不等式典型例题

不等式典型例题（精选8篇）

不等式典型例题 第1篇

不等式的证明典型例题分析

例1 已知，求证：．

证明 ∵

∴，当且仅当时等号成立．

点评 在利用差值比较法证明不等式时，常采用配方的恒等变形，以利用实数的性质例2 已知均为正数，求证.．

分析 由于所证不等式两端都是幂和积的形式，且

证明

这时为不等正数，不失一般性，设，.为正数，可选用商值比较法.，.由指数函数的性质可知，所以

即

例3 已知

求证：..，．

分析 不等式的左端是根式，而右端是整式，应设法通过适当的放缩变换将左式各根式的被开方式转化为完全平方式．

证明 ∵

∴，．

即．

两边开方，得．

同理可得三式相加，得．． ．

例4 设，求证：

分析 当所证结论在形式上比较繁杂时，一般都可采用分析法.证明 要证明

只要证

因为，故只要证

由于函数故只要证

即证

只要证

即证

在上是减函数，这是显然成立的，故原不等式成立.点评 分析法是一种不断探求要证明不等式成立的充分条件的方法，表述证明过程时应予以注意.例5 已知都是正数，求证：

（1）

（2）

分析 用综合法证明.证明（1）∵

都是正数，则，∴

∴，即

（2）∵

都是正数，则，点评

变形.例6

证明

点评

∴

用不等式的平均值定理证明不等式时，要注意定理的条件，还要注意为运用定理而作出的适当已知，且，求证：（1）；（2）（1）∵，∴

（2）

其中的放缩是以给出的条件或已证结果被运用作为思考的目标.3

不等式典型例题 第2篇

高中数学辅导网http:///

概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结

不等式

一．不等式的性质：

1．同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：[同向相加，异向相减] 若，则（若，则），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减；

2．左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若，则（若，则）；[同向相乘，异向相除]

3．左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若

bn或

4．若

；若

1a，则，则，则

1b

。如

（1）对于实数a,b,c中，给出下列命题：

①若则； ④若

； ②若则 ⑤若

则则

； ③若

则

；

； ⑥若

a

⑦若

则；

则

； ⑧若

1a

1b，则。

其中正确的命题是______

（答：②③⑥⑦⑧）；

（2）已知

（答：

ca 的取值范围是______

（答：），）；（3）已知，则，且的取值范围是______

则

二．不等式大小比较的常用方法：

1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； 2．作商（常用于分数指数幂的代数式）； 3．分析法； 4．平方法；

5．分子（或分母）有理化； 6．利用函数的单调性； 7．寻找中间量或放缩法 ；

8．图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。如

（1）设

a 的大小

（答：当

时，且，比较logat和log

（时取等号）；当

时，京翰教育http:///

（时取等号））；

（2）设，，试比较p,q的大小

（答：）；

（3）比较1+logx3与且或

2logx2；当

时，1+logx3＞2logx2；当的大小（答：当

时，1+logx3＜

时，1+logx3＝2logx2）

三．利用重要不等式求函数最值时，你是否注意到：“一正二定三相等，和定积

最大，积定和最小”这17字方针。如（1）下列命题中正确的是 A、1x 的最小值是2 2

4x4x

0)的最大值是

0)的最小值是、C、（答：C）；

（2）若，则的最小值是______、（答：）；

（3）正数x,y满足，则 的最小值为______

（答：）；

4.常用不等式有：（1

(根据目标不等式左右 的运算结构选用)；（2）a、b、，且仅当时，取等号）；（3）若

b

a

如果正数a、b满足，则ab，则

（当

（糖水的浓度问题）。如

的取值范围是_________

（答：）

五．证明不等式的方法：比较法、分析法、综合法和放缩法(比较法的步骤是：

作差（商）后通过分解因式、配方、通分等手段变形判断符号或与1的大小，然后作出结论。).常用的放缩技巧有：

n

1n

如（1）已知，求证：

(2)已知，求证：（3）已知，且(4)若，求证：

；； ；

a、b、c

是不全相等的正数，求证：

lg

lg

ca

； 2

（5）已知，求证：若

1已知，求证：（8）求证：

n；

1n

；(6)

。

六．简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：（1）分解成若干个一次

因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；（3）根据曲线显现f(x)的符号变化规律，写出不等式的解集。如

（1）解不等式

（答：

（2）

不等式

（答：的解集是____ 或）； 的解集为的解集为

或）。

（3）设函数f(x)、g(x)的定义域都是R，且，的解集为，则不等式______

（答：）；（4）要使满足关于x的不等式（解集非空）的每一个x的值

和x

中的一个，则实数a的至少满足不等式取值范围是______.（答：[7，818)）

七．分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通

分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。如

（1）解不等式

2）； 的解集为，则关于x的不等式

（答：

（2）关于x的不等式 的解集为____________）.（答：

八．绝对值不等式的解法：

1．分段讨论法（最后结果应取各段的并集）：如解不等式

|

（答：）；

（2）利用绝对值的定义；

（3）数形结合；如解不等式

（答：

（4）两边平方：如

若不等式______。

（答：{）

九．含参不等式的解法：求解的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键．”注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是„”。注意：按参数讨论，最后应按参数取值分别说明其解集；但若按未知数讨论，最后应求并集.如

（1）若loga，则a

对

恒成立，则实数a的取值范围为）的取值范围是__________

（答：或

（2）解不等式

ax）；

1a

1a

或）时，时，（答：

}；

时，{x|或

；

提醒：（1）解不等式是求不等式的解集，最后务必有集合的形式表示；（2）

不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值。如关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为

__________（答：（－1,2））

十一．含绝对值不等式的性质：

a、b同号或有号或有

； a、b异

如设，实数a满足，求证：

十二．不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题：不等式恒成立问题的常规处理方

式？（常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法）1).恒成立问题

若不等式

若不等式

在区间D上恒成立,则等价于在区间D上如（1）设实数x,y满足，当时，c的取值范围是______）（答：；（2）不等式）；

在区间D上恒成立,则等价于在区间D上

对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围_____（答：

（3）若不等式取值

对满足的所有m都成立，则x的范围_____

（答：（（4）若不等式

n

，））；

对于任意正整数n恒成立，则实数a的取

值范围是_____

（答：）；

（5）若不等式对求m的 取值范围.（答：）

2).能成立问题

若在区间D上存在实数x使不等式上

；

若在区间D上存在实数x使不等式上的如

已知不等式范围____

（答：）

3).恰成立问题

若不等式在区间D上恰成立, 解集为D； 的所有实数x都成立，成立,则等价于在区间D

成立,则等价于在区间D

“供求曲线”典型例题探究 第3篇

一、供求曲线

一种商品的供给 (需求) 是指生产者 (消费者) 在一定时期内, 在各种可能的价格水平下, 愿意而且能够出售 (购买) 的该种商品的数量。用图形表示价格与数量的关系如图1、图2所示, P (Price) 表示价格, Q (Quantity) 表示数量, S (Supply) 表示供给曲线, D (Demand) 表示需求曲线, 其中纵轴OP是自变量, 横轴OQ是因变量。

从如图1、图2中可以看出, 价格与供给数量成正比;价格与需求数量成反比。这就把教材关于供求关系影响价格的文字叙述转化为图形。

二、均衡价格

均衡价格是供给和需求在一定条件下相互作用、相互制约的结果。

把图1、图2整合后得到图3 (供求曲线) 。供给曲线S与需求曲线D的交点E (P0, Q0) 表示某种商品供求平衡 (市场均衡) , P0就是均衡价格。但市场上商品供需数量和价格并非一成不变, 所以曲线会出现左右平移现象。

1.供给影响价格

假定:人们对西瓜的需求量不变, 西瓜刚刚上市, 由于供给数量少, 价格会上涨;当西瓜大量上市时, 由于供给量增加, 价格会下跌。这就是供求关系影响价格。此时供给曲线S则会向左右平移, 如图4所示。

从图4可直观看出, 在需求量不变 (需求曲线D保持不动) 的情况下, 供给曲线S向左平移到S1, 同时交点E运动到E1, 表示西瓜供给量减少, 价格上涨;供给曲线S向右平移到S2, 此时交点E运动到E2, 则表示西瓜供给量增加, 价格下跌。

2.需求影响价格

同理, 如图5所示。比如, 西双版纳是典型的旅游城市, 宾馆房间价格受到旅游季节的影响。在这里, 房间供给量一定 (供给曲线S保持不动) 。在旅游旺季, 需求曲线D向右平移到D1, 交点E运动到E1, 表示房间需求量增加, 价格上涨;而旅游淡季, 需求曲线D向左平移到D2, 交点E运动到E2, 则表示房间需求量减少, 价格下跌。

例1【2013年新课标卷Ⅰ第12题】2012年, 某县农民种植的土豆产量增大, 但市场没有相应的扩充, 农民不得不低价销售, 收入不增反降。图6中, 能够反映这种“丰产不丰收”经济现象的是 ()

A.1B.2C.3D.4

解析:抓住关键词“丰产不丰收”, “丰产”即供给量增加;“不丰收”即价格下跌。粮食是刚性需求, 可理解为需求量不变 (需求曲线D保持不动) , 所以只能是供给曲线S向右平移到S′, 所以得出答案为B。

三、最高限价和最低限价

1.最高限价

最高限价也称为限制价格, 它是政府规定的某种产品的最高价格。最高限价总是低于市场的均衡价格。如图7所示, P1为最高限价。

最高限价的目的是抑制某些产品的价格上涨, 尤其是为了对付通货膨胀。为了限制某些行业, 特别是垄断性很强的行业, 实行最高限价, 这有利于保持市场物价的基本稳定, 保持人民生活的基本安定, 并且体现国家的价格政策。政府制定最高限价的原因一般是出于对公平的考虑。如在战争或饥荒时, 政府会为生活必需品制定最高限价, 使穷人能够负担得起, 以利于社会稳定。

P从图7可以看出, 最高限价会导致商品供不应求 (Q1<Q2) 。比如, 国家发改委对“甲巯咪唑片”实行最高限价, 但由于无利可图, 生产厂家 于2013年集体停产。这导致众多甲亢患者无药可买。就此看出, 最高限价的初衷是为了减轻人民负担, 但如果过于忽视生产者利益, 最终受害的还是人民群众。此时政府应该加大对该类企业的财政补贴, 以提高企业生产积极性, 真正做到利为民所谋。

2.最低限价

最低限价也称为支持价格, 它是政府所规定的某种产品的最低价格, 最低限价总是高于均衡价格。如图8所示, P1为最低限价。

政府实行最低限价通常是为了扶植某些行业的发展。对农产品实行最低限价是很多国家普遍采取的政策。在实施这一政策时, 市场往往会出现供大于求的状况 (Q2>Q1) , 此时政府就会收购市场上过剩的农产品, 防止出现“丰产不丰收”的现象, 从而保护农民的生产积极性。

P例2【2013年新课标卷Ⅱ第15题】支持价格是指一国为了支持农业的发展而对粮食等农产品所规定的最低收购价格。我国某农产品的需求曲线D和供给曲线S如图9所示。该产品的支持价格和供给数量分别为 ()

A.P0, Q0B.P1, Q2C.P1, Q4D.P2, Q1

解析:支持价格 (最低限价) 要高于均衡价格, 因此纵坐标为P1, 供给数量在供给曲线S上, 相对应的横坐标为Q4, 所以此题答案为C。

中考中不等式（组）典型例题解析 第4篇

例1 （2014·山东威海）已知点p（3-m，m-1）在第二象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）.

经预算，企业最多支出89万元购买设备，且要求月处理污水能力不低于1 380吨.

（1） 该企业有几种购买方案？

（2） 哪种方案更省钱，说明理由.

【分析】本题考查了用不等式组解决实际问题，解题关键是根据已知条件，寻找不等量关系，建立不等式模型来求解.

（1） 设购买污水处理设备A型号x台，则购买B型号（8-x）台，根据企业最多支出89万元购买设备，要求月处理污水能力不低于1 380吨，列出不等式组，然后找出最合适的方案即可.

（2） 计算出每一方案的花费，通过比较即可得到答案.

解：设购买污水处理设备A型号x台，则购买B型号（8-x）台，根据题意，得

12x+10（8-x）≤89，200x+160（8-x）≥1 380，

解这个不等式组，得：2.5≤x≤4.5.

∵x是整数，∴x=3或x=4.

当x=3时，8-x=5；

当x=4时，8-x=4.

∴有2种购买方案：第一种是购买3台A型污水处理设备，5台B型污水处理设备；

第二种是购买4台A型污水处理设备，4台B型污水处理设备.

（2） 当x=3时，购买资金为12×3+10×5=86（万元），

当x=4时，购买资金为12×4+10×4=88（万元）.

因为88>86，

所以为了节约资金，应购污水处理设备A型号3台，B型号5台.

答：购买3台A型污水处理设备，5台B型污水处理设备更省钱.

【点评】列不等式（组）解应用题的关键是根据题意找出不等量关系，再根据相应的关系列出不等式（组）. 要注意通常不等关系的给出总是以“至少”“少于”“不超过”“最大”等关键词作为标志. 有时解出不等式（组）后，还要根据实际情况适当取舍，选出符合要求的答案.

例6 （2014·贵州黔东南）某超市计划购进甲、乙两种玩具，已知5件甲种玩具的进价与3件乙种玩具的进价的和为231元，2件甲种玩具的进价与3件乙种玩具的进价的和为141元.

（1） 求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元？

（2） 如果购进甲种玩具有优惠，优惠方法是：购进甲种玩具超过20件，超出部分可以享受7折优惠，若购进x（x>0）件甲种玩具需要花费y元，请你求出y与x的函数关系式；

（3） 在（2）的条件下，超市决定在甲、乙两种玩具中选购其中一种，且数量超过20件，请你帮助超市判断购进哪种玩具省钱.

【分析】本题综合考查二元一次方程组、一次函数、一元一次不等式的应用.

（1） 设每件甲种玩具的进价是x元，每件乙种玩具的进价是y元，根据“5件甲种玩具的进价与3件乙种玩具的进价的和为231元，2件甲种玩具的进价与3件乙种玩具的进价的和为141元”列出方程组解决问题；

（2） 分情况讨论，针对甲种玩具数量不大于20件、大于20件，分别列出函数关系式即可；

（3） 设购进玩具x件（x>20），分别表示出购买甲种和乙种玩具的费用，建立不等式解决问题.

解：（1） 设每件甲种玩具的进价是x元，每件乙种玩具的进价是y元，由题意得

5x+3y=231，2x+3y=141，解得x=30，y=27.

（2） 当0

当x>20时，

y=20×30+（x-20）×30×0.7=21x+180.

（3） 设购进玩具x件（x>20），则乙种玩具花费27x元.

当27x=21x+180时，x=30，

即当购进玩具正好30件时，选择购其中任一种皆可；

当27x>21x+180时，x>30，

即当购进玩具超过30件时，选择购甲种玩具省钱；

当27x<21x+180时，x<30，

即当购进玩具少于30件且大于20件时，选择购乙种玩具省钱.

【点评】在综合运用方程、函数、不等式的知识来解决实际问题时，要认真审题，找出题目的数量关系，正确列式解决问题.

不等式的证明方法经典例题 第5篇

不等式的证明是高中数学的一个难点，证明方法多种多样，近几年高考出现较为形式较为活跃，证明中经常需与函数、数列的知识综合应用，灵活的掌握运用各种方法是学好这部分知识的一个前提，下面我们将证明中常见的几种方法作一列举。

a2b2ab注意ab2ab的变式应用。常用(其中a,bR)来解决有2222关根式不等式的问题。

一、比较法

比较法是证明不等式最基本的方法，有做差比较和作商比较两种基本途径。

1、已知a,b,c均为正数，求证：

111111 2a2b2cabbcca

二、综合法

综合法是依据题设条件与基本不等式的性质等，运用不等式的变换，从已知条件推出所要证明的结论。

2、a、b、c(0,)，abc1，求证：

4a2b2c24413

3、设a、b、c是互不相等的正数，求证：abcabc(abc)

4、知a,b,cR，求证:

a2b2b2c2c2a2(abc)

211(1)(1)9xy5、x、y(0,)且xy1，证：。

6、已知a,bR,ab1求证：11111.ab9

三、分析法

分析法的思路是“执果索因”：从求证的不等式出发，探索使结论成立的充分条件，直至已成立的不等式。

7、已知a、b、c为正数，求证：

2(ababc3ab)3(abc)23

8、a、b、c(0,)且abc1，求证abc3。

四、换元法

换元法实质上就是变量代换法，即对所证不等式的题设和结论中的字母作适当的变换，以达到化难为易的目的。

9、b1，求证：ab(1a2)(1b2)1。

22xy1，求证：2xy210、114.abbcac1222212、已知1≤x＋y≤2，求证：≤x－xy＋y≤3．

211、已知a>b>c,求证：

13、已知x－2xy＋y≤2，求证：| x＋y |≤10．

14、解不等式5x221x1＞

2215、－1≤1x－x≤2．

五、增量代换法

在对称式(任意互换两个字母，代数式不变)和给定字母顺序(如a＞b＞c)的不等式，常用增量进行代换，代换的目的是减少变量的个数，使要证的结论更清晰，思路更直观，这样可以使问题化难为易，化繁为简．

16、已知a，bR，且a＋b = 1，求证：(a＋2)＋(b＋2)≥

六、利用“1”的代换型

2225． 2111已知a,b,cR,且 abc1,求证： 9.abc17、七、反证法

反证法的思路是“假设矛盾肯定”，采用反证法时，应从与结论相反的假设出发，推出矛盾的过程中，每一步推理必须是正确的。

18、若p＞0，q＞0，p＋q= 2，求证：p＋q≤2．证明：反证法 33119、已知a、b、c（0，1），求证：(1a)b，(1b)c，(1c)a，不能均大于4。

20、已知a,b,c∈（0，1），求证：（1－a）b,（1－b）c,（1－c）a 不能同时大于

1。

421、a、b、cR，abc0，abbcca0，abc0，求证：a、b、c均为正数。

八、放缩法

放缩时常用的方法有：1去或加上一些项2分子或分母放大（或缩小）3用函数单调性放缩4用已知不等式放缩

22、已知a、b、c、d都是正数，求证：1＜＜2．

bdac＋＋＋

abcbcdcdadab23、nN，求证：*2(n11)112131n2n1。

24、A、B、C为ABC的内角，x、y、z为任意实数，求证：x2y2z22yzcosA2xzcosB2xycosC。

证

九、构造函数法

构造函数法证明不等式24 设0≤a、b、c≤2，求证：4a＋b＋c＋abc≥2ab＋2bc＋2ca．

25、设a、b∈R，且a＋b =1，求证：(a＋2)＋(b＋2)≥222225． 226、设a＞0，b＞0，a＋b = 1，求证：2a1＋2b1≤22． 1．实数绝对值的定义:

|a|=

这是去掉绝对值符号的依据，是解含绝对值符号的不等式的基础。

2．最简单的含绝对值符号的不等式的解。

若a>0时，则

|x|

|x|>a x<-a或x>a。

注:这里利用实数绝对值的几何意义是很容易理解上式的，即|x|可看作是数轴上的动点P(x)到原点的距离。

3．常用的同解变形

|f(x)|

|f(x)|>g(x)f(x)<-g(x)或f(x)>g(x)；

|f(x)|<|g(x)| f2(x)

4．三角形不等式:

不等式典型例题 第6篇

类型一：比较法证明不等式

1、用作差比较法证明下列不等式：

；

(a，b均为正数，且a≠b)

（1）

（2）

思路点拨：（1）中不等号两边是关于a,b,c的多项式，作差后因式分解的前途不大光明，但注意到如a2, b2, ab这样的结构，考虑配方来说明符号；（2）中作差后重新分组进行因式分解。

证明：

（1）

当且仅当a=b=c时等号成立，（2）

（当且仅当a=b=c取等号）.∵a>0, b>0, a≠b，∴a+b>0,(a-b)2>0，∴

∴

.，总结升华：作差，变形（分解因式、配方等），判断差的符号，这是作差比较法证明不等式的常用方法。

举一反三：

【变式1】证明下列不等式：

(1)a2+b2+2≥2(a+b)

(2)a2+b2+c2+3≥2(a+b+c)

(3)a2+b2≥ab+a+b-1

【答案】

（1）（a2+b2+2）-2(a+b)=(a2-2a+1)+(b2-2b+1)=(a-1)2+(b-1)2≥0

∴a2+b2+2≥2(a+b)（2）证法同（1）

（3）2（a2+b2）-2（ab+a+b-1)=(a2-2ab+b2)+(a2-2a+1)+(b2-2b+1)=(a-b)2+(a-1)2+(b-1)2≥0

∴2（a2+b2）≥2（ab+a+b-1)，即a2+b2≥ab+a+b-1

【变式2】已知a，b∈，x，y∈，且a+b=1，求证：ax2+by2≥(ax+by)2

【答案】

ax2+by2-(ax+by)2

=ax2+by2-a2x2-b2y2-2abxy =a(1-a)x2+b(1-b)y2-2abxy=abx2+aby2-2abxy =ab(x-y)2≥0 ∴ax2+by2≥(ax+by)2

2、用作商比较法证明下列不等式：

(a，b均为正实数，且a≠b)，且a，b，c互不相等）

（1）

（2）（a，b，c∈

证明：

（1）∵a3+b3>0, a2b+ab2>0.∴，∵a, b为不等正数，∴

∴，∴

（2）证明：

不妨设a>b>c，则

∴

所以，总结升华：当不等号两边均是正数乘积或指数式时，常用这种方法，目的是约分化简.作商比较法的基本步骤:判定式子的符号并作商变形 判定商式大于1或等于1或小于1 结论。

举一反三：

【变式1】已知a>2，b>2，求证：a+b2，b>2

∴

∴

∴

【变式2】已知a，b均为正实数，求证：aabb≥abba

【答案】

∵a>0, b>0, ∴ aabb与abba均为正，∴，分类讨论可知（分a>b>0, a=b>0, 0

，当且仅当a=b等号成立，∴ aabb≥abba.类型二：综合法证明不等式

3、a, b, c是不全相等的正数，求证：a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc 证明：

法一：由b2+c2≥2bc, a>0,得a(b2+c2)≥2abc，同理b(c2+a2)≥2abc，c(a2+b2)≥2abc

∵a,b,c不全相等，∴上述三个等号不同时成立，三式相加有：a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc.法二：∵a，b，c是不全相等的正数，∴a(b2+c2), b(c2+a2), c(a2+b2)均为正数，由三个数的平均不等式得：

a(b2+c2)+b(c2+a2)+ c(a2+b2)

∴不等式成立.总结升华：综合法是由因导果，从已知出发，根据已有的定义、定理，逐步推出欲证的不等式成立。

举一反三：

【变式1】a , b, m∈R+，且a

【答案】

∵00, ∴am0, ∴.【变式2】求证lg9·lg11<1.【答案】

∵lg9>0, lg11>0，∴

∴ , ∴lg9·lg11<1.，4、若a>b>0，求证：.思路点拨：不等号左边是一个各项皆正的“和的形式”，但左侧是两项而右侧都出现了特征数“3”.因此启发我们将左侧拆成3项的和利用平均值定理.证明：，∵ a>b>0, ∴a-b>0, b>0, ，∴ ，∴

举一反三：

（当且仅当，即a=2，b=1的等号成立）

【变式】x, y,z∈R+, 求证：

证明：∵ x, y,z∈R+,∴ ，同理，∴ ，∴，a2-2ac+c2

5、已知a,b>0，且2c>a+b，求证：

证明：要证

只需证：

即证：

∵a>0，只需证a+b<2c

∵已知上式成立，∴原不等式成立。

总结升华：

1．分析法是从求证的不等式出发，分析使之成立的条件，把证不等式转化为判断这些条件是否具备的

问题，若能肯定这些条件都成立，就可断定原不等式成立。

2．分析法在不等式证明中占有重要地位，是解决数学问题的一种重要思想方法。

3．基本思路：执果索因

4.格式：要证„„，只需证„„，只需证„„，因为„„成立，所以原不等式得证。

举一反三：

【变式1】求证：a3+b3>a2b+ab2(a，b均为正数，且a≠b)

【答案】

要证a3+b3>a2b+ab2，即证(a+b)(a2+b2-ab)≥ab(a+b)

∵a，b∈

，∴a+b>0 只需证a2+b2-ab≥ab，只需证a2+b2≥2ab 只需证(a-b)2≥0，∵(a-b)2≥0显然成立 所以原不等式成立。

【变式2】a , b, m∈R+，且a

【答案】

∵ b>0且b+m>0，.∴，∴

成立

∴.【变式3】求证：

【答案】

要证

只需证，而，只需证，只需证，显然成立，所以原不等式得证。

【变式4】若a>1，b>1，c>1，ab=10求证：logac+logbc≥4lgc

【答案】

要证logac+logbc≥4lgc，只需证

只需证，只需证

∵，∴成立

所以原不等式成立

【变式5】设x>0，y>0，x≠y，求证：

证明：要证

只需证，只需证

只需证

因x>0，y>0，x≠y，所以x2y2[3(x-y)2+4xy]>0成立

所以

类型四：反证法证明不等式

6、已知a,b,c∈(0,1)，求证：(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a，至少有一个不大于。

思路点拨：此题目若直接证，从何处入手？对于这样正面情况较为复杂的问题，可以考虑使用反证法。

证明：假设原结论不成立，即，则三式相乘有：„„①

又∵0

总结升华：反证法的基本思路是：“假设——矛盾——肯定”，采用反证法证明不等式时，从与结论相反的假设出发，推出矛盾的过程中，每一步推理都必须是正确的。由于本题题目的结论是：三个数中“至少有一个不大于

”，情况比较复杂，会出现多个由异向不等式组

”，结构简单明了，成的不等式组，一一证明十分繁杂，而对结论的否定是三个数“都大于为推出矛盾提供了方便，故采用反证法是适宜的。

举一反三：

【变式】已知a+b+c>0，ab+bc+ca>0，abc>0，求证：a,b,c>0

【答案】

假设a≤0

若a<0，∵abc>0，∴bc<0

又由a+b+c>0，则b+c>-a>0

∴ab+bc+ca=a(b+c)+bc<0，与题设矛盾

若a=0，则与abc>0矛盾，∴必有a>0

同理可证：b>0，c>0

类型五：放缩法证明不等式

7、若a,b,c,dR+，求证：

思路点拨：记中间4个分式之和的值为m，显然，通过通分求出m的值再与1、2比大小是困难的，可考虑运用放缩法把异分母化成同分母。

证明：记

∵a,b,c,dR+，∴

∴1

总结升华：证后半部分，还可用“糖水公式”，即

常用的放缩技巧主要有：

① f(x)为增函数，则f(x-1)

进行放缩。

② 分式放缩如

③ 根式放缩如

举一反三：

；

【变式1】求证：

【答案】

∴

【变式2】 当n>2时，求证：logn(n-1)logn(n+1)<1

【答案】

∵n>2，∴logn(n-1)>0，logn(n+1)>0

∴

∴n>2时，logn(n-1)logn(n+1)<1

类型六：其他证明不等式的方法

1.构造函数法

8、已知a>2，b>2，求证：a+b

当a>2时，f(a)

∴a+b

总结升华：不等式证明方法很灵活。分析不等式的结构特点，构造函数，借助函数单调性，使问题变得非常简单。

举一反三：

【变式】已知a≥3，求证：

【答案】。

令（x≥0).∵f(x)在x∈[0,+∞)上是递减函数，∴f(a-1)

2、三角换元法：

9、求证： [0,π]，证明：∵-1≤x≤1，∴令x=cos, 则

∵-1≤sin≤1，10、若x2+y2≤1，求证：

证明：设

则

11、若x>1，y>1，求证：

证明：设

则

12、已知：a>1,b>0，a-b=1，求证：

证明：∵a>1,b>0,a-b=1，∴不妨设

则

总结升华：

①若0≤x≤1，则可令

②若x2+y2=1，则可令x=cos，y=sin(0≤θ<2π)

③若x2-y2=1，则可令x=sec,y=tan(0≤θ<2π)

④若x≥1，则可令，若xR，则可令

举一反三：

【变式1】已知x2=a2+b2，y2=c2+d2，且所有字母均为正，求证：xy≥ac+bd

【答案】

∵x2=a2+b2，∴不妨设

∵y2=c2+d2，∴不妨设

∴

∴xy≥ac+bd

【变式2】已知x>0，y>0，2x+y=1，求证：

【答案】

由x>0,y>0，2x+y=1，可设

则

类型六：一题多证

13、若a>0，b>0，求证：

思路点拨：由于a>0，b>0，所以求证的不等式两边的值都大于零，本题用作差法，作商法和综合法，分析法给出证明。

证明：

证法一：作差法

∵a,b>0，∴a+b>0,ab>0

∴

证法二：作商法，得证。

∵a>0,b>0,∴a+b>0，∴得证。

证法三：分析法

要证，只需证a3+b3≥(a+b)ab

只需证(a+b)(a2-ab+b2)≥(a+b)ab(∵a+b>0)

只需证a2-ab+b2≥ab

只需证(a-b)2≥0

∵(a-b)2≥0成立，∴得证 证法四：综合法

∵a>0,b>0，∴同向不等式相加得：

举一反三：

【变式】已知

【答案】

证法一：

都是实数，且求证：，同理

证法二： 即

.证法三：

要证

所以原不等式成立.证法四：

原不等式等价于不等式

用比较法证明

且

，只需证

只需证

又

所以

证法五：

设

则

即

故可考虑用三角换元法.证法六：

用向量的数量积来证明

不等式典型例题 第7篇

(1)比较法证不等式有作差(商)、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、配方，判断过程必须详细叙述如果作差以后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则考虑用判别式法证

(2)综合法是由因导果，而分析法是执果索因换元法、放缩法、反证法、函数单调性法、判别式法、数形结合法换元法主要放缩性是不等式证明中最重要的变形方法之一.有些不等式，从正面证如果不易说清楚，可以考虑反证法 凡是含有“至少”“惟一”或含有其他否定词的命题，适宜用反证法 典型题例

例1证明不等式1

121

31

n2n(n∈N*)知识依托 本题是一个与自然数n有关的命题，首先想到应用数学归纳法，另外还涉及不等式证明中的放缩法、构造法等 例2求使xy≤axy(x＞0，y＞0)恒成立的a 知识依托 该题实质是给定条件求最值的题目，所求a的最值蕴含于恒成立的不等式中，因此需利用不等式的有关性质把a呈现出来，等价转化的思想是解决题目的突破口，然后再利用函数思想和重要不等式等求得最值例3已知a＞0，b＞0，且a+b=1求证(a+11)(b+)ba证法一(分析综合法）证法二(均值代换法)证法三(比较法）证法四(综合法)证法五(三角代换法）巩固练习已知x、y是正变数,a、b是正常数,且ab=1，x+y的最小值为xy设正数a、b、c、d满足a+d=b+c，且|a－d|＜|b－c|，则ad与bc的大小关系是 若m＜n，p＜q，且(p－m)(p－n)＜0，(q－m)(q－n)＜0，则m、n、p、q的大小顺序是__________ 已知a，b，c为正实数，a+b+c=1求证1(2)a23b2c2≤6

312已知x，y，z∈R，且x+y+z=1，x2+y2+z2= x，y，z∈［0，］ 23(1)a2+b2+c2≥证明下列不等式bc2ca2ab2z≥2(xy+yz+zx)xyabc

yzzxxy111(2)若x，y，z∈R+，且x+y+z=xyz，则≥2()xyzxyz(1)若x，y，z∈R，a，b，c∈R+，则

已知i，m、n是正整数，且1＜i≤m＜n(1)证明 niAi

m＜miAi

n(2)(1+m)n＞(1+n)m

若a＞0，b＞0，a3+b3=2，求证 a+b≤2，ab≤1不等式知识的综合应用

典型题例

例1用一块钢锭烧铸一个厚度均匀，且表面积为2平方米的正四棱锥形有盖容器(如右图)设容器高为h米，盖子边长为a米，(1)求a关于h的解析式；(2)设容器的容积为V立方米，则当h为何值时，V最大？求出V的最大值(求解本题时，不计容器厚度)

知识依托本题求得体积V的关系式后，应用均值定理可求得最值

例2已知a，b，c是实数，函数f(x)=ax2+bx+c，g(x)=ax+b，当－1≤x≤1时|f(x)|≤

1(1)|c|≤1；

(2)当－1 ≤x≤1时，|g(x)|≤2；

(3)设a＞0，有－1≤x≤1时，g(x)的最大值为2，求f(x)

知识依托 二次函数的有关性质、函数的单调性，绝对值不等式

例3设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a＞0)，方程f(x)－x=0的两个根x1、x2满足0＜x1＜x2(1)当x∈［0，x1)时，证明x＜f(x)＜x1；

(2)设函数f(x)的图象关于直线x=x0对称，证明 x0＜

x

1巩固练习

定义在R上的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)在区间［0，+∞)的图象与f(x)的图象重合，设a＞b＞0，给出下列不等

式，其中正确不等式的序号是()

①f(b)－f(－a)＞g(a)－g(－b)②f(b)－f(－a)＜g(a)－g(－b)③f(a)－f(－b)＞g(b)－g(－a)④f(a)－f(－b)＜g(b)－g(－a)①③

B②④

C①④

②③

下列四个命题中①a+b≥

2ab②sin2x+

4≥4③设x，y都是正数，若则x+y的最小值是12④=1，2

xysinx

若|x－2|＜ε，|y－2|＜ε，则|x－y|＜2ε，其中所有真命题的序号是__________

已知二次函数 f(x)=ax2+bx+1(a，b∈R，a＞0)，设方程f(x)=x的两实数根为x1，x2

(1)如果x1＜2＜x2＜4，设函数f(x)的对称轴为x=x0，求证x0＞－1；(2)如果|x1|＜2，|x2－x1|=2，求b的取值范围

设函数f(x)定义在R上，对任意m、n恒有f(m+n)=f(m)·f(n)，且当x＞0时，0＜f(x)＜

1(1)f(0)=1，且当x＜0时，f(x)＞1；

(2)f(x)在R上单调递减；

(3)设集合A={(x，y)|f(x2)·f(y2)＞f(1)}，集合B={(x，y)|f(ax－g+2)=1，a∈R}，若A∩B=，求a的取值范围

2x2bxc

已知函数f(x)=(b＜0)的值域是［1，3］，2x1

(1)求b、c的值；

(2)判断函数F(x)=lgf(x)，当x∈［－1，1］时的单调性，并证明你的结论；(3)若t∈R，求证 lg

711≤F(|t－|－|t+|)≤566数列与不等式的交汇题型分析及解题策略

【命题趋向】

数列与不等式交汇主要以压轴题的形式出现，试题还可能涉及到与导数、函数等知识综合一起考查.主要考查知识数列的通项公式、前n项和公式以及二者之间的关系、等差数列和等比数列、归纳与猜想、数归纳法、比较大小、不等式证明、参数取值范围的探求，在不等式的证明中要注意放缩法的应用.【典例分析】

题型一 求有数列参与的不等式恒成立条件下参数问题

求得数列与不等式结合恒成立条件下的参数问题主要两种策略：(1)若函数f(x)在定义域为D，则当x∈D时，有f(x)≥M恒成立f(x)min≥M；f(x)≤M恒成立f(x)max≤M；(2)利用等差数列与等比数列等数列知识化简不等式，再通过解不等式解得.11

1【例1】等比数列{an}的公比q＞1，第17项的平方等于第24项，求使a1＋a2＋…＋an＞…恒成立的正整数n的取

a1a2an值范围.【例2】（08·全国Ⅱ）设数列{an}的前n项和为Sn．已知a1＝a，an+1＝Sn＋3n，n∈N*．

(Ⅰ)设bn＝Sn－3n，求数列{bn}的通项公式；（Ⅱ）若an+1≥an，n∈N*，求a的取值范围．【点评】 一般地，如果求条件与前n

项和相关的数列的通项公式，则可考虑Sn与an的关系求解

题型二 数列参与的不等式的证明问题

此类不等式的证明常用的方法：(1)比较法，特别是差值比较法是最根本的方法；(2)分析法与综合法，一般是利用分析法分析，再利用综合法分析；(3)放缩法，主要是通过分母分子的扩大或缩小、项数的增加与减少等手段达到证明的目的.【例3】 已知数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，a3＝7，S4＝24．(Ⅰ)求数列{an}的通项公式；(Ⅱ)设p、q都是正整

1数，且p≠q，证明：Sp+q＜(S2p＋S2q)．【点评】 利用差值比较法比较大小的关键是对作差后的式子进行变形，途径主要有：（1）

2因式分解；（2）化平方和的形式；（3）如果涉及分式，则利用通分；（4）如果涉及根式，则利用分子或分母有理化.【例4】(08·安徽高考)设数列{an}满足a1＝0，an+1＝can3＋1－c，c∈N*，其中c为实数.(Ⅰ)证明：an∈[0，1]对任意n∈N*11成立的充分必要条件是c∈[0，1]；(Ⅱ)设0＜c＜，证明：an≥1－(3c)n1，n∈N*；（Ⅲ）设0＜c＜，证明：a12＋a22＋…＋an

2332

＞n＋1－n∈N*.1－3c

题型三 求数列中的最大值问题

求解数列中的某些最值问题，有时须结合不等式来解决，其具体解法有：(1)建立目标函数，通过不等式确定变量范围，进而求得最值；(2)首先利用不等式判断数列的单调性，然后确定最值；(3)利用条件中的不等式关系确定最值.【例5】(08·四川)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4≥10，S5≤15，则a4的最大值为______.【例6】 等比数列{an}的首项为a1＝2002，公比q＝－．(Ⅰ)设f(n)表示该数列的前n项的积，求f(n)的表达式；(Ⅱ)当n

取何值时，f(n)有最大值．

题型四 求解探索性问题

数列与不等式中的探索性问题主要表现为存在型，解答的一般策略：先假设所探求对象存在或结论成立，以此假设为前提条件进行运算或逻辑推理，若由此推出矛盾，则假设不成立，从而得到“否定”的结论，即不存在.若推理不出现矛盾，能求得在范围内的数值或图形，就得到肯定的结论，即得到存在的结果.【例7】 已知{an}的前n项和为Sn，且an＋Sn＝4.(Ⅰ)求证：数列{an}是等比数列；(Ⅱ)是否存在正整数k，使

【点评】在导出矛盾时须注意条件“k∈N*”，这是在解答数列问题中易忽视的一个陷阱.【例8】(08·湖北)已知数列{an}和{bn}满足：a1＝λ，an+1＝n＋n－4，bn＝(－1)n(an－3n＋21)，其中λ为实数，n为正整

3数.（Ⅰ）对任意实数λ，证明数列{an}不是等比数列；（Ⅱ）试判断数列{bn}是否为等比数列，并证明你的结论；（Ⅲ）设0＜a＜b,Sn为数列{bn}的前n项和.是否存在实数λ，使得对任意正整数n，都有a＜Sn＜b?若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由.数列与不等式命题新亮点

例1 把数列一次按第一个括号一个数,按第二个括号两个数,按第三个括号三个数,按第四个括号一个数„,循环分为(1),(3,5),(7,9,11),(13),(15,17),(19,21,23),(23)„,则第50个括号内各数之和为_____.点评:恰当的分组,找到各数之间的内在联系是解决之道.此外,这种题对观察能力有较高的要求.例2 设A.bn

Sk+1－2

＞2成立.Sk－2

an是由正数构成的等比数列, bnan1an2,cnanan3,则()

S

cnB.bncnC.bncnD.bncn

点评:此题较易入手,利用作差法即可比较大小,考察数列的递推关系.例3 若对x(,1],不等式(m

m)2x()x1恒成立,则实数m的取值范围()

A

B

D

A.(2,3)B.(3,3)C.(2,2)D.(3,4)

例4四棱锥S-ABCD的所有棱长均为1米,一只小虫从S点出发沿四棱锥的棱爬行,若在每一顶点处选择不同的棱都是等可能的.设小虫爬行n米后恰好回到S点的概率为Pn(1)求P2、P3的值;(2)求证: 3Pn1Pn

例5 已知函数

1(n2,nN)(3)求证: P2P3„Pn>6n5(n2,nN)

4fxx2x.(1)数列

an满足: a10,an1fan,若

1对任意的nN恒成立,试求a1的取值范围;2i11ai,Sk为数列cn的前k项和, Tk为数列cn的1bn

n

(2)数列

bn满足: b11,bn1fbnnN,记cn

Tk7

.10k1SkTk

n

前k项积,求证

例6(1)证明: ln

1xx(x0)(2)数列an中.a11,且an1

11

an2;n1

2n1n

2①证明: an【专题训练】



7n2②ane2n1 4

aaD．a6a8（）D．bn≤cn

（）

1．已知无穷数列{an}是各项均为正数的等差数列，则有

aaA．＜

a6a8

aaB．

a6a8

aaC．＞a6a8

2．设{an}是由正数构成的等比数列，bn＝an+1＋an+2，cn＝an＋an+3，则

A．bn＞cn

B．bn＜cn

C．bn≥cn

3．已知{an}为等差数列，{bn}为正项等比数列，公比q≠1，若a1＝b1，a11＝b11，则（）

A．a6＝b6 A．9 A．S4a5＜S5a4

B．a6＞b6 B．8 B．S4a5＞S5a4

C．a6＜b6 C．7 C．S4a5＝S5a4 S

(n＋32)Sn+1

1C．

D．a6＞b6或a6＜b6（）D．6 D．不确定（）

150

4．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－9n，第k项满足５＜ak＜８，则k＝

5．已知等比数列{an}的公比q＞0，其前n项的和为Sn，则S4a5与S5a4的大小关系是（）

6．设Sn＝1＋2＋3＋…＋n，n∈N*，则函数f(n)＝

A．

120

B．

130

D．

7．已知y是x的函数，且lg3，lg(sinx－)，lg(1－y)顺次成等差数列，则

A．y有最大值1，无最小值B．y有最小值

（）

1111

C．y有最小值，最大值1D．y有最小值－1，最大值11212

（）

Ｄ．(－∞，－1∪3，＋∞)

8．已知等比数列{an}中a2＝1，则其前3项的和S3的取值范围是

Ａ．(－∞，－1

Ｂ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)Ｃ．3，＋∞)

9．设3b是1－a和1＋a的等比中项，则a＋3b的最大值为()

A．1（）

A．充分不必要条件 11．{an}为等差数列，若

A．11

B．必要不充分条件C．充分比要条件

D．既不充分又不必要条件

（）

B．2

C．

3D．4

10．设等比数列{an}的首相为a1，公比为q，则“a1＜0，且0＜q＜1”是“对于任意n∈N*都有an+1＞an”的a1，且它的前n项和Sn有最小值，那么当Sn取得最小正值时，n＝ a10

B．17

C．19

D．21

12．设f(x)是定义在R上恒不为零的函数，对任意实数x、y∈R，都有f(x)f(y)＝f(x＋y)，若a1＝an＝f(n)(n∈N*)，则数列{an}的前n项和Sn的取值范围是

1A．，2)

B．[，2]

（）1

C．1)

D．[1]

S13．等差数列{an}的前n项和为Sn，且a4－a2＝8，a3＋a5＝26，记Tn＝，如果存在正整数M，使得对一切正整数n，Tn≤M都

n

成立．则M的最小值是__________．

14．无穷等比数列{an}中，a1＞1，|q|＜1，且除a1外其余各项之和不大于a1的一半，则q的取值范围是________.(a＋b)

215．已知x＞0，y＞0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则的最小值是________.cd

Ａ．0

Ｂ．1

Ｃ．2

Ｄ．

416．等差数列{an}的公差d不为零，Sn是其前n项和，给出下列四个命题：①A．若d＜0，且S3＝S8，则{Sn}中，S5和S6都是

{Sn}中的最大项；②给定n，对于一定k∈N*(k＜n)，都有ank＋an+k＝2an；③若d＞0，则{Sn}中一定有最小的项；④存在k∈N*，使ak－ak+1和ak－ak1同号 其中真命题的序号是____________.17．已知{an}是一个等差数列，且a2＝1，a5＝－5．（Ⅰ）求{an}的通项an；（Ⅱ）求{an}前n项和Sn的最大值．

18．已知{an}是正数组成的数列，a1＝1，且点(an，an+1)(n∈N*）在函数y＝x2＋1的图象上.(Ⅰ)求数列｛an｝的通项公式；(Ⅱ)

若列数｛b｝满足b＝1,b＝b＋2an，求证：b ·b＜b2.n

n+1

n

n

n+2

n+1

19．设数列{an}的首项a1∈(0，1)，an＝

3－an1

n＝2，3，4，….2

（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn＝a3－2an，证明bn＜bn+1，其中n为正整数． 20．已知数列{an}中a1＝2，an+1＝(2－1)(an＋2)，n＝1，2，3，….（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）若数列{an}中b1＝2，bn+1＝

3bn＋4

n＝1，2，3，….2＜bn≤a4n3，n＝1，2，3，… 2bn＋

321．已知二次函数y＝f(x)的图像经过坐标原点，其导函数为f(x)＝6x－2，数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Sn)(n∈N*)均在函

数y＝f(x)的图像上.（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

1m

（Ⅱ）设bn＝，Tn是数列{bn}的前n项和，求使得Tn＜对所有n∈N*都成立的最小正整数m

20anan＋1

22．数列，是常数．（Ⅰ）当a21时，求及a3的值；（Ⅱ）2，）an满足a11，an1(n2n)an（n1，数列an是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式；若不可能，说明理由；（Ⅲ）求的取值范围，使得存在正整数m，当nm时总有an

一、利用导数证明不等式

（一）、利用导数得出函数单调性来证明不等式

0．

利用导数处理与不等式有关的问题

某个区间上导数大于（或小于）0时，则该单调递增（或递减）。因而在证明不等式时，根据不等式的特点，有时可以构造函数，用导数证明该函数的单调性,然后再用函数单调性达到证明不等式的目的。

1、直接构造函数，然后用导数证明该函数的增减性；再利用函数在它的同一单调递增（减）区间，自变量越大，函数值越大

（小），来证明不等式成立。

x2例1：x>0时,求证；x－ln(1+x)＜02、把不等式变形后再构造函数,然后利用导数证明该函数的单调性，达到证明不等式的目的。例2：已知：a,b∈R,b>a>e, 求证:ab>b a,(e为自然对数的底)

（二）、利用导数求出函数的最值（或值域）后，再证明不等式。

导数的另一个作用是求函数的最值.因而在证明不等式时，根据不等式的特点，有时可以构造函数，用导数求出该函数的最值；由当该函数取最大（或最小）值时不等式都成立，可得该不等式恒成立。从而把证明不等式问题转化为函数求最值问题。例

3、求证：n∈N*,n≥3时，2n >2n+1 例

4、g

x2(b1)2的定义域是A=[a,b)，其中a,b∈R+,a

(x)(1)Aax

若x1∈Ik=[k2,(k+1)2), x2∈Ik+1=[(k+1)2,(k+2)2)

3、利用导数求出函数的值域，再证明不等式。例5：f(x)=

3x－x, x1,x2∈[－1,1]时，求证：|f(x1)－f(x2)|≤

二、利用导数解决不等式恒成立问题

不等式恒成立问题，一般都会涉及到求参数范围，往往把变量分离后可以转化为m>f(x)(或m

a

(9(aR),对f(x)定义域内任意的x的值，f(x)≥27恒成立，求a的取值范围

x

nn

1例

7、已知a＞0，n为正整数，（Ⅰ）设y=(xa)，证明yn(xa)；

n

（Ⅱ）设fn(x)=xn－(xa)，对任意n≥a，证明f ’n+1(n+1)＞（n+1）f ’n（n）。

例

6、已知函数f(x)

三、利用导数解不等式 例8：函数

遗传和变异典型例题解析 第8篇

一、易混淆知识举例

1.把一些易混淆的知识专门列出来加以辨析。如在遗传学上正反交的结果因遗传方式的不同而有差异，因此常用来分析遗传类型。

如果正交和反交实验结果性状一致且无性别上的不同，则该生物性状属于细胞核中的常染色体遗传;如果正交和反交实验结果不一致且有性别上的差异，则该生物性状属于细胞核中的性染色体遗传;如果正交和反交实验结果不一致且具有母系遗传的特点，则该生物性状属于细胞质遗传。总之，正反交结果不同有三种情况：一是母系遗传，二是种皮、果皮的遗传，三是伴性遗传，要注意判断。

(1)细胞核遗传(等位基因完全显性)。

正交、反交时，F1总表现出显性性状，与母本性状不一定相同。

(2)母系遗传。

正交、反交时，F1总表现出母本性状，正反交中母本性状不同，因而后代的性状不同。

(3)植物果皮、种皮颜色等性状遗传。

种皮的遗传是由细胞核基因控制的，与母本相同的性状表现出的是亲代本身，后代仍有一定的分离比例，只是子代的性状分离比例延迟表现而已，另外，正交反交结果中胚乳的基因型也不相同。而细胞质遗传是由细胞质基因控制，与母本性同的性状表现出的是子代，且子代性状无一定的分离比例。

2.基因的自由组合定律的变式考查(如F2性状分裂比为9∶7，或9∶3∶4，或12∶3∶1等)和遗传特例(显性或隐性致死基因的遗传、蜜蜂的遗传等)的考查。

二、例题

例1：玉米是一种雌雄同株的植物，其顶部开雄花，下部开雌花，玉米黄粒和白粒是一对相对性状(由基因Y和y控制)，将纯种黄粒和白粒玉米间行种植(如图)，收获时所得玉米粒如下表：

(1)在玉米中，黄粒对白粒是__性，在黄粒玉米果穗上，黄粒玉米中胚是__;白粒玉米果穗上黄粒胚的基因型是__。

(2)某同学为了获得杂种F1来验证孟德尔基因分离规律，为准确起见，他应选用上述玉米果穗上结的__玉米粒来进行播种。杂交试验中，对母本的处理是__。

(3)图中__(填标号)类型的授粉方式的长期进行对植株有利，其原因是__。

(4)黄粒玉米果穗上种皮的基因型是__。玉米种皮遗传与细胞质遗传均表现出与母本性状相同，请列举至少两点不同之处。

(5)玉米作为遗传实验材料有哪些优点?(至少答两点)

(6)若用纯种有色饱满籽粒的玉米与无色皱缩籽粒的玉米杂交(实验条件满足实验要求)，F1全部表现为有色饱满。F1自交后，F2代的性状表现及比例为：有色饱满73%，有色皱缩2%，无色饱满2%，无色皱缩23%。请回答：

(1) 上述每一对性状的遗传是否符合基因的分离定律?为什么?%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%。

(2) 请设计实验方案，验证这两对性状的遗传是否符合基因的自由组合定律?

方法步骤：

Ⅰ______

Ⅱ_____

Ⅲ____

结果预测及结论:____

解析：解答这道题要求对基因的分离定律的内涵充分理解，及实验方法、过程和明确区分清有关概念。

答案：(1)显，YY或Yy, Yy。(2)白粒、黄粒、传粉，套袋。(3)Ⅲ和Ⅳ，异花授粉，后代具有更大的变异性和生活力。(4) YY， (1) 种皮的遗传是由核基因控制的; (2) 种皮的性状与母本相同，表现出的是亲代本身; (3) 种皮后代性状出现一定的分离比例。

(5)雌雄同株单性花，避免人工去雄等繁杂的操作;后代数量较多，便于统计学处理;玉米生长期较短，繁殖速度较快;具有稳定的易区分的相对性状。

(6) (1) 符合因为玉米粒色和粒形F2的分离比均为3∶1;

(2) 方法步骤：

方案1：Ⅰ取两纯种亲本玉米进行杂交，获得F1。

Ⅱ取F1植株的花粉进行植物组织培养，获得单倍体植株幼苗;再用秋水仙素处理。

Ⅲ收获种子并统计不同表现型的数量比例。

方案2：Ⅰ取两纯种亲本玉米进行杂交，获得F1。

Ⅱ取F1植株与无色皱缩玉米进行杂交。

Ⅲ收获杂交后代种子并统计不同表现型的数量比例。

结果预测及结论：若表现型四种且比例为1∶1∶1∶1，则符合自由组合定律。否则，不符合。

例2：果蝇是研究遗传学的好材料。据图及所学知识回答下列问题：

(1)此图是__性果蝇体细胞染色体组成示意图，其中含有___个染色体组，每个染色体组由___组成(用图中的标号回答)。欲研究果蝇的单倍体基因组，最少应检测的染色体数为___条。若只研究基因A与a的遗传方式，应该符合基因的___定律。

(2)现有三管果蝇，每管中均有红眼和白眼(相关基因为B、b)，且雌雄各一半。管内雌雄果蝇交配后的子代情况如下。A管：雌雄果蝇为红眼;B管：雌果蝇为红眼，雄果蝇均为白眼;C管：雌雄果蝇均为一半红眼，一半白眼。请你根据上述结果判断：

(1) 控制红眼和白眼的基因位于__染色体上，三个试管中的亲代白眼果蝇的性别依次是___，C管中果蝇的基因型为___。

(2) 摩尔根等人用纯种灰身残翅果蝇与纯种黑身长翅果蝇交配，所获子代(F1)全部为灰身长翅，由此可推出，果蝇的___为显性性状;已知控制灰身与黑身、长翅与残翅的基因位于常染色体上，你如何确定灰身与黑身、长翅与残翅的遗传是否符合基因的自由组合定律?

解析：解答这道题要求对基因的自由组合定律的内涵充分理解，以及实验方法、过程和明确区分清有关概念。判断是否符合基因的分离定律常用方法就是测交和杂交。

答案：(1)雄，2, X、II、III、IV(或Y、II、III、IV), 5，分离。

(2) (1) X，雄、雌、雄，XBXb和XbY。

(2) 灰身、长翅，用F1的果蝇与黑身残翅果蝇进行测交，统计测交后代的表现型比例，若为灰身长翅∶黑身残翅∶灰身残翅∶黑身长翅=1∶1∶1∶1，则说明灰身与黑身，长翅与残翅的遗传行为符合基因的自由组合定律，否则不符合。

或：用F1的雌雄果蝇进行自交，统计自交后代的表现型比例，若为灰身长翅∶黑身残翅∶灰身残翅∶黑身长翅=9∶3∶3∶1，则说明灰身与黑身，长翅与残翅的遗传行为符合基因的自由组合定律，否则不符合。

例3：图甲、乙是两家族系谱图，乙家族患色盲(B-b)。请据图回答：

(1)图甲中的遗传病，其致病基因位于___染色体上，是__性遗传。

(2)图甲中III-8和III-7为异卵双生(由不同的受精卵发育而来)，则III-8表现型是否一定正常?___，原因是___。

(3)图乙中I-1的基因型是___，I-2的基因型是___。

(4)若图甲中的III-8与图乙中的III-5结婚，则他们生下两病兼患男孩的概率是___。

(5)若图甲中III-9是先天愚型，这种可遗传的变异称为___。

解析：本题主要考遗传病的判断和计算，“有中生无”，和“无中生有”判断显隐性，再根据是否符合伴性遗传的特点，从而确定染色体的位置。做相关计算时要分清是那种发病情况，现计算出每一种病的发病率从而在对其作具体处理。

答案：(1)常，显。(2)不一定，基因型有两种可能。

(3) XBXb, XBY。(4) 1/8。(5)染色体变异。

例4：“神舟六号”飞船进行了空间细胞电融合试验，是由小白鼠的淋巴细胞和人的骨髓瘤细胞进行的。(1)设小白鼠的体细胞组成为AA+XX，人的体细胞组成为BB+XY (A、B为常染色体，X、Y为性染色体)。则得到的杂交细胞含有___个染色体组。

(2)在挑选航天员时，航天员的遗传特征不容忽视。研究表明，有些人由于遗传方面的原因对宇宙辐射特别敏感，一旦受到辐射就容易出现严重的反应，甚至产生___，导致癌症。如图为对宇宙辐射特别每感病的遗传系谱图(假定对宇宙辐射特别敏感病由单基因控制)，其中15号个体已被有关部门初步确定为我国航天员人选，尽管其综合条件优越，但航天医学工程问题专家却谨慎地表示不乐观，原因是15号个体有____(概率)的可能性含对宇宙辐射特别敏感病致病基因，故需进一步作基因检测。

(3)搭载“神州六号”飞船的种子在微重力和宇宙射线的作用下，易发生基因突变。科学家在此实验中一般会选择萌发的种子而不是休眠的种子，其原因是%%%%%%%%%。

(4)纯种黄色子叶的豌豆种子搭乘飞船从太空返回后种植得到的植株经自花受粉所结的种子中，除了黄色子叶的性状外，还出现了从来没有见过的白色子叶的性状。

假设黄色子叶和白色子叶是一对相对性状，且为常染色体完全显性遗传，请你用已有的纯种黄色子叶豌豆和白色子叶豌豆为实验材料，设计配种方案(包括方法、可能的结果和相应的结论)，以鉴别这一对相对性状的显隐性关系。

解析：本题主要是判断性状的显隐性，可利用自交和杂交两种方法判断。

答案：(1) 4。(2)基因突变，2/3。

(3)萌发的种子细胞分裂旺盛，在分裂间期DNA复制过程中可能产生差错导致基因突变。

(4)方法一：选择白色豌豆与纯种黄色子叶豌豆杂交，

如果子一代全部表现为黄色，则黄色子叶为显性，白色子叶为隐性;

如果子一代全部表现为白色，则白色子叶为显性，黄色子叶为隐性;

如果子一代既有白色子叶又有黄色子叶则白色为显性。

方法二：选择白色子叶豌豆自交，

如果子代出现性状分离，则白色子叶为显性;