2012年高考数学试卷（理）（上海）（空白卷）

绝密★启用前 2012 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学试卷（理工农医类）（满分 150 分，考试时间 120 分钟）考生注意1.本场考试时间 120 分钟，试卷共 4 页，满分 150 分，答题纸共 2 页.2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题纸指定位置.3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一律不得分.4.用 2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.一、填空题（56 分）：1．计算： （ 为虚数单位）。2．若集合，，则 。3．函数的值域是 。4．若是直线 的一个法向量，则 的倾斜角的大小为 （结果用反三角函数值表示）。5．在的二项展开式中，常数项等于 。6．有一列正方体，棱长组成以 1 为首项、为公比的等比数列，体积分别记为，则 。[ 7．已知函数（ 为常数）。若在区间上是增函数，则 的取值范围是 。8．若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则该圆锥的体积为 。9．已知是奇函数，且，若，则 。10．如图，在极坐标系中，过点的直线 与极轴的夹角，若将 的极坐标方程写成的形式，则 。11．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是 （结果用最简分数表示）。12．在平行四边形中，，边、的长分别为 2、1，若、分别是边、上的点，且满足，则的取值范围是 。13．已知函数的图象是折线段，其中、、，函数（）的图象与 轴围成的图形的面积为 。14．如图，与是四面体中互相垂直的棱，，若，且，其中 、 为常数，则四面体的体积的最大值是 。[来 二、选择题（20 分）：第 1 页 | 共 4 页 15．若是关于 的实系数方程的 一个复数根，则（ ）A． B． C． D．16．在中，若，则 的形状是（）[来 A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D．不能确定17．设，，随机变量取值的概率均为，随机变量取值的概率也均为，若记分别为 的方差，则（）A． B． C． D．与的大小关系与的取值有关18．设，，在中，正数的 个数是（ ）A．25 B．50 C．75 D．100三、解答题（74 分）：19．（6+6=12 分）如图，在四棱锥中，底面是矩形，[来 底面，是的中点，已知，，，求： （1）三角形的面积；（2）异面直线与所成的角的大小。20．（6+8=14 分）已知函数．（1）若，求 的取值范围；（2）若是以 2 为周期的偶函数，且当时，有，求函数（）的反函数。 21．（6+8=14 分）海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为轴正方向建立平面直角坐标系（以 1 海里为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向 12 海里处，如图．现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发 小时后，失事船所在位置的横坐标为．（1）当时，写出失事船所在位置的纵坐标．若此时两船恰好 会合，求救援船速度的大小和方向； （2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？ 22．（4+6+6=16 分）在平面直角坐标系中，已知双曲线：．第 2 页 | 共 4 页 （1）过的左顶点引的一条渐进线的平行线，求该直线与另一条渐进线及 轴围成的三角形的面积；（2）设斜率为 1 的直线 交于、两点，若 与圆相切，求证：；（3）设椭圆：，若、分别是、上的动点，且，求证：到直线的距离是定值。 23．（4+6+8=18 分）对于数集，其中，，定义向量集，若对任意，存在，使得，则称具有性质．例如具有性质．（1）若，且具有性质，求 的值；（2）若具有性质，求证：，且当时，；（3）若具有性质，且、（ 为常数），求有穷数列的通项公式。第 3 页 | 共 4 页 第 4 页 | 共 4 页