“变化率与导数”教学

“变化率与导数”教学（精选5篇）

“变化率与导数”教学 第1篇

现代数学教学观念要求学生从“学会”向“会学”转变, 本节可从单调性与导数的关系的发现到应用都有意识营造一个较为自由的空间, 让学生能主动地去观察、猜测、发现、验证, 积极地动手、动口、动脑, 使学生在学知识的同时形成思想、方法.

整个教学过程突出了三个注重:1.注重学生参与知识的形成过程, 体验应用数学知识解决简单数学问题的乐趣.2.注重师生、生生间的互相协作、共同提高.3.注重知能统一, 让学生获得知识的同时, 掌握方法, 灵活应用.

二、教案

三、小结

函数与导数 第2篇

例1 已知函数[f(x)=lnx2-2axe,]（[a∈R],[e]为自然对数的底数）.

（1）求函数[f(x)]的递增区间；

（2）当[a=1]时，过点[P(0,t)(t∈R)]作曲线[y=f(x)]的两条切线，设两切点为[P1(x1,f(x1)),][P2(x2,f(x2)),][(x1≠x2),]求证：[x1+x2=0.]

解析 （1）函数[f(x)]的定义域是[(-∞,0)⋃(0,+∞).]

[f(x)=2x-2ae=2(e-ax)ex.]

当[a=0]时，由[f(x)=2x>0]，解得[x>0]；

当[a>0]时，由[f(x)=2(e-ax)ex>0]，解得[0

当[a<0]时，由[f(x)=2(e-ax)ex>0]，解得[x>0]，或[x

所以当[a=0]时，函数[f(x)]的递增区间是[(0,+∞)]；

当[a>0]时，函数[f(x)]的递增区间是[(0,ea)]；

当[a<0]时，函数[f(x)]的递增区间是[(-∞,ea)],[(0,+∞)].

（2）因为[f(x)=2x-2e=2(e-x)ex,]

所以以[P1(x1,f(x1))]为切点的切线的斜率为[2(e-x1)ex1]；

以[P2(x2,f(x2))]为切点的切线的斜率为[2(e-x2)ex2.]

又因为切线过点[P(0,t)]，所以[t-lnx12+2x1e=][2(e-x1)ex1(0-x1)]；

[t-lnx22+2x2e=2(e-x2)ex2(0-x2).]

解得，[x12=et+2]，[x22=et+2]. 则[x12=x22].

由已知[x1≠x2],所以，[x1+x2=0.]

点评 求函数单调区间问题充分利用[f(x)]的正负与单调性的关系，特别注意函数定义域，注意区别过某点的切线与在某点处切线.

例2 已知函数[f(x)=lnx-a(x-1)x+1.]

（1）若函数[f(x)]在[(0,+∞)]上为单调增函数，求[a]的取值范围；

（2）设[m、n∈R+]，且[m≠n]，求证：[m-nlnm-lnn<][m+n2].

解析 （1）[f(x)=1x-a(x+1)-a(x-1)(x+1)2]

[=(x+1)2-2axx(x+1)2=x2+(2-2a)x+1x(x+1)2.]

因为[f(x)]在[(0,+∞)]上为单调增函数，

所以[f(x)≥0]在[(0,+∞)]上恒成立.

即[x2+(2-2a)x+1≥0]在[(0,+∞)]上恒成立.

当[x∈(0,+∞)]时，由[x2+(2-2a)x+1≥0]，

得[2a-2≤x+1x.]

设[g(x)=x+1x]，[x∈(0,+∞)].

[g(x)=x+1x≥2x⋅1x=2.]

当且仅当[x=1x]，即[x=1]时，[g(x)]有最小值2.

所以[2a-2≤2,] [a≤2].

[a]的取值范围是[(-∞,2]].

（2）不妨设[m>n>0]，则[mn>1].

要证[m-nlnm-lnn

即证[lnmn>2(mn-1)mn+1]，只需证[lnmn-2(mn-1)mn+1>0].

设[h(x)=lnx-2(x-1)x+1].

由（1）知[h(x)]在[(1,+∞)]上是单调增函数，

又[mn>1]，所以[h(mn)]>[h(1)=0].

即[lnmn-2(mn-1)mn+1>0]成立.

所以[m-nlnm-lnn

点评 此题是解决函数在某区间内是单调的参数取值问题，转化为函数的最值问题，注意端点值；第二问充分利用函数单调性证明不等式，提高代数式的变形能力.

例3 已知函数[fx=lnxx].

（1）判断函数[fx]的单调性；

（2）若[y=][xfx]+[1x]的图象总在直线[y=a]的上方，求实数[a]的取值范围；

（3）若函数[fx]与[gx=16x-mx+23]的图象有公共点，且在公共点处的切线相同，求实数[m]的值.

解析 （1）可得[f(x)=1-lnxx2].

当[00],[f(x)]为增函数；

当[x>e]时,[f(x)<0],[f(x)]为减函数.

（2）依题意， 转化为不等式[a0]恒成立.

令[g(x)=lnx+1x]， 则[g(x)=1x-1x2=1x(1-1x).]

当[x>1]时，因为[g(x)=1x(1-1x)>0],[g(x)]是[(1,+∞)]上的增函数.

当[x∈0, 1]时，[g(x)<0]，[g(x)]是[0, 1]上的减函数.

所以[g(x)]的最小值是[g(1)=1]，从而[a]的取值范围是[-∞, 1].

（3）转化为[lnx=16x2+23x-m]，[y=lnx]与[y=16x2+23x-m]在公共点[(x0,y0)]处的切线相同.

由题意知[lnx0=16x20+23x0-m,1x0=13x0+23.]

解得[x0=1]，或[x0=-3]（舍去）.

代入第一式，即有[m=56].

点评 此题是函数图象位置关系及切线问题，合理利用导数的定义及应用转化为函数的最值来解决.

例4 已知[a>0]，且[a≠1]，函数[f(x)=loga(1-ax)].

（1）求函数[f(x)]的定义域，并判断[f(x)]的单调性；

（2）若[n∈N*]，求[limn→+∝af(n)an+a;]

（3）当[a=e]（[e]为自然对数的底数）时， 设[h(x)=][(1-ef(x))(x2-m+1)]，若函数[h(x)]的极值存在，求实数[m]的取值范围以及函数[h(x)]的极值.

解析 （1）由题意知[1-ax>0.]

当[01]时,[f(x)]的定义域是[(-∞,0)].

[f(x)=-ax⋅lna1-ax⋅logae=axax-1.]

当[00]，∴[f(x)<0]，∴[f(x)]是减函数；

当[a>1]时，[x∈(-∞,0)]，∵[ax-1<0]，[ax>0]，∴[f(x)<0]，∴[f(x)]是减函数.

（2）因为[f(n)=loga(1-an)]，所以[af(n)=1-an.]

由函数定义域知[1-an>0]，

因为[n]是正整数，故[0

所以[limn→∝af(n)an+a=limn→∝1-anan+a=1a.]

（3）[h(x)=ex(x2-m+1)(x<0)],

所以[h(x)=ex(x2+2x-m+1).]

令[h(x)=0],即[x2+2x-m+1=0]，

由题意应有Δ[≥0]，即[m≥0.]

当[m=0]时，[h(x)=0]有实根[x=-1]，在[x=-1]点左右两侧均有[h(x)>0,]故[h(x)]无极值；

当[0

当[x]变化时，[h(x)]、[h(x)]的变化情况如下表所示：

[[x]&[(-∝,x1)]&[x1]&[(x1,x2)]&[x2]&[(x2,0)]&[h(x)]&+&0&-&0&+&[h(x)]&↗&极大值&↘&极小值&↗&]

[∴h(x)]的极大值为[2e-1-m(1+m)]，[h(x)]的极小值为[2e-1+m(1-m);]

当[m≥1]时，[h(x)=0]在定义域内有一个实根，[x=-1-m,]

同上可得[h(x)]的极大值为[2e-1-m(1+m).]

综上所述，[m∈(0,+∝)]时，函数[h(x)]有极值.

当[0

当[m≥1]时，[h(x)]的极大值为[2e-1-m(1+m).]

点评 本小题主要考查函数、数列的极限、导数应用等基础知识、考查分类整合思想、推理和运算能力.

例5 设函数[f(x)=x2+aln(1+x)]有两个极值点[x1]、[x2]，且[x1

（1）求[a]的取值范围，并讨论[f(x)]的单调性；

（2）证明：[f(x2)>1-2ln24.]

解析 （1）[f(x)=2x+a1+x=2x2+2x+a1+x][(x>-1).]

令[g(x)=2x2+2x+a]，其对称轴为[x=-12]. 由题意知[x1]、[x2]是方程[g(x)=0]的两个均大于[-1]的不相等的实根，

其充要条件为[Δ]，得[0

①当[x∈(-1,x1)]时，[f(x)>0]，[∴f(x)]在[(-1,x1)]内为增函数；

②当[x∈(x1,x2)]时，[f(x)<0]，[∴f(x)]在[(x1,x2)]内为减函数；

③当[x∈(x2,+∞)]时，[f(x)>0]，[∴f(x)]在[(x2,+∝)]内为增函数.

（2）由（1）[g(0)=a>0,][∴-12

[∴f(x2)=x22+aln(1+x2)=x22-(2x22+2x2)ln(1+x2).]

设[h(x)=x2-(2x2+2x)ln(1+x) (x>-12)]，

则[h(x)=2x-2(2x+1)ln(1+a)-2x]

[=-2(2x+1)ln(1+x).]

①当[x∈(-12,0)]时，[h(x)>0]，[h(x)]在[[-12,0]]单调递增；

②当[x∈(0,+∞)]时，[h(x)<0]，[h(x)]在[h(x)]单调递减.

[∴当][x∈(-12,0)时,][h(x)>h(-12)=1-2ln24,]

故[f(x2)=h(x2)>1-2ln24].

点评 本题考查函数取极值的条件及利用函数单调性及最值证明不等式，充分利用分类整合思想进行推理证明.

专题训练一

一、选择题

1. 设[f(x)、g(x)]是R上的可导函数，[f(x)、g(x)]分别是[f(x)、g(x)]的导函数，且[f(x)g(x)+f(x)g(x)][<0]，则当[a

A. [f(x)g(x)>f(b)g(b)] B. [f(x)g(a)>f(a)g(x)]

C. [f(x)g(b)>f(b)g(x)] D. [f(x)g(x)>f(a)g(a)]

2. 若存在过点(1,0)的直线与曲线[y=x3]和[y=ax2+154x-9]都相切，则[a]等于（ ）

A. [-1]或[-2564] B. [-1]或[214]

C. [-74]或[-2564] D. [-74]或7

3. 设函数[f(x)=g(x)+x2]，曲线[y=g(x)]在点[(1,g(1))]处的切线方程为[y=2x+1]，则曲线[y=f(x)]在点[(1,g(1))]处切线的斜率为（ ）

A. 4 B. [-14] C. 2 D. [-12]

4. 设[a

[A B][C D]

5. 设函数[y=f(x)]在[(-∞,+∞)]内有定义. 对于给定的正数[K]，定义函数[fK(x)=f(x),f(x)≤KK,f(x)>K]

取函数[f(x)=2-x-e-1]. 若对任意的[x∈(-∞,+∞)]，恒有[fK(x)=f(x)]，则（ ）

A. [K]的最大值为2 B. [K]的最小值为2

C. [K]的最大值为1D. [K]的最小值为1

6. 若[a>3]，则方程[x3-ax2+1=0]在（0，2）上恰有（ ）个实根.

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

7. 已知[|a|=2|b|≠0]，且关于[x]的函数[f(x)=13x3+12|a|x2+a⋅bx]在R上有极值，则[a]与[b]的夹角范围为（ ）

A. [[0,  π6)]B. [(π6,  π]]

C. [(π3,  π]] D. [(π3,  2π3]]

8. 设函数[f(x)=13ax3+12bx2+cx]，且[f(1)=][-a2]，[3a>2c>2b]，则下列结论不正确的是（ ）

A. [-3

C. [-140]且[b<0]

9. 已知函数[f(x)]的定义域是R，且[x≠kπ+π2(k∈Z)]，若函数[f(x)]满足[f(x)=f(x+π)]，且当[x∈(-π2,  π2)]时，[f(x)=2x+sinx]，设[a=f(-1)]，[b=f(-2)]，[c=f(-3)]，则（ ）

A. [c

C. [a

10. 已知[f(x)=x3-3x]，过点[A(1,  m)(m≠-2)]可作曲线[y=f(x)]的三条切线，则[m]的取值范围是（ ）

A. （－1，1）B. （－2，3）

C. （－1，－2）D. （－3，－2）

二、填空题

11. 路灯距地面为8米，一个身高为1.7米的人以每秒1.4米的速度匀速地从路灯的正底下沿某直线离开路灯，那么人影的变化速率为

12. 已知函数[y=f(x)]和[y=g(x)]在[-2，2]的图象如下所示：

[2][2][1][-1][-2][-2] [2][2][1][-1][-2][-2][-1][1] [1] [-1]

给出下列四个命题：

①方程[f[g(x)]=0]有且仅有6个根

②方程[g[f(x)]=0]有且仅有3个根

③方程[f[f(x)]=0]有且仅有5个根

④方程[g[g(x)]=0]有且仅有4个根

其中正确的命题是 . （将所有正确的命题序号填在横线上）.

13. 若曲线[f(x)=ax3+lnx]存在垂直于[y]轴的切线，则实数[a]取值范围是 .

14. 已知[f(x)]是定义在[(-∞,0)⋃(0,+∞)]上的奇函数，当[x>0]时，[f(x)=lnx-ax]. 若函数[f(x)]在其定义域上有且仅有四个不同的零点，则实数[a]的取值范围是 .

15. 设曲线[y=xn+1(n∈N*)]在点（1，1）处的切线与[x]轴的交点的横坐标为[xn],令[an=lgxn]，则[a1+a2+…+a99]的值为 .

三、解答题

16. 已知函数[f(x)=x2-2lnx,][h(x)=x2-x+a.]

（1）求函数[f(x)]的极值；

（2）设函数[k(x)=f(x)-h(x),]若函数[k(x)]在[1，3]上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围.

17. 已知函数[f(x)=mx33+ax2+(1-b2)x,][m,a,b∈]R.

（1）求函数[f(x)]的导函数[f(x)]；

（2）当[m=1]时，若函数[f(x)]是R上的增函数，求[z=a+b]的最小值；

（3）当[a=1,b=2]时，函数[f(x)]在[（2，+∞）]上存在单调递增区间，求[m]的取值范围.

18. 已知二次函数[y=g(x)]的导函数的图象与直线[y=2x]平行,且[y=g(x)]在[x=-1]处取得最小值[m－1(m≠0)]. 设函数[f(x)=g(x)x.]

（1）若曲线[y=f(x)]上的点[P]到点[Q(0,2)]的距离的最小值为[2]，求[m]的值

（2）[k(k∈R)]如何取值时,函数[y=f(x)-kx]存在零点，并求出零点.

19. 已知函数[f(x)=12x2-ax+(a-1)lnx]，[a>1.]

（1）讨论函数[f(x)]的单调性；

（2）证明：若[a<5]，则对任意[x1,x2∈(0,+∝)]，[x1≠x2]，有[f(x1)-f(x2)x1-x2>-1].

20. 已知函数[f(x)=|x-a|-lnx(a>0).]

（1）若[a=1,]求[f(x)]的单调区间及[f(x)]的最小值；

（2）若[a>0]，求[f(x)]的单调区间；

（3）试比较[ln2222+ln3232+⋯+lnn2n2]与[(n-1)(2n+1)2(n+1)]的大小[(n∈N*且n≥2)]，并证明你的结论.

21. 设[x1、x2]是[f(x)=a3x3+b-12x2+x(a,b∈R,][a>0)]的两个极值点,[f(x)]为[f(x)]的导函数.

（1）如果[x1<2

（2）如果[0

“变化率与导数”教学 第3篇

关键词：偏导数,全微分,类比方法,二元函数

数学类比思维是数学思维的一种重要形式。在科学探索中, 类比思维的价值为世界上许多科学家所称道, 开普勒说:“我珍视类比胜于任何别的东西, 它是我最可信赖的老师, 它能揭示自然界的秘密.”康德曾说:“每当理智缺乏可靠论证的思路时, 类比这个方法往往能指引我们前进。”运用数学类比思维可以把陌生的对象和熟悉的对象进行对比, 把未知的东西和已知的东西相对比, 特别是在资料少, 还不足以进行归纳推理和演绎思维的情况下, 类比更是得天独厚, 它可以启发思路, 提供线索, 进一步认识世界。

一元微分学到多元微分学, 是数学史上的一大进步。而偏导数、全微分又是多元微分学中重难点之一, 因为较一元函数而言, 二元函数的相关概念有了很大程度的拓展和延伸, 并且概念较为抽象, 较为复杂, 对高职高专只要求“够用、会用”的学生理解起来显得难度很大, 这给数学教学带来一定的难度。教师应引导学生对于已有的、熟练掌握的一元函数的导数和微分的定义、公式及计算方法等类比的推到二元函数的导数和微分中, 使新知识化难为易, 达到很好的理解效果。本文试图通过一元函数与多元函数的类比来创设有效的偏导数与全微分的教学策略。

一、二元函数偏导数定义的讲解

白通过游戏掌握了哪些理论知识, 在游戏中有哪些经验和教训, 可以获得哪些技巧等。在人力资源管理课程的教学中引入管理游戏, 不仅能够有效地激发学生的学习兴趣, 让学生在情景中巩固所学的抽象理论知识并消除理论知识学习中的疑点、难点, 而且可以培养学生的创新精神和团队合作意识。

随着我国经济的发展, 社会对人才的需求和要求也在提高, 高校的学生不但要掌握一定的理论知识, 还要有较强的实践能力。人力资源管理课程教学过程中应始终坚持知识传授、能力培养、素质提高协调发展和共同提高原则, 针对我国目前高校教学现状, 传统教学法在知识传授的系统性、扎实性和快速性方面仍具有一定的优势, 也是现阶段最为经济的一种教学模式。然而人力资源管理又是一门实践性很强的应用性学科, 在教学过程中结合运用案例教学、情景模拟和游戏教学能够使学生加深对理论知识的理解, 提高独立思考、独立研究和独立探索问题的能力, 进而可以提高学生实际操作能力和解决实际问题的能力, 适应经济发展的需求。因此, 在实际教学过程中, 教师应综合使用以上教学方法取长补短, 以期提高教学质量, 培养出既有扎实的理论功底又具有实践能力的复合型人才。

1.陈维政, 余凯成, 程文文.人力资源管理 (第2版) [M].北京:高等教育出版社, 2006, 10

2.郭成.MBA管理方法与情景案例[M].郑州:郑州大学出版社, 2004, 4

3.兰策元.多元化方法与HRM教学研究[J].黄山学院学报, 2006, 8 (5) :118～120

4.钱士茹, 吴笛.亲验式教学法在“人力资源管理”教学中的应用[J].合肥学院学报, 2006, 6 (2) :60～62

(一) 复习回顾一元函数导数的定义。 在讲解二元函数偏导数的定义时, 首先让学生回顾已有的一元函数导数的定义, 我们可分五步来对一元函数导数进行回忆:

1.条件:函数f (x) 在x0的某邻域内有定义。

2.操作:在x0处给自变量一增量:Δx∶x0x0+Δx;计算相应函数值的增量:

Δy=f (x0+Δx) -f (x0) 。

3.假设:若自变量的增量趋向于0时, 函数值的增量比自变量的增量的极限值存在为A。

4.结论:称A为函数f (x) 在x0处的导数。

5.符号:

undefined

(二) 讲授二元函数偏导数的定义。 二元函数只不过比一元函数多一个自变量, 那么对于二元函数偏导数的定义也可类比着通过这五步来得到, 教师引导学生一起按照这五步进行, 遇到困难, 试图寻找简化的策略。

1.条件:函数Z=f (x, y) 在 (x0, y0) 的某邻域内有定义。

2.操作:给自变量增量, 对二元函数两个自变量, 到底给谁增量呢?在这里我们遇到了困难, 为了简化问题, 我们可让其中一个自变量不变, 而给另一个自变量一增量。不妨, 在点 (x0, y0) 处给x0一增量:Δx∶x0x0+Δx, 而让y0保持不变, 即y0y0。下步是计算相应函数值的增量, 即后来函数值减去原来函数值:给一符号表示为:

ΔxZ=f (x0+Δx, y0) -f (x0, y0) 这实际上是给出了关于自变量x的偏增量的定义。

3.假设: 因对二元函数上步我们是对自变量x给的增量, 所以可

假设当Δx0时, undefined极限值存在为A。

4.结论: 因我们在给自变量增量时, 只是让x进行改变, 为了表述清楚, 我们可称A为函数Z=f (x, y) 在 (x0, y0) 处关于x的偏导数。

5.符号:undefined

undefined

按照上述这五步进行, 若让x固定, 而给另一自变量y一增量, 相应可得出, 关于y的偏导数的定义。在由一元函数导数向二元函数偏导数类比过程中, 我们实际上给出了偏增量的概念, 这样做的目的是降低难度, 使学生有足够的心理能力和知识背景通过概念同化的途径获得偏导数新概念。这种类比教学策略, 使晦涩难懂的偏导数定义, 接受起来理所当然, 并且容易理解掌握和运用。类比中我们还可以得到, 二元函数的偏导数实质上是把一自变量固定而将二元函数看成是关于另一自变量的一元函数的导数。因此在求解二元函数的偏导数时, 只需将一个自变量暂时看做常量, 利用一元函数求导方法, 直接对另一自变量进行求导数即可。

二、二元函数全微分概念的讲解

一般的我们要讲解全微分的概念时要注意两方面的问题:一是全增量能否用自变量增量的线性函数来代替, 二是余下的部分能否用ρ的高阶无穷小来表示。我们不需要对证明详加理解, 只需用一元微分的概念类比的推到二元函数的情形, 在讲解二元函数全微分与偏导数的关系时, 只需要用反例加以说明。

在实际教学过程我们首先复习回顾一元函数微分的概念由浅入深的使知识向二元函数情形过渡, 对于二元函数全微分的讲解, 教师可提出问题;二元函数全增量能否如一元函数一样用自量增量的线性函数来代替?以这一问题为线索引起学生的兴趣和好奇, 通过一元函数微分概念继而给出全微分的定义, 并参照一元函数的做法来分析二元函数中ΔZ, dZ与Δx, Δy, ρ的关系, 进而使学生对全微分概念有一完整认识。最后给出全微分与偏导数的关系, 并用反例加以说明, 另外, 告诫学生任何知识的理解都是一循环反复的过程, 需要通过一定量的练习来加深理解。

(一) 复习回顾一元函数微分的概念。

1.条件:

函数f (x) 在点x的某邻域内有定义。

2.操作:

首先给自变量一增量Δx, 然后计算相应的函数值的增量Δy, 若增量能表示成这样一种形式:Δy=AΔx+0 (Δx) 。这种形式具有这样的特点:函数值的增量Δy有两部分组成, 第一部分为自变量增量的线性函数, 第二部分为自变量增量的高阶无穷小, 当然第二部分也可以写成自变量增量模的高阶无穷小, 即自变量增量与原点距离 (不妨, 记作ρ) 的高阶无穷小, 即Δy=AΔx+0 (ρ) 。

3.结论:

若函数值的增量表示成这种形式, 我们称前面的线性部分为函数f (x) 在点x处的微分记作:dy=AΔx。

4.深化:

若函数f (x) 在点x处可导, 则dy=f′ (x) dx。

5.反思:

由一元函数微分的概念可以得出:当自变量改变量Δx很小时, 函数值的增量可以用微分近似代替即可用自变量改变量的线性函数近似代替。在几何上体现了局部的“以直代曲”。

(二) 讲授二元函数全微分的概念。

1.条件:

函数Z=f (x, y) 在点 (x, y) 的某邻域内有定义。

2.操作:

二元函数两自变量, 首先可以分别给两自变量一增量Δx和Δy, 然后计算相应的函数值的增量Δz, 若函数值的增量能表示成一种类似于一元函数给微分时增量的形式, 即增量有两部分组成:第一部分为自变量增量的线性函数, 对二元函数来说两个自变量, 那么自变量增量的线性函数应该写成AΔx+BΔy形式, 另一部分为自变量增量与原点距离的高阶无穷小, 二元函数有两个自变量, 故距离undefined, 所以对二元函数来说, 增量表示成如下形式:ΔZ=AΔx+BΔy+0 (ρ) 。

3.结论:

若对二元函数来说, 函数值的增量能表示如上述形式, 我们类比一元函数微分的概念, 同样可称前面的线性部分为函数Z=f (x, y) 在 (x, y) 处的微分记作:

dZ=AΔx+BΔy。

4.深化:

如果函数Z=f (x, y) 在 (x, y) 处的某一邻域内有连续的偏导数undefined和undefined, 则函数Z=f (x, y) 在 (x, y) 处可微, 并且undefined。

5.反思:

由二元函数微分的概念同样可以得出:当自变量改变量Δx, Δy很小时, 函数值的增量可以用微分近似代替即用自变量改变量的线性函数近似代替, 可写成如下表达式:ΔZ≈dZ=AΔx+BΔy。从几何直观上我们可以看出, 这体现了三维立体空间中在局部上可以用切平面代替曲面, 即体现了“以平代曲”的理念。

三、偏导数与全微分的关系讲解

“任何比喻都是蹩脚的”类比方法跟比喻方法很类似, 也存在着不足的地方:由类比所得出的结论都具有一定的或然性, 有时会出现错误。从一元函数和二元函数之间在某些方面的相同或相似, 并不一定得出它们在其他属性方面也必然相同或相似的结论。我们知道, 一元函数在某点的导数存在是微分存在的充分必要条件, 同时可导必然连续, 连续必然有极限。可对于二元函数来说情况就完全不一样了, 我们可以通过下图来分别说明他们之间的关系:

一元函数:

二元函数:

这张图使一元、二元函数极限、连续、 (偏) 导数存在和可微之间的关系一目了然, 这样可以使学生从复杂的关系中理清头绪, 加深对概念的理解, 使其进一步清晰明了。

我们运用类比方法主要是为了教给学生一种数学思维的方法和接受、理解知识的一种方式。实践证明, 恰当地运用类比, 数学课堂会更有气氛, 学生的学习的兴趣会很浓, 更重要的是学生对所学的知识不容易遗忘, 而且学会“举一反三”、“触类旁通”, 另外还要注意类比中的不同点。

参考文献

[1].郭坤, 王金玲.对经济数学教学方法的思考[J].教学研究, 2002, 2

[2].朱德全.数学问题解决的表征及元认知开发[J].教学研究, 1997, 3

[3].芦伟, 陈浩.全微分概念的表征及教学策略[J].巢湖学院学报, 2005, 7:3

“变化率与导数”教学 第4篇

应用函数极值与导数的关系求函数极值，用导数求闭区间上函数的最大值和最小值的方法让学生经过实例分析，熟练灵活掌握，使学生经历知识产生与形成的过程。以自主探究为主，及时归纳方法，熟练灵活应用知识解决问题，注意题型归类．规范解题步骤，严格化训练学生运算能力。加强自信心的培养，积累高考题、创新题的解法，鼓励学生从多个角度分析解决问题，形成良好的知识结构与网络。通过自主探究、交流合作使学生亲身体验研究的艰辛，从中体味合作与成功的快乐，由此激发其更加积极主动的学习精神和探索勇气，培养学生的审美习惯和良好的思维品质。利用多媒体辅助教学，调动了学生的课堂参与空间，有效的增加了课堂容量，提高了学生的学习兴趣，活跃了课堂气氛；利用小组探究的形式，提高了学生动手能力、探究能力和自学能力，基本达到了高效课堂的效果。

不足：学生对探究性问题研究的还不够深入，只停留在表面问题的解决，对于探究过程中遇到的问题，解决的方式方法还有待提高改进。学生运算技能还需要进一步提高，尤其是字母运算，加强分类讨论思想方法总结，题目难度需进一步降一下，心理素质需进一步调节，学生浮躁，好习惯有待加强养成。

“变化率与导数”教学 第5篇

(Ⅰ) 确定a的值 (4分) ; (Ⅱ) 若g (x) =f (x) ex, 讨论的单调性. (8分)

令g' (x) =0, 解得x=0, x=-1, x=14.

当时x<-4时, g' (x) <0, ∴g (x) 单减;当-4<x-1时, g' (x) >0, ∴g (x) 单增;

当时-1<x<0时, g' (x) <0, ∴g (x) 单减;当x>0时, g' (x) >0, ∴g (x) 单增;

综上所述, g (x) 在 (-∞, -4) 和 (-1, 0) 上单减, 在 (-4, -1) 和 (0, +∞) 上单增。

(二) 研究教材

在介绍第二节时———函数的极大值和极小值时, 介绍了“导数符号法”求解函数在某个区间的极值的步骤: (1) 求导数f' (x) ; (2) 求f (x) 的驻点, 即求f' (x) =0的根; (3) 检查f' (x) 在驻点左右的符号, 如果在驻点左侧附近为正, 右侧附近为负, 那么函数y=f (x) 在这个驻点处取得极大值;如果在驻点左侧附近为负, 右侧附近为正, 那么函数y=f (x) 在这个驻点处取得极小值。给出的例题例如:求函数g (x) =x2 (3-x) 的极大值和极小值.

解析:g' (x) =6x-x2=x (6-x) , 令g' (x) =0, 得驻点x=0, x=2,

当x∈ (-∞, 0) 时, g' (x) <0, ∴g (x) 单减;当x∈ (0, 2) 时, g' (x) >0, ∴g (x) 单增;

当x∈ (2, +∞) 时, g' (x) <0, ∴g (x) 单减。

故g (x) 在 (-∞, 0) 和 (2, +∞) 上单减, 在 (0, 2) 上单增。

(三) 教学反思

实践是块试金石。作为老师, 我们以为教给学生两种方法, 学生能够在遇到具体问题能做出正确且适当的选择。但从学生的考试效果看, 学生并不能灵活做出选择, 选择方法不当导致计算有偏差时, 也不知道问题出在哪里, 也不知道调整正方法, 不知所措导致丢分很严重。所以, 老师帮助学生对教材去繁就简、抽丝剥茧, 找到最佳的处理方式方法很重要, 也很必要。教材上介绍的这两种求解函数单调性的方法都有详细引导和讲解, 学生和老师也会在平时的做题过程中应用这种方法处理问题。平时的很多练习题甚至是很多高考题都可以用第一节介绍的“不等式法”解决。

通过以上分析, “不等式法”具有一定的局限性, 解决不了复杂的函数单调性。但“导数符号法”却既可以解决简单函数的单调性, 也可以解决复杂函数的单调性。所以作为老师, 应该在平时的教学过程中帮助学生去繁就简, 总结出最好的解决问题的方法。怎样才能更好的掌握“利用导数求解函数单调性”呢?笔者认为以“导数符号法”为主, 以“不等式法”为辅。在了解单调性和导数的关系后, 只需理解“不等式法”解决单调性的思想和方法即可, 而把“导数符号法”作为解决函数单调性和极值的最主要的也最重要的方法。在平时的教学和做题过程中, 也主要介绍和训练这种方法, 让学生明了利用这种方法可以解决所有与函数单调性、极值有关的题目。如此一来, 学生学起来也会相对比较轻松, 重点明确, 难点易攻, 解题思想深入, 解决此类题型就会比较得心应手。在今后的导数教学过程中怎样分析教材, 对教材去繁就简、抽丝剥茧, 总结归纳出最适合文科导数的教学方法仍然值得各位老师的思考和努力。

参考文献

[1]全日制普通高级中学教材 (人教版) 教案系列丛书, 数学第三册 (选修Ⅱ) 人民教育出版社中学数学室, 编著, 人民教育出版社出版.