积分思想范文

积分思想范文（精选12篇）

积分思想 第1篇

数学思想, 是指现实世界空间形式和数量关系反映到人的意识中, 经过思维活动而产生的结果, 它是对数学事实与数学理论的本质认识。

“纵然是把数学知识忘记了, 但数学的精神、思想、方法也会深深地铭刻在头脑里, 长久地活跃于日常的业务中。”通俗地说:数学思想就是把所学的数学知识和公式都排空以后还存留在头脑中的东西。

数学思想是数学知识的精髓, 是知识转化为能力的桥梁。我们学习微积分时, 更要感悟其中所蕴含的重要的数学思想。

二微积分中的基本数学思想

“微积分是漫长的一系列数学思想演变的结果, 是经过许多数学家、思想家的艰苦努力才逐渐发展起来的关于连续性和无穷小量的学说。它是随着变量与函数概念的采用而逐步建立起来的, 是继欧几里德几何之后, 全部数学中的一个最大的创造。”微积分本身就是一种数学思想, 它是许多科学家的思想结晶, 蕴涵了辩证哲学思想。由于它的博大精深, 在初步学习微积分的时候, 学生们往往感到很迷茫。微积分中包含了哪些最基本的数学思想和方法, 依据它们各自的功能又如何把它们分类?这是一个很有意义、比较复杂而有待认真探讨的课题。

我认为微积分中最基本的数学思想应包含:有限与无限思想、以直代曲的思想和极限思想等。只有充分认识和领悟了这几种思想才能更好地理解微积分、更深刻地认识微积分, 以至于灵活运用微积分这个数学分析的工具。

1. 有限与无限思想

对有限与无限 (即:无穷) 的认识是我们学习“微积分”的基础。牛顿和莱布尼茨都认为微积分是代数的扩展, 它是“无穷”的代数, 或者是具有无穷多个项的代数。极限、无穷大量与无穷小量、导数、定积分、级数等都以无限思想为依托。有限与无限相比, 有限是具体的, 无限是抽象的, 人们首先完成了对有限的认识, 而对无限的认识是有过一些曲折的过程的:

如:无限项相加1-1+1-1+1-1+应该是多少?

如果运用结合律把它改写成 (1-1) + (1-1) + (1-1) +似乎应等于0?

若把它改写成1- (1-1) - (1-1) - (1-1) -又似乎应等于1?

如果我们把它们的和设为S, 可以写出S=1- (1-1+11-1+1-1+) =1-S, 于是又有

仔细研究, 人们发现无限与有限有本质的区别, 我们不能把有限范围内的规律和法则完全照搬到无限中去。将对无限的研究转化为有限, 并用有限去认识无限, 这是解决无限问题的必由之路;另外, 将有限的问题转化成无限, 用无限分割、无限求和的方法解决有限量问题也是微积分基本思想之一。

有限与无限的思想应包含两方面:

第一, 通过有限认识无限。在微积分中, 为了达到认识不确定的、无限的情形, 常常是从确定的、有限的情形出发。

例如:描述数列的极限是1, 我们是这样做的。对于任意小的ε>0, 总有当n>N时, 始终有, 所以。

对于给定的ε>0 (无限地变化过程中的一瞬间) , 正数ε是确定的、有限的。在这有限的一瞬间, 对于n>N的一切与1的距离都小于ε。又由于ε的任意性 (任意小) 其无限变化的一面, 把“数列无限趋向于1”刻画的淋漓尽致。描绘极限没有比这种数学语言和数学思想更加准确和美妙的了。

再看无穷项求和的案例。如:

我们先假设一个有限项的部分和, 令n∞显然有Sn1。因此我们有理由相信, 无限项的和是1。

用一个正方形可以对这个级数的和给出一个绝妙的几何解释。从一个边长为1的空正方形开始, 用颜料填涂一半, 然后再填涂剩余空白的一半, 不断进行下去, , 永远, , 永远。“最终”填满面积为“1”的这个正方形。

对于无限项和的级数, 我们正是通过有限项来认识的。现在我们可以理解1-1+1-1+1-1+的奇怪现象了。因为它的部分和 (有限项) 数列Sn只在0与1之间摇摆, 没有确定趋向, 我们称这种级数发散。

第二, 有限转化为无限。另一方面, 我们又通过无限来表示有限, 从而实现有限与无限的相互转化。

通常作为导数概念的引例变速直线运动的速度问题。设物体作变速直线运动, 其运动方程 (路程s与时间t之间的函数关系) 为:s=s (t) , 求物体在时刻t0的瞬时速度。

物体在时刻t0的瞬时速度是一个确定的、有限的数值 (未知的) 。我们是通过构造无限的过程来实现对这个未知的有限的数值的认知。一般教材上都有描述。这就是用无限来认识有限的案例。

通常作为定积分概念的引例曲边梯形的面积问题, 也是如此。

显然该面积是一个有限的常数, 我们运用无限分割的方法, 把这个有限的量转化成了一种特定的无限项和的形式, 从近似到精确, 从有限到无限, 再运用极限的思想最后求得它的准确值。

有限与无限是对立统一的。在微积分中, 经常利用有限来认识无限, 也通过无限来确定有限。学习微积分首先要理解有限与无限的思想。

2. 以直代曲的思想

曲与直相互转化的方法是微积分学乃至全部高等数学的重要的、必不可少的方法。以直代曲的思想可以说是微积分方法的灵魂。

直与曲的区别是极为明显的:从几何特征来看, 曲就是曲, 直就是直, 非此即彼;无论在理论上还是在实际的计算上, 直比曲要简单得多。物体的运动是绝对的, 静止是相对的;作为几何图形中的曲是绝对的, 直则是相对的。在一定的条件下, 它们可以相互转化。人们意识中的水平直线 (水平线) , 实际上是绕地球表面的圆弧。甚至连太阳光线也因爱因斯坦的相对论变得弯曲起来。但是在一定条件下, 曲可以转化为直。如一条曲线, 取其中十分微小的一段无限放大了去看近似为直线。恩格斯说:“高等数学的主要基础之一是这样一个矛盾:在一定条件下直线和曲线应当是一回事”这句话高度概括了微积分的基本思想。全部微积分学就是建立在解决“直”与“曲”的矛盾, 实现这一矛盾相互转化的基础上。“直线和曲线在微积分中终于等同起来了。”正是利用这种矛盾转化, 解决了初等数学中无法解决的一些问题。因此, “以直代曲”是高等数学的重要的必不可少的思想方法。

在微积分中, 曲转化为直的条件是“无限细分”。直线与曲线的等同是在无限细分过程中实现的。例如, 在前面提到的求曲边梯形的面积问题, 其步骤是:

首先化整为零:把曲边梯形的底边任意分成n段, 然后以每一小段为底边, 用平行于y轴的直线把曲边梯形分割成n个小的曲边梯形。然后“以直代曲”:在每个小曲边梯形中把曲边看成直边, 于是就可以用这些小“直边矩形”的面积近似地代小曲边梯形的面积, 在分割的条件下实现了局部的“以直代曲”。第三步积零为整:把所有的小矩形面积加起来, 求出曲边梯形面积的近似值。最后在无限细分的过程中由量变到质变, 得到曲边梯形面积的准确值。微积分中的“直”与“曲”的等同和转化, 突破了初等数学“山穷水尽疑无路”的困境, 开辟了由“直”认识“曲”的广阔特征, 给数学带来了“柳暗花明又一村”。

此外, 用定积分求曲线的弧长、求几何体体积等计算公式都是以直代曲的结果。计算变力作功、液体中的压力、物体的转动惯量等非均匀分布的问题, 则是以直代曲思想的升华。

3. 极限思想

极限思想是高等数学的核心思想, 是微积分的基础。微积分中几乎所有的重要概念都是由极限来定义的, 从连续概念到导数概念, 从定积分到级数的收敛发散等, 极限思想方法可以说贯穿了微积分的全部内容。

数学史上曾导致第二次数学危机产生的“贝克莱悖论”可以表述为“无穷小量究竟是否为0”的问题:就无穷小量在当时实际应用而言, 它必须既是0, 又不是0。但从形式逻辑而言, 这无疑是一个矛盾, 这一问题的提出在当时的数学界引起了一定的混乱。化解这个危机的关键就是极限。

极限首先是个观念, 它融合了无限的思想。极限是对没完没了“无限的过程”的观察, 揭示了过程中两个变量变化趋势的内在个关联。其中自变量的变化趋势分为两大类:一类是xx0;一类是x∞;由于极限是研究变量在变化过程中的情况, 因此x变化趋向于x0始终不能到达x0, 这样一来, 你可以体验到xx0的过程, 和x∞一样“没完没了”。无论哪一种情形, 我们都不会考虑x从何处出发, 也不会考虑x具体如何趋于x0或趋向无穷大, 是蛙跳般不停不息?或是醉汉般的左右摇摆?还是连续地步步逼近?

当自变量有一个特定的变化趋势时, 相应的函数值是否无限接近于一个确定的数A?如果是, 则称数A为函数的极限。

“无限接近”还不是严密的数学语言。但这是理解极限定义的最直观的一步。经过多少代人的千锤百炼, 给微积分铸就了自己的倚天屠龙剑。那就是极限语言 (即ε–δ语言) 。没有这套语言, 我们没有办法给出极限定义, 也无法严密证明任何一个极限问题。

我们通过一个例子来体验一下:。按定义:对任给ε>0, 只要取, 当时, 就有。此即。

我们用蛙跳般的趋近来展示一下它的变化过程:

若要使| (2x+1) -5|<0.1, 只须δ=0.05;

若要使| (2x+1) -5|<0.01, 只须δ=0.005;

也即, 不管你要求 (2x+1) 与5多么接近, 都能办得到 (即找到相应的δ) , 对于满足的所有x都能使得 (2x+1) 与5接近程度达到你前面所提出的要求。因此我们说:当x趋向2时, (2x+1) 极限是5。

学习极限概念, 首先要学会观察, 了解过程中的变量有无确定的变化趋势。学习体验相应的发展趋势, 建立了极限的思想再去理解微积分中一些概念就不会太难了。

摘要：微积分是一系列数学思想演变的结果, 我们学习微积分时要感悟其中所蕴含的重要数学思想。只有充分认识和领悟了这几种思想, 才能更好地理解微积分、更深刻地认识微积分, 更好地掌握微积分的方法。数学思想是数学知识的精髓, 是把知识转化为能力的桥梁。微积分中最基本的数学思想包含:有限与无限思想、以直代曲的思想和极限思想等。

关键词：数学思想,微积分,有限与无限思想,以直代曲思想,极限思想

参考文献

[1]蔡上鹤.数学思想和数学方法[J].中学数学, 1997 (9)

[2] (日) 米山国藏著.数学的精神、思想和方法 (毛正中、吴素华译) [M].成都:四川教育出版社, 1986

[3]邵光华.作为教育任务的数学思想与方法[M].上海:上海教育出版社, 2009.9:109、185、203

[4] (美) M.克莱因.古今数学思想[M].上海:上海科技出版社, 1979:26

积分思想 第2篇

在企业文化项目的诊断阶段，我们通常会使用中高层访谈、员工座谈、现场调研、问卷调查以及资料研读等手段了解客户企业文化的现状和特征。所有的这些手段都是为了进一步分析客户企业文化的需求与定位，寻求企业文化建设的策略。

当构筑企业文化项目的诊断分析框架时，惯常使用的一种思路是按照企业文化的理念、制度、行为和物质等四个层面分层次构建。这种思路可以说是中规中矩，也不乏为一种较为经典的做法。但是，这种思路在使用的过程中可能会出现一种缺憾，就是遗漏或是弱化了许多企业和员工非常关注的地方，而事实上，对于这些地方的关注正是真正影响企业文化建设实施的关键要素。

很多人在谈论企业文化诊断时都会认为较为空泛，有点无从下手。事实上，在绝大多数企业中，对于企业文化的实施者和传播者——企业员工而言，他们真正关注的是自身的发展和企业的成长。因此，如果我们能够以一种企业经营战略和人力资源战略的眼光来看待相关的问题，这样的分析就不仅能够很快地抓住关键点，同时也开启了企业文化项目落地实施的命门。使用战略性的眼光来进行企业文化诊断，就必须紧紧抓住企业文化的几个核心命题，具体来讲，就是企业的发展与统筹的问题、企业的组织定位和组织建设问题、员工的激励问题以及企业的品牌建设问题。

结合企业文化的几个核心命题，我们可以将平衡计分卡原有的四个层面修订为战略与经营、组织内外关系、内部运营和员工学习成长四个层面。

战略与经营层面我们关注企业文化与战略的对接，其核心评价指标主要体现为企业的成长性、竞争性和赢利性等方面。组织内外关系层面我们关注企业文化在组织环境和人员心理的感受，其核心评价指标主要体现为员工满意度（对公司的满意度、对上级的满意度、对工作回报的满意度、对工作内容的满意度、对工作团队的满意度）和企业的品牌形象的建设和影响力。内部运营层面我们主要关注企业文化在组织制度和员工行为上的体现，其核心评价指标主要体现为组织结构及权责设置、制度的制定与执行、管理的效果体现、信息资源的管理与传播、内部沟通、报告与建议体系建设、各个层级员工的行为。员工学习成长层面我们主要关注企业文化对员工留与流的问题，其核心指标主要体现为员

工的培训与学习、员工行为激励、员工职业生涯规划。

运用平衡计分卡的思想分析客户企业文化的现状，可以更加有针对性地找到客户实际关注的关键问题，不失为一种新的尝试。

透视中国古代数学中的微积分思想 第3篇

翻阅微积分教材与介绍微积分发展史的著述，容易发现，大多数定理的前面都冠以某某外国人的名字，鲜有反映中华民族对于微积分的形成与发展作出贡献的内容.我国有着光辉灿烂的数学史，事实上中国古代数学中也同样蕴含着初步的微积分思想.

微积分的产生一般分为三个阶段：极限概念，求积的无限小方法，积分与微分的互逆关系.最后一阶段是由牛顿、莱布尼兹各自独立完成的.对于前两个阶段的工作，欧洲的大批数学家甚至可一直追溯到古希腊的阿基米德都做出过不同的贡献.在这方面，古代中国并不逊色于西方.

如圆周率方面的研究成就是举世公认的.刘徽利用圆内接正多边形的边数越多，正多边形的面积越接近于圆面积的原理，创立了一个符合“极限存在准则”的不等式.他计算了圆内接正3072边形面积，得到π≈3927/1205化成小数是3.1416.祖冲之在此基础上进一步精密地推算到3.1415926<π<3.1415927的结果，成为在世界上领先1000多年的光辉成就.这里所用的方法就是举世闻名的割圆术.刘徽说：“割之弥细，所失弥少；割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”这其中正体现了“以直代曲、无限逼近”的微积分的核心思想.

学习立体几何时，我们都知道球的体积公式v球=4/3πR?.中国古代将球称为立圆.祖暅所用的开立圆术是与求球体积有关的一种方法.在这一方法中，祖暅指出“夫迭幂成立积，缘幂势既同，则积不容异.”用现在的话讲，就是“夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.”这里的“幂势既同，则积不容异”与积分概念的核心思想是一致的.它比卡瓦列里原理要早1200多年.

数学是文化的一部分，我国古代数学的微积分思想同样也在哲学、文学等中折射出来.庄子在《天下篇》中讲：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”如果把这句话和“求数列an=1/2n当n→∞时的极限”联系起来的话，无不为古人深邃的极限思想而折服.

老子在《道德经》中说：“合抱之木，生于毫末；九层之台，起于累土；千里之行，始于足下.”比喻事情的成功是由小到大逐渐积累的.如果我们单从比喻的本身来说明定积分的微元法是再合适不过的了，这里面蕴涵着深刻的微积分思想.

积分思想 第4篇

关键词：多元函数积分,计算方法,数学思想,教学研究

多元函数积分是学生掌握的重点和难点, 其积分涉及到二重积分、三重积分、对弧长的曲线积分、对坐标的曲线积分、对面积的曲面积分、对坐标的曲面积分等六种类型, 如果再加上极坐标下的二重积分、三重积分的先单后重法和先重后单法、柱面坐标下的三重积分和球面坐标下的三重积分, 其计算方法非常繁杂。学生常常对不同积分的计算方法容易忘记或搞混淆, 即使有些学生知道怎么计算, 也经常会问为什么这种积分这样计算那种积分又那样计算, 究其根本是学生不知道每一种积分计算方法背后的数学思想。实际上, 多元函数积分很多计算方法的数学思想都来源于日常生活, 如果教师在授课时可以将这些计算方法的数学思想讲清楚, 并将其与日常生活联系起来, 学生理解和掌握起来就非常容易, 这样不仅可以激发学生的学习兴趣和积极性, 而且可以启发学生思考, 从而达到满意的教学效果。下面, 笔者根据多年的教学实践, 做简单总结.

一、二重积分计算的数学思想

在讲述二重积分概念的时候, 为避免概念的抽象和空洞, 可以用曲顶柱体的体积问题和平面薄板的质量问题为例引出二重积分的定义。反过来, 二重积分的几何意义是曲顶柱体的体积, 物理意义是平面薄板的质量。这样, 二重积分的很多性质, 可以用其几何意义和物理意义来解释, 而且可以以曲顶柱体体积的计算或平面薄板质量的计算背景来介绍其计算方法。下面以平面薄板质量的计算为背景来介绍二重积分计算的数学思想。

将f (x, y) 视为平面薄板D的“面密度” (当f (x, y) <0时, 不是真正的面密度只是形式上看成面密度) , 这样, 求即求平面薄板D的“质量”。

这里关键的思想就是“将平面薄板D看作由无数条平行于y轴的线段拼成”, 这个思想既容易理解也容易数学实现。

二、三重积分计算的数学思想

三重积分的物理意义是空间立体的质量。这样, 三重积分的很多性质, 可以用其物理意义来解释, 而且可以以空间立体质量的计算为背景来介绍三重积分的计算方法。下面介绍三重积分的“先单后重法”和“先重后单法”的数学思想。

将f (x, y, z) 视为空间立体Ω的“体密度” (当f (x, y, z) <0时, 不是真正的体密度只是形式上看成体密度) , 这样, 求即求空间立体Ω的“质量”。

其中Dxy上的二重积分按二重积分的方法计算。这里关键的思想就是“将空间立体Ω看成由无数条平行于z轴的线段拼成”。

其中Dz上的二重积分按二重积分的方法计算。这里关键的思想就是”将空间立体Ω看成由无数张平行于这里关键的思想就是“将空间立体Ω看成由无数张平行于x Oy面的薄片拼成”。

三、计算对弧长的曲线积分的数学思想

对弧长的曲线积分的物理意义是曲线型物体的质量, 因此其性质, 可以用其物理意义来解释, 而且可以以曲线型物体质量的计算为背景来介绍对弧长的曲线积分的计算方法。

将f (x, y) 视为平面曲线L的“线密度” (当f (x, y) <0时, 不是真正的线密度只是形式上看成线密度) , 这样, 求即求平面曲线L的“质量”。

这里关键的思想是“将曲线段的质量转化成直线段的质量”, 即“化曲为直”。

四、计算对坐标的曲线积分的数学思想

对坐标的曲线积分的物理意义是变力沿曲线做功, 因此对坐标的曲线积分的性质, 可以用其物理意义来解释, 而且可以以变力沿曲线做功的计算为背景来介绍对坐标的曲线积分的计算方法.

这里关键的思想是“把变力沿曲线做功转化成沿直线做功”, 仍是“化曲为直”。

五、计算对面积的曲面积分的数学思想

对面积的曲面积分的物理意义是曲面型物体的质量, 因此对面积的曲面积分的性质, 可以用其物理意义来解释, 而且可以以曲面型物体质量的计算为背景来介绍其计算方法。

其中Dxy上的二重积分按二重积分的方法计算。这里关键的思想是“将曲面型物体的质量转化成平面型物体的质量”, 即“化曲为平”。

六、计算对坐标的曲面积分的数学思想

对坐标的曲面积分的物理意义是流体通过有向曲面的流量, 因此其性质, 可以用其物理意义来解释, 而且可以以流体流量的计算为背景来介绍对坐标的曲面积分的计算方法。

根据流量的可加性, 可先分别求x轴、y轴和z轴方向的流量, 再求和。

这里关键的思想仍然是“流体流过曲面的流量转化成流过平面的流量”, 仍是“化曲为平”。

七、结束语

以上, 笔者总结了几种多元函数积分计算方法的数学思想。可以发现这些数学思想都来源于日常生活, 来源于我们的生活经验。一旦学生理解了这些思想, 他们会发现数学并不难, 也并不抽象, 数学的学习也变得轻松有趣起来, 很多同学由最初的害怕、恐惧数学, 变得越来越喜欢数学了。

参考文献

[1]同济大学数学教研室.高等数学下册 (第6版) [M].北京:高等教育出版社, 2007.

[2]华东师范大学数学系.数学分析下册[M].北京:高等教育出版社, 2010.

[3]李治飞.多元函数积分的简化计算[J].高等数学研究, 2011, 14 (2) :34-36.

[4]张杰, 侯为波.多元函数积分学的教学探讨[J].淮北煤炭师范学院学报, 2010, 31 (2) :74-77.

不定积分的积分方法论文 第5篇

不定积分的积分方法论文【1】

摘 要： 在高职高专院校高等数学的不定积分章节的学习中，有三种积分方法，分别是第一类换元积分法，第二类换元积分法和分部积分法.部分学生在积分运算中，对积分方法的选择不知如何着手.针对这种现象，本文对三种积分方法加以总结，以便学生对积分方法能更好地掌握.

关键词： 不定积分 换元积分法 分部积分法

一、第一类换元积分法

定理1(第一类换元积分法)设f(u)具有原函数，u=φ(x)可导，则有换元积分公式

f[φ(x)]φ′(x)dx=[f(u)du].

第一类换元积分公式实质上就是：f[φ(x)]φ′(x)dx=f[φ(x)]d[φ(x)].

第一类换元积分公式在运用过程中，应用的关键是确定新的积分变量φ(x)，那么如何确定φ(x)?方法有如下两种.

1.通过对所求不定积分中被积函数的观察，发现函数中既含有φ(x)又含有φ′(x)，则我们就可以猜测出新的积分变量为φ(x).

例如：求dx

分析：所求不定积分的被积函数为，因为(lnx)′=，所以我们可以把看做lnx，则新的积分变量φ(x)=lnx.

解：dx=[lnx]dx=lnxd[lnx]=lnx+C

2.通过对所求不定积分的观察，猜测出所要运用的基本积分公式，基于这个公式确定新的积分变量φ(x).

例如：求sin3xdx

分析：所求不定积分为sin3xdx，观察后发现我们所用的基本积分公式为sinxdx=-cosx+C，但是所求积分的被积函数不是sinx而是sin3x，我们可以把3x看做一个整体，就是新的积分变量φ(x)，即φ(x)=3x.

解：sin3xdx=[sin3x]3dx=[sin3x]d[3x]=[sin3x]d[3x]=-cos3x+C

二、第二类换元积分法

定理2(第二类换元积分法)设函数x=φ(t)单调，可导，且φ′(t)≠0，f[φ(t)]φ′(t)的原函数存在，则有换元积分公式

f(x)dx=[f[φ(t)]φ′(t)dt]，

其中t=ψ(x)是x=φ(t)的反函数.

第二类换元积分公式在何时运用?我认为：重点是解决被积函数中含有“根号”的积分问题.那么在学习中遇到的常见的含有根号的情形有几种呢?我总结了一下共有四种，分别是：;;;.

如何消除被积表达式中的根号?做适当变量替换即可，针对以上四种情形具体替换如下：

① 对，设t=;

② 对，设x=asint;

③ 对，设x=atant;

④ 对，设x=asect.

原来关于x的不定积分转化为关于t的不定积分，在求得关于t的不定积分后，必须代回原变量.在进行三角函数换元时，可由三角函数边与角的关系，作三角形，以便于回代.在使用第二类换元法的同时，应注意根据需要，随时与被积函数的恒等变形、不定积分性质、第一类换元法等结合使用.

例如：求dx

分析：所求不定积分的被积函数中含有根号，符合上述情形中的第三种，由此我们做替换x=2tant即可.

解：dx=•2sectdt=sectdt=ln(sect+tant)+C=ln++C=ln(+x)+C

三、分部积分法

分部积分公式：udv=uv-vdu或uv′dx=uv-u′vdx(其中u=u(x)与v=v(x)都具有连续导数)

分部积分法主要是解决被积函数是两类不同类型函数乘积的不定积分问题.这里我们所说的函数类型指的是反三角函数、对数函数、幂函数、三角函数、指数函数五种基本初等函数.当然在具体应用时被积函数未必是这五种类型，有可能是相似的类型，我们在应用公式前，只需要将所求的不定积分运用其他的积分方法适当变形转化为这五种函数即可.

应用分部积分公式的关键是确定公式中的u和v′，如何确定它们?可按照反三角函数、对数函数、幂函数、三角函数、指数函数的顺序(即“反、对、幂、三、指”的顺序)，把排在前面的那类函数选作u，而把排在后面的那类函数选作v′.

例如：求xsinxdx

分析：不定积分中的被积函数xsinx为两类不同类型的函数乘积，所以我们就要应用分部积分法，其中u为x，v′为sinx，则u′=1，v=-cosx把上述四项代入公式即可.

解：xsinxdx=-xcosx--cosxdx=-xcosx+sinx+C

小结：我们学习以上三种积分方法的目的就是要把我们所计算的不定积分问题转化为我们所熟悉的基本积分公式来处理，当然，这些积分方法在运用时往往不是单独使用，大多数情形下都是混合使用，甚至要多次使用.

参考文献：

[1]同济大学，天津大学，浙江大学，重庆大学编.高等数学.高等教育出版社，.6，第2版.

[2]周金玉.高等数学.北京理工大学出版社，2009.8，第1版.

[3]陈传樟等.数学分析.高等教育出版社，1983.7，第2版.

不定积分计算方法的思考【2】

摘 要： 本文通过分析不定积分计算教与学中的困难，提出老师和学生要注意的问题，并对几种常用方法作了分析。

关键词： 不定积分计算 困难 分析 常用方法

不定积分是大学数学关于计算问题的一个重要内容，是定积分、重积分、线面积分计算、微分方程求解的基础。因此，熟练掌握不定积分的计算方法与技巧，对于学好高等数学是十分必要的，然而它的计算却存在着一定的难度。

一、不定积分计算的困难及分析

不定积分计算的困难首先是由其概念本身带来的，因为从求导的逆运算引进，造成了它的计算是非构造性的一类运算，它与求导相比有着显著的不同，求导有一定的公式可套，但求不定积分并非如此。

不定积分计算的困难还在于错误的思考方法，对于学生来说，解题往往通过“猜”的方式，猜原函数，这显然相当的困难;在老师方面，不定积分的教学也是一个难点，老师的任务是理出方法，教会学生如何理解方法，而不是凭感觉。

现实存在的问题有两个：一是当在指定让学生用哪种方法解决时，学生可以做到，但如果把方法混在一起，学生往往不知道用哪种方法;二是在当时学生会解决的题目，时间久了，学生就忘记了。原因都在于学生没有真正理解透各种方法的本质特点，面对问题时，不知道怎么根据其特征选择适当的方法。

二、不定积分计算的方法思考

在介绍积分方法时，老师首先应提醒学生注意被积函数的多样性，而不同类型的被积函数就需要不同的积分方法来解决，对于一个给定的f(x)，要求f(x)dx，这是一个未知的问题，从宏观上说我们要将未知的问题转化为已学知识来讨论。那么就存在两个问题：已知的是什么?怎么转化过去?

课本根据求导与不定积分的关系由基本求导公式给出了积分基本公式，它们可以作为已知的知识，那么不能直接由积分公式解决的问题，就要通过几种转化方法转化到现有的公式上，转化的依据要根据被积函数的结构和转化方法的特点。常用方法有以下几种。

1.基本变形。这个方法是由不定积分的性质线性引出的，只要做恒等变形就可以将要求的不定积分转化到基本积分公式中去，它的特点就是多个变单个。

2.凑微分法。顾名思义，关键在于一个“凑”字，如果能想到如何“凑”，则题目会迎刃而解，若想不到方法，则会无处入手。因此，归纳并熟记常用的`凑微分公式是十分必要的。

老师在讲解这个方法的时候可以先通过几个简单的凑微分的例子引出凑微分这个方法，以形象地观察出凑微分法的本质、特点，书上给出的定理是比较抽象的，在对其证明中，可以采取比较通俗的方式，如：要验证f[φ(x)]・φ′(x)dx=f(u)du=F(u)+C=F[φ(x)]+C是否成立，只要验证(F[φ(x)]+C)′=f[φ(x)]・φ′(x)是否成立。

如果成立，则证明了该定理，也证明了前几个例子的做法是正确的。再结合例子和定理归纳出凑微分法的特点就是“变元再协同”。

有些例题要“凑”多次，老师可以举相关例题让学生充分体会凑微元法的本质特点是变元再协同中的“再”，总的来说凑微元法就是一个“变元再协同”的过程。

3.变量代换法。从被积函数中会发现一些难以处理的因式，使用凑微元怎么也协同不了，在讲解这个方法的时候可以先举几个这样的例子，告诉学生思考这个问题的方法，多列几个学生就会知道想办法去掉难以处理的因式，当然是有多种代换方法的。在学生接受了这种思路后再给出定理，证明手段类似凑微元的证明。

例1：求.

思路一：被积函数中既有x，又含有x，所以我们想办法通过变元都协同到x上，然后再观察，再协同。

解一：===

=d=d

=arctan+C

思路二：考虑被积函数中含有根号，想办法去掉根号，使用三角代换很容易将其算出。

观察这两种方法的各自特点，第一种思路它比较难想到，但计算起来比较简单，第二种方法它虽然操作起来相对麻烦一些，但指向性非常明确。

三角换元法一般是把被积函数中含有的，分别用x=asint，x=atant，x=asect做变换去掉根式，没有太多的技巧，但是有些含有这样根式的不定积分不需要采取变量代换的方法，例如xdx，dx，被积函数中含有了比较难处理的因式，而变量代换就是起到一个去掉难处理的因式的作用，但在有些题目中只要用凑微元做就可以了，提醒学生不要犯教条。

4.分部积分。其基本公式为udv=uv-vdu，此方法用于求udv不易，而求vdu较易的题目。在运用分部积分法关键是u与dv的选取，掌握此方法的一个关键在于你要对哪个求导，du是一个局部求导，求导之后要方便运算才有意义。

例2：求xedx.

分析：被积函数是指数函数e与三角函数x的乘积，用分部积分有两种方案：xedx=edx=ex-xdexde，第一种方案是对e局部求导，而我们知道对它求导还是本身，所以解决不了根本问题，所以学生在做题的时候要思考到底对谁局部求导能达到目的，这题中对x局部求导就可以去掉这个因式，所以选择第二种方案。

这部分内容的学习要求我们要对各类积分法进行总结比较，分析各类积分方法的特征，达到掌握并熟练运用的目的。

参考文献：

[1]华东师范大学数学系编.数学分析(上册)[M].高等教育出版社，1990.

[2]仉志余.大学数学应用教程(上册)[M].北京大学出版社，.8.

普通积分与随机积分的异同探究 第6篇

摘 要：选取黎曼积分、黎曼—斯第杰斯积分作为普通积分，伊藤积分作为随机积分探究普通微积分与随机微积分的异同，分别比较三种积分在定义、性质上的异同点，并着重探讨它们的差异性。随机积分的求解可根据普通积分定义的四个步骤进行，可认为是普通积分的延伸。但由于两者的性质不同，它与普通积分有着较为明显的差异。从它们的图像、积分过程的取分割点、收敛性方面讨论它们的差异性，并得出结论。

关键词：黎曼积分；伊藤积分；异同；收敛

在普通积分里面，积分变量就是一般的实变量，而随机微积分的积分变量是布朗运动，在数学上严格的定义和构造布朗运动较为复杂。以下对普通积分与随机积分的异同探究时，我们分别选取黎曼积分、黎曼—斯第杰斯积分作为普通积分的代表，以伊藤积分作为随机积分的代表，比较它们在定义、性质上的异同点，并着重探讨它们的差异性。

一、相同点及联系

1.黎曼积分、黎曼—斯第杰斯积分

2.随机积分

iv.求极限R：由于布朗运动的性质，它在任何有限区间上，布朗运动无有界变差。因此，求解随机积分不能用通常意义上的R-S积分规则来处理。

归纳总结：由上分析可归纳得：随机积分的求解可根据普通积分定义的四个步骤进行，可认为是普通积分的延伸。

二、普通积分与随机积分的差异性

1.图像比较

设一个随机过程（Bt）t∈[0，∞），它在一个微小时间间隔Δt之间内的变化为ΔB。若遵循布朗运动，则需满足两个条件：

（2）对于任何两个不同时间间隔，ΔB的值相互独立。

2.积分过程取点比较

由上分析知：随机积分的分割点的取法将影响积分值，而普通积分的结果与分割点的取法无关。

3.收敛性比较

黎曼积分存在的充分条件是：被积函数连续且仅有有限个间断点；黎曼—斯第杰斯积分存在，则需满足以下两个条件：

（1）f（x），g（x）在0，1上没有相同的间断点；

（2）f（x）有p-有界变差，g（x）有q-有界变差，p-1+q-1>1。

果明显不同。

4.积分结果比较

普通积分结果为常数或含有参数的式子，但在随机积分中积分结果含有随机变量BT（w）。

归纳总结：随机微积分与普通微积分有较多不同之处，从图像来看，布朗运动关于自身的变上限Ito随机积分的图像处处连续但不可导，而变上限的普通积分的图像处处可导；从积分过程的取分割点来看，随机积分中不同的分割点对积分结果有直接的影响，但普通积分中的分割取点与积分结果无关；在收敛性方面，随机积分为均方收敛，普通积分中为逐点收敛；普通积分结果为常数或含有参数的式子，但在随机积分中结果含有随机变量。

参考文献：

[1]张卓奎，陈慧婵.随机过程[M].西安电子科技大学出版社，2003.

[2]Lawrence C. Evans. An Introduction To Stochastic Differen-tial Equations[M].Version1.2，UC Berkeley，2006.

[3]华东师范大学数学系.数学分析：第四版.高等教育出版社，2010.

[4]麦考斯基.随机分析基础：英文版.（Elementary Stochastic Calculus.世界图书出版公司，2009.

（作者单位 浙江师范大学）

编辑 王团兰endprint

摘 要：选取黎曼积分、黎曼—斯第杰斯积分作为普通积分，伊藤积分作为随机积分探究普通微积分与随机微积分的异同，分别比较三种积分在定义、性质上的异同点，并着重探讨它们的差异性。随机积分的求解可根据普通积分定义的四个步骤进行，可认为是普通积分的延伸。但由于两者的性质不同，它与普通积分有着较为明显的差异。从它们的图像、积分过程的取分割点、收敛性方面讨论它们的差异性，并得出结论。

关键词：黎曼积分；伊藤积分；异同；收敛

在普通积分里面，积分变量就是一般的实变量，而随机微积分的积分变量是布朗运动，在数学上严格的定义和构造布朗运动较为复杂。以下对普通积分与随机积分的异同探究时，我们分别选取黎曼积分、黎曼—斯第杰斯积分作为普通积分的代表，以伊藤积分作为随机积分的代表，比较它们在定义、性质上的异同点，并着重探讨它们的差异性。

一、相同点及联系

1.黎曼积分、黎曼—斯第杰斯积分

2.随机积分

iv.求极限R：由于布朗运动的性质，它在任何有限区间上，布朗运动无有界变差。因此，求解随机积分不能用通常意义上的R-S积分规则来处理。

归纳总结：由上分析可归纳得：随机积分的求解可根据普通积分定义的四个步骤进行，可认为是普通积分的延伸。

二、普通积分与随机积分的差异性

1.图像比较

设一个随机过程（Bt）t∈[0，∞），它在一个微小时间间隔Δt之间内的变化为ΔB。若遵循布朗运动，则需满足两个条件：

（2）对于任何两个不同时间间隔，ΔB的值相互独立。

2.积分过程取点比较

由上分析知：随机积分的分割点的取法将影响积分值，而普通积分的结果与分割点的取法无关。

3.收敛性比较

黎曼积分存在的充分条件是：被积函数连续且仅有有限个间断点；黎曼—斯第杰斯积分存在，则需满足以下两个条件：

（1）f（x），g（x）在0，1上没有相同的间断点；

（2）f（x）有p-有界变差，g（x）有q-有界变差，p-1+q-1>1。

果明显不同。

4.积分结果比较

普通积分结果为常数或含有参数的式子，但在随机积分中积分结果含有随机变量BT（w）。

归纳总结：随机微积分与普通微积分有较多不同之处，从图像来看，布朗运动关于自身的变上限Ito随机积分的图像处处连续但不可导，而变上限的普通积分的图像处处可导；从积分过程的取分割点来看，随机积分中不同的分割点对积分结果有直接的影响，但普通积分中的分割取点与积分结果无关；在收敛性方面，随机积分为均方收敛，普通积分中为逐点收敛；普通积分结果为常数或含有参数的式子，但在随机积分中结果含有随机变量。

参考文献：

[1]张卓奎，陈慧婵.随机过程[M].西安电子科技大学出版社，2003.

[2]Lawrence C. Evans. An Introduction To Stochastic Differen-tial Equations[M].Version1.2，UC Berkeley，2006.

[3]华东师范大学数学系.数学分析：第四版.高等教育出版社，2010.

[4]麦考斯基.随机分析基础：英文版.（Elementary Stochastic Calculus.世界图书出版公司，2009.

（作者单位 浙江师范大学）

编辑 王团兰endprint

摘 要：选取黎曼积分、黎曼—斯第杰斯积分作为普通积分，伊藤积分作为随机积分探究普通微积分与随机微积分的异同，分别比较三种积分在定义、性质上的异同点，并着重探讨它们的差异性。随机积分的求解可根据普通积分定义的四个步骤进行，可认为是普通积分的延伸。但由于两者的性质不同，它与普通积分有着较为明显的差异。从它们的图像、积分过程的取分割点、收敛性方面讨论它们的差异性，并得出结论。

关键词：黎曼积分；伊藤积分；异同；收敛

在普通积分里面，积分变量就是一般的实变量，而随机微积分的积分变量是布朗运动，在数学上严格的定义和构造布朗运动较为复杂。以下对普通积分与随机积分的异同探究时，我们分别选取黎曼积分、黎曼—斯第杰斯积分作为普通积分的代表，以伊藤积分作为随机积分的代表，比较它们在定义、性质上的异同点，并着重探讨它们的差异性。

一、相同点及联系

1.黎曼积分、黎曼—斯第杰斯积分

2.随机积分

iv.求极限R：由于布朗运动的性质，它在任何有限区间上，布朗运动无有界变差。因此，求解随机积分不能用通常意义上的R-S积分规则来处理。

归纳总结：由上分析可归纳得：随机积分的求解可根据普通积分定义的四个步骤进行，可认为是普通积分的延伸。

二、普通积分与随机积分的差异性

1.图像比较

设一个随机过程（Bt）t∈[0，∞），它在一个微小时间间隔Δt之间内的变化为ΔB。若遵循布朗运动，则需满足两个条件：

（2）对于任何两个不同时间间隔，ΔB的值相互独立。

2.积分过程取点比较

由上分析知：随机积分的分割点的取法将影响积分值，而普通积分的结果与分割点的取法无关。

3.收敛性比较

黎曼积分存在的充分条件是：被积函数连续且仅有有限个间断点；黎曼—斯第杰斯积分存在，则需满足以下两个条件：

（1）f（x），g（x）在0，1上没有相同的间断点；

（2）f（x）有p-有界变差，g（x）有q-有界变差，p-1+q-1>1。

果明显不同。

4.积分结果比较

普通积分结果为常数或含有参数的式子，但在随机积分中积分结果含有随机变量BT（w）。

归纳总结：随机微积分与普通微积分有较多不同之处，从图像来看，布朗运动关于自身的变上限Ito随机积分的图像处处连续但不可导，而变上限的普通积分的图像处处可导；从积分过程的取分割点来看，随机积分中不同的分割点对积分结果有直接的影响，但普通积分中的分割取点与积分结果无关；在收敛性方面，随机积分为均方收敛，普通积分中为逐点收敛；普通积分结果为常数或含有参数的式子，但在随机积分中结果含有随机变量。

参考文献：

[1]张卓奎，陈慧婵.随机过程[M].西安电子科技大学出版社，2003.

[2]Lawrence C. Evans. An Introduction To Stochastic Differen-tial Equations[M].Version1.2，UC Berkeley，2006.

[3]华东师范大学数学系.数学分析：第四版.高等教育出版社，2010.

[4]麦考斯基.随机分析基础：英文版.（Elementary Stochastic Calculus.世界图书出版公司，2009.

（作者单位 浙江师范大学）

将微积分的思想融入大学物理教学 第7篇

关键词：大学物理教学,微积分,变力做功

大学物理课程是所有理工科学生的全校性公共基础课, 对学生在后续的学习中具有重要的奠基作用。学生在完成了中学阶段对物理课程的学习后, 已经对物理学的基本定理和定律有了一定的了解。但是, 很多的公式仍是靠背诵来掌握, 知其然而不知其所以然。因此, 大学物理在一个新的高度上, 对学生之前所掌握的物理知识进行系统梳理, 使得这些知识点进一步融会贯通, 让学生认识到之前的学习可以作为现在的特例, 从而实现从特殊到一般的知识过渡, 进一步强化自我学习的能力。另一方面, 微积分是高等数学的一个重要组成, 很多学生在高中阶段已经对这部分的内容有所触及, 在大学入学后将进一步得到加强。不过, 数学课程偏重于概念的严谨性, 学习过程中将涉及大量的符号运算以及抽象的命题证明, 不容易让学生形成一种直观的图像。实际上, 回顾历史, 微积分的发明很大程度上就是受到物理学发展的推动[1]。因此, 通过对物理问题的分析来引导学生建立微积分的概念很有必要, 将微积分的思想融入大学物理的教学中, 将会深刻影响到学生思考问题的方式, 提高学生分析、解决问题的建模能力。本文将从以下几个方面来谈微积分思想在大学物理课程中的渗透。

一、微积分发明的历史

人类在历史长河的漫长积累中创造了辉煌的现代文明, 任何一次科学的飞跃以及技术的突破, 都是历经数代乃至数十代人的共同努力而成的。诚如微积分的发明者之一牛顿所言:“如果说我看得比别人更远一些, 那是因为我站在了巨人的肩膀上。”早在三国时期 (公元263年) , 数学家刘徽就提出“割圆术”的思想:“割之弥细, 所失弥少, 割之又割, 以至于不可割, 则与圆周合体而无所失矣。”大意就是我们可以用一个与圆内接的正多边形来近似描述一个圆形, 在多边形的边数较少的情况下, 这种近似的误差较大, 不过这种误差在边数不断增加的情况下将会逐渐减少, 最终消失。割圆术在分割的过程中用到的是基础的几何与代数, 形象而又直观。不过它最重要的价值是在于提出了一种极限的思想萌芽, 告诉我们可以通过逼近的手段得到一个任意精确度的结果。极限的概念和物理中的质点运动有着非常密切的关联。一般而言, 一个宏观质点在空间中的运动一定是有时间连续性的, 也就是说, 该质点的位置、速度以及加速度都是随着时间不断地进行着连续过渡, 这些物理量在某个时刻的前后并不存在跳跃变化。从极限的角度来理解那就是:若一个时刻与下一个相邻时刻之间的间隔可以被无限小地逼近, 那么在这个时间间隔里这些物理量的相应变化也应该是无限微小的。牛顿将这两个无限小量的比值与运动学的定义结合起来, 使得无限微分的概念有了一个明确的物理原型。而后, 微分的逆过程又和求变速运动、变力做功等问题产生直接对应, 牛顿-莱布尼兹公式在解决这些问题上发挥了重要作用。至此, 微积分的理论基石被完全奠定[2], 经典力学的结构也由此日趋完整。

二、微积分的思想方法

微积分的思想包含了有限与无限、近似与精确的辩证统一。这种统一在数学上已经得到了严格的证明, 因此在物理学特别是经典物理学的范畴内, 微积分已成为一种重要工具用于描述并解决各类物理问题。我们以质点运动学中“变力做功”这一经典问题为例, 来阐述微积分的思想以及方法。在中学物理中, 我们已经对质点运动过程中力的做功有了明确的定义, 即力与质点沿着该力方向所发生位移的乘积。根据这一定义, 可以直接获得直线运动情况下恒力的做功。可是一旦涉及到更一般的情况, 如运动过程中作用于质点上的力不断随着质点所处的空间位置而变化, 之前的定义就会遇到困难。此时, 运用有限元近似的处理方法将成为一种解决的可能。我们可将质点的运动轨迹分割为有限数量的小段, 每一个小段都近似为直线段;另一方面, 因为质点经过的每一小段长度都很小, 所以在同一个小段内质点的位置改变不明显, 所受到的力可以近似看成一个恒力。于是利用之前的做功定义, 可以得到质点在任意一个小段内受到的外力做功的近似值, 将这些近似值进行累加就获得总功的近似值。值得一提的是, 通过这种方法得到的近似值与精确值之间的误差是可以控制到任意小的, 只要我们将轨迹分割到足够短、数量足够多即可, 这一点与前述“割圆法”是类似的。微积分在思想上的重要突破就是:当这种分割持续到无限, 每个小段的长度都任意小的时候, 对无限多个微小量的求和数值是收敛的!而且该收敛的数值就是变力做功的精确值。于是, 初等数学的求和计算就过渡到了定积分。众所周知, 定积分的计算包含被积函数、积分变量、积分上下限等基本要素, 在“变力做功”的例子中, 这些基本要素均可以找到一一对应的物理内容。因为力是空间位置的函数, 而空间位置的变化则体现在每一段无穷小的位移量上, 这二者的点乘积即为做功的微元, 这些微元的累积代表总功。质点运动轨迹的终点和起点分别由定积分的上、下限来表示。现在, “变力做功”这个初等代数解决不了的问题已经完全转换成了一个定积分计算。定积分实际上就是无限微分 (即求导数) 的一个逆过程。一个函数的导数可以按下列步骤来演算:首先假设函数的自变量产生一个有限大小的增量, 则函数也随之产生一个相应的变化量, 可得变化量与增量的比值, 再求得该比值在增量趋近于零时候的极限, 就得到了导数函数, 之前的函数则称为该导数的原函数。牛顿-莱布尼兹公式告诉我们:对导数函数求定积分等效于求其原函数在上、下限的函数值之差3]。所以在“变力做功”的问题上, 只要能找到力函数的原函数, 就意味着存在解析解。

三、从微积分的角度看物理问题

微积分思想方法的应用, 极大地拓展了分析各类物理问题的范围。在中学物理中, 很多的物理量是通过两个或者多个物理量的乘积来定义的。如位移可表示为速度与时间间隔的乘积, 速度可表示为加速度与时间间隔的乘积, 做功可表示为力与位移的乘积, 电势可表示为电场强度与空间距离的乘积, 磁通量可表示为磁感应强度与面积的乘积等等。在这类乘法定义中, 均是采用一个恒定量乘以某段时间间隔或空间 (可以是一维、二维或三维) 间隔。在经典物理的框架内, 时间与空间都是连续且均匀变化的, 而恒定的物理量并不随着时空的变化而变化。这些显然都是特殊情况, 是为了让初次接触物理者尽快建立起相应的物理概念而设定的。一般情况下, 我们所讨论的物理量均是以时间和空间为基本变量的函数, 类似“变力做功”, 这些问题只能通过微积分的方法来进行求解。由微积分的思维方式理解物理问题的关键在于:采用无穷多次的分割, 将目标物理量分解为微小的单元量, 每一个单元量都与中学物理的定义相互对应, 最后对这些单元量进行累积。实际上, 这种计算方法是非常直观明确的, 它们均是建立在物理学的基本定义之上。在写出积分表达式后, 如果被积的函数是一个恒量, 由提取公因子可知这个恒量可以放在积分号的外面, 于是中学物理中的各类定义就能得以重现。如果被积函数是一些常见的函数, 此时微积分的计算就会显示出它的强大功能。当然, 有一些较复杂的函数不容易找到其原函数的解析表达式, 这时候可能需要运用到一些积分的运算技巧, 如分部积分、换元法等等4]。即使这些技巧无效, 在计算机技术高度发达的今天, 这些困难也都可以找到解决方案。“数值定积分”的算法思想就是将函数的积分区间等间距分割为N个点, 将这N个点对应的数值代入被积函数将得到N个函数值, 这些函数值的总和乘以积分区间上相邻两点的距离就是积分的数值结果。只要让N的数值足够大, 最后的结果与精确值之间的误差就会任意小。所以, 在大学物理课上讲解微积分, 主要是培养学生掌握这种分析问题的思维习惯, 不应该让繁杂的数学运算阻碍他们看清问题的本质。

总的来说, 以形象直观的物理模型为载体, 将微积分的思想方法融入各类物理问题的讲解中, 有助于学生更快地理解并掌握这一高等数学的方法, 同时强化了对经典物理理论体系的认识。采用微积分计算, 中学物理的大量公式 (除了基本定义) 均可推导出来, 这将进一步激发学生的学习信心与热情, 对学生自我学习能力的培养具有重要的促进作用。

参考文献

[1]龚升, 林立军.简明微积分发展史[M].长沙:湖南教育出版社, 2005.

[2]叶林.极限思想的发展与微积分的建立[J].内蒙古民族大学学报 (自然科学版) , 2008, 23 (4) :465-468.

[3]漆安慎, 杜婵英.普通物理学教程力学 (第二版) [M].北京:高等教育出版社, 2005.

微积分思想在中学数学中的渗透 第8篇

初等微积分是高中数学新课程标准中新增的内容之一, 它是以数列极限为基础, 贯穿极限思想方法, 突出微分、积分这对矛盾及其内在联系微积分基本定理, 让学生明确算理, 确定算法.微积分的知识和方法在中学数学的许多问题上, 能起到以简驭繁的作用.尤其在证明不等式、恒等式, 求切线方程及最值, 研究函数性质等方面, 有独到之处.本文通过一些典型例题详述了微积分在中学数学中的应用, 揭示了微积分方法作为基本的数学工具在许多方面的作用.

1 不等式的证明

不等式的证明方法多种多样, 但没有较为统一的方法, 初等数学中经常通过恒等变形, 数学归纳法等方法解决, 或应用已有的基本不等式来证明, 为此往往先要进行恒等变形, 这需要较高的技巧, 而利用微积分的方法和知识, 可简化不等式的证明过程, 降低技巧性.

例1 证明:当$0\beta \alpha \frac{\text{π}}{6}$时, 4cos βcos 2α>3sin α.

证明 令f (x) =4cos βcos 2x-3sin x, 则

f′ (x) =-8cos βsin 2x-3cos x<0.

因此, f (x) 是减函数, 从而

$\begin{array}{l}f(x)\ge f\left(\frac{\text{π}}{6}\right)=2\cos \beta -\frac{3}{2}\\ \ge 2\cos \frac{\text{π}}{6}-\frac{3}{2}=\sqrt{3}-\frac{3}{2}＞0.\end{array}$

即原不等式成立.

例2 证明:当a>1, b>0, c>0时, loga (a+b) >loga+c (a+b+c) .

证明 设f (x) =logx (x+b) (x>1) , 则

$\begin{array}{l}f(x)=\frac{\ln (x+b)}{\ln x}‚\\ f^{\prime }(x)=\left[\frac{\ln x}{x+b}-\frac{\ln (x+b)}{x}\right]/(\ln x){}^2.\end{array}$

所以f′ (x) <0, f (x) 为减函数, 于是有

f (a) >f (a+c) ,

即 loga (a+b) >loga+c (a+b+c) .

特别地, 当b=c=1时, 有

log23>log34>log45>.

2 恒等式的证明

例3 求证:C${}_n^1$+4C${}_n^2$+12C${}_n^3$++n2n-1C${}_n^n$=n3n-1.

证明 设f (x) = (1+x) n=1+C1nx+C2nx2++Cnnxn, 关于x求导数得

f′ (x) =n (1+x) n-1

=C${}_n^1$+2C2nx+3C3nx2++nCnnxn-1.

在上式中令x=2, 整理得原等式.

例4 试证当x-1时, 有

$2\arctan x+\arcsin \frac{2x}{1+x{}^2}=-\text{π}.$

证明 当x=-1时, 等式显然成立.

当x<-1时, 设

$f(x)=2\arctan x+\arcsin \frac{2x}{1+x{}^2}$,

关于x求导数得

$\begin{array}{l}{f}^{\prime }(x)=\frac{2}{1+x{}^2}+\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{2x}{1+x{}^2}\right){}^2}}\cdot \frac{2(1+x{}^2)-4x{}^2}{(1+x{}^2){}^2}\\ =0.\end{array}$

所以f (x) =常数, 令$x=-\sqrt{3}$, 则有$f(-\sqrt{3})=-\text{π}.$

故$2\arctan x+\arcsin \frac{2x}{1+x{}^2}=-\text{π}$, 对任意x-1.

3 确定方程中的未定参数

在含未定参数的方程中, 若把未定参数看作未知数的函数, 则确定未知参数的取值就转化为在定义域内求函数值域的问题, 高中数学曾介绍了求函数值域的几种方法, 但这些方法使用起来都比较复杂, 相比之下利用微积分的思想确定函数值域, 可简化计算过程.

例5 已知关于x的方程cos2x+sin x-a=0有实根, 求实数a的取值范围.

解 把参数a看成变量x的函数, 考察这个函数的值域.原方程变形为

a=f (x) =cos2x+sin x, x∈R.

两边求导数得

$\frac{\text{d}a}{\text{d}x}=-2\cos x\sin x+\cos x.$

令$\frac{\text{d}a}{\text{d}x}=0$, 得$x=k\text{π}+\frac{\text{π}}{2}$, 或$x=k\text{π}\pm \frac{\text{π}}{6},k\in \text{Ζ}$.显然连续函数a=f (x) (x∈R) 存在最大、最小值, 且只可能在驻点处取得.又

$\begin{array}{l}a=f\left(k\text{π}+\frac{\text{π}}{2}\right)=0{}^2+1=1‚\\ f\left(k\text{π}+\frac{\text{π}}{6}\right)=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right){}^2+\frac{1}{2}=\frac{5}{4}.\end{array}$

故函数最大值为$a=\frac{5}{4}$, 最小值为a=1, 即a的取值范围为$1a\frac{5}{4}.$

4 求函数的切线方程及最大值与最小值

例6 设M (x0, y0) 是椭圆$\frac{x{}^2}{a{}^2}+\frac{y{}^2}{b{}^2}=1$上不是顶点的任一点, 求过点M的切线方程.

解 椭圆方程两边关于x求导数得

$y^{\prime }(x)|{}_{x=x{}_0‚y=y{}_0}=-\frac{x{}_{0}b{}^2}{y{}_{0}a{}^2}.$

所以过M (x0, y0) 的切线方程为

$y-y{}_0=-\frac{x{}_{0}b{}^2}{y{}_{0}a{}^2}(x-x{}_0).$

整理得

$\frac{xx{}_0}{a{}^2}+\frac{yy{}_0}{b{}^2}=1.$

类似的方法可求得双曲线、抛物线的切线方程.

利用微积分的思想求函数的最大值与最小值的例子可见人教版《数学》第3册 (选修Ⅱ) 第136页第3.9节.

5 函数的变化性态及作图

函数图像的直观性有着别的工具不可替代的作用, 特别是在说明一个函数的整体情况及其特性的时候, 其作用尤为明显.这就要求我们能正确地作出函数的图形, 而中学数学中描点作图的过程有许多不足之处, 点取得不够多, 也许就会得到一个错误的图形, 而如果取得点太多, 那将花费过多的精力.

利用导数作为工具, 就可有效地对函数的增减性、极值点、凹凸性等重要性态和关键点作出准确的判断, 从而比较准确地作出函数的图形.一般来说, 讨论函数图形的步骤是:

1) 求函数的定义域, 确定图像范围;

2) 考察函数的奇偶性、周期性, 缩小图像的范围, 以便从部分掌握整体;

3) 求函数的某些特殊点, 如与两坐标轴的交点、不连续点、不可导点等;

4) 确定函数的单调区间、极值点、凹凸性及拐点;

5) 考察渐近线, 再按讨论的性态画出函数的图像.

例7 讨论函数$y=\frac{(x-3){}^2}{4(x-1)}$的性态, 并作其图像.

解 (ⅰ) 函数的定义域为 (-∞, 1) 与 (1, +∞) .

(ⅱ) 曲线与x轴交于 (3, 0) , 与y轴交于$\left(0‚-\frac{9}{4}\right).$

(ⅲ) 令$y^{\prime }=\frac{(x-3)(x+1)}{4(x-1){}^2}=0$, 解得x=-1, 3.当x<-1或x>3时, y′>0, 这时函数严格递增;当-1<x<1或1<x<3时, y′<0, 这时函数严格递减.

$(\mathrm{ⅳ})y^{″}=\frac{2}{(x-1){}^3}$, 当x<1时, y″<0, 这时曲线是凹的, 当x>1时, y″>0, 这时曲线是凸的.

(ⅴ) 因为$\underset{x1}{{\displaystyle \lim }}\frac{(x-3){}^2}{4(x-1)}=\infty$, 所以直线x=1是曲线的垂直渐近线.又因为

$\begin{array}{l}\underset{x\infty }{{\displaystyle \lim }}\frac{f(x)}{x}=\underset{x\infty }{{\displaystyle \lim }}\frac{(x-3){}^2}{4x(x-1)}=\frac{1}{4}‚\\ \underset{x\infty }{{\displaystyle \lim }}[f(x)-kx]=\underset{x\infty }{{\displaystyle \lim }}\left(\frac{(x-3){}^2}{4(x-1)}-\frac{1}{4}x\right)\\ =\underset{x\infty }{{\displaystyle \lim }}\frac{-5x+9}{4(x-1)}=-\frac{5}{4}.\end{array}$

所以直线$y=\frac{1}{4}x-\frac{5}{4}$是曲线的斜渐近线.

然后根据讨论作图 (略) .

参考文献

论微积分思想在中学教学的可行性 第9篇

一、中学教材几何教学中避而不谈的“盲点”

中学数学教学和大学数学教学固然不一样, 为了适应中学生的学习, 往往带有直观、形象地教学. 但从而也出现了一些“显然”的盲点. 分述如下:

(1) 在初中数学教材中, 以无限不循环小数的形式定义无理数, 从而将数系扩充为实数. 但是实数是什么? 扩充后的完备性意义在哪里? 没有说明, 而且没有直观的解释. 再者, 中学教材只是引进实数概念, 除此之外再没有研究数系的任何性质, 俨然有严重“短缺”.

(2) 中学数学中有两个支撑整个中学几何的基本概念:面积和对应边成比例. 让我们看一下:

1面积作为不加定义的概念无疑是非常自然方便的, 也符合数学的本质. 比如, 我们把边长为单位1的正方形A所围成的“东西”叫作面积, 量记为“1”. 这样的话任何一个边长为有理数p/q的正方形B都可以跟A比较. 因为A里可以形象地看成由q2个边长为1 /q的小正方形C组成的, 而B是由p2个C组成的, 因此B的面积通过比较应该是A的 (p/q) 2倍. 但是, 这种看法不能直接适用无理数, 如果边长是无理数呢? 那将无法通过有限个分割来比较! 但是中学的整个数学教学过程中仍然不加解释地把边长为任意实数t的正方形面积定义为t2正确的理解应该用有理数的逼近, 也正是微分, 见下面第三点.

2对应边成比例, 也是非常自然直观的定义, 完整叙述为:任意两条直线l1, l2与三条平行线相交, 分别对应被截得长度为l11, l21与l12, l22, 则有:l11∶l21= l12∶l22. 原因是很显然的, 当l11, l21, l12, l22皆为有理数时, 两直线可以看作被一组等距的虚拟的加细的平行线平均分割成相同的份数, 对应的份数之比当然相同. 然而, 如果l11, l21, l12, l22不全为有理数呢? 那将无法自然地把对应边成比例看成显然的定义, 因为不能加细分割成有限份! 但整个中学教学中显然把实数都纳入定义内! (正确的思想方法也应是有理数的逼近, 即微分)

3中学数学中混淆着两种语言. 考虑单位圆周, 我们自然地把圆周平均分成360份, 每一份叫一度. 若角α对应扇形的面积为A, 则中学数学里自然地认为任何角xα对应扇形的面积为A的x倍, 这在平面图形上看几乎是显然的. 注意这是几何层面的语言, 我们自然地认为面积随角度的增加“均匀”地递增. 但是我们还有一种“熟悉”的代数方式表示:, 然而这个时候, 对应的面积是关于x的函数, 任给一个x值, 都对应一个面积值, 因此面积随x增加的速度 (也即是关于x的导数) 是客观存在的, 不以人的意志转移, 那么, 这时候也许有学生问, 事实上表达式代表的面积也是随着x的增加而均匀增加的吗? 也就是它是否和我们先天假设的几何直观运动变化一致? 从而我们可以把几何图形就等价地看成这个表达式从而加以研究. 中学中我们对此本质混淆的概念也“闭口不谈”. (事实上这可以用积分的思想来完美地解释)

二、大学微积分思想的“滞后性”

虽然微积分是大学数学的入门与基础, 也是非常重要的思想, 但直到大学阶段才系统教授微积分, 未免姗姗来迟. 这可以通过以下说明:1通过上述分析中学阶段遇到了实质上微积分的很多实质性的问题, 足以有理由在中学阶段就需渗透微积分的知识. 2大学教授微积分的出发点也是从最基本的实数的理论出发, 实数的完备性和中学阶段讲授的实数思想出发点完全一样, 所以无须非得等到完全度过中学阶段才真正开始讲授, 从这个意义上讲未免迟了点. 3如果在中学阶段的教学中适当渗透微积分的知识, 不仅能解决中学阶段遇到的问题, 而且对大学的数学教学有着促进作用. 事实上, 上面一中遇到的问题, 在中学阶段是可以很好地解决的, 下面会论证这至少在一定程度上是可行的.

三、方法解决的可行性

中学中遇到的上述问题是可以用微积分的思想很好地解决的. 从有理数过渡到实数可以用逼近的方法, 完全可以被中学生的思维接受, 从而给中学教学提供了可行性. 现在给出命题的论证, 分述如下:

1任何边长为实数 a 的正方形 A 的面积为 S = a2.

2平行线截得两直线所成的线段对应成比例, 证明和1类似, 也是用有理数的逼近来证明, 从而可以将自然、直观的定义推广到整个实数域.

3关于上面一中提到的第三点, 可以参照 WalterRudin的实复分析的第零章部分.

四、小 结

浅谈大学物理中微积分思想的应用 第10篇

一、为什么要用微积分?

首先, 要认识到微积分的思想本质和重要性。微积分思想和方法是一种辩证的思想和分析方法, 它包含了有限与无限的对立统一, 近似于精确的对立统一[2]。其基本思想是将整体进行无限分割, 分割后的每一小部分可以近似于简单问题的情况, 这就是微分。把简单解决, 然后进行求和, 无限求和即是积分。我们知道的是简单问题的处理, 而大多数问题相当复杂。借助于微积分, 我们可以通过微积分的思想将我们知道的有限的简单问题应用到复杂问题的解决当中, 使我们对各种复杂问题的现象及背后规律有更加深刻而清晰的认识。所以微积分不仅仅是一个简单的数学工具, 更是我们理解和探索世界的一个重要思想。

二、如何使用微积分

三、应用微积分应注意的问题

(1) 如果计算的物理量是矢量[3]。那么, 矢量既有大小又有方向。在物理中, 我们通常要建立坐标系, 把微元对应的物理量计算出来, 然后将其投影到坐标分量上, 每个坐标分量可以视为标量, 分别进行积分。最后再写成矢量形式。

四、结论

综上所述, 我们针对大学物理学习和教学中比较重要但又是难点的微积分思想和应用进行了阐述, 说明应用微积分的原因、意义, 怎样使用微积分, 以及使用微积分应注意的问题。微积分作为解决物理问题的基本工具和思维方法, 我们只有掌握好它, 才能够使得大学物理的学习和教学得到巩固和发展。

摘要：微积分是大学物理学习中重要的数学工具, 也是初学大学物理时遇到的一个困难。我们为什么要用微积分, 如何使用微积分, 应用微积分时应注意哪些问题?这都是我们大学物理学习中应用微积分应该注意的问题。本文逐次阐述这几个问题, 并从实际例子中加以说明。

关键词：大学物理,微积分,应用

参考文献

[1]黎定国, 邓玲娜, 刘义宝, 潘小青.大学物理中微积分思想和方法教学浅谈, 大学物理, 第14卷第12期, 2005, 51-54.

[2]龚昇.对微积分中主要矛盾的粗浅认识[J], 高等数学研究, 1999, 3, 9-12.

[3]马文蔚, 殷实, 沈才康, 包刚.物理学习题分析与解答 (第五版) , 高等教育出版社, 2006, 6.

积分卡经济 第11篇

除了加法以外，还有人喜欢减法。比如像我这样的房奴，总爱拿个白纸记帐，上个月的房款总数加利息是多少，减去这个月上的供，又是多少。尽管离还清贷款还有着相当遥远的距离，但每次算帐心里都多一丝丝宽慰，那基数又减了一点啊，明天会比今天欠得更少啊……脑子里充满着减负的快感，就觉得日子还有些奔头。

这样的症状是焦虑的表现，但也是人的本性。可能很多人从小就厌倦数学课，但一到了这样的时候，都会对数学乐此不疲。这毛病商业社会可以充分利用，比如航空公司总是说，如果能把飞行里程积累到一定程度，就能获得优惠，甚至能得到免费旅行的奖励。尽管那是个空中飞人才能完成的数字，但人们总是被这个里程数激励着，算计着自己飞行了多少，自觉不自觉地去买它的票。还有一家饭店，说在本店消费达到8000元钱就能打八折。都明白，那打掉的两成利润，在8000元钱里早就找补回来了，但还是在潜意识里希望能获得这个优惠。我的朋友，就把大小饭局甚至单位聚会都拉到那个饭馆里，结果神奇地只用了一年多的时间就拿到了八折资格。饭店里的服务员都认识她了。

由利用强迫症而发展出的“积分卡”经济，那是培养忠诚客户相当有效的手段。看看吧，国际足联、排联、羽联、乒联、田联……都拿积分说事儿，那是一种人为设定的荣誉，更是一种人为制造的目标。有了种种的目标，人生才变得更有意义。所以，酒店、商场、餐饮店甚至家具店都能发出自己的积分卡，把自己的客户称作VIP。VIP这个名字听上去，应该很爽的吧?

比如有一次我想买一套象样的西服，因为我就没有一套穿得出去的正装。于是我去了某著名男装品牌店，咬牙切齿地买下我迄今为止最贵的一套西服。这个时候我被告知，我只要多花1元钱，就能获得一张VIP卡，拿着这张卡，可以在全国该品牌店中打九折。这是一种巨大的荣誉啊，因为这家店对外从来不打折的。而且，在此基础上积累下去，我还有获得更大折扣的可能。于是我表示愿意多花1元钱。可是，人家拒绝多收这1元钱，而是建议我再买一件商品。买什么呢?西装以下，最便宜的就是袜子了，也需要50元一双。要搁平时，我连5元钱一双的袜子都不会买，我一般只买10元钱3双的。但那天我着了VIP的魔，一咬牙把袜子买了。

这件事情的后果是，我再也没有去那家店买过东西，因為实在是太贵了。而那双袜子，是一双最不禁穿的袜子，只穿了一次便破了大洞，使我意识到袜子的确不是该品牌的长项。到现在，我还经常能收到该品牌寄来的新品介绍，唤起我对往昔沉痛的回忆。

我相信，每个大小白领都和我一样，钱包里、抽屉里、书包里，都有着各式各样的积分卡。闲暇的时候不妨拿出来清点一番，看看自己在各条战线上都取得了怎样的成绩。

所以，我建议过我们楼下卖杂货的小店主，做个积分卡，比如积分到了1000分，就可以奖励一卷卫生纸，或者一包方便面什么的。他居然问我：“这样有用么?”我就把我的各种积分卡亮给他看，说明这么做的确是有用的。

可他很快就发现了问题，因为有一张红色的卡，他也有。那是离我们最近的一家大超市的积分卡。每次在那里交钱的时候，收款员总会问一句：“您有积分卡吗?”

他认为积分卡没用，就是缘于这张红色的卡。他说，他用这张卡在那家超市买过很多东西，可从来没听说过有什么好处。我一想也是，我用这张卡两年了，怎么也没印象有卡能打折呢?

我留了心眼，下次去那家超市时特意问收款员：“这分积到哪儿算一站啊?比如有了1万分，是不是有赠品，或者能打折?”她很茫然地摇摇头说：“我也不知道。可能优惠正在制定中。”

我恍然大悟。这卡就是利用我们的强迫症啊。多少次我们只问耕耘不问收获来着?我们辛辛苦苦积了那么多分，原来人家考虑了两年，还没考虑好给我们什么优惠呢。也许再过两年，也不会考虑出来。

不定积分凑微分法的思想与教学探析 第12篇

一、基本理论与规律

1. 凑微分法的主要定理

定理设f (u) , φ (x) , φ' (x) 都是连续函数, 函数F (u) 为f (u) 的一个原函数, 则

2. 主要规律

由上述定理, 我们可以得到关于凑微分法的基本规律如下:

(1) 凑微分法的被积函数一般是一个复合函数和其他函数的乘积形式, 这可以作为使用此种方法的重要特征.

(2) 此种方法的基本思想是化繁为简, 即通过凑微分和换元将被积函数变为基本初等函数再用公式计算即可.

(3) 此方法可看成复合函数求导的逆过程.

二、基本方法

由基本定理和上述规律可见, 在学习具体方法之前, 首先有几个准备工作必须完成:

(1) 要清楚适用于此类方法的积分要具有什么特征, 即在被积函数中一定有复合函数;

(3) 要对每个基本积分公式非常熟悉, 以便凑微分后可以准确、快速地写出积分结果.

基于上述讨论, 下面给出运用凑微分法解题的基本步骤如下:

(1) 找关键:观察被积函数之中是否含有复合函数, 若有, 找出复合函数中的中间变量u=φ (x) , 这样, 凑微分就有了目标, φ (x) 是否能够准确地找出来是凑微分法能否继续进行的关键;

(2) 凑微分:知道了φ (x) , 就知道了目标就是凑出dφ (x) , 再根据被积函数给出的其他部分凑出dφ (x) ;

(3) 选公式:观察凑微分之后的积分形式 (必要时需换元) , 确定用哪个基本公式;

(4) 写结果:根据选用的公式写出积分结果 (若换元记得还要还原) .

三、具体例子

下面通过几个例子来阐述使用上述方法的解题思路.

当然, 我们提出的方法在具体使用中远不止像上面两例那么简单.比如下面的例子.

对于一些题目, 初看无从下手, 但是只要进行一些变形, 就可以使用凑微分法.如下面两个例子.

对于有关于三角函数的积分, 可以运用各种三角公式对被积函数进行变形.

由上面的这些例子看出, 要想灵活运用凑微分法, 必须多看、多想、多体会, 更要多加练习.

四、结语

本文针对于计算不定积分的凑微分法, 通过仔细的分析, 提出了一种行之有效的计算过程, 对于初学者来说, 可以先按此步骤进行练习, 逐步加深对方法的理解, 然后通过大量的练习和体会, 慢慢掌握凑微分法.

参考文献

[1]同济大学.高等数学 (第6版) .北京:高等教育出版社, 2007.

[2]孙长军.隐藏着可以凑微分的不定积分计算问题.伊犁师范学院学报 (自然科学版) , 2012 (3) :34-38.