函数中的新问题
函数中的新问题（精选12篇）
函数中的新问题 第1篇
一、单调性的应用
利用函数的单调性可以比较抽象函数值或自变量值的大小;求某些抽象函数的值域或最值;解证不等式, 作函数图像。
例1已知函数f (x) 的定义域是 (0, +∞) , 当x>1时, f (x) >0, 且f (xy) =f (x) +f (y) 。
(1) 求:f (1) ;
(2) 证明:f (x) 在定义域上是增函数。
分析: (1) 的求解是容易的;对于 (2) , 应利用单调性定义来证明, 其中应注意f (xy) =f (x) +f (y) 的应用。
解: (1) 令x=y=1, 得f (1) =2f (1) , 故f (1) =0。
(2) 令得任取且则由于故从而
所以f (x) 在 (0, +∞) 上是增函数。
二、周期性与奇偶性的综合应用
周期性与奇偶性常常用于调节自变量的大小, 从而使问题得以解决。
例2已知函数f (x) 是定义域为R的奇函数, 且它的图象关于直线x=1对称。
(1) 求f (0) ;
(2) 证明f (x) 是周期函数。
分析:结合奇函数定义, 以及周期函数的性质, 即证明f (x+T) =f (x) 。
解: (1) ∵函数f (x) 是定义域为R的奇函数,
(2) ∵f (x) 的图象关于直线x=1对称, ∴f (1+x) =f (1-x) , ∴f (x) =f (2-x) ,
即
∴T=4, ∴函数f (x) 是以4为周期的周期函数。
函数中的新问题 第2篇
一、案例背景
《新课标》要求改善学生的学习方式，教师要彻底改变过去那种满堂灌的现象，注重以生为本，一切为了学生，一切为了学生的学习。教师要当好学生数学学习的成功组织者、有效指导者和真诚合作者。
本节课是2012年3月我上的一节数学复习课，本节课主要是通过创设问题情境，给学生充分的时间和空间来搭建展示自我的舞台，让教学真正实现教与学的交往、互动，在交往与互动的合作过程中师生分享彼此的思维、经验和知识，交流彼此的情感、体验和观念，彼此形成一个真正的“学习共同体”。
二、案例主题
课 题：二次函数在实际问题中的应用 素质目标：
1、知识技能目标：让学生进一步掌握二次函数的知识，了解二次函数与二次方程之间的联系和转化关系。
2、过程与方法目标：通过建立二次函数的数学模型解决实际问题，培养学生分析问题、解决问题的能力，提高学生用数学的意识。
3、情感态度与价值观目标：通过实例让学生了解数学源于生活而服务于生活，培养学生用数学的意识和创新能力。重 点：二次函数在实际问题中的应用
难 点：如何用二次函数的数学模型解决实际问题 教法与教具：合作探究法 多媒体
三、案例回放
(一)[创设情景 导出新课] 用多媒体播放一男生推铅球的情形，数学科代表说：这个男生推铅球的距离正好符合我们学习的二次函数：铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)间的关系式为。问其他同学：该男生铅球推出的距离为多少米？
科代表这话题一打开，一石激起千层浪。同学们说：“二次函数在实际问题中的应用非常广泛”。
有的同学说：将铅球换成足球，反过来可看成踢足球射门；有的同学说：电视中跳水运动员在空中运动路线形如一条抛物线；有的同学说：农村的自动喷灌的水流呈抛物线状；有的同学说：军事频道中防空导弹运行的轨道是一条抛物线…等等。这样课堂气氛开始活跃起来。
下面我们来研究一下刚才同学们想到的“二次函数在实际问题中的应用情形”。
(二)[精讲变式，巩固提高] 用多媒体播放踢足球的射门的慢镜头，展示问题1：在一场足球赛中，一球员从球门正前方10米处将球踢起射向球门。球在空中的路线形如 的抛物线，当球飞行的水平距离是6米时，球到达最高点，此时球高3米。已知球门高2.44米，假定在无人拦截的情况下能否射中球门？ [分析]学生们一看果然是踢足球，兴致大增。
教师与学生共同参与探讨：①能否射中的含义是什么？②“当球飞行的水平距离是6米时，球到达最高点，此时球高3米”给你什么启示？③球飞行到水平距离为10米时，其高度是比2.44m大还是小？如何来求这个高度呢？
通过分组讨论，同学们很快发现：必须将足球飞行高度与水平距离的关系式找出来？一位平时不爱学习但非常喜欢踢足球的学生恨不得下位进行演示，并用很快地参与到和本组成员的讨论之中，主动地将自己的结果拿出来进行展示，，而不知道怎样计算足球能否射中？此时，同学们哄堂大笑。我在一旁启发：足球踢了多远？这时，这位男生才悄然大悟，计算出了当 时，可以射中。
[示范]将每个小组推选出的有代表性的作品进行展示，并让学生点评、指正，教师点拨。
点评：通过合作探究，学生对数学学习兴趣增强了。打开了学生思维的闸门，使学生进入“求通而未通，欲言而未能”的境界，增强了学生的学习内驱力，学生的学习由被动接受到积极参与，主动探究。
抓住时机，教师在屏幕上播放郭晶晶跳水的画面，问学生：她为什么跳得那么完美？
展示问题2：某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示坐标下经过原点O的一条抛物线，在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面高为 米，入水处距池边的距离为4米。同时，运动员在距水面高度为5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则会出现失误。（1）求这条抛物线的解析式；（2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为 米。问：此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由。
[分析]在屏幕上再次播放郭晶晶跳水的镜头，然后把她放到直角坐标系中，让学生利用二次函数的模型来解释她跳水这么完美的原因？分组交流，教师点拨。跳水运动员在空中的运动路线是经过原点的一条抛物线，要求其解析式。（1）如何设出其解析式？（2）该抛物线经过哪几个点？（3）其坐标怎样表示？（4）会不会失误的标准是什么？[即在距水面高度为5米以前完成动作] 点评：对解释好的同学给予鼓励，甚至可以赞赏他具备担任跳水运动员教练的天赋。这样在许多公众场合，一些以前躲于人后、怕抛头露面、羞于启齿的学生也开始有了探究地欲望、交往的愿望、展示自我的渴望。(三)[变式训练，深化提高] 用电脑播放农村改革开放后自动喷灌的景象，让学生用所学的知识来帮助农民设计出最好的喷灌方式，展示问题3：改革开放以后，不少农村用上了自动喷灌设备，设水管AB高出地面1.5米，在B处有一个旋转的喷水头。一瞬间，喷出的水流呈抛物线状，喷头B与水流最高C点成45°角，且比喷头B高出2米。在所建坐标系中，求水流落地点D到A点的距离是多少米？
让学生分组合作，并根据题意画出图形，并进行展示，鼓励学生致力于用科学知识帮助农民提高生产力，做改革的工程师。
最后用多媒体播放防空导弹射击训练的画面，引出问题4：如图，是某空防部队进行射击训练时在平面直角坐标中示意图，在地面上O、A两个观测点测得空中固定目标C的仰角分别为 和，OA=1千米，位于O点正上方 千米D点处的直升飞机向目标C发射防空导师弹，该导弹运行达到距地面最大高度3千米时，相应的水平距离为4千米（即图中E点）。（1）若导弹运行轨道是一抛物线，求该抛物线的解析式；（2）说明按（1）中轨道运行的导弹能否击中目标C的理由。
让学生分组讨论，合作交流，并进行展示。得出“二次函数在实际问题中的应用是非常广泛的”。还有哪些生活知识可以用“二次函数的模型”来解决？学生们会有意欲未尽，余味无穷的感觉。(四)[归纳小结，形成能力]让学生自我归纳
1、二次函数的解析式有哪几种不同的形式？适用的范围是什么？
2、利用二次函数数学模型解决实际问题时，应注意数形结合的思想。
3、函数在实际生活中应用非常广泛。
四、案例反思
以前我们的教学，总是生怕学生听不懂，特别对于重点难点的内容，以为这部分讲得多，讲得透，就能突出重点了，实际上教师讲得多并不代表学生都能听明白，要使学生真正掌握知识点，最好的方法还是创设问题情景，为学生搭建学习的“脚手架”，寻找学生认知的“最近发展区”，采 用分小组合作探究，给学生以探究和思考的空间。形成一种生动活泼、潜力无穷、人人参与、主动积极学习的活动形式。
函数中的新问题 第3篇
[关键词] 初中数学；二次函数；工具性；系统性
二次函数在初中数学中的地位较为重要，在苏科版教材的编排中，其处于九年级下册第五章，用一般的教学语言来描述，其是冲刺性的知识，是综合性强的知识.
通常情况下，二次函数的教学以一次函数为基础，通过回忆一次函数的相关知识，引导学生在类比中建立二次函数的知识. 这样的思路符合经验，更符合传统的讲授法教学的需要. 但从学生建构的角度来看，由于对学生主动建构的重视不够，因而在学生的实际学习过程中，会出现不那么得心应手的情形，因此这段知识出现学困生的现象也比较常见.
反思这些不足，笔者以为二次函数的教学需要引入新的理念，需要设计新的过程，需要对学生的学习进行新的评价.
二次函数概念的新理解
二次函数首先是作为一个概念而存在，其次是作为一个数学概念而存在，最后是作为一个教学内容而存在. 众所周知，函数是描述数的变化关系的数学工具，这种变化关系往往反映着实际问题中的变量关系，函数的次数往往与具体的量的关系有关. 从数学概念的角度来看，“二次”给“函数”界定了次数关系，因此对二次函数概念的理解与对二次函数教学的理解，应当以“函数”为核心概念，以“二次”为辅助概念；而在实际教学的时候，又需要通过对“二次”的强调，来构建二次函数的概念. 因为在此之前，学生已经在正比例函数、反比例函数、一次函数的学习中，形成了显性或隐性的“函数”概念，因此“二次”才是需要强调的教学内容.
以上是从概念理解的角度分析二次函数的，作为教师还需要从教学的角度分析二次函数. 教学是一个系统工程，是在师生互动、生生互动的过程中引导学生建构数学知识的过程，对于二次函数的教学而言，考虑到学生概念建构的基础性，笔者以为需要从工具性、系统性两个角度来认识该概念的建构. 对于工具性，是指要让学生认识到二次函数概念学习背后的“数、量”关系，要让学生认识到只有二次函数才能描述特定的关系. 只有学生建立了这样的思路，那在呈现相关例子的时候，才有可能真正激活学生从数与量的角度进行分析的思维（下面会详述）.
对于系统性，笔者的意思是指二次函数的教学，必须明确概念、定义、解析式、表格、图像、性质等角度分类阐述，以帮助学生建立相对立体的知识体系. 在此需要强调的是，这一知识体系并不特别指向二次函数，只不过是因为在初中数学学习中，二次函数有一种提纲挈领的地位，能够综合前面所学的相关函数，能够为后续的函数知识学习奠定基础. 同时，在二次函数的学习中，会经历典型的从实际问题抽象出数学模型，用数学模型解决实际问题的过程. 从这两个角度来讲，二次函数的教学都具有知识结点的作用，因此有着研究的价值. 有研究表明，初中阶段的二次函数教学可以深化学生此前形成的关于一次函数（包括正比例函数）和反比例函数的认识. 从心理学的角度来看，二次函数的学习可以让学生以函数这个宏观概念，将初中阶段的三大基本函数整合到一起，从而形成一个大的知识组块，进而促进学生的记忆与理解.
从工具性与系统性两个角度建立了对二次函数的理解，那在实际教学的时候就有了“纲”. 俗话说，纲举目张，一旦教学思路明确，那教学设计就要据此而行.
二次函数教学的新设计
基于以上理解，笔者在教学设计时注重两点：
一是强调数量关系，体现工具性. 在苏教版教材中，教材在复习一次函数的基础上通过三个实例引入二次函数. 这三个实例分别是：水滴激起的波纹不断向外扩展，所形成的圆面积S与半径r之间的函数关系；用16 m长的篱笆围成长方形的生物园饲养小兔，怎样围可使小兔的活动范围较大；一面长与宽之比为2 ∶ 1的矩形镜子，四周镶有边框，已知镜面的价格是每平方米120元，边框的价格是每米30元，加工费为45元. 那么总费用为多少元.
这三个问题的呈现方式是一样的，都是将已知条件与未知条件明确出来，以让学生在具体的数量关系的寻找中发现二次联系的存在. 可惜的是，对于初中阶段的学生而言，只有第一个例子能够顺利解决，而第二和第三个例子中涉及的量的关系，在初中阶段之前并没有涉及，因此多出来的这个拦路虎，某种程度上分散了学生的学习注意力. 而为了强调这种数量关系，体现出函数在数量关系研究中体现出来的工具性，笔者以为可以回避以上第二、第三个例子，另寻存在的二次关系. 其实为了体现这种工具性，可以让学生仿照第一个例子去寻找第二个例子，而教学实践表明，学生寻找的例子一定会与第一个例子非常近似但又不完全相同，这无形当中符合数学概念构建所需要的变式；而直接加工学生所举的例子，往往更容易激发学生的学习积极性，从而让不同二次关系所表现出来的共同点可以更为明确. 当学生发现了数量的二次关系时，实际上也就是二次函数概念形成之时.
更重要的是，当学生发现三个不同的二次关系可以用同一种方式即二次函数的解析式来表达时，这个时候在学生的思维中会产生一种工具性认同感，用学生的话说，“用一个式子，可以描述不同情形下的二次关系，这就是二次函数的本质”. 尽管这样的描述还有些朴素，但能够从学生的嘴里说出来，就已经充分体现出工具性在学生思维中形成了.
二是强调数学方法，体现系统性. 系统性主要体现在数学方法的运用中，只有让学生发现新的知识（二次函数）与旧的知识（一次函数和反比例函数）的学习具有相同的方法，这种系统的认识才能真正形成. 笔者在教学中，采用类比的方法实施教学，取得了较好的效果.
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以二次函数的图像教学为例，一般二次函数的图像当然是可作的，让学生用描点法作图即可. 应当说这一教学思路是正确的，但却也是相对孤独的. 笔者设计用描点法作图为第一步，此时如果不出意外，学生会感觉到一丝厌烦，因为思路机械且所描的点不少. 而在笔者的教学中，这样的厌烦心理恰恰是可以利用的学习因素. 因为教育中有“不愤不启，不悱不发”之说，厌烦心理正是愤与悱的体现. 在学生有了这一心理之后，笔者将这样的心理点出来，以获得所有学生的认同. 然后在此基础之上设计第二步教学：先让学生作出y=ax2的图像，有了前面的复杂描点，此时的描点倒变得非常简单，学生很快就能作出来；然后再引导学生思考“能不能由y=ax2的图像得出y=ax2+bx+c的图像？”这是一个具有一定挑战性的问题，但由于有前面一次函数学习的经验（系统性的体现），学生自然会想到平移，显然将其上、下平移，即可以让函数中多出常量c. 那么，又是如何获得一次项的呢？有学生自然会想到左、右平移，等到在y=ax2的图像（此时借助几何画板）上进行左、右平移时，学生发现可以获得y=a（x+m）2的图像. 自然，如果同时左、右平移及上、下平移，那么就可以获得y=a（x+h）2+k的图像.
这样的变换看起来复杂，但在新授课的过程中如果能够花时间强调，那学生所建立的关于二次函数的图像就是立体的，就是有根基的，从而完成了新旧知识的联系，实现了知识系统的构建.
二次函数教学的新评价
评价在教学中的作用实际上非常重要，但往往又会为教师所忽视. 课堂教学中教师随口的一句评价，往往对学生的学习有着很大的影响. 此处，笔者关注的是评价对学生构建数学知识的影响.
事实证明，二次函数知识的构建中，要想让学生真正认识到函数的工具性，要想让学生在二次函数学习中真正生成系统性，教师在学生学习过程中的介入式评价非常重要. 比如说，在学生习得了二次函数的解析式之后，教师就应当如此评价：同学们很好地总结出了上述三个例子的共性，并且能够像学习一次函数一样寻找到了二次函数的解析式，这说明同学们有很好的分析与综合能力. 这样的评价直接指向分析与综合这样的思维方法，可以对数学方法的生成产生一种潜移默化的策动作用；又如在平移得到二次函数图像的过程中，三次平移（上下、左右、上下且左右）中每一次平移所得到的结果，都应当给予积极评价，这样才能让学生能够在长时间中保持注意力，才能真正促进二次函数图像（包括后面的性质等）系统生成.
函数中的新问题 第4篇
函数在给定条件的恒成立问题表现形式通常有以下几种:函数的定义域为全体实数R、不等式的解为一切实数、在给定区间上某关系式恒成立、表达式的值恒大于a等
一、一次函数型
给定一次函数y=(fx)=kx+b(a≠0),或者原题可化为一次函数型,则由数形结合思想可以利用一次函数知识求解。
若 y=(fx)在[x1,x2]内恒有f(x)>0,则根据函数的图像(直线)可得结论等价于 。同理,若在x1,x2内恒有 (fx)<0,则有
例1.已知一次函数 ,若对任意x缀[-2,2],恒有 (fx)>0成立,求m的取值范围。
分析:本题是一次函数恒成立的问题,首先满足其基本解题策略是利用数形结合思想,通过图像可知函数图像位于x轴上方,不论图像是上升还是下降,都要满足在区间两个端点处函数值大于0。
例2. 当|a|1时,若不等式 恒成立,求x的取值范围。
分析:本题是关于x的二次函数,出现了两个字母:x及a,还可看作是关于变量a的函数,则问题可转化为在[-1,1]内关于a的一次函数大于0恒成立的问题,这样更为简捷。
原不等式转化为
令 ,则由题意可知:
此类题本质上是利用了一次函数在区间[m,n]上的图像是一线段,位于x轴上方或者是下方,只需保证该线段两端点函数值均大于0,或者小于0即可。
二、二次函数型
二次函数的问题是恒成立问题中出现频率极高的类型题,是高考考查的一个重点内容,通常与三角函数导数等类型题结合。这里介绍一下二次函数的简单基础问题,其主要形式有:
(1)二次函数全体实数上的恒成立问题主要考虑开口方向和△。
(2)二次函数在指定区间上的恒成立问题,转化求最值或者是根的分布知识求解。下面针对这两种类型给出例题解析:
例3. 已知函数 的定义域为R,求实数m的取值范围。
分析: 在R上恒成立,当m=0时,8叟0成立,符合题意;当m≠0时,则 ,解得0
本题注意考虑根号下二次项系数是否为零,结合分类讨论思想和数形结合思想即可。
例4. 已知函数 (fx)=x2-2ax+2在R上 (fx)叟0恒成立,求a的取值范围。
分析:y=(fx)的函数图像都在X轴及其上方,由图1所示:
略解:解得△=4a2+4a0。
变式1:如图2,若 (fx)叟0在区间[-1,1]上恒成立,求a的取值范围。
分析:此类型题属于二次函数区间上恒成立问题,有两种思路:①转化求最值,讨论对称轴和区间的关系;②利用根的分布知识结合图像列出关系式求解。
函数中的新问题 第5篇
一、教材分析
1．教材的内容
选修
1-1
第三章，本节属于专题复习课.2.教材所处的地位和作用
微积分的创立是数学发展史中的里程碑，它的发展应用开创了向近代数学过渡的新时期，它为研究变量与函数提供了重要的方法和手段。导数的概念是微积分的核心概念之一，它有及其丰富的实际背景和广泛的应用。在选修模块中，学生将通过大量实例，经历由平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题的过程，理解导数的含义，体会导数思想及其内涵；应用导数探索函数的单调，极值等性质在实际中的应用，感受导数在解决数学问题和实际问题中的作用，体会微积分的产生对人类文化发展的价值。
3.学情分析
①通过《数学必修》中函数，几何与代数，数学建模等内容的学习以及在《数学选修
1-1》中第二，三章内容的学习，学生已经具备了函数的基本知识和运算能力，这为本节我们讨论极值点偏移问题提供了很好的前提与基础。
②学生具体研究学习了数学必修中函数单调性的寻找，证明和应用及不等式的相关结论，具备了一定的探究能力。基于此，学生会产生思考，如何运用函数和不等式来解决高考试题中极值点偏移的问题，能否给出一般性的解决方法和步骤，如果能够得到这类问题较为简单的解题通法，这个常常出现在高考数学压轴题
题位置上的难点将不会再对我们造成太难的阻碍，甚至会成为部分同学新的得分点。
③教学对象是高三年级理科生，由于学生年龄和能力及题目本身思维要求高，过程繁，计算难度大等原因，学生的思维尽管活跃，敏捷，但却缺乏冷静深刻的数学思维和解难题的能力，因此所做的探索过于片面，结论不够严谨.4.教学的重点和难点
重点：函数构造法，对数平均不等式和极值点偏移的判定定理
难点：函数构造法的结题步骤，构造函数的选取，对数平均不等式的放缩和极值点偏移的判定定理的使用
二、教学目标分析
1．知识与技能
1.能运用函数和不等式解决导数应用中极值点偏移的问题
2.掌握函数和不等式解决这类题的一般步骤
3.极值点偏移的判定定理的使用
2、过程与方法
1.通过利用几何画板展现极值点偏移的过程，让学生直观认识感受极值点偏移的本
质原因，激发学生探究解决问题的激情，和培养学生认真观察事物变化过程，总结变化规律的习惯。同时在此处先不给出极值点偏移的判定定理，而是先用函数构造法和对数平均不等式这两种之前已经介绍过的方法来求解例一。重在感受极值偏移的现象，和复习归纳已经学习的知识方法。
2.结合例一的解题过程，重点回顾讨论解题的方法和步骤，展示这两种方法的易错点和难点的突破口，树立学生解难题的信心规范学生的解题过程。然后把时间向前推移六年到例
2（2010
天津）让学生自主模仿例一的解法尝试来解例二，通过例一的复习学生较容易使用其中的一种或两种方法得到题目的答案让学生体会到学以致用的成就感，同时也通过两题的比对了解到高考题目的变迁历史体会该知识点在高考中的地位清楚今后的复习和学习方向。
3.展示学生例二的解题过程并加以点评后提出更高的要求——有没有更好的方法，结合一开始的三张图片让学生再次重新审视极值点偏移的原因回归到数学本质上来，不用很精准只需要说出自己的直观感受即可，通过这一过程让学生锻炼自己的数学直观想象和数学运算分析等核心素养，同时也为后面介绍极值点偏移的判定定理做好铺垫，比较分析函数构造法和对数平均不等式的特点和优缺点，认识到具体问题具体分析，方法的选择要灵活有针对性，不能盲目模仿和生搬硬套，通过一题多解，和同法异题的求解加深解题方法的理解和应用能力的提高，由具体问题的多角度的思维得出不同方法的求解过程培养学生的探索精神和数学归纳的能力，数学抽象能力。
3、情感态度与价值观
通过经历对例一和例二高考真题的探索和解决，激发学生对数学的好奇心和求知欲，鼓励学生大胆尝试、勇于探索、敢于创新，磨练思维品质，从中获得成功的体验，感受数学思维的奇异美、结构的对称美、形式的简洁美、数学的严谨美．引导学生树立科学的世界观，提高学生的数学素养和综合素质。
三、教学方法与手段分析
1.教学方法
结合本节课的教学内容和学生的认知水平，在教法上，我采用“探究发现”模式的教学方法，整个教学过程以学生为主体，学生自主学习为中心的思想，同时运用多媒体课件教学等技术手段，同一题目不同方法的比对，相同方法不同题目的求解让学生由浅入深，循序渐进的参与这堂课的每个过程，自然而然的完成本节课的教学目标。
2.学法
观察分析→自主探究→
合作交流
→初步运用
→归纳小结
3.教学手段
利用计算机和实物投影等辅助教学，充分调动学生参与课堂教学的主动性与积极性.四、教学过程分析
教学是一个教师的“导”，学生的“学”以及教学过程中的“悟”构成的和谐整体.教师的“导”也就是教师启发、诱导、激励、评价等为学生的学习搭建支架，把学习的任务转移给学生，学生就是接受任务，探究问题、完成任务.如果在教学过程中把“教与学”完美的结合也就是以“问题”为核心，通过对知识的发生、发展和运用过程的演绎、解释和探究来组织和推动教学.Ⅰ.创设情境，提出问题
图
x
=
m
=
x1
+
x2
极值点无偏移
图
x
m
=
x1
+
x2
极值点左偏
0
图
x0
2
0
m
=
x1
+
x2
目的：①本例通过给出三张典型的凹函数图像，让学生从图像特征上去直观感受函数图像极值点发生偏移的原因，有助于调动学生学习积极性，同时上来通过图像让学生直观感受而非繁琐的计算来思考解决问题，有助于开拓学生视野回归数学问题本质，降低了学生对于该问题的为难情绪。
②通过学生观察后教师自然而然的给出极值点偏移的定义，并顺带给出极值点偏移的数学解释逐步让学生由感性认知上升到理论认知，当然老师在此可以对学生提出进一步要求，可不可以给出一般性的判定定理？这里我们只先提出问题，做下伏笔，但并不马上去求解，避免由于问题过难而挫伤学生的积极性，同时也为本节课最后的问题做好了铺垫。
Ⅱ.探究问题
例一（2016
全国卷一）已知函数
f
(x)=
(x
2)ex
+
a(x
-1)2
有两个零点。
（I）求
a的取值范围；（略）
（II）设
x1,x2
是
f
(x)的两个零点，证明：
x1
+
x2
目的：①发挥学生的主观能动性，先自己探求结果，检查学生前一阶段的复习成果和对于问题一的思考和联系；
②让学生对于零点偏移求解过程更加熟练，思路更加清晰；并为下一步对数平均不等式和极值点偏移的判定定理做好铺垫；
解法一：对称构造函数法由（1）知a
³
0
①
x1
x2
②构造函数
F
(x)
=
f
(x)
f
(2
x)，(x
1)
Þ
F
＇
(x)
=
f
＇
(x)
f
＇
(2
x)
=
(x
-1)(ex
+
2a)
+
(1-
x)(e2-x
+
2a)
=
(x
-1)(ex
e2-x)
x
1时
x
0
Þ
x
x
Þ
e2-
x
ex
0
＼
F
＇
(x)
0
Þ
F
(x)在(-
¥，1)上
③代入
x1
得
F
(x1)<
F
(1)=
0
Þ
f
(x2)
=
f
(x1)
f
(2
x1)
又Q
y
=
f
(x)在(1，+
¥)上
x2
Î
(1,+
¥),2
x1
Î
(1,+
¥)
＼
x2
x1
即
x1
+
x2
提问
1：学生解法一由哪些主要步骤，哪些步骤是你觉得难得地方，我们是如何解决这些困难的？
结合学生的回答对称化构造函数处理极值点偏移问题的基本步骤归纳如下：
＇
①求导获得
f
(x)的单调性，数形结合判断零点
x1,x2
和极值点
x0的范围
②构造辅助函数
F
(x)
=
性
f
(x)
f
(2x0
x)，判断函数
F
(x)的符号，确定函数
F
(x)的单调
③结合F
(x0)
=
0
限定
x的范围判定
F
(x)的符号得到不等式
④将
x1
(或x2)
代入上述不等式，利用
f
(x1)
=
f
(x2)
替换
f
(x1)
⑤结合①求得
f
(x)的单调性转化为
x1,x2的不等式，证明结束。提问
2；可不可以把流程继续简化？
其中主要的三步流程简化为“求导→构造→代入”。构造是难点，求导是关键，常用构
造要记清。
提问
3：还有其他解法吗？提醒学生从不等式构造上思考
学生有困难，则先回顾基本不等式内容，让学生从熟悉的，简单的问题入手
调和平均数£
几何平均数£
算术平均数£
£
平方平均数
A(a,b)
=
a
+
b,L(a,b)
=
a
b
ln
a
ln
b
,G(a,b)
=
ab,(a,b
0)
Þ
A
£
L
£
G
解法二：对数平均不等式（ALG）
f
(x)
=
f
(x)
=
0
Û
(x
2)ex1
+
a(x
-1)2
=
(x
2)ex2
+
a(x
-1)2
=
0
ìïa(x
-1)2
=
(2
x)ex1
Þ
í
ïîa(x
-1)2
=
(2
x)ex2，两式相减得a(x
+
x
-
2)(x
-
x)
=
(2
x)ex1
(2
x)ex2
ìx1
+
x2
³
0
（反证）假设
x
+
x
³
Þ
ïx
x
0
Þ
(2
x)ex
(2
x)ex
£
0
í
î
ïa
³
0
Þ
(2
x)ex1
£
(2
x)ex2
（左右两边同时取对数）
Þ
ln(2
x1)
+
x1
£
ln(2
x2)
+
x2
Þ
ln(2
x1)
ln(2
x2)
£
x2
x1
Þ
（x2
x1
³
Þ
(2
x1)
(2
x2)
³
（*）
ln
x1)-
ln(2
x2)
ln(2
x1)-
ln(2
x2)
由对数平均不等式（ALG）得
(2
x1)
(2
x2)
<
(2
x1)
+
(2
x2)
=
x1
+
x2
£
ln(2
x1)-
ln(2
x2)
显然与（*）相矛盾，假设不成立，原命题成立。
解题流程：实际问题→（数学抽象）数学模型→数学解→（解释与检验）实际问题引导学生体会数学思维的奇异美、结构的对称美、形式的简洁美、数学的严谨美．
提问
4：这类问题最早出现在那一年高考题中，当时的高中生如何解决这类问题，我们是否能在当年的高考题中取得满分？激发学生的动力积极性，检查学生的掌握情况。给出本节的例二
例二（2010
天津卷）已知函数
f
(x)=
xe-x
(x
Î
R)
（I）求函数
f
(x)的单调区间和极值；
（II）已知函数
y
=
g
(x)的图像与函数
y
=
时，f
(x)
g(x);
f
(x)的图像关于直线
x
=
对称，证明：当
x
（III）如果
x1
¹
x2，且
f
(x1)
=
f
(x2)，证明
x1
+
x2
2。
解法一：对称构造函数法（1）（2）略
①由（1）知
x1
x2
②构造函数
F
(x)
=
f
(x)
f
(2
x)，(x
1)
Þ
F
＇
(x)
=
f
＇
(x)
f
＇
(2
x)
=
e-x
(1-
x)
+
e-(2-x)
[1-
(2
x)]
=
e-x
(1-
x)
+
e-(2-x)
(x
-1)
=
(x
-1)(e-2+x
e-x)
其中
x
0
ü
Þ
F
＇
(x)
0
þ
x
Þ
ex-2
e-1
e-
x
ý
Þ
F
(x)在（-
¥,1）上
③代入
x1
得
F
(x1)<
F
(1)=
0
Þ
f
(x2)
=
f
(x1)
f
(2
x1)
又Q
y
=
f
(x)在(1，+
¥)上
¯
x2
Î
(1,+
¥),2
x1
Î
(1,+
¥)
＼
x2
x1
即
x1
+
x2
解法二：对数平均不等式（ALG）
f
(x)
=
f
(x)
Þ
x
e-x1
=
x
e-x2
（左右两边同时取对数）
Þ
ln
x1
x1
=
ln
x2
x2
Þ
x1
x2
=
ln
x1
ln
x2
Þ
x1
x2
ln
x1
ln
x2
=
（*）
由对数平均不等式（ALG）得
Þ
x1
+
x2
x1
x2
ln
x1
ln
x2
=
x1
+
x2
提问
5：显然这个问题对于现在的我们不是什么难题了，但作为新时代的我们能不能用给简洁的方法给出这两题的一般性解法，通法的探讨显然是我们要思考的问题。那么学生对于这个新的挑战自然就会萌生极大地兴趣，这时再回顾我们一开始观察三张直观图时提出的问题，解法三的出现也就是必需的了。即本节课的最后一个知识点——极值点偏移的判定定理。
III.按图索骥，回归本质
极值点偏移判定定理：在给定区间
D
上函数
y
=
f
(x)
可导
f
(x1)
=
f
(x2),(x1
x2)，若
x0
为
(x,x)
上的唯一极小值点，f
＇＇＇
(x)
0，则极小值点右偏Û
x1
+
x2
x；
0
f
＇＇＇
(x)
0，则极小值点左偏Û
x1
+
x2
x。
0
对于该定理作为高中生我们只需要了解，不需要完整严格的证明，（后附有泰勒展开的完整证明过程，可以开拓一部分自学高等数学的学生的视野）
那么我们怎么来理解该判定定理呢？我们又如何运用它来解决高中相关的数学问题呢？对此我们分两部分来讨论。
第一部分：我们主要结合导数的几何意义与
n
阶导数的运算来了解该定理的由来。首先
通过让学生再次观察一开始我们已展示的图一，二，三不，学生不难发现
y
=
f
(x)的图
像偏移的原因，即
y
=
f
(x)的图像在u(x0,¶)
内增减速度的不同而发生的。接着再进一步
引导学生思考发生的不同我们如何去用数学的语言来描述刻画它，提醒学生从导数的几
何意义来思考，以图
为例和学生一起做探讨：
y
=
f
(x)的图像的斜率一直在增加，但
增加的速度在变慢，（数学直观想象），如何用数学语言来表述这一变化？（数学抽象）
→
f
＇
(x)
0,f
＇
(x)
增加Þ
f
＇＇
(x)
0（速度变慢）Þ
f
＇＇
(x)的绝对值变小
Þ
y
=
f
＇＇＇
(x)
0。
完成图二的探讨后可让学生模仿独立的完成图
3的探索：
f
＇
(x)
0,f
＇
(x)
增加Þ
f
＇＇
(x)
0
（速度变快）
Þ
f
＇＇
(x)的绝对值变大
Þ
y
=
f
＇＇＇
(x)
0。
以上结论可简单记忆口诀（“小大小”，“小小大”），同时若
x0
是极大值点的话，结论相反，口诀为（“大大大”，“大小小”）
IV.给出定理，尝试新解
第二部分：运用新的判定定理重新去接例一和例二例一新解
极值点偏移判定定理
解法三：
f
(x)=
(x
2)ex
+
a(x
-1)2
Þ
f
＇
(x)
=
(x
-1)(ex
+
2a)
Þ
f
＇＇
(x)
=
(x
-1)ex
+
ex
+
2a
Þ
f
＇＇＇
(x)
=
ex
(x
+1)
分两段区间讨论
①若
x
Î
(-¥,1]，f
(2)
=
a
0
结合图像可知
x1
£
x2
a，则
x1
+
x2
②若
x
Î
(-1,+
¥)，f
＇＇＇
(x)
0，x
=
是极小值，符合“小大小”
Þ
x
+
x2
综上的x1
+
x2
例二新解
解法三：
f
(x)
=
xe-x
Þ
f
＇
(x)
=
e-x
xe-x
Þ
f
＇＇
(x)
=
e-x
(x
2)
Þ
f
＇＇＇
(x)
=
e-x
(3
x)
分两段区间讨论
①若
x
Î[3,+
¥)，可知
x1
+
x2
max{x1,x2}
³
2，则
x1
+
x2
②若
x
Î
(-
¥,3)，f
＇＇＇
(x)
0，x
=
是极大值，符合“大大大”
Þ
x
+
x2
综上知
x1
+
x2
至此我们回头再看例一和例二的三个解法，不知不觉中对于一开始极值点偏移的问题有
了更新的认知。
VI.课堂练习
巩固双基
练习
1（2011
辽宁卷）已知函数
f
(x)
=
ln
x
ax2
+
(2
a)x。
（I）讨论函数
f
(x)的单调性；
（II）设a
0，证明：当0
x
时，f
（1
+
x)
f
（1
x);
a
a
a
（III）若函数
y
=
f
(x0)
0。
f
(x)的图像与
x
轴交于
A,B
两点，线段
AB
中点的横坐标为
x0，证明
练习
2（2014
天津卷）设
f
(x)
=
x
aex
(a
Î
R),x
Î
R
已知函数
y
=
且
x1
x2
（1）求
a的取值范围
（2）证明
x2
随着
a的减小而增大
x1
（3）证明
x1
+
x2
随着
a的减小而增大
f
(x)
有两个零点
x1,x2，练习
已知函数
f
(x)
=
a
ln
x,a
Î
R.若函数
f
(x)
有两个零点
x,x。
x
求证：
x1
+
x2
练习
已知函数
f
(x)
=
ex
ax
有两个不同的零点
x,x，其极值点为
x
0
（I）求
a的取值范围
（II）求证：
x1
+
x2
2x0
（III）求证：
x1
+
x2
（IV）求证：
x1
x2
目的：①通过学生的主体参与，使学生深切体会到本节课的主要内容和思想方法，从而实现对知识的再次深化.②练习分层，有利于不同层次的学生培养。
VII.课堂小结
学生点评，老师引导:
①由图像直观到方法求解,由繁琐到简洁，由为结题而解题到回归数学本质，一再的追问和尝试思考有利于学生的知识迁移和能力提高；
②用三种方法解题的运用：函数构造法，对数平均不等式和极值点偏移的判定定理。对三种解法的对比的再认识．特别是方法的选择上要能尽可能适合题目适合自己；
③在理解方法的基础上,及时进行正反两方面的“短、平、快”填空和判断是非练习.通过总结、辨析和反思，强化解法的灵活性，促进学生主动建构，有助于学生形成知识模块，优化知识体系.体现知识目标。
五、教学评价
结果因过程而精彩,现象因方法而生动.无论是情境创设,还是探究设计,都必须以学生为主体、教师为主导、训练为主线,设法从庞杂的知识中引导学生去寻找关系,挖掘书本背后的数学思想,建构基于学生发展的知识体系,教学生学会思考,让教学真正成为发展学生能力的课堂活动。因此，本课例在具体问题的数学模型的建立和数学工具的选择上舍得花大量时间，便是为了培养学生学会探究与创新，它就像一缕温暖的阳光，不一定能唤醒万物，却能催开人世间最绚丽的花朵。
剖析函数问题求解中的误区 第6篇
一、 对函数定义域的理解不透彻
例1 定义在区间［c,2-c2］上的奇函数f(x)=a+2x2x+1的值域是 .
错解：由已知可得f(0)=0则a=-12，y=f(x)=-12+2x2x+1
∵2x=-y+12y-12,且2x>0
∴-12＜y＜12即值域为-12,12
剖析：本题求解时根本没有用条件定义在区间［c,2-c2］上，解题者可能根本就不知如何使用这一条件.
正解：由已知可得c+2-c2=0，即c=2或c=-1其中c=2要舍去，
此时函数的定义域为［-1,1］∴12＜2x＜2,
-16≤y≤16即值域为-16,16
例2 已知函数f(x)=loga(2+ax)，存在实数a，使得函数f(x)在区间［0,1］上是减函数，求a的取值范围.
错解：∵a＞0且a≠1，
∴内函数u=2+ax是增函数，从而外函数y=logau是减函数，则0＜a＜1
剖析：忽视了对数函数的定义域，缺少条件2+ax＞0在区间［0,1］上恒成立.
正解：∵a＞0且a≠1，
∴内函数u=2+ax是增函数，从而外函数y=logau是减函数，
又2+ax＞0在区间［0,1］上恒成立
所以有2>0显然成立，则a∈R
综上0＜a＜1
例3 已知函数y=ln(x2+ax+1)的值域为R，求实数a取值范围.
错解：因为x2+ax+1＞0恒成立，所以Δ＜0，解得-2＜a＜2
剖析：函数的定义域为R时，x2+ax+1＞0恒成立，而要使得函数的值域为R，x2+ax+1必须能取到所有的正数，故Δ≥0.此时x2+ax+1取到的非正数根据对数定义舍去.
正解：由题意的Δ≥0，解得a≤-2,a≥2
注：函数的定义域是研究函数性质的基础，我们在解决函数问题时一定要优先考虑函数的定义域及其等价转换形式.
二、 对函数性质成立的条件理解不透彻
例4 函数f(x)=a-3x1+a3x在定义域内是奇函数，求实数a的取值.
错解：因为函数f(x)是奇函数，
所以f(0)=0，解得a=1
剖析：函数f(x)是奇函数并不一定能得到f(0)=0，需要函数f(x)在x=0处有意义这个条件.
正解：因为函数f(x)是奇函数
所以f(-x)=-f(x)即a-3-x1+a3-x=-a-3x1+a3x
解得a=1或-1
注：函数中的许多结论都有成立的条件，我们在应用时需要弄懂题意，分析结论使用的条件是否满足.
三、 忽视换元转化时变量的取值范围
例5 设函数f(x)=log9(9x+1)-12x,g(x)=log9a•3x-43a,若函数f(x)与函数g(x)的图像有且只有一个交点，求实数a的取值范围.
错解：由题意可得方程log9(9x+1)-12x=log9a•3x-43a只有一个根
令t=3x，得(a-1)t2-43at-1=0有且只有一个根
则a=1或a≠1Δ=0，解得a=0,a=-3,a=34
剖析：换元后t=3x＞0，而方程(a-1)t2-43at-1=0的根不一定是正数.
正解：令t=3x，得(a-1)t2-43at-1=0有且只有一个正根，
当a=1时，t=-34，不合题意舍去；
当a≠1时，若Δ=0，得a=-3,a=34，检验后，均不符合题意，则必有Δ＞0，根据题意可得t1•t2=-1a-1＜0，得a＞1
注：利用换元法将问题进行转化时，要注意变量的取值范围的变化.
四、 混淆函数的相关概念
例6 函数f(x)=x2-2(a-1)x+2在区间(-∞,4］上是减函数，求实数a的取值范围.
错解：函数f(x)=x2-2(a-1)x+2的对称轴是x=a-1
则由a-1=4解得a=5
剖析:x=4不一定是函数的对称轴，也可以在f(x)的对称轴的左侧.
正解：由数形结合可得a-1≥4解得a≥5
利用导数解决函数中的一些问题 第7篇
随着课改的不断深入, 导数知识考查的要求逐渐加强, 而且导数已经由前几年只是在解决问题中的辅助地位上升为分析和解决问题时不可缺少的工具.函数是中学数学研究导数的一个重要载体, 函数问题涉及高中数学较多的知识点和数学思想方法.近年来很多高考题中都出现以函数为载体, 通过研究其图像性质, 来考查学生的创新能力和探究能力的试题.本人结合教学实践, 就导数在函数中的应用作个初步探究.
有关导数在函数中的应用主要类型有:求函数的切线, 判断函数的单调性, 求函数的极值和最值等等, 这些类型成为近两年最闪亮的热点, 是高中数学学习的重点之一, 预计也是“新课标”下高考的重点.
一、用导数求函数的切线
【例1】 已知曲线y=x3-3x2-1, 过点 (1, -3) 作其切线, 求切线方程.
分析:根据导数的几何意义, 导数即为在一条曲线中的某一点的斜率, 我们就先求出这个曲线方程的导数.
解:y′=3x2-6x, 当x=1时y′=-3, 则该曲线在该点的斜率为k=-3, 再按照切线方程y-y0=k (x-x0) 求解, 故所求切线的方程为y+3=-3 (x-1) , 即为:y=-3x.
点评:如果利用常规函数的解题方法, 首先要将点的函数值带进去求出其斜率, 然后再利用切线方程的公式代入.可是根据函数y=f (x) 在点x0处的导数的几何意义, 就是曲线y=f (x) 在点P (x0, y=f (x0) ) 处的切线的斜率是f′ (x0) , 相应的切线方程为y-y0=k (x-x0) 即可变为y-y0=f′ (x0) (x-x0) .也就是说利用导数解决函数的切线问题, 最简单、最容易的方法就是通过一次性求导解出该方程的切线斜率.
二、用导数判断函数的单调性
【例2】 求函数y=x3-3x2-1的单调区间.
分析:求出导数y′, 令y′>0或y′<0, 解出x的取值范围即可.
解:y′=3x2-6x, 由y′>0得3x2-6x>0, 解得x<0或x>2.
由y′<0得3x2-6x<0, 解得0<x<2.
故所求单调增区间为 (-∞, 0) ∪ (2, +∞) , 单调减区间为 (0, 2) .
点评:利用导数判断函数的单调性的步骤是: (1) 确定f (x) 的定义域; (2) 求导数f′ (x) ; (3) 在函数f (x) 的定义域内解不等式f′ (x) >0和f′ (x) <0; (4) 确定f (x) 的单调区间.若函数式中含字母系数, 往往要分类讨论.
三、用导数求函数的极值
【例3】 求函数
解:由f′ (x) =x2-4=0, 解得x=2或x=-2.
当x变化时, y′、y的变化情况如下:
当x=-2时, y有极大值
点评:求可导函数极值的步骤是: (1) 确定函数定义域, 求导数f′ (x) ; (2) 求f′ (x) =0的所有实数根; (3) 对每个实数根进行检验, 判断在每个根 (如x0) 的左右侧, 导函数f′ (x) 的符号如何变化, 如果f′ (x) 的符号由正变负, 则f (x0) 是极大值;如果f′ (x) 的符号由负变正, 则f (x0) 是极小值.需要注意的是, 如果f′ (x) =0的根x=x0的左右侧符号不变, 则f (x0) 不是极值.
利用导数解决一些函数问题是近年高考中出现的一类热点题型, 因为它能让学生利用所学知识解决一些日常中遇到的各种复杂问题, 同时也能够将相互涉及的所有函数问题做详尽的归纳和总结, 让学生对知识的理解和运用更到位、更熟练.
高考中的三角函数图象问题 第8篇
三角函数的图象是三角函数这一章的重要内容之一, 因为三角函数性质的获得, 都是以图象为基础的.本文归纳高考中与正弦、余弦函数图象有关的几类问题, 供复习参考.
一、画出三角函数的图象
在掌握 y=sinx (y=cosx) 图象的基础上, 能用恰当的方法画出 y=Asin (ωx+φ) +b型的图象, 这是应掌握的基本技能.
例1 (2003年新课程) 已知函数 f (x) =2sinx (sinx+cosx) , 画出函数 y=f (x) 在区间
其周期是π.
由题设
参考五点法, 列表如下 (实际上需取六个点) :
图象如图1.
例2 (2007年宁夏) 函数
略解:可参考五点法画出略图 (实际上要取八个点) .也可用特殊点代入检验.如取
点评:“五点法”是画正弦、余弦曲线的基本方法.近年的高考题在此基础上, 题目设计得更加灵活多变, 考查对知识、方法恰当合理运用的能力.
例3 (2006年辽宁) 已知函数
解:当 sinx≥cosx 时, f (x) =cosx;当 sinx<cosx 时, f (x) =sinx.
故
在同一坐标系内, 同时画出 y=sinx 与 y=cosx 的图象, 再取它们两个图象中较低的部分, 就是 f (x) 的图象 (如图3的实线) .可见值域是
点评:涉及三角函数性质类的问题, 常需画出三角函数的图象, 观察图象, 容易理解题意, 寻到解题的突破口, 并使问题简捷获解.
二、由图象求解析式
给出 y=Asin (ωx+φ) 的图象, 求它的解析式, 这是画函数图象的相反问题.解题的关键是先从图象中观察出周期、振幅, 确定ω、A的值, 再选用特殊点的坐标代入解析式, 来确定φ的值.
例4 (2006年浙江) 如图4, 函数 y=2sin (πx+φ) , x∈R (其中
解:图象过点 (0, 1) , 代入解析式有
2sinφ=1, 即
又
例5 (2005年福建) 函数 y=sin (ωx+φ) (x∈R, ω>0, 0φ<2π) 的部分图象如图5, 则 ( )
解:从图中可知
又
所以
再将点 (1, 1) 代入上式, 有
又由
所以必有
选 (C) .
例6 (2005年天津) 函数
解:易见
若A=4, 则
将点 (-2, 0) 代入, 有
所以
又
此时,
再将点 (2, -4) 代入检验, 有
即
又若A=-4, 则
将点 (-2, 0) 代入, 同上可得
则
将点 (2, -4) , (6, 0) 代入检验, 均符合.故选 (A) .
点评:例6中容易出现两种错误, 一是入手便认为A=4, 漏掉A=-4.二是仅用图象上的一个点来确定φ的值, 而忽略了应检验图象上其它特征点的坐标是否也满足该表达式.
三、图象的变换
这类问题主要是由 y=sinx 的图象经过平移、伸缩、对称而得到 y=Asin (ωx+φ) 的图象.无论是先平移后伸缩, 还是先伸缩后平移, 只要注意到我们所实施的变换都是对 x 而言, 与 x 的符号、系数无关, 就不会出错了.
例7 (2006年江苏) 为了得到函数
(A) 向左平移
(B) 向右平移
(C) 向左平移
(D) 向右平移
解:注意到所进行的变换是对 x 而言, 由口诀“左加右减”及“ x 的系数与伸缩成反比”, 则应先左移
例8 (2007年湖北) 将
解:按向量
即
选 (A) .
评注:本题也可用平移公式法.由题意有
得平移公式
即
代入已知式, 得
再将 (x′, y′) 换为 (x, y) , 得所求式为
例9 (2006年安徽) 将函数 y=sinωx (ω>0) 的图象按向量
解:按向量
观察图象, 再将点
得
所以ω=2.选 (C) .
点评:本例也可用平移公式求解, 但解题的关键是求ω的值.本例是选择题, 还可以由图象来求ω的值.可见有
得
对照选择支, 只能是ω=2.
四、图象的对称性
正弦 (余弦) 函数的图象, 既是轴对称图形, 又是中心对称图形.注意到对称轴过图象的最高或最低点, 对称中心是图象与 x 轴的交点, 那么这类问题就不难解决了.
例10 (2005年全国Ⅰ) 设函数 f (x) =sin (2x+φ) (-π<φ<0) , y=f (x) 图象的一条对称轴是直线
解:注意到对称轴过图象的最高 (低) 点, 则知
有
但-π<φ<0, 则应取 k=-1,
得
例11 (2005年山东) 已知函数
(A) 此函数的最小正周期是2π, 其图象的一个对称中心是
(B) 此函数的最小正周期是π, 其图象的一个对称中心是
(C) 此函数的最小正周期是2π, 其图象的一个对称中心是
(D) 此函数的最小正周期是π, 其图象的一个对称中心是
解:解析式可化为
令
得
即
对照选择支, 可取 k=0, 得
函数、方程问题中的构造法解题策略 第9篇
一、求值
例1:设x, y为实数, 且满足, 则x+y=_______。
解:由已知条件, 可得:
故若设f (t) =t3+1997t, 则上述条件即为:f (x-1) =f (1-y) =-1。
又易知函数f (t) =t3+1997t在R上是单调增函数, 所以由上式有:x-1=1-y, 即:x+y=2。
二、解方程
例2:解方程 (5x+3) 3+x3+6x+3=0
解:原方程变为: (5x+3) 3+ (5x+3) =- (x3+x)
设f (x) =x3+x, 则原方程即为:f (5x+3) =-f (x) , 又f (-x) =-f (x) , 从而原方程即为:f (5x+3) =-f (x) 。
又易知函数f (x) =x3+x在R上单调递增, 所以有5x+3=-1, 解得原方程的解为:x=-1/2。
三、比较大小
例3:已知a>1, 且ax-logay>ay-logax, 试比较x, y的大小。
解:由条件得:ax+logax>ay+logay
引入函数f (t) =at+logat, 则上式即为:f (x) >f (y) 。
易知函数f (t) =at+logat在 (0, +∞) 上是增函数, 所以x>y。
四、证明不等式
例4:设a1、a2、an为任意正数, 证明对任意正整数n不等式 (a1+a2++an) 2n (a12+a22++an2) 均成立。
简证:原不等式即为4 (a1+a2++an) 2-4n (a12+a22++an2) 0
由此联想到根的判别式而构造一元二次方程:
因方程左边= (a1x+1) 2+ (a2x+1) 2++ (anx+1) 2≥0
当a1、a2、an不全相等时, a1x+1、a2x+1、anx+1至少有一个不为0, 方程 (*) 左边恒为正数, 方程 (*) 显然无解。
当a1=a2==an时, 方程 (*) 有唯一解
即 (a1+a2++an) 2n (a12+a22++an2) 对任意正整数n均成立。
五、求参数范围
例5:已知f (t) =log2t, t∈[√2, 8], 对于f (t) 值域内的所有实数m, 不等式x2+mx+4>2m+4x恒成立, 求x的取值范围。
解析:∵, ∴f (t) ∈[1/2, 3]
原题转化为:m (x-2) + (x-2) 2>0恒成立
当x=2时, 不等式不成立∴x≠2
令g (m) =m (x-2) + (x-2) 2, m∈[1/2, 3]
问题转化为g (m) 在m∈[1/2, 3]上恒对于0,
数学思想在分段函数问题中的应用 第10篇
关键词：数学思想,分段函数问题,应用
数学思想, 就是对数学知识和方法的本质认识, 是对数学规律的理性认识.数学思想是数学的灵魂, 运用数学方法解决问题的过程就是感性认识不断积累的过程, 当这种量的积累达到一定程度时就产生了质的飞跃, 从而上升为数学思想.例如, 建筑施工的手段是数学方法, 而施工的蓝图就相当于数学思想.
数学中渗透的数学思想可分为三个层次, 即“了解”“理解”“会应用”.在教学中, 要求学生“了解”的数学思想有:分类的思想、函数的思想、数形结合的思想、化归的思想和类比的思想等.这里需要说明的是, 有些数学思想在教学大纲中并没有明确提出来, 比如化归思想是渗透在学习新知识和运用新知识解决问题的过程中的.
高中数学课程特别关注学生对数学思想方法的认识与学习, 数学思想方法是数学知识的高度概括, 是数学的灵魂.只有运用数学思想方法, 才能将数学基本知识与基本技能转化为分析解决问题的能力.在解决数学问题时, 丰富的数学思想蕴含其中.例如分段函数问题, 分段函数在初等数学中具有重要的理论价值, 在金融、科技、日常生活等方面具有较广泛的应用价值, 因此它也成为数学学科的重要内容之一.本文择例说明数学思想在分段函数问题中的应用.
一、分类讨论的数学思想在分段函数问题中的应用
分析此题应分类讨论.
解当x0时, f (x) 3.
当0
当x>1时, f (x) <4.
故函数的最大值是4.
评注因为分段函数的一个重要特点是:在它的定义域中, 对于自变量的不同取值范围, 对应法则有不同的表示, 所以在一些分段函数问题或能转化成分段函数的问题中, 分类讨论也就常常无法避免, 从而分类讨论的数学思想方法成为分析分段函数问题时常用的思想方法.
二、函数思想在分段函数问题中的应用
分析该函数的定义域为R, 关于原点对称.
解当x>0时, -x<0, 此时, f (-x) =- (-x) =x=f (x) .
当x=0时, -x=0, 此时, f (-x) =0=f (x) .
当x<0时, -x>0, 此时, f (-x) =-x=f (x) .
∴对于一切x∈R, 都有f (-x) =f (x) .
∴函数f (x) 是偶函数.
评注根据分段函数的定义, 它本身也是函数的一个重要成员, 因此函数特征当然是其本质的特征, 函数的思想也就成为其蕴含的本质的数学思想.
三、数形结合的数学思想在分段函数问题中的应用
例3作出函数f (x) =|x-1|+|x+2|的图像, 由图像求f (x) 的值域.
分析将函数改写成分段函数, 再画图.
解当x<-2时, f (x) =- (x-1) - (x+2) =-2x-1.
当-2x<1时, f (x) =- (x-1) + (x+2) =3.
当x≥1时, f (x) =x-1+x+2=2x+1.
由图易知, y∈[3, +∞) .
评注若分段函数用图像表示比较适宜, 则以形助数, 数形结合的方法便成了研究分段函数问题切实可行的方法, 但应注意其定义域有几段, 则其图像就由几段曲线组成.
二次函数问题中的常见错误 第11篇
例1当m为何值时,函数y=（m+2）xm-2+2x-3是二次函数.
错解：m2-2=2,故m=2或m=-2.
分析： 根据二次函数的定义，要使y=（m+2）xm-2+2x-3是二次函数，m不仅应满足m2-2=2,还应满足m+2≠0,而上述解法忽略了m+2≠0这一隐含条件.
正解：由题可知m2-2=2，m+2≠0.∴ m=2.
故当m=2时，函数y=（m+2）xm-2+2x-3是二次函数.
例2 已知抛物线y=(m-1)xm-m开口向下，求m的值.
错解:∵抛物线开口向下,
∴ m-1＜0,∴ m＜1.
分析:解题时只考虑了m-1＜0是不全面的，因为抛物线是二次函数的图象，所以x的次数应该是2，即m2-m=2.
正解:根据题意，得m2-m=2，m-1＜0.
解得m=-1.
例3已知抛物线y=x2-2ax+16的顶点在坐标轴上,试求a的值.
错解:∵抛物线y=x2-2ax+16=(x-a)2+16-a2.
∴ 顶点坐标为(a,16-a2).
由题意可知16-a2=0，则 a=±4.
分析：坐标轴包括x轴和y轴，错解只考虑了一种情况，解答此题需分两种情况进行讨论.
正解：∵ y=（x-a）2+16-a2,
∴ 顶点坐标为(a,16-a2).
当顶点在x轴上时，16-a2=0，a=±4.
当顶点在y轴上时，a=0.
故a=-4或a=4或a=0.
例4 已知点P在抛物线y=x2上，又知x轴上有一点A（ ，0），若OP=OA，求点P的坐标.
错解：如图，设P（a，b），过P作PM⊥OA于M.
则OP= =
∵ OP=OA，A（ ，0），
∴ OA= ，OP= ，OP2=6.
∴ a2+b2=6.
又∵ P在抛物线上y=x2上，
∴ b=a2＞0. ∴ b2+b=6, b2+b-6=0.
解得b=2或b=-3.
当b=2时，a=± ,而点P在第一象限，故a=- ，b=-3舍去.
∴ P的坐标为（ ，2）.
分析：错误的原因是舍去了（- ，2）.由抛物线的对称性易知，满足条件的点P有两个，分别在第一、二象限，因此我们要正确舍值，防止多解、漏解.
正解：P（ ，2）或（- ，2）.
函数最值在参数问题中的应用 第12篇
一、恒成立问题
例1关于x的不等式x2-mx-1<0, 在[1, 2]上恒成立, 求m的取值范围.
分析一这类问题常见解法是依据二次函数f (x) =x2-mx-1, 在区间[1, 2]上的单调性, 对m与区间[1, 2]的关系进行分类:
从上例可见, 解数学问题时, 常规的思考方法是由条件到结论的定向思考, 但是有些问题按照这样的思维方式来寻找解题途径比较困难, 甚至无从着手, 在这种情况下, 经常要求我们改变思维方向, 换一个角度思考, 以找到一条绕过障碍的新的途径.有的问题表面看起来不属于上述恒成立的问题, 通过变形可以化归为上述问题, 如例2、例3.
分析一解不等式组得它的解集为A= (2, 3) .
设2x2-9x+a<0的解集为B, AB, 即对A中任何一实数, 不等式恒成立, 即a<-2x2+9x.
分析二∵A= (2, 3) , 又AB, 所以问题可转化:
例3不论实数b取何值, 直线y=kx+b与双曲线x2-2y2=1总有公共点, 求实数b的取值范围.
分析曲线的公共点为方程组的解, 命题最终化归为二次方程的判别式“Δ≥0”对k∈R恒成立.
若f (x) 在定义域内取不到最值, 只是有上 (下) 限, (如f (x)
二、存在性问题
有关“存在”的参数讨论问题也是参数讨论问题的重要题型, 其中有许多与函数最值有关, 这类问题的理解比“恒成立”要困难一些, 如例4、例5.
分析A≠Φ, 不等式f (x) g (x) 有解, 这是“存在”性问题.
分析这是关于“存在”性问题, 注意问题中x是变量, b是参数.
若f (x) 在定义域内取不到最值, 只是有上 (下) 限 (如f (x)
函数中的新问题
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