2021年高考数学试卷（北京）（空白卷）

2021 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学第一部分（选择题共 40 分）一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 已知集合，，则（ ）A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数满足，则（ ）A. B. C. D. 3. 已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4. 某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为（ ）A. B. 4C. D. 25. 双曲线过点，且离心率为，则该双曲线的标准方程为（ ）A. B. C. D. 第 1 页 | 共 5 页 6. 和是两个等差数列，其中为常值，，，，则（ ）A. B. C. D. 7. 函数，试判断函数 的奇偶性及最大值（ ）A. 奇函数，最大值为 2B. 偶函数，最大值为 2C. 奇函数，最大值为D. 偶函数，最大值为8. 定义：24 小时内降水在平地上积水厚度（）来判断降雨程度．其中小雨（），中雨（），大雨（），暴雨（），小明用一个圆锥形容器接了 24 小时的雨水，如图，则这天降雨属于哪个等级（ ）A. 小雨B. 中雨C. 大雨D. 暴雨9. 已知圆，直线，当变化时， 截得圆弦长的最小值为 2，则（ ）A. B. C. D. 10. 数列是递增的整数数列，且，，则的最大值为（ ）A. 9B. 10C. 11D. 12第二部分（非选择题共 110 分）二、填空题 5 小题，每小题 5 分，共 25 分．第 2 页 | 共 5 页 11. 展开式中常数项为__________．12. 已知抛物线，焦点为，点为抛物线上的点，且，则的横坐标是_______；作轴于，则_______．13. ，，，则_______；_______．14. 若点与点关于轴对称，写出一个符合题意的___．15. 已知函数，给出下列四个结论：①若，则有两个零点；②，使得有一个零点；③，使得有三个零点；④，使得有三个零点．以上正确结论得序号 是_______．三、解答题共 6 小题，共 85 分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16. 已知 在中，，．（1）求的大小；（2）在下列三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并求出边上的中线的长度．①；②周长为；③面积为；第 3 页 | 共 5 页 17. 已知正方体，点为中点，直线交平面于点．（1）证明：点为的中点；（2）若点为棱上一点，且二面角的余弦值为，求的值．18. 为加快新冠肺炎检测效率，某检测机构采取“k 合 1 检测法”，即将 k 个人的拭子样本合并检测，若为阴性，则可以确定所有样本都是阴性的；若为阳性，则还需要对本组的每个人再做检测．现有 100 人，已知其中 2 人感染病毒．（1）①若采用“10 合 1 检测法”，且两名患者在同一组，求总检测次数；②已知 10 人分成一组，分 10 组，两名感染患者在同一组的概率为，定义随机变量 X 为总检测次数，求检测次数 X 的分布列和数学期望 E(X)；（2）若采用“5 合 1 检测法”，检测次数 Y 的期望为 E(Y)，试比较 E(X)和 E(Y)的大小(直接写出结果)．19. 已知函数．（1）若，求在处切线方程；（2）若函数在处取得极值，求的单调区间，以及最大值和最小值．20. 已知椭圆过点，以四个顶点围成的四边形面积为．（1）求椭圆 E 的标准方程；（2）过点 P(0，-3)的直线 l 斜率为 k，交椭圆 E 于不同的两点 B，C，直线 AB，AC 交 y=-3 于点 M、N，直线 AC 交 y=-3 于点 N，若|PM|+|PN|≤15，求 k 的取值范围．第 4 页 | 共 5 页 21. 定义数列：对实数 p，满足：①，；②；③，．（1）对于前 4 项 2，-2，0，1 的数列，可以是数列吗？说明理由；（2）若是数列，求的值；（3）是否存在 p，使得存在数列，对？若存在，求出所有这样的 p；若不存在，说明理由．第 5 页 | 共 5 页