结构有限元模型修正

结构有限元模型修正（精选4篇）

结构有限元模型修正 第1篇

关键词：模态数据,有限元,模型修正

0 引言

有限元模型修正是一门正在兴起的学科, 近几年来, 人们渐渐发现它在很多科学领域中发挥了越来越重要的作用, 特别是在结构动力学、工程技术、信号处理和电子振荡等领域, 有限元模型修正指的是关于动力系统模型的设计、构造和修正。在工程技术领域里, 要解决工程中普遍存在的振动问题, 首先就必须建立结构的动力学模型。一般的建模方法有理论建模和实验建模两种, 而理论建模工程上常用有限元方法。模型修正的目的是用实测数据校正不精确的分析模型, 而这些数据像固有的频率、阻尼比和振型等, 一般是通过振动测试得到的。根据实测的模态数据修正模型分析得到质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵, 缩小有限元模型与实测模型之间的误差, 改善有限元模型[1]。

1 模型修正方法

假设由有限元方法计算得到近似的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵分别为Ma, Ca, Ka, 根据实际测量得到的低阶频率λ1, λ2, λk和相应的振型X1, X2, Xk, 一般情况下二次束Qa (λ) =λ2Ma+λCa+Ka的特征值和特征向量跟实际的频率和振型存在着一定的误差。模型修正方法是利用实测模态数据对质量矩阵Ma、阻尼矩阵Ca和刚度矩阵Ka进行修正, 使修正后的质量矩阵M、阻尼矩阵C和刚度矩阵K满足谱约束条件 (λi2M+λiC+K) Xi=0[3]。

设低阶频率和相应的振型分别为:

改写成矩阵形式如下:

一般的模型修正问题可表述如下:

给定Ma, Ca, Ka∈Sn, 以及模态数据 (Λ, X) ∈Rk#k#Rk#k, 求矩阵M, C, K∈Sn, 使得

这里Sn表示n阶实对称矩阵, M>0表示对称正定矩阵, C1, C2为两个正的参数。

对于阻尼结构动力系统, 如果以质量矩阵作为不变的参考基准, 即取M=Ma, 那么就可以直接修正阻尼矩阵和刚度矩阵[2]。在实际问题中, 往往要求质量矩阵M是对称正定矩阵, 我们可以先修正质量矩阵Ma, 取, 这里S+n表示所有实对称正定矩阵的集合, 表示Ma在S+n上的投影, 即

于是, 我们以修正后的质量矩阵为参考基, 同时修正阻尼矩阵和刚度矩阵, 使得罚函数最小。

其中N为任意对称正定矩阵 (一般地, 取) , µ是权重参数。

2 算法

给定模态数据 (Λ, X) ∈Rk#k#Rk#k以及Ma, Ca, Ka, N, 以下是求M, C和K的步骤:

步骤2对Ma作谱分解:Ma=P∑PT, 其中P∈Rn#n是正交矩阵,

步骤5解关于x的方程Gx=b, 其中

步骤6计算C11=- (M11S+STM11+R-TDR-1) ,

步骤7最后计算矩阵C和K:

3 数值实例

已知某个具有6自由度的有限元结构振动系统, 其分析质量、阻尼、刚度矩阵分别为:

实际测得一组不完备振动频率, 写成矩阵形式如下:

相应振型向量构成的振型矩阵:

取, n=1.0, 由上面的算法求得模型修正问题的解为

从实例的计算结果可以看出, 修正后的质量、阻尼、刚度矩阵跟原来的矩阵很接近, 问题的解是唯一存在的, 算法具有可靠性。

参考文献

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结构有限元模型修正算法研究综述 第2篇

结构有限元模型修正是典型的结构动力反问题, 即通过结构测试信息识别结构的物理参数。由于反问题的解具有非唯一性, 而且求解的方程通常是病态的, 所以从理论上讲, 模型修正理论存在很大的挑战。另外, 结构模型修正的成功与否, 往往与结构测试信息的数量及精确性息息相关。土木工程结构的实测信息往往十分有限, 而且测试信息通常受到各种噪声的干扰, 从而使得模型修正技术在应用中受到了很多限制。因此, 土木工程结构的模型修正研究具有重要的理论和实际意义。本文综述了近20年国内外发展起来的结构有限元模型修正算法, 并提出了该领域有待进一步深入研究的问题。

2 结构模型修正技术的发展现状

结构模型修正采用反映结构真实动态特性的测量模态参数 (或频响函数) 修正理论的有限元模型, 使得理论计算模态参数 (或频响函数) 同实测结果良好一致。根据求解方法及所选修正参数的特点不同, 修正算法可分为直接法和迭代法两类。

2.1 直接修正法

直接修正法是指不需要大量迭代求解的修正方法。这类方法不存在求解发散的情况, 也不存在大量耗费计算时间的问题。但是, 该类方法的修正结果通常不具有明确的物理意义, 修正后的结构矩阵通常不再具有带状、稀疏的特点。

2.1.1 最优矩阵法

此类方法通过直接修正结构的整体刚度、质量矩阵达到模型修正的目的。矩阵型法首先由Rodden[1]和Brock[2]所提出, 但更多的方法是在Baruch[3]及Berman[4]提出的方法基础上产生的。在此基础上, Wei又增加了新的约束条件, 使得修正后的质量阵、刚度阵分别满足正交性条件。此类方法虽然能够很容易的完成修正模型, 但其修正后的结构矩阵通常是满阵, 不再满足结构相联性的要求。

此外, Friswell et al.[5]首先采用最优矩阵法修正了结构的阻尼阵, 其方法假设质量阵准确无误, 利用Baruch所建立的目标函数同时修正阻尼阵和刚度阵。在此基础上, Kuo[6]提出了同时修正结构的质量阵、刚度阵和阻尼阵的修正方法。

2.1.2 特征结构分配法

Minas和Inman[7]首先将此类方法应用于模型修正领域。这类方法以控制理论为基础, 同控制论中的极点配置理论[8]相类似。通过合理的选择虚拟控制系统中输出影响矩阵和增益矩阵, 使增加虚拟控制后的结构动力特性与在结构上测得的动态特性一致, 从而实现对结构模型进行修正。在修正的过程中, 质量矩阵始终保持不变, 结构的刚度矩阵、阻尼矩阵随着系统输出和增益的调节而不断的得到修正。

2.2 迭代修正法

迭代修正法同直接修正法相比, 修正参数的选择更加灵活, 更易保证修正后模型的物理意义。但通常需要求解非线性优化问题, 搜索全局最优解是面临的重要问题, 同时也带来了计算耗时大的问题。

2.2.1 基于灵敏度的修正方法

将模态参数对修正参数的灵敏度表示为一阶泰勒级数展开的形式, 利用结构的特征值、特征向量可容易地得到特征值灵敏度, 而特征向量灵敏度的计算则相对复杂, 许多学者提出了多种不同的近似计算方法[9]。Fox和Kapoor提出特征向量灵敏度可用结构的所有模态的线性组合表示, Lim则采用结构的低阶模态的线性组合表示特征向量的灵敏度。此外, 当结构的模态比较密集时, 上述灵敏度的计算方法容易出现病态或者收敛缓慢的问题, Zhang[10]提出利用结构修改的办法对密集的模态进行稀疏化处理, 进而可避免灵敏度的计算出现病态。

总之, 基于灵敏度的修正方法可广泛的选择各种修正参数, 能够有效地保证修正后结构矩阵的带状、稀疏的特点, 因而保持了修正后模型的物理意义。但灵敏度矩阵的计算有时比较困难, 计算量相对较大。

2.2.2 基于概率统计理论的修正方法

由于测试自由度的不完备、模型误差的存在、测量噪声的干扰, 使得修正参数本身充满了不确定性。为了更好的描述模型修正中的不确定性, 基于概率统计理论的修正方法得到了发展。早期, 此类方法以最小方差法[11]为代表。该类方法假设结构的测试信息及修正参数本身都具有一定的误差, 并将误差以方差的形式表示, 通过使方差最小达到修正模型的目的。此后, 基于概率统计理论的修正算法以Beck[12]提出的方法为代表。该法通过寻找合理的函数来近似修正参数的概率分布, 从而达到修正模型参数的目的。由于每次估计修正参数的概率分布函数时, 需要高维积分, 计算量巨大, 所以Beck提出了近似计算方法。

2.2.3 基于频响函数的修正方法

这类方法通过使实测频响函数与理论计算的频响函数在给定频率点上的误差最小对模型进行修正。此类方法通常可分为两类[13]:输入误差最小的方法、输出误差最小的方法。基于频响函数的修正方法可以避免由于模态参数识别而引入的计算误差。而且由于可选用的频率点较多, 从而为模型修正提供了更多可用信息。但是, 频响函数的使用也将阻尼因素引入到模型修正中。由于阻尼的机制复杂, 通常难以准确估计阻尼大小, 所以为模型修正带来了困难。

2.2.4 基于反共振频率的修正方法

现有的模型修正算法中, 许多方法都要依靠识别得到的模态信息, 例如频率、振型。但与频率相比, 振型的使用往往给模型修正带来困难。这是由于:识别振型的误差相对较大;振型通常需要经过扩展才能使用;振型灵敏度的计算比较复杂。尽管如此, 振型信息在模型修正时又往往不得不使用, 因为采用尽可能多的信息量, 才能保证修正模型收敛到唯一解。因此, 一些学者利用反共振频率替代振型[14], 得到了较好的修正效果。

3 土木工程结构模型修正技术有待解决的问题

虽然模型修正技术已经发展了几十年的时间, 但该技术在土木工程结构中的应用仍然面临着巨大的挑战。

3.1 高性能优化算法的开发

通过前述修正方法的讨论可知, 模型修正问题最终将转化为一个优化问题。模型修正的目标函数往往是非线性的, 而且具有多个局部最优点。因此, 如何有效地跳出局部最优点而到达全局最优点对修正结果的好坏至关重要。

3.2 修正参数的选择

修正结构有限元模型时, 可供选择的修正参数通常有很多, 如结构的单元刚度矩阵、结构的几何参数、结构的物理参数等。而修正结果的成功与否同所选的修正参数是息息相关的。因此, 如何从众多的参数中准确地选择修正参数是模型修正的一个重要问题。

3.3 节点及边界条件的修正

结构节点及边界条件往往是容易产生建模误差的地方。这是由于:一方面, 有限元理论采用了一定的理论假设, 只是将节点的连接简单地处理为刚接或铰接;另一方面, 节点处的构造通常比较复杂, 难以精确地模拟。因此, 如何解决结构的节点及边界条件的修正问题, 仍是一个不可忽视的方面。

3.4 发展适合土木工程结构的模型修正算法

子结构拟动力试验的模型修正法 第3篇

经过研究者们多年的努力,子结构拟动力试验方法已经达到一个相对成熟的状态并且已应用到许多实际研究项目中。如:王强等人通过OpenFresco试验协调系统,成功实现了通用有限元软件Open SEES、ABAQUS与电液伺服加载系统MTS-Flextest GT的数据传递,并开展单层单跨钢结构框架在地震作用下的反应分析[2,3];许国山等人建立了Open Fresco-Lab VIEW-d Space试验系统,并进行了一个三层带斜撑框架结构体系的试验,验证了所建立试验系统的有效性和精度[4];石田柱等人建立了MTS-Open Fresco-MATLAB试验系统,并进行了一榀两层单跨平面框架的验证混合试验,验证了试验系统的稳定性和适用性[5]。一般的结构体系是由多个构件组成,这些构件共同形成了结构的抗侧力体系。例如:多层框架、带斜撑的框架、多跨桥梁等。因受实验设备数量的限制,目前多数子结构拟动力试验仅取少量构件当作试验子结构,进行真实物理实验。例如,文献[4,5]中,分别仅取1/3斜撑、1/4柱子作为试验子结构。因此,除非有足够数量的实验设备和试件,在子结构拟动力试验中将不可避免地出现部分构件必须采用数值模型模拟的情况。那么,仅有少量构件进行真实物理试验的情况下,子结构拟动力试验的精度能提高多少,如何克服试验子结构数量的限制。本文首先分别针对一剪切模型和一杆系防屈曲支撑模型,在不同试验子结构数量下进行基于Open SEES的整体地震响应时程分析,说明了仅少量构件进行真实试验时,子结构拟动力试验的精度较低,进行子结构试验意义不大。其次,基于有限元软件Open SEES,针对一榀单跨两层带斜撑平面框架,基于最小二乘法在线识别试验子结构恢复力模型参数,并修正数值子结构恢复力模型,进行模型修正虚拟子结构拟动力试验。结果表明采用模型修正的方法可以很大程度上克服这一限制,提高子结构拟动力试验精度。

1 基于Open SEES的时程分析与子结构拟动力试验方法

1.1 基于Open SEES的时程分析方法

本文使用有限元软件Open SEES进行结构模型的弹塑性整体时程分析。Open SEES是由UCB与PEER共同开发的开源有限元软件框架,主要用于结构和岩土方面地震反应模拟。Mc Kenna于1997年其博士学位论文中建立了Open SEES程序架构[6],Open SEES的总体架构如图1所示,其主要包含四类对象:模型建立(model builder)、域(domain)、分析(analysis)及记录(recorder)。模型建立为Open SEES程序架构的基础,利用Tcl脚本语言实现建立、节点、约束及单元信息,并且该信息被添加到域。Open SEES中模型不但代表初始建模的结构模型,也可以是在分析结果上修改后的结构模型,模型是时刻可以变化的;域模块把有限元分析所需的载荷、节点、约束及单元信息存储起来;分析模块包括自由度分配、约束罚函数、迭代算法、控制算法、系统方程等,其作用是进行有限元的分析,并且将域中所存储的信息更新;记录模块是记录下来求解后结构模型的信息,如节点位移、单元内力及纤维应力应变等,用于后处理和可视化[7]。

1.2 基于Open SEES的子结构拟动力试验方法

子结构拟动力试验方法将结构分为两部分:试验子结构和计算子结构。将地震作用下容易损坏的强非线性部分当作试验子结构进行试验,而把结构的其他部分当作计算子结构而采用数值模拟。对结构人为进行分割之后,在地震作用下容易损坏的强非线性部分的地震响应由拟动力试验直接得到,确保实验数据的可靠性;对于一些次要部位或者弹性部分地震响应采取数值模拟的方式,以达到控制试验规模从而节约试验经费的目的。其试验示意图如图2所示。基于Open SEES的子结构拟动力试验方法将Open SEES做为数值计算有限元软件,在Open SEES中进行整体结构的子结构化,计算获得相应试结构位移并发送给物理实验设备,试验设备将位移加载到试验子结构上,获取恢复力并反馈给Open SEES中。Open SEES再通过指定的数值积分方法计算下一时间步试验子结构位移,反复循环加载,直到试验结束,得到结构整体地震响应[8]。在本文的虚拟子结构拟动力试验中,试验子结构为虚拟试验子结构,其滞回性能仍采用Open SEES模拟,与数值子结构分析程序在同一计算机上运行。

2 试验子结构数量对试验精度影响

分别以剪切模型和杆系防屈曲支撑模型为例,通过不同试验子结构数量下模型的整体时程分析结果的对比,说明试验子结构数量对子结构拟动力试验精度的影响[9]。

2.1 剪切模型

2.1.1 模型概况

试验模型为一榀单跨五层剪切框架模型,如图3所示。层高为3 m,跨度为6 m,梁柱构件的模型参数如表1所示。

剪切模型假定:梁的抗弯刚度无穷大;柱和梁的轴向变形忽略不计;轴向力对柱子刚度的影响忽略不计;模型在受水平地震作用时,仅在水平方向有位移,无竖向位移和转角。剪切模型在Open SEES中建模时,考虑到模型仅在水平方向有位移,其质量仅分配在水平方向;为模拟梁的无限刚性,取较大的梁的惯性矩值,如表1所示;剪切模型节点无竖向位移和转角,使用多点约束命令equal DOF来实现这一约束条件。

Open SEES建模时,梁均采用弹性梁柱单元(elastic Beam Column)模拟,弹性模量为210 000MPa。柱均采用非线性梁柱单元(nonlinear Beam Column)模拟,其轴向恢复力模型采用线弹性模型(elastic材料),抗弯恢复力模型采用双线性随动强化模型(steel01材料)。柱作为试验子结构和数值子结构时,均采用相同的恢复力模型。但为模拟数值子结构模型不能准确代表试验子结构滞回性能的情况,数值子结构恢复力模型的参数值与试验子结构不同,两者的恢复力模型参数分别如表2、表3所示,假设试验子结构的恢复力模型参数值为构件的真实恢复力模型参数值。结构的输入地震波采用EI Centro地震波。分析时,从底层开始,依次往上分别取0,1,2,3,4,5层的所有柱构件为试验子结构,其余相应柱子和所有的梁构件均作为数值子结构。当模型中所有柱子均作为试验子结构,构件的恢复力模型参数均采用表2中参数,此种工况下的结构的地震响应为准确结果。而当所有柱子均作为数值子结构,构件的恢复力模型参数均采用表3中参数,此种工况下结构地震响应为完全不准确结果。

2.1.2 试验结果

不同数量的试验子结构情况下,剪切模型子结构拟动力试验结果如表4、图4、图5所示。

(1)随着试验子结构数量的增加,剪切模型最大顶点位移值、最大基底剪力值逐步接近于准确分析工况下的相应值,其相对误差逐渐减小,且呈现二次抛物线形变化趋势。

(2)当仅取底层和底下两层结构为试验子结构时,最大顶点位移误差分别为23.88%和12.09%;最大基底剪力误差分别为16.61%和15.13%。此时剪切模型子结构拟动力试验结果较准确分析工况下的试验结果误差很大。因此,从最大顶点位移和最大基底剪力来看,当试验子结构数量较少时,子结构拟动力的试验精度难以满足要求。

2.2 杆系模型

2.2.1 模型概况

试验模型为一个三跨五层杆系防屈曲支撑模型,如图6所示。层高3 m,跨度6 m,其中,楼板重度为23.53 k N/m3,板厚0.15 m,板跨度6 m。假定基础与地基刚接,防屈曲支撑与主体框架结构铰接。梁、柱及防屈曲支撑构件的模型参数如表5所示。梁、柱构件采用弹性梁柱单元模拟,弹性模量为210 000 MPa。防屈曲支撑采用桁架单元模拟,其恢复力模型采用Giuffre-Menegotto-Pinto模型。楼面活荷载和屋面活荷载统一取为2.0 k N/m2。结构的输入地震波采用EI Centro地震波,结构阻尼采用Rayleigh阻尼。试验中,由底层开始依次向上取人字形防屈曲支撑为试验子结构,试验子结构数量分别为0,1,2,3,4,5。试验子结构和数值子结构恢复力模型都采用Giuffre-Menegotto-Pinto模型。为模拟数值子结构模型不能准确代表试验子结构滞回性能的情况,数值子结构恢复力模型参数取值与试验子结构不同。试验子结构与数值子结构恢复力模型参数如表6所示。当所有人字形防屈曲支撑均作为试验子结构时,试验结果为准确结果。而所有人字形防屈曲支撑均作为数值子结构时,试验结果为不准确结果。

2.2.2 分析结果

不同数量的试验子结构情况下,杆系防屈曲模型子结构拟动力试验结果如表7、图7、图8所示。

从表中可以看出:

(1)随着试验子结构数量的增加,最大顶点位移值、最大底层层间位移值逐步接近于准确分析工况下的相应值,其相对误差逐渐减小,且呈现二次抛物线形变化趋势。

(2)当作为试验子结构的人字形防屈曲支撑数量为1和2时,最大顶层位移误差分别为13.43%和9.35%;最大底层层间位移误差分别为7.25%和3.78%;此时,杆系模型子结构拟动力试验结果较准确分析工况下的试验结果仍然误差较大。因此,从最大顶点位移和最大底层层间位移来看,当试验子结构数量较少时,子结构拟动力的试验精度难以满足要求。

3 模型修正

针对受实验设备限制导致试验子结构数量较少这一情况,以一个两层带斜撑的框架模型为例,基于最小二乘法进行模型修正[10],并进行多工况下的虚拟子结构拟动力试验。通过在不同试验工况下模型的地震响应对比,说明采用基于最小二乘法的模型修正[11]方法能在试验子结构数量受限制的情况下,显著提高子结构拟动力试验的精度。

3.1 基于最小二乘法恢复力识别

著名数学家A.M.Legendre等人首次将最小二乘法应用于观测数据分析[10],该方法是最简单、应用最广的结构识别方法,广泛的应用于各领域的参数估计,其基本原理是通过最小预测输出和测量观测的误差平方和来估计结构系统位置参数。

假定x=[x1,x2,…,xn]T是一个未知的n维定常向量,ym=[y1,y2,…,ym]T为包含观测噪声wm=[w1,w2,…,wm]T在内的m维观测向量。一般假设m≥n。最小二乘法系统观测方程为

式(1)写成矩阵形式为

式(2)中A是m×n矩阵。最小二乘法目标优化函数为

可得到第m步向量x的估计值为

当需要识别的向量为一维常数时,式(4)可化为

线弹性恢复力模型:

由式(5)、式(6)可知线弹性恢复力模型刚度估计值为

式中(dm,Rm)为线弹性恢复力模型上的点,p为上线弹性模型上点的总个数。若模型上瞬时切线刚度km=(Rm-Rm-1)/(dm-dm-1)满足则认为该点位于线弹性模型上。若p>a2则利用式(7)确定刚度,否则令。a1,a2为大于0的识别参数,影响参数识别方法的精度与鲁棒性。一般0≤a1≤0.2,5≤a2≤20。本例中取a1=0.2,a2=20。

3.2 模型概况

模型为一两层带斜撑的框架结构,如图9所示。层高3 m,跨度6 m。其中,楼板重度为23.53 k N/m3,板厚0.15 m,板跨度6m,梁、柱及斜撑的构件参数与上一模型相同,见表5。地基与基础刚接,斜撑与结构铰接。梁柱构件采用弹性单元模拟,弹性模量21 000 MPa。斜撑采用桁架单元模拟,本构模型采用线弹性恢复力模型,假设斜撑为试验子结构时其真实刚度值k=939.15k N/m,因本文所提到的试验均为虚拟子结构拟动力试验,而支撑进行真实物理试验加载时,因观测噪声等原因,观测数据点(dm,Rm)会具有一定的离散性,因此在进行虚拟子结构拟动力试验向试验数据点中引入一定的随机误差,以模拟支撑真实物理加载试验时数据点的离散性。斜撑作为数值子结构时刚度初始参数值k0=1 408.72 k N/m,楼面活荷载和屋面活荷载统一取为2.0 k N/m2。结构的输入地震波采用EI Centro地震波,结构阻尼采用Rayleigh阻尼。

3.3 试验工况

以支撑为试验子结构,建立三种不同的试验工况。第一种,两个斜撑均作为试验子结构,进行子结构试验,此时地震响应试验结果为准确结果;第二种,仅底层斜撑作为试验子结构,不考虑模型修正,进行常规子结构拟动力试验;第三种,取底层斜撑为试验子结构,在进行子结构拟动力试验过程中,基于最小二乘法在线识别试验子结构刚度值,并对第二层斜撑进行模型修正,进行模型修正子结构拟动力试验。

3.4 模型修正法在Open SEES中的实现

本文中,进行子结构拟动力试验时,两个斜撑和原框架分别在不同的Open SEES程序模拟,子结构试验过程中需要实现不同子结构计算模块之间的实时通讯。Open SEES借助Tcl语言建模,而Tcl语言自身可以通过TCP/IP套接字来实现通信。套接字命令如下。

socket-server command port

socket host port

以上两条命令分别为服务器和客户端套接字命令,试验中原框架子结构计算模块作为服务器,而两斜撑子结构计算模块作为客户端。先在服务器中建立套接字,监听客户端的请求,而后借助Tcl语言for循环命令实现循环。在循环过程中,来自客户端的需求被服务器接受和处理,并将处理结果发送到客户端。最终实现不同子结构模块之间的实时通信。

在进行子结构拟动力试验时,因斜撑均在单独的Opens EES程序中建模,其加载方式由整体模型中承受动力荷载变为静力加载方式。可以通过单元替换来实现数值子结构斜撑模型的参数修正。Open SEES数值子结构斜撑计算模块中,实现模型修正的命令如下。

在for循环中实现每一时间步的数值子结构斜撑模型参数实时修正。在每一时间步使用remove和element命令来删除旧单元和定义新单元,完成相应数值子结构单元替换,通过integrator Displacement Control来实现位移控制加载。

在模型修正子结构拟动力试验中,基于最小二乘法,利用试验子结构观测数据在线识别试验子结构斜撑恢复力模型参数的过程是通过Tcl编程语言在试验子结构斜撑计算模块中实现的。通过生成随机数命令rand()向试验子结构的恢复力Rm中引入随机误差,以模拟真实物理试验时,试验子结构观测噪声wm等原因引起的数据点的离散性。

3.5 试验结果

3.5.1 刚度值对比

图10对比了斜撑刚度的真实值、最小二乘法识别值及数值子结构初始值。由图10可以看出,相对于初始值,基于最小二乘法的刚度识别值与真实值的相对误差更小,且刚度识别值能较快速趋于稳定。说明采用最小二乘法可以较为有效和准确地识别出线弹性模型的刚度参数。

3.5.2 顶点位移时程曲线

图11对比了几种试验工况下结构模型的顶点水平位移时程曲线。由图11可以看出,模型修正子结构拟动力试验较普通子结构拟动力试验,模型顶点水平位移时程曲线与准确试验工况下更吻合;两者最大顶点水平位移相对误差值分别为:3.37%,11.39%。试验结果说明本文采用最小二乘法实现模型修正是可行的,模型修正子结构拟动力试验的试验精度较常规子结构拟动力试验,试验试验结果更接近于真实试验。

3.5.3 恢复力时程曲线

图12分别为数值子结构斜撑在常规子结构拟动力试验、模型修正子结构拟动力试验和准确试验三种工况下的恢复力时程曲线对比。由图12可以看出,模型修正试验中数值子结构恢复力时程曲线形状较不考虑模型修正情况下,更接近于准确试验时数值子结构斜撑的滞回曲线。常规子结构拟动力试验恢复力峰值相对误差为22.93%,模型修正试验恢复力峰值相对误差为-2.83%。

4 结论

(1)对剪切模型和杆系模型取不同数量试验子结构,进行了子结构拟动力试验。结果表明,从最大顶点位移、最大基底剪力和最大底层层间位移来看,随着试验子结构数量增加,子结构拟动力试验的精度逐渐提高,呈现出近似二次抛物线形变化规律,说明试验结果主要受模型第1、2阶振型影响。

(2)当受试验设备条件限制,仅取少量构件为试验子结构进行真实物理试验时,试验子结构对试验结果精度的贡献较小,而数值子结构是否准确模拟则对试验结果精度有很大影响。此时,子结构拟动力试验结果精度不高,进行子结构拟动力试验的意义不大。

(3)利用试验子结构观测数据,基于最小二乘法可以较为有效地识别线弹性恢复力模型参数,且具有较好的精度。多种工况下的子结构拟动力试验结果对比表明:在子结构拟动力试验过程中,基于最小二乘法的模型修正子结构拟动力试验,较常规子结构拟动力试验,可以显著提高子结构拟动力试验的精度。

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结构有限元模型修正 第4篇

关键词：人口结构,居民消费,协整分析,误差修正模型

1 绪 论

人口老龄化是当今全球性的一个重大、复杂的社会现实问题。根据第六次人口普查结果,我国 ( 大陆) 人口总量为13. 39亿,60岁及以上人口占比13. 26% ,其中65岁及以上人口占比8. 87% 。在此大背景下,北京市也面临着严峻的人口老龄化趋势,是我国最早进入老龄化社会的大城市之一。人口是产业经济活动的承担者,也是消费活动的主体,人口结构的变化将对劳动力供给、居民消费变化等产生重要的影响。从人口与消费关系的视角,对北京市人口结构变化对居民消费倾向的影响进行实证研究,对首都经济发展、产业结构优化具有重要的依据参考意义。

国外较早将人口年龄结构和居民消费 ( 或储蓄) 联系起来的理论是美国经济学家莫迪利亚尼 ( Modigliani,1954) 和布伦伯格 ( Brumberg,1954) ,他们提出了生命周期假说,该假说将消费与收入和消费者的生命周期密切联系在一起,假定消费者将按照效用最大化原则,将一生的预期总收入在不同年龄阶段进行最优配置。在此之后费希尔 ( Fisher,1956) 和弗里德曼 ( Friedman,1957) 、萨缪尔森 ( Samuelson,1958) 和内尔 ( Neher,1971) 、霍尔 ( Hall,1978) 等分别从预防性储蓄、“养儿防老”、随机游走等角度对人口和消费的关系进行了理论探索。实证方面由于数据和计量方法选择的不同,研究的结论也存在很大的差异,莫迪利亚尼 ( Modigliani,1966) 利用跨国横截面数据进行的实证结果支持他的观点: 储蓄率与少儿人口和老年人口之间存在显著的负相关关系。由于利用横截面数据的回归结果难以控制与国家有关的特定问题的影响,也有大量实证研究使用单个国家的时间序列数据对人口年龄结构与储蓄率进行协整回归,但对于人口年龄结构与消费之间的关系仍然没有统一的结论。威尔逊 ( Wilson,2000) 对澳大利亚和加拿大两国的储蓄时间序列数据作协整回归,实证结果并不支持人口年龄结构与消费的关系。而莫迪利亚尼 ( Modigliani) 和曹 ( 2004) 对中国1953—2000年储蓄时间序列数据的估计结果却发现,长期人均收入增长率和人口年龄结构的变化可以用来解释中国的高储蓄率。面板数据比横截面数据或时间序列数据具有很多优点,因而可以在很大程度上改善估计结果。但是,使用面板数据对人口年龄结构与居民储蓄率之间关系的研究也同样没有得到一致的结论。

国内对人口和消费关系的研究起步较晚,贺菊煌( 1998,1995) 分别研究了稳定人口状态和非稳定人口状态生命周期假说框架下的居民消费函数模型。贺菊煌( 2000) 、陈钰芬 ( 2004) 、陆杰华等 ( 2004) 仅将人口自然增长率加入其所研究的消费函数模型中进行实证分析,并没有将人口年龄结构直接引入消费函数。将人口年龄结构变量直接引入消费函数进行研究的代表性文献主要包有国家统计局《居民消费增长因素分析》课题组、王金营和付秀彬 ( 2006) 、李文星和徐长生 ( 2008) 等。从经验研究结论方面来看,国内人口年龄结构和社会储蓄率( 消费率) 关系的经验研究,有些因为采用了不同的研究方法得到的结论不尽相同,而有些由于存在着区域间经济社会发展的差异以及不同地区老龄化程度的差异,因此得到的结论也不尽相同。

2 协整模型简介

协整理论及相关方法由恩格尔 ( Engle) 和格兰杰( Granger) 于1987年提出,该理论的基本逻辑是: 一些非平稳的时间序列变量,其线性组合有可能是平稳序列。这种平稳的线性组合被称为协整方程,且可被解释为变量之间的长期稳定的均衡关系。例如,假设两个一阶单整I( 1) 过程 { Yt} 和 { Xt} 可以分别表示为:

其中,Wt= Wt- 1 + νt,而εt,μt和νt均为白噪音,由于 { Yt} 和 { Xt} 拥有共同的随机趋势Wt,故二者的如下线性组合为平稳过程:

在这种情况下,{ Yt} 和 { Xt} 具有协整关系 ( Co Integrated Relationship) ,向量 ( δ, - β) 为协整向量 ( Co- Integrating Vector) 。对于两个I ( 1) 变量,只可能存在一个协整关系,而对于n个I ( 1) 变量,则最多可能存在n - 1个协整关系,协整关系的个数被称为协整秩,即线性无关的协整向量的个数。协整关系的检验一般采用EG - ADF检验或Johansen协整检验,前者适用于两个变量间的协整关系检验,后者更适合多变量的协整关系检验。

3 数据描述与检验

3. 1 数据说明

本文以居民消费倾向、人均可支配收入、少儿抚养系数和老年抚养系数为主要变量,数据来源为北京市统计年鉴,数据形式为年度数据,时间跨度为1982—2012年。居民消费倾向 ( WCR) 是由城镇居民和农村居民的居民消费倾向加权得到,城镇居民消费倾向等于城镇居民消费性支出占人均可支配收入的比重,农村居民消费倾向等于农村居民生活性消费支出占人均纯收入的比重。人均可支配收入 ( WPCDI) ,是城镇居民人均可支配收入和农村居民人均纯收入加权得到,加权方法和居民消费倾向变量相似。少儿抚养系数 ( YD) ,等于0岁 ~ 14岁人口数与15岁 ~ 64岁人口的比值。老年抚养系数 ( OD) 等于65岁及以上人口数与15岁 ~ 64岁人口的比值。各项数据的描述性统计结果详见表1,由该表可看出,各变量均服从正态分布的原假设。

3.2 数据的平稳性检验

平稳性检验是时间序列变量分析的必要前提,而ADF检验则是平稳性检验的常用方法,如表2所示,所有变量均不能拒绝存在单位根的原假设,此外,通过进一步检验可发现LWCR、LWPCDI、LYD和LOD的一阶差分变量均为平稳变量,即这四个变量皆是1阶单整变量,因此可以在上述四个变量的基础上尝试建立协整模型。

LWCR 表示对数化后的加权居民消费率LWPCDI 表示对数化后的加权人均可支配收入LYD 表示对数化后的少儿抚养系数LOD 表示对数化后的老年抚养系数c,t,n 分别表示截距项、趋势项、滞后阶数

3.3 实证分析———协整秩检验

为了确定各变量间是否存在协整关系以及协整关系的数量,需对变量进行Johansen检验。迹统计量和最大特征值统计量是常用的Johansen检验统计量,但一般认为迹检验的效果比特征值检验效果更好。表3显示,最大协整秩为0和1的原假设均被拒绝,但不能拒绝最大协整秩为2的原假设 ( 迹检验统计量13. 3593 < 临界值) ,因此可认为加权居民消费率、加权人均可支配收入、少儿抚养系数、老年抚养系数 ( 数据均经过对数化处理) 之间存在两个协整关系。

建立协整方程

建立协整模型之前,应确定模型的最佳滞后期。通过多次尝试,可发现滞后阶数为4时,包括FPE ( 最终预测误差) 、AIC ( 赤池信息准则) 在内的多项指标均取得最小值 ( 见表4) ,因此可认为应将协整模型的滞后阶数确定为4阶。

在上述分析基础上建立协整模型。如表5所示,首先,协整方程1表明,加权居民消费倾向LWCR、老年抚养系数LOD、少儿抚养系数LYD之间存在一个协整关系,而加权人均可支配收入LWPCDI被排除在外,协整方程式为:

该方程式表明,长期而言,老年抚养系数和少儿抚养系数与加权居民消费倾向存在正向的均衡关系,且老年抚养系数的弹性为1. 27,少儿抚养系数的弹性为0. 545。ECM为误差项,将作为下文中误差修正模型的误差修正项。

其次,协整方程2描绘了加权人均可支配收入LWPCDI和其余三项变量的协整关系,但是加权居民消费倾向LWCR的系数值极小,约为 - 3. 55×10 - 15,故可以忽略。由于本文主要研究对象为居民消费倾向,因此协整方程2的经济意义和合理性不做正式探讨。

误差修正模型:

R2= 0. 775,△表示一阶差分变量。

根据格兰杰定理,一组具有协整关系的变量一定具有误差修正模型的表达模型存在,这一模型可以揭示变量之间的动态关系。在协整方程的基础上建立向量误差修正模型 ( 方程X) ,ECM - 1表示误差修正项,反映各变量之间的长期均衡关系,其系数为 - 0. 678表明变量之间偏离长期均衡状态时,将其调整到均衡状态的调整速度,ECM- 1 = LWCR - 1 - 1. 27LOD - 1 - 0. 545LYD - 1 + 4. 608。首先,该VECM模型伴随矩阵的所有特征值均落在单位圆之内,具备稳定性,且在最大滞后阶数为6的情况下均无法拒绝残差不存在自相关的原假设; 其次,从该模型可看出,在短期内加权居民消费倾向的变动主要根据老年抚养系数和少儿抚养系数来进行调整,加权人均可支配收入对居民消费倾向没有影响。同时,短期内,少儿抚养率的变动 ( 滞后3期) 对消费率产生负向的调整作用,即过去的少儿抚养率增长会抑制现在的消费率增长; 此外,老年抚养率的变动对消费率产生正向的作用。

4 结论及政策建议

本文利用1982—2012年的年度数据,以协整分析及误差修正模型为理论工具,对北京市人口结构变动对居民消费的影响进行了实证分析,主要研究结论及政策建议如下。

从长期看,老年抚养系数和少儿抚养系数对居民消费倾向呈正向的影响。根据计量实证分析的结果,加权人均消费支出倾向与老年抚养系数和少儿抚养系数之间存在正向的长期均衡关系 ( 协整关系) ,且从长期来看,老年抚养比率和少儿抚养系数越高,消费倾向也越高。这表明,改革开放以来的人口自然增长率的快速下降引起的少儿抚养系数下降,在一定程度上抑制了北京市的居民消费需求的增长。“单独二胎”政策的实施有望在一定程度上刺激妇女总和生育率的增长,在缓解人口老龄化和劳动力短缺等社会问题的同时,也将对居民消费率的增长形成利好。但单独二胎政策的实施效果如何,是否要全面放开二胎政策,还有待进一步深入研究。