角平分线的特征

角平分线的特征（精选7篇）

角平分线的特征 第1篇

例1 已知△ABC的三个顶点坐标A (2, 3) , B (-2, -1) C (5, 0) , 求∠B的平分线所在的直线方程.

解法一 利用直线l1到直线l2的角的公式undefined

∠B的平分线所在直线BD到直线AB的角等于直线BC到BD的角.

设∠B的平分线BD所在直线的斜率为k.

直线AB的斜率undefined,

直线BC的斜率undefined

由题意得undefined, 即undefined,

解得k=-2或undefined

由图可知, ∠B的平分线所在直线的倾角为锐角, k=-2, 不合题意, 舍去.

即∠B的平分线所在直线BD的斜率为undefined, 且过点B (-2, -1) , 其直线方程的点斜式是undefined, 即x-2y=0.

解法二 利用点M (x0, y0) 到直线Ax+By+C=0的距离公式undefined的平分线BD上的点到角两边的距离处处相等.

首先由A, B, C三点坐标得∠B的两条边所在的直线方程:

直线AB的方程是x-y+1=0, 直线BC的方程是x-7y-5=0.

然后设D (x, y) 为∠B的平分线上任一点, 由点D到直线AB的距离等于点D到直线BC的距离, 有

undefined

化简, 得2x+y+5=0①, x-2y=0②.

由图可知, ∠B的平分线所在直线的倾角为锐角, ①不合题意要求舍.

即∠B的平分线所在直线BD的方程是x-2y=0.

解法三 利用角的两条边关于角平分线对称这一知识, 直线BC与直线BA关于∠B的平分线BD是对称的.

直线AB的方程是x-y+1=0.

设点C (5, 0) 关于直线BD的对称点为C′ (m, n) , 直线BD的斜率是k.

∵C′在直线AB上, ∴m-n+1=0. ①

undefined

直线BD过点B, 其直线的点斜式方程为

y+1=k (m+1) .

又 CC′的中点undefined在直线BD上,

则undefined

由①②③, 解得k=-2或undefined

∠B的平分线所在直线的倾角为锐角, k=-2不合题意, 舍去.

即∠B的平分线所在直线BD的方程是x-2y=0.

解法四 利用三角形内心公式, 即已知三角形三个顶点分别是A (x1, y1) , B (x2, y2) , C (x3, y3) , 三条边的边长分别是a=|BC|, b=|AC|, c=|AB|, 则三角形内心M的坐标为undefined

由A, B, C三点坐标, 得undefined

再由三角形内心公式, 得内心M的坐标为 (2, 1) .

则∠B的平分线所在直线过点B和点M, 其两点式方程为undefined, 即x-2y=0.

解法五 利用两个非零向量的夹角公式, 即已知两个非零向量a (a1, a2) , b (b1, b2) ,

则cossundefined

undefined是直线AB的一个方向向量.

undefined是直线BC的一个方向向量.

设∠B平分线所在直线的一个方向向量为v (v1, v2) ,

则v与v1的夹角等于v与v2的夹角.

∴cos〈v, v1〉=cos〈v, v2〉,

即undefined

整理, 得v1=2v2, 从而∠B平分线所在直线的斜率undefined

即∠B的平分线所在直线BD的斜率为undefined, 且过点B (-2, -1) , 其直线方程的点斜式是undefined, 即x-2y=0.

解法六 利用向量加法的平行四边形法则, 即以同一起点O的两个非零向量a, b为邻边做平行四边形OACB, 其中undefined则以O为起点的对角线

是直线AB的一个方向向量的单位向量.

undefined是直线BC的一个方向向量的单位向量.

设∠B平分线所在直线的一个方向向量为v (v1, v2) .

由于|e1|=|e2|, 由e1, e2为相邻两边构成的平行四边形为菱形, 对角线平分向量e1, e2的夹角, 则对角线v=e1+e2为∠B平分线所在直线的一个方向向量.

undefined

即∠B的平分线所在直线BD的斜率为undefined, 且过点B (-2, -1) , 其直线方程的点斜式是undefined, 即x-2y=0.

在求角平分线的这六种方法中, 前三种适用于角平分线存在斜率的情况下, 而后两种方法对于各种题型都适用.然而对于三角形中求特殊角的角平分线的直线方程, 我们还可以运用一些简单的方法, 结合图形求出直线方程.

例2 已知△ABC的三个顶点坐标A (2, 3) , B (1, 2) , C (4, 1) , 求∠A的平分线所在的直线方程.

解 由题意, 得直线AB的斜率undefined, 其倾角为45°, 直线AC的斜率undefined, 其倾角为135°, 所以∠A=90°, 其角平分线此时与x轴垂直, 从而不存在斜率, 且过点A (2, 3) , 则所在直线方程为x=2.

例3 已知△ABC的三个顶点坐标A (2, 3) , B (5, 3) , C (2, 7) , 求∠A的平分线所在的直线方程.

解 由题意, 得直线AB的斜率undefined, 则AB//x轴, 直线AC不存在斜率, 即AC⊥x轴.从而∠A=90°, 其角平分线所在直线的倾角为45°, 斜率k=tan45°=1, 且过点A (2, 3) , 其直线方程为y=x+1.

角平分线的性质教案 第2篇

学习目标：

1、通过动手实践探究角平分线的性质

2、熟练应用角平分线性质

3、会进行文字命题的论证

重点：角平分线性质的理解和应用

难点：文字命题的论证、角平分线性质的应用。

一、情境引入：

同学们，上一节课，我们学习了用尺规做一个角平分线的方法。小明同学准备把一个角的模型纸片得到一个角的平分线，但是粗心的小明忘了带作图工具。你能不用作图工具帮他画出这个角的平分线吗？（教师示意自己的模型纸片）

请同学们拿出准备好的∠AOB模型纸片，自己动手试一试

二、初探新知： 活动一：

学生活动：先独立尝试，再小组合作探索

教师活动：哪位同学上讲台展示你们组探究的成果？ 学生活动：学生展示；

教师点评归纳：对折（提示：用彩笔将折出的角平分线折痕描出来）

三、再探新知： 活动二：

你能在对折后的纸片模型上折出一个直角三角形，使直角三角形的斜边与角平分线所在射线重合。

学生活动：折直角三角形。教师活动：（点拨）注意直角三角形的条件：斜边所在的位置。教师活动：哪位同学上讲台展示你们组探究的成果？说说你的折法。并说明在折出的直角三角形中哪个角是直角？为什么？ 学生活动：学生演示，并说明折法和道理。（重点在直角，说明后面的折痕垂直于角的两边）

教师活动：把有得到的两条折痕用彩笔描出来。

我们把折出的图形展开，看一看你得到的是怎样的一个图形？（1）有一个角∠AOB；

（2）有一条角平分线OC；

（3）在角平分线上取一个点P，想一想，哪两条线段表示点P到角∠AOB两边的距离？（教师板示，在模型上标注字母，画出垂直符号）PD、PE。（4）根据刚才大家的动手实践，你能得到PD与PE有什么数量关系吗？为什么？

先独立思考，再与同伴交流。

学生活动：利用折叠过的纸片模型探究。教师活动：（点拨）可以把展开的纸片模型重新折叠起来，比较一下折痕PD、PE。

学生活动：PD=PE，因为这两条折痕互相重合。

教师活动：根据以上的活动，你能得到角平分线的点有什么样的性质？

（学生归纳有困难，可以点拨：①点P在什么位置？②PD、PE表示什么？③PD、PE有什么数量关系？）

先自己用文字语言归纳一下，再与小组的同伴交流，看看你得到的结论是否和他们一样。学生活动：（小组点名回答）角平分线上的点到角两边的距离相等。

活动3：

若P点在运动，且PD⊥OA，PE ⊥OB，则PD与PE的数量关系会发生变化吗？ 教师活动：（动画演示）通过动画说明，点P为∠AOB 的平分线OC上任意一点，PD与PE总保持相等。由此看来同学们的猜想是正确的。

板书：角平分线上的点到角两边的距离相等。教师活动：这个结论要用于几何证明命题推理的依据，还必须加以证明他的正确性。

ADCPOEB

活动4： 教师活动：（1）在这个命题中，它的题设、结论分别是什么？（2）你能画出它的图形吗？

（3）结合图形写出已知、求证。

学生活动：学生尝试，教师点名提问，其他图形补充。教师活动：教师根据学生的回答，板书、画图：

已知：如图∠_____=∠______点P在OC上，____⊥____，____⊥____，垂足分别为点D，E 求证：___________ A教师活动：你能用前面学过的有关三角形全等的D方法写出证明过程吗？试一试。CP学生活动：学生独立完成，教师巡视点拨。再由一学生板示证明过程。

OEB

教师活动：

归纳：一般情况下：要证明一个几何命题时会按类似的步骤进行，即：

1、明确命题中的__________________和________________

2、根据题意，画出图形并用_____________表示_______和________

3、经过分析：找出由已知推出_________的途径，写出证明过程。教师活动：由此，我们把同学们发现的这个结论作为定理。（补充板书）： 角平分线性质定理：________________________________ 教师活动：根据如图所示的角平分线的基本图形，常用的推理形式：

∵∠AOC=∠BOC，PD⊥OA，PE ⊥OB ∴PD=PE

同学们注意观察，在推理的条件中，共并列了几个条件？

四、学会应用：

1、如图，P为∠AOB平分线上一点，PC⊥AO于点C，PD⊥OB于点D，写出图中一组相等的线段。________________________________

2、如图在△ABC中，∠C=90°，BD为角平分线，AD=2.2cm AC=3.7cm，求点D到AB边距离.方法小结：（1）

（2）

注意事项：

3、在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，BC=40cm，BD=到AB的距离？

53CD，求点D方法小结：

五、再进一步：

在△ABC中，AD为角平分线，且BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F求证：EB=FC 教师活动：结合图形先审题，明确你的证明思路 是否能直接证出结论？

方法小结：______________________________________________________

变式训练：如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD＝DF，求证：CF＝BE

C方法引导：图形中有角平分线的基本图形吗？

AEDFB

六、小结：谈谈你本节课的收获？

七、作业：课本P23 4题、5题、6题

课后思考：点P在∠AOB平分线上，请你添加一个条件，使PA=PB，并证明。

圆中角平分线的一个结论及应用 第3篇

弧CB=弧CD, CB=CD。这些结论显然很容易推理出来, 现在我们探究线段AB、AD、AC之间是否有确定的数量关系?要探究这三条线段的数量关系, 一般考虑将它们集中在一个三角形中。如图 (2) , 延长AD至E, 使得DE=BA, 连接CE。由圆的性质得∠ABC+∠ADC=180°, 可推出∠ABC=∠EDC, 则有△ABC≌△EDC, 因此AC=EC, 故△ACE是等腰三角形。这三条线段的关系可通过作底边上的高, 再利用三角函数来表示。过点C作CH⊥AE于H, 则AD+AB=AD+ED=AE=2AH=2ACcos∠CAH, 即。利用这个思想和方法, 将能很方便地解决一类问题, 下面举例说明。

例1如图 (3) , 点A、B、C、D是⊙O上的点, 且AC平分∠BAD, ∠BAD=120°, 求证:AB+AD=AC

证明:连接CB、CD, 延长AD至E, 使得DE=BA, 连接CE,

∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形

∴∠ABC+∠ADC=180°

∵∠EDC+∠ADC=180°

∴∠ABC=∠EDC

∵AC平分∠BAD, ∠BAD=120°,

∴弧CB=弧CD

∴CB=CD

∴△ABC≌△EDC (SAS

∴AC=EC

∵∠CAD=60°

∴△ACE是等边三角形∴AC=AE=AD+ED=AD

∴AC=AE=AD+ED=AD+AB

∴AB+AD=AC

此题是上述结论的一个直接应用, 只不过在解题的过程中要根据具体情况具体分析, 直接通过等边三角形去转换更简单。

例2如图 (4) , ⊙Q经过原点O和点P (3, 3) , 与x轴、y轴分别交于点A、B, 求OA+OB的值。

分析:如图 (5) , 连接OP, 由P (3, 3) , 可推出OP平分∠AOB, ∠AOB=90°, 而cos=cos45°, 故OA+OB=2OPcos=6

∴△ACE是等边三角形

∴AC=AE=AD+ED=AD+AB

∴AB+AD=AC

根据具体情况具体分析, 直接通过等边三角形去转换更简单。

例2如图 (4) , ⊙Q经过原点O和点P (3, 3) , 与x轴、y轴分别交于点A、B, 求OA+OB的值。

分析:如图 (5) , 连接OP, 由P (3, 3) , 可推出OP平分∠AOB, ∠AOB=90°, 而, 故

证明:连接PB、PA, 在OA的延长线上截取AC=BO, 连接PC, 过P作PH⊥x轴于H, 则∠OHP=90°,

∵P (3, 3)

∴PH=OH=3

∴∠POH=∠OPH=45°

∴∠POB=∠POA=45°

∴弧PB=弧PA

∴PB=PA

∵四边形APBO是⊙Q的内接四边形

∴∠PBO+∠PAO=180°

∵∠PAC+∠PAO=180°

∴∠PBO=∠PAC

∴△PBO≌△PAC (SAS)

∴PO=PC

∴∠PCO=∠POH=45°

∴∠OPC=90°22

∴O C2=P O2+P C2=P O2+P O2=2 P O2=2 (P H2+HO2) =2 (32+32) =36

∴OC=6

∵OC=OA+CA=OA+OB

∴OA+OB=6

个点的坐标可以构造一个角平分线, 然后再通过一个等腰直角三角形转换, 这样能很便利地解决问题。

例3如图 (6) , 已知在平面直角坐标系中, ⊙O交坐标轴于A、B、C、D四点, 点P是弧AB上的一动点 (点P不与点A重合) , 试判断当点P运动时, (PD2-PB2) ÷ (PAPC) 的值是否改变?若不变, 求其值;若变化, 求其变化范围。

分析:PD2-PB2= (PD+PB) (PD-PB) , 由条件可知, 点C是弧DB的中点, 则PC平分∠DPB, 且∠DPB=90°, 由前面归纳的结论可得PD+PB=PC, 故只须探究PD-PB与PA的关系, 如图 (7) , 在DP上截取DE=BP, 连接AE、AD、AB, 可证△ADE≌△ABP (SAS) , 得AE=AP, ∠DAE=∠BAP, 可得∠EAP=∠DAB=90°, 则

(PD2-PB2) ÷ (PAPC) 的值是定值, 且是2。

此题是一个综合题, 初看有一点复杂, 其实其中隐含着前面归纳的一个数量关系。如果能够看出这一点, 利用这个突破口, 那么难度能降低很多。再通过寻找另外三条线段的数量关系, 此问题就可以顺利解决。

角平分线的画法及性质 第4篇

材料：圆规、纸张、尺子、铅笔。

1、首先准备好下图的工具，圆规和尺子是必不可少的`。

2、在纸上随便画一个角AOB。

3、用圆规以O为原点，任意距离为半径，在纸上画弧，与角AOB相交于点C和点D。

4、先以点C为原点，CD为半径画圆弧；再以点D为原点，DC为半径画圆弧，两圆弧相交于点E。

5、连接OE，OE就是叫AOB的角平分线了。

角平分线的性质

1、角平分线可以得到两个相等的角。

2、角平分线上的点到角两边的距离相等。

3、三角形的三条角平分线交于一点，称作三角形内心。三角形的内心到三角形三边的距离相等。

角平分线的特征 第5篇

角平分线的性质是初二数学上册第十三章第三节内容, 它是三角形全等的一个回顾和延伸, 又是以后继续研究三角形及四边形的重要基础, 起到承前启后、铺路架桥的作用, 在这一课的教学过程中, 可以培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力。目标是让学生理解角平分线的性质定理和逆定理的推导过程, 并能运用知识解决实际问题。重点是角平分线性质的运用, 难点是作辅助线。

二、教学片段

对于大家是否掌握了角的平分线的性质定理, 我出示了这样一道题:

如图, BC>AB, BD平分∠ABC, 在BD上取一点D, 连结DA、DC, 且AD=DC, 求证:∠A+∠C=180°。

师:同学们积极思考, 证明出来的同学请举手。 (不一会儿, 同学们举起的小手像一片小树林, 我感到非常欣慰) 于是我便叫了一位比较腼腆的同学, 并鼓励他, 声音要洪亮, 让大家听清楚。

生:过D点作DF⊥BA于F, DE⊥BC于E, ∵BD平分∠ABC∴DE=DF (根据角的平分线的性质定理) , 再证△ADF≌△CDE, ∴∠C=∠DAF, 又因为∠DAF+∠BAD=180°, ∴∠A+∠C=180°.

师:同学们, 听清楚了吗?

生:听清楚了。 (同学们异口同声)

师:文俊同学讲得非常好, 灵活地运用角平分线性质定理, 巧妙地作出了辅助线, 通过△ADF≌△CDE, 将∠C转化为∠DAF, 且思路清晰, 推理严密, 我们为他鼓掌。

师:同学们的方法是不是和他一样呢? (我本认为同学们的回答一定是“是”, 然后完成角平分线的判定定理的教学任务)

可有一个学生站起来了, “老师, 我的方法和他们的不一样。”

师:“噢, 那说说你的意见”。 (我鼓励他) 同学们很惊奇, 静静地听他往下说李明同学开始讲他的证明过程。在BC上截取BE=AB, 连接DE, 证△BED≌△BAD, 得∠A=∠BED, AD=DE, 又∵AD=CD, ∴DE=DC, ∴∠C=∠DEC.∵∠BED+∠DEC=180°, ∴∠A+∠C=180°。我想:“等边对等角”是后边学的内容, 他是怎样理解的, 再说辅助线又是怎样想到的?

于是提问:∵DE=DC, ∴∠C=∠DEC, 你能解释一下吗?

生:DE=DC说明△DEC是等腰三角形, 而等腰三角形的两底角一定相等。

我故作惊讶地问:“你是怎么知道的?”

生:预习学到的。

我评价道:能提前预习, 先知先觉, 好样的。

师:那你的辅助线又是怎样想到的?

他又比划又挠头, 脸都涨红了, 不知如何表达。 (同学们看到他滑稽的动作, 发出善意的笑声)

我急忙帮他解围, 说:“角平分线所在直线是角的对称轴, 沿角平分线BD对折时, 点A落到了BC上, 由此, 自然想到在BC上取一点, 通过证明三角形全等, 随后得出结论。李明同学的思路独特新颖, 我们为他鼓掌。

师:请看沿角平分线BD对折时, 如果点C落到BA的延长线上, 那又如何证明呢?

生:在BA的延长线上取一点E使BE=BC, 连接DE。 (同学们不约而同地一起说起证明过程)

我及时对上面两个同学的作辅助线方法加以对比总结:折叠的方向不同, 辅助线的作法也不同, 因为上一位同学的辅助线是延长得到的, 就取名为“延长法”, 那李明的辅助线叫什么? (大家猜测着, 我转身在黑板上写下三个字“截取法”。同学们恍然大悟, 此时我偷偷看看时间, 计划教学内容是完成不了, 同学们兴致正浓何不在此方面让他们尽情发挥呢?)

于是我继续鼓舞同学们:看来, 答案是丰富多彩的, 相信同学们还会想出更加独特新颖的证明途径。过了一会儿, 甲生说:我想出来了。 (同学们投以羡慕的目光, 急切地等他说)

甲生:过A点作BD的垂线, 垂足为E, 交BC于F, 连接DF, 先证△ABE≌△FBE, 得BA=BF, 再证△ABD≌△FBD得∠BAD=∠BFD, 然后还是利用等腰三角形的两底角相等证得。我情不自禁脱口而出:很好! (教室的掌声再次响起)

乙生:老师, 我是这样做辅助线的, 行吗?

以D为顶点作∠BDE=∠BDA交BC于E。

师:同学们, 你们判断一下行不行?

同学们异口同声:“行”。

师:前边我们想到作边等, 而乙生想到作角相等, 思维别具一格, 真是棒极了。 (教室里响起了雷鸣般的掌声, 久久不息。)

下课时间到了, 我只好就此做总结:“到此为止, 同学们竟想出了五种不同的证明方法, 巧妙地用了五种不同的辅助线, 看来同学们的潜能真是不可估量, 老师为你们喝彩。”

三、教学反思

1. 虽然我的教学内容没有按计划完成, 但我认为这节课非常成功, 如果每节课学生都按老师预先设计好的流程循环往复, 计划是完成了, 但课堂还会有朝气和活力吗?

2. 现在是信息时代, 学生获取知识的信息渠道是多元化的, 没讲过的知识学生不一定不会, 有时学生获得的信息可能比教师快, 比教师多, 教师在学生面前是没有绝对的权威, 教师不仅仅是学生学习的组织者、知识的传播者, 更应成为学生发展的引导者、解惑者、促进者。

角平分线的特征 第6篇

一、揭示课题,明确目标

知识技能目标:

(1)进一步理解角是轴对称图形,对称轴是角平分线所在的直线;

(2)进一步理解角平分线的特征:角平分线上的点到角的两边的距离相等;

(3)掌握通过角平分线的对称性可以构造等腰三角形及全等三角形;

(4)掌握“截长补短”,这是构造全等三角形的一种特殊方法。

过程性目标:

(1)通过画图进行图形说明,理解等腰三角形是怎样产生的?理解怎样能得到全等三角形?

(2)结合实际应用,感受“截长补短”这一辅助线的添法。

情感态度目标:

(1)培养学生细心观察的能力与习惯,树立实践出真知的观念;

(2)结合学生已有知识经验,启发学生积极思考、探索和归纳。

重点和难点:

重点:如何构造等腰三角形和全等三角形;

难点:添加合适的辅助线。

(3)揭示本节课的知识树:

二、知识为例,寻找工具

问题情境(提出问题,导入新课):

射线AO是∠BAC的角平分线。

(1)如图2(1),在AO上取一点P,过点P作AC的平行线交AB于点D,则△PDA是等腰三角形吗?如果在AO上再取一点Q,过Q点作AB的平行线交AC于点E,则△QEA是等腰三角形吗?

(2)如图2(2),在AO上取一点P,过点P作OA的垂线,分别交AB,AC于D,E两点,则△ADE是等腰三角形吗?

(3)如图2(3),在AO上取一点P,过点P作一条直线分别交AB,AC于D,E两点,且满足PD=PE,则△ADE是等腰三角形吗?

(4)如图2(4),在AO上取一点P,过点P作PD⊥AB于点D,PE⊥AC于点E,则PD与PE相等吗?为什么?

(5)如图2(5),在AB,AC上各取一点D和点E,且满足AD=AE,在AO上作取一点P,连接PD,PE,则△PAD≌△PAE吗?为什么?

经过学生独立思考,相互讨论和教师点拨,师生一起归纳、总结出以下结论。

结论1:过角平分线上的点作角一条边的平行线,平行线、角平分线必与另一条边围成一个等腰三角形(简言之:角平分线与平行线相结合,能得到一个等腰三角形)。

结论2:过角平分线上的点作角平分线的垂线,必与角的两边围成一个等腰三角形。

结论3:若三角形中一个角的角平分线平分于它的对边,则这个三角形必是一个等腰三角形。

结论4:角平分线定理,即角平分线上的点到角的两边的距离相等。

结论5:在角平分线上截取到角的顶点等长的两点,那么这两点与角的顶点、角平分线上的任意一点所构成的三角形全等。

然后提醒学生:这些结论就是我们今天所要掌握的显性工具,很有价值!下面我们就用这些显性工具来解决一些数学问题。

【评析】根据初中生身心发展规律,他们已有一定的生活经验和知识水平,有一种与生俱来的以自我为中心的探索欲和好奇心。问题的设立应充分适应和利用这种心理特征,故在教学内容设计中安排了这样一些问题情境,并通过独立思考让学生尝试解决。在积极主动的操作、探究中,激发学生的认知冲突,使学生产生迫切学习的心理,从而营造出积级活动的课堂氛围,教师再适当进行点拨,使学生思维逐步抽象,使所有新知识都通过学生自身的“再创造”活动纳入其认知结构,使学生成为数学知识的“发现者”。

这里,若教师直接把这五个结论先讲出来,再进行证明,则不能激发学生的认知冲突。因此,数学探究的教学,要求教师精心创设问题和问题情境,对问题进行适当的教学化处理,这样才能激发学生探究的欲望。

三、变式训练,感悟验证

练习题1已知:如图3,在△ABC中,AD平分∠BAC,过点B作BD⊥AD于点D,点E是BC的中点。

练习题2已知:如图4,在四边形ABCD中,AB>AD,CB=CD,对角线AC平分∠DAB。

求证:∠B+∠D=180°。

总结:练习题1考虑用结论2,延长BD与AC相交于点F,得到等腰△ABF,再利用DE是△BFC的中位线就可以了。

练习题2的第一种考虑是利用结论4,即过点C分别向AD,AB作垂线段,再证明三角形全等;第二种考虑是利用结论5,即在AB上截取AE=AD,再证明三角形全等;或者是延长AD到点E,使AE=AB,再证明三角形全等。

练习题2的第二种考虑我们称之为“截长补短”,而截长补短的目的是得到等腰三角形和全等三角形。

综观这些结论,都是紧紧围绕角是一个轴对称图形,所以这些结论可归结成一个结论:利用角的对称性来构造等腰三角形和全等三角形。

练习题3已知:如图5,在△ABC中,点P是∠A的外角平分线AE上的一点。求证:PB+PC>AB+AC。

练习题4已知:如图6,在梯形ABCD中,AD∥BC,点E是CD的中点,且AE平分∠BAD。证明:AB=AD+BC。

【评析】数学家研究和发现数学理论,独立思考当然必不可少,但也需与他人交流、讨论。他们的许多行为也是属于讲述或接受性质的,还特别强调合作。

实践中,教师须合理设计训练题,营造知识感悟场,强化工具,帮助、引导学生将“显性工具”转化为“隐性工具”(思考、解决一类问题的思维方式或方法),用“知识线”“方法线”贯穿始终,启发、引导学生掌握思维方法,将“教法”转化为“学法”,培养学生的“横向”能力。在习题的证明过程中,教师引导选择哪一个结论,由学生原有的基础知识过渡到新知识,放手让学生去探索,分别根据自己的实际情况,获得不同的证法,并加以交流。真正做到让学生始于知(知识)、濡于情(情感)、发于意(内在动机)和见于行(行动),把认知过程与情意过程统一起来,可以收到意想不到的效果。

四、回归系统,拓展提高

(1)整理所得形成能力树,如图7所示。

(2)这节课学习了角平分线的哪些特殊应用。

(3)总结本节课所用到的数学思想、数学方法、数学技巧。通过添加辅助线(平行线或垂线),利用角的对称性来构造等腰三角形;通过添加辅助线,利用“截长补短”来构造全等三角形是常用的重要思想;归纳总结的思想;从特殊到一般的方法,观察、实验的思想等。

【评析】反思是数学教师进行数学学习和研究的核心和动力,反思也是数学探究的一个重要环节,给学生以反思的机会,反思数学概念、数学思想、数学方法、数学技巧等,其目的是让学生养成良好的反思习惯,理解数学探究的方法。教师必须注意对每堂课所学知识进行归纳、总结,使其回归到整体建构的知识体系上,将“显性工具”提升到“通用工具”,引导学生运用“通用工具”解决其他问题,拓展提高,培养学生的“纵向”能力。

(4)检查收获:做一张当堂训练,时间大概为10分钟,对调批卷,并讲解错误较多的题目。

五、结果和反思

新课完成后,学生的课堂训练完成得比较理想,学生对学数学也更感兴趣了。后来了解到,不少学生课后自己探究出:有关角平分线的大量题目一般都有两种添加辅助线的方法。

在整个教学过程中,始终穿插了两条主线:一条是“知识线”,而另一条是“方法线”。学生能在教师创设的知识场中自觉地掌握知识,而且在不知不觉中掌握了学习方法,在这双管齐下的教学中,一方面学生的知识面得到了拓展,另一方面学生的能力也得到了提高。

众所周知,数学家的研究过程被看成一种探索的活动,包含有错误、尝试与改进。因此,数学探究课也要允许学生犯错误,教师在授课过程中要把握心态,学生偏离研究方向时也要能容忍,在适当的时候进行适当的指导。

为了适应新的教育形势,近来笔者经常看一些教学理论方面的教育专著,并对数学专题研究的成果进行再创造式的整理。而且,还对每年全国各地的中考数学试卷进行整理,建立各年级、各章节的题库,并注意把新颖的题型渗透到七年级和八年级平时的课堂教学与课外训练中,因为学生在学习和探索中有许多有创新思维的问题提出来,这些都对教师的数学功底与教学技能提出了更高的要求。

面对时代的挑战,教师需要转变观念,切实改进教学行为。只有努力提高自身素质水平,才能更好地实施数学课堂的探究教学。

参考文献

[1]王义权.角平分线性质的运用错解剖析[J].新课程导学,2010(9).

[2]韩红帅.当角平分线这个条件出现时[J].第二课堂(初中),2011(Z2).

[3]熊猛.突破中考角平分线类型题之策略研究[J].中学数学杂志(初中版),2012(1).

角平分线的特征 第7篇

“探究 (inquiry) ”这个词起源于拉丁文“inward”, 意思是“询问, 调查”.因而“探究”就不仅是查询调查那么简单, 它要求你追根究底、深入剖析事物, 从而发现以前没有觉察到的东西.《辞海》从语义上将探究解释为“深入探讨, 反复探求事物的本质和规律”.《牛津英语词典》则认为“探究是指求索知识、信息;是搜寻、研究、调查、检验的活动;是提问和质疑的活动”.从广义上来说, 探究是人在遇到感兴趣的问题时自发产生的质疑和求知欲望以及伴随而来的一系列思维和行为方式.探究的过程不仅是求知的过程, 同时更是其创新和实践的过程.

世纪之交, 中国为实施科教兴国而启动了新一轮基础教育课程改革.这是历史发展的要求, 是中国全面走向世界, 融入世界的要求, 更是我们要培养具有创新人才的需要.经过充分酝酿和研究, 教育部制定了《基础教育课程改革纲要》, 确定了改革目标, 研制了各门课程的课程标准或指导纲要.同时按照“先实验, 后推广”的原则, 新课程已于2001年在全国38个国家级实验区进行了实验.至2005年秋, 中小学阶段各起始年级的学生原则上都已进入新课程.

随着新课改大刀阔斧的在中国大地上浩浩荡荡的实施, “探究”一词瞬即变得炙手可热, 以至各色的教学活动和良莠不齐的文章都挂上了“探究”.而事实上这些“探究”是真的具有探究的意义还是聋子的耳朵摆设呢?例如, 人教版新教材第十一章第19页“角的平分线的性质”一节开篇的探究问题, 题目如下:A

如图是一个平分角度仪器, 其中AB=AD, BC=DC.将点A放在角的顶点, AB和AD沿着角度两边放下, 沿AC画一条射线AE, AE就是角平分线你能说明它的道理吗?

我们认为这个探究是一个无意义的探究, 原因在于此题中的文字介绍晦涩难懂, 学生对此题的用意不明确, 陡然增加了学生理解的难度.这个探究题不仅无法激发学生的探究欲望而且题目本身的目的就不明确, 流于形式.为此, 笔者进行了问卷调查, 调查对象是邢台市一所普通公立中学的初

一、初二各一个班, 学生被试110人及中学数学教师13人.

一、调查结果与分析

1. 学生对探究题的理解

从调查结果来看 (见表) , 第1题是对该探究题题意的理解, 其中24%的同学认为是介绍一种仪器, 20.8%的同学认为是对全等三角形性质的考查, 18.8%的同学认为是得出作已知角的平分线的方法, 还有36.4%的同学认为题目不知所云这说明大部分学生对此题的用意不明确, 陡然增加了学生理解的难度, 让学生一头雾水不知所云.

第2, 3, 4题是学生对教材特别是对教材中“探究”题的阅读情况统计, 超过半数的被调查学生总是或经常在课前 (或在课堂上及课后) 阅读教材, 只有极少数被调查学生很少或几乎不阅读教材.

高年级同学比低年级同学认为数学新教材更不易读懂, 也更不喜欢读数学新教材.原因可能是:一方面是随着年级的升高教材的难度随之加大, 另一方面是随着年级的升高学生升学压力大, 老师的作业量增多, 学生的阅读兴趣会受到压抑, 他们不再像初一学生那样喜欢读数学新教材.

第5题:“上述探究题如果改成:如图是一个角分器, 角的顶点为A, 然后其余三个端点依次为B, C, D, AB=AD, BC=DC, 拉动点C, 那么你会发现以A为顶点, AC所在射线始终为∠DAB的角平分线.你的理解是什么?”这道题是笔者对该探究题的重新描述, 结果42.7%的同学认为是介绍一种仪器, 18.8%的同学认为是对全等三角形性质的考查, 29.1%的同学认为是得出作已知角的平分线的方法, 还有9.4%的同学认为题目不知所云.这说明大部分学生可以理解此题是介绍角分器或得出已知角的平分线的方法.

第6题是学生对人教版新教材各栏目的喜爱程度调查, 依次是: (1) 小云朵; (2) 观察与猜想; (3) 信息技术应用; (4) 数学活动; (5) 探究; (6) 思考.

2. 教师对探究题的看法

对老师的调查问卷显示, 第1题认为把此题作为角平分线开篇合理的有1人, 一般的有7人, 不合理的有5人.原因是认为与本节内容不符的有2人, 认为文字叙述复杂、仪器抽象、增加学习难度的有9人, 认为目的不明确、探究空洞、毫无意义的有2人.而人教版新教材把角平分线的性质一节放在全等三角形一章中, 2位老师认为降低了坡度, 分散了难点, 1位老师认为符合学生的认知特点, 10位老师认为破坏了知识的系统性和不利于学生理解及记忆.

这是在调查中老师反映比较大的一个问题.角平分线一节竟安排在全等三角形的第三节, 章节跳跃太大, 老师教学时感觉困难, 也不利于学生总结和复习, 尤其是学习能力差的同学跟上就很困难.部分老师感觉到螺旋式上升的教学理念不是很好理解, 不便于实际操作.这一题体现的问题在于新教材内容安排方面的不足.教材是学生学习活动、教师教学活动的基本线索, 是实现课程目标的重要资源, 不仅要反映一定的数学价值, 而且应关注数学知识之间的联系.逻辑性与系统性本是数学知识的一个特点, 但新教材中知识体系缺乏连贯性, 教材分布太散, 并未体现数学的学科特点.

由于新教材中知识体系分散, 学生对一些知识点学过之后隔了很长一段时间再温习, 就像何聪在《对北师大新编初中数学教材的分析》中所说的:“与人见一次隔十年再见, 你说会认识吗?”教师在讲授新知识前还要花大量时间唤回学生对旧知识点的记忆, 这无疑事倍功半.新教材体系的螺旋式编排, 原意是想由易到难逐步深入, 却舍本逐末从根本上破坏了知识的系统性、连贯性.而且传统教材中严密的逻辑顺序和严谨的知识结构等特点在教师脑海中根深蒂固, 从而会产生了观念上的冲突和分歧.

第5题是主观题, 许多教师在问卷中指出新教材的优点是紧密联系实际生活, 有助于培养学生建立数学知识与实际生活的联系, 形成数学意识和感觉, 从一定程度上克服了旧教材的“繁、难、旧、偏”的弊病.最大的缺点是个别章节顺序不恰当, 知识体系缺乏连贯性, 不能体现数学知识的逻辑性与系统性, 教学时难度较大.

二、反思与建议

本次问卷调查获得的信息是, 对人教版新教材“角的平分线的性质”一节中的探究题, 学生理解题目有困难, 不明确题目的用意.题目本身的表述好似一个晦涩拗口的文字游戏, 徒然增加学生理解的难度, 让学生一头雾水不知所云.这说明这一节的探究不是有意义的探究.此次新教材最大的变化是增加了许多图画和探究情景, 旨在以一种全新的观念安排和设计课程, 但是其中的部分探究却并不是增强学生所学知识与实际问题的联系, 而是对学生的现有接受力、理解力的测验.如果学生对引入的探究题都存在理解上的困难, 那么就更不要提培养学生的逻辑思维能力了.尽管数学课程改革中强调探究学习, 但真正有意义的探究却没有实现.据此, 我们认为有意义的探究应具有以下几点:

1. 增强探究的趣味性, 激发学生的探究欲望, 这是有意义的探究所必备的首要条件

探究是一种需要, 探究欲就是一种求知欲.探究欲是一种内在, 是激发诱导学生“想不想”探究的关键.在课堂教学中, 教师的一个重要任务就是激发学生的探究欲望, 让学生处于一种探究冲动之中.而“探究”最根本的特点也是让学生自主、独立地发现问题、解决问题.如果探究题的题目本身晦涩难懂, 不知其用意, 那就更不要提让学生有探究的冲动了.

2.“探究”的途径应是通过“做数学”来实现探究数学问题, 不能使“探究”流于形式, 更不能为了“探究”而“探究”

富兰克林说:告诉我我会忘掉, 教会我我就能记住, 让我加入我就会学会.数学教育应该做的事就是让学生通过“做数学”来体验数学, 应该引导学生学会用数学的方式去思考、去探索, 这才是最重要的事.

在数学探究学习的课堂中, 学生成为探究实践共同体的一员, 承担着与共同体其他成员一起计划、引导、反思探究过程的责任.知识的真正获得不是靠知者的“告诉”, 而是在于学习者的亲身体验所得, 像专业数学家一样, 学生通过数学探究活动来建构他们自己的数学知识.

3. 探究式教学既要与实际相联系, 又要符合学生的认知发展水平

对于探究题的设计, 不仅要吸引学生探究的兴趣, 更要体现知识的系统性、逻辑性;不仅要与实际相联系, 更要符合学生的认知发展水平;不仅要能激活学生的思维, 更要培养学生养成探究的习惯, 拥有探究的能力, 使其真正成为数学学习的主人.

除了数学探究学习理论研究以外, 还要认真分析数学探究学习个案, 以便我们理解什么才是有意义的探究.这里以华东师大范文贵博士提到的一个典型的数学探究教学“用九根火柴棒巧拼三角形”为例.

教学活动首先利用大屏幕显示用火柴棒拼出的若干种图案, 学生识别出它们分别是“六角星、房子、蒲公英、苹果、火箭”等.在欣赏这些图形之后, 让学生动手用九根火柴棒巧拼三角形.活动先明确用火柴棒拼三角形的规则:火柴棒的首尾相连;拼出图案中只包括三角形.让学生充分发挥自己的聪明才智, 按照上述规则, 动手操作.通过操作活动, 学生初步认识用九根火柴棒拼出三角形图案, 探究三角形的特征;积累操作活动经验, 体验三角形的图案变换过程;经历对三角形分类的过程, 领悟初步的的分类思想.从而培养学生观察能力、发散思维能力, 进一步发展学生空间观念.同时让学生正确运用数学语言进行表达, 学会与他人合作交流;通过制作图案等活动, 让学生经历数学知识的发展过程, 感受丰富多彩的图形世界, 增强审美意识.

这个例子的探究活动就充分调动了学生的探究欲望, 激发了他们的探究激情.学生通过用九根火柴棒来拼出三角形, 也就是通过“做数学”实现探究问题, 培养他们动手实践和想象创造的能力.让学生在动手操作和相互交流的互动过程中学习数学, 培养他们的数学能力.用九根火柴棒拼出三角形, 初始问题简单, 与学生的生活世界和经验世界联系紧密, 同时每名学生通过努力都能得到收获, 能让不同的学生体验不同的教学活动, 这个探究教学就达到了既与实际相联系, 又可以实现跳一跳摘到桃子的效果, 也就是符合学生的认知发展水平.从而真正达到新课改的目标:人人学有价值的数学;人人都能获得必需的数学;不同的人在数学上得到不同的发展.

摘要：通过对初一、二年级学生及数学教师对于人教版新教材“角平分线的性质”一节中探究题的理解状况的调查发现:学生理解题目有困难;学生不明确题目的用意;探究空洞, 缺乏现实意义.为了提高探究活动的教学价值, 应注意加强题目的趣味性, 激发学生的探究欲望, 强调做数学的过程, 重视创设现实情境, 同时使探究活动适合学生的认知发展水平.

关键词：探究,新教材,数学教学

参考文献

[1]何聪.对北师大新编初中数学教材的分析.现代中小学教育, 2005.

[2]马云鹏.小学数学教学设计.长春:长春:长春出版社, 2004.

[3]宁连华.数学探究学习研究.南京:南京:南京师范大学出版社, 2004.