2015年高考数学试卷（理）（北京）（空白卷）

2015 年北京市高考数学试卷（理科）一、选择题（每小题 5 分，共 40 分）1．（5 分）复数 i（2i﹣ ）= （）A．1+2iB．12i﹣C．﹣1+2iD．﹣12i﹣2．（5 分）若 x，y 满足，则 z=x+2y 的最大值为（）A．0B．1C．D．23．（5 分）执行如图所示的程序框图输出的结果为（）A．（﹣2，2）B．（﹣4，0）C．（﹣4，﹣4） D．（0，﹣8）4．（5 分）设 α，β 是两个不同的平面，m 是直线且 m⊂α“， m∥β““是 α∥β”的 （）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．（5 分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）第 1 页 | 共 6 页 A．2+B．4+C．2+2D．56．（5 分）设{an} 是等差数列，下列结论中正确的是（）A．若 a1+a2＞0，则 a2+a3＞0B．若 a1+a3＜0，则 a1+a2＜0C．若 0＜a1＜a2，则 a2D．若 a1＜0，则（a2a﹣1）（a2a﹣3）＞07．（5 分）如图，函数 f（x）的图象为折线 ACB，则不等式 f（x）≥log2（x+1 ）的解集是（）A．{x|1﹣ ＜x≤0} B．{x|1﹣ ≤x≤1}C．{x|1﹣ ＜x≤1} D．{x|1﹣ ＜x≤2}8．（5“”分）汽车的 燃油效率 是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是（ ）第 2 页 | 共 6 页 A．消耗 1 升汽油，乙车最多可行驶 5 千米B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C．某城市机动车最高限速 80 千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油D．甲车以 80 千米/小时的速度行驶 1 小时，消耗 10 升汽油 二、填空题（每小题 5 分，共 30 分）9．（5 分）在（2+x）5的展开式中，x3的系数为 （用数字作答）10．（5 分）已知双曲线﹣y2=1（a＞0）的一条渐近线为x+y=0，则 a= ．11．（5 分）在极坐标系中，点（2，）到直线 ρ（cosθ+sinθ）=6 的距离为 ．12．（5 分）在△ABC 中，a=4，b=5，c=6，则= ．13．（5 分）在△ABC 中，点 M，N 满足=2，=，若=x+y，则x= ，y= ．14．（5 分）设函数 f（x）=，①若 a=1，则 f（x）的最小值为 ；②若 f（x）恰有 2 个零点，则实数 a 的取值范围是 ． 三、解答题（共 6 小题，共 80 分）第 3 页 | 共 6 页 15．（13 分）已知函数 f（x）=sincos﹣sin．（Ⅰ）求 f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求 f（x）在区间[π﹣ ，0]上的最小值．16．（13 分）A，B 两组各有 7 位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：A 组：10，11，12，13，14，15，16B 组；12，13，15，16，17，14，a假设所有病人的康复时间相互独立，从 A，B 两组随机各选 1 人，A 组选出的人记为甲，B 组选出的人记为乙．（Ⅰ）求甲的康复时间不少于 14 天的概率；（Ⅱ）如果 a=25，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；（Ⅲ）当 a 为何值时，A，B 两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）17．（14 分）如图，在四棱锥 AEFCB﹣中，△AEF 为等边三角形，平面 AEF⊥平面 EFCB，EF∥BC，BC=4，EF=2a，∠EBC=∠FCB=60°，O 为 EF 的中点．（Ⅰ）求证：AO⊥BE．（Ⅱ）求二面角 FAEB﹣﹣ 的余弦值；（Ⅲ）若 BE⊥平面 AOC，求 a 的值．第 4 页 | 共 6 页 18．（13 分）已知函数 f（x）=ln，（Ⅰ）求曲线 y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）求证，当 x∈（0，1）时，f（x）＞；（Ⅲ）设实数 k 使得 f（x）对 x∈（0，1）恒成立，求 k 的最大值．19．（14 分）已知椭圆 C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，点 P（0，1）和点 A（m，n）（m≠0）都在椭圆 C 上，直线 PA 交 x 轴于点 M．（Ⅰ）求椭圆 C 的方程，并求点 M 的坐标（用 m，n 表示）；（Ⅱ）设 O 为原点，点 B 与点 A 关于 x 轴对称，直线 PB 交 x 轴于点 N，问：y 轴上是否存在点 Q，使得∠OQM=∠ONQ？若存在，求点 Q 的坐标，若不存在，第 5 页 | 共 6 页 说明理由．20．（13 分）已知数列{an}满足：a1∈N*，a1≤36，且 an+1=（n=1，2…，），记集合 M={an|n∈N*}．（Ⅰ）若 a1=6，写出集合 M 的所有元素；（Ⅱ）如集合 M 存在一个元素是 3 的倍数，证明：M 的所有元素都是 3 的倍数；（Ⅲ）求集合 M 的元素个数的最大值． 第 6 页 | 共 6 页