捕食系统范文

捕食系统范文（精选12篇）

捕食系统 第1篇

Huang[1]has talked about the following general model (1.1) with a simplification of method.We also consider the following diffusive predator-prey model with another method.

Where u (x, t) and v (x, t) are the population densities of the prey and the predator at time t and location x respectively;B (u) is the growth rate of the prey;f (u) is the response function;μis the death rate of the predator in the absence of the prey;the constantβis a conversion rate;d1and d2are the diffusion coefficients.

2 Preliminaries

Firstly we give three assumptions which used buy[1].They are as follows:

A1 B (0) =B (K) =0, B (u) >0 for u∈ (0, K) and B (u) <0 for u>K.

This assumption implies that (1.1) has one interior co-existence equilibrium:

g (u) >g (u*) for u∈[0, u*) and g (u) <g (u*) for u∈ (u*, K].

From A2 and A3, we can have a main results

A4 (f (u) -f (u*) ) (g (u) -g (u*) ) <0 for u∈ (0, K) .

Now, we give some definitions for the sake of convenience.Consider the differential equation y′=f (t, y) (2.1)

Where f (t, y) is a continuous function which is defined on an open (t, y) -setΩ.LetΩ0is an open subset ofΩ.

Definition 2.2 A point (t0, y0) ∈Ω∩鄣Ω0is called an egress point ofΩ0, with respect to (2.1) , if for every solution y=y (t) of (2.1) satisfying y (t0) =y0 (2.2)

3 Main results

Let d1=0, d2=d.A traveling wave solution of (1.1) with the special form (u (ξ) , v (ξ) ) withξ=x+ct, c>0, .Substituting this solution into (1.1) , we get the system:

And the system (3.1) satisfies the boundary at infinite: (u (-∞) , v (-∞) ) =Ek, (u (∞) , v (∞) ) =E*.

Then we have a theorem as follows:

Theorem3.1 Assume that A1, A2, A3and A4 hold, .Then (1.1) has a nonnegative traveling wave solution connecting EKand E*if c≥c*.

4 Proof of Theorem3.1

4.1 Let z′= (βf (u) -μ) v.Then rewrite the system (3.1) as follows:

Note that the equilibrium of (1.1) :Ek= (K, 0) and E*= (u*, v*) correspond to Ek= (K, 0, 0) and E*= (u*, v*, cv*) of (4.1) .So a solution of (4.1) satisfies the boundary condition:

Now we turn to study the linearization system at Ekof (4.1) .The linearization system is this

We can calculate the eigenvalues at Ekare

Form the assumption (A1) , which implies that B′ (K) ≤0.So for c≥c*, we have thatλ1<0<λ2≤λ3, and the eigenvectors corresponding toλ2andλ3are

By Hartman Theorem, there exists a two-dimensional local unstable manifold wuloc (EK) of (4.1) tangent to the span of (X2, X3) .

(4.6) motivates us to sandwich the given nonlinear subsystem of (4.1) in between two proper linear systems.Therefore, we consider the following two linear systems:

Since 0<c-dλ3<c-dλ2<c-dγ3<c-dγ2, then the plane z= (c-dγ2) v lies above the plane z= (c-dλ3) v.

Now we define a W azew ski set W*in (u, v, z) space as follows:

The boundary of W*consists of four surfaces, they are:

Accord to the approach used in[2], some lemmas as follows for (4.1) .

Lemma 4.1 If an initial point p0= (u (0) , v (0) , z (0) ) ′is chosen from the interior of W*, then the flowØ0 (ξ, p0) (ξ≥0) of (4.1) can only exit W*through H1or H2in the future.

(1) The outward normal vector of H1is h1= (0, dγ2-c, 1) , then for u>0, we have:

So, the left surface H1belongs to the egress set.

(2) The outward normal vector of H2is h2= (0, c-dλ3, -1) , then for u<K, we have:

So, the right surface H2belongs to the egress set.

(4) Because u=0 is an invariant set of (4.1) , so from the definition of invariant set, it is easy to see that the flow of (4.1) cannot enter or exit W*through the front surface.

(5) Since the line segment{0<u<K, v=z=0}is a part of the u-axis and the u-axis is an invariant under (4.1) , so the line segment l is not in the egress set.

Therefore, we have shown that H1and H2belong to the egress set, and no more.

We can find a smooth curveφsuch that, which one end point E3∈H1and the other end point E4∈H2.

Lemma 4.2 There is a point p5∈φsuch that the flowof (4.1) will remain in W*for.ξ≥0

Consider the proof of Lemma 4.8 in[2], we can easily proof this lemma.

From the assumption (A4) , we have (4.11) <0. (4.12)

From Lemma 4.2, we know (u (ξ) , v (ξ) , z (ξ) ) ′∈W*, and hence

Combining (4.12) and (4.13) , we have w (0) >w (ξ) > (c-dλ3) v-v* (c-dγ2) -cv*lnw, forξ≥0, which follows that (c-dλ3) v (ξ) -cv*lnw<w (0) + (c-dγ2) v*.

Proof the existence of the traveling wave which connects EKand E*for c≥c*.

5 Discussions

In this paper, for d1=0, d2=d>0, we have discuss the existence of the traveling wave solution connecting EKto E*.However, if the assumptions are absent, the results cannot be guaranteed in our paper.And this method presented in this paper will be further developed to study the existence of the traveling waves for d1>0, d2>0.

摘要：By using a shooting method, we show the existence of the traveling wave solutions for a class of diffusive predator-prey systems.Our method is a significant improvement of techniques used by Dunbar, which is mainly to construct an unbounded Wazeeski set.This method provides a more sufficient way to study the existence of the traveling wave solutions for predator-prey system.

参考文献

[1]W.Z.Huang, Traveling wave solutions for a class of predator-prey systems[Z].Unpublished results.

捕食系统 第2篇

带有扩散的捕食与被捕食系统的周期解的存在性

研究了一类非自治食饵种群在两个斑块之间扩散的`捕食与被捕食系统,同时捕食种群固定在一个斑块不会扩散.运用叠合度的方法得到了正周期解的全局存在性的充分条件.

作 者：王霞 宋强 杨金根 WANG Xia SONG Qiang YANG Jin-gen  作者单位：王霞,杨金根,WANG Xia,YANG Jin-gen(信阳师范学院,数学与信息科学学院,河南,信阳,464000)

宋强,SONG Qiang(信阳职业技术学院,河南,信阳,464000)

刊 名：信阳师范学院学报（自然科学版）  ISTIC PKU英文刊名：JOURNAL OF XINYANG NORMAL UNIVERSITY(NATURAL SCIENCE EDITION) 年，卷(期)： 21(3) 分类号：O175.1 关键词：正周期解   捕食与被捕食系统   叠合度   扩散   positive periodic solutions   predator-prey system   coincidence degree   dispersion  

神奇的捕食手段 第3篇

流星锤蜘蛛能释放出类似雌性飞蛾的气味，诱捕雄性飞蛾。它用蛛丝把一团黏性的胶状物悬在空中，晃来晃去，以捕捉飞蛾。蜘蛛的这种秘密武器“流星锤”得名于南美至今仍在使用的一种古老武器。南美的牧人用这种末端负重的套牛绳把牛腿缠住，然后把它绊倒。蜘蛛的这种捕猎工具却是带黏性的。蛛丝的柔韧性胜过钢丝，因此捕捉猎物时很少有漏网的鱼。

某些动物捕捉猎物的手段则显得风度优雅。射水鱼使用的是“水枪”。当射水鱼把鳃闭合起来时，水就会喷射而出，它的精确射程可达2米。射水鱼是弹道学方面的专家，它竟然会考虑到射出的水在重力作用下弯曲的弧度，还能根据光在水面和空气交界处的折射做出相应的调整。通过一系列惊人的计算，射水鱼不断改换自己射击的角度，以弥补视觉的误差。

天鹅绒虫使用杀伤力更强的武器。天鹅绒虫是世界上最古老的无脊椎动物之一，它的射击方式与众不同，像一个神枪手一样，它有两把手枪。不过它射出的不是子弹，而是黏性套索。这种套索迂回曲折，长达1米。它迂回行进向不同方位射出黏性的套索。缠住猎物的缕缕绳索就像一张黏性的网。这种黏性的丝干得很快，刀刃般锋利的前颚已经刺入了猎物的身体，不久便把它吸干了。

有研究表明，海豚也有自己的射击武器。但这种射击武器却是以声音作为基础。海豚运用声纳探测自己生活的世界。它们发出声波，通过因声的分析获知外界环境的情况。这种高强度的超声波可以穿透沙地，海豚甚至能靠这种超声波勾画出一条死鱼的精确图像。强烈的声波使猎物失去了方向感，在这种情况下海豚可以轻而易举地捉到它们。

海底从来都不寂静，而是充满了各种刺耳的声音，这些噪音有时甚至能干扰潜艇的通信。大部分噪音来自一种毫不起眼的小生物——鼓虾。虾爪子相互拍击产生的声音，不但可以达到相互交流的目的，而且还是一种能致敌于死地的武器。它只要在一定距离内拍打爪子，产生的声音就能把猎物击昏。

辟鱼鱼给“快餐”赋予了新的含义，它吞食猎物的速度其快无比。伪装好了的辟鱼鱼利用与大腿功能相似的鳍，在水里四处爬行。猎物被这种伪装弄糊涂了，辟鱼鱼眨眼间就会逮住猎物。整个过程只要1／6000秒，超过了任何一种生物的反应速度。辟鱼鱼的嘴膨胀了12倍，形成的真空瞬间便把猎物吸进去。

指猴住在马达加斯加的森林中，它的专业化的工具是一根极瘦长手指。指猴用它延长的中指四处敲击，寻找隐藏的猎物。树干中的空洞发出独特的回声。根据回声的变化，洞穴的三维图像就在指猴的头脑中形成了。指猴通过声音进一步确定猎物的位置。指猴的这种工具还能起到探针的作用。

接近猎物是非常困难的。变色 龙依靠可以独立转动的眼睛，而不是移动的身体帮助它锁定猎物的位置，只有当猎物进入视野后，变色龙的两只眼睛才一起注视同一个地方。变色龙把视力汇聚到一点，这有助于测定距离。因为变色龙的舌头长过身体，这就要求在长距离上的精确性。变色龙的捕食充分显示了它舌头结构的优越性，舌头的黏性的末端形成了一个具有抽吸作用的杯状结构。其舌头的伸缩速度在陆上动物中首屈一指，其重力加速度是战斗机的5倍。

乌贼也能长距离捕捉猎物。它捕食不靠舌头，而是用两根可伸缩的触手。与变色龙的舌头类似，乌贼触手的末端形成了很多吸盘。每个吸盘都有一圈细小的齿状物，这有利于“咬住”猎物并增加抓着力。两个触手也可当成钳子来使用。乌贼的触手也可以达到25倍的重力加速度，是变色龙的一半，但更令人惊奇的是，这样快的速度是在举步维艰的水中实现的。乌贼还有很多神奇的力量，它们似乎很擅长催眠术。皮下色素细胞的扩张和收缩呈现出一种有催眠作用的色彩，脉搏搏动似的色彩创造了一种致命的诱惑。

一些蛇类探索出其他的迷惑敌人的方法。棘蛇是澳洲毒性最强也最擅长于伪装的毒蛇。它有一种致命的把戏：摇动尾巴就像一只活的诱饵。石龙子是棘蛇的理想猎物，棘蛇它们对昆虫的幼虫情有独钟。棘蛇摇动着的尾巴，与甲虫的蛴螬非常相似。

捕食系统 第4篇

$\{\begin{array}{l}\dot{x}(t)=x(t)(a-bx(t))-mx(t)y(t)\\ \dot{y}(t)=y(t)\left[s\left(1-h\frac{y(t)}{x(t)}\right)\right]。\end{array}$

其中x(t),y(t)分别表示食饵、捕食者种群的密度,a,s分别表示食饵、捕食者的内禀增长率,$\frac{a}{b}$为食饵种群的容纳量,$\frac{x}{h}$为捕食者种群的容纳量,与食饵种群的大小成比例。1960年Leslie等[2]对上述模型进行了研究,得到了一些重要的结论。在上述模型基础上,本文考虑如下捕食系统

$\{\begin{array}{l}\dot{x}(t)=rx(t)\left(1-\frac{x(t)}{{\rm K}}\right)-\frac{x(t)y(t)}{a+by(t)+cx(t)}\\ \dot{y}(t)=y(t)\left[s\left(1-\frac{y(t-\tau )}{hx(t-\tau )}\right)\right]\end{array}(1)$

式(1)中K为食饵种群的容纳量,$\frac{x(t)y(t)}{a+by(t)+cx(t)}$是Beddington-Deangelis功能性反应函数,τ表示捕食者自身的消化或妊娠时间,系数r,K,a,b,c,s,h均为大于零的常数。系统式(1)的初始条件为

x(θ)=φ(θ)>0,y(θ)=φ(θ)≥0;

θ∈[-τ,0),x(0)>0,y(0)>0 (2)

考虑到系统式(1)的生态意义,我们只在第一象限内讨论。本文主要利用常微分方程定性理论和稳定性理论的方法来讨论系统式(1)无时滞时正平衡点的全局稳定性、极限环的存在性及时滞时Hopf分支现象。

解方程组

$\{\begin{array}{l}r\left(1-\frac{x}{{\rm K}}\right)-\frac{y}{a+by+cx}=0\\ y\left(1-\frac{y}{hx}\right)=0。\end{array}$

得系统式(1)的平衡点E0(K,0),E*(x*,y*),其中

$\begin{array}{l}x{}^{*}=\frac{-\left[h+\frac{ra}{{\rm K}}-r(bh+c)\right]}{2\frac{r}{{\rm K}}(bh+c)}+\\ \frac{\sqrt{\left[h+\frac{ra}{{\rm K}}-r(bh+c)\right]{}^2+4\frac{r}{{\rm K}}(bh+c)ra}}{2\frac{r}{{\rm K}}(bh+c)}‚\\ y{}^{*}=hx{}^{*}‚\text{显}\text{然}\text{有}0<x{}^{*}<{\rm K}。\end{array}$

为了方便起见,我们记

$\begin{array}{l}a{}_{11}=x{}^{*}\left[\frac{cy{}^{*}}{(a+by{}^{*}+cx{}^{*}){}^2}-\frac{r}{{\rm K}}\right]‚a{}_{21}=sh‚\\ a{}_{12}=-\frac{x{}^{*}(a+cx{}^{*})}{(a+by{}^{*}+cx{}^{*}){}^2}‚a{}_{22}=-s。\end{array}$

引理E0为系统式(1)的鞍点。

证明 系统(1)在E0处的Jacobian矩阵为

$J(E{}_0)=\left(\begin{array}{cc}-r& -\frac{{\rm K}}{a+c{\rm K}}\\ 0& s\end{array}\right),$

其特征根为λ1=-r,λ2=s,从而E0为鞍点。

定理1 当τ=0,a11+a22<0,hsc时,系统式(1)的正平衡点E*稳定且是全局稳定的。

证明 当τ=0时,系统(1)在E*处的Jacobian矩阵为

$J(E{}^{*})=\left(\begin{array}{cc}a{}_{11}& a{}_{12}\\ a{}_{21}& a{}_{22}\end{array}\right)$

矩阵的迹Tr$(J(E{}^{*}))=a{}_{11}+a{}_{22}<0‚\text{D}\text{e}\text{t}(J(E{}^{*}))=\frac{rs}{{\rm K}}x{}^{*}+\frac{say{}^{*}}{(a+by{}^{*}+cx{}^{*}){}^2}>0$,所以正平衡点E*局部稳定.

令B(x,y)=x-1y-1,则

$\begin{array}{l}\frac{\partial (B\dot{x})}{\partial x}+\frac{\partial (B\dot{y})}{\partial y}=-\frac{r}{{\rm K}y}+\frac{c}{(a+by+cx){}^2}-\frac{s}{hx{}^2}=-\frac{r}{{\rm K}y}\\ -\frac{(sc{}^2-ch)x{}^2+s[(a+by){}^2+2cx(a+by)]}{hx{}^2(a+by+cx){}^2}<0,\end{array}$

因此系统式(1)在第一象限内不存在极限环,从而正平衡点E*是全局稳定的。

推论 当τ=0,cr2sh,hsc时,系统式(1)的正平衡点E*全局稳定。

证明 由于$\frac{y{}^{*}}{a+by{}^{*}+cx{}^{*}}=r\left(1-\frac{x{}^{*}}{{\rm K}}\right)$,则

$a{}_{11}=\frac{c}{h}\left(r-\frac{r}{{\rm K}}x{}^{*}\right){}^2-\frac{r}{{\rm K}}x{}^{*},$

其中$r-\frac{r}{{\rm K}}x{}^{*}\in (0,r)$。

令$g(x)=\frac{c}{h}x{}^2+x-r‚x\in (0,r)$,又

$g^{\prime }(x)=2\frac{c}{h}x+1>0‚x\in (0,r)$,

因此,$g(x)<g(r)=\frac{c}{h}r{}^{2}s$,从而a11<s,即a11+a22=a11-s<0。其余证明类似定理1的证明,故省略。

定理2 当τ=0,a11+a22>0时,系统式(1)存在极限环。

证明 由定理1的证明知,当a11+a22>0时,系统式(1)在正平衡点E*处的Jacobian 矩阵的迹Tr(J(E*))=a11+a22>0,Det(J(E*))>0,所以正平衡点E*不稳定。

作直线l1:$x-{\rm K}=0‚\frac{\text{d}l{}_1}{\text{d}t}|{}_{(1)}=\frac{\text{d}x}{\text{d}t}|{}_{x={\rm K}}=-\frac{{\rm K}y}{a+by+c{\rm K}}<0‚$

即系统式(1)的轨线经过直线l1时是自右而左的。

作直线l2:

$\ln y=m‚\frac{\text{d}l{}_2}{\text{d}t}|{}_{(1)}=\frac{1}{y}\frac{\text{d}y}{\text{d}t}|{}_{y=e{}^m}=s\left(1-\frac{e{}^m}{hx}\right)$,其中0<xK,只要m充分大,总有$\frac{\text{d}l{}_2}{\text{d}t}|{}_{(1)}<0‚$即系统(1)的轨线经过直线l2时是自上而下的。

于是由直线x=0、y=0、l1和l2所围成的区域构成Poincare-Bendixson环域,且E*不稳定,故系统式(1)在第一象限内至少存在一个极限环。

定理3 若a11+a22<0成立,则当τ从零增加时,存在τ0使得当τ∈[0,τ0)时,正平衡点E*是局部渐近稳定的;当τ>τ0时,E*不稳定;当τ=τ0时,系统(1)在正平衡点E*附近发生Hopf分支。

证明 系统(1)在正平衡点E*处的线性系统对应的特征方程为

λ2-a11λ-a22λe-λτ+(a11a22-a12a21)e-λτ=0 (3)

当τ=0时,方程(3)变为

λ2-(a11+a22)λ+a11a22-a12a21=0 (4)

由定理的条件可知a11+a22<0,a11a22-a12a21>0,从而方程(4)的两个根都具有负实部。因此,系统(1)的正平衡点E*是局部渐近稳定的。

当τ≠0时,设λ=iw代入方程(3)中,并分开实部与虚部,我们有

$\{\begin{array}{l}-w{}^2-a{}_{22}w\text{s}\text{i}\text{n}w\tau +(a{}_{11}a{}_{22}-a{}_{12}a{}_{21})\text{c}\text{o}\text{s}w\tau =0\\ -a{}_{11}w-a{}_{22}w\text{c}\text{o}\text{s}w\tau -(a{}_{11}a{}_{22}-a{}_{12}a{}_{21})\text{s}\text{i}\text{n}w\tau =0\end{array}(5)$

因此有

w4+(a${}_{11}^2$-a${}_{22}^2$)w2-(a11a22-a12a21)2=0 (6)

显然式(6)有唯一的正根

$w{}_0=\sqrt{\frac{1}{2}\left[a{}_{22}^2-a{}_{11}^2+\sqrt{(a{}_{11}^2-a{}_{22}^2){}^2+4(a{}_{11}a{}_{22}-a{}_{12}a{}_{21}){}^2}\right]}$。

由方程(5)解出相应于w0的τn为

$\tau {}_n=\frac{1}{w{}_0}\cos {}^{-1}\frac{a{}_{12}a{}_{21}w{}_0^2}{-a{}_{22}^{2}w{}_0^2-(a{}_{11}a{}_{22}-a{}_{12}a{}_{21}){}^2}+\frac{2n\text{π}}{w{}_0}‚n=0,1,2,\cdots$。

因此,由Butler G L[3]的引理知,当τ<τ0时,E*仍然局部渐近稳定。由于式(6)有唯一正根,根据Cooke K[4]的结论,下列横截条件成立

$\frac{\text{d}(\mathrm{Re}\lambda )}{\text{d}\tau }|{}_{\tau =\tau {}_0}>0$。

从而,当τ>τ0时,方程(3)至少存在一个具有正实部的特征根。因此,Hopf分支定理[5]的条件满足,即Hopf分支在τ=τ0,w=w0时发生。

摘要：研究了一类具有时滞和功能性反应函数的捕食系统。利用常微分方程定性理论和稳定性理论的方法,得到无时滞时正平衡点全局稳定及极限环存在的充分条件,并讨论了时滞时Hopf分支的存在性。

关键词：时滞,功能性反应,全局稳定性,Hopf分支

参考文献

[1] Leslie P H.Some further notes on the use of matrices in population mathematics.Biometrika,1948;35(1):213—245

[2] Leslie P H,Gower J C.The properties of a stochastic model for the predator-prey type of interaction between two species.Biometrika,1960;47(1):219—234

[3] Freedman H I,Sree Hari Rao V.The trade-off between mutual inter-ference and time lags in predator-prey systems.Bull Math Biol,1983;45:991—1003

[4] Cooke K L,Van den Driessche P.On zeros of some transce-ndental functions.Funkcial Evac,1986;29:77—90

蜘蛛捕食叙事作文 第5篇

在一个夏季的晚上，我和汤雨泽在篮球场打完球就各自回家了，当我走到楼梯口的时候，突然我看见一只硕大的蜘蛛趴在一楼的门牌上，顿时身上起了一层鸡皮疙瘩，感觉额头都冒冷汗了!心想：怎么办?我可不敢靠近!我在楼梯口犹豫了一下，鼓起勇气想闭着眼睛冲过去。我闭眼跑了几步，又退回来，实在是心虚，我瞟了一眼蜘蛛，它居然动了一下!我仿佛看到了它沾满毒液的毒牙正闪闪发光，它黑亮的眼睛正盯着我，它两条后腿正蹬在墙上准备像我扑过来。当时我的.小心脏都要被吓得蹦出来了。我在楼下大声喊：爸爸!喊了好几声爸爸才听见，从窗户探出头来问我：喊我干啥?我说：下来接我。这么近，你自己回来，楼梯口有灯。我看四周有很多人走过又不好意思说我怕蜘蛛，顿时觉得好无助。

我在楼下磨蹭了半天，试了好几次依然不敢冲过去。我一看见蜘蛛那狰狞的面孔就心虚了。终于住二楼的老婆婆下来丢垃圾，我撑着胆子趁她走过的时候从蜘蛛下面溜过去了。终于过来了!我心里比中了奖还兴奋，心想：它就是一只纸老虎，我能战胜它，要是它一高兴在这安了家，我可得做好长期战斗的准备。

哎!不得不承认我还是怕蜘蛛的。

海马捕食的独门绝技 第6篇

海马，别看它叫马，它其实是一种小型鱼类，身长有5-30厘米，只因其头部酷似马头而得名。如果你见到这种动物，肯定会觉得海马是最不像鱼的鱼类了。因为它集合了马、虾、象三种动物的特征于一身，有马形的头，跟虾一样的身子，还有一个如象鼻一般的尾巴。

纵观海马的全身，你会发现，海马其实是标准的“S”型身材，头部与身子呈直角，胸腹部明显凸出。尽管海马是鱼类，但其体表没有任何鳞片，只披着一圈圈突起的坚硬椎骨，这样的造型，很容易让人们误认为它是类似虾蟹的节肢动物，事实上，它却是尖嘴鱼家族的一员。不过，与一般鱼类不同，海马的尾鳍完全退化了，也没有腹鳍，只有背鳍和胸鳍。要知道，在鱼的各种鳍中，尾鳍的作用是最大的，它既能保持身体平衡，把握前进的方向，又能同尾部产生前进的推动力。而海马没有尾鳍，那它们是怎么在水中游动的呢？

海马在水中几乎是呈直立状游动，这得归功于其背鳍的频频拨水和胸鳍的帮助，它才能够直立在水中任意地上下左右移动。但海马头重尾轻，在水中是很容易下沉的，这时它的尾巴却帮了大忙——能卷曲而钩住水中的缠绕物，以固定身体的位置，而不至于被水流卷走。

不过，这种完全依靠背鳍和胸鳍来游动的方式也是很慢的，所以，海马也就成为了在海中游动速度是数一数二慢的鱼类。那么，对于游动如此之慢的海马来说，它们到底是怎么捕食的呢？

捕食成功率高

美国科学家对海马进行了一系列的实验。首先，研究人员布置了一个小型的鱼缸，并在里面放有海马和一些身型较小的海洋鱼类，以及桡足类动物（海洋中的浮游生物，是海洋中重要的蛋白质来源，也是细小鱼类、海鸟和其他海洋动物的主要食物）。同时，研究人员在一旁观察海马和其他海洋鱼类是如何捕食桡足类的。

结果显示，与其他海洋鱼类相比，海马能够更容易地接近桡足类动物而不被发现，其捕食的成功率更是达到了90%以上。令人惊奇的是，它们捕食的全过程竟不到1毫秒。值得一提的是，桡足类动物一直是众多海洋鱼类的食物，所以，它们也渐渐进化出了一些特有的逃跑方式，如它们对水里的动静尤为敏感，若有食肉动物接近，立即就会被它们发现。不仅如此，一旦让这些桡足类动物觉察到了动静，它们就会在一秒钟内游出相当于它们身体500倍的距离。要知道，猎豹每秒钟也只能跑出身体30倍的距离，可见，桡足类动物的游动速度是有多快啊！

那为什么游动很慢的海马却能够捕捉到游得如此快的桡足类动物，而且也没被它们发现呢？海马究竟有什么独门绝技？

捕食的独门绝技

为了更进一步研究，研究人员将海马用相当于头发直径六分之一的东西拴住，再放入铺满玻璃珠的鱼缸中。然后，用激光射入水中照亮玻璃珠。为的是通过分析玻璃珠的移动方式，来推断海马捕食时周围水流动的方向。

令人奇怪的是，在海马捕食时，其身旁的玻璃珠并没有一丝移动，看来，海马周围的水几乎是不流动的。难怪，当海马接近桡足类动物时，才没有被它们察觉到。但为什么海马能这么“偷偷摸摸”地接近它们呢？

研究人员认为，海马这种“偷偷摸摸”捕食的独门绝技，要得益于它头部狭长的形状和“S”型身材。我们知道，海马在水中是依靠长长的嘴巴，用一种吸入的方式来捕捉猎物的。但海马的有效吸入范围也很有限，因而，它必须要尽可能地接近猎物，同时也不会带动水流而引起猎物的注意。这时，海马头部就发挥作用了——因为这种狭长的形状，有助于它朝猎物游去时并不会推动很多水，再加上其特有的身材使它的游动更加灵活，所以，它才能够十分接近猎物而不被发现了。这也就能解释为什么船头也是三角形的，这样可以使船能够更好地抵抗水流阻力的干扰。

动物的捕食和运动 第7篇

食物的种类不同, 动物的嘴的大小和结构也不同。多数哺乳动物有牙齿, 能把大块的食物撕碎, 然后通过咀嚼把它变成柔软、易于吞咽的浆状物。但有些哺乳动物牙齿很少, 有的根本没有牙齿。食蚁兽能用黏长的舌头粘住蚂蚁和白蚁当作食物;吸血蝙蝠的门齿像刀刃一样, 能在猎物的皮肤上切开一个小口, 然后用舌头吸食血液。鸟类没有牙齿, 但它们能用坚硬的有角质层的喙用力地啄击食物。有些鸟类的喙形状像镊子, 又细又长, 能伸进裂缝或泥浆中寻找很小的食物;有些鸟类的喙则短阔有力, 能像胡桃钳一样把种子和坚果嗑开。青蛙没有牙齿用来撕碎和咀嚼食物, 它们抓住猎物后, 将之整个吞到肚内。

大多数动物主要以植物或植物的某一部分为食, 如叶、果实、种子、嫩枝和根, 称为草食动物。有些动物主要吃其他动物的肉, 或者是动物的整个身体, 称为肉食动物。另外一些动物食性广泛, 既吃植物性食物, 也吃动物性食物, 称为杂食动物。蟑螂和蟹等几种动物以死亡动物的尸体或腐烂的食物和垃圾为食, 称为食腐动物。

食物由消化系统分解。消化系统通常是弯弯曲曲地盘绕在动物体内的长管。第一部分是胃, 呈袋状;胃壁上有强健的肌肉。胃用来储存、挤压食物。下面的一段是长长的肠道, 用来吸收营养物质。消化系统的末端是肛门, 废物由此排出。

动物捕食也好, 玩耍也好, 都要运动。或者说会动是动物的重要特征之一。大多数动物要在周围环境中活动, 如奔跑、行走、跳跃、滑翔、游泳或飞行等。但有几种动物并不到处活动, 至少成年如此。甲壳动物和贻贝等动物常常附着在海边的岩石上一动不动, 但它们的幼虫是活动的。

许多动物生活在海洋、河流、湖泊中。水的密度比空气大, 因此在水中运动时的阻力较大。为了能在水中迅速游动, 动物的身体必须光滑, 呈流线型, 以减少水的阻力。鲨鱼左右摆动尾巴产生向前的推动力。鱼类的鳍和海豚的鳍状肢还可以控制方向、速度以及身体的上浮和下沉。企鹅则能拍动翅膀在水中“飞行”。

动物中只有鸟类、蝙蝠类和昆虫类三类动物能真正地以连续、自我支配的方式飞行。空气的密度小, 浮力也非常小, 但对运动几乎没有阻力。会飞的动物向下拍打翅膀时能制造一种向上的抬升力, 向后拍动则可以产生向前的推动力。鸟类和蝙蝠等动物的骨头又细又轻, 可以减轻身体的重量, 从而节省在空中飞行时所需的能量。即使这样, 它们所摄入的食物能量也几乎是相应的陆生动物的两倍。胸部向下拍动翅膀时所用的翅肌是鸟类和蝙蝠身上的最大的肌肉。昆虫和蝙蝠通过倾斜或转动翅膀控制飞行。蚊蚋和飞虫每分钟拍动翅膀近千次才能停在空中。鸟类通过扇动或转动翅膀控制飞行。蜂鸟是飞行时翅膀振动最快的一种鸟, 每分钟大约8000次。

肌肉使动物的运动成为可能。大猩猩身上大约有640块肌肉, 占体重的3/5。移动迅速的鱼类身体两侧各有30-40块肌肉, 约占体重的9/10。这些肌肉拉动脊柱, 能使尾巴左右摆动。

捕食系统 第8篇

网格技术是当今计算机领域的研究热点之一。随着网格技术飞速发展,网格计算中的任务调度问题也变得越来越重要。

当前国内外有关独立任务的调度算法大体上可分为动态调度和静态调度两类。

动态调度是在任务刚到达就进行调度。经典的动态调度调度算法有:MCT(Minimum completion time)[1]、MET(Minimum execution time)[1]、SA(Switching algorithm)、KPB(K-percen best)[2]和OLB(Opportunistic load balancing)[2]等。MCT算法以任务的最早完成时间作为标准进行调度,保证多处理机的负载平衡,但任务的实际执行时间并非最少。MET算法则以任务最少执行时间为标准调度任务,但该算法容易造成系统的负载不均衡。SA算法是MCT和MET的综合,当负载均衡时使用MET,当负载不均时使用MCT,但该算法会导致整个系统在负载均衡与不均衡间不停波动。动态调度仅考虑了单个任务的实时性,对于任务和资源信息的统计,以及任务的执行对于整个网格系统性能评估的影响基本不予考虑,因此很难实现任务与处理机的最佳匹配。

静态调度是将多个任务收集为一个任务组,当映射条件满足时对整个任务组进行调度。经典的静态调度调度算法有:Min-min[3]、Max-min[3]等。Min-min算法是MCT的改进算法,该算法优先选取最早完成时间最小的任务进行调度。Max-min算法也是MCT的改进算法,该算法选取最早完成时间最大的任务进行调度。

本文针对Min-min算法单纯追求局部最优而缺少全局意识的缺点,提出了一种网格任务静态调度算法基于捕食搜索策略的网格任务调度算法SAPS(Scheduling Algorithm Based on Predatory Search),该算法将捕食搜索策略应用于网格任务调度,具有较好的全局搜索和局部搜索的能力。测试表明,与Min-min算法相比,SAPS算法具有更好的性能。

1 网格任务调度问题及描述

网格任务调度问题的实质就是在一个有n个需要调度的任务、m个可用的资源的网格环境下,把n个任务J={J1,J2,,Jn}以合理的方式调度到m个资源R={R1,R2,,Rn}上去,使总执行时间(即时间跨度)尽可能小。具体描述如下:

(1)J是n个需要调度的任务集合,Ji表示第i个任务。每个任务的任务量大小用百万指令(MI)表示,且每个任务只能在一个资源上执行完成;

(2)R是m个可用的资源集合,Rj表示第j个资源。每个资源的计算能力用性能参数百万指令每秒(MIPS)来表示;

(3)n个任务在m个资源上的预测执行时间ETC(Expected Time to Compute)是一个nm的矩阵。矩阵中的每一行代表某一个任务分别在m个资源上的执行时间,每一列代表在同一个资源上n个任务的不同执行时间。ETC(i,j)表示第i个任务在第j个资源上的执行时间;

(4)资源j的最早可用时间为STARTTIME(j);

(5)第i个任务在第j个资源上的最早完成时间为MCT(i,j)=STARTTIME(j)+ETC(i,j);

(6)任务i的最早完成时间为Ci,当把任务i分配给第j个资源时,Ci=MCT(i,j);

(7)所有任务都执行完成的时间为时间跨度(makespan),即makespan=Max{Ci,i=1,2,,n}。

2 SAPS算法的设计与实现

2.1 Min-min算法

对n个任务在m个资源上进行调度,使时间跨度最小。Min-min算法的主要思想如下:

(1)对集合中每一个等待分配的任务,分别计算该任务在m个资源的最早完成时间,得到一个nm的MCT(Minimum Completion Time)时间矩阵;

当需要调度的任务集合非空时,反复执行如下操作直至集合为空;

(2)对任务集合中每一个等待分配的任务Ji,假设任务Ji在第k个资源上的最早完成时间最小记为MinTime(i),可得到一个含有n个元素的一维数组MinTime;

(3)设第a个元素是MinTime数组中最小的,其对应的资源为b,则把任务a分配到资源b上;

(4)从任务集合中把任务a删除,同时更新MCT时间矩阵。

Min-min算法在不同的执行时间矩阵下都具有较好的性能,但Min-min算法本质上是一种贪心算法,其片面追求完成时间最早的局部最优解,造成了时间跨度的增加。考虑表1中所示的执行时间矩阵,若使用Min-min算法,J1会被调度到R1上,然后J2又被调度到R1上,时间跨度为5O,资源R2被闲置,如图1(a)所示。而最优调度方案则是J1调度到R2,J2调度到R1,时间跨度为4O,资源R1、R2都得到充分利用,如图l(b)。从上面的实例可以发现,Min-min算法单纯追求局部当前最优,对全局性能考虑不足,造成时间跨度的增加。SAPS算法的工作就是运用捕食搜索策略从全局的角度对任务进行调度,以取得更小的时间跨度。

2.2 捕食搜索策略简介

捕食搜索[4]是一种用于解决组合优化问题的空间搜索策略,它是在模拟动物捕食行为的基础上提出的。动物在捕食时,在没有发现猎物或猎物迹象时在整个捕食空间沿着一定的方向以很快的速度寻找猎物,一旦发现猎物或发现猎物迹象,它们就放慢步伐,在发现猎物或有猎物迹象的区域进行集中搜索,期望找到猎物。在寻找一段时间而没有找到猎物,捕食动物就放弃这块区域,继续在整个捕食空间寻找猎物,如图2所示。捕食搜索策略是一种平衡全局探索和局部探索的方法。

2.3 SAPS算法的设计

对n个任务在m个资源上进行调度,使时间跨度最小。SAPS算法思想是,首先确定搜索区域,然后对待搜索区域进行如下搜索:

(1)广泛搜索将待搜索区域分解为若干子区域:子区域1、子区域2、、子区域n,然后对子区域1、子区域2、、子区域n依次进行区域搜索,直到遍历整个区域。

(2)区域搜索在某个子区域内随机产生多个初始解,并对这些初始解进行邻域搜索,如果找到更优解,则进行精密搜索(在此子区域产生更多的初始解,并对这些新产生初始解的邻域进行搜索),以增加在此区域搜索的次数,如果在子区域内搜索达到一定条件后,没有找到更优的解,就转到下一个子区域搜索。

2.3.1 解的编码方式

解的编码方式有很多种,如:顺序编码、实数编码、整数编码等。本文采用整数编码方式。任意解x的表达形式为{x1,x2,,xn},其中,参数n等于任务总数,任一位的位置编号i表示任务的编号,而该位置上的正整数值xi代表该任务所占用资源的编号,不同位上的取值可以相同,i∈[1,n],xi∈[1,m]。

2.3.2 资源值

任意解x的资源值定义为:x中各位所对应资源性能参数的总和。x的资源值最大值为:n乘以所有资源中性能参数最大的值,最小值为:n乘以所有资源中性能参数最小的值。位于最小值与最大值间的区域是全部搜索区域。资源值可以用来表示所选资源总体上计算能力的强弱。在本文中我们将资源值作为区域划分的标准,根据其大小的变化将搜索区域划分若干个子区域。

2.3.3 生成初始解

对于初始解x:{x1,x2,,xn},x中的任意一位xi都采用轮盘法生成。步骤是:首先,计算各个资源的选择概率。资源的选择概率为该资源性能参数与所有资源性能参数总和的比值。对于资源pi,其性能参数为qi,资源总数为m,则该资源的选择概率可以表示为:

得到选择概率后,用轮盘方法来实现选择操作。令:

每次转轮时,随机产生y∈u(0,1),当rri-1y

初始解的资源值大小有一个范围,在本算法中,我们取初始解资源值的值域所确定的区域为待搜索区域。

在限制下随机产生一个初始解x表示:随机产生一个初始解x,但是x的资源值的取值要符合限制的要求。

2.3.4 目标值的确定

目标值f(x)定义为:根据解x的n位,分别求各个资源的运行时间之和,取各个资源的运行时间之和中最大的值,实质就是时间跨度。由于网格任务调度的目标是时间跨度尽可能小,因此,目标值越小,时间跨度越小,性能越好。

2.3.5 相邻解

相邻解的作用是用于邻域搜索。相邻解的定义是:如果解y与任意解x选择了一组相同的资源(所选择的各种资源的个数相同),但资源的排列顺序不同,解x与y互为相邻解,x与y的资源值相同。

2.3.6 邻域操作

邻域操作是进行邻域搜索的重要方法,目的是得到任意解x的相邻解。邻域操作的方法如下:

对任意解x:{x1,x2,,xn},将其子序列xq,xq+1,,xq+r逆序转换成xq+r,,xq+1,xq后,得到x的相邻解y,这里q和r都是整数,要求满足1q,q+rn。通过组合可能的q与r,就可以找到x的所有相邻解。

2.3.7 邻域搜索

对任意解x进行邻域搜索就是对解x进行多次邻域操作,产生多个相邻解,然后选取其中目标值最小的解。

举例说明上述概念:假如有4个任务{J1,J2,J3,J4},任务量分别为(16,12,8,4),分配给3个资源{R1,R2,R3},资源编号分别为(1,2,3),性能参数分别为(1,2,4)。如果解x为(1,3,2,2),表示任务1分配给资源1,任务2分配给资源3,任务3、4分配给资源2。资源(1,2,3)的运行时间和分别为(16,6,3),解x的目标值f(x)取最大值16,即时间跨度等于16。解x的资源值为各位所对应资源的性能参数的总和:1+4+2+2=9。任意解y的资源值最大值为44=16,最小值为41=4,所有解的资源值都位于4到16之间,即解的资源值的值域为[4,16]。通过设置资源值,就可以对搜索区域进行划分,如果资源值的值域为[6,10],则表示资源值大于等于6、小于等于10的所有解。对解x执行邻域操作,如果随机选择解x的第2位与第4位,对x进行逆转,得到解y(1,2,2,3),x与y选择了一组相同的资源:1个资源1、2个资源2、1个资源3,y是x邻域中的一个相邻解,y与x资源值相同。

2.3.8 算法参数说明

numLevel为子区域总数;level为子区域的编号,值域为[1,numLevl],当level大于numLevel时,算法结束;count为已产生的初始解的个数;cthreshold为任一子区域中随机产生初始解个数的上限,如果超过就转到下个子区域进行搜索;numNear为对初始解进行邻域操作的次数;restriction[numLevel+1]是一个numLevel+1元的数组,作用是存放解的资源值,对搜索区域进行划分,其中restriction[0]的值为待搜索区域中最小的资源值,restriction[level]表示资源值位于restriction[level-1]与restriction[level]间的所有解。例如:如果解的资源值值域为[10,40],restriction[0]=10,restriction[1]=20表示区域1是资源值位于[10,20]间的所有解。

2.3.9 算法流程

Step 0n个任务,m个资源,根据任务的任务量大小和资源的计算能力生成一个nm的初始ETC矩阵;

Step 1随机产生number个初始解,计算初始解的资源值,取其中最小值与最大值所确定的范围作为待搜索的区域,将其均分为numLevel个子区域;

Step 2初始化子区域编号level=1,循环次数count=0,在restriction[level]限制下随机产生一个初始解x,令最优解xmin=x;

Step 3如果levelnumLevel,对x进行邻域操作numNear次,产生numNear个x的相邻解并取其中目标值最小的解为y min,然后转Step4,否则程序结束,xmin即为求得的最优解;

Step 4如果f(ymin)

Step 5令count=count+1,如果count>cthreshold,则令level=level+1,count=0,转Step6,否则,直接转Step6;

Step 6在restriction[level]限制下重新随机产生一个初始解x,转Step3。

3 仿真结果与分析

网格调度模拟通常需要建立调度器模型以及与网格中其他实体的交互行为,这涉及网格高层功能和底层资源、网络等,是一项复杂的任务,因此往往借助模拟工具来完成。本文使用Grid Sim网格模拟器进行模拟实验。

在静态调度算法中,由于Min-min算法具有较好的性能,一般用作调度算法的评测基准[5]。本文在测试中,对SAPS算法、Min-min、Max-min算法在性能上作了比较。测试数据为:任务集T中包含n个任务,n分别取值40、60、80、100,每个任务的任务量取值范围为[1,100],资源集P中包含m个资源,资源性能系数的值域为[1,20]。任务的任务量,资源的性能系数,均为在其取值范围内随机选取。Number=5000,Level=4,cthreshold=n,numNear=n。测试给出的结果是取多次计算结果的平均值。

图3描绘了三种算法时间跨度随着任务数增加的变化情况。从图中我们可以看出:SAPS相对于Max-min、Min-min算法在性能上普遍有所提高。相对于Min-min,当任务数较少时,SAPS略优于Min-min算法,随着任务数的增加,两者性能间差异迅速增大,说明Min-min算法由于片面追求局部最优,不太适合用于大规模的网格任务调度。相对于Max-min,SAPS算法的性能也有所提高但并不明显。

图4描绘了时间跨度随着资源值增加的变化情况。从图中我们可以看出:当资源值较小时,时间跨度较大,随着资源值增大,计算能力增强,时间跨度逐渐减小,资源值达到一定值后,时间跨度值趋向稳定,并不随着资源值的增加而减少,资源值超过一定值后,虽然计算能力增强了,但由于任务大都分配给计算能力强的资源,造成负载失衡,时间跨度反而开始增加。较优解不是分散分布的,而是集中在中间的区域。捕食搜索也只有在较优解集中时才有效[6]。图4恰好说明网格任务调度问题符合应用捕食搜索策略的条件。为了提高算法的效率,我们取初始解的值域所确定的区域为待搜索区域,而不是取全部搜索区域作为待搜索区域,覆盖了较优解分布集中的区域,去除了部分位于两端较差解集中的区域,在找到较优解的同时也有效减小了搜索范围。

4 结束语

Min-min算法在解决网格任务调度问题时,由于单纯追求局部最优而缺少全局意识,随着任务数的增加,性能下降较快。为此,本文提出了一种模仿动物捕食策略的网格任务调度算法,该算法有较好的全局搜索和局部搜索的能力。试验证明,该算法无论是对小规模还是大规模的任务调度都具有较好的性能。

在网格环境下,对任务调度的实时性有较高要求,当任务规模较大时,如何进一步减少搜索次数,缩短算法的运行时间,以及与经济因素相结合,是本文下一步的工作。

参考文献

[1]Armstrong R,Hensgen D,Kidd.The relative performance of variousmapping algorithms is independent of sizable variances in run-time pre-dictions[C]//Proceedings of 7th IEEE Heterogeneous ComputingWorkshop,1998:79-87.

[2]Maheswaran M,Ali S,Siegel H J,et al.Dynamic matching and schedu-ling of a class of independent tasks onto heterogeneous computing sys-tem[C]//Proceedings of 8th IEEE Heterogeneous Computing Work-shop,1999:30-44.

[3]Freund R F,Gherrity M,Ambrosius S,et al.Scheduling resources inmulti-user,heterogeneous,computing environments with SmartNet[C]//Proceedings of the Seventh Heterogeneous Computing Work-shop,1998:184-199.

[4]Linhares A.Preying on optima:A predatory search strategy for combina-torial p roblems[C]//Proc of IEEE Int Conference of Systems,Manand Cybernetics,1998:2974-2978.

[5]Ibarra O,Kim C.Heuristic algorithms for scheduling independent tasks onnonidentical processors[J].Journal of the ACM,1977,77(2):280-289.

一类捕食-食饵模型的稳定性 第9篇

近期,Aziz-AlaouiandDanerOkiye研究了以下改进的Leslie-Gower模型

$\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }=\left(r{}_1-b{}_{1}x-\frac{a{}_{1}y}{x+k{}_1}\right)x,\\ y^{\prime }=\left(r{}_2-\frac{a{}_{2}y}{x+k{}_2}\right)y.\end{array}(1)$

的全局稳定性。该系统的第一个方程标准的,并且捕食者猎取食饵是依据Holling II型功能性反应,而第二个方程由于假设捕食者数量是依据改进的Leslie-Gower功能性反应增加的,因此该方程显然是非标准的。所谓改进的Leslie-Gower功能性反应,就是在标准的Leslie-Gower项的分母上加一个参数.这个方程所反映的生物现象是:当捕食者喜爱的食物匮乏的时候,它会选择其它种群作为食饵,但是由于它所钟爱食物的数量是有限的,因此,捕食者数量的增长是受限的。

另一方面,当知道描述一个物种N的生长以及对该物种进行连续的投放的现象可以用以下数学模型来表示:

$\frac{\text{d}{\rm N}}{\text{d}t}=r\left(t,{\rm N}\left(t\right)\right){\rm N}\left(t\right)+E\left(t,{\rm N}\left(t\right)\right)。$

其中$r\left(t,{\rm N}\left(t\right)\right)$是代表物种N的一个自控机制,$E\left(t,{\rm N}\left(t\right)\right)$是该种群的投放策略。

受上述内容的启发,现考虑以下模型:

$\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }\left(t\right)=\left(r{}_1-b{}_{1}x\left(t\right)-\frac{a{}_{1}y\left(t\right)}{x\left(t\right)+k{}_{3}y\left(t\right)+k{}_1}\right)x\left(t\right),\\ y^{\prime }\left(t\right)=\left(-r{}_2-\frac{a{}_{2}y\left(t\right)}{x\left(t\right)+k{}_2}\right)y\left(t\right)+qy\left(t-\tau \right)\end{array}(2)$

以及以下初值条件:

$\begin{array}{l}x{}_0\left(t\right)=\phi {}_1\left(t\right)\ge 0,y{}_0\left(t\right)=\phi {}_2\left(t\right)\ge 0,\\ -\tau t0,y\left(0\right)=0,(3)\end{array}$

其中r1,r2,a1,a2,b1,k1,k2,k3和q都是正数,$\phi =\left(\phi {}_1,\phi {}_2\right)\in C\left(\left[-\tau ,0\right],R{}_{+}^2\right),R{}_{+}^2=\left\{\left(x,y\right):x\ge 0,y\ge 0\right\}$。

记

$x{}_t\left(\theta \right)=x\left(t+\theta \right)‚\theta \in \left[-\tau ,0\right].$

模型(2)式满足以下假设条件:

(1)在没有捕食行为发生的情况下,食饵种群的生长用logistic模型来描述,并且它的内禀增长率为r1,而环境容纳量为$\frac{r{}_1}{b{}_1}$。

(2)捕食者消耗食饵是依据Beddington-De Angelis功能性反应(文献[1,2]):

$\frac{a{}_{1}x\left(t\right)y\left(t\right)}{x\left(t\right)+k{}_{3}y\left(t\right)+k{}_1}=\frac{a{}_1}{k{}_1}\frac{x\left(t\right)y\left(t\right)}{\frac{1}{k{}_1}x\left(t\right)+\frac{k{}_3}{k{}_1}y\left(t\right)+1},$

其中,$\frac{k{}_3}{k{}_1}y\left(t\right)$可以视为捕食者种群中各个成员在捕食食饵时的相互干扰。 注意到当k3=0时,Beddington-De Angelis的形式就会转化成Holling-II的形式. 而捕食者的生长是用改进的Leslie-Gower功能性反应来描述的。“-r”说明捕食者y仅捕食种群x。

(3)假设新投放的捕食者是在t-τ时刻出生的,系数q是表示投放的效率。

依据具体生物的生物意义,总假设:q>r2,即捕食者种群有效的投放率要大于它的死亡率。

1平衡点的局部稳定性

引理1 文献[3]考虑系统:$\stackrel{.}{{\displaystyle v}}\left(t\right)=av\left(t-\tau \right)-bv\left(t\right)-cv{}^2\left(t\right),$

其中$a,b,c>0,v\left(t\right)>0$,-τt0。则:(Ⅰ): 当a>b时,有$\underset{t\infty }{{\displaystyle \lim }}v\left(t\right)=\frac{a-b}{c}$;(Ⅱ): 当ab时,有$\underset{t\infty }{{\displaystyle \lim }}v\left(t\right)=0.$

引理2 设Ω是R2+的子集,并且$\Omega =\left\{\left(x,y\right)\in \mathbf{R}{}_{+}^2:0x{\rm M}{}_1,0y{\rm M}{}_2\right\},$

其中,

${\rm M}{}_1>{\rm M}{}_2^{*}=\frac{r{}_1}{b{}_1},{\rm M}{}_2>{\rm M}{}_2^{*}=\frac{\left(q-r{}_2\right)\left(r{}_1+b{}_{1}k{}_2\right)}{a{}_{2}b{}_1}.(4)$

则Ω是R2+的一个全局吸引子,当然也是一个正向不变集。

模型(2)有三个平凡的平衡点,即

$E{}_0=\left(0,0\right),E{}_{10}=\left(\frac{r{}_1}{b{}_1},0\right),E{}_{01}=\left(0,\frac{k{}_2\left(q-r{}_2\right)}{a{}_2}\right).$

引理3:假设$\frac{a{}_1-r{}_{1}k{}_3}{a{}_2}<\frac{r{}_{}k{}_1}{k{}_2\left(q-r{}_2\right)},(5)$

则系统(2)有唯一的正平衡点$E{}_{*}\left(x{}^{*},y{}^{*}\right)$,其中

$y{}^{*}=\frac{\left(q-r{}_2\right)\left(x{}^{*}+k{}_2\right)}{a{}_2}$

和

$\begin{array}{l}x{}^{*}=\frac{-[b{}_{1}k{}_{2}k{}_3\left(q-r{}_2\right)+a{}_1\left(q-r{}_2\right)+a{}_{2}b{}_{1}k{}_1}{2b{}_1\left[k{}_3\left(q-r{}_2\right)+a{}_2\right]}-\\ \frac{r{}_{1}k{}_3\left(q-r{}_2\right)-a{}_{2}r{}_1]+\sqrt{\Delta }}{2b{}_1\left[k{}_3\left(q-r{}_2\right)+a{}_2\right]},\end{array}$

其中

$\begin{array}{l}\Delta =[b{}_{1}k{}_{2}k{}_3\left(q-r{}_2\right)+a{}_1\left(q-r{}_2\right)+a{}_{2}b{}_{1}k{}_1-\\ r{}_{1}k{}_3\left(q-r{}_2\right)-a{}_{2}r{}_1]{}^2\\ -4b{}_1\left[k{}_3\left(q-r{}_2\right)+a{}_2\right][a{}_{1}k{}_2\left(q-r{}_2\right)-\\ r{}_1\left(q-r{}_2\right)k{}_{2}k{}_3-a{}_{2}r{}_{1}k{}_1].\end{array}$

引理4: E0和E10都是不稳定的平衡点,如果条件(5)成立,E01也是不稳定的平衡点。

利用特征方程容易证明,本文从略。

接下来,考虑正平衡点E*的局部稳定性。作变量变换X=x-x*,Y=y-y*,则在E*的线性变换系统为:

$\{\begin{array}{l}\frac{dX\left(t\right)}{dt}=\left(-b{}_{1}x{}^{*}+\frac{a{}_{1}x{}^{*}y{}^{*}}{\left(x{}^{*}+k{}_{3}y{}^{*}+k{}_1\right){}^2}\right)\\ X\left(t\right)-\frac{a{}_{1}x{}^{*}\left(k{}_1+x{}^{*}\right)}{\left(x{}^{*}+k{}_{3}y{}^{*}+k{}_1\right){}^2}Y\left(t\right),\\ \frac{dY\left(t\right)}{dt}=\frac{a{}_{2}y{}^{*}{}^2}{\left(x{}^{*}+k{}_2\right){}^2}X\left(t\right)+\left(-q-\frac{a{}_{2}y{}^{*}}{x{}^{*}+k{}_2}\right)\\ Y\left(t\right)+qY\left(t-\tau \right),\end{array}(6)$

它的特征方程是:

$D(\lambda ,\tau )=\det \left(\begin{array}{l}\lambda +b{}_{1}x{}^{*}\\ -\frac{a{}_{1}x{}^{*}y{}^{*}}{\left(x{}^{*}+k{}_{3}y{}^{*}+k{}_1\right){}^2}\frac{a{}_{1}x{}^{*}\left(k{}_1+x{}^{*}\right)}{\left(x{}^{*}+k{}_{3}y{}^{*}+k{}_1\right){}^2}\\ -\frac{a{}_{2}y{}^{*}{}^2}{\left(x{}^{*}+k{}_2\right){}^2}\lambda +q+\frac{a{}_{2}y{}^{*}}{x{}^{*}+k{}_2}-qe{}^{-\lambda \tau }\\ \end{array}\right)=0$

或

$\begin{array}{l}D\left(\lambda ,\tau \right)=\lambda {}^2+\\ \left(b{}_{1}x{}^{*}-\frac{a{}_{1}x{}^{*}y{}^{*}}{\left(x{}^{*}+k{}_{3}y{}^{*}+k{}_1\right){}^2}+\frac{a{}_{2}y{}^{*}}{x{}^{*}+k{}_2}-qe{}^{-\lambda \tau }+q\right)\lambda \\ \left(b{}_{1}x{}^{*}-\frac{a{}_{1}x{}^{*}y{}^{*}}{\left(x{}^{*}+k{}_{3}y{}^{*}+k{}_1\right){}^2}\right)\left(\frac{a{}_{2}y{}^{*}}{x{}^{*}+k{}_2}-qe{}^{-\lambda \tau }+q\right)+\\ \frac{a{}_{1}a{}_{2}x{}^{*}y{}^{*}{}^2\left(k{}_1+x{}^{*}\right)}{\left(x{}^{*}+k{}_{3}y{}^{*}+k{}_1\right){}^2\left(x{}^{*}+k{}_2\right){}^2}=\\ \lambda {}^2+Q{}_1\lambda +Q{}_2+\left(Q{}_{{}_3}\lambda +Q{}_4\right)e{}^{-\lambda \tau }=0(7)\end{array}$

其中

$\begin{array}{l}Q{}_1=b{}_{1}x{}^{*}-\frac{a{}_{1}x{}^{*}y{}^{*}}{\left(x{}^{*}+k{}_{3}y{}^{*}+k{}_1\right){}^2}+\frac{a{}_{2}y{}^{*}}{x{}^{*}+k{}_2}+q;\\ Q{}_2=\left(b{}_{1}x{}^{*}-\frac{a{}_{1}x{}^{*}y{}^{*}}{\left(x{}^{*}+k{}_{3}y{}^{*}+k{}_1\right){}^2}\right)\left(\frac{a{}_{2}y{}^{*}}{x{}^{*}+k{}_2}+q\right)+\\ \frac{a{}_{1}a{}_{2}x{}^{*}y{}^{*}{}^2\left(k{}_1+x{}^{*}\right)}{\left(x{}^{*}+k{}_{3}y{}^{*}+k{}_1\right){}^2\left(x{}^{*}+k{}_2\right){}^2};\\ Q{}_3=-q;\\ Q{}_4=q\left(\frac{a{}_{1}x{}^{*}y{}^{*}}{\left(x{}^{*}+k{}_{3}y{}^{*}+k{}_1\right){}^2}-b{}_{1}x{}^{*}\right)。\end{array}$

当τ=0时,

$D\left(\lambda ,0\right)=\lambda {}^2+\left(Q{}_1+Q{}_3\right)\lambda +Q{}_2+Q{}_4=0(8)$

易知,如果条件

$Q{}_1+Q{}_3>0,Q{}_2+Q{}_4>0(9)$

满足,则由Routh-Hurwitz定理,(8)式的所有的根都有负实部。

当τ≠0时,在$D\left(\lambda ,\tau \right)=0$中令$\lambda =i\xi \left(i=\sqrt{-1}\right)$,得:

$D\left(i\xi ,\tau \right)=-\xi {}^2+Q{}_1\xi i+Q{}_2+\left(Q{}_3\xi i+Q{}_4\right)e{}^{-\xi \tau i}=0$。

分离上述方程的实部和虚部,得

$\begin{array}{l}-\xi {}^2+Q{}_2=-Q{}_3\xi \sin \xi \tau -Q{}_4\cos \xi \tau ,\\ Q{}_1\xi =-Q{}_3\xi \cos \xi \tau +Q{}_4\sin \xi \tau (10)\end{array}$

对上述两个方程分别平方再相加,得到一个关于ξ的四次方程:

$\xi {}^4+\left(Q{}_1^2-2Q{}_2-Q{}_3^2\right)\xi {}^2+Q{}_2^2-Q{}_4^2=0(11)$

因此,时滞效应导致正平衡点不稳定这种现象不存在的一个充分条件是上述方程没有实根, 即

$Q{}_1^2-2Q{}_2-Q{}_3^2>0,Q{}_2^2-Q{}_4^2>0(12)$

定理5: 系统(2)的唯一正平衡点E*对于所有的τ≥0都是局部渐近稳定的的一组充分条件是:(1)$D\left(\lambda ,0\right)=0$的根的实部都是负的;(2)对于任意的实数η和τ≥0,有$D\left(i\mu ,\tau \right)\ne 0$成立。

定理6:若满足条件(9)式和(12)式,则E*对于所有的τ≥0都是渐进稳定的。

2Hopf分支

定理7: 若满足条件(9)式和Q${}_2^2$-Q${}_4^2$<0,则当τ从0开始增大时,存在τ0使得唯一正平衡点E*在$\tau \in \left[0,\tau {}_0\right)$时是局部稳定的,而当τ>τ0时E*是不稳定的。进而,系统在E*当τ=τ0时出现Hopf分支。

证明:根据(11)式,由Q${}_2^2$-Q${}_4^2$<0可知存在唯一的正解ξ0,即特征方程(7)式有一对纯虚根±ξ0,由(10)式,可以得到于ξ0相对应的τ0n是:

$\begin{array}{l}\tau {}_{0{}_n}\stackrel{.}{{\displaystyle =\frac{1}{\xi {}_0}}}\arccos \frac{\left(\xi {}_0{}^2-Q{}_2\right)Q{}_4-Q{}_{1}Q{}_3\xi {}_0{}^2}{Q{}_3{}^2\xi {}_0{}^2+Q{}_4{}^2}+\\ \frac{2n\pi }{\xi {}_0},n=0,1,2,\cdots .\end{array}$

当τ=0时,E*是稳定的。故此,由Butler引理(文献[4]),当τ<τ0时,E*保持稳定性,其中当n=0时τ0=τ0n。

接着往证

$\frac{d\left(\mathrm{Re}\lambda \right)}{d\tau }|\tau =\tau {}_0>0。$

这就意味着对于τ>τ0至少存在一个具有正实部的一个特征值,而且当满足Hopf分支条件时文献[5],系统会出现所需的周期解。对(7)式关于τ求导,得

$\begin{array}{l}2\lambda \frac{\text{d}\lambda }{\text{d}\tau }+Q{}_1\frac{\text{d}\lambda }{\text{d}\tau }+Q{}_{3}e{}^{-\lambda \tau }\frac{\text{d}\lambda }{\text{d}\tau }-\\ \left(Q{}_3\lambda +Q{}_4\right)e{}^{-\lambda \tau }\left(\tau \frac{\text{d}\lambda }{\text{d}\tau }+\lambda \right)=0。\end{array}$

因此,

$\left(\frac{\text{d}\lambda }{\text{d}\tau }\right){}^{-1}=\frac{2\lambda +Q{}_1}{\lambda \left(Q{}_3\lambda +Q{}_4\right)e{}^{-\lambda \tau }}+\frac{Q{}_3}{\lambda \left(Q{}_3\lambda +Q{}_4\right)}-\frac{\tau }{\lambda }。$

故此,

$\text{s}\text{i}\text{g}\text{n}\left\{\frac{\mathrm{Re}\lambda }{\text{d}\tau }\right\}{}_{\lambda =i\xi {}_0}=\text{s}\text{i}\text{g}\text{n}$$\left\{\mathrm{Re}\left(\frac{\text{d}\lambda }{\text{d}\tau }\right){}^{-1}\right\}{}_{\lambda =i\xi {}_0}=$

$\text{s}\text{i}\text{g}\text{n}\left\{\mathrm{Re}\left[-\frac{2i\xi {}_0+Q{}_1}{i\xi {}_0\left(\left(i\xi {}_0\right){}^2+Q{}_{1}i\xi {}_0+Q{}_2\right)}+\frac{Q{}_3}{i\xi {}_0\left(Q{}_{3}i\xi {}_0+Q{}_4\right)}\right]\right\}=$

$\text{s}\text{i}\text{g}\text{n}\left\{\frac{Q{}_1^2+2\left(\xi {}_0^2-Q{}_2\right)}{\left(Q{}_2-\xi {}_0^2\right){}^2+Q{}_1^2\xi {}_0^2}-\frac{Q{}_3^2}{Q{}_3^2\xi {}_0^2+Q{}_4^2}\right\}=$

$\begin{array}{l}\text{s}\text{i}\text{g}\text{n}\{2Q{}_3^2\xi {}_0^2\left(\xi {}_0^2-Q{}_2\right)+Q{}_1^{2}Q{}_4^2+2Q{}_4^2\left(\xi {}_0^2-Q{}_2\right)-\\ Q{}_3^2\left(Q{}_2-\xi {}_0^2\right){}^2\}=\end{array}$

$\text{s}\text{i}\text{g}\text{n}\left\{Q{}_3^2\left(\xi {}^4-Q{}_2^2\right)+Q{}_4^2\left(2\xi {}_0^2-2Q{}_2+Q{}_1^2\right)\right\}=$

$\begin{array}{l}\text{s}\text{i}\text{g}\text{n}\{Q{}_3^2+Q{}_3^2\left(Q{}_4^2-Q{}_2^2\right)+\\ \sqrt{\left(Q{}_1^2-2Q{}_2-Q{}_3^2\right){}^2+4\left(Q{}_4^2-Q{}_2^2\right)}\}>0。\end{array}$

故,Hopf分支将在ξ=ξ0,τ=τ0时出现。定理得证。

附注1: 定理7并不能决定分支周期解的稳定性,即,该周期解可能在ξ0的邻近当ξ>ξ0时存在,而且也可能在ξ0的邻近当ξ<ξ0时存在,进而,可以依据Hassard等的结论(文献[6])来判断分支周期解的稳定性,计算很复杂,但方法比较平凡,故省略。

附注2: 若满足条件(9)式,$Q{}_2^2-Q{}_4^2>0,Q{}_3^2+Q{}_2-Q{}_1^2>2\sqrt{Q{}_2^2-Q{}_4^2}$,则依据文献[7]中的定理3.1,E*的稳定性将随着τ增加时不断交替变化, 并且当τ充分大时,E*将最终变得不稳定。

3结论与展望

本文对捕食者具有选择投放的混合型捕食-食饵模型(2)进行了初步研究,得到了系统平凡平衡点的局部稳定性以及时滞变化对平衡点的影响。还可以进一步对该系统的持久性与平衡点的全局稳定性进一步研究。从生物意义上说,该模型可以运用在害虫治理。假定模型中的食饵就是目标害虫,而所投放的捕食者就是它的天敌,此模型的建立会对具体的治理工作提供指导性的建议。

摘要：捕食与食饵一直是研究的热点,文章对捕食者具有选择投放的混合型捕食-食饵模型进行研究,首先考虑该系统平凡平衡点的局部稳定性;接着根据由泛函微分方程特征方程的一些性质得到当时滞很小时正平衡点是局部渐近稳定的,然而又发现当时滞增大时,稳定性将失去从而会出现Hopf分支。

关键词：捕食—食饵模型,平衡点,Hopf分支

参考文献

[1] Beddington J R , Mutual interference between parasites or predators and its effect on searching efficiency. J Animal Ecol. 1975;44:331—340

[2] DeAngelis D L,Goldstein R A and O Neill R V,A model for trophicinteraction.Ecology,1975;56:881—892

[3] Song X, Chen L, Optimal harvesting and stability for a two species competitive system with stage structure. Math Biosci, 2001;170:173—186

[4] Freedman HI and Sree Hari Rao V,The trade-off between mutual in-terference and time lags in predator-prey system.Bull.Math.Biol.,1983,45:991—1003

[5] Hale J K , Theory of Functional Differential Equations. Springer, New York, 1977

[6] Hassard B D,Kazarionoff N D,Wan Y N,In:Theory and Appli-cation of Hopf Bifurcation.Cambridge University,Cambridge,1981

释放捕食螨控制脐橙害螨试验小结 第10篇

1 释放地基本情况

试验果园为8年生纽荷尔脐橙园, 面积0.4hm2, 360株, 管理水平中等, 树势、树龄等生理水平相对整齐 (有少量补植幼树) 。

2 试验方法及果园主要农事活动

释放方法为每株1袋巴氏钝绥螨。释放前调查害螨基数, 挂袋后4月27日～7月24日每15天调查1次害螨数量, 7月25日～9月20日每7～10天调查1次, 调查方法采用对角线取样法, 固定5株样点, 每株固定东、南、西、北4根中上部枝条做好标记, 每根枝条固定5片叶 (即每次调查100片叶) , 记录百叶害螨数量。在试验期间主要农事活动见表1。

3 结果与分析

捕食系统 第11篇

关键词：中华通草蛉；茶蚜；功能反应；干扰效应

中图分类号：S476.2 文献标识号：A 文章编号：1001-4942（2016）04-0087-03

茶蚜（Toxoptera aurantii Boyer）又称橘二叉蚜、茶二叉蚜，在国内外均有发生。茶蚜一般群聚于茶树芽尖、叶背及嫩茎上刺吸汁液，使受害芽叶生长受阻，严重萎缩。茶蚜分泌的蜜露可招致霉菌寄生，影响茶树叶片的光合作用，从而严重影响茶叶产量。用茶蚜危害的芽叶加工的茶叶颜色浊、香气低、滋味苦，对茶叶品质有严重影响。目前防治茶蚜的主要方法为化学防治和农业防治等。化学农药的滥用和残留阻碍了我国茶叶出口，绿色贸易壁垒也使得我国茶叶出口量逐年下跌，严重影响了茶农收入和地方财政收入。

生物防治是有害生物治理中对环境影响最小的一种方法，且不会产生农药残留问题。中华通草蛉（Chrysoperla sinica Tjeder）是粮食等经济作物上多种害虫的重要捕食性天敌，在我国分布范围广，捕食能力强，种群数量大，对蚜虫、螨和粉虱等多种害虫具有明显的控制作用。郑书文等、李鹤鹏先后测定了中华通草蛉幼虫对绣线菊蚜、大豆蚜的捕食作用，均发现了较强的捕食功能反应。已有文献和调查可以看出中华通草蛉在茶园中亦有分布，并对茶蚜等害虫有控制作用，但对茶蚜的捕食行为和捕食作用未见报道。本文主要利用捕食者一被捕食者关系的HollingⅡ模型（1959）和用于描述天敌种内、种问干扰效应的Hassell&Varley模型（1978）研究了中华通草蛉幼虫对茶蚜的捕食功能反应及2龄幼虫的种内干扰效应，以期为合理利用中华通草蛉防治茶园茶蚜提供理论依据和数据支持。

1 材料与方法

1.1 供试虫源

中华通草蛉各龄幼虫均来自实验室稳定饲养的种群。试验用1、2、3龄幼虫均为发育2d的幼虫。试验前幼虫均饥饿处理24h。

茶蚜采自泰安市大津口乡的泰顶青生态茶园（117°16′41″E，36°27′87″N）。

1.2 试验方法

在培养皿（φ=98mm，h=18mm）中放入蘸水的脱脂棉保持湿润。放入试验用虫，用保鲜膜覆盖培养皿，防止草蛉及蚜虫逃逸。用针在保鲜膜上戳足够数量的孔，以保证空气流通。后将培养皿置于（25±1）℃、湿度=75%、L：D=16：8的光照培养箱中进行试验。

1.2.1 1～3龄幼虫对茶蚜的功能反应 将不同密度的茶蚜成蚜分别与一头中华通草蛉幼虫组合放置于培养皿中，以新鲜的茶叶嫩叶作为食物，各龄幼虫饲以茶蚜的密度分别为：1龄，10、20、30、40、50、60头/皿；2龄，50、80、100、120、150、200头/皿；3龄，100、150、200、250、300、350头/皿。每组处理重复5次，24h后检查蚜虫被捕食数量。

1.2.2 中华通草蛉2龄幼虫种内干扰作用 每个培养皿中放入茶蚜200头及不同密度的中华通草蛉2龄幼虫，草蛉幼虫密度分别为1、2、3、4、5头/皿。每处理重复3次，24h后检查蚜虫被捕食数量。

2 结果与分析

2.1 中华通草蛉各龄幼虫的捕食作用

由表1可以看出，1～3龄中华通草蛉幼虫的日捕食茶蚜数量与茶蚜密度呈负加速曲线关系。用HollingⅡ型功能反应模型Na=a’NT/（1+a’ThN）（式中Na为猎物被捕食量；a’为瞬息攻击率即功能系数；N为猎物密度；T为试验时间，即观察时间，本研究为24h，Th为处理时间）对各龄幼虫的功能反应进行模拟，模拟结果（表2）表明，草蛉各幼虫均呈现出较高的攻击率，1～3龄幼虫日最大捕食茶蚜量分别为74、250、714头。

2.2 中华通草蛉2龄幼虫自身密度干扰作用

捕食者的捕食作用率为：E=Na/N·P（式中E为捕食作用率，Na为捕食量，N为猎物密度，P为捕食者密度）。草蛉幼虫密度对茶蚜的捕食作用率的关系见表3。用Hassell&Varley（1978）提出的E和P之间的关系公式E=QP^-m（式中Q为寻找系数，m为相互干扰系数）进行拟合，求得Q=0.3395，m=0.3657，故拟合公式为E=0.3395P^-0.3657。由拟合曲线可以看出，中华通草蛉幼虫的捕食作用随着幼虫密度的增大而减小。

3 结论与讨论

中华通草蛉1～3龄幼虫对茶蚜的功能反应均属HollingⅡ型，其日最大捕食量分别为74、250、714头，捕食者在捕食过程中常随着种群密度的增加，由于增加了个体问的相互干扰，导致对猎物的捕食作用下降。2龄幼虫捕食量随虫口密度增大而减小，但其干扰效应较小（m=0.3657），说明该虫对茶蚜具有很好的控制作用。周集中等（1986）提出用a’/Th值来衡量天敌的控害能力，其比值越大，天敌的控害能力越强。从中华通草蛉幼虫3个龄期的a’/Th值可以看出，随着幼虫龄期增大，对茶蚜的控制能力越强。以上均可以说明，中华通草蛉幼虫捕食茶蚜的潜力很大，具有保护利用价值。

由于本试验是在稳定的实验室条件下进行，与自然环境存在许多差异。天敌昆虫在自然环境下对害虫的捕食，除了天敌本身的特性外，还同时受到密度因素、空间分布、环境因子以及昆虫信息素等物质的影响。进一步研究中华通草蛉在田间对茶蚜的控制效果以及中华通草蛉对茶蚜信息素的反应机制，对中华通草蛉的田间释放机制和商业利用价值都具有重要意义。

捕食系统 第12篇

关键词：休眠卵,捕食-食饵模型,分歧,稳定性

在过去的几十年里,捕食-食饵模型成为一个热闹研究课题。文献[1]给出了捕食者具有休眠特性的捕食-食饵系统的最低限度模型(a minimum model) ,利用分歧理论研究了在空间均匀分布情况下的解的稳定性。 文献[2]研究了以上最低限度模型在Dirichlet边界条件下平衡态共存解的存在性和稳定性。本文在[2]的基础上研究齐次Neumann 边界条件下正常数平衡解的分歧。即研究如下模型:

$\{\begin{array}{l}-\Delta u=au-bu{}^2-\frac{cuv}{1+mu}=f(u,v),x\in \Omega \\ -\Delta v=-dv+\frac{euv}{1+mu}g(u)=h(u,v),x\in \Omega \\ \frac{\partial u}{\partial n}=\frac{\partial v}{\partial n}=0,x\in \partial \Omega \end{array}(1)$

以下主要讨论在空间维数为一维的情况下,系统(1)的平衡解(u*,v*)的稳定性。

设Ω=(0,l),l>0,-Δ在齐次Neumann 边界条件下的特征值$\lambda {}_i=\left(\frac{\text{π}i}{l}\right){}^2,i=0,1,2$,且所有特征值均为单重特征值。 相应的特征函数为$\phi {}_i(x)=\sqrt{\frac{1}{l}},i=0$;$\phi {}_i(x)=\sqrt{\frac{2}{l}}\cos \left(\frac{\text{π}ix}{l}\right),i>0$则所有的特征函数构成L2(0,l) 空间的一组正规正交基。

记线性化算子,其中$f{}_1=-f{}_v(u{}^{*},v{}^{*})=\frac{cu{}^{*}}{1+mu{}^{*}}>0,f{}_0=a-f{}_u(u{}^{*},v{}^{*}),f{}_0=2bu{}^{*}+\frac{cv{}^{*}}{(1+mu{}^{*}){}^2}>0$。

$h{}_0=h{}_u(u{}^{*},v{}^{*})=\frac{1}{(1+mu{}^{*}){}^2}(ev{}^{*}g(u{}^{*})+eu{}^{*}{g}^{\prime }(u{}^{*})+em(u{}^{*}){}^{2}v{}^{*}{g}^{\prime }(u{}^{*}))>0$。

定理1: 当a<f0时,常数正平衡解(u*,v*)是局部渐进稳定的;当a>f0时,常数正平衡解(u*,v*)是不稳定的。

证明: 设μ是L的特征值,相应的特征函数为(φ(x),ψ(x))则有:

(Δφ+aφ-f0φ-f1ψ-μφ,Δψ+h0ψ-μψ)=0。将φ,ψ在L2的一组基底下展开有

$\phi ={\displaystyle \sum _{0i<\infty }a}{}_i\phi {}_i,\psi ={\displaystyle \sum _{0i<\infty }b}{}_i\phi {}_i$则

可见,若μ是L的特征值,当且仅当对某些i≥0,系数矩阵退化,即μ2+Piμ+Qi=0。其中Pi=2λi+f0-a,Qi=f1h0+λi(λi+f0-a)。当a<f0时,Pi≥0,Qi≥0,(i≥0),从而Reμ<0,所以(u*,v*)是局部渐进稳定的。当a>f0时,此时P0=f0-a<0,所以存在Reμ>0,即常数平衡解(u*,v*)是不稳定的。

非常数正解的存在性及全局分歧

在一维区间Ω=(0,l),l>0中,系统(1)简化为

$\{\begin{array}{l}-u^{″}=au-bu{}^2-\frac{cuv}{1+mu}\\ -v^{″}=-dv+\frac{euv}{1+mu}g(u)\\ u^{\prime }=v^{\prime }=0,x=0,l\end{array}(2)$

记Y=L2(0,l)L2(0,l)为Hilbert空间,对应的内积为(U1,U2)=(u1,u2)L2(0,l)+(v1,v2)L2(0,l)。 其中U1=(u1,u2)∈Y,U2=(v1,v2)∈Y。E={(u,v):u,v∈C2(0,l),u′=v′=0;x=0,l}则在C2范数意义下E是Banach 空间。

定义F:(0,∞)EY为。

U=(u,v)则系统(2)的解就是映射F的零点;记U*=(u*,v*),则对于任意a>0,F(a,U*)=0。

下面在条件$d<\frac{e}{m}$,a>bu*成立的前提下利用局部分歧理论研究系统(2)非常数正平衡解的存在性。以下以a作为分歧参数,其他参数固定。

定理4: 设j是正整数,且对任意的正整数k,若k≠j时,ak≠aj,则(aj,U*)是分歧点。

证明: 记。

(ⅰ) 记L的核空间为N(L),值域空间为R(L)。假设Φ=(φ,ψ)∈N(L),将φ,ψ在L2的一组基底下展开有$\phi ={\displaystyle \sum _{0i<\infty }a}{}_i\phi {}_i,\psi ={\displaystyle \sum _{0i<\infty }b}{}_i\phi {}_i$,则。

由$\det B{}_i=0\iff a=f{}_0+\lambda {}_i+\frac{f{}_{1}h{}_0}{\lambda {}_i}$。

记$a=a{}_j=f{}_0+\lambda {}_j+\frac{f{}_{1}h{}_0}{\lambda {}_j},$

N(L)=span$\{\Phi \},\Phi =(\begin{array}{cc}\phi {}_j& b{}_j\phi {}_j\end{array}){}^{\text{Τ}}$,其中$b{}_j=\frac{h{}_0}{\lambda {}_j}>0$。

(ⅱ) 记L的伴随算子L*,。同(ⅰ)的方法,可以得到N(L*)=span{Φ*},

,其中$b{}_j^{*}=-\frac{f{}_1}{\lambda {}_j}<0$。又因为R(L)=(N(L))⊥,所以

codimR(L)=dim(N(L*))=1。

(ⅲ) 由(L1Φ,Φ*)Y=(φj,φj)L2=1>0,得L1Φ∉R(L)。综合(ⅰ)、(ⅱ)、(ⅲ)和局部分歧定理可知结论成立。

令jα为满足f1h0>λj(f0+λj)的最大的λj的下标。

定理2: 在定理3的假设下,由(aj,U*),

(j<jα)产生的局部分歧可以延拓成整体分歧。

证明: 令$\tilde{u}=u-u{}^{*},\tilde{v}=v-v{}^{*}$,系统(2)变为

$\{\begin{array}{c}-{\tilde{u}}^{″}=(a-f{}_0)\tilde{u}-f{}_1\tilde{v}+\tilde{f}(\tilde{u},\tilde{v})\\ -{\tilde{v}}^{″}=h{}_0\tilde{u}+\tilde{h}(\tilde{u},\tilde{v})\end{array}(3)$

式(3)中$\tilde{f}$($\tilde{u}$,$\tilde{v}$)、$\tilde{h}$($\tilde{u}$,$\tilde{v}$)是$\tilde{u}$、$\tilde{v}$的高阶导数部分。

令$G=(f{}_0-\Delta ){}^{-1},\tilde{U}=(\tilde{u},\tilde{v})$。${\rm K}(a)\tilde{U}=(aG(\tilde{u})-f{}_{1}G(\tilde{v}),h{}_{0}G(\tilde{u})+f{}_{0}G(\tilde{v}))$。

${\rm H}(\tilde{U})=(G(\tilde{f}(\tilde{u},\tilde{v})),G(\tilde{h}(\tilde{u},\tilde{v})))$。则系统(3)可描述为$\tilde{U}={\rm K}(a)\tilde{U}+{\rm H}(\tilde{U})$。

记K=K(aj)由定理1的证明过程得: 1是K的特征值,且N(K-I)=N(L)=span{Φ}, dimN(K-I)=1,下面说明1作为K的特征值,其代数重数为1。即证明

N(K-I)∩R(K-I)={0}。

令Φ*=(φ*,ψ*)∈N(K*-I),则。

将φ*,ψ*在L2的一组基底下展开,有

因为detBi* = det Bi,所以N(K*-I)=span$\{\Phi {}^{*}\},\Phi {}^{*}=\left(\begin{array}{ccc}\phi {}_j& -\frac{f{}_1}{\lambda {}_j}\phi {}_j& \end{array}\right){}^{\text{Τ}}$,$(\Phi ,\Phi {}^{*}){}_Y=(j,j){}_{L{}^2}+\left(\frac{h{}_0}{\lambda {}_j}{}_j,-\frac{f{}_1}{\lambda {}_j}{}_j\right){}_{L{}^2}=1-\frac{f{}_{1}h{}_0}{\lambda {}_j{}^2}$。又因为f1 h0 > λj2 +λjf0 > λj2,所以Φ∉(N(K*-I))⊥=R(K-I),即

N(K-I)∩R(K-I)={0}。

在aj的一个足够小的邻域内,有I-K(aj):EE是双射, 并且对于固定的a,(0,0)是I-K(a)-H的孤立零点。I-K(a)-H在孤立零点处的指标的计算公式如下:

index(I-K(a)-H,(a,(0,0)))=deg(I-K(a),B,(0,0))=(-1)p。

其中B是以(0,0)为球心的足够小的球,p是算子K(a)所有大于1的特征值的代数重数之和,假设η是K(a)的一个特征值,其对应的特征函数为($\tilde{\phi }$,$\tilde{\psi }$),则有。

同样展开$\tilde{\phi }={\displaystyle \sum _{0i<\infty }\tilde{a}}{}_i\phi {}_i,\tilde{\psi }={\displaystyle \sum _{0i<\infty }\tilde{b}}{}_i\phi {}_i$。有。

因此K(a)的所有特征值满足方程

$\eta {}^2-\frac{a}{f{}_0+\lambda {}_i}\eta +\frac{f{}_{1}h{}_0}{\lambda {}_i(\lambda {}_i+f{}_0)}=0(4)$

若a=aj,如果η=1是方程(4)的一个根,则必有ai=aj,由假设可知i=j。

(ⅰ)当i≠j时, η≠1,即K(a)的特征值要么大于1要么小于1,经过小扰动后具有同样的性质。因此对于所有aj附近的a,K(a)大于1的特征值的数目与K(aj)一样,且有相同的代数重数。

(ⅱ)当i=j时,$\eta (a{}_j)=1,\tilde{\eta }(a{}_j)$是相应的两个根。$\tilde{\eta }(a{}_j)=\frac{f{}_{1}h{}_0}{\lambda {}_i(\lambda {}_i+f{}_0)}>1,(j<j{}_{\alpha })$。对于aj附近的a有$\tilde{\mu }(a)>1$,又因为$\tilde{\eta }$(aj)关于aj是单调递增的,所以$\tilde{\eta }(a{}_j+\epsilon )>1,\tilde{\eta }(a{}_j-\epsilon )<1$.对足够小的ε>0,$\tilde{\eta }(a{}_j+\epsilon )>1$比$\tilde{\eta }(a{}_j-\epsilon )<1$多一个大于1的特征值,类似上面的证明方法得其代数重数为1,所以得到index(I-K(aj)-ε-H,(aj-ε,(0,0)))≠index(I-K(aj)+ε-H,(aj+ε,(0,0)))

由全局分歧理论知在(a,(u,v))平面内存在一个连通分支τj,使得下面二者之一成立:

(ⅰ)τj连接点(aj,U*) 和(ak,U*),其中k≠j。

(ⅱ)τj在RX中伸向无穷。

参考文献

[1] Kuwamura M,Nakazawa T,Ogawa T.A minimum model of prey-predator system with dormancy of predators and the paradox with dor-mancy of predators and the paradox of enrichment.J Math Biol,2010;58:459—479

[2]沈林,李艳玲.一类捕食-食饵模型平衡解的分歧与稳定性.科学技术与工程,2010;18:5283—5288

[3] Lou Y,Ni W M.Diffusion self-diffusion and cross-diffusion.J Dif-ferential Equations,1996;131:79—131

[4] Lin C S,Ni W M,Takagi I,Large amplitude stationary solutions to achemot-axis systems.J Differential Equations,1988;72:1—27