2014年高考数学试卷（理）（天津）（解析卷）

2014 年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟。第Ⅰ卷 1 至 2 页，第Ⅱ卷 3 至 5 页。第Ⅰ卷一、选择题 （本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 是虚数单位，复数A. B. C. D.2.设变量、满足约束条件，则目标函数的最小值为A. B. C. D.3.阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出 的值为A.15 B.105 C.245 D.9454.函数的单调递增区间为A.， B.， C.， D.，5.已知双曲线，的一条渐近线平行于直线 ：，双曲线的一个焦点在直线 上，则双曲线的方程为A.221520xy B.221205xy C.2233125100xy D.2233110025xy6.如图， ABC是圆的内接三角形，BAC的平分线交圆于点，交于点，过点第 1 页 | 共 12 页 的圆的切线与的延长线交于点，在上述条件下，给出下列四个结论：①平分CBF；②；③；④.则所有正确结论的序号是A.①② B.③④ C.①②③ D.①②④7.设、“，则”“是”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件8.已知菱形 ABCD 的边长为2 ，120BAD ，点、分别在边、上，，.若，，则A. B. C. D.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.9.某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为 300 的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为，则应从一年级本科生中抽取 名学生.10.一个几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积为 .11.设是首项为1a ，公差为 1的等差数列，nS 为其前项和，若、、成等比数列，则的值为 .12.在中，内角、、所对的边分别是、、.已知，，则的值为 .13.在以为极点的极坐标系中，圆和直线相交于、两点.若是等边三角形，则的值为 .14.已知函数，.若方程恰有 4 个互异的实数根，则实数的取值范围为 .三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.（本小题满分 13 分）第 2 页 | 共 12 页 已知函数，.⑴求的最小正周期；⑵求在闭区间，上的最大值和最小值.16.（本小题满分 13 分）某大学志愿者协会有 6 名男同学，4 名女同学.在这 10 名同学中，3 名同学来自数学学院，其余 7 名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院.现从这 10 名同学中随机选取 3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）.⑴求选出的 3 名同学是来自互不相同学院的概率；⑵设为选出的 3 名同学中女同学的人数，求随机变量的分布列和数学期望.17.（本小题满分 13 分）如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点.⑴证明：；⑵求直线与平面所成角的正弦值；⑶若为棱上一点，满足，求二面角的余弦值.18.（本小题满分 13 分）设椭圆的左、右焦点分别为、，右顶点为，上顶点为.已知.第 3 页 | 共 12 页 ⑴求椭圆的离心率；⑵设为椭圆上异于其顶点的一点，以线段为直径的圆经过点，经过原点的直线与该圆相切，求直线 的斜率.19.（本小题满分 14 分）已知和均为给定的大于 1 的自然数，设集合， ，，...，，集合...，，，，...，.⑴当，时，用列举法表示集合；⑵设、，...，...，其中、，，，...，.证明：若nnab，则.20.（本小题满分 14 分）设，.已知函数有两个零点，，且.⑴求的取值范围；⑵证明随着的减小而增大；⑶证明随着的减小而增大.第 4 页 | 共 12 页 第 5 页 | 共 12 页 第 6 页 | 共 12 页 第 7 页 | 共 12 页 第 8 页 | 共 12 页 第 9 页 | 共 12 页 第 10 页 | 共 12 页 第 11 页 | 共 12 页 第 12 页 | 共 12 页