基本不等式典型例题

基本不等式典型例题（精选11篇）

基本不等式典型例题 第1篇

不等式的证明典型例题分析

例1 已知，求证：．

证明 ∵

∴，当且仅当时等号成立．

点评 在利用差值比较法证明不等式时，常采用配方的恒等变形，以利用实数的性质例2 已知均为正数，求证.．

分析 由于所证不等式两端都是幂和积的形式，且

证明

这时为不等正数，不失一般性，设，.为正数，可选用商值比较法.，.由指数函数的性质可知，所以

即

例3 已知

求证：..，．

分析 不等式的左端是根式，而右端是整式，应设法通过适当的放缩变换将左式各根式的被开方式转化为完全平方式．

证明 ∵

∴，．

即．

两边开方，得．

同理可得三式相加，得．． ．

例4 设，求证：

分析 当所证结论在形式上比较繁杂时，一般都可采用分析法.证明 要证明

只要证

因为，故只要证

由于函数故只要证

即证

只要证

即证

在上是减函数，这是显然成立的，故原不等式成立.点评 分析法是一种不断探求要证明不等式成立的充分条件的方法，表述证明过程时应予以注意.例5 已知都是正数，求证：

（1）

（2）

分析 用综合法证明.证明（1）∵

都是正数，则，∴

∴，即

（2）∵

都是正数，则，点评

变形.例6

证明

点评

∴

用不等式的平均值定理证明不等式时，要注意定理的条件，还要注意为运用定理而作出的适当已知，且，求证：（1）；（2）（1）∵，∴

（2）

其中的放缩是以给出的条件或已证结果被运用作为思考的目标.3

基本不等式典型例题 第2篇

高中数学辅导网http:///

概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结

不等式

一．不等式的性质：

1．同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：[同向相加，异向相减] 若，则（若，则），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减；

2．左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若，则（若，则）；[同向相乘，异向相除]

3．左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若

bn或

4．若

；若

1a，则，则，则

1b

。如

（1）对于实数a,b,c中，给出下列命题：

①若则； ④若

； ②若则 ⑤若

则则

； ③若

则

；

； ⑥若

a

⑦若

则；

则

； ⑧若

1a

1b，则。

其中正确的命题是______

（答：②③⑥⑦⑧）；

（2）已知

（答：

ca 的取值范围是______

（答：），）；（3）已知，则，且的取值范围是______

则

二．不等式大小比较的常用方法：

1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； 2．作商（常用于分数指数幂的代数式）； 3．分析法； 4．平方法；

5．分子（或分母）有理化； 6．利用函数的单调性； 7．寻找中间量或放缩法 ；

8．图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。如

（1）设

a 的大小

（答：当

时，且，比较logat和log

（时取等号）；当

时，京翰教育http:///

（时取等号））；

（2）设，，试比较p,q的大小

（答：）；

（3）比较1+logx3与且或

2logx2；当

时，1+logx3＞2logx2；当的大小（答：当

时，1+logx3＜

时，1+logx3＝2logx2）

三．利用重要不等式求函数最值时，你是否注意到：“一正二定三相等，和定积

最大，积定和最小”这17字方针。如（1）下列命题中正确的是 A、1x 的最小值是2 2

4x4x

0)的最大值是

0)的最小值是、C、（答：C）；

（2）若，则的最小值是______、（答：）；

（3）正数x,y满足，则 的最小值为______

（答：）；

4.常用不等式有：（1

(根据目标不等式左右 的运算结构选用)；（2）a、b、，且仅当时，取等号）；（3）若

b

a

如果正数a、b满足，则ab，则

（当

（糖水的浓度问题）。如

的取值范围是_________

（答：）

五．证明不等式的方法：比较法、分析法、综合法和放缩法(比较法的步骤是：

作差（商）后通过分解因式、配方、通分等手段变形判断符号或与1的大小，然后作出结论。).常用的放缩技巧有：

n

1n

如（1）已知，求证：

(2)已知，求证：（3）已知，且(4)若，求证：

；； ；

a、b、c

是不全相等的正数，求证：

lg

lg

ca

； 2

（5）已知，求证：若

1已知，求证：（8）求证：

n；

1n

；(6)

。

六．简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：（1）分解成若干个一次

因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；（3）根据曲线显现f(x)的符号变化规律，写出不等式的解集。如

（1）解不等式

（答：

（2）

不等式

（答：的解集是____ 或）； 的解集为的解集为

或）。

（3）设函数f(x)、g(x)的定义域都是R，且，的解集为，则不等式______

（答：）；（4）要使满足关于x的不等式（解集非空）的每一个x的值

和x

中的一个，则实数a的至少满足不等式取值范围是______.（答：[7，818)）

七．分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通

分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。如

（1）解不等式

2）； 的解集为，则关于x的不等式

（答：

（2）关于x的不等式 的解集为____________）.（答：

八．绝对值不等式的解法：

1．分段讨论法（最后结果应取各段的并集）：如解不等式

|

（答：）；

（2）利用绝对值的定义；

（3）数形结合；如解不等式

（答：

（4）两边平方：如

若不等式______。

（答：{）

九．含参不等式的解法：求解的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键．”注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是„”。注意：按参数讨论，最后应按参数取值分别说明其解集；但若按未知数讨论，最后应求并集.如

（1）若loga，则a

对

恒成立，则实数a的取值范围为）的取值范围是__________

（答：或

（2）解不等式

ax）；

1a

1a

或）时，时，（答：

}；

时，{x|或

；

提醒：（1）解不等式是求不等式的解集，最后务必有集合的形式表示；（2）

不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值。如关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为

__________（答：（－1,2））

十一．含绝对值不等式的性质：

a、b同号或有号或有

； a、b异

如设，实数a满足，求证：

十二．不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题：不等式恒成立问题的常规处理方

式？（常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法）1).恒成立问题

若不等式

若不等式

在区间D上恒成立,则等价于在区间D上如（1）设实数x,y满足，当时，c的取值范围是______）（答：；（2）不等式）；

在区间D上恒成立,则等价于在区间D上

对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围_____（答：

（3）若不等式取值

对满足的所有m都成立，则x的范围_____

（答：（（4）若不等式

n

，））；

对于任意正整数n恒成立，则实数a的取

值范围是_____

（答：）；

（5）若不等式对求m的 取值范围.（答：）

2).能成立问题

若在区间D上存在实数x使不等式上

；

若在区间D上存在实数x使不等式上的如

已知不等式范围____

（答：）

3).恰成立问题

若不等式在区间D上恰成立, 解集为D； 的所有实数x都成立，成立,则等价于在区间D

成立,则等价于在区间D

“供求曲线”典型例题探究 第3篇

一、供求曲线

一种商品的供给 (需求) 是指生产者 (消费者) 在一定时期内, 在各种可能的价格水平下, 愿意而且能够出售 (购买) 的该种商品的数量。用图形表示价格与数量的关系如图1、图2所示, P (Price) 表示价格, Q (Quantity) 表示数量, S (Supply) 表示供给曲线, D (Demand) 表示需求曲线, 其中纵轴OP是自变量, 横轴OQ是因变量。

从如图1、图2中可以看出, 价格与供给数量成正比;价格与需求数量成反比。这就把教材关于供求关系影响价格的文字叙述转化为图形。

二、均衡价格

均衡价格是供给和需求在一定条件下相互作用、相互制约的结果。

把图1、图2整合后得到图3 (供求曲线) 。供给曲线S与需求曲线D的交点E (P0, Q0) 表示某种商品供求平衡 (市场均衡) , P0就是均衡价格。但市场上商品供需数量和价格并非一成不变, 所以曲线会出现左右平移现象。

1.供给影响价格

假定:人们对西瓜的需求量不变, 西瓜刚刚上市, 由于供给数量少, 价格会上涨;当西瓜大量上市时, 由于供给量增加, 价格会下跌。这就是供求关系影响价格。此时供给曲线S则会向左右平移, 如图4所示。

从图4可直观看出, 在需求量不变 (需求曲线D保持不动) 的情况下, 供给曲线S向左平移到S1, 同时交点E运动到E1, 表示西瓜供给量减少, 价格上涨;供给曲线S向右平移到S2, 此时交点E运动到E2, 则表示西瓜供给量增加, 价格下跌。

2.需求影响价格

同理, 如图5所示。比如, 西双版纳是典型的旅游城市, 宾馆房间价格受到旅游季节的影响。在这里, 房间供给量一定 (供给曲线S保持不动) 。在旅游旺季, 需求曲线D向右平移到D1, 交点E运动到E1, 表示房间需求量增加, 价格上涨;而旅游淡季, 需求曲线D向左平移到D2, 交点E运动到E2, 则表示房间需求量减少, 价格下跌。

例1【2013年新课标卷Ⅰ第12题】2012年, 某县农民种植的土豆产量增大, 但市场没有相应的扩充, 农民不得不低价销售, 收入不增反降。图6中, 能够反映这种“丰产不丰收”经济现象的是 ()

A.1B.2C.3D.4

解析:抓住关键词“丰产不丰收”, “丰产”即供给量增加;“不丰收”即价格下跌。粮食是刚性需求, 可理解为需求量不变 (需求曲线D保持不动) , 所以只能是供给曲线S向右平移到S′, 所以得出答案为B。

三、最高限价和最低限价

1.最高限价

最高限价也称为限制价格, 它是政府规定的某种产品的最高价格。最高限价总是低于市场的均衡价格。如图7所示, P1为最高限价。

最高限价的目的是抑制某些产品的价格上涨, 尤其是为了对付通货膨胀。为了限制某些行业, 特别是垄断性很强的行业, 实行最高限价, 这有利于保持市场物价的基本稳定, 保持人民生活的基本安定, 并且体现国家的价格政策。政府制定最高限价的原因一般是出于对公平的考虑。如在战争或饥荒时, 政府会为生活必需品制定最高限价, 使穷人能够负担得起, 以利于社会稳定。

P从图7可以看出, 最高限价会导致商品供不应求 (Q1<Q2) 。比如, 国家发改委对“甲巯咪唑片”实行最高限价, 但由于无利可图, 生产厂家 于2013年集体停产。这导致众多甲亢患者无药可买。就此看出, 最高限价的初衷是为了减轻人民负担, 但如果过于忽视生产者利益, 最终受害的还是人民群众。此时政府应该加大对该类企业的财政补贴, 以提高企业生产积极性, 真正做到利为民所谋。

2.最低限价

最低限价也称为支持价格, 它是政府所规定的某种产品的最低价格, 最低限价总是高于均衡价格。如图8所示, P1为最低限价。

政府实行最低限价通常是为了扶植某些行业的发展。对农产品实行最低限价是很多国家普遍采取的政策。在实施这一政策时, 市场往往会出现供大于求的状况 (Q2>Q1) , 此时政府就会收购市场上过剩的农产品, 防止出现“丰产不丰收”的现象, 从而保护农民的生产积极性。

P例2【2013年新课标卷Ⅱ第15题】支持价格是指一国为了支持农业的发展而对粮食等农产品所规定的最低收购价格。我国某农产品的需求曲线D和供给曲线S如图9所示。该产品的支持价格和供给数量分别为 ()

A.P0, Q0B.P1, Q2C.P1, Q4D.P2, Q1

解析:支持价格 (最低限价) 要高于均衡价格, 因此纵坐标为P1, 供给数量在供给曲线S上, 相对应的横坐标为Q4, 所以此题答案为C。

中考中不等式（组）典型例题解析 第4篇

例1 （2014·山东威海）已知点p（3-m，m-1）在第二象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）.

经预算，企业最多支出89万元购买设备，且要求月处理污水能力不低于1 380吨.

（1） 该企业有几种购买方案？

（2） 哪种方案更省钱，说明理由.

【分析】本题考查了用不等式组解决实际问题，解题关键是根据已知条件，寻找不等量关系，建立不等式模型来求解.

（1） 设购买污水处理设备A型号x台，则购买B型号（8-x）台，根据企业最多支出89万元购买设备，要求月处理污水能力不低于1 380吨，列出不等式组，然后找出最合适的方案即可.

（2） 计算出每一方案的花费，通过比较即可得到答案.

解：设购买污水处理设备A型号x台，则购买B型号（8-x）台，根据题意，得

12x+10（8-x）≤89，200x+160（8-x）≥1 380，

解这个不等式组，得：2.5≤x≤4.5.

∵x是整数，∴x=3或x=4.

当x=3时，8-x=5；

当x=4时，8-x=4.

∴有2种购买方案：第一种是购买3台A型污水处理设备，5台B型污水处理设备；

第二种是购买4台A型污水处理设备，4台B型污水处理设备.

（2） 当x=3时，购买资金为12×3+10×5=86（万元），

当x=4时，购买资金为12×4+10×4=88（万元）.

因为88>86，

所以为了节约资金，应购污水处理设备A型号3台，B型号5台.

答：购买3台A型污水处理设备，5台B型污水处理设备更省钱.

【点评】列不等式（组）解应用题的关键是根据题意找出不等量关系，再根据相应的关系列出不等式（组）. 要注意通常不等关系的给出总是以“至少”“少于”“不超过”“最大”等关键词作为标志. 有时解出不等式（组）后，还要根据实际情况适当取舍，选出符合要求的答案.

例6 （2014·贵州黔东南）某超市计划购进甲、乙两种玩具，已知5件甲种玩具的进价与3件乙种玩具的进价的和为231元，2件甲种玩具的进价与3件乙种玩具的进价的和为141元.

（1） 求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元？

（2） 如果购进甲种玩具有优惠，优惠方法是：购进甲种玩具超过20件，超出部分可以享受7折优惠，若购进x（x>0）件甲种玩具需要花费y元，请你求出y与x的函数关系式；

（3） 在（2）的条件下，超市决定在甲、乙两种玩具中选购其中一种，且数量超过20件，请你帮助超市判断购进哪种玩具省钱.

【分析】本题综合考查二元一次方程组、一次函数、一元一次不等式的应用.

（1） 设每件甲种玩具的进价是x元，每件乙种玩具的进价是y元，根据“5件甲种玩具的进价与3件乙种玩具的进价的和为231元，2件甲种玩具的进价与3件乙种玩具的进价的和为141元”列出方程组解决问题；

（2） 分情况讨论，针对甲种玩具数量不大于20件、大于20件，分别列出函数关系式即可；

（3） 设购进玩具x件（x>20），分别表示出购买甲种和乙种玩具的费用，建立不等式解决问题.

解：（1） 设每件甲种玩具的进价是x元，每件乙种玩具的进价是y元，由题意得

5x+3y=231，2x+3y=141，解得x=30，y=27.

（2） 当0

当x>20时，

y=20×30+（x-20）×30×0.7=21x+180.

（3） 设购进玩具x件（x>20），则乙种玩具花费27x元.

当27x=21x+180时，x=30，

即当购进玩具正好30件时，选择购其中任一种皆可；

当27x>21x+180时，x>30，

即当购进玩具超过30件时，选择购甲种玩具省钱；

当27x<21x+180时，x<30，

即当购进玩具少于30件且大于20件时，选择购乙种玩具省钱.

【点评】在综合运用方程、函数、不等式的知识来解决实际问题时，要认真审题，找出题目的数量关系，正确列式解决问题.

基本不等式典型例题 第5篇

例5-2-7已知a，b，c∈R+，证明不等式：

当且仅当a=b=c时取等号。

解用综合法。因a＞0，b＞0，c＞0，故有

三式分边相加，得

当且仅当a=b=c时取等号。

例5-2-8设t＞0。证明：对任意自然数n，不等式 tn-nt+(n-1)≥0

都成立，并说明在什么条件下等号成立。

解当n=1时，不等式显然成立，且取等号。

当n≥2时，由幂分拆不等式，可得以下n-1个不等式： t2+1≥t+t，t3+1≥t2+t，„，tn-1+1≥tn-2+t，tn+1≥tn-1+t

以上各式当且仅当t=1时取等号。把它们分边相加，得

故对任意n∈N，不等式获证。等号成立的条件是n=1，或t=1。-1-

注①在以上不等中令t=1+x(x＞-1)，即得著名的贝努利不等式(1+x)n≥

1+nx

例5-2-9设a，b，c都是正数，证明不等式

当且仅当a=b=c时取等号。

分析本例有多种精彩证法。根据对称性，可从左边一项、两项入手，当然也可根据平均值不等式或幂分拆不等式从整体入手。

解[法一]从一项入手，适当配凑后由平均值不等式知

三式分边相加，即得

时，上式取等号。

[法二]从两入手，利用幂分拆不等式，有

同理有

三式分边相加，得

[法三]从整理入手，原不等式等价于

进一步证明参考习题5-2-7(1)解答。

[法四]由平均值不等式x2+(λy)2≥2λxy(x，y，∈R+)的变式

三式分边相加，得

所以

注从证法4我们看到，利用平均值不等式x2+(λy)2≥2λxy(x，式不等式，思路自然，简捷明快，颇具特色。

例5-2-10已知关于x的实系数方程x2+px+q=0有两个实数根α，β。证明：若|α|＜2，|β|＜2，则|q|＜4，且2|p|＞4+q。

解先证|q|＜4，由韦达定理知 |q|=|αβ|=|α|·|β|＜2×2=4 再证2|p|＞4+q。

欲证不等式即0≤2|α+β|＜4+αβ。故只须证 4(α+β)2＜(4+αβ)

2即4α+8αβ+4β2＜16+8αβ+α2β2 从而只须证

16-4α2-4β2+α2β2＞0

即(4-α2)(4-β2)＞0

由|α|＜2，|β|＜2，知α2＜4，β2＜4，故最后不等式成立，从而原不等式得证。

例5-2-11证明：若a，b，c是三角形的三边，则 3(ab+bc+ca)≤(a+b+c)2＜4(ab+bc+ca)当且仅当三角形为正三角形时，左边取等号。解左边不等式等价于

3(ab+bc+ca)≤a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)欲证此不等式成立，只须证 ab+bc+ca≤a2+b2+c2 即证

2(a2+b2+c2)-2(ab+bc+ca)≥0 左边配方即为

(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≥0

此不等式显然成立，当且仅当a=b=c，即三角形为正三角形时取等号。故左边不等式获证。

欲证右边不等式，仿上只须证 a2+b2+c2＜2(ab+bc+ca)从而只须证

(ab+ac-a2)+(ab+bc-b2)+(bc+ca-c2)＞0 即证

a(b+c-a)+b(a+c-b)+c(b+a-c)＞0

由于a，b，c是三角形的三边，此不等式显然成立，故右边不等式获证。综上所述，原不等式得证。

例5-2-12设f(x)=x2+px+q(p，q∈R)，证明：

(2)若|p|+|q|＜1，则f(x)=0的两个根的绝对值都小于1。解用反证法

但是，|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|≥f(1)-2f(2)+f(3)

=(1+p+q)-2×

(4+2p+q)+(9+3p+q)=2(ii)

(i)与(ii)矛盾，故假设不成立，即原命题成立。

(2)假设f(x)=0的两根x1，x2的绝对值不都小于1，不妨设|x1|≥1，那么由韦达定理，有

|p|=|-(x1+x2)|=|x1+x2|≥|x1|-|x2|≥1-|x2| |q|=|x1x2|=|x1|·|x2|≥|x2| 两式分边相加，得 |p|+|q|≥

1这与题设矛盾，故假设不成立，即原命题得证。

不等式的证明方法经典例题 第6篇

不等式的证明是高中数学的一个难点，证明方法多种多样，近几年高考出现较为形式较为活跃，证明中经常需与函数、数列的知识综合应用，灵活的掌握运用各种方法是学好这部分知识的一个前提，下面我们将证明中常见的几种方法作一列举。

a2b2ab注意ab2ab的变式应用。常用(其中a,bR)来解决有2222关根式不等式的问题。

一、比较法

比较法是证明不等式最基本的方法，有做差比较和作商比较两种基本途径。

1、已知a,b,c均为正数，求证：

111111 2a2b2cabbcca

二、综合法

综合法是依据题设条件与基本不等式的性质等，运用不等式的变换，从已知条件推出所要证明的结论。

2、a、b、c(0,)，abc1，求证：

4a2b2c24413

3、设a、b、c是互不相等的正数，求证：abcabc(abc)

4、知a,b,cR，求证:

a2b2b2c2c2a2(abc)

211(1)(1)9xy5、x、y(0,)且xy1，证：。

6、已知a,bR,ab1求证：11111.ab9

三、分析法

分析法的思路是“执果索因”：从求证的不等式出发，探索使结论成立的充分条件，直至已成立的不等式。

7、已知a、b、c为正数，求证：

2(ababc3ab)3(abc)23

8、a、b、c(0,)且abc1，求证abc3。

四、换元法

换元法实质上就是变量代换法，即对所证不等式的题设和结论中的字母作适当的变换，以达到化难为易的目的。

9、b1，求证：ab(1a2)(1b2)1。

22xy1，求证：2xy210、114.abbcac1222212、已知1≤x＋y≤2，求证：≤x－xy＋y≤3．

211、已知a>b>c,求证：

13、已知x－2xy＋y≤2，求证：| x＋y |≤10．

14、解不等式5x221x1＞

2215、－1≤1x－x≤2．

五、增量代换法

在对称式(任意互换两个字母，代数式不变)和给定字母顺序(如a＞b＞c)的不等式，常用增量进行代换，代换的目的是减少变量的个数，使要证的结论更清晰，思路更直观，这样可以使问题化难为易，化繁为简．

16、已知a，bR，且a＋b = 1，求证：(a＋2)＋(b＋2)≥

六、利用“1”的代换型

2225． 2111已知a,b,cR,且 abc1,求证： 9.abc17、七、反证法

反证法的思路是“假设矛盾肯定”，采用反证法时，应从与结论相反的假设出发，推出矛盾的过程中，每一步推理必须是正确的。

18、若p＞0，q＞0，p＋q= 2，求证：p＋q≤2．证明：反证法 33119、已知a、b、c（0，1），求证：(1a)b，(1b)c，(1c)a，不能均大于4。

20、已知a,b,c∈（0，1），求证：（1－a）b,（1－b）c,（1－c）a 不能同时大于

1。

421、a、b、cR，abc0，abbcca0，abc0，求证：a、b、c均为正数。

八、放缩法

放缩时常用的方法有：1去或加上一些项2分子或分母放大（或缩小）3用函数单调性放缩4用已知不等式放缩

22、已知a、b、c、d都是正数，求证：1＜＜2．

bdac＋＋＋

abcbcdcdadab23、nN，求证：*2(n11)112131n2n1。

24、A、B、C为ABC的内角，x、y、z为任意实数，求证：x2y2z22yzcosA2xzcosB2xycosC。

证

九、构造函数法

构造函数法证明不等式24 设0≤a、b、c≤2，求证：4a＋b＋c＋abc≥2ab＋2bc＋2ca．

25、设a、b∈R，且a＋b =1，求证：(a＋2)＋(b＋2)≥222225． 226、设a＞0，b＞0，a＋b = 1，求证：2a1＋2b1≤22． 1．实数绝对值的定义:

|a|=

这是去掉绝对值符号的依据，是解含绝对值符号的不等式的基础。

2．最简单的含绝对值符号的不等式的解。

若a>0时，则

|x|

|x|>a x<-a或x>a。

注:这里利用实数绝对值的几何意义是很容易理解上式的，即|x|可看作是数轴上的动点P(x)到原点的距离。

3．常用的同解变形

|f(x)|

|f(x)|>g(x)f(x)<-g(x)或f(x)>g(x)；

|f(x)|<|g(x)| f2(x)

4．三角形不等式:

放缩法证明数列不等式经典例题 第7篇

主要放缩技能： 1.11111112 nn1n(n1)nn(n1)n1n

1144112()

22n4n1(2n1)(2n1)2n12n1n24

2. 2)

 







 4.2n2n2n1115.n (21)2(2n1)(2n2)(2n1)(2n11)2n112n16.n22(n1)n11 n(n1)2n1n(n1)2n1n2n(n1)2n1

x2xn*c(nN)例1.设函数y的最小值为，最大值为，且abnnn2x1

（1）求cn；（2）证明：

例2.证明：161

例3.已知正项数列an的前n项的和为sn，且an

2（1）求证：数列sn是等差数列； 11117 444c14c2c3cn417 12sn，nN*； an

（2）解关于数列n的不等式：an1(sn1sn)4n8

（3）记bn2sn,Tn331111Tn

，证明：1 2b1b2b3bn

例4.已知数列an满足：n2anan1； 是公差为1的等差数列，且an1nn

（1）求an；（2

2 例5.在数列an中，已知a12,an1an2anan1；

（1）求an；（2）证明：a1(a11)a2(a21)a3(a31)an(an1)3

2n1an例6.数列an满足：a12,an1； n(n)an22

5112n

（1）设bn，求bn；（2）记cn，求证：c1c2c3cn 162n(n1)an1an

例7.已知正项数列an的前n项的和为sn满足：sn1,6sn(an1)(an2)；

（1）求an；

（2）设数列bn满足an(2n1)1,并记Tnb1b2b3bn，b

求证：3Tn1log2n

(a3)（函数的单调性，贝努力不等式，构造，数学归纳法）

例8.已知正项数列an满足：a11,nan1(n1)an1，anan1

记b1a1,bnn[a1

（1）求an；

（2）证明：(1

基本不等式典型例题 第8篇

解不等式x2-3x+2x2-2x-3＜0.

该题实质上是解一个分式不等式，解题中需要渗透重要的数学思想，如转化思想、分类讨论的思想、函数与方程的思想等.笔者对此题进行了变式研究.

根据不等式的特点，易联想到不等式号“＜”变为“≤或≥”或“＞”，于是得到下面的变式1、2.

变式1 解不等式x2-3x+2x2-2x-3≤0.

解析 只要注意到分母不为零，易得不等式的解集为{x|-1＜x≤1或2≤x＜3}.

变式2 解不等式x2-3x+2x2-2x-3＞0.

解析 此题可以按照课本介绍的方法求解：转化为等价于两个不等式组的解集的并集，但过程较为繁杂，运算量也比较大.事实上，解此类不等式可以用“数轴标根法”，也称“穿针引线法”：

根据积的符号法则，可以将原不等式等价变形为

（x2-3x+2）（x2-2x-3）＞0，

即（x+1）（x-1）（x-2）（x-3）＞0.

令（x+1）（x-1）（x-2）（x-3）=0，可得零点x=-1，1，2，3，将数轴分成五部分（如下图）.

由图可得所求不等式的解集为：{x|x＜-1或1＜x＜2或x＞3}.

评注 分式不等式切忌去分母，一律移项通分化为f（x）g（x）＞0（或＜0）的形式，然后转化为f（x）g（x）＞0或f（x）g（x）＜0，再按整式不等式的解法进行求解.

一般地，数轴标根法分“化简——标根——求解”三步：① 化简：将不等式化为与它同解的基本不等式f（x）=（x-x1）（x-x2）…（x-xn）＞0（＜0）；

② 标根：将f（x）=0的n个根标到数轴上，将数轴分为n+1个区间；

③ 求解：在所得的n+1个区间中自左向右画曲线，则取出奇序数区间(+)为f（x）＞0的解，取出偶序数区间(-)为f（x）＜0的解.

如果分式不等式所对应方程出现重根时，又如何解呢？于是，得到变式3.

变式3 解不等式:（1） x2-4x+4x2-2x-3＜0；（2） （x2-4x+4）（x2-4）x2-2x-3＜0.

解析 （1） 原不等式等价于（x-2）2（x2-2x-3）＜0，出现两个重根2.事实上，当x≠2时，只要去掉因式（x-2）2，等价于x2-2x-3＜0，所以，原不等式的解集为（-1，2）∪（2，3）.

（2） 原不等式等价于（x-2）3（x+2）（x-3）（x+1）＜0，即（x-2）（x+2）（x-3）（x+1）＜0，所以，原不等式的解集为（-2，-1）∪（2，3）.

评注 ① 将不等式化为与它同解的基本不等式f（x）=（x-x1）（x-x2）…（x-xn）＞0（＜0）.当因式中出现“正项”用“舍项法”；当因式中出现“偶次方项（x+a）2m”时用“挖点法”（去掉点x=-a）；当因式中出现“奇次方项（x+b）2m+1”时用“视一法”（看成一次式x+b）.② 当同解的不等式为f（x）=（x-x1）（x-x2）…（x-xn）≥0（≤0）时，直接去掉因式中的正项.

继续研究下去，如果不等式的右边不是0呢？于是又有了下面的变式4.

变式4 解不等式x2-3x+2x2-2x-3＜-15.

解析 移项通分，得6x2-17x+7x2-2x-3＜0，即（2x-1）（3x-7）（x-3）（x+1）＜0，由数轴标根法，得原不等式的解集为-1，12∪73，3.

评注 分式不等式两端如果均不是零，通常是通过移项通分转化为一端为零的不等式.

如果不等式中含有参数呢？

变式5 解关于x的不等式x2-（a+1）x+ax2-2x-3＜0.

解析 原不等式转化为：（x-a）（x-1）（x+1）（x-3）＜0，根据条件无法确定a与-1，1，3的大小关系，因此需对a进行分类讨论：

当a＜-1时，原不等式的解集为{x|a＜x＜-1或1＜x＜3}；

当a=-1时，原不等式的解集为{x|1＜x＜3}；

当-1＜a＜1时，原不等式的解集为{x|-1＜x＜a或1＜x＜3}；

当a=1时，原不等式的解集为{x|-1＜x＜1或1＜x＜3}；

当1＜a＜3时，原不等式的解集为{x|-1＜x＜1或a＜x＜3}；

当a=3时，原不等式的解集为{x|-1＜x＜1}；

当a＞3时，原不等式的解集为{x|-1＜x＜1或3＜x＜a}.

评注 解含有参数的不等式时，要注意对参数分类讨论，做到“既不重复，又不遗漏”.

前面的变式题均是求解不等式，现在反过来，如果已知不等式的解集而求不等式中含有的参数，该如何求解呢？

变式6 已知关于x的不等式x2-ax+bx2-2x-3＜0的解集为{x|-1＜x＜1或2＜x＜3}，求a、b的值.

解析 原不等式等价于（x2-ax+b）（x+1）（x-3）＜0，而方程（x2-ax+b）（x+1）（x-3）=0的根为-1，1，2，3，则x2-ax+b=0的根为1，2，根据韦达定理，得a=1+2=3，b=1×2=2，即a=3，b=2.

评注 在解各类不等式时，不难发现，不等式的解集区间的端点值不外乎来源两个方面：（1） 使构成不等式的代数式有意义的x的区间的端点值；（2） 不等式f（x）＞0对应的方程f（x）=0的根.因此，在所给的不等式的解集区间的端点值中，去掉使构成不等式的代数式有意义的x的区间的端点，余下的端点值就是原不等式对应的方程的根，根据此方程的根，就可以顺利确定参数的值及参数之间的关系.

变式7 当a，b满足什么关系式时，不等式x2-ax+bx2+2x+3＜2恒成立？

解析 原不等式等价于x2+（a+4）x+6-bx2+2x+3＞0.

由于x2+2x+3=（x+1）2+1＞0，所以原不等式等价于x2+（a+4）x+6-b＞0.

故只需Δ=（a+4）2-4（6-b）＜0，即（a+4）2＜4（6-b）.

评注 注意到分母x2+2x+3恒正，本题即转化为二次不等式x2+（a+4）x+6-b＞0的恒成立问题，这是我们比较熟悉的，用判别式即可解答.

基本不等式典型例题 第9篇

例8 过球面上两点作球的大圆，可能的个数是（）．

A．有且只有一个B．一个或无穷多个

C．无数个D．以上均不正确

分析：对球面上两点及球心这三点的位置关系进行讨论．当三点不共线时，可以作一个大圆；当三点共线时，可作无数个大圆，故选B．

答案：B

基本不等式典型例题 第10篇

例1．已知地球的半径为R，球面上A,B两点都在北纬45圈上，它们的球面距离为求B点的位置及A,B两点所在其纬线圈上所对应的劣弧的长度． R，A点在东经30上，3分析：求点B的位置，如图就是求AO1B的大小，只需求出弦AB的长度．对于AB应把它放在OAB中求解，根据球面距离概念计算即可．

解：如图，设球心为O，北纬45圈的中心为O1，R，所以AOB=，33OAB为等边三角形．于是ABR． 由A,B两点的球面距离为由O1AO1BRcos452R，2O1A2O1B2AB2．即AO1B=

． 2又A点在东经30上，故B的位置在东经120，北纬45或者西经60，北纬45．

流水典型例题 第11篇

根据施工组织和技术要求，基础施工完成后至少1Od才能施工墩身。

计算排架施工的流水工期(列出计算过程），并绘制流水横道图。

有问题？点击纠错

笔记：10+10+15+20+15+10=80天；基础0~37，墩柱20~70，盖梁50~80 看看别人记的

1994年4月22日，某公路工程处第三项目经理部在某立交桥施工期间，对立交作业 区域内原有厂房拆除过程中，发生了一起因被拆除的建筑物坍塌，导致2人死亡的事故。建设单位委托第三项目部进行3000m厂房拆除工程的施工，并要求4月底前拆完。条件是第三项目经理部向建设单位上交4万元，拆除下来的钢筋由第三项目经理部支配。项目经理K在工期紧，项目自身无能力进行此项拆除工程和民工队负责人L多次要求承 包此项拆除工程的情况下，最终将此项工程分包给了L民工队。条件是以拆除下来的钢 筋作为支付L的拆除施工的工程款，并于3月27日签订了合同书。

厂房是砖混结构的二层楼房。民工队为了能以最小的投人获得最多的收益，不支搭拆 除工程的脚手架，而是站在被拆除厂房的楼板上，用铁锤进行作业。4月22日，厂房只 剩最后一间约16m

22的休息室时，民工L、H和C站在休息室顶棚（二楼地板，二楼已被拆除)上，继续用铁锤捶击顶棚。同日下午16: 45左右，房屋中心部位的顶棚水泥巳基本 脱落，民工L、H和C仍用铁锤捶击暴露出来的钢筋。只是顶棚呈V字形折弯，继而拉 倒两侧墙壁，C及时跳下逃生，L和H被迅速缩口的顶棚V字形折弯包夹。L在送往医 院途中死亡，H在经医院抢救1h后死亡。请从技术方面和管理方面分别对本起事故进行分析。答疑：参考答疑： 事故原因分析： 1)技术方面：

作业人员未支搭拆除工程施工脚手架，站在被拆除建筑物上进行拆除作业，违反了拆 除工程施工操作规程，是导致此次事故发生的直接原因。2)管理方面：

①建设单位未在拆除工程施工前向建设行政主管部门报送材料和备案。

②在资质管理上存在一系列的不规范行为。从建设单位到施工项目到民工作业队都 视国家关于押除工程的资质要求于不顾，任意委托或分包。

③在没有厂房图纸及技术资料的情况下，该项目负责人就允许拆除工程开工，未对 拆除工程进行专门的书面的安全技术交底，未以书面形式明确拆除方案。

④该工程处及其第三项目经理部的安全教育、安全检查制度不落实，对主体工程以 外的部位和民工作业队的安全管理中，存留死角，连续20多天的典型严重违章作业没有 被发现、没有被制止。

四川省某桥梁施工工地临边设施进行改造，在原来天然坡度约22°的岩石地表平整场 地，即在原地表向下开挖近5m，并距水厂蓄水池3m左右，施工单位及水厂厂方为安全 起见，通过熟人介绍，请了一高级工程师对扩建开挖坡角是否会影响水厂蓄水池安全作一 技术鉴定。该离级工程师在其出具的书面技术鉴定中认定：“该水池地基基础稳定，不可 能产生滑移形成滑坡影响安全；可以从距水池3m处按5%开挖放坡，本人负该鉴定 的技术法律责任”。最后还盖了县勘察设计室的“图纸专用章”予以认可。

工程于7月初按此方案平基结束后，就开始厂房工程施工，至9月6日建成完工。然 而，就在9月7日下午5时许，边坡岩体突然崩塌，岩体及水流砸毁新建厂房两榀屋架，其中的工人3死5伤，酿成了一起重大伤亡事故。

采用系统工程分析方法试分析该工程事故发生的原因以及对预防类似事故的看法。答疑：参考答疑：

该工程环境条件复杂，施工爆破、水池渗漏、坡体卸荷变形等不确定的不利影响因素 甚多，在没有基本的勘察设计资料的前提下采用直立边坡，破坏了原边坡的稳定坡角，而且未采用任何有效的支挡结构措施，该边坡失稳是必然会发生的。若有正确的工程鉴定，并严格按基建程序办事，采用经过勘察设计的岩石锚桩(或锚杆)挡墙和做好水池防渗处理 措施则是能够有效保证工程边坡安全的。

该高工的“技术鉴定”内容过于简略，分析评价肤浅、武断，未明确指出及贯彻执行 现行勘察设计技术规范规定的技术原则及技术方法，主要结论建议缺乏技术依据，未经设 计计算的有关边坡稳定的结论是不恰当的。

该“技术鉴定”虽然盖有县勘察设计室的“图纸专用章”，但却无一般勘察、设计单 位通常执行的“审核”、“批准”等技术管理和质量保证体系，从技术鉴定的内容到形式都 缺乏严肃性；而且这种技术鉴定缺乏委托方与承担方之间的有关目的、任务、质量要求等 基本的书面约定，这就从根本上影响了技术鉴定工作的深度和技术质量。

‘综上所述，此次事故造成人员伤亡，经济损失巨大，以及负面社会影响，主要是由于 违章进行工程鉴定、处理方案错误所致。从事工程鉴定的技术人员以及管理者应从此次事 故中汲取经验教训，严格按照国家的统一鉴定方法与标准进行工程鉴定。

某年某月某日13时26分，某公路施工危险化学品仓库发生特大爆炸事故。爆炸引起大 火，1h后着火区发生第二次强烈爆炸’造成更大范围的火灾。直到6日凌晨5时，才扑灭这场 大火。这起事故造成15人死亡，200多人受伤(其中重伤25人)，直接经济损失超过2.5亿元。

经事故调查，专家组认定仓库违章改做化学危险品仓库以及仓库内化学危险品违章存 放是事故的主要原因；仓库4号仓内混存的氧化剂和还原剂接触是事故的直接原因。"8.5”特大爆炸火灾事故是一起严重的责任事故。简述重大危险源的概念。答疑：参考答疑：

广义上说，可能导致重大事故发生的设备设施和场所都可能称为重大危险源。《安全生产法》第九十六条规定：“重大危险源，是指长期地或者临时地生产、搬运、使用或者储存危险物品，且危险物品的数量等于或者超过临界量的单元(包括场所和设施)。”

该施工企业对“四不放过”的原则表述不正确，“四不放过”的原则为

1)事故原因没有查清不放过； 2)事故责任者和职工没有受到教育不放过； 3)事故责任者没有受到处理不放过； 4)防范措施没有制定不放过。

某公路工程项目（K0+000~K6+000)依法进行招标。该项目有两座公路隧道施工项 目起止桩号分别位于起Kl+100~K2+200t和K4+250~K5+300,有两座公路桥梁，一 座位于K0+500单跨为120m,另一座位于K3 + 600单跨为110m。招标人在招标文件中 规定，投标人需要桥梁工程一级和隧道工程一级以上的专业资质，接受联合体投标；对获 得本地区优秀施工质量奖项的投标人在评标时业绩分加3分。资格预审采用合格制，考虑到减少评标工作量，招标人在资格申请人须知中补充规定，如果通过资格预审的申请人一 旦超过6人时采用抽签确定其中6人。

在进行资格预审时，某申请人由A桥梁公司和B隧道公司组成联合体，A桥梁公司 的专业资质是桥梁工程一级和隧道工程二级，B隧道公司的专业资质是桥梁工程二级和隧 道工程一级，并签订了 AB联合体协议书。AB联合体协议书约定A桥梁公司负责该工程 项目的两座桥梁施工，B隧道公司负责该工程绩目的两座隧道施工。招标人在进行资格审 查时认为，根据法律和申请人须知的规定“由同一专业的单位组成的联合体，按照资质等 级较低的单位确定资质等级”；将AB联合体确定为桥梁工程二级和隧道工程二级，未达 到招标的最低资质要求，因此未通过资格预审。

招标人在进行资格审查时，确定AB联合体确定为桥梁工程二级和隧道工程二级 正确吗？为什么？ 答疑：参考答疑：

招标人在进行资格审查时，确定AB联合体确定为桥梁工程二级和隧道工程二级不 正确。因为“考核资格条件应以联合体协议书中规定的分工为依据，不承担联合体协议有关 专业工程的成员，其相应的专业资质不作为该联合体成员中同一专业单位的资质进行考核”。在联合体协议书中已经约定A桥梁公司只从事桥梁工程施工，与其资质相符；而B隧道公 司只从事隧道工程施工，与其资质也相符合。应当认定为“桥梁工程一级和隧道工程一级资 质”。如果AB联合体协议书约定A桥梁公司负责K0+000~K3+000的桥梁和隧道工程施 工，B隧道公司负责K3+000~K6+000的桥梁和隧道工程施工，则这时就是“同专业按照资 质等级较低的单位确定资质等级”，该联合体就可以被认定为桥梁工程二级和隧道工程二级。

某项目经理在一次“加强成本管理，控制项目成本”的会议上就成本管理的原则和成 本控制的方法说了以下一番话：(1)成本管理原则：在该工程的成本管理中要实行成本最低化管理，即通过成本管理 的各种手段，促进不断降低施工项目成本，以达到可能实现最低的目标成本的要求；要实 行全面成本管理，即建设单位、监理单位、施工单位都要参与到成本管理的工作之中；要 实行成本责任制，使各部门、各班组和个人都来关心项目成本管理。

(2)成本控制方法：为了使成本管理取得好的效果，要认真编制施工图预箅，以施工 预算控制成本支出；要加强质量管理，按规范要求组织施工，严格控制质量成本，也就是 控制未达到质量标准而产生的损失费用；要定期开展“三同步”检查，即进度、质量、成 本要同步。

关于成本控制的方法，该项目经理的讲话有哪些不当之处？ 答疑：参考答疑：

成本控制方法中，关于质量成本的解释不对，质量成本是指项目为保证和提高产 品质量而支出的一切费用，以及未达到质量标准而产生的一切损失费用之和；关于“三同 步”的解释也不对，应该是统计核算、业务核算、会计核算的“三同步”（完成多少产值、消耗多少资源、发生多少成本同步)„

某承包商通过竞标取得某标段公路建设项目后，立即组织施工队伍进场施工。为保 证工期和控制成本，同时考虑到自身特点及业主和监理工程师要求，承包商决定将一 部分防护工程和部分通道与涵洞工程分包给另外承包商施工，报业主或监理工程师审 查后，该承包商与分包商签订了分包合同，在分包合同中明确了分包合同的主要 内容。

请说明各类工程分包合同的主要内容。答疑：参考答疑： 分包合同的主要内容：

1)工程范围和内容。分包合同应十分明确地划分工程范围，工作内容要详细说明，另外应附工程量清单。

2)工程变更。合同中应注明工程变更的确认程序和变更价款的分配办法。

3)支付条件。包括预付款的支付比例和扣还的方式；进度款的支付方法和时间；支 付货币的种类和汇率等。

4)保留金和缺陷责任期。包括保留金的扣除比例和返还时间、缺陷责任期的时 间等。5)拖延工期违约损失偿金。

6)双方的责任、权利和义务。总承包商在分包合同中可以转移责任义务和风险给分 包商，但应注意业主和监理并不因此而解除承包商的任何责任和义务。7)其他方面。诸如合同的变更、中止、解除、纠纷解决等条款，可以参照总承包合 同订立。

某一高速公路标段长10km，路段包含一座大桥和一个互通式立交，涵桐通道18个，路基土方均为路堤填筑。承包人进场后，项目部明确了各部门、各施工队和班组项目成本 考核内容，制订了降低施工项目成本的方法和途径。

请说明项目部制订的降低施工项目成本的主要方法和途径。答疑：参考答疑：

项目部制订的降低施工项目成本的主要方法和途径包括： 1)进行合同交底，使项目经理部全面了解投标报价、合同谈判、合同签订过程中的 情况。2)项目经理部应认真研读合同文件，对设计图纸进行会审，对合同协议、合同条款、技术规范进行精读，结合现场的实际情况，对可能变更的项目、可能上涨的材料单价等进 行预测，对项目的成本趋势做到心中有数。

3)企业根据项目编制的实施性施工组织设计、材料的市场单价以及项目的资源配置 编制并下达标后预算；项目经理部根据标后预算核定的成本控制指标，预测项目的阶段性目标，编制项目的成本计划，并将成本控制指标和成本控制责任分解到部门班组和个人，做到每个部门有责任，人人肩上有担子。

4)制定先进的、经济合理的施工方案。施工方案主要包括四项内容i施工方法的确 定、施工机具的选择、施工顺序的安排和流水施工的组织。

5)落实技术组织措施。落实技术组织措施，走技术与经济相结合的道路，以技术优 势来取得经济效益，是降低项目成本的又一个关键。

6)组织均衡施工，加快施工进度。7)降低材料成本。.8)提高机械利用率。

某城市的公路改建项目，业主为了控制工程造价，与设计方详细研究了各种成本控制 措施，要求通过成本管理的各种手段，不断促进降低施工项目成本’尽可能地以最低的成 本达到设计要求。施工方在面对业主提出的要求后也采取了一系列措施，选择适宜的施工 方案，降低材料成本，提高机械利用率，以降低施工成本获得最大的收益。

工程施工项目成本管理的原则有哪些？ 答疑：参考答疑：

工程施工成本管理的原则包括： 1)成本最低化原则； 2)全面成本管理原则； 3)成本责任制原则； 4)成本管理有效化原则； 5)成本管理科学化原则。有问题？点击纠错

防止钢筋混凝土结构出现构造裂缝，必须做好以下几个方面： 1)选用优质的水泥及优质骨料。

2)合理设计混凝土的配合比，改善骨料级配，降低水灰比，掺加粉煤灰等掺合料，掺加缓凝剂。3)避免混凝土搅拌很长时间后使用。

4)加强模板的施工质量，避免出现模板移动、鼓出等问题。5)避免出现支架下沉，脱模过早，横板的不均匀沉降。6)混凝土浇筑时要振动充分，混凝土浇筑后要加强养生工作

某三跨预应力混凝土连续刚构桥，跨度为80m+135m+80m，采用悬臂浇筑法对称 施工，挂篮采用自锚式桁架结构。在施工过程中发现，悬臂现浇混凝土箱梁拆模后准备张 拉预应力索时，箱梁腹板混凝土出现了裂缝，且是呈一种有规律地出现于与底板约呈45° 的斜裂缝。

试分析箱梁腹板混凝土出现裂缝的原因。答疑：参考答疑：

出现与底板呈45°斜裂缝的原因极大可能是该区域的主拉应力，超过了该处的预 应力索和普通钢筋的抗剪力及混凝土的抗拉强度。也有可能是混凝土拆模时间过早，混凝 土尚未达到其设计抗拉强度。, 除此之外其他的原因分析还有：

1)混凝土未达到拆模、张拉的龄期或强度。

2)腹板的非预应力普通钢筋网，钢筋间距较大，不能满足抗裂要求。

3)施工临时荷载超载或在作用点产生过大的集中应力

某三跨预应力混凝土连续刚构桥，跨度为80m+135m+80m，采用悬臂浇筑法对称 施工，挂篮采用自锚式桁架结构。在施工过程中发现，悬臂现浇混凝土箱梁拆模后准备张 拉预应力索时，箱梁腹板混凝土出现了裂缝，且是呈一种有规律地出现于与底板约呈45° 的斜裂缝。

采取什么措施可以防止此类裂缝的发生。答疑：参考答疑：

为了防止此类裂缝的发生可采取如下的措施:悬臂现浇混凝土箱梁腹板斜向裂缝的出现往往是设计、施工、材料、工艺等综合因素

作用的结果，原因比较复杂。在设计中应注意： 1)布置有弯起预应力筋部位，往往能有效地克服主拉应力。因此在无弯起预应力筋 部位应特别注意验算该部位的主拉应力，并布置相应的抗裂钢筋。

2)加密普通钢筋间距以增强抗裂性。必要时可在易发生斜向裂缝的区段，加设钢丝网片。

3)在预应力束张拉集中的近锚头区域，增设钢筋网片，提高抗压能力和分散集中应力。在施工中应注意: 1)施工工况、工艺流程必须与设计相符。如有变更应立即与设计单位联系，核箅无 误后方可施工。

2)混凝土未到龄期或强度，不能拆除模板。为掌握混凝土的实际强度，可在浇筑混 凝土时多制作几组混凝土试块，在不同龄期进行试压。有问题？点击纠错

某隧道二次衬砌为厚度40cm的C25模筑混凝土。采用先拱后墙法施工时，拱架支撑 变形下沉，承包人施工中存在泵送混凝土水灰比偏大；局部欠挖超过限值未凿除；模板移 动部分钢筋保护层厚度不足等因素，造成其中一段衬砲完工后顶部、侧墙均出现环向裂 缝，局部地段有斜向裂缝，严重者出现纵、环向贯通裂缝，形成网状开裂，缝宽最小 0.1mm,最大4mm，必须进行补救处理。

根据背景材料，请分析衬砌开裂原因。答疑：参考答疑： 衬砌开裂原因：