空间曲面范文

空间曲面范文（精选3篇）

空间曲面 第1篇

多元函数微分学是高等数学重要内容之一,而研究空间曲面在一点的切平面方程又是其典型的几何应用.在大多数的高等数学教材中,是用矢量计算来推导切平面方程公式的.在本文中,我们利用一元函数对应曲线切线方程来推导曲面的切平面方程,并配以图像说明,在实际教学过程中既直观又便于学生理解.

一、预备知识

定义1曲面z=f(x,y)上任意过点(x0,y0)的曲线在点(x0,y0)的切线构成的平面π称为曲面z=f(x,y)在点(x0,y0)的切平面.

引理1一元函数y=f(x)在x=x0处可导,则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为:y=f(x0)+f'(x0)(x-x0).

二、结论及其推导

定理1二元函数z=f(x,y)在点(x0,y0)可微,则曲面z=f(x,y)在点M0(x0,y0,z0)处的切平面方程为z=z0+fx(x0,y0)(x-x0)+fy(x0,y0)(y-y0).

如图(1),曲面Σ为函数z=f(x,y)表示的曲面,用平行于x Oz平面的平面截曲面Σ可得曲线Γ1,由引理1可得,曲线Γ1在(x0,y0)的切线l1的方程为

同理,用平行于y Oz平面的平面截取曲面Σ可得曲线Γ2,曲线Γ2在点(x0,y0)处的切线l2的“斜率”k=fy(x0,y0),所以曲线Γ2在(x0,y0)的切线l2的方程为

显然切线l1与l2相交,由切平面定义,切线l1与l2均在切平面π上,所以方程(1)和(2)带入切平面方程均成立,结合方程(1)(2)可得曲面z=f(x,y)在点M0(x0,y0,z0)处的切平面方程为z=z0+fx(x0,y0)(x-x0)+fy(x0,y0)(y-y0).

摘要：在多元函数微分学的应用中,研究空间曲面的方程是其重要应用之一.本文通过研究曲面z=f(x,y)过点(x0,y0)两条特殊的曲线的切线方程,得到曲面在点(x0,y0)的切平面方程.

关键词：曲面,切线,切平面,方向导数,偏导数

参考文献

[1]吴光磊,等.解析几何[M].北京:人民教育出版社,1979:129.

[2]华东师范大学数学系.数学分析(下册)[M].第3版.北京:高等教育出版社,2001:107-140.

[3]许伯济,孙向阳.方向导数的应用[J].工科数学,1994,10(4):223-227.

全自动装订机空间凸轮轮廓曲面方程 第2篇

在当前的自动机械设计和制造中, 常常会使用空间凸轮机构代替平面凸轮机构, 充分体现出其自身体积小、刚性好、结构紧凑、传动扭矩大等优点[1]。而作为一种常用的办公设备, 装订机在金融、图书及档案等部门得到了十分广泛的应用。将两者集合起来, 实现全自动装订机的空间凸轮结构, 可以对传动机构进行简化, 提高装订的速度和可靠性, 以及装订质量[2]。空间凸轮的轮廓方程是设计的重要内容, 对设计、制造及检验空间凸轮至关重要。本文采用回转变换张量法[3], 推导全自动装订机空间圆柱凸轮机构凸轮廓面方程的计算公式。

1 结构原理

如图1所示, 在全自动装订机凸轮机构中, 从动件载体3与空间圆柱凸轮6是处于平行状态的。空间圆柱凸轮6会绕着载体轴线, 作匀速旋转。从动件载体3上安装有从动滚子4, 并依靠其运动, 带动自身进行同步运动。而安装在从动件载体3上的下铆头2, 可以通过向上的挤压作用, 完成压铆的过程。

1.从动件载体轴线2.下铆头3.从动件载体4.从动滚子5.导向滚子6.空间圆柱凸轮

2 建立曲面方程

要想建立圆柱凸轮机构的工作曲面方程, 需要结合所有已知条件, 针对两大要素进行计算, 两个要素分别为滚子曲面方程和凸轮曲面的方程。凸轮机构自身的滚子曲面表现为圆柱体, 形状较为简单, 可以根据己知条件直接列出。而凸轮曲面则属于空间不可展曲面, 形状和结构都相对更加复杂, 难以利用已知条件直接得出。在这种情况下, 需要使用简单的滚子曲面方程, 结合相应的曲面啮合原理以及矢量回转变换, 进行间接求解。

2.1 建立坐标系

在圆柱凸轮机构中, 凸轮的运动主要是定轴转动, 从动滚子则作曲线运动, 为了方便研究, 建立如图2所示的四个坐标系[4,5]。

2.1.1 固定坐标系o-xyz

y轴与从动件载体轴线保持重合, 凸轮回转轴 (yc) 以及从动件载体的轴线的公垂线则与x轴保持重合, 同时, 在yc与y交叉显示的平面内, 设x轴与y轴的交点为原点o, 设x轴yc与的交点为oc, 正向x轴由o指向oc, y与yc保持平行。

2.1.2 从动件坐标系of-xfyfzf

假设原点of与o处于重合状态, 则当t=0时, 与固定坐标系重合。从动件坐标系会随着从动件的运动, 沿y轴进行直线移动, 使用s表示其位移。

2.1.3 滚子坐标系o′f-x′fy′fz′f

与从动件坐标系一样, 滚子坐标系也是与从动件固结的坐标系。取滚子基准点o′f为坐标系原点, 保持坐标轴与从动件坐标系的相应坐标轴平行。除原点o′f与of不重合外, 滚子坐标系与从动件坐标系是基本一致的。该坐标系的引入, 主要是为了对从动曲面的方程进行简化。

2.1.4 凸轮坐标系oc-xcyczc:

该坐标系是与凸轮固结的坐标系。其中, 凸轮的回转轴为yc, 始终与y平行, 取凸轮曲面的基准点为原点oc。坐标系随着凸轮的运动, 绕yc轴进行定轴转动, 用θ2表示其位移角。

2.2 空间圆柱凸轮轮廓曲面方程

图3为凸轮机构的矢量关系图, 图中表示的是在t瞬时, 滚子曲面与凸轮曲面在K点啮合时的情况, 矢量代表从动件与凸轮之间存在的运动关系与几何关系。

图示中, c=ooc代表y与yc之间的距离, 即凸轮机构的中心距;lh表示y′f轴到yf轴之间的距离, 也就是滚子的悬臂长度。

将相应的数值代入各有关量的坐标表达式, 通过计算和变换, 就可以得到凸轮轮廓曲面方程的坐标表达式:

3 啮合曲线方程

通过 (1) 可以看出, 凸轮的曲面方程Rc是十分复杂的, 不可能利用 (1) 式直接求出Ki, 因此, 需要首先求出点的几何位置参数βf (或δf) , 又或者βf和δf的关系表达式, 也就是接触线方程, 然后根据两式的结合, 求出Rc。在凸轮机构中, 空间曲面的啮合方程[6]为:

其中, V12表示凸轮曲面与滚子曲面在接触点位置的相对滑动速度;n1表示接触点位置的单位法向矢量。

求解可得

(3) 式就是空间圆柱凸轮机构的啮合曲线方程。通过将 (1) 与 (3) 进行联立, 就可以对空间圆柱凸轮轮廓曲面上的各点坐标进行唯一的确定, 结合凸轮曲面各点的坐标值, 可以对完整的凸轮进行加工。

4 结语

综上所述, 结合相应的空间啮合原理, 利用回转变换张量法, 对全自动装订机凸轮轮廓的廓面方程进行了推导, 优化了空间凸轮机构的运动学及动力学, 极大地提高了空间凸轮的加工精度, 并对其加工方法进行了改进, 推动了相关制造行业的发展。

摘要：文章结合共轭曲面理论, 利用空间回转变换张量法, 对全自动装订机空间圆柱凸轮的机构几何学和运动学进行了全面分析, 并以此为理论基础, 推导出空间凸轮的轮廓曲面方程, 通过将该方程与凸轮机构的啮合曲线方程进行联立, 可以对空间圆柱凸轮轮廓曲面上各个点的坐标进行唯一确定, 从而为提高空间凸轮的加工精度、改进其加工方法奠定坚实的理论基础。

关键词：轮廓曲面方程,空间凸轮,全自动装订机

参考文献

[1]赵镇宏, 尹明富.空间凸轮廓面方程及压力角的精确解[J].山东工程学院学报, 2000, 14 (3) :47~48.

[2]全自动装订机凸轮机构从动件运动规律[J].轻工机械, 2009, 27 (3) :15~17.

[3]牧野洋 (日本) .自动机械机构学[M].北京:科学出版社, 1980.

[4]赵雪松, 高洪.空间圆柱凸轮轮廓曲面的计算机生成方法[J].机械传动, 2008, 32 (3) :59~60.

[5]葛正浩, 蔡小霞, 王月华等.应用包络面理论建立弧面凸轮廓面方程[J].机械设计, 2004, 21 (2) :28~29.

空间曲面 第3篇

空间解析几何是大学数学的主要课程。二次曲面是空间解析几何的主要内容之一, 是学习多元微积分的几何基础, 它具有很强的逻辑性、空间性和运动性。讨论二次曲面的图像的形成和性质通常有截痕法和伸缩法。然而, 由于空间解析几何常规教材无法直观和动态地表现二次曲面的形成过程和图形之间的关系, 从而给学生学习空间解析几何课程带来理解困难。而MATLAB作为具有强大功能的数学软件, 被越来越多地应用于传统教学中。文献[1]讨论了利用MATLAB实现空间解析几何二次曲面截痕法的动画演示。本文探讨空间解析几何二次曲面伸缩法的MATLAB设计和实现。

2. 二次曲面及其伸缩变形法

二次曲面:三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面。

伸缩变形法:设S是一个曲面, 其方程为F (x, y, z) =0, 设S'为将曲面沿某个坐标轴伸缩λ倍所得的曲面, 其方程为F' (x, y, z) =0。通过比较S和S'的图形变化和方程F (x, y, z) =0及F' (x, y, z) =0的关系讨论二次曲面的形成和关系的方法称为伸缩法。

设将S的y、z坐标不变, x坐标沿x轴伸缩λ倍。显然, 若 (x, y, z) ∈S, 则 (λx, y, z) ∈S'。若 (x, y, z) ∈S', 则 (x, y, z) ∈S。因此, 对于任意的 (x, y, z) ∈S', 有F (x, y, z) =0, 即F (x, y, z) =0为S'的方程。同理, F (x, y, z) =0和F (x, y, z) =0分别为将S沿y轴或者z轴伸缩λ倍的曲面的方程。

例如, 把圆锥面a2z2=x2+y2沿y轴方向伸缩倍, 所得曲面方程为:x2+ (y) 2=a2z2, 即=z2, 此为椭圆锥面。

3. 二次曲面伸缩法的MATLAB设计和实现

二次曲面生成常用MALTAB命令和功能:

mesh:生成由x、y、z指定的网线面

surf:生成由x、y、z指定的带阴影的网面图

cylinder:生成一单位圆柱体的x、y、z值

sphere:生成三维直角坐标系中的单位球体

3.1 椭球面

伸缩法的MATLAB设计和实现

程序设计思想:首先生成球面S:x2+y2+z2=1, 然后将S沿x、y、z轴方向伸缩a、b、c倍。得到椭球面S’:

程序如下:

图1为单位球面网线图, 图2为将单位球面沿x、y、z轴方向伸缩4、5、2倍后生成的椭球面。

3.2单叶双曲面

伸缩法的MATLAB设计和实现

程序设计思路:首先生成曲面S:x2+y2=1+z2, 然后将S沿x、y、z轴方向伸缩a、b、c倍。得到单叶双曲面S’:

程序如下:

图3、图4给出a=2、b=4、c=5单叶双曲面的生成过程效果图。

3.3叶双曲面

伸缩法的MATLAB设计和实现

程序设计思路:首先生成x2+y2- (z+1) 2=-1在 (0

程序如下:

图5、图6给出a=3、b=4、c=5双叶双曲面的生成过程效果图。

3.4圆抛物面伸缩法的MATLAB设计和实现

程序设计思路:首先生成曲面S:x2+y2=z, 然后将S沿x、y轴方向伸缩a、b倍。得到椭圆抛物面。

程序如下:

图7给出的是a=2、b=5的椭圆抛物面效果图。

3.5双曲抛物面伸缩法的MATLAB设计和实现

程序设计思路:通过伸缩法分别生成:x2= (z+) a2在z>0的图形。再通过伸缩法生成y2= (-z+) b2在z<0部分的图形。

程序如下:图8是程序运行效果图。

4. 结束语

从上面的分析可以看到借助于MATLAB可以容易地实现空间解析几何二次曲面伸缩法的设计和演示, 从而直观的、立体的和运动的揭示二次曲面的图像特征和方程之间的对应关系。这使得空间解析几何的教学增加了趣味性和生动性, 也使空间解析几何课程的学习变得易于理解和巩固。

参考文献

[1]度巍.空间解析几何中二次曲面截痕法的动画演示[J].电脑知识与技术, 2011, (9) 6297-9301.

[2]李锐.现代教育技术与空间解析几何教学整合的研究[J].中国电力教育, 2010 (34) 91.

[3]林海涛, 林海如.常用软件在空间解析几何教学中的实践[J].广东轻工职业技术学院学报2010, (9) 33-36

[4]苏金明.MATLAB实用指南[M].电子工业2002.