函数的周期性与奇偶性

函数的周期性与奇偶性（精选10篇）

函数的周期性与奇偶性 第1篇

抽象函数的周期性与奇偶性的学案

知识回顾：（1）函数的周期性：（2）函数的奇偶性：

例

1、若fx是R上的周期为5的奇函数，且满足f11,f22,则

f3f4()A、1 B、1 C、2 D、2

变式、已知fx是定义在R上的奇函数，若fx满足fx3f(x)2f10,f2

2m3则m的取值范围是 m1例

2、(1996高考)设fx是R上的奇函数，f2+xfx当0x1时

fxx,则f7.5()A、0.5　B、-0.5　C、1.5　D、-1.5

变式

1、已知fx是定义在R上的偶函数，且满足fx4fx当x0,2

时 fx2x2 则 f7()A、-2　B、2　C、-98 D、98

变式

2、设定义在R上的函数fx同时满足下列条件：

(1)、fxfx0;(2)、fxfx2;（）、当3 0x1 时，fx2x1, 则ff1ff2f

例

3、设fx是定义在R上的奇函数，且f2+xfx下面关于fx的判定：其中正确命题的序号为

①f40 ②fx是以4为周期的函数

③fx的图像关于直线x1对称

④fx图像关于直线x2对称 123252探究：定义在R上的函数fx满足fx给出以下命题：

① 函数fx的最小正周期为

33fx0且函数yfx为奇函数，243 2② 函数yfx的图像关于点3,0对称 4③ 函数yfx的图像关于y轴对称 其中真命题的个数是（）

A、3 B、2C、1 D、0

变式：函数fx的定义域为R，且满足fx是偶函数，fx1是奇函数，若 f0.5＝ 9，9　 　B、9 C、3 D、0 A、则f8.5等于（）

例

4、函数fx定义域为R，且满足fx2＝fx，（1）求证: fx是周期函数。（2）若fx是奇函数，且当0x1时，fx可能所有x的个数？

变式、（2007安徽）定义在R上的函数fx既是奇函数又是周期函数，T是它的一个周期，若将方程fx=0在闭区间T,T上的根的个数记为n，则n可能为（）

11x，求使fx=在0,2009上 22A、0B、1 C、3 D、5

作业与小结：

函数的周期性与奇偶性 第2篇

ax11ax

xf(x)，所以f(x)为奇函数。（1）f(x)xa1a1

ax1(ax1)221（2）f(x)x，a1ax1ax1

因为a0，所以a11，所以0

所以f(x)的值域为(1,1).（3）任取x1,x2R，且x1x2，则 xx22，ax1

ax11ax2122f(x1)f(x2)x1x2x2x1 a1a1a1a1

2(ax11)2(ax21)2(ax1ax2) x1(ax11)(ax21)(a1)(ax21)

xx因为a1，x1x2，所以a1a2，所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)

关注导函数的周期性与奇偶性 第3篇

对于导函数, 在我们的教学中往往只关注导数的应用, 特别是导数在处理函数的单调性、极值 (最值) 、不等式的证明等问题中别具一格的应用, 更是把导数的“本色”刻划得淋漓尽致.其实, 导函数本身也许多独特的性质, 如导函数的周期性与奇偶性在最近几年的高考数学试题中考查便是一大“亮点”, 本文主要罗列其中的性质, 再作简单的应用.

1 定理再现

定理1 已知函数y=f (x) 是可导的周期函数, 则其导函数y=f′ (x) 也为周期函数且与y=f (x) 具有相同的周期.

证明 因为函数y=f (x) 是可导的周期函数, 所以f (x+T) =f (x) (T为周期) , 利用复合函数导数运算法则得f (x+T) (x+T) ′=f′ (x) , 因此f′ (x+T) =f' (x) .

定理2 已知函数y=f (x) 是可导的偶函数, 则其导函数f′ (x) 是奇函数;反之, 如果函数f (x) 是可导的奇函数, 其导函数f′ (x) 是偶函数.

证明 因为函数y=f (x) 是可导的偶函数, 所以f (-x) =f (x) , 利用复合函数导数运算法则得f′ (-x) (-x) ′=f′ (x) , 即f′ (-x) =-f′ (x) , 因此f′ (x) 是奇函数.反之同理可证.

这2个定理刻划了原函数与导函数之间的周期性与奇偶性的内在关系, 在我们解题中具有广泛的应用, 下面通过例题来加以说明.

2 定理应用

例1 (2007年福建高考数学理) 已知对任意实数x, 有f (-x) =-f (x) , g (-x) =g (x) , 且x>0时, f′ (x) >0, g′ (x) >0, 则x<0时, ( ) .

(A) f′ (x) >0, g′ (x) >0 (B) f′ (x) >0, g′ (x) <0

(C) f′ (x) <0, g′ (x) >0 (D) f′ (x) <0, g′ (x) <0

分析 由定理2知:函数f′ (x) 是偶函数, 函数g′ (x) 是奇函数.又因为当x>0时, f′ (x) >0, g′ (x) >0, 所以x<0时, f′ (x) >0, g′ (x) <0.选B.

例2 (2006年湖南高考数学理) 若$f(x)=a\sin \left(x+\frac{\text{π}}{4}\right)+b\sin \left(x-\frac{\text{π}}{4}\right)(ab\ne 0)$是偶函数, 则有序实数对 (a, b) 可以是____. (写出你认为正确的一组数即可)

解法1 由偶函数的定义知:f (-x) =f (x) 对定义域中任何一个x都成立.即$a\sin \left(-x+\frac{\text{π}}{4}\right)+b\sin \left(-x-\frac{\text{π}}{4}\right)=a\sin \left(x+\frac{\text{π}}{4}\right)+b\sin \left(x-\frac{\text{π}}{4}\right)$对定义域中任一个x都成立, 化简得$\sqrt{2}\sin x\cdot (a+b)=0$对定义域中任一个x都成立, 所以a+b=0, 只需填满足a+b=0的一组数即可.

解法$2f^{\prime }(x)=a\cos \left(x+\frac{\text{π}}{4}\right)+b\cos \left(x-\frac{\text{π}}{4}\right)$.由定理2知, 导函数f′ (x) 是奇函数, 所以f′ (0) =0.从而$f^{\prime }(0)=a\cos \frac{\text{π}}{4}+b\cos \frac{\text{π}}{4}=0$, 故a+b=0, 只需填满足a+b=0的一组数即可.

评注 如果直接去解答这类问题往往要利用偶函数的定义, 这就需要涉及到比较大的计算量.但转化为导函数后, 其导函数为奇函数, 就可以奇函数的特性来解答问题, 不仅开阔思路, 而且简化运算, 真是一举两得的事情.高三阶段的复习不仅需要“温故”, 更需要“知新”, 通过前后知识的整合, 剖析了知识间的内在联系, 重新构建起学生的知识网络, 避免了盲目的“题海战术”, 是提高复习效率的关键所在.

例3 (2007年江西高考数学理) 设函数f (x) 是R上以5为周期的可导偶函数, 则曲线y=f (x) 在x=5处的切线的斜率为 ( ) .

(A) -1/5 (B) 0 (C) 1/5 (D) 5

分析 曲线y=f (x) 在x=5处的切线的斜率为f′ (5) , 由定理1与2知:f′ (x) 是奇函数且周期为5.所以f′ (5) =f′ (0) =0, 选B.

函数的周期性与奇偶性 第4篇

一、函数的周期性

一般地说，对于函数y=f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使取定义域内的每一个x值时， f(x+T)=f(x)都成立，那么就把函数y=f(x)叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。理解周期性要注意以下几点：1.定义适合定义域中的每一个x值。2.并不是所有周期函数都存在最小正周期，如常数函数f(x)=c，所有的正数都是它的周期，但没有最小值，故常数函数没有最小正周期。3.周期函数的周期不止一个，若T是周期，则kT(?资∈?篆+)也是周期。4.周期函数的定义域一定是无限集，而且定义域一定无上界或无下界。5.设a为非零常数，若对于f(x)定义域内的任意x，恒有下列条件之一成立：①f（x+a）=-f (x) ②f（x+a）= ③f（x+a）=- ④ f（x+a）=⑤ f（x+a）=⑥ f（x+a）=f（x-a），则函数y=f（x）是周期函数。

二、函数的奇偶性

如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x，都有f（-x）=-f（x），那么函数y=f（x）就叫做奇函数；如果对于函数（x）定义域内的任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数y=f（x）为偶函数。理解奇偶性要注意以下几点：1.定义域必定关于原点对称，即定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件。2.奇偶性是研究函数在整个定义域内的函数值的对称问题。3.若函数f（x）既是奇函数又是偶函数，则f（x）=0，反过来不一定成立，如：f（x）=0（-1

三、周期性与奇偶性的结合

周期性解决的问题是自变量相差常数（周期的倍数）时，对应的函数值相等；奇偶性解决的问题是自变量互为相反数时，函数值的关系。当求某一函数值时，可以先考虑一方面进行变化，如得不到结果，再从另一方面进行变化，从而解答相关问题。现举例如下：

例1：已知f（x）是定义在R上的以2为周期的偶函数，且当 x∈（0，1）时，f（x）=2x-1 ，则f（log212）的值为 。

解析：∵3

∴f（log212） =f（log212-4）=f（4-log212）=24-log212-1=

评析：函数的周期为2，则自变量相差2的整数倍的函数值相等，但只给了（0,1）时的解析式，所以再利用偶函数性质，互为相反数的两个自变量对应的函数值相等，得出所要求的函数值。

例2：（2010?安徽卷）若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f（1）=1，f（2）＝2 ，则f（3）-f（4）= （ ） A.-1 B.1 C.-2 D.2

解析：由周期性得f（3）=f（-2），再由奇函数得 f（-2）＝-f（2） ∴f（3）=-f（2） 同理f（4）＝-f（1）∴f（3）-f（4）=f（1）-f（2）=1

评析：函数是奇函数可求互为相反数的两个自变量所对应的函数值，周期可得自变量相差5的倍数的函数值相等。只有两个性质灵活运用才能顺利解决问题。

练习：已知f（x）是定义在R上的以4为周期的偶函数，若当x∈（0，2）时，f（x）=lg（x+1）， 则有（ ）。A.f（-）>f（1）>f（） B.f（-）>f（）>f（1） C.f（1）>f（-）>f（）

D.f（）>f（1）>（-）B. （答案A）

例3：已知定義在R上的函数f（x）既是奇函数，又是周期函数，T是它的一个正周期，若将方程f(x)=0在闭区间[-T,T]上的根的个数记为n，则n可能为（ ）A.0 B.1 C.3 D.5

解析：∵f （x）为奇函数且周期为T，∴f(0)=0 ∴ f(T)=f(-T)=0 又∵ f(-)=f(-+T)=f()=-f(∴f()=0, f(-)=0 ∴f(x) 在 [-T,T]上至少有5个根。(答案D)

评析：1.奇函数定义域包含0，则f(0)=0。2.奇函数得出 f(-)=-f(),周期性得出 f(-)=-f() ∴f()=0。此题通过两个性质的巧妙结合可以培养学生分析问题和解决问题的能力。

练习：若f(x)是R上周期为3的奇函数，且f(2)=0，则方程f(x)=0在区间（0，6）内的解至少有（ ）。 A.4个 B.5个 C.6个 D.7个 (答案D )

例4：已知定义在R上的奇函数f(x)的图象关于直线x=1对称，并且x∈(0,1]时，f(x)=x2+1，则f(462)的值为（ ）。A.2 B.0 C.1 D.-1

解析：由奇函数得f(x)=-f(x)，由图象关于直线x=1对称得 f(-x)=f(2+x)∴f(2+x)=-f(x)∴T=4 ∴f(462)=f(2)=f(0)=0

评析：函数既有奇偶性，又关于直线x=a(a≠0)对称，则函数必为周期函数，又奇函数f(0)=0，结合关于x=1对称，∴f(2)=f(0)=0 ∴f(462)=0

练习:已知函数f(x)是定义在R上的偶函数且满足f(x+1)+f(x)=3，当 x∈[0,1]时f(x)=2-x，则f(2011.5)= 。（答案1.5）

函数的周期性和奇偶性的结合自然巧妙，旨在考查学生理解定义和灵活运用所学知识的能力，是培养学生分析问题、解决问题的很好的题型。以上是我对函数周期性和奇偶性的一点认识，愿与各位同仁共同探讨。

函数的奇偶性教案 第5篇

伊滨一高

杨志刚

2012年11月15日

函数的奇偶性

教学目标

1、从形和数两个方面进行引导，使学生理解函数奇偶性的概念;

2、会利用定义判断简单函数的奇偶性.教学重点: 函数奇偶性概念的形成与函数奇偶性的判断.教学难点: 对函数奇偶性的概念的理解.教学过程

一、导入新课

先举现实生活中对称的例子,然后启发学生发现数学中存在对称的图形,试让学生举例.(学生可能会举出yx2和yx,y1等例子)其中哪些函数的图象关

x于y轴对称？

以函数yx2为例，画出图象,让学生说出判断其图象关于y轴对称的方法.在数学上将图象关于y轴对称的函数叫做偶函数.今天将从数值角度研究图象关于y轴对称函数的自变量与函数值之间的规律.二、讲解新课

引导学生先将规律具体化,再用数学符号表示.从而发现对定义域内任意一个x,都有 f(x)= f(x)成立.最后让学生用完整的语言给出偶函数定义,不准确的地方予以提示或调整.一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(x)f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数.注:强调“任意”两字.给出定义后可让学生举例检验他们对概念的初步认识

提出新问题:图象关于原点对称的函数的自变量与函数值之间具有怎样的数值规律呢?(同时打出y1的图象让学生观察研

x究)引导学生用类比的方法,得出结论,让学生给出奇函数的定义.一般地,如果对于函数

f(x)的定义域内任意一个

x,都有,f(x)f(x)那么函数f(x)就叫做奇函数.三、例题讲解

例1 判断下列函数的奇偶性(1)f(x)x1;(2)f(x)x1x2;(3)f(x)2x;(4)f(x)|x|2;(5)f(x)(7)f(x)(9)1x2;(6)f(x)x2,x[3,1];4x2(x2)0;(8)f(x)2x1;1x22x22xf(x);(10)f(x).x22x1前三个题做完，进行一次小结,判断奇偶性,只需验证 f(x)与

f(x)之间的关系.此时提出问题如何判断一个函数不具有奇偶性呢？以第(1)为例,说明怎样解决它不是偶函数的问题呢?引导学生得出只需举一个反例就可说明.通过第(6)题引导学生得出定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的先决条件的结论.由学生小结判断奇偶性的步骤之后,提出新的问题:在刚才的几个函数中有是奇函数不是偶函数,有是偶函数不是奇函数,也有既不是奇函数也不是偶函数,那么有没有这样的函数,它既是奇函数也是偶函数呢?若有,举例说明.经学生思考,可找到函数 f(x)0.然后继续提问:是不是具备这样性质的函数的解析式都只能写成这样呢?能证明吗?

例2 已知函数 f(x)既是奇函数也是偶函数,求证: f(x)0.(由学生来完成)

证明: f(x)既是奇函数也是偶函数，f(x)= f(x),且 f(x)f(x),  f(x)= f(x). 2f(x)0,即 f(x)0.进一步提问：这样的函数应有多少个呢?（学生开始可能认为只有一个,经提示可发现, f(x)0只是解析式的特征,若改变函数的定义域,如 f(x)0, x[1,1], f(x)0，x{2,1,0,1,2},它们显然是不同的函数,但它们都是既是奇函数也是偶函数.）课后反思：

1、函数奇偶性的定义;

2、函数奇偶性的判定;

3、利用函数的奇偶性可将函数分为四类:奇函数、偶函数、非奇非偶函数、既奇又偶函数.作业

P361、2题；P39A组6题；P39B组3题。[板书设计]

函数的奇偶性

1、定义：

2、函数奇偶性的判断；（画图）

3、例题示范；

4、例题讲解；

函数的奇偶性教案 第6篇

教学目标

1．能够理解函数奇偶性的概念．

2．通过参与函数奇偶性概念的形成过程，养成观察、归纳、抽象的能力，渗透数形结合的数学思想方法．

3．学生能够具有从特殊到一般的概括能力．

教学重点：函数奇偶性概念 教学难点：函数奇偶性的判定．

教具准备：幻灯片，投影仪，彩色粉笔，黑板 教学过程设计：

师：同学们，“对称”是大自然的一种美，这种“对称美”在数学中也有大量的反映．让我们看看下列各函数有什么共性？

(幻灯．翻折片．)

观察下列函数的图象，总结各函数之间的共性(图1)．

（生：函数是定义域为全体实数的抛物线；函数的定义域是定义域为全体实数的折线；函数为非零实数的两支曲线，各函数之间的共性为图像关于y轴对称。）

师：那么究竟什么叫关于y轴对称？

（生：从初中所学的轴对称概念可知，如果图形F与F′关于y轴对称，那么把图形F沿y轴折过来，一定与图形F′重合。）

师：(幻灯演示)将

在y轴右侧的图象，沿y轴折过来，我们发现它与左侧的图象重合了，这说明我们刚才的观察结果是正确的．既然图形是由点组成的，那么，让我们在直角坐标系中，观察一对关于y轴对称的点的坐标有什么关系？

(幻灯演示)我们在函数

位于y轴右侧的图象上任取一点(x，f(x))，通过沿y轴对折找到其关于y轴的对称点（x′,f(x′)）.同学们由图像观察一下，这两个点的坐标有什么关系？

生：x=-x′,.也就是说，当自变量任取定义域中的两个相反数时,对应的函数值相等．

师：看来具备此种特征的函数还有很多，我们能不能用定义的形式对这类函数做出刻划呢？

生：一般地，如果对于函数y=f(x)定义域D内的任意实数x，都有f(－x)=f(x)，那么就把函数y=f(x)叫做偶函数．

(当学生的表述不完整，不准确时，教师可做适当的提示和补充．)

师：下面我们来分析一下这个定义．定义中“任意实数x，都有f(－x)=f(x)”说明了什么？

生：这说明f(－x)与f(x)都有意义，即－x，x同时属于定义域，因此偶函数的定义域是关于原点对称的．

师：定义域关于原点对称是函数为偶函数的什么条件？

生：定义域关于原点对称是函数为偶函数的必要条件．

师：那么定义的实质是什么呢？同学们能不能用自己的语言来表述一下偶函数的定义．

生：当自变量任取两个互为相反数的值时，对应的函数值恰好相等．

师：下面我们看几个习题．

(幻灯)

1．判断下列函数是否是偶函数．

(1)

(2)

生：函数f(x)=x2，x∈[－1，2]不是偶函数．因为它的定义域关于原点不对称．

函数

也不是偶函数。因为它的定义域为｛x|x∈R且x≠1｝，并不关于原点对称．

(对于本题，学生很容易提取分子中的公因式x2，进而化简成f(x)=x2，从而得出该函数是偶函数的错误结论．)

(多重复合幻灯)

同学们，让我们再来观察下一组函数的图象，看看它们之间有什么共性？

(幻灯．旋转片)

观察下列函数的图象，总结各函数之间的共性．

生：各函数之间的共性是它们的图象都关于原点对称．

师：那么究竟什么叫做关于原点对称呢？

生：从初中所学的中心对称概念可知，所谓图形F与F′关于原点对称，就是把图形F在它们所在的平面绕着原点旋转180°，一定能与图形F′重合。

师：(幻灯演示)将转180°，我们发现它与

在第一象限内的图象，绕着原点旋在第三象限内的图象重合了．这说明我们刚才的观察结果是正确的．那么一对关于原点对称的点的坐标又有什么关系呢？

生：一对关于原点对称的点，它们的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数．即：当自变量任取定义域中的两个相反数时，对应的函数值也互为相反数．

师：我们能不能用定义的形式对这类函数做出刻划呢？

生：如果对于函数y=f(x)定义域D内的任意实数x，都有f(－x)=－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．

师：定义中“任意实数x∈D，都有f(－x)=f(x)成立”说明了什么？

生：这说明f(－x)与f(x)都有意义，即－x，x同时属于定义域，因此奇函数的定义域是关于原点对称的．

师：由此可见，定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．那么这个定义的实质是什么呢？

生：当自变量任取定义域内两个互为相反数的值时，对应的函数值也互为相反数．

师：我们现在已接触过偶函数、奇函数、既不是奇函数也不是偶函数，即非奇非偶的函数，那么有没有既是奇函数又是偶函数的函数呢？

生：有．函数f(x)=0，x∈R就是一个．

师：那么这样的函数有多少个呢？

生：只有函数f(x)=0，x∈R一个．

师：再想一想．函数的三要素是什么呢？

生：函数的三要素是对应法则、定义域和值域．

师：对．可见三要素不同的函数就是不同的函数．

生：既是奇函数又是偶函数的函数有无数多个．虽然解析式都为f(x)=0，但取关于原点对称的不同的定义域，就可得到不同的函数，例如：f(x)=0，x∈[－3，－1]∪[1，3]；f(x)=0，x∈[－5，－2]∪[－2，－5]等等．

师：所以函数按奇偶性可分为四类：奇函数、偶函数、既奇且偶函数和非奇非偶函数．

例1 判断下列函数的奇偶性：

(1)

；

（2）

分析：先验证函数定义域的对称性，再考察f(－x)是否等于f(x)或－f(x)．

解(1): f(x)的定义域是｛x|4＋x＞0且4－x＞0｝=｛x|－4＜x＜4｝，它具有对称性．

因为 f(－x)=lg(4－x)＋lg(4＋x)=f(x)，所以f(x)是偶函数，不是奇函数．

(2)：当x＞0时，－x＜0，于是

当x＜0时，－x＞0，于是

.综上可知，在上，g(x)是奇函数．

例2 设F(x)是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，F(x)的解析式是，求F(x)在R上的表达式．

解 任取x∈(－∞，0)，设 P(x，y)是函数 F(x)图象上的一个点．由于F(x)是奇函数,所以，取x>0,则-x<0,且F(-x)=

=-

F(x)，所以F(x)=，（x>0）

当x=0时，F(－0)=－F(0)，即F(0)=0．所以奇函数

(今后遇到函数奇偶性这类的问题时，要善于选择恰当的方法，“定义法”是基本方法．)练习：判断下列函数的奇偶性，并说明理由．

1．f(x)=x2＋3，x∈[－10，20]；

2．f(x)=x3＋x，x∈[－2，2)；

3．f(x)=0，x∈[－6，－2]∪[2，6]；

4．f(x)=|x－2|＋|x＋2|；

5．f(x)=|x－2|－|x＋2|；

6．f(x)=5；

生：1．f(x)=x2＋3，x∈[－10，20)的定义域关于原点不对称，因此是非奇非偶函数．

2．f(x)=x＋x，x∈[－2，2)的定义域关于原点也不对称，因此是非奇非偶函数．

3．f(x)=0，x∈[－6，－2]∪[2，6]是既奇且偶函数．这是因为f(－x)=f(x)且f(－x)=－f(x)，定义域关于原点也对称，所以是既奇且偶函数．

4．f(x)=|x－2|＋|x＋2|是偶函数．这是因为f(－x)=|－x－2|＋|－x＋2|=|x＋2|＋|x－2|=f(x)，且x∈R，所以是偶函数．

5．f(x)=|x－2|－|x＋2|是奇函数．这是因为f(－x)=|－x－2|－|－x＋2|=|x＋2|－|x－2|=－(|x－2|－|x＋2|)=－f(x)，且x∈R，所以是奇函数．

6．f(x)=5是偶函数．这是因为f(－x)=5=f(x)，且x∈R，所以是偶函数．

师：函数的奇偶性是函数在定义域上的整体性质，注意要与函数的单调性加以区分．我们在记忆奇函数与偶函数定义的基础上，还应加以理解，定义域关于原点对称是函数有奇偶性的必要条件． 小结：师生一起归纳这节课所学的知识。3 作业课本P66练习第1,2,4，6题．

1．设f(x)在R上是奇函数，当x＞0时，f(x)=x(1

补充题：

－x)．试问：当x＜0时，f(x)的表达式是什么？

函数的奇偶性教案 第7篇

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函数的奇偶性

教学目标 知识与能力目标

（1）理解函数奇偶性的含义，掌握判断函数奇偶性的方法。（2）能用定义来判断函数的奇偶性。

（3）掌握奇偶函数的图像性质及其简单应用。2 过程与方法目标

（1）能培养学生数形结合的思想方法。（2）从数和形两个角度理解函数的奇偶性 3情感态度与价值观目标

（1）体会具有奇偶性函数的图像对称的性质，感受数学的对称美，体现数学的美学价值。

（2）通过函数奇偶性概念的形成过程，培养学生的观察、归纳、抽象的能力，同时渗透数形结合、从特殊到一般的数学思想。

教学重点

函数奇偶性概念的形成, 奇偶函数的图像特征与函数奇偶性的判断 教学难点

对函数奇偶性的概念的理解 教学用具

投影仪,计算机 教学方法

引导发现法 教学过程

一.引入新课

同学们，我们生活在美的世界中，在我们身边就有很多美丽的图片，现在请同学们认真观察下面生活中的几个图片，大家发现它们有什么特点呢？（教师用PPT展示一组图片：蝴蝶、建筑物、麦当劳的标志等。同学们交流讨论后一起回答，最后教师给出答案，从而引入今天的课题）生活中的美引入我们的数学领域中，我们可以发现上面的那些图形都是对称图形（轴对称或是中心对称），特别地，给麦当劳的标志建立适当的直角坐标系，发现它的图象是关于y 轴对称的，这节课我们就同学们谈到的与轴对称的函数展开研究。

下面大家先思考一下： 哪些函数的图象关于y 轴对称？试举例

(学生可能会举出一些，如 二.讲解新课

和 等.)请同学们观察函数yx和y|x|的图象，它们各自有怎样的对称性？并根据表格试着解决下面的问题（学生观察，交流，发现问题，教师引导发现）：

上面两个函数图象具有什么共同特征？（答案：图像关于轴对称）

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2亿库教育网

http:// 能用函数解析式来描述图象这个特征吗？（答案：f(-x）=f(x))

22从而得到结论：实际上，对于R内任意的一个x,都有f(-x)=(-x)=x=f(x)及f(-x)=|-x|=|x|=f(x),这时我们称函数y=x及y=|x|为偶函数.从这个结论中就可以给出

偶函数定义：如果对于函数定义域内的任意一个x ,都有f(-x）=f(x)。那么f(x)就叫偶函数。(板书)(给出定义后可让学生举几个例子,如 步认识，同时用PPT给出偶函数

f(x)x21,f(x)2等以检验一下对概念的初

2x11 的图象，从而观察发现并验证得到偶函数图像的性质定理：偶函数的图像都是关于y轴对称的。）

类比得到偶函数定义的方法,让学生通过观察函数f(x)=x和f(x)=1/x的图象, 并完成课本34页的两个表格，得到图象的共同特征? 从而给出奇函数的定义、举出几个奇函数的例子，与奇函数图像的性质定理：奇函数的图像都关于原点对称.奇函数的定义: 如果对于函数 的定义域内任意一个 ,都有 ,那么就叫做奇函数.(板书)

（给出了奇偶函数的定义概念后，教师对定义中的关键字和符号进行说明，加深学生对概念的理解）说明：

⑴定义中的等式f(-x)=f(x)（或f(-x)=-f(x)）对定义域里的任意x都要成立，若只对个别x值成立，则不能说这函数是偶函数（或奇函数）；

⑵等式f(-x)=f(x)（或f(-x)=-f(x)）成立，除了表明函数值相等（或互为相反数）外，首先表明对定义域中的任意x来说，－x也应在定义域之中，否则f(－x)无意义；

⑶奇函数和偶函数的定义域必定是关于原点对称的，由此得结论：凡是定义域不关于原点对称的函数一定是非奇、非偶的函数.（下面两个例题分别帮助学生对奇偶函数的性质定理和概念的理解）

例1.根据下列函数图象,判断函数奇偶性.亿库教育网

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324例2中前三个题做完，进行一次小结,得到判断函数奇偶性的步骤：(1)先确定函数定义域,并判断定义域是否关于原点对称;(2)确定f(x)与f(-x)的关系;(3)作出结论: 若定义域关于原点对称，且f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0,则f(x)是偶函数;若定义域关于原点对称，且f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0,则f(x)是奇函数.剩下的几个小题留给学生课后去解决。

（最后给出一道思考题，综合了前面所学知识的简单应用，用于检查学生是否真正掌握了这堂课所要求掌握的内容。）思考：(1)判断函数 f(x)x3x的奇偶性.(2)根据图中给出的函数图象一部分,并根据f(x)的奇偶性画出它在y轴左边的图象吗?

三.回顾小结（板书）

1、两个定义：

对于f(x)定义域内的任意一个x, 例

2、判断下列函数的奇偶性(1)f(x)x;(5)f(x)x;x(1,1](2)f(x)x;(6)f(x)2x1;1(3)f(x)x;(7)f(x)0;x1(4)f(x);x如果都有f(－x)=-f(x)f(x)为奇函数 如果都有f(－x)=f(x) f(x)为偶函数

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2、两个性质：

一个函数为奇函数  它的图象关于原点对称 一个函数为偶函数 它的图象关于y轴对称

四.作业

1、判断下列函数是否具有奇偶性

(1)f(x)=x(2)f(x)=2x+ x(3)f(x)=x+ x(4)f(x)=2x+1 f(x)=x(x=-2,-1,0,1,2)

2、已知函数y=f(x)是奇函数，它在y轴的右边的图象如图所示，画出函数y=f(x)在y轴左边的图象.亿库教育网

函数的周期性与奇偶性 第8篇

设函数f (x) , (∞, +∞) 上满足f (2-x) =f (2+x) , f (7-x) =f (7+x) , 且在闭区间[0, 7]上只有f (1) =f (3) =0。 (1) 试判断函数y=f (x) 的奇偶性; (2) 试求方程f (x) =0在闭区间[-2005, 2005]上根的个数并证明你的结论。

分析:由f (2-x) =f (2+x) , f (7-x) =f (7+x) 可得:函数图像既关于x=2对称, 又关于x=7对称, 进而可得到函数周期, 然后再继续求解, 而本题关键是要首先明确函数的对称性, 因此, 熟悉函数对称性是解决本题的第一步。

命题1函数y=f (x) 的图像关于直线x=a对称的充要条件是f (a+x) =f (a-x) 或f (x) =f (2a-x) 。

证明:设P (x0, y0) 是y=f (x) 上任一点, 则y0=f (x0) 。由P关于直线x=a的对称点为Q (2a-x0, y0) 。 (必要性) 若y=f (x) 关于直线x=a对称, 则Q也在y=f (x) 上, 故y0=f (2a-x0) , ∴f (x0) =f (2ax0) 。 (充分性略) 。

推论函数y=f (x) 的图像关于y轴对称的充要条件是f (x) =f (-x) 。

命题2函数y=f (x) 的图像关于点A (a, b) 对称的充要条件是f (x) +f (2a-x) =2b。证明 (略) 。

推论函数y=f (x) 的图像关于原点O对称的充要条件是f (x) +f (-x) =0。

偶函数、奇函数分别是命题1、命题2的特例。

命题3 (1) 若函数y=f (x) 的图像同时关于点A (a, c) 和点B (b, c) 成中心对称 (a≠b) , 则y=f (x) 是周期函数, 且2|a-b|是其一个周期。

证明:函数y=f (x) 的图像同时关于点A (a, c) 和点B (b, c) 成中心对称, 则f (2a+x) +f (-x) =2c, f (2b-x) +f (x) =2c所以, f[2 (a-b) +x]=f ([2a+ (-2b+x) ]) =2c-f[- (-2b+x) ]=2c-f (2b-x) =2c-[2c-f (x) ]=f (x) , 所以2 a-b是它的一个周期。

(2) 若一个函数的图像有两条不同的对称轴, 分别为x=m, x=n, 那么这个函数是周期函数。

证: (Ⅰ) 因为函数的对称轴为x=m, x=n (m≠n) , 则 (1) f (m+x) =f (m-x) , (2) f (n+x) =f (n-x) 。

(Ⅱ) 分别将x=m-x, x=n-x代入 (1) (2) , 则有f (2m-x) =f (x) , f (2n-x) =f (x) , 则=f[x+2 (m-n) ]=f (2m+x-2n) =f (2n-x) =f (x) , 所以y=f (x) 是周期函数, 周期为2 (m-n) 。

(3) 若函数y=f (x) 的图像既关于点A (a, c) 成中心对称又关于直线x=b成轴对称 (a≠b) , 则y=f (x) 是周期函数, 且4 a-b是其一个周期。

证明:因为函数y=f (x) 的图像关于点A (a, c) 成中心对称, 所以f (x) +f (2a-x) =2c, 用2b-x代x得:f (2b-x) +f[2a- (2b-x) ]-2c=0 (*) , 又因为函数y=f (x) 的图像关于直线x-b成轴对称, 所以f (2b-x) =f (x) 代入 (*) 得:f (x) =2c-f[2 (a-b) +x] (**) , 用2 (a-b) 代x得f[2 (a-b) +x]=2c-f[4 (a-b) +x]代入 (**) 得:f (x) -f[4 (a-b) +x], 故y=f (x) 是周期函数, 且4 a-b是其一个周期。

例1定义在R上的非常数函数满足:f (10+x) 为偶函数, 且f (5-x) -f (5+x) , 则f (x) 一定是 ()

A.是偶函数, 也是周期函数

B.是偶函数, 但不是周期函数

C.是奇函数, 也是周期函数

D.是奇函数, 但不是周期函数

解:因为f (10+x) 为偶函数, 所以f (10+x) =f (10-x) 。所以f (x) 有两条对称轴x=5与x=10, 因此f (x) 是以10为其一个周期的周期函数, 所以x=0即y轴也是f (x) 的对称轴, 因此f (x) 还是一个偶函数。故选 (A) 。

例2设f (x) 是定义在R上的偶函数, 且f (1+x) =f (1-x) , 当-1≤x≤0时则f (8.6) ________。

解:因为f (x) 是定义在R上的偶函数, 所以x=0是y=f (x) 的对称轴;又因为f (x+1) =f (1-x) , 所以x=1也是y=f (x) 的对称轴, 故y=f (x) 是以2为周期的周期函数, 所以f (8.6) =f (8+0.6) =f (0.6) =f (-0.6) =0.3。

例3函数的图像的一条对称轴的方程是 ()

解:函数的图像的所有对称轴的方程是所以显然取k=1时的对称轴方程是故选 (A) 。

点评:对某些含有两个变量的抽象函数问题, 常考虑“特殊值”的函数值, 即从其特殊值x=y=0入手解之。

链接练习

1.f (x) 是奇函数, 当x∈R+时, f (x) ∈ (-∞, m] (m<0) , 则f (x) 的值域可能是 ()

A.[m, -m]B. (-∞, m]C.[-m, +∞) D. (-∞, m]∪[-m, +∞)

2.已知f (x) =x3+bx2+cx是R上的奇函数, 动点P (b, c) 描绘的图形是 ()

A.椭圆B.抛物线C.直线D.双曲线

3.若y=g (x) 是偶函数, 那么f1 (x) =g (x) -1和f2 (x) =g (x-1) ()

A.都不是偶函数B.都不是奇函数

C.都是偶函数D.只有一个是偶函数

参考答案

1.D。若x=0不在定义域内为[-m, +∞) ∪[-m, +∞], 若x=0在定义域内为 (-∞, m) ∪[-m, +∞) ∪{0}。

2.C。由

函数·奇偶性与周期性 第9篇

1. 已知[f（x）]是奇函数，[g（x）]是偶函数，且[f（-1）+g（1）=2]，[f（1）+g（-1）=4]，则[g（1）]等于（ ）

A. 4 B. 3 C. 2 D. 1

2. 已知[f（x）]是定义在R上的奇函数，当[x≥0]时，[f（x）=3x+m]（[m]为常数），则[f（-log35）]的值为（ ）

A. 4 B. -4 C. 6 D. -6

3. 已知[f（x）]是定义在R上的奇函数，若对于[x≥0]，都有[f（x+2）=f（x）]，且当[x∈[0，2]]时，[f（x）=ex-1，][f（2013）+f（-2014）=]（ ）

A. [1-e] B. [e-1]

C. [-1-e] D. [e+1]

4. 已知函数[f（x）]的定义域为[（3-2a，a+1）]，且[f（x+1）]为偶函数，则实数[a]的值可以是（ ）

A. [23] B. 2 C. 4 D. 6

5. 已知奇函数[f（x）=3x+a（x≥0），g（x）（x<0），]则[g（-2）]的值为（ ）

A. -6 B. -8 C. 4 D. 6

6. 定义运算[ab=a2-b2，][ab=][（a-b）2]，则[f（x）=2x（x2）-2]为（ ）

A. 奇函数 B. 偶函数

C. 常函数 D. 非奇非偶函数

7. 已知函数[f（x）=12（ex-e-x）]，则[f（x）]的图象（ ）

A. 关于原点对称 B. 关于[y]轴对称

C. 关于[x]轴对称 D. 关于直线[y=x]对称

8. 函数[f（x）=log2（1+x），g（x）=log2（1-x），]则[f（x）-g（x）]是（ ）

A. 奇函数

B. 偶函数

C. 既不是奇函数又不是偶函数

D. 既是奇函数又是偶函数

9. 已知定义在[R]上的函数[f（x）]，对任意[x∈R]，都有[f（x+6）=f（x）+f（3）]成立，若函数[y=f（x+1）]的图象关于直线[x=-1]对称，则[f（2013）=]（ ）

A. 0 B. 2013 C. 3 D. -2013

10. 已知定义在[R]上的函数[y=f（x）]满足以下三个条件：①对于任意的[x∈R]，都有[f（x+4）=f（x）]；②对于任意的[x1，x2∈R]且[0≤x1

A. [f（4.5）

B. [f（7）

C. [f（7）

D. [f（4.5）

二、填空题（每小题4分，共16分）

11. 若函数[fx=ax2+bx+3a+b][（a-1≤x≤][2a）]是偶函数，则点[a，b]的坐标是 .

12. 已知函数[f（x）]是定义在R上的奇函数，其最小正周期为3，且[x∈（-32，0）]时，[f（x）=] [log2（-3x+1）]，则[f（2014）]= .

13. 定义在[[-2，2]]上的奇函数[f（x）]在[（0，2]]上的图象如图所示，则不等式[f（x）>x]的解集为 .

14. 给出定义：若[m-12

三、解答题（共4小题，44分）

15. （10分）设[a]为实数，函数[f（x）=x2+|x-a|][+1]，[x∈R].

（1）讨论[f（x）]的奇偶性；

（2）求[f（x）]的最小值.

16. （12分）已知函数[f（x）=-x2+2x，x>0，0，x=0，x2+mx，x<0]是奇函数.

（1）求实数[m]的值；

（2）若函数[f（x）]在区间[[-1，a-2]]上单调递增，求实数[a]的取值范围.

17. （10分）已知函数[f（x）]的定义域是（[0，+∞）]，且满足[f（xy）=f（x）+f（y），f（12）=1]，对于[0f（y）].

（1）求[f（1）]；

（2）解不等式[f（-x）+f（3-x）]≥-2.

18. （12分）设函数[f（x）=ax-（k-1）a-x（a>0][且a≠1）]是定义域为[R]的奇函数.

（1）求[k]值；

（2）若[f（1）<0]，试判断函数单调性并求使不等式[f（x2+tx）+f（4-x）<0]恒成立的[t]的取值范围；

（3）若[f（1）=32]，且[g（x）=a2x+a-2x-2mf（x）]，在[[1，+∞）]上的最小值为-2， 求[m]的值.

函数的周期性与奇偶性 第10篇

[本周教学重点] 掌握函数单调性的定义，会用定义法证明函数的单调性及其步骤。

(1)设x1，x2是定义域上的任意两个值，且x1

(2)作差f(x1)-f(x2)并将其变形为可判断符号的形式；

(3)判断f(x1)-f(x2)的正、负；

(4)结论

理解函数奇偶性的定义及奇、偶函数定理，能判断、证明一些简单函数的奇偶性，会利用函数奇偶性求解有关函数问题。

(1)函数的定义域在数轴上关于原点对称，是函数具有奇偶性的必要条件。

(2)f(-x)=-f(x)f(-x)+f(x)=0f(x)是奇函数。

f(x)=f(-x)f(-x)-f(x)=0f(x)是偶函数。

由f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是侧重于函数解析式的变形去证明f(x)的奇偶性；而f(-x)+f(x)=0或f(-x)-f(x)=0是通过运算去证明f(x)的奇偶性，两种定义形式各具不同优势。

(3)若f(x)是奇函数且允许x=0，则f(0)=0，即f(x)的图象过原点。

(4)若f(x)既是奇函数，又是偶函数，则f(x)=0。

(5)同为奇函数，同为偶函数的两个函数之积是偶函数；一奇一偶两个函数之积是奇函数。

(6)定义在R上的任意一个函数f(x)都可表示为一个奇函数g(x)与一个偶函数h(x)的和。

即f(x)=g(x)+h(x)，其中g(x)=[f(x)-f(-x)]，h(x)=

[f(x)+f(-x)]。

理解反函数的概念，掌握求反函数的方法步骤。

(1)由原函数y=f(x)求出它的值域；

(2)由原函数y=f(x)反解出x=f-

1(y)；

(3)交换x，y改写成y=f-1(x)；

(4)用f(x)的值域确定f-1(x)的定义域。

[例题分析]

例1．证明函数f(x)=

在定义域上的单调性。

[分析与解答] 函数的单调性必须在定义域内进行考查。由x2+x≥0得f(x)定义域为(-∞，-1][0，+∞)。

函数定义域不是一个连续的区间，应分别考查在每一个区间上的单调性，用定义法证明时，只需任取x1

任取x1

==

当-∞0。

∴ f(x1)-f(x2)>0，∴ f(x)是(-∞，-1]上的单调递减函数。

当0≤x10。

>0。

∴ f(x1)-f(x2)<0，∴ f(x)是[0，+∞)上的单调递增函数。

例2．函数f(x)是[0，+∞)上的单调递减函数，f(x)≠0且f(2)=1，证明函数F(x)=f(x)+在[0，2]上的单调性。

[分析与解答]函数f(x)没有给出解析式，因此对F(x)的函数值作差后，需由f(x)的单调性，确定作差后的符号。任取0≤x1

由F(x1)-F(x2)=f(x1)+-f(x2)-=f(x1)-f(x2)+

=[f(x1)-f(x2)]·[1-]

∵ 0≤x1f(x2)≥f(2)=1。

∴ f(x1)-f(x2)>0，f(x1)·f(x2)>1，<1，1->0，∴ F(x1)-F(x2)>0，F(x)是[0，2]上的单调递减函数。

例3．证明函数f(x)=的奇偶性。

[分析与解答] 函数的奇偶性必须在其定义域内考查。

由 函数f(x)定义域为[-1，0)(0，1]。

∴ |x+3|-3=x+3-3=x。即f(x)=，由f(-x)=

=-f(x)，∴ f(x)是奇函数。

例4．设f(x)是定义在R上的函数，对任意x1，x2∈R，恒有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)，且f(x)不恒为0，证明

f(x)的奇偶性。

[分析与解答] 函数f(x)没有给出解析式，这就必须从定义域，法则，及f(x)不恒为0去分析，完成奇偶性的证明。由f(x)定义域为R，显然允许x=0，所以f(0)=0是f(x)的奇函数的必要条件。

令x1=x2=0，由f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)得f(0+0)=f(0)+f(0)，整理得f(0)=0，对任意x∈R，由f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)知f(-x)+f(x)=f(-x+x)=f(0)=0，∴ f(-x)=-f(x)，∵ f(x)不恒为0，∴f(x)不可能既是奇函数又是偶函数，所以f(x)是R上的奇函数。

例5．已知函数f(x)=(a，b，c∈Z)是奇函数，且f(1)=2，f(2)<3。

(1)求a，b，c的值；(2)用定义法证明f(x)在(0，1)上的单调性。

[分析与解答](1)∵ f(x)是奇函数，∴f(-x)=-f(x)，即

=-，解出c=0，∴ f(x)=，∵ f(1)=2，∴ =2，∴ 2b=a+1。

∵ f(2)＜3，∴<3。将2b=a+1代入，∴ <3，解出-1

(2)f(x)==x+。任取0

f(x1)-f(x2)=x1+-x2-=(x1-x2)+=(x1-x2)(1-)

∵ 01，1-<0，∴ f(x1)-f(x2)>0，f(x)是(0，1)上的单调递减函数。

例6．证明函数f(x)=

(x≠)的图象关于直线y=x对称。

[分析与解答] 由反函数定理可知，当两个函数互为反函数时，它们的图象关于直线y=x对称，所以要证明 f(x)=(x≠)的图象关于直线y=x对称，只需证明f(x)的反函数是其自身即可。

∴ f(x)的值域为{y|y≠，y∈R}。

由y=，∴ ayx-y=x-1，(ay-1)x=y-1。

∵ y≠，∴ ay-1≠0，x=，即f-1(x)=

(x≠)，显然f(x)与f-1(x)是同一函数，所求f(x)的图象关于直线y=x对称。

[参考练习]

1．设f(x)是定义在R上的任意一个增函数，F(x)=f(x)-f(-x)必是（）。

A、增函数且是奇函数

B、增函数且是偶函数

C、减函数且是奇函数

D、减函数且是偶函数

2．已知y=f(x)是R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=x2-2x，则f(x)在R上的表达式是（）。

A、y=x(x-2)B、y=x(|x|-1)C、y=|x|·(x-2)D、y=x(|x|-2)

3．若点(1，2)在函数y=的图象上，又在它的反函数的图象上，则（）。

A、a=3，b=-7 B、a=3，b=7 C、a=-3，b=-7 D、a=-3，b=7

4．函数f(x)是定义在[-6，6]上的偶函数，且在[-6，0]上是减函数，则（）。

A、f(3)+f(4)>0 B、f(-3)-f(2)<0 C、f(-2)+f(-5)<0 D、f(4)-f(-1)>0

5．设f(x)是定义在(-1，1)上的奇函数且是单调减函数，求解关于x的不等式f(1-x)+f(1-x2)<0的解集。

[参考答案]：

1.A 2.D 3.D 4.D

5.由f(1-x)+f(1-x2)<0，∴ f(1-x)<-f(1-x2)，∵ f(x)是(-1，1)上的奇函数，∴ f(1-x)