2013年高考数学试卷（理）（湖南）（空白卷）

本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共 5 页，时量 120 分钟，满分 150 分。一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数在复平面上对应的点位于( )A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2.某学校有男、女学生各 500 名.为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取 100 名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是( )A．抽签法 B．随机数法 C．系统抽样法 D．分层抽样法 3.在锐角中，角所对的边长分别为.若( )A． B． C． D． 4.若变量满足约束条件，( )A． B． C． D． 5.函数的图像与函数的图像的交点个数为( )A．3 B．2 C．1 D．0 6. 已知是单位向量，.若向量满足( )A． B． C． D． 7．已知棱长为 1 的正方体的俯视图是一个面积为 1 的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于( )第 1 页 | 共 6 页 A． B． C． D． 8.在等腰三角形中，点是边上异于的一点，光线从点出发，经发射后又回到原点（如图 ）.若光线经过的中心，则等于( )A． B． C． D． 二、填空题：本大题共 8 小题，考生作答 7 小题，每小题 5 分，共 35 分.（一）选做题（请考生在第 9、10、11 三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题计分）9.在平面直角坐标系中，若右顶点，则常数 .10.已知 .11.如图 2，在半径为的中,弦 .（一） 必做题（12-16 题）12.若 .第 2 页 | 共 6 页 13.执行如图 3 所示的程序框图，如果输入 . 14．设是双曲线的两个焦点，P 是 C 上一点，若且的最小内角为，则 C 的离心率为___。15．设为数列的前 n 项和，则（1）_____；（2）___________。16．设函数（1）记集合，则所对应的的零点的取值集合为____。（2）若 .（写出所有正确结论的序号）①第 3 页 | 共 6 页 ②③若三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分 12 分）已知函数。（I）若是第一象限角，且。求的值；（II）求使成立的 x 的取值集合。18．（本小题满分 12 分）某人在如图 4 所示的直角边长为 4 米的三角形地块的每个格点（指纵、横的交叉点记忆三角形的顶点）处都种了一株相同品种的作物。根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量 Y（单位：kg）与它的“相近”作物株数 X 之间的关系如下表所示：X1234Y51484542这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过 1 米。（I）从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率；（II）从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望。19．（本小题满分 12 分）第 4 页 | 共 6 页 如图 5，在直棱柱（I）证明：；（II）求直线所成角的正弦值。20．（本小题满分 13 分）在平面直角坐标系 xOy 中，将从点 M 出发沿纵、横方向到达点 N 的任一路径成为 M 到 N 的一条“L 路径”。如图 6 所示的路径都是 M 到 N 的“L 路径”。某地有三个新建的居民区，分别位于平面 xOy 内三点处。现计划在 x 轴上方区域（包含 x 轴）内的某一点 P 处修建一个文化中心。（I）写出点 P 到居民区 A 的“L 路径”长度最小值的表达式（不要求证明）；（II）若以原点 O 为圆心，半径为 1 的圆的内部是保护区，“L 路径”不能进入保护区，请确定点 P 的位置，使其到三个居民区的“L 路径”长度值和最小。21．（本小题满分 13 分）过抛物线的焦点 F 作斜率分别为的两条不同的直线，且，相交于点 A，B，相交于点 C，D。以 AB，CD 为直径的圆 M，圆 N（M，N 为圆心）的公共弦所在的直线记为。第 5 页 | 共 6 页 （I）若，证明；；（II）若点 M 到直线的距离的最小值为，求抛物线 E 的方程。22．（本小题满分 13 分）已知，函数。（I）；记求的表达式；（II）是否存在，使函数在区间内的图像上存在两点，在该两点处的切线相互垂直？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由。第 6 页 | 共 6 页