函数的定义域范文

函数的定义域范文（精选11篇）

函数的定义域 第1篇

一般地:若y=f (u) , 又u=g (x) , 且g (x) 值域与f (u) 定义域的交集不空, 则函数y=f[g (x) ]叫x的复合函数, 其中y=f (u) 叫外层函数, u=g (x) 叫内层函数。简言之, 复合函数就是:把一个函数中的自变量替换成另一个函数所得的新函数。

例如:设函数f (x) =2x+3g (x) =3x-5, 对于函数f[g (x) ], 若f (x) 的定义域为M, 则在复合函数f[g (x) ]中, g (x) ∈M。

复合函数的定义域, 就是复合函数y=f[g (x) ]中x的取值范围。x称为直接变量, u称为中间变量, u的取值范围即为g (x) 的值域。

二、复合函数的定义域求法

例1.已知f (x) 的定义域为 (-3, 5], 求函数f (3x-2) 的定义域。

例2.已知函数f (x) 定义域为是[a, b], 且a+b>0, 求函数h (x) =f (x+m) +f (x-m) (m>0) 的定义域。

解决复合函数问题, 一般先将复合函数分解, 即它是哪个内函数和哪个外函数复合而成的。

若已知f (x) 的定义域为A, 则f[g (x) ]的定义域就是不等式g (x) ∈A的x的集合;若已知f[g (x) ]的定义域为A, 则f (x) 的定义域就是函数g (x) (x∈A) 的值域。

由复合函数的定义我们可知, 要构成复合函数, 则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中, 因此可得其方法为:若f (x) 的定义域为x∈ (a, b) , 求出f[g (x) ]中a<g (x) <b的解x的范围, 即为f[g (x) ]的定义域。若f[g (x) ]的定义域为x∈ (a, b) , 则由a<x<b确定g (x) 的范围即为f (x) 的定义域。

关于求函数定义域问题的探讨 第2篇

【关键词】 函数定义域 常规函数 抽象函数 应用型函数 复合函数 逆向运用

【中图分类号】G633.6【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2016）03-0165-01

求函数定义域是高中数学学习中常见的问题，在这里对有关函数定义域的类型和求法进行探讨。目的在于使学生全面认识定义域，深刻理解定义域。并最终能正确求各种类型的函数定义域。

一、函数定义域的概念

在函数y=f（x）中自变量x的取值范围，叫做函数的定义域。讨论函数的定义域就是要认定函数在什么条件下才有意义，即界定自变量的取值范围。

二、确定常规函数定义域的原则

1.当函数y=f（x）用表格给出时，函数的定义域是指表格中实数x的集合。

3.当函数用解析式给出时，函数的定义域是指使解析式有意义的实数x的集合。确保函数解析式有意义的依据有以下几个方面：

（1）若f（x）是整式则定义域为全体实数

（2）若f（x）是分式则使分母不等于零的全体实数

（3）若f（x）偶次根式，则定义域为使被开方式为非负实数的全体实数

（4）若f（x）中含有零次方，则零次方的根指数不能等于零

三、特殊类型函数定义域求法

1.实际应用型函数y=f（x）由实际问题给出时，函数的定义域由实际问题的意义确定。

例3 用长为l的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆的框架，若矩形底边长为2x，求此框架围成的面积。y与 x的函数关系式y=f（x），并指出其定义域。

2.抽象函数

抽象函数是指没有给出解析式，不能用常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域，求另一个抽象函数的定义域，总结有下面四种情况：

如若函数是由一些基本函数，通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即求出各个函数定义域，再求交集。

3.逆向运用

在问题中现给出函数的定义域，特别是对于已知定义域为R，通常化为恒成立不等式来求解析式中参考数的取值范围。

4.含有参数的复合函数

求含有参数的复合函数的定义域，必须对参数（字母）进行分类讨论。

参考文献：

[1]刘野.《函数定义域的类型和求法》

作者简介：

复合函数定义域的求法 第3篇

一、已知f (x) 的定义域, 求f[g (x) ]的定义域

例1若函数f (x) 的定义域为[1, 4], 求函数f (x+2) 的定义域。

解:∵f (x) 的定义域为[1, 4],

∴使f (x+2) 有意义的条件是1x+24,

即-1x2则f (x+2) 的定义域为[-1, 2]。

评:若f (x) 的定义域为D, 则f[g (x) ]的定义域是使g (x) ∈D有意义的x的集合。

二、已知f[g (x) ]的定义域, 求f (x) 的定义域

例2已知的定义域为[0, 3], 求f (x) 的定义域。

解:∵的定义域为[0, 3], ∴0x3, 则

故f (x) 的定义域为[1, 2]。

评:若f[g (x) ]的定义域为D, 则g (x) 在D上的取值范围, 即f (x) 的定义域。

三、已知f[g (x) ]的定义域, 求f[h (x) ]的定义域

例3函数f (x+1) 的定义域是[-2, 3], 求函数f (2x-1) 的定义域。

函数的解析式与定义域 教案 第4篇

知识要点

1函数解析式:函数的解析式就是用数学运算符号和括号把数和表示数的字母连接而成的式子叫解析式，解析式亦称“解析表达式”或“表达式”，简称“式”。

2函数的定义域：要使函数有意义的自变量x的取值的集合。3 求解析式的常用方法

（1）定义法（拼凑法）（2）换元法（3）待定系数法（4）函数方程法（5）参数法（6）实际问题 4求函数定义域（1）主要依据

①分式分母不为零

②偶次方根的被开放数不小于零 零的零次方没有意义 ③对数函数的真数必须大于零

④指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1 ⑤如果函数是由一些基本函数通过四则运算得到，那么它的定义域是由各基本函数的定义域的交集组成。（2）几类问题

①给出函数解析式的：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合;②实际问题：函数的定义域的求解除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题有意义;③已知f(x)的定义域求f[g(x)]的定义域或已知f[g(x)]的定义域求f(x)的定义域 典例解析

例1.已知函数f(x)=

1x的定义域为A，函数y=f[f(x)]的定义域为1-xB，则

（D）（A）A∪B=B（B）AB（C）A=B（D）A∩B=B 解法要点：A={x︱x≠1}，y=f[f(x)]=f(令-1+

1x2)=f(-1+)1-x1-x2≠且x≠1，故B={x︱x≠1}∩｛x︱x≠0｝.1-x11例2.（1）已知f(x)=x3 +3，求f(x);

xx2

（2）已知f(1)=lgx求f(x);

x（3）已知f(x)是一次函数，满足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+1，求f(x)；

1x1111解：（1）∵f(x)=x3 +3=(x)3-3(x)，xxxx（4）已知f(x)满足2f(x)+f()=3x,求f(x).∴f(x)= x3-3x（2）令f(x)=lg2221=t（t>1）,则x=, ∴f(t)=lg,∴xt1t12(x>1)x1（3）设f(x)=ax+b(a≠0)，则3f(x+1)-2f(x-1)=3ax+3a+3b-2ax+2a-2b=ax+b+5a=2x+17, ∴a=2,b=7,∴f(x)=2x+7.（4）2f(x)+f()=3x ①，把①中的x换成，得2f()+f(x)= 331 ②，①×2-②得3f(x)=6x-∴f(x)=2x-.xxx

1x1x1x例3.设函数f(x)=㏒2x1+㏒2(x-1)+ ㏒2(p-x),求其定义域。x1x10x1x1解：由x10，解得 ①

xppx0当p≤1时，①不等式解集为；

例析函数的定义域与图像的渐近线 第5篇

引申:函数y=(其中a,b,c,d都不为0,且ad-bc≠0),则其渐近线为x=-,y=.

实例:已知数列{an}是等差数列,a1=a,公差d=1,数列{bn}的通项公式为bn=.若对任意的n∈N*,都有bn≥b8,则实数a的取值范围是.

略解:bn=1+,设函数y=1+,则直线x=1-a是其渐近线,化归到数列问题,易得8<1-a<9,解得实数a的取值范围是(-8,-7).

2. y=logax.定义域为(0,+∞),从而使得直线x=0成为其渐近线.

实例:已知实数c>0,函数g(x)=ln(2cx2-2x+1)的值域为R,则c的取值范围是.

略解:令t=2cx2-2x+1,由于t的取值必须能够从正方向无限趋近于0,故Δ≥0,解得0

3. y=x-n(n>0).无论n如何取值,定义域中都要求x≠0,从而使得x=0成为其渐近线.

4. y=tanx.其渐近线x=+kπ(k∈Z)也是由定义域引起的.二、 某些复合函数的定义域引的起渐近线例1 关于x的方程x2-2alnx=2ax有唯一解,求实数a的取值范围.略解 当x+lnx≠0时,分离参数得,2a=.

令f(x)=(x>0),则f ′(x)=.由f ′(x)≥0得,x+2lnx-1≥0.

设g(x)=x+2lnx-1,g′(x)=1+>0在(0,+∞)上恒成立,所以g(x)在(0,+∞)上是增函数,又g(1)=0,故当x≥1时,g(x)≥0,即f ′(x)≥0.

而由x+lnx=0,即lnx=-x可得,存在x0∈(0,1),使得f(x)无意义,从而使得x=x0成为函数f(x)图像的渐近线.

故f(x)在(0,x0),(x0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.图像如图1.

由图像可知,2a=1或2a<0,所以a=或a<0.

点评 若不通过定义域得出渐近线,就会错误地认为f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,从而画出错误图像,得到错误答案a=.例2 是否存在实数m>0,使得关于x的方程mx2+(1-2m)x-lnx=0在(,e)上有且仅有两个不相等的实数根?若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由.略解(分离参数法) 由m(x2-2x)+x-lnx=0,得m=(x2-2x≠0).

令f(x)=,由f ′(x)≥0,得(x-1)(x+2-2lnx)≥0.

令g(x)=x+2-2lnx,由g′(x)=1-≥0得,x≥2.

故g(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增.又g(2)=4-2ln2>0,所以g(x)>0在(0,+∞)上恒成立.

所以由(x-1)(x+2-2lnx)≥0,得x≥1.

考虑到x2-2x≠0,即x≠2,所以f(x)在,1上单调递减,在(1,2)上单调递增,在(2,+∞)上单调递增.

又f =>0,f(1)=1,f(e)=<0.图像如图2.

因为方程有两个不相等的实数根,故m的取值范围是1,.

点评 必须考虑定义域对划分单调区间的决定作用.三、 定义域不一定引起渐近线 例3 已知关于x的不等式lnx+-a≥0在其定义域上恒成立,求实数a的取值范围.简析 在分离参数后,我们会得到函数f(x)=.求导得f ′(x)=,令g(x)=x-1-lnx,则g′(x)=1-.可知g(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,所以[g(x)]min=g(1)=0.从而g(x)≥0在(0,+∞)上恒成立.也即f′(x)≥0在定义域上恒成立,依据上面经验,函数f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,

+∞)上单调递增,且x=1是函数图像的渐近线.那就错了!函数的大致图像如图3.

拓展:(1) f(x)=(m>0).大致图像如图3;

(2) g(x)=(m>0).大致图像如图4.

点评 上述函数并未因定义域引起渐近线.四、 定义域是怎样引起渐近线的上述差异的产生本质上是极限问题.

在例1中,当x从正方向无限趋向于x0时,分子无限趋向于x2 0 为正常数,分母x0+lnx0→0+,从而g(x)→

+∞;而当x从负方向无限趋向于x0时,分子无限趋向于x2 0 为正常数,分母x0+lnx0→0-,从而g(x)→-∞,从而形成x=x0这条渐近线.

同理可解释例2中的渐近线.

在例3中,当x无限趋向于1时,分子、分母的极限都为0,而导数都等于1,故f(1)=1(一般性证明是大学数学中的内容),所以图像过点(1,1).同理,f(x)=(m≠0),g(x)=(m≠0)的图像均过点(1,m).

1. 已知函数y=tanωx在区间,π上单调递增,试求实数ω的取值范围.

2. 设函数f(x)=ax2+bx+c,且f(1)=-,3a>2c>2b.求证:

(1) a>0,且-3<<-;

(2) 函数f(x)在区间(0,2)内至少有一个零点.

1. y=tanωx的定义域是x|x≠π,k∈Z,从而直线x=π成为函数图像的渐近线.

据题意有ω>0,单调增区间为每一个开区间π,π(k∈Z).

故,ππ,π,化简得,1,(k∈Z).

当k<0时,显然不适合;

当k=0时,,1-,,所以≥1,0<ω≤;

当k>0时,≤,≥1,得ω≥2k-1,ω≤k+,故k只能取1,所以1≤ω≤.

综上,0<ω≤或1≤ω≤.

2. (1) 由f(1)=a+b+c=-,可得c=-b-a,代入3a>2c>2b易证(1).

(2) 由f(x)=ax2+bx-b-a=0,两边同除以a,得x2+x--=0,分离参数,得=.

令g(x)=,在区间(0,2)上,直线x=1是其图像的渐近线,g(0)=-,g(2)=-.

通过求导易得函数在(0,1)上单减,在(1,2)上也单减,且g(2)

函数定义域意识的培养 第6篇

在求函数解析式、值域、单调区间、判断函数的奇偶性等问题中, 必须先考虑函数的定义域, 否则极易出错.

例1 求函数f (x) =lg (x2-9) 的单调递增区间.

错解 令t=x2-9, 则y=lgt, 它是增函数.又∵t=x2-9在[0, +∞) 上为增函数, 由复合函数的单调性可知, 函数f (x) =lg (x2-9) 在[0, +∞) 上为增函数, 即原函数的单调增区间是[0, +∞) .

剖析 判断函数的单调性, 必须先求出函数的定义域, 单调区间应是定义域的子区间, 应先确定函数的定义域.由x2-9>0, 得f (x) 的定义域为 (-∞, -3) ∪ (3, +∞) .由此可确定函数f (x) =lg (x2-9) 的单调增区间是 (3, +∞) .

例2 判断函数$f(x)=\frac{\sqrt{1-x{}^2}}{|x+2|-2}$的奇偶性.

错解 很多学生处理该题的时候, 看到偶次方根和绝对值, 就判断该函数是偶函数或是非奇非偶函数.

剖析 本题应先求函数的定义域为{x|-1x1, 且x≠0}, 关于原点对称, 从而简捷地去掉分母的绝对值, 化简为$f(x)=\frac{\sqrt{1-x{}^2}}{x}$, 从而很容易判断f (x) 为奇函数.在整个过程中, 定义域起到了化简的关键作用.

二、函数中隐含问题的定义域意识的培养

隐含问题中定义域意识的培养考查了学生数学思维的深刻性、批判性, 就好比识别战争中的间谍一样, 也可以培养学生仔细严谨的习惯和敏锐的洞察力.

例3 已知集合$A=\{(x,y)|y=\sqrt{4-x{}^2}\}‚B=\{(x,y)|y=x+m\}$, 若A∩B≠Ø, 求m的范围.

错解 本题很容易想到利用图像来解题, 对$y=\sqrt{4-x{}^2}$平方, 得到圆x2+y2=4, 结合图像可得m的范围为$[-2\sqrt{2}‚2\sqrt{2}].$

剖析 本题错解的关键是:在平方的过程中没有注意函数$y=\sqrt{4-x{}^2}$中“y≥0”这一隐含条件, 只是一个半圆, 正解应为$[-2,2\sqrt{2}].$

三、恒成立问题中函数定义域意识的培养

恒成立问题是近年高考中的一种热点题型, 而在该类问题的处理中, 函数定义域意识是一个关键点, 能认真分析各个参数的定义域, 就能很好地找准该问题的突破口, 从而培养学生数学思维的灵活性、创造性、广阔性等品质.

例4 若不等式x2+ax-a≥0对一切实数x恒成立, 求实数a的取值范围.

分析1 设f (x) =x2+ax-a, 该二次函数的定义域为R, 开口向上, 只需判别式Δ=a2+4a0即可, 可得a的取值范围为-4a0.

分析2 设f (x) =x2+ax-a, 只需f (x) min≥0, 故有$f\left(-\frac{a}{2}\right)\ge 0$, 代入可得a的取值范围为-4a0.

变式1 若不等式x2+ax-a≥0对一切x∈ (1, 2]恒成立, 求a的取值范围.

分析1 本题与例4最本质的区别就是:不等式所对应的函数的定义域由R变为了区间 (1, 2], 通过分析对比, 再用判别式Δ已经不能解决该问题, 注意到题目中是知道x的范围, 求参数a的范围, 故可考虑用分离变量法解决问题.由题意可得$a\ge \frac{-x{}^2}{x-1}$在x∈ (1, 2]上恒成立, 只需$a\ge \left(\frac{-x{}^2}{x-1}\right){}_{\max }$, 经化简$\frac{-x{}^2}{x-1}=\frac{1}{\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{2}\right){}^2-\frac{1}{4}}‚\frac{1}{x}\in \left[\frac{1}{2}‚1\right)$, 当$\frac{1}{x}=\frac{1}{2}$时, $\left(\frac{-x{}^2}{x-1}\right){}_{\max }=-4$, 所以a的取值范围是a≥-4.

分析2 设f (x) =x2+ax-a, 只需f (x) min≥0, 对称轴为$x=-\frac{a}{2}$, 属于二次函数中的定区间动轴问题, 故需对对称轴分三类讨论: (1) 当a≥-2时, 因为f (x) 在x∈ (1, 2]递增, 故只需当x=1时成立即可, 可得a≥-2; (2) 当a-4时, 因为f (x) 在x∈ (1, 2]递减, 故只需当x=2时成立即可, 可得a=-4; (3) 当-4<a<-2时, 由图只需$f\left(-\frac{a}{2}\right)\ge 0$即可, 可得-4<a<-2成立.由三类求并集可得, 所以a的取值范围是a≥-4.

通过对两个方法的比较, 我们可以得出, 在该类问题的处理中, 分离变量法更简捷, 分类讨论是通性通法, 更具有一般性.

变式2 若不等式x2+ax-a≥0对一切x∈ (0, 2]恒成立, 求a的取值范围.

分析 变式2是在变式1的基础上, 定义域再次发生变化.再对比变式1的讨论, 发现如果采用变式1的分离变量的方法又面临了新的问题, 要分x=1, x>1和x<1三类讨论, 然后三类求交集, 可以解决问题, 但较繁, 还不如用分析2的方法直接分类讨论更简捷一些, 最后可得a的取值范围是-4a0.

综上所述, 在求解函数解析式、值域、单调性、奇偶性等问题中, 函数的定义域是何等的重要.能发现变量隐含的取值范围, 精细地检查解题思维的过程, 就可以避免很多错误结果的产生.思辨函数定义域的改变对解题方法和结果的影响, 就能提高学生质疑辨析能力, 有利于学生思维能力不断提高.

参考文献

[1]林银彪.函数定义域与思维品质.浙江省温岭市职业技术学校.

函数定义域的重要性 第7篇

函数有三大要素:定义域、对应法则和值域, 在我们确定了函数的定义域、对应法则之后, 值域也随之确定。所以我们也说函数有两大要素:定义域和对应法则。在平时的教学中强调只要研究函数问题就要首先考虑函数的两大要素, 有利于加强学生思维的严密性。

在求解函数的关系式、最值 (值域) 、单调性、奇偶性等问题中, 都要求我们首先考虑定义域。下面举一例说明定义域的重要性。

例:求函数f (x) =log2 (x2+2x) 的单调区间。

解:由函数求定义域故x2+2x>0,

∴x>0或x<-2,

∴函数定义域为 (-∞, -2) ∪ (0, +∞) 。

令g (x) =x2+2x, ∴g' (x) =2x+2。

由g' (x) >0得x>-1;g' (x) <0得x<-1。

又由定义域知在x∈ (-∞, -2) 上时, g (x) 为减函数,

在x∈ (0, +∞) 上时, g (x) 为增函数。

又∵y=log2x是增函数。

∴函数f (x) =log2 (x2+2x) 在 (-∞, -2) 上是减函数, 在 (0, +∞) 上是增函数。

即函数f (x) =log2 (x2+2x) 的单调递增区间是 (0, +∞) , 单调递减区间是 (-∞, -2) 。

函数定义域与思维品质的培养 第8篇

一、函数关系式与定义域

函数关系式包括定义域和对应法则, 所以在求函数的关系式时必须要考虑所求函数关系式的定义域, 否则所求函数关系式可能就是错误的.如:

例1:某工厂计划建筑一矩形围墙, 现有材料可筑墙的总长度为80m, 求矩形的面积S与矩形长x的函数关系式?

解:设矩形的长为xm, 则宽为 (40x) m, 由题意得:

故函数关系式为:S=x (40-x) .

如果解题到此为止, 则本题的函数关系式还欠完整, 缺少自变量x的范围.也就是说学生的解题思路不够严密.因为当自变量x取负数或大于40的数时, S的值是负数, 即矩形的面积为负数, 这与实际问题相矛盾, 所以还应补上自变量x的范围:0

即:函数关系式为:S=x (40-x) (0

这个例子说明, 在用函数方法解决实际问题时, 必须要注意到函数定义域的取值范围对实际问题的影响.

二、函数最值与定义域

函数的最值是指函数在给定的定义域区间上能否取到最大 (小) 值的问题.如果不注意定义域, 将会导致最值的错误.如:

例2:求函数f (x) =x2-4x-3在[2, 5]上的最值.

解 :∵f (x) =x2-4x-3= (x2-4x+4) -7= (x-2) 2-7,

∴当x=2时, f (x) min=-7.

初看结论, 本题似乎没有最大值, 只有最小值. 产生这种错误的根源在于学生是按照求二次函数最值的思路考虑的, 而没有注意到已知条件的变化. 这是思维呆板性的一种表现, 也说明学生的思维缺乏灵活性.

其实以上 结论只是 对二次函 数y=ax2+bx+c (a>0) 在R上适用, 而在指定的定义域区间[m, n]上, 它的最值应分如下情况:

(1) 当 -b/2a

(2) 当 -b/2a>n 时, y=f (x) 在[m, n]上单调递减, f (x) max=f (m) , f (x) min=f (n) ;

(3) 当 m-b/2an 时, y=f (x) 在[m, n]上最值情况是:

f (x) max=max{f (m) , f (n) }, 即最大值是f (m) , f (n) 中最大的一个值.

故本题还要继续做下去:

∴函数f (x) =x2-4x-3在[-2, 5]上的最小值是-7, 最大值是9.

这个例子说明, 在函数定义域受到限制时, 若能注意定义域的取值范围对函数最值的影响, 并在解题过程中加以注意, 便体现出学生思维的灵活性.

三、函数值域与定义域

函数的值域是该函数全体函数值的集合, 当定义域和对应法则确定, 函数值也随之而定.因此在求函数值域时, 应注意函数定义域.如:

例3 :求函数的值域 .

错解:令

故所求的函数值域是[7/8, +∞) .

剖析:经换元后, 应有t≥0, 而函数y=2t2+t+1在[0, +∞) 上是增函数,

所以当t=0时, ymin=1.

故所求的函数值域是[1, +∞) .

以上例子说明, 变量的允许值范围是何等的重要, 若能发现变量隐含的取值范围, 精细地检查解题思维的过程, 就可以避免以上错误结果的产生. 也就是说, 学生若能在解好题目后, 检验已经得到的结果, 善于找出和改正自己的错误, 善于精细地检查思维过程, 便能够体现出学生良好的思维批判性.

四、函数单调性与定义域

函数单调性是指函数在给定的定义域区间上函数自变量增加时, 函数值随着增减的情况, 所以讨论函数单调性必须在给定的定义域区间上进行.

如果在做题时, 没有在定义域的区间上考虑函数的单调性, 就说明学生对函数单调性的概念一知半解, 没有真正理解.在做练习或作业时, 只是对题型、套公式, 而不去领会解题方法的实质, 也就说明了学生的思维缺乏深刻性.

五、函数奇偶性与定义域

判断函数的奇偶性, 应首先考虑该函数的定义域区间是否关于坐标原点成中心对称, 如果定义域区间关于坐标原点不成中心对称, 则函数就无奇偶性可谈.否则要用奇偶性定义加以判断.

综上所述, 在求解函数关系式、值域、单调性、奇偶性等问题中, 若能精细地检查思维过程, 思辨函数定义域有无改变 (指对定义域为R来说) , 对解题结果有无影响, 就能提高学生质疑、辨析能力, 有利于培养学生的思维品质, 从而不断提高学生的思维能力, 进而有利于培养学生思维的创造性.

新视角下的函数定义域的价值 第9篇

函数关系式包括定义域和对应法则, 所以在求函数的关系式时必须要考虑所求函数关系式的定义域, 否则所求函数关系式可能是错误。如:

例1某农户用50米长的篱笆围一个矩形篱笆墙, 求矩形的面积S与矩形长x的函数关系式?

解:设矩形的长为x米, 则宽为 (25-x) 米, 由题意得:

故函数关系式为:S=x (25-x) ,

如果解题到此为止, 则本题的函数关系式还欠完整, 缺少自变量x的范围。也就是说学生的解题思路不够严密。因为当自变量x取负数或不小于25的数时, S的值是负数, 即矩形的面积为负数, 这与实际问题相矛盾, 所以还应补上自变量x的范围:0

这个例子说明, 在用函数方法解决实际问题时, 必须要注意到函数定义域的取值范围对实际问题的影响。若考虑不到这一点, 就体现出了学生的思维缺乏严密性。如果注意到定义域的变化, 那么说明学生的解题思维过程体现出较好思维的严密性。

二、函数值域与定义域

函数的值域是函数全体函数值 (应变量) 的集合, 当定义域和对应法则确定, 函数值也随之而定。因此在求函数值域时, 应注意函数定义域。如:

剖析:经换元后, 应有t叟0, 而函数y=2t2+t+1在[0, +∞) 上是增函数,

所以当t=0时, ymin=1。

故所求的函数值域是[1, +∞) 。

以上例子说明, 函数定义域是函数三要素中最为重要的一个要素, 若能发现变量隐含的取值范围, 系统地检查解题思维的过程, 就可以避免产生以上错误结果的产生。也就是说, 学生若能在解好题目后, 检验已经得到的结果, 善于找出和改正自己的错误, 善于系统地检查思维过程, 便体现出良好的思维批判性。

三、函数最值与定义域

函数的最值是指函数在给定的定义域区间上能否取到最大 (小) 值的问题。如果不注意定义域, 将会导致最值的错误。如:

例3求函数y=x2-2x+3在[-4, 5]上的最值。

初看结论, 本题似乎没有最大值, 只有最小值。产生这种错误的根源在于学生是按照求二次函数最值的思路, 而没有注意到已知条件发生变化。这是思维呆板性的一种表现, 也说明学生思维缺乏灵活性。

其实以上结论只是对二次函数Y=a X2+b x+c在R上适用, 而在指定的定义域区间[p, q]上, 它的最值应分如下情况:

f (x) max=ma x{f (p) , f (q) }即最大值是f (p) , f (q) 中最大的一个值。

故本题还要继续做下去:∵-4燮1燮5, ∴f (-4) = (-4) 2-2 (-4) +3=27, f (5) =52-25+3=18, ∴f (x) max=ma x{f (-4) , f (5) }=f (-4) =27, ∴函数y=x2-2x+3在[-4, 5]上的最小值是2, 最大值是27。

这个例子说明, 在函数定义域受到限制时, 若能注意定义域的取值范围对函数最值的影响, 并在解题过程中加以注意, 便体现出学生思维的灵活性。

四、函数单调性与定义域

函数单调性是指函数在给定的定义域区间上函数自变量增加时, 相对应的函数值随着增减的情况, 所以讨论函数单调性必须在给定的定义域区间上进行。如:

例4指出函数f (x) =log2 (x2-2x) 的单调区间。

解:先求定义域:

∴函数定义域为 (-∞, 0) U (2, +∞) ,

令t=x2-2x, 知在x∈ (-∞, 0) 上时, t为减函数, 在x∈ (2, +∞) 上时, t为增函数。

又∵f (x) =log2t在 (0, +∞) 。

∴函数f (x) =log2 (x2-2x) 在 (-∞, 0) 上是减函数, 在 (2, +∞) 上是增函数。

即函数f (x) =log2 (x2-2x) 的单调递增区间 (2, +∞) , 单调递减区间是 (-∞, 0) 。

如果在具体的解题过程中, 没有在定义域的两个区间上分别考虑函数的单调性, 就说明学生对函数单调性的概念没有理解透彻, 在做练习或作业时, 只是对题型, 套公式, 而不去领会解题方法的实质, 也说明学生的思维缺乏深刻性。

五、函数奇偶性与定义域

判断函数的奇偶性, 应先考虑该函数的定义域区间是否关于坐标原点成中心对称, 如果定义域区间是关于坐标原点不成中心对称, 则函数就无奇偶性可谈。否则要用奇偶性定义加以判断。如:

例5判断函数y=x2, x∈[-1, 2]的奇偶性。

解:∵2∈[-1, 2]而-2埸[-1, 2]

∴定义域区间[-1, 2]关于坐标原点不对称,

∴函数y=x2, x∈[-1, 2]是非奇非偶函数。

若学生能注意到函数定义域对函数奇偶性的影响, 理解定义域与奇偶性之间的内在关系, 就能很好地体现出学生解题思维的敏捷性。

如果学生不注意函数定义域, 那么判断函数的奇偶性会得出如下错误结论:

∴函数y=x2, x∈[-1, 2]是偶函数。

错误剖析:因为以上做法是没有判断该函数的定义域区间是否关于原点成中心对称的前提下直接加以判断所造成, 这是学生极易忽视的步骤, 也是造成结论错误的原因。

综上所述, 在求解函数函数关系式、最值 (值域) 、单调性、奇偶性等问题中, 如果能够全面、系统地检查具体解题的思维过程, 思辨函数定义域有无改变, 对解题结果有无影响, 就能提高学生分析问题、解决问题的能力, 有利于培养学生的思维品质, 从而不断提高学生思维能力, 进而有利于培养学生思维的创造性。

摘要：函数作为高中数学的主要内容, 贯穿于整个高中数学的始终。函数的定义域是构成函数的三要素之一, 也是其中最为重要的一个要素。函数的定义域看似一个常见的不难的问题, 然而在解决问题中不加以注意, 常常会失之偏颇。本文旨在从系统的角度出发阐述函数定义域与函数的其他的两个要素, 以及函数的性质之间的关系, 进一步培养学生思维的严密性、思维的灵活性、思维的深刻性、思维的批判性和思维的敏捷性。

关键词：定义域,价值,函数,思维

参考文献

[1]李盘喜.高中数学解题题典[M].长春:东北师范大学出版社, 1999.

[2]胡淑珍.教学能力[M].长沙:湖南师范大学出版社, 1999.

浅谈函数定义域与思维特性 第10篇

思维特性包括思维的严密性、思维的灵活性、思维的深刻性、思维的批判性和思维的敏捷性等品质。函数作为高中数学的主线，贯穿于整个高中数学的始终。函数的定义域是构成函数的两大要素之一，在解函数题中强调定义域对解题结论的作用与影响，对提高学生的数学思维品质是十分有益的。

一、函数关系式与定义域

例1：某单位计划建筑一矩形围墙，现有材料可筑墙的总长度为100m，求矩形的面积S与矩形长x的函数关系式？

解：设矩形的长为x米，则宽为（50-x）米，由题意得：

S=x（50-x）

故函数关系式为：S=x（50-x）.

如果解题到此为止，则本题的函数关系式还欠完整，缺少自变量x的范围。也就说学生的解题思路不够严密。因为当自变量x取负数或不小于50的数时，S的值是负数，即矩形的面积为负数，这与实际问题相矛盾，所以还应补上自变量x的范围：0

即：函数关系式为：S=x（50-x）（0

函数的定义域 第11篇

一、函数关系式与定义域

函数关系式包括定义域和对应法则, 所以在求函数的关系式时必须考虑所求函数关系式的定义域, 否则所求函数关系式可能是错误。如:

例1:某单位计划建筑一矩形围墙, 现有材料可筑墙的总长度为100m, 求矩形的面积S与矩形长x的函数关系式?

解:设矩形的长为x米, 则宽为 (50-x) 米, 由题意得:

故函数关系式为:S=x (50-x) 。

如果解题到此为止, 则本题的函数关系式还欠完整, 缺少自变量x的范围。也就说学生的解题思路不够严密。因为当自变量x取负数或不小于50的数时, S的值是负数, 即矩形的面积为负数, 这与实际问题相矛盾, 所以还应补上自变量的范围:0

即:函数关系式为:S=x (50-x) (0

这个例子说明, 在用函数方法解决实际问题时, 必须注意到函数定义域的取值范围对实际问题的影响。若考虑不到这一点, 就体现出学生思维缺乏严密性。若注意到定义域的变化, 就说明学生的解题思维过程体现出较好思维的严密性。

二、函数最值与定义域

函数的最值是指函数在给定的定义域区间上能否取到最大 (小) 值的问题。如果不注意定义域, 将会导致最值的错误。如:

例2:求函数y=x2-2x-3在[-2, 5]上的最值。

∴当x=1时, ymin=-4

初看结论, 本题似乎没有最大值, 只有最小值。产生这种错误的根源在于学生是按照求二次函数最值的思路, 而没有注意到已知条件发生变化。这是思维呆板性的一种表现, 也说明学生思维缺乏灵活性。

其实以上结论只是对二次函数y=ax2+bx+c (a>0) 在R上适用, 而在指定的定义域区间[p, q]上, 它的最值应分如下情况:

f (x) max=max{f (p) , f (q) }。即最大值是f (p) , f (q) 中最大的一个值。

故本题还要继续做下去:

∴函数y=x2-2x-3, 在[-2, 5]上的最小值是-4, 最大值是12。

这个例子说明, 在函数定义域受到限制时, 若能注意定义域的取值范围对函数最值的影响, 并在解题过程中加以注意, 便体现出学生思维的灵活性。

三、函数值域与定义域

函数的值域是该函数全体函数值的集合, 当定义域和对应法则确定, 函数值也随之而定。因此在求函数值域时, 应注意函数定义域。如:

例3:求函数的值域。

错解:令, 则,

故所求的函数值域是

剖析:经换元后, 应有t≥0, 而函数y=2t2+t+1在[0, +∞) 上是增函数,

所以当t=0时, ymin=1。

故所求的函数值域是[1, +∞) 。

以上例子说明, 变量的允许值范围是何等重要, 若能发现变量隐含的取值范围, 精细地检查解题思维的过程, 就可以避免以上错误结果的产生。也就是说, 学生若能在解好题目后检验已经得到的结果, 善于找出和改正自己的错误, 善于精细地检查思维过程, 便体现出良好的思维批判性。

四、函数单调性与定义域

函数单调性是指函数在给定的定义域区间上函数自变量增加时, 函数值随着增减的情况, 所以讨论函数单调性必须在给定的定义域区间上进行。

五、函数奇偶性与定义域

判断函数的奇偶性, 应先考虑该函数的定义域区间是否关于坐标原点呈中心对称, 如果定义域区间是关于坐标原点不成中心对称, 则函数就无奇偶性可谈。否则要用奇偶性定义加以判断。

综上所述, 在求解函数函数关系式、最值 (值域) 、单调性、奇偶性等问题中, 若能精细地检查思维过程, 思辨函数定义域有无改变 (指对定义域为R来说) , 对解题结果有无影响, 就能提高学生质疑辨析的能力, 有利于培养学生的思维品质, 从而不断提高学生的思维能力, 进而有利于培养学生思维的创造性。

参考文献

[1]王岳庭主编.数学教师的素质与中学生数学素质的培养论文集.北京:海洋出版社, 1998.