2021年高考数学试卷（北京）（解析卷）

2021 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学第一部分（选择题共 40 分）一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 已知集合，，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】结合题意利用并集的定义计算即可.【详解】由题意可得：，即.故选：B.2. 在复平面内，复数满足，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题意利用复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.【详解】由题意可得：.故选：D.3. 已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用两者之间的推出关系可判断两者之间的条件关系.第 1 页 | 共 20 页 【详解】若函数在上单调递增，则在上的最大值为，若在上的最大值为，比如，但在为减函数，在为增函数，故在上的最大值为推不出在上单调递增，故“函数在上单调递增”是“在上的最大值为”的充分不必要条件，故选：A.4. 某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为（ ）A. B. 4C. D. 2【答案】A【解析】【分析】根据三视图可得如图所示的几何体（三棱锥），根据三视图中的数据可计算该几何体的表面积.【详解】根据三视图可得如图所示的几何体-正三棱锥，其侧面为等腰直角三角形，底面等边三角形，由三视图可得该正三棱锥的侧棱长为 1，故其表面积为，第 2 页 | 共 20 页 故选：A.5. 双曲线过点，且离心率为，则该双曲线的标准方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】分析可得，再将点代入双曲线的方程，求出的值，即可得出双曲线的标准方程.【详解】，则，，则双曲线的方程为，将点的坐标代入双曲线的方程可得，解得，故，因此，双曲线的方程为.故选：A.6. 和是两个等差数列，其中为常值，，，，则（ ）第 3 页 | 共 20 页 A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由已知条件求出的值，利用等差中项的性质可求得的值.【详解】由已知条件可得，则，因此，.故选：B.7. 函数，试判断函数的奇偶性及最大值（ ）A. 奇函数，最大值为 2B. 偶函数，最大值为 2C. 奇函数，最大值为D. 偶函数，最大值为【答案】D【解析】【分析】由函数奇偶性的定义结合三角函数的性质可判断奇偶性；利用二倍角公式结合二次函数的性质可判断最大值.【详解】由题意，，所以该函数为偶函数，又，所以当时，取最大值.故选：D.8. 定义：24 小时内降水在平地上积水厚度（）来判断降雨程度．其中小雨（），中雨（），大雨（），暴雨（），小明用一个圆锥形容器接了 24 小时的雨水，如图，则这天降雨属于哪个等级（ ）第 4 页 | 共 20 页 A. 小雨B. 中雨C. 大雨D. 暴雨【答案】B【解析】【分析】计算出圆锥体积，除以圆面的面积即可得降雨量，即可得解.【 详 解 】 由 题 意 ， 一 个 半 径 为的 圆 面 内 的 降 雨 充 满 一 个 底 面 半 径 为，高为的圆锥，所以积水厚度，属于中雨.故选：B.9. 已知圆，直线，当变化时， 截得圆弦长的最小值为 2，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先求得圆心到直线距离，即可表示出弦长，根据弦长最小值得出【详解】由题可得圆心为，半径为 2，第 5 页 | 共 20 页 则圆心到直线的距离，则弦长为，则当时，弦长取得最小值为，解得.故选：C.10. 数列是递增的整数数列，且，，则的最大值为（ ）A. 9B. 10C. 11D. 12【答案】C【解析】【分析】使数列首项、递增幅度均最小，结合等差数列的通项及求和公式即可得解.【详解】若要使 n 尽可能的大，则，递增幅度要尽可能小，不妨设数列是首项为 3，公差为 1 的等差数列，其前 n 项和为，则，，，所以 n 的最大值为 11.故选：C.第二部分（非选择题共 110 分）二、填空题 5 小题，每小题 5 分，共 25 分．11. 展开式中常数项为__________．【答案】【解析】【详解】试题分析：的展开式的通项 令得常数项为....