第 1 页 | 共 5 页 2022 年上海市高考数学试卷一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1～6 题每题 4 分，第 7～12 题每题 5 分） 1. 双曲线 x29 − y2=1的实轴长为 ． 2. 函数f (x )=cos2 x−sin2 x+1的周期为 ． 3. 已知a∈ R，行列式|a132|的值与行列式|a041|的值相等，则a＝ ． 4. 已知圆柱的高为4，底面积为9 π，则圆柱的侧面积为 ． 5. x﹣ y ≤0，x+ y ﹣1≥0，求z＝ x+2 y的最小值 ． 6. 二项式(3+x )n的展开式中，x2项的系数是常数项的5倍，则n＝ ． 7. 若函数f (x )={a2 x−1x<0x+ax>00x=0，为奇函数，求参数a的值为 ． 8. 为了检测学生的身体素质指标，从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检测，则每一类都被抽到的概率为 ． 9. 已知等差数列{an}的公差不为零，Sn为其前n项和，若S5=0，则Si (i=0,1,2,…,100)中不同的数值有 个． 10. 若平面向量|a→|=|b→|=|c→|=λ，且满足a→⋅b→=0，a→⋅ c→=2，b→⋅ c→=1，则λ＝ ． 11. 设函数f (x )满足f (x )=f (11+x)对任意x∈¿都成立，其值域是Af，已知对任何满足上述条件的f (x )都有{ y∨ y=f (x ),0≤ x ≤a}=Af，则a的取值范围为 ． 二、选择题（本题共有 4 题，满分 20 分，每题 5 分）每题有且只有一个正确选项. 1. 若集合A ＝ ¿，B＝ Z，则A ∩B＝（ ） A.{﹣2,﹣1,0,1}B.{﹣1,0,1}C.{﹣1,0}D.{﹣1} 第 2 页 | 共 5 页 2. 若实数a、b满足a＞ b＞ 0，下列不等式中恒成立的是（ ） A.a+b>2❑√ab B.a+b<2❑√ab C.a2 +2b>2❑√abD.a2 +2b<2❑√ab 3. 如图正方体ABCD− A1B1C1 D1中，P、Q、R、S分别为棱AB、BC 、B B1 、CD 的中点，联结A1S，B1 D．空间任意两点M、N，若线段MN上不存在点在线段A1S、 B1 D上，则称MN两点可视，则下列选项中与点D1可视的为（ ） A.点PB.点BC.点RD.点Q 4. 设集合Ω={(x , y )|(x−k )2+( y −k2)2=4|k∨,k ∈Z}① 存在直线l，使得集合Ω中不存在点在l上，而存在点在l两侧；② 存在直线l，使得集合Ω中存在无数点在l上；（ ） A.① 成立②成立B.① 成立②不成立C.① 不成立②成立D.① 不成立②不成立三、解答题（本大题共有 5 题，满分 76 分）. 1. 如图所示三棱锥，底面为等边△ ABC，O为AC边中点，且PO⊥底面ABC，AP＝ AC ＝ 2． （1）求三棱锥体积V P− ABC ； （2）若M为BC中点，求PM与面PAC所成角大小． 2. f (x )=log3 (a+x )+log3 (6− x )． （1）若将函数f (x )图像向下移m (m>0)后，图像经过(3,0)，(5,0)，求实数a，m的值．第 3 页 | 共 5 页 （2）若a>﹣3且a≠0，求解不等式f (x )≤ f (6﹣ x )． 3. 如图，在同一平面上，AD＝ BC ＝ 6，AB＝ 20，O为AB中点，曲线CD上任一点到O距离相等，∠ DAB＝ ∠ ABC ＝ 120❑∘，P，Q关于OM对称，MO⊥ AB； （1）若点P与点C重合，求∠ POB的大小； （2）P在何位置，求五边形MQABP面积S的最大值． 4. 设有椭圆方程Γ : x2a2 + y2b2 =1 (a>b>0)，直线l: x+ y −4 ❑√2=0，Γ下端点为A，M在l上，左、右焦点分别为F1(−❑√2,0)、F2(❑√2,0) ． （1）a＝ 2，AM中点在x轴上，求点M的坐标； （2）直线l与y轴交于B，直线AM经过右焦点F2，在△ ABM中有一内角余弦值为35，求b； （3）在椭圆Γ上存在一点P到l距离为d，使|P F1|+|P F2|+d=6，随a的变化，求d的最小值． 5. 数列{an}对任意n∈ N∗且n≥2，均存在正整数i∈[1,n﹣1]，满an+1=2an−ai，a1=1， a2=3． （1）求a4可能值； （2）命题p：若a1,a2,⋯ ,a8成等差数列，则a9<30，证明p为真，同时写出p逆命题q，并判断命题q是真是假，说明理由；第 4 页 | 共 5 页 （3）若a2m=3m，(m∈ N∗)成立，求数列{an}的通项公式．第 5 页 | 共 5 页
