山西大学附中2027届高三上学期8月月考数学试题+答案

试卷第 1 页，共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 山西大学附中 2026～2027 学年第一学期高三 8 月月考（总第一次） 数 学 试 题 考试时间：120 分钟 满分：150 分 一、选择题（本小题 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．已知复数i(2i)z =+，则 z 的虚部为（ ） A．1 B．2 C．i D．2i 2．样本数据 3，3，4，5，6，7，7，8 的第 80 百分位数为（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 3．若集合{3}Ax xx==，{}| 01Bxx=≤≤，则 A B =（ ） A．{ }0 B．{ }1 C．{}0,1 D．{0, 1,1}− 4．记nS 为等差数列{ }na的前n 项和，1a = 2，4S = 20，则3a = （ ） A．7 B．6 C．5 D．4 5．已知0απ<<，3cosα = − 5，则sin+ 4πα =（ ） A．210 B．25 C． 3 210 D． 7 210 6．设函数( )( )22,cos2f xxxa g xxx=++=+，曲线( )y= f x与( )y= g x恰有一个交点，则 a =（ ） A． 2− B． 1− C．1 D．2 7．已知直线 :40l x− y+=，圆()222:0C xyrr+=>，若圆C 上有且仅有三个点到直线l 的距离为2 2 ，则r = （ ） A．2 B．4 C．2 2 D．4 2 8．设(){}{}123,,2, 1,1,2 ,1,2,3iUx xxxi−=∈ −=为空间中64个点构成的集合，点(P 1,1, 2)−，记样本空间UΩ = C P，从Ω 中随机取一个点，定义随机变量 X 如下：对Ω 中的每个点()123,A x x ,x，令312( )X Axxx=++，则 X 的数学期望值为（ ） A．1− 21 B．31− 6 C．0 D． 17 二、选择题（本小题 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.） 9．已知正实数a ，b ，满足2a+ b=，则（ ） A．2ab+≤ B．224a+ b≥ C．1a− b> D．223a+ b≥ 10．已知抛物线2:6C y= x的焦点为 F ，过 F 的一条直线交C 于,A B 两点，过 A 作直线32l：x = −的垂线，垂足为 D ，则（ ） A． F 的坐标为(3,0) B．|| ||AD= AF C．|| 6AB ≥ D．OA⊥ OB 试卷第 2 页，共 4 页 11．已知函数( )f x 及其导函数f ( )′ x的定义域均为R ，记 ( )( )g xfx=′，若 ( )g x 为偶函数且()()121 2fxfx+=−， ( )01g= ，则（ ） A． (2026)1g= − B． ()( )4g xg x+= C．( )f x 是奇函数 D．2026112kkg= = −∑ 三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.） 12．已知双曲线C 的虚轴长是实轴长的 3 倍，则C 的离心率为__________. 13．已知向量(2, )ax=，(b = 1, 1)−，若 //a b  ，则 a+ b=____________． 14．在三棱锥 S− ABC中，若1SA= SC= ，2ABBCAC===，二面角 SACB−−为 4π ，则三棱锥 S− ABC外接球的表面积为__________. 四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15．（13 分）在 ABC∆中，角 A ， B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()()cos1cos13aBbAc+++=，2a= b （1）证明： ABC∆为钝角三角形； （2）若 ABC∆的面积为3 15 ，求b 的值. 16．（15 分）已知椭圆2222:1(0)xyCaba+ b=>>的离心率为22 ，点(2,0) 在椭圆C 上． (1)求C 的方程； (2)过点(0, 2)−的直线l 交C 于,A B 两点，O 为坐标原点.若 OAB∆的面积为2 ，求直线l 的方程． 试卷第 3 页，共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 17．（15 分）如图，四棱锥 P− ABCD中，PA ⊥底面 ABCD ，2PA= AC=，1,3BCAB==． (1)若 AD⊥ PB，证明：AD//平面 PBC ； (2)若 AD⊥ DC，且AD= 3，求二面角 ACPD−−的正弦值． 18．（17 分）已知函数( )()ln1f xxkx=+−，其中01< k< . (1)讨论( )f x 的单调性； (2)证明：( )f x 在区间()0,+∞ 存在唯一的极值点和唯一的零点； (3)设1x ，2x 分别为( )f x...