已知 f x= e2x- ax + 2，a ∈ R，e 是自然对数的底数.(1) 求函数 y = f x的单调区间；(2) 若关于 x 的方程 f x- 2 = 0 有两个不等实根，求 a 的取值范围；(3) 当 a = 2e 时，若满足 f x1= f x2x1