2009年高考数学试卷（理）（北京）（解析卷）

2009 年北京市普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）本试卷分第 I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第 I 卷 1 至 2 页，第Ⅱ卷 3至 9 页，共 150 分。考试时间 120 分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第 I 卷 （选择题 共 40 分）注意事项： 1．答第 I 卷前，考生务必将答题卡上的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔填写，用2B 铅笔将准考证号对应的信息点涂黑。 2．每小题选出答案后，将答题卡上对应题目的答案选中涂满涂黑，黑度以盖住框内字母为准，修改时用橡皮擦除干净。在试卷上作答无效。一、本大题每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1．在复平面内，复数对应的点位于 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D．第四象限2．已知向量不共线，如果，那么 A．且与 同向B．且与反向 C．且与 同向D．且与反向3．为了得到函数的图像，只需把函数的图像上所有的点 A．向左平移 3 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度 B．向右平移 3 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度 C．向左平移 3 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度 D．向右平移 3 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度4．若正四棱柱的底面边长为 1，与底面成 60°角，则到底面的距离为 A． B．1 C． D．5“．”“是”的 A ．充分而不必要条件B．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．若为有理数），则 A．45 B．55 C．70 D．807．用 0 到 9 这 10 个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为第 1 页 | 共 22 页 A．324 B．328 C．360 D．6488．点在直线上，若存在过的直线交抛物线于两点，且，则称点“为”点 ，那么下列结论中正确的是 A．直线“上的所有点都是”点 B．直线“上仅有有限个点是”点 C．直线“上的所有点都不是”点 D．直线“上有无穷多个点（点不是所有的点）是” 点第Ⅱ卷（共 110 分）二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。把答案填在题中横线上。9．___________。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 10．若实数满足则的最小值为__________。11．设是偶函数，若曲线在点处的切线的斜率为 1，则该曲线在点处的切线的斜率为______________。12 ． 椭 圆的 焦 点 为， 点在 椭 圆 上 ， 若， 则_________；的小大为____________。13．若函数 则不等式的解集为____________。14．已知数列满足：则________；=____________。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 三 、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。15．（本小题共 13 分） 在中，角的对边分别为，。第 2 页 | 共 22 页 （I）求的值；（Ⅱ）求的面积。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 16．（本小题共 14 分） 如图，在三棱锥中，底面，点，分别在棱上，且（I）求证：平面；（Ⅱ）当为的中点时，求与平面所成的角的大小；（Ⅲ）是否存在点使得二面角为直二面角？并说 明理由。17．（本小题共 13 分）某学生在上学路上要经过 4 个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是 2min。（Ⅰ）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （Ⅱ）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间的分布列及期望。18．（本小题共 13 分）第 3 页 | 共 22 页 设函数（I）求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）求函数的单调区间；（Ⅲ）若函数在区间内单调递增，求的取值范围。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 19．（本小题共 14 分）已知双曲线的离心率为，右准线方程为（I）求双曲线的方程；（Ⅱ）设直线 是圆上动点处的切线， 与双曲线交于不同的两点，证明的大小为定值。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 20．（本小题共 13 分） 已 知 数 集具 有 性 质； 对 任 意 的，与两数中至少有一个属于。（I）分别判断数集与是否具有性质，并说明理由；（Ⅱ）证明：，且第 4 页 | 共 22 页 （Ⅲ）证明：...