2009年高考数学试卷（江苏）（解析卷）

2009 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 数学Ⅰ参考公式：样本数据的方差一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分。1.若复数，其中 是虚数单位，则复数的实部为______2. 已 知 向 量和 向 量的 夹 角 为，， 则 向 量和 向 量的 数 量 积__________ .3. 函 数的 单 调 减 区 间 为_____ 4.函数为常数，在闭区间上的图象如图所示，则 _______ .5.现有 5 根竹竿，它们的长度（单位：m）分别为 2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取 2 根竹竿，则它们的长度恰好相差 0.3m 的概率为________ .6.某校甲、乙两个班级各有 5 名编号为 1，2，3，4，5 的学生进行投篮练习，每人投 10 次，投中的次数如下表：学生1 号2 号3 号4 号5 号甲班67787乙班67679则以上两组数据的方差中较小的一个为________ .7.右图是一个算法的流程图，最后输出的________ .8.在平面上，若两个正三角形的边长的比为 1：2，则它们的面积比为 1：4，类似地，在空间，若两个正四面体的棱长的比为 1：2，则它们的体积比为________ .9.在平面直角坐标系中，点 P 在曲线上，且在第二象限内，已知曲线 C 在点 P 处的切线的斜率为 2，则点 P 的坐标为________.第 1 页 | 共 11 页 11233Oxy开始0S 1T 2STS10S 2TTWST 输出结束YN10.已知，函数，若实数满足，则的大小关系为 _______ .11.已知集合，，若则实数的取值范围是，其中________ .12.设和为不重合的两个平面，给出下列命题：（1）若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线，则平行于；（2）若外一条直线与内的一条直线平行，则和平行；（3）设和相交于直线 ，若内有一条直线垂直于 ，则和垂直；（4）直线 与垂直的充分必要条件是与内的两条直线垂直.上面命题中，真命题的序号________（写出所有真命题的序号）.13．如图，在平面直角坐标系中，为椭圆的四个顶点，为其右焦点，直线与直线相交于点 T，线段与椭圆的交点恰为线段的中点，则该椭圆的离心率为________.14 ． 设是 公 比 为的 等 比 数 列 ，， 令若 数 列有 连 续 四 项 在 集 合中 ， 则 ________二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分。15．（本小题满分 14 分） 设向量（1）若与垂直，求的值；（2）求的最大值;（3）若，求证：∥. 16．（本小题满分 14 分）第 2 页 | 共 11 页 xyA1B2A2OTM如 图 ， 在 直 三 棱 柱中 ，分 别 是的 中 点 ， 点在上 ，求证：(1)∥（2） 17 ． （ 本 小 题 满 分 14 分 ） 设是 公 差 不 为 零 的 等 差 数 列 ，为 其 前项 和 ， 满 足（1）求数列的通项公式及前项和；（2）试求所有的正整数，使得为数列中的项. 18．（本小题满分 16 分）在平面直角坐标系中，已知圆和圆（1）若直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程；（2）设 P 为平面上的点，满足：存在过点 P 的无穷多对互相垂的直线，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点 P 的坐标. 19.(本小题满分 16 分)按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为元，如果他卖出该产品的单价为元，则他的满意度为；如果他买进该产品的单价为元，则他的满意度为.如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为和，则他对这两种交易的综合满意度为. 现假设甲生产 A、B 两种产品的单件成本分别为 12 元和 5 元，乙生产 A、B 两种产品的单件成本分别为 3元和 20 元，设产品 A、B 的单价分别为元和元，甲买进 A 与卖出 B 的综合满意度为，乙卖出A 与买进 B 的综合满意度为第 3 页 | 共 11 页 xyO11..求和关于、的表达式；当时，求证：=；设，当、分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？记(2)中最大的综合满意度为，试问能否适当选取、的值，使得和同时成立但等号不同时成立？试说明理由。求和关于、的表达式；当时，求证：=；设，当...