2013年高考数学试卷（理）（上海）（解析卷）

2013 年上海市秋季高考理科数学一、填空题1．计算：【解答】根据极限运算法则，．2．设，是纯虚数，其中 i 是虚数单位，则【解答】．3．若，则【解答】．4．已知△ABC 的内角 A、B、C 所对应边分别为 a、b、c，若，则角 C 的大小是_______________（结果用反三角函数值表示）【解答】，故．5．设常数，若的二项展开式中项的系数为，则【解答】，故．6．方程的实数解为________【解答】原方程整理后变为．7．在极坐标系中，曲线与的公共点到极点的距离为__________【解答】联立方程组得，又，故所求为．8．盒子中装有编号为 1，2，3，4，5，6，7，8，9 的九个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是___________（结果用最简分数表示）【解答】9 个数 5 个奇数，4 个偶数，根据题意所求概率为．9．设 AB 是椭圆的长轴，点 C 在上，且，若 AB=4，，则的两个焦点之间的距离为________【 解 答 】 不 妨 设 椭 圆的 标 准 方 程 为， 于 是 可 算 得， 得．10 ． 设 非 零 常 数 d 是 等 差 数 列的 公 差 ， 随 机 变 量等 可 能 地 取 值，则方差第 1 页 | 共 8 页 【解答】，．11．若，则【解答】，，故．12．设为实常数，是定义在 R 上的奇函数，当时，，若对一切成立，则的取值范围为________【解答】，故；当时，即，又，故．13．在平面上，将两个半圆弧和、两条直线和围成的封闭图形记为 D，如图中阴影部分．记 D 绕 y 轴旋转一周而成的几何体为，过作的水平截面，所得截面面积为，试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出的体积值为__________【解答】根据提示，一个半径为 1，高为的圆柱平放，一个高为 2，底面面积的长方体，这两个几何体与放在一起，根据祖暅原理，每个平行水平面的截面面积都相等，故它们的体积相等，即的体积值为．14．对区间 I 上有定义的函数，记，已知定义域为的函数有反函数，且，若方程有解，则【解答】根据反函数定义，当时，；时，，而的 定 义 域 为， 故 当时 ，的 取 值 应 在 集 合，故若，只有．二、选择题15．设常数，集合，若，则 的取值范围为（ ）(A) (B) (C) (D) 【解答】集合 A 讨论后利用数轴可知，或，解答选项为 B．16“”“”“”．钱大姐常说 便宜没好货 ，她这句话的意思是： 不便宜 是 好货 的（）(A) 充分条件 (B) 必要条件 (C) 充分必要条件 (D)既非充分也非必要条件【解答】根据等价命题，便宜没好货，等价于，好货不便宜，故选 B．17 ． 在 数 列中 ，， 若 一 个 7 行 12 列 的 矩 阵 的 第 i 行 第 j 列 的 元 素，（）则该矩阵元素能取到的不同数值的 个数为（ ）(A)18 (B)28 (C)48 (D)63第 2 页 | 共 8 页 【解答】，而，故不同数值个数为 18 个，选 A．18．在边长为 1 的正六边形 ABCDEF 中，记以 A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为；以 D 为起点，其余顶点为终点的向量分别为.若分别 为的 最 小 值 、 最 大 值 ， 其 中,,则 满足（）. (A) (B) (C) (D) 【解答】作图知，只有，其余均有，故选 D．三、解答题19.（本题满分 12 分）如图，在长方体 ABCD-A1B1C1D1中，AB=2,AD=1,A1A=1，证明直线BC1平行于平面 DA1C，并求直线 BC1到平面 D1AC 的距离.【解答】因为 ABCD-A1B1C1D1为长方体，故，故 ABC1D1为平行四边形，故，显然 B 不在平面 D1AC 上，于是直线 BC1平行于平面 DA1C；直线 BC1到平面 D1AC 的距离即为点 B 到平面 D1AC 的距离设为考 虑 三 棱 锥 ABCD1 的 体 积 ， 以 ABC 为 底 面 ， 可 得而中，，故所以，，即直线 BC1到平面 D1AC 的距离为．20．（6 分+8 分）甲厂以 x千 克 / 小 时 的 速 度 运 输 生 产 某 种 产 品 （ 生 产 条 件 要 求），每小时可获得利润是元.(1)要使生产该产品 2 小时获得的利润不低于 3000 元，求 x 的取值范围；(2)要使生产 900 千克该产品获得的利润最大，问：甲...