解数学题范文

解数学题范文（精选12篇）

解数学题 第1篇

两个同学的答案都是正确的,但过程都有问题. 同学1的问题在于化简成功后,却没有代入化简后的式子简化求解,而是代入原式中死算,浪费时间;而同学2在一开始化简时就漏掉x,却还“参考”着他人的答案,要保持最后的结果与“答案”一致.

记得老师是这样说的:同学2最大的问题在于作假,抄下来的就是错误的,后面的运算却得到了正确的答案,说明他的答案是在迎合大家的答案,并没有真正去检查、找出错误,这是弄虚作假. 我们学校有个校训是“求真”,看来在这里也值得你们认真学习和体会啊!

解数学题的逆向思维 第2篇

解数学题的逆向思维

运用逆向思维方法,使一些较难解决的问题迎刃而解,如这篇文章中涉及的.三类问题,其解法都比较巧妙.

作 者：贺P 作者单位：邵阳市一中,湖南,邵阳,42刊 名：邵阳学院学报(自然科学版)英文刊名：JOURNAL OF SHAOYANG UNIVERSITY(SCIENCE AND TECHNOLOGY)年，卷(期)：1(2)分类号：B804.4 O141.3关键词：调:逆向思维 均分法 迭代

联系图形，巧解数学题 第3篇

在学习因式分解时，我们也用到了类似的方法.

看下面的问题：

如图3，阴影部分是边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形后所得到的图形4，请借助此图，验证平方差公式.

数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化.初中数学研究的对象大致可分为数和形两大部分.数与形是有联系的，这个联系就称之为数形结合.

作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种情形：或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系.即数形结合包括两个方面：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”.

其实，数形结合的思想方法，我们上学期就接触到的.比如，在学习“绝对值”的概念时，我们说：数轴上，表示数a的点到原点的距离，就是数a的绝对值.像x-m这样的代数式，也可以类似地看成是：数轴上，表示数a的点到表示数m的点的距离.借助这一思想方法，我们来试试解下面的问题：

方法二：数形结合

我们可以把代数式x-1+x-3看作两个距离之和，即：数轴上，表示x的点与表示数1、3的两点的距离之和.示意图如下：

结合图5，若表示数x的点P在数轴上移动，易知当点P运动到1与3之间时，两个距离之和最小，相当于表示1与3的两点之间的距离，即为2.故此，原式的最小值为2.

比较两种解法可以发现，后者简明扼要.同学们可以试着用这种方法解答第2题，答案在本文末找.小提示：x+3=x-（-3），故x+3可以看作表示x的点与表示-3的点之间的距离.

其实，数形结合这个独特的思想方法，还有着很多的应用.据传，古希腊著名数学家毕达哥拉斯借助八个完全相同的直角三角形进行拼图，验证了直角三角形的三边a、b、c之间有着特殊的关系，你能借助下图进行探索吗？

同学们找到a、b、c之间的关系了吗？这就是我们下学期即将要学到的著名的勾股定理：直角三角形的两直角边a、b与斜边c之间符合：a2+b2=c2.这个定理在西方被称为毕达哥拉斯定理.

用心观察，运用经典的数学思想方法，也许将来的某一天，在数学论著中也能出现以你的名字命名的数学结论呢.

附：代数式x+3+x+2+x-1+x-2的最小值为8.

表格法解数学题 第4篇

一、列方程解应用题

用表格法列方程解应用题, 主要应用于工程问题、行程问题、年龄问题、数字问题、分配问题、经济问题等类型.

例1某市为治理污水, 需要铺设一段全长为300米的污水排放管道.铺设120米后, 为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响, 后来每天的工效比原计划增加20%, 结果共用30天完成这一任务.求原计划每天铺设管道的长度.

解析:设原计划每天铺设管道x米, 相关数量可列成如下表格:

二、逻辑推理应用题

如果推理问题的数量关系相互交错, 很难直接用代数式进行演算, 这时将已知量和未知量在表格中标示出来, 就能比较容易发现各数量之间的关系, 从而找到解题途径.

例2甲、乙、丙、丁、戊五名同学参加推铅球比赛, 通过抽签决定出场顺序.在公布顺序前每人都对出场顺序进行了猜测.甲猜:乙第三, 丙第五;乙猜:戊第四, 丁第五;丙猜:甲第一, 戊第四;丁猜:丙第一, 乙第二;戊猜:甲第三, 丁第四.老师说每人的出场顺序都至少被一人猜中, 则出场顺序中, 第一是__________, 第二是_________, 第三是__________, 第四是__________, 第五是__________.

解析:根据题意, 将每人猜测的出场顺序填入下表:

因为每人的出场顺序至少被一人猜中, 戊被猜测的两个顺序都是4, 因此, 从表格中容易看出戊的出场顺序只能是第四, 从而推出丁是第五, 丙是第一, 甲是第三, 乙是第二.

三、简单计算问题

利用表格形式, 将题目中的条件与问题之间错综复杂的关系进行倒序还原推算, 使问题展示清楚, 结果便一目了然.

例3 A、B、C三人各有豆若干粒, 要求互相赠送, 先由A给B、C, 所给的豆子数等于B、C原来各有的豆子数, 依相同方法再由B给A、C现有的豆子数, 最后由C给A、B现有的豆子数, 互送后每人恰好各有豆子64粒, 问原来三人各有豆子多少粒?

解析:用倒推的方法, 通过列表排序, 可从每人64粒入手, 把“进”的减去, 把“送”的收回, 列成下表:

注:

第二行从C开始, 将A、B减半收回;

第三行再由B开始将A、C减半收回;

第四行由A开始将B、C减半收回;

第五行可知A、B、C原来分别有豆子104粒、56粒和32粒.

四、概率问题

例4 (2008年, 长春中考题) 汉字是世界上最古老的文字之一, 字形结构体现了人类追求均衡对称、和谐稳定的天性.如图1, 三个汉字可以看成是轴对称图形.

(1) 如图2, 请在方框中再写出2个类似轴对称图形的汉字;

(2) 小敏和小慧利用“土”、“囗”、“木”三个汉字设计一个游戏, 规则如下:将这三个汉字分别写在背面都相同的三张卡片上, 背面朝上抽出一张, 放回洗匀后再抽出一张, 若两次抽出的汉字能构成上下结构的汉字 (如“土”“土”构成“圭”) 小敏获胜, 否则小慧获胜.你认为这个游戏对谁有利?

解析:

(1) 类似轴对称图形的汉字很多, 如日、田、王等.

(2) 分析题意可知, 每次游戏时, 所有可能出现的结果如下表:

培养学生解数学题的能力 第5篇

解题是学好数学的必由之路，但是不同的解题指导思想会有不同的解题效果。养成对自己的解题过程进行反思的习惯是具有正确的解题思想的体现。例如：分类讨论的思想最初见于有理数概念的引入，并在以后各章节内容中不断加强这种思想。如绝对值性质的讨论，二次根式的化简，一元二次方程根的情况，三角形的分类，四边形的分类等等。

尤其是到了初三《圆》这一章，渗透分类讨论思想的内容就更丰富。具体体现在以下几个方面：许多概念都涉及到分类的思想，如点和圆的位置关系、直线和圆的位置关系、圆与圆的位置关系;在定理中强化分类意识，如圆周角与弦切角定理的证明;此外，课本安排了不少分类讨论的习题，通过对具体问题的解决，培养学生的分类意识与方法。实际上，在圆这部分知识中，由于圆是轴对称图形，有关圆的计算题，都不得必须根据对称性进行分类求解。因此，在教学过程中，应充分结合这些知识，渗透分类的思想，明白分类的必要性，明白分类的标准必须相同，分类的原则应不重复、不遗漏。

对问题的理解进行反思，对有联系的问题进行反思

解题后，对数学问题由此及彼地联想，其中，有时要对问题追根溯源，多问几个“为什么”?有时是从一个问题联想到与它形式不同但实质完全一样的多种叙述或表达方式，这样，就能培养我们抓住问题实质的本领，培养思维的连动性、流畅性和变通性。解题后对问题本质进行重新分析，在将思维由个别推向一般的过程中使问题深化，使问题的抽象程度不断提高。例如，在上“长方体物体包装设计”时，通过让学生自主设计一个体积是24立方厘米的长方体包装盒，汇报种.种情况，再变动数据，再次设计。最后引导学生反思：“如何设计，包装盒所需的材料会更省些?”学生通过观察、联想，从中寻找内在联系，发现长、宽、高越接近，所需的材料就越省。这样的反思，可使学生思维的抽象程度提高，这比解决出结果意义更加重要。

如何用逆向思维解数学题 第6篇

关键词：逆向思维；反面思考

中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2015）07-204-02

一、反问题程序

反问题程序是逆向解题的一种表现之一，在运用反问题程序解题时，关键是抓住题目中所提的问题，把原问题逆转后代入题目中反程序思考。当然，在利用反问题程序的思维方式解题时，对题目的针对性较强，但此种方法只要一适合解所给题时，往往是简单快捷。

例1：100个士兵站成一行，自1起报数，凡报奇数者离队，留下的再次自1起报数，凡报奇数者又离队，这样反复下去，最后留下一个士兵，问这个士兵第一次报数为多少？

解法探求：若按问题的原程序，第一轮报数后划掉被淘汰者，第二轮报数后又划掉被淘汰者，如此下去，没有几轮就搅昏了阵线。现我们转换一种思维方式，把原问题逆转变为了“这个士兵最后一次报数为多少？”易知其在倒数第1轮必报2，在倒数第2必报4，在倒数第3轮必报8，极易得出，倒推回去此兵依次报的是16、32、64。则第一轮报数为64。

可见在解决类似上面所给问题时，首先应判断能否用反问题程序来解，即由题目中所给问题的可逆性，思考逆转后的问题有什么结果，能否推解到原问题中。因而，可用以下示意图来表示其解题思路：

二、反条件结论

这种逆向解题的思维方式主要是表现在对所给题目的条件或结论进行否定后再思考，采取“变过去再变回来”的模式。然而在运用此类逆向思维解题时，一定要深刻认识进行变动后的题目，即弄清它们的反面意义，确保“变回来”之后是原命题之解。

1、求补法

当题目条件本身复杂，或直接根据题目条件求解困难时，可考虑在与原题条件相反的条件下求解，将所得结果取其反面，便回到了原题条件下的结论，此法即为求补法。

它们中至少有一个存在实数根，求m的取值范围。

解法探求：至少有一方程有实根包括七種情况，分别讨论它们的判别式比较费事，而题目条件“至少有一个存在实根”的反面是“三个方程都没有实根”，这反面条件情况单纯，故若改为在反面条件下解出m的取值范围，便可简捷地以其补集作为原来题目的解。

这种思维方法思路清晰，用它解决相关问题时可避免正向思考所带来的大量麻烦。同时它也解决了与原条件相对的问题，更有利于把握知识之间的内在联系。这里针对求补法的解题思路可表为下图：

2、反证法

反证法就是假设结论的反面成立，由此导出与题设、定义、公理、定理相矛盾的结论，从而推翻假设，肯定原结论成立的证明方法。它是通过推证“结论的反面是错误的”，从而肯定“结论本身是正确的”，是逆向思维解决数学问题中的一种有效证题方法。由于此种方法在中学课本和相应书籍中介绍得较多，大家比较熟悉，这里不再举例赘述。

三、反推理

由于人们在解题过程中长期受正向思维的影响，从所给题目的条件出发，逐步推得必要条件，最后导出结论，然而当在正向推理受阻时，可以考虑先从结论出发，逐步追溯充分条件，直追溯到题目所给条件为止，这就是通常所指的分析法。在用这种逆向思维解题时应注意在反推的每一步中都可逆。

解题的最终目的是由条件导出结论，所以人们最易想到从条件开始入手，但有时较困难，这时从结论入手往往迎刃而解，上例则正是用反推理说明了这一点。

四、反公式、定理、定义

数学公式本身是双向的，可是不少人只会从左到右地运用公式，对逆用公式，特别是逆用变形的公式很不习惯。其实，只有灵活地运用公式才会形成好的解题技巧，提高解题能力。

数学定理有不可逆和可逆的，教材中有的给出了逆定理，如勾股定理的逆定理，但尚有许多定理未讨论它的可逆性，有的却在直接应用。事实上，对某些重要定理的可逆性探讨是必要的，它是解决某些数学问题最简单快捷的方法。

对于数学定义，也应注意它们的可逆性，因为在解决数学问题的过程中，往往要求对定义逆向运用，这可是突破某些问题的关键点。在此还要提醒一下法则的逆用，法则反映着一定的数学规律，是揭示数学元素间的内在联系和解决问题的重要工具。下面针对韦达定理在逆向解决数学问题时表现出的优越性举一例。

五、反例法

应用函数思想解高中数学题 第7篇

一、构造函数、运用函数性质

例1已知关于x的方程x2- (2a+1) si n (cosx) +1-4a2=0有唯一实数解, 求实数a的所有取值。

分析:构造函数f (x) =x2- (2a+1) si n (cosx) +1-4a2, 则问题转化为求f (x) 的零点唯一时a的取值。

解析:构造函数f (x) =x2- (2a+1) si n (cosx) +1-4a2。

由f (x) =f (-x) 知f (x) 是偶函数,

∴若x0是f (x) 的解, 则-x0也是f (x) 的解。

又∵方程有唯一实数解,

点评:有关不等式、方程及最值之类的问题, 通过构建函数关系式, 借助函数的图象与性质, 常可使问题简单易解。构造出函数之后, 要充分研究这一函数可利用的性质, 善于挖掘隐含的条件。

二、选定主元, 揭示函数关系

例2已知函数f (x) =, 当x∈[-2, -]时, 对任意实数k∈[-1, 1], f (x) <λ2+ (k-4) λ-2k恒成立, 求实数λ的取值范围。

分析:从一个含有多个变元的数学问题里, 选定合适的主变元, 围绕这个变元, 揭示其中主要的函数关系, 是求解此类问题的常用方法。本例中可在k、λ中选一个变量作主元。

解析:令f

解得x=±1 (正的不合题意) 。

∵当x[-2, -1]时, f' (x) >0;当x∈

∴函数f (x) =x3+在x=-1处取得极大值, 极大值为f (-1) =-4。

故问题转化为不等式λ2+ (k-4) λ-2k>-4, 当k∈[-1, 1]时恒成立, 求λ的取值范围。

设函数g (k) =λ2+ (k-4) λ-2k+4= (λ-2) k+λ2-4λ+4。

∵函数g (k) 是一个以k为自变量的一次函数, 且在k∈[-1, 1]上是单调的,

∴即, 解之得λ<1或λ>3。

点评: (1) 不等式恒成立问题可转化为函数的最值问题, 从而利用函数的性质解决。

(2) 本题的另一个巧妙之处是“反客为主”, 求λ反而以k为主元构建函数, 这才是真正切中要害。否则, 若以λ为主元进行讨论, 则问题的解决就繁难多了。

三、选取辅助变元, 确定函数关系

例3求函数的值域。

分析:一般思路是:移项, 平方, 孤立根式, 再平方, 可以化无理式为有理式。面对这样一个不低于四次的含双变量的方程, 其难度可想而知。可考虑转换选取新变元。

解析:∵

故可令x=4+sin2θ () , 则

当θ=时, ymin=1;当θ=时, ymax=2。

∴函数的值域为[1, 2]。

点评:虽然经选取变元后的函数简洁明快, 可以使人拍案叫绝, 但须特别注意:转换后的函数y=2sin (θ+3π) 在[0, π2]上不是单调函数, 故最大值不能在其端点处取得。

四、用函数思想方法解数列题

例4已知不等式对一切大于0的自然数都成立, 求自然数a的最大值。

分析:无法求和, 数列知识就无法起作用, 故可用函数的思想, 借用研究函数单调性的方法研究不等号左边的式子, 求出和的最小值。

解析:令f (n) =, 则

∴f (n) 是n的增函数 (n∈N*) , 故f (n) 的最小值为

∵f (n) >2a-5对任意n都成立 (n∈N*) , ∴>2a-5, 即a<, ∴自然数a的最大值为3。

点评:由于数列是特殊的函数, 故利用数列的函数性质 (本例为单调性) 求出f (n) 的最值。构建函数, 用函数的性质和图象解决问题, 正是函数思想的核心。

五、建立函数关系解应用题

例5某工厂有一面长14m的旧墙, 现在准备利用这面旧墙建造一平面为矩形, 面积为126m2的厂房, 工程条件是: (1) 建1m新墙的费用为a元; (2) 修1m旧墙的费用为元; (3) 拆1m旧墙, 用所得材料建1m新墙的费用为元。经讨论有两种方案: (1) 利用旧墙的一段x (x<1 4) 为矩形厂房一面的边长; (2) 利用旧墙的一面的边长为x (x≥14) 。问如何利用旧墙, 即x为多少时, 建墙费用最省? (1) 、 (2) 两种方案哪个更好?

分析:构建函数模型, 并运用函数性质、不等式等知识处理所得的函数模型。本题可以建墙总费用为目标函数, 通过函数求最小值解之。

解析:设利用旧墙的一面的边长为xm, 则矩形的另一面边长为

(1) 利用旧墙的一段x (x<14) 为矩形一面边长, 则修旧墙费用为x元。用剩余的旧墙所拆得的材料建新墙的费用为 (14-x) 元, 其余建新墙的费用为 (2x+) a元

故总费用为

-1) =35a (0

(2) 利用旧墙的一面的边长为x (x≥1 4) , 则修旧墙的费用为元, 建新墙的费用为 (2x+) a元。故总费用为y=

易证该函数在[14, +∞) 上为增函数。故当x=14时, y取得最小值, ymin=2a

巧换视角,妙解数学题 第8篇

关键词：构造,结构特征,代换

波利亚在《怎样解题》中说:“学生应该专心地、反复地并且从各个方面来考虑题目的主要部分.”由此看出,通过多角度思考问题,从有限的信息中寻找切入点,架设合适的桥梁,形成解题思路,得到解题方法,对于培养学生的解题思维,提升解题能力是有很大促进作用的.

下面,本文从一道数学例题出发,通过对题目信息的全方位解读,从它的结构特征寻找切入点,多角度分析,使问题得以解决.

例设实数x,y满足x2+xy+y2=3,则x2-xy+y2的最大值与最小值之积为___.

角度1着眼于方程

分析与解答条件x2+xy+y2=3,欲求x2-xy+y2=?观察条件、结论均有x2+y2,xy两项,由此可想到用韦达定理表示xy,x+y的值,于是构造方程模型.

令x2-xy+y2=p,

角度2着眼于不等式

分析与解答既然要得到最大值与最小值之积,则结论必在一个取值范围内,不妨从不等式角度切入,由于条件和结论均有xy,x2+y2,则利用均值不等式建立不等式,使问题得以巧妙解决.

则只需将xy的范围得知即可.

角度3着眼于结构

分析与解答条件与结论结构相同,如果将x2+y2看作整体,联想到xy,x+y,x2+y2之间的关系,令x+y=m,再结合条件,用含m的式子表达x2-xy+y2,最后转化成求m的范围,从而求得x2-xy+y2的范围.

则x2-xy+y2=(x2+y2)-xy=9-2m2.

将x+y=m看作直线方程x+y-m=0.

故1≤x2-xy+y2≤9,结论得知.

角度4着眼于代换

分析与解答当题目条件看似简单,且和结论的结构特征一样时,恰当引入新元素,将x,y代换,使信息得以转化,再通过新信息使条件和结论的联系更明显,以此使问题解决.

巧用类比法解数学题 第9篇

一、数与形的类比

在数学研究中, 数与形的类比经常在相反的方向上得到应用。即通过与“形”的比较去推测“数”的有关性质, 又通过与“数”的比较去推测“形”的有关性质。

例1:已知求k的值。

分析:类比两直线

11:ax+by+c=0与l2: (b+c) x+ (c+a) y+ (a+b) =0重合

则有 (a+b+c) (x+y) + (a+b+c) =0

又例:k为何值时, 方程组:

(1) 有一组解? (2) 两组解? (3) 无解?

利用数与形类比, 解法直观, 简单明了。

方程组有一组解, 即直线与半圆只有一个交点;有二组解, 即直线与半圆有两个交点;无解, 即直线与半圆无交点。

所以, 当时有两解;

当时-1≤k<1或有一组解;

当k<-1或时无解。

二、结构上类比

代数中一些特殊的函数结构是非常严密的, 这些严密的结构有时也可推广到一般的形式。

例2、已知f (x) 有f (1) =-2, , 求f (2001) 的值。

分析:观察f (x) 的结构会发现f (x) 与相似

而g (x) 的周期为π是的4倍, 猜测f (x) 的周期为1的4倍即4的周期函数, 下面证明猜测:

结构上类比分发生在代数问题中, 再如函数与数列:

已知函数证an为同函数, 类比为三角中

一些特殊结构的函数具有的性质到一般问题有时亦适用, 体现了由特殊到一般的过程。

三、方法上类比

数学问题千变万化, 但不变的数学解题中的思想, 解题中的方法, 解题中适当的迁移, 巧妙的类比, 往往会事半功倍。

例3:若 (z-x) 2-4 (x-y) =0, 且x≠y≠z

求证:2y=x+z (即x, y, z成等差数列)

分析:通过类比, 类比为一元二次方程的根与系数的关系来解, 构造一元二次方程

因为1是方程的解, 所以方程有两相等实根, 都为1。

由韦达定理, 两根之积为即2y=x+z

四、情境类比

二次函数与三次函数最大的区别在于最高项次数不同, 由此产生了图象性质有明显的差异, 但它们的基本情境是相似, 因而在解决三次函数的问题时, 若能考虑与之情境类似的二次函数问题, 将会大大便于问题的解决。

例4:已知三次函数f (x) =ax3+bx2=cx+d其图象与x轴交于A、B、C三点, B (2, 0) 且f (x) 在[-1, 0]和[4, 5]上单调性相同, 在[0, 2]和[4, 5]上单调性相反, 求|AC|的范围。

分析:通过数形法易得f (2) =0, f' (0) =0, f' (x) 一根为0, 另一根在[2, 4]内有-3a2b∈[2, 4], d=-8a-4b

|AC|即在x轴上的截距故考虑二次函数中用|x1-x2|表示

此类问题在函数中非常普遍, 在解题时运用类比考虑比其低一级类似的问题的解决方案运用联想迁移来解决问题, 从而便于问题的解决。

五、公式类比

数学公式作为解题的工具在解题中是直接使用的, 它能大大的提高解题的效率, 通过类比在相似的条件, 相似的情境下就会得到相似的公式。

例5:在解析几何中点p (x, y) 到直线l:ax+by+c=0的距离为类比上述结论, 可得到在空间中点p (x, y, z) 到平面α:Ax+By+Cz+D=0的距离为

证:设α内任一点M (x, y, z) , 则Ax1+By1+cz1+D=0

P姨姨M= (x1-x0, y1-y0, z1-z0)

平面α的法向量为

一般地, 解几中的公式、方程、定理等都可类比到空间中, 再如在解几中椭圆的方程为类比到空间中椭球方程为, 在类比的方程中需注意量的扩充, 扩充后要能解释扩充量的几何意义。

六、特性类比

由概念、定义出发可得到一系列结论, 这些结论有些在解题中可直接使用。这些概念、定义指问题所满足的特征, 而这些结论是指特定的条件下推出的性质, 在解题时适当的构造出问题的特征, 我们就可以类似的得到的相应的性质。

例6:在数列{an}中a1=1, an=4an-1+3n-1+6类比等比数列, 求a的通项公式。

分析:等比数列的特征是:第一项a≠0第二项起的一项与前一项之比常数q, 性质是an=a1.qn-1因而此题的解决围绕着。构造出第二项起每一项与前一项之比为常数, 这一特征来考虑, 就会得到相应的an的通项公式。

解:设an+p·3n+q=4 (an-1+p·3n-1+q)

设bn=an+3n+2则b1=6当n≥2时, bn=4bn-1

∴bn=b1·4n-1即an+3n+2=6×4n-1

∴an=6×4n-1-3-2

特性类比在解题中使用非常广泛, 其关键在于探出问题的特征, 这往往需构造也是问题解决的关键点, 构造时需考虑概念定义的背景、产生的原因, 紧抓概念中的关键词进行比较, 发现解决问题的突破口。

总结:

如何关注初中生解数学题出错 第10篇

在初中数学教学中, 大多数教师对学生出现的解题错误往往采取严厉禁止的态度.教师往往只注重教给学生正确的结论, 而不注重揭示知识形成的过程, 对问题的解答不愿进一步分析和讨论, 害怕通过启发学生进行分析讨论后得出错误的结论.长此以往, 学生只接受了正确的知识, 但对错误问题的出现缺乏心理准备, 看不出错误或看出错误但改不对.持这种态度的教师只关心学生用对知识而忽视学生会用知识.例如, 在讲因式分解时, 由于只注重得出正确的结果, 强调如何进行因式分解, 只求完成本节的教学任务, 而对运用因式分解简化运算注意不够, 但后者对发展学生运算能力却更为重要.总之, 这种对待错误的态度会对教师的教学及学生的学习带来一些消极的影响.

事实上, 错误是正确的先导, 成功的开始.俗话说“失败是成功之母”也就是这个道理.学生所犯错误及其对错误的认识, 是学生知识宝库的重要组成部分.因此教师把对待错误的惧怕心理和严厉态度转变为承受心理和宽容态度是十分有必要的.因为数学学习实际上是不断地提出假设, 修正假设, 使学生对数学的认知水平不断复杂化, 并逐渐接近成熟的过程.从这个意义上说, 错误不过是学生在数学学习过程中所做的某种尝试, 它只能反映学生在数学学习的某个阶段的水平, 而不能代表其最终的实际水平.此外, 正是由于这些假设的不断提出与修正, 才使学生的能力不断提高.因此, 揭示错误是为了最后消灭错误, 在教学中给学生展示的这一尝试、修正的过程, 是与学生独立解题的过程相吻合的.因而学生在教师教学过程中学到的不仅仅是正确的结论, 而且领略了探索、调试的过程, 这对学生的解题过程会产生有益的影响, 使学生学会分析与探索, 自己发现错误, 改正错误.教师只有具备这样的承受心理与宽容态度, 才会耐心寻找学生解题错误的原因, 并做出适当的处理.

二、初中学生解题错误的原因

学生能顺利正确地完成解题, 表明其在分析问题、探索问题和解决问题时, 提取、运用相应知识的环节上没有受到干扰或者说克服了干扰.若在上述环节上不能排除干扰, 就会出现解题错误.就初中学生解题错误而言, 造成错误的干扰主要来自以下两方面:一是小学数学的干扰, 二是初中数学前后知识的干扰.

(一) 小学数学的干扰

从进入初中一开始, 学生在小学数学学习中所形成的某些认识会妨碍他们在初中学习的代数初步知识, 使其产生解题错误.

例如, 小学数学中形成的一些结论都只是在没有学负数的情况下成立的.在小学, 学生对两数之和不小于其中任何一个加数, 即a+b≥a是坚信不疑的, 但是, 学了负数后, a+b

总之, 初中数学的开始阶段, 学生解题错误的原因常可追溯到小学数学知识对其新学知识的影响.教师在教学中要讲清新学知识的意义 (如用字母表示数) 、范围 (正数、0、负数) 、方法 (代数和、代数方法) 与旧有知识 (具体数字、非负数、加减运算、算术方法) 的不同, 这样才有助于克服干扰, 减少初始阶段的错误.

(二) 初中数学前后知识的干扰

随着初中知识的展开, 初中数学知识本身也会前后相互干扰.

例如, 在学有理数的减法时, 教师反复强调减去一个数等于加上它的相反数, 因而5-9中9前面的符号“-”是减号给学生留下了深刻的印象.紧接着学习代数和, 又要强调把5-9看成正5与负9之和, “-”又成了负号.学生不禁产生到底要把“-”看成减号还是负号的困惑.这个困惑不能很好地消除, 学生就会产生运算错误.

其次, 学生在解决一些单一问题与综合问题时的表现也可以说明这个问题.学生在解答单一问题时, 需要提取、运用的知识少, 因而受到知识间的干扰小, 产生错误的可能性小;而遇到综合问题, 在知识的选取、运用上受到的干扰大, 容易出错.

总之, 这种知识的前后干扰, 常常使学生在学习新知识时出现困惑, 在解题时选错或用错知识, 导致错误的发生.

三、减少学生解题错误的方法

由上所述, 学生不能顺利正确地完成解题, 产生解题错误, 表明其在解题过程中受到多方面的干扰.因此, 减少学生解题错误的方法是预防和排除干扰.为此, 作为教师必须要抓好课前、课内、课后三个环节.

(一) 课前准备要有预见性

预防错误的发生, 是减少初中学生解题错误的主要方法.讲课之前, 教师如果能预见到学生学习本课内容可能产生的错误, 就能够在课内讲解时有意识地指出并加以强调, 从而有效地控制错误的发生.同时还要揣摩学生在学习授课内容时的心理过程, 让学生预先明了容易出错之处, 防患于未然.如果学生出现问题而未察觉, 错误没有得到及时的纠正, 则遗患无穷, 不仅影响当时的学习, 还会影响以后的学习.因此, 预见错误并有效防范能够为揭示错误、消灭错误打下基础.

(二) 课内讲解要有针对性

在课内讲解时, 要对学生可能出现的问题进行针对性的讲解.对于容易混淆的概念, 要引导学生用对比的方法, 弄清它们的区别和联系.对于规律, 应当引导学生搞清它们的来源, 分清它们的条件和结论, 了解它们的用途和适用范围, 以及应用时应注意的问题.教师要给学生展示揭示错误、排除错误的手段, 使学生会识别错误、改正错误.要通过课堂提问及时了解学生情况, 对学生的错误回答, 要分析其原因, 进行针对性的讲解, 利用反面知识巩固正面知识.课堂练习是发现学生错误的另一条途径, 出现问题, 及时解决.总之, 要通过课堂教学, 不仅教会学生知识, 而且要使学生学会识别对错, 知错能改.

(三) 课后讲评要有总结性

批改作业时要认真分析学生作业中的问题, 总结出典型错误, 加以评述.通过对作业中学生出现的错误的讲评, 进行适当的复习与总结, 也使学生再经历一次调试与修正的过程, 增强识别、改正错误的能力.

残疾老农解千古数学难题 第11篇

“按照他的理论，好像破了千古之谜”

近日，我随丰都县中学资深高中数学教师刘华一起，来到了丰都县高家镇文昌路柿子梯道12号“海峰”的住所。一位穿着旧解放鞋的老农倚在门口，他就是“海峰”——今年已经62岁的残疾农民李亚明。

李亚明的家是移民后的还建房，仍保持着“清水房”的样子。在他妻子的卧室里，有一台小彩电和一台崭新的电脑，也是他家里唯一值钱的东西。

“这些就是我毕生的心血。”李亚明从自己的卧室里抱出一个塑料口袋，小心翼翼地从里面掏出一摞上千页的材料。上面画着密密麻麻的几何图形，并配有大量演算过程的图示。随后，他从里面掏出一本名为《中国环球尺规学》的论文说：“我所有的结论就在这上面了。”

刘华看后解释称，李亚明研究的是“三等分角、立方倍积、化圆为方”这三大难题。据介绍，这是著名的古代几何作图难题，早在2400年前《几何原本》问世之前就提出了，至今仍无人能解。

“按照他的理论，好像是破解了这千古之谜。”刘老师沉思着说，“李亚明在破解的过程中，用了一套自己研发的‘工具’，然而这套‘工具’是否有价值，现在还不好说，需要专家进行相关论证。”

“稿纸装了11麻袋，占了大半间卧室”

回忆起自己为何痴迷数学研究，李亚明称，自己在初中刚接触几何学时，就听数学老师说起了《几何原本》中的三大难题，至今无人能解。那时年仅16岁的他就有了这个想法：要学好数学，将来一定要解开这个谜。

李亚明念完初中就不得不放弃学业，开始下乡。1975年，李亚明在生产队一边工作，一边找来高中数学教材自学。次年他与冉启兰结为了夫妻。全国恢复高考后，成绩优异的他却因是已婚身份导致无法上大学。无奈之下，李亚明找来大学数学教材，一边务农，一边自学。“研究这几个难题需要一套完整的数学体系，我必须自学大学数学。”李亚明称，由于当时没人教，周围没人懂，自己只能琢磨着自学，最终花了3年时间将大学数学全部学完。

由于贫穷，纸用完了没钱买，李亚明就拄着棍子到当地政府门口收旧报纸，用来当草稿纸。笔用完了，李亚明就跑到学校找学生施舍……镇政府里的人都以为他喜欢读报，没有要他的钱。而当地的学生则将他当成一个疯子，看他可怜就送一支铅笔给他。

冉启兰称，在移民搬家前，李亚明所用的稿纸装满了11个麻袋，几乎占据了他大半间卧室。

“研究数学就像吸毒一样，欲罢不能”

李亚明的第一个研究成果就是发明了“无穷极等分线段”和“无穷极等分弧段”。“这两个理论的研究成功，是我破解千年难题的关键。”李亚明眼里闪过一丝兴奋，他称，当时自己连续三天三夜没有睡觉，饿了吃口馒头，渴了喝口水。研究成功后，自己还央求妻子炒了一盘回锅肉来慰劳自己。

“我研究数学这件事，除了家人，没给任何人提起过。”李亚明表示，由于自己研究的数学跟通常学校里教的不同，周围的人都不懂，完全无法沟通。于是李亚明只能在家独自画图研究。

在李亚明的家里，找不到任何一本数学大家的著作。李亚明称，首先是没钱买，其次是几何上的三大难题由于千年来都无解，买书来看也没用。

35年的时间里，李亚明一直沉浸在自己的数学世界中。“研究数学就像是吸毒一样，每天都让我欲罢不能。”李亚明称，如果一个问题没有解决，自己就会整晚睡不着，喝醉酒、吃安眠药，都无济于事。在他的卧室看到，除了一张床和一盏昏暗的吊灯，只剩下几个泡菜坛子和几大麻袋焦炭。夏天，李亚明就趴在草席上彻夜画图，冬天就蜷缩在被子里进行研究。

现在，李亚明几乎每天都要研究数学到次日凌晨3点，然后早晨6点起床去地里除草，顺便放松头脑。午饭休息一阵后，又继续投入到数学研究中。

刘华对此表示，李亚明可亲自将其送往西南大学数学研究协会或者北京的中科院数学研究所，让专家们对其进行论证。

“最大心愿，是将毕生心血公诸于世”

怎样解高考数学填空题 第12篇

一、传统型填空题

1.直接求解法.

直接求解法是直接从题设出发, 抓住命题的特征, 利用定义、性质、定理、公式等, 经过变形、推理、计算、判断而得出结果.这是解填空题时常用的基本方法.

例1在函数f (x) =ax2+bx+c中, 若a, b, c成等比数列且f (0) =-4, 则f (x) 有最_____值且该值为_____.

解:因为a, b, c成等比数列, 可设b=aq, c=aq2, 则f (x) =ax2+aqx+aq2.

又 f (0) =-4, 则aq2=-4.

因为q2>0, 所以a<0.

故f (x) 有最大值, 且为f (-q/2) =3/4aq2=-3.f (x) 有最大值且该值为-3.

2.特殊值法.

当填空题有暗示, 结论唯一或其值为定值时, 我们可以取一些特殊值来确定这个“定值”, 特别适用于题目的条件是从一般性的角度给出的问题.

例2设a>b>1, 则logab、logba、logabb的大小关系是_____ .

解:考虑到三个数的大小关系是确定的, 不妨令:a=4, b=2, 则logab=1/2, logba=2, logabb=1/3.所以logabb

3.数形结合法.

由于填空题不必写出论证过程, 因而可以画出辅助图形进行分析并帮助解答.

例3若函数f (x) =a|x-b|在[0, +∞) 上为增函数, 则实数a、b的取值范围分别是_____ .

解:由已知可画出下图, 符合题设,

故a>0 且b0.

4.等价转化法.

将所给的命题等价转化为另一种容易理解的语言或容易求解的模式.

例4二次函数y=ax2+bx+c (x∈R) 的部分对应值如下表, 则不等式ax2+bx+c>0的解集是_____ .

解:由已知, x=-2, y=0;x=3, y=0.则y= ax2+bx+c可转化为y=a (x+2) (x-3) .由f (0) =-6<0, 知a>0.则a (x+2) (x-3) >0的解集为:{x|x>3}∪{x|x<-2}.

5.升华公式法.

在解填空题时, 常由升华的公式解答, 使之起点高、速度快、准确率高.

例5已知函数y=f (x) 是奇函数, 当x≥0时, f (x) =3x-1设f (x) 的反函数是y=g (x) , 则g (-8) =_____.

解:因为y=f (x) 是奇函数, 设x<0, 则-x>0.

所以f (x) =-f (-x) =- (3-x-1) . 由 (fa) =b等价于f-1 (b) =a得:

- (3-x-1) =-8, 解得x=-2.

故 g (-8) =-2.

6.特征分析法.

有些问题看似非常复杂, 一旦挖掘出其隐含的数量或位置等特征, 此问题就能迎刃而解.

解:本题特征是:f (x) +f (1/x) =1且f (1) =1/2,

故原式=3+f (1) =3+1/2=7/2.

7.归纳猜想法.

由于填空题不要求推证过程, 因此, 我们也可用归纳、猜想得出结论.

例7设{an}是首项为1的正项数列, 且 (n+1) an+12-nan2+an+1an=0 (n=1, 2, 3, ) , 则它的通项公式是an=_____.

解:因为a1=1, 所以, 2a22-1+a2=0, 而a2>0, 则a2=1/2.

又因为3a23-21+1a3=0, a3>0, 所以a3=1/3.

同理a4=1/4, 归纳得an=1/n.

二、开放型填空题

1.多选型填空题.

多选型填空题是指:给出若干个命题或结论, 要求从中选出所有满足题意的命题或结论, 这类题不论多选还是少选都是不能得分的, 因此, 要求同学们有扎实的基本功, 而举反例是否定一个命题的最有效的方法.

例8若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基量”.{an} 是公比为q的等比数列, 下列“基量”为_____组.

①S1与S2;②a2与S3;③a1与an;④q与an (n为大于1的整数, Sn为{an}的前n项和) .

解:因a1与q确定, 则唯一确定一个数列, 对①, S1与S2确定, 即a1, a1+a1q确定, 即a1, q确定;对②, 当a2=1, S3=7/2时, 有a1=2, q=1/2或a1=1/2, q=2这两个数列;对③, 当n为奇数, q=±2时, an相等;对④, q确定, 则a1=an/qn-1是唯一的.故填①④.

2.新定义型填空题.

即定义新情景, 给出一定容量的新信息, 要求考生依据新信息进行解题.这样必须紧扣新信息的定义, 学会语言的翻译、新旧知识的转化, 便可使问题迎刃而解.

例9定义“等和数列”:在一个数列中, 如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数, 那么这个数列叫做等和数列, 这个常数叫做该数列的公和. 已知数列{an}是等和数列且a1=2, 公和为5, 那么a18=_____, 该数列前21项的和S21=_____.

解:由定义及已知, 该数列为2, 3, 2, 3, , 所以a18=3, S21=52.

3.组合型填空题.

组合型填空题是指:给出若干个论断要求考生将其重新组合, 使其构成符合题意的命题.要求考生对知识间的关系有一个透彻的理解和掌握, 理清思路, 进而完成组合顺序.

例10α, β是两个不同的平面, m, n是两个平面外的两条不同直线, 给出四个论断: (1) m⊥n, (2) α⊥β, (3) n⊥β, (4) m⊥α.以其中三个论断为条件, 余下一个论断为结论, 写出你认为正确的一个命题_____.

解:通过线面关系, 不难得出正确的命题有: