概率思想论文范文

概率思想论文范文（精选10篇）

概率思想论文 第1篇

一、互补思想

互补思想就是通过间接法, 利用对立事件求随机变量的概率.

例1甲、乙、丙三人向同一目标各射击一次, 若甲、乙、丙三人击中目标的概率分别是0.8、0.7、0.6, 试问此目标被击中的概率是多少?

分析:符合题意的情况包括: (1) 三人中有一人击中目标; (2) 三人中有两人击中目标; (3) 三人都击中目标。三大类共七种情形, 分别求之相当繁琐.而题设反面“三人都未击中目标”只有一种情形, 故利用互补思想, 通过求其对立事件的概率解答此题显得尤为简便.

解:设A1={甲击中目标}, A2={乙击中目标}, A3={丙击中目标}, A={目标被击中}, P (A) =1-P (A1A2A3=1-P (A1) P (A2) P (A3) =1- (1-0.8) (1-0.7) (1-0.6) =0.976.

二、方程思想

方程思想, 就是分析数学问题中的变量间的等量关系, 从而建立方程或者方程组, 通过解方程或方程组, 或者运用方程根的性质去分析、转化问题, 使问题获得解决.

例2甲乙两人独立解出某一道数学题的概率相同, 已知该题被甲和乙解出的概率为0.36, 求甲独立解出该题的概率.

解:设甲或乙独立解出的概率为x, 则该题不能被甲或乙解出的概率为 (1-x) 2, 由题意可得方程:1- (1-x) 2=0.36, 解得x=0.2.故甲独立解出该题的概率为0.2.

三、函数思想

利用函数思想, 就是将离散型随机变量融入连续型模型中, 是随机现象中的数量规律建立在函数关系的基础上, 进而利用函数的观点解决问题.

例3多向飞碟是奥运会的竞赛项目, 它是由跑靶机把碟靶 (射击目标) 在一定范围内从不同方向飞出, 每抛出一个碟靶, 都允许运动员射击两次.一运动员在进行多向飞碟射击训练时, 每一次射击命中碟靶的概率P与运动员离碟靶的距离s (m) 成反比, 现有一碟靶抛出后离运动员的距离s (m) 与飞行时间t (秒) 满足s=15 (t+1) (0t4) .若运动员在碟靶飞出0.5秒时进行第一次射击, 命中的概率为0.8, 若他发现没有命中, 则通过迅速调整, 在第一次射击后再经过0.5秒进行第二次射击, 求他命中此碟靶的概率.

解:设P=sk (k为常数) , 则P=k15 (t+1) (0t4) .依题意, 当t=0.5秒时, P1=0.8, 则k=18.当t=1秒时, P2=0.6.则此人命中此碟靶的概率P=P1+ (1-P1) P2=0.8+ (1-0.8) 0.6=0.92.

四、分类讨论思想

分类讨论的思想方法, 实质就是把整体问题分类转化为局部问题.在分类时, 要注意防止逻辑上的错误, 避免疏漏与重复.

例4一学生骑自行车上学, 从家中到学校的途中有两个交通岗.假设他在这两个交通岗处遇到红灯的事件是相互独立的, 并且概率都是0.6, 求他至少遇到一次红灯的概率.

解:事件“至少遇到一次红灯”包括“两次都遇到红灯”和“恰有一次遇到红灯”这两个基本事件.记“第一次遇到红灯”为事件A, “第二次遇到红灯”为事件B, 由题意可知, A与B是互相独立的, 因此“他两次都遇到红灯”就是事件AB发生.则P (AB) =P (A) P (B) =0.60.6=0.36.记A軍=“第一次没有遇到红灯”, B軍=“第二次没有遇到红灯”, 所以, A軍B=“第一次没有遇到红灯, 第二次遇到红灯”, AB軍=“第一次遇到红灯, 第二次没有遇到红灯”, 并且A軍B与AB軍是互斥的, 因此, “恰有一次遇到红灯”的概率是P (A軍B+AB軍) =P (A軍B) +P (AB軍) = (1-0.6) 0.6+0.6 (1-0.6) =0.48, 所以, 他至少遇到一次红灯的概率为P=P (AB) +P (A軍B+AB軍) =0.36+0.48=0.84.

五、整体思想

整体思想, 就是从整体着手, 通过问题的整体形式、整体结构或其他整体处理后, 达到简捷解体的思想方法.

例5省工商局对全省流通领域的饮料进行了质量监督抽查, 结果显示, 某种刚进入市场的x饮料的合格率为80%.现甲乙丙3人聚会, 选用了6瓶x饮料, 并限定每人喝两瓶, 求甲乙丙3人中只有1人喝到两瓶不合格的x饮料的概率.

解:记“1人喝到两瓶不合格的x饮料”为事件A, 3人喝6瓶x饮料且限定每人两瓶相当于3次独立重复试验.

根据n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率公式, 3人喝6瓶只有1人喝到2瓶不合格x饮料的概率为C32 (0.80.8) 2 (1-0.80.8) =0.44.

转化思想帮你求概率 第2篇

例1（2007年·江苏）如图1，电路上有4个开关A、B、C、D和1个小灯泡，闭合开关D或同时闭合开关A、B、C都可使小灯泡发光．

（1） 任意闭合其中1个开关，小灯泡发光的概率等于[ ]．

（2） 任意闭合其中2个开关，请用画树状图或列表的方法求出小灯泡发光的概率．

点拨：本题可以把A、B、C、D 4个开关看做一个袋子中的4个小球，第一问就类似于求从袋中一次摸球摸到D球的概率；第二问类似于从袋中两次摸球，且第一次摸到的球不放回的情形，可以通过画树状图或列表表示出所有等可能的情形，再确定出能发光的情形即可.

解：（1）． （2）画出树状图，如图2．

由图2知，任意闭合其中2个开关的情况共有12种，其中能使小灯泡发光的情况有6种，所以小灯泡发光的概率为＝．

即学即练

1． 九年级1班将竞选出正、副班长各1名，现有甲、乙两位男生和丙、丁两位女生参加竞选．

（1）男生当选班长的概率是[ ]；

（2）请用列表或画树状图的方法求出两位女生同时当选正、副班长的概率．

高中概率解题思想的应用 第3篇

关键词：高中数学,概率解题思想,应用

概率是高中数学中的重要内容。是在1996年的数学大纲中被列入高考内容的。现在的新课程标准也对概率的内容做了比较详细的说明。教师为了帮助我们取得更好的成绩, 往往将教学重点放置在概念和习题的教学上, 让我们在课后多做习题, 这虽然有效锻炼了我们的解题能力, 但是却未让我们对概率知识产生深层次的理解。其实, 学习概率有重要的教育价值, 具体表现在以下几个方面:

一、概率在培养我们辩证思想上的应用

概率知识揭示了一种偶然性与必然性, 变与不变, 有限与无限的辩证统一。概率虽说有一定的随机性, 表面来看好像是没有规律可循, 但是经过长期的观察就可以发现其频率是由一定的规律可循的, 也就是随机性和稳定性的统一。这种过程可以说体现了变与不变, 有限和无限的辩证统一。

例如当中奖率是万分之一时, 并不代表买一万张就一定能够中奖, 天气预报说今天下雨, 但是今天并没有下雨, 而是多云, 结果是不确定的, 但是这个结果的几率是均等的。这些随机现象就告诉我们, 偶然与必然, 变与不变, 有限与无限, 确定与不确定之间既是对立又是统一的, 可以说这些思想就是简单的辩证的思想, 有利于我们学生初步形成辩证思维。

二、学习概率对可以加深我们对数学知识的理解

概率是一个随机问题, 平常确定数学和随机数学只是处理方法的差别。我们所学的事件与集合, 概率与测度之间非常相似, 学习过程中可以互相对比来进行进行深入的理解。集合的概念能够让我们的抽象思维能力得到发展, 帮助我们理解更多的数学知识。

三、学习概率可以实现数学与现实的结合

在实际生活中, 概率知识的运用随处可见, 像日常生活中的掷骰子游戏, 彩票, 抽奖等等, 洪涝灾害, 每年发生的交通事故等等, 气候的多变, 股票价格的起伏等等都是和概率知识息息相关的。

而商界的各种投资风险以及股票价格的波动等又涉及到其他的学科, 可以说概率的学习让我们能够把数学运用到实际生活之中去, 发现数学的应用价值。

四、学习概率在改变传统学习方法中的应用

概率的学习需要大量的实践活动, 我们只有积极参加这些实践活动才能够真正理解和掌握这些知识, 这些活动可以说使我们学习的主体地位充分表现出来, 教师对于我们的教学仅仅起到了一个引导的作用, 我们只有主动进行探究, 才能掌握更为全面的知识。

总之, 概率知识具有重要的教育意义, 这就要求我们在以后的学习中要注意渗透这种教育思想和教育理念, 具体可以从以下几点做起:

(一) 多注重实验

让我们对概率的意义能够理解的更深刻:我们不仅要在课堂上积极参加教师举行的实验, 在生活中也要主动实践, 通过实践, 我们可以自己来总结出结论。

(二) 处理好概率的统计的关系

概率和统计是密切相连的, 是同一事物的两个方面, 一个是从局部考虑问题, 一个是全局考虑问题, 它们之间是辩证统一的关系, 例如射手射中的环数的概率是局部问题, 但是全面考察各环数的概率则是全局问题了。我们在学习概率知识时, 不仅要关注单纯的概率问题, 还要处理好概率与统计之间的关系。

(三) 增强运用概率知识解决实际问题的能力

我们要引导自己运用概率知识解决相关的生活实际问题, 像与我们的生活息息相关的交通堵塞的情况的调查, 赌博与摸彩的异同点等, 股票的波动等实际生活问题, 这样我们也会很感兴趣, 也有利于提高我们解决实际问题的能力。

(四) 运用现代化的学习设备

计算机在处理概率一些比较复杂的数据, 记录信息等方面是很好的工具, 计算机也可以模拟一些随机实验的结果, 让我们在理解起来更加直观, 透彻。

总之, 高中概率知识自从引入高中课堂之后, 由于高考指挥棒的作用, 教师只是单纯的去提高我们的解题技能, 很少来发掘概率中的重要的教育意义, 从而忽略了对我们一些辩证思想, 思维方法的教育, 没有注重数学这一学科的生活化问题, 使数学和生活实际相脱节, 可以说走了一定的弯路。在今后的学习过程中, 作为学生的我们, 要多注重概率问题在实际生活中的应用, 注重实践活动。引导自己把概率的知识和其他相关知识结合起来, 注重概率在实际生活中的应用, 学会运用计算机等信息技术来处理问题, 研究问题, 使我们对概率的知识掌握的更全面, 理解的更深刻。

参考文献

[1]郭钰凡.转化思想方法在高中数学学习中的应用[J].中学生数理化 (学习研究) , 2016 (10) .

[2]穆敬仁.转化思想方法在高中数学解题中的应用[J].新校园 (中旬) , 2016 (09) .

[3]杨虎.转化思想搭台函数最值唱戏——一道高中联赛不等式问题的解法探索[J].中学生数理化 (高二) , 2016 (11) .

高中概率题中的数学思想方法运用 第4篇

关键词：高中数学；概率；数学思想方法

中图分类号：G632 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2012）09-231-02

从某种意义上说，数学教学是数学活动的教学。数学思想方法是数学活动的指导思想和基本策略，是数学的灵魂。引导学生领悟以数学知识为载体的数学思想方法，是现代数学教育的重要观点之一。忽视数学思想方法的教学，就可能会拘泥于细节而丢弃精髓。数学知识（例如数学概念的定义、数学定理的逻辑证明、数学体系的逻辑结构等）反映的多是结果，而数学思想方法反映的多是得出结果的过程。为了使学生有更大的发展潜能，对于“过程”的教学应该充分重视。数学知识与数学思想方法在教学中的有机结合，是需要进一步探讨的问题。

概率问题中蕴含着丰富的数学思想及方法。本文拟通过几道例题的解析，就概率问题中的数学思想方法作一些粗浅的探讨。

例析概率问题中的数学思想 第5篇

一、函数与方程思想

例1已知一个不透明的口袋中装有7个只有颜色不同的球,其中3个白球,x个黑球.

(1)若向袋中再放入y个白球后,从中随机取出一个球是白球的概率为1/3,求y与x之间的函数关系;

(2)在(1)的基础上,若往袋中再放入4个黑球,则从袋中随机取出一个球是白球的概率变为1/4,求x与y的值.

【分析】问题(1)中的概率明确了,但球的个数不确定.当概率一定时,白球的数量将随着黑球数量的变化而变化,利用概率的计算公式P(白球)=白球数量÷球的总数量便可建立函数关系.问题(2)中再次利用概率的计算公式建立一个y与x的函数关系式,与(1)中的函数关系式组成方程组可求得x与y的值.

解:(1)由题意得:

(2)由题意得:P(白球)=(3+y)/(7+x+y)=1/4,

整理得:y=1/3x-5/3,

【点评】利用概率计算的公式构造函数建立等量关系,列出方程或方程组,再通过解方程或方程组使问题获得解决.

二、转化思想

例2已知ai≠0(i=1,2,…,2016)满足,使直线y=aix+i(i=1,2,…,2016)的图像经过一、二、四象限的ai概率是________.

【分析】欲使直线y=aix + i的图像经过一、二、四象限,因i>0,图像必过一、二象限,因此须使ai<0.另一方面,条件的等式左边每一项的值为1或-1,共2016项,但结果为1968,因此其中必有(2016-1968)÷2=24 (个)负数.这样,问题可转化为:在2016个非0实数中有24个负数,从中随机取出一个数是负数的概率是多少?

∴ai中有(2016-1968)÷2=24(个)是负数,有2016-24=1992(个)是正数,

∵ai<0时直线y=aix+i(i=1,2,…,2016)的图像经过一、二、四象限,

∴使直线y=aix+i(i=1,2,…,2016)的图像经过一、二、四象限的ai概率是24/2016=1/84,故答案为:1/84.

三、分类讨论思想

例3袋中装有5个红球、6个黑球、7个白球,从袋中摸出15个球,摸出的球中恰好有3个红球的概率是().

A.1/10B.1/5C.3/10D.2/5

【分析】首先设摸出的15个球中有x个红球、y个黑球、z个白球,则x,y,z都是正整数, 且x≤5,y≤6,z≤7,x+y+z=15. 因为y+z≤ 13,所以x可取值为2,3,4,5.然后对x的取值进行分类讨论,便可得出所有可能的摸球结果,再看其中恰好有3个红球的结果有几种,最后由概率公式即可求得答案.

解:设摸出的15个球中有x个红球、y个黑球、z个白球,则x,y,z都是正整数,且x≤ 5,y≤6,z≤7,x+y+z=15.

∵y+z≤13,

∴x可取值为2,3,4,5.

当x=2时,只有一种可能,即y=6,z=7;

当x=3时,y+z=12,有两种可能,y=5,z= 7或y=6,z=6;

当x=4时,y+z=11,有3种可能,y=4,z=7或y=5,z=6或y=6,z=5;

当x=5时,y+z=10,有4种可能,y=3,z=7或y=4,z=6或y=5,z=5或y=6,z=4.

∴共有1+2+3+4=10(种)可能的摸球结果,其中摸出的球中恰好有3个红球的结果有2种,

∴所求的概率为:2/10=1/5.故选B.

四、数形结合思想

例4六个面上分别标有1,1,2,3,3,5六个数字的均匀立方体的表面展开图如图1所示,掷这个立方体一次,记朝上一面的数字为平面直角坐标系中某个点的横坐标,朝下一面的数为该点的纵坐标. 按照这样的规定,每掷一次该小立方体,就得到平面内一个点的坐标. 已知小明前两次掷得的两个点确定一条直线l,且这条直线经过点P(4,7),那么他第三次掷得的点也在直线l上的概率是().

A.2/3B.1/2C.1/3D.1/6

【分析】根据随机事件概率大小的求法, 找准两点:1符合条件的情况数目;2全部情况的总数.二者的比值就是其发生的概率的大小. 对本题来说,全部情况的总数容易求得,但符合条件的点的个数较难得到. 如果根据小明前两次掷得的两个点确定一条直线,求得其解析式,再将点(4,7)代入判断,这样的计算量将非常大,但如果将这些点在平面直角坐标系中描出,通过观察便可看出哪些点所确定的直线经过点(4,7).

解:由题意知: 每掷一次可能得到6个点的坐标是(其中有两个点是重合的):(1,1),(1,1), (2,3),(3,2),(3,5), (5,3),将这几个点和点P(4,7)在平面直角坐标系中描出(如图2),通过观察可以发现,经过(1,1),(2,3),(3,5)三点中的任意两点所确定的直线都经过点P (4,7),因点(1,1)包含两种情况,所以符合条件的点有4个,所以小明第三次掷得的点也在直线上的概率是4/6=2/3.故选A.

例谈解概率题的思想方法 第6篇

关键词：概率,递推思想,对称思想,容斥原理

我们处在“数学技术”的新时代。能处理好数学问题并非易事, 得先拥有很强的数学思维能力, 更重要的是创新思维能力。因而创新思维能力的培养成了我们数学教育工作者义不容辞的责任。江苏省在2003年高考中首次出现了概率试题。什么叫概率呢?随机事件A发生可能性大小的度量 (数值) , 称为A发生的概率, 记作P (A) 。对于一个随机事件来说, 它发生可能性大小的度量是由它自身决定的, 并且是客观存在的, 就好比一根木棒有长度, 一块土地有面积一样, 概率是随机事件发生可能性大小的度量, 是随机事件自身的一个属性。概率试题灵活性大, 能充分考查学生的逻辑思维能力, 考察学生的思维是否全面、细致、准确。因此我们要重视概率题的解决思路, 从中发现一些规律。对于一些较难的概率题我们要充分调动学生的思维积极性, 让他们主动地去寻求解决问题的方案。一种方法不行, 我们就换一种方法。如果问题迎刃而解, 学生们则能体会到学习成功后的乐趣。引用一句古诗“山重水复疑无路, 柳暗花明又一村”。我们在平常的学习中就要不断地总结思想方法。下面我将谈谈三种解概率题的思想方法。

1 递推思想

作为数学的一种重要思想递推思想体现了世界上许多事物现象变化所遵循的一种前因和后果的关系, 因此具有广泛的应用。在纷繁变幻的世界, 所有事物都随时间的流逝发生着微妙的变化, 而许多现象的变化是有规律可循的, 这种规律往往呈现出前因和后果的关系。即是说, 某种现象的变化结果与紧靠它前面变化的一个或一些结果紧密关联。递推关系的思想正体现了这一规律。递推关系不仅在众多数学分支如组合、概率、几何、矩阵中起着重要作用, 也在其它诸如信息学等科学领域中显示出独特魅力。因此学好递推关系不仅可以提高我们的数学素养, 更对今后进行学术问题的推广研究起着举足轻重的作用。首先让我们明确什么是递推关系?给定一个数的序列用等号或大于, 小于号把H (n) 和某些个H (i) , 0i

例1:甲、乙两人玩掷骰子游戏。其游戏规则:若掷到3点或6点则继续由此人掷, 否则由对方掷。

问: (1) 如果甲先掷, 那么第5次由甲掷的概率是多少?

(2) 如果甲先掷, 那么第n次由甲掷的概率是多少?

分析: (1) 对于第一问的一般解法是用分类讨论的思想:

即:第1类:第2、3、4次都是甲掷, 则概率为

第2类:第2、3、4次中恰有2次由甲掷, 则又分三种情况: (1) 第2、3次由甲掷; (2) 第2、4次由甲掷; (3) 第3、4次由甲掷;则概率:

第3类:第2、3、4次中恰有1次由甲掷, 则又分三种情况: (1) 第2次由甲掷; (2) 第3次由甲掷; (3) 第4次由甲掷;则概率为:

第4类:第2、3、4次全由乙掷, 则概率为:

所以:如6果甲6先掷, 6那么3第5次由甲掷的概率是:

(2) 显然对于第二问, 若仍用第一问的分类讨论思想, 则相当复杂且无法实施。

下面介绍递推法思想:先做第二问:

设第n次由甲掷的概率为, 则;且有递推式:

可见利用递推思想, 过程简洁, 便于运算, 从而此题可轻松解决。

2 对称思想

著名数学家庞加莱指出:“数学家非常重视他们的方法和理论是否优美, 这并非华而不实的作用, 那么到底什么是我们感到一个解答、一个证明优美呢?那就是各个部分之间和谐、对称和恰到好处的平衡.”数学中存在着美, 其中对称美就是重要表现形式之一。图形的对称、式子的对称和解题方法的对称等, 在实践和理论上都有重要意义。故在数学问题的求解过程中, 充分运用对称的数学美的思想方法, 可以让学生感受对称美, 增强求知欲, 更主要的是能简捷地解决某些问题, 从而提高学生的直觉思维能力和形象思维能力, 开拓解题新思路。

例2:甲、乙两人掷均匀硬币, 其中甲掷n+1次, 乙掷n次。求“甲掷出正面的次数大于乙掷出正面的次数”这一事件的概率。

分析:设:甲正=甲掷出正面的次数;

甲反=甲掷出反面的次数;

乙正=乙掷出正面的次数;

乙反=乙掷出反面的次数。

于是所求事件的概率为P (甲正>乙正) ;另一方面显然有Ω- (甲正>乙正) = (甲正乙正) = (甲反>乙反) 因为硬币是均匀的, 由对称性知P (甲正>乙正) =P (甲反>乙反) , 由此即得P

在这个例题中, 由于巧妙地运用了“对称性”使问题迎刃而解, 从而避免了冗长的计算。

综上, 我们利用递进思想、对称思想来解决概率问题。为了使重叠部分不被重复计算, 人们还研究出一种新的计数方法, 即容斥原理先不考虑重叠部分然后再把计数时重复计算的数目排斥出去, 使得计算的结果既无遗漏又无重复。学习数学, 运用数学概率来解决生活中的实际问题, 从而达到学以致用的目的。

参考文献

[1]刘扬, 王虹.由两道概率论习题引发的讨论[J].数学通报, 2004 (6) :44-45.

[2]陈传理, 张同君.竞赛数学教程[M].高等教育出版社.

用概率思想研究等式与不等式问题 第7篇

关键词：概率思想,研究,等式,不等式

概率思想是重要的数学思想方法,事件的概率之和为1,期望的关系式是对问题联系的突破口,本文通过概率思想研究等式、不等式,使得概率期望方差更加的接地气,让我们感受利用构造模型可以顺利解决一些等式、不等式的问题.

方法1“取球”类构造法

例1设M,m为两个正数,M>m,求证:

从2n个人中取n个人排成一排有Cn2n种,但是,还可以这样思考,把2n个人分成n组,分类从这两组中共取出n个人:

第一类:第一组取0人,第二组取n人,有Cn0Cnn;

方法2利用“期望关系式”构造分布列法

证明构造随机变量概率分布列如下:

证明∵sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ,

构造随机变量概率分布列如下:

特别地:本不等式属于轮换对称式.

证明构造随机变量概率分布列如下:

结语

概率思想论文 第8篇

(1) 概率分布是《概率论》[1]中比较基础的概念, 利用某些概率分布的特殊性质来求解一些高等数学中的证明问题。文献[2]中给出了?函数的性质的4个重要性质, 其中关于的证明需要先对它的第四个性质中的积分变量作变换, 然后再利用第三个性质的结论, 从而得到结果。而第三个性质又是用到了第一个性质的结论, 证明起来比较烦琐。利用概率密度函数的归一性, 可以比较容易得到结论。

例1:证明Γ函数的性质:

证明:由Γ函数的定义知, ,

又若, 则X的概率密度函数为:

由概率密度函数的归一性知:

在高等数学中类似于例1的广义积分的证明, 往往是通过转化为在某个区域上的二重积分来考虑的, 还需要进行极坐标变换来处理, 做起来比较很不容易。利用概率密度函数的归一性, 则可以比较容易解决这个难题。具体见下面的例2。

例2:证明:

证明:若随机变量, 的概率密度函数为, 则:

(2) 高等数学中一个比较重要的部分就是积分学问题, 而定积分的证明更是高等数学中比较常见的问题。通过研究发现, 概率思想同样可以在求解某些广义定积分上发挥重要的作用, 同样可以达到减少证明难度, 提高准确性的目的。即, 可以利用式子本身的特性, 通过变形, 使被积函数成为某个随机变量的概率密度函数, 从而利用概率密度函数的归一性, 可以使得某一部分积分为1, 达到简化证明的目的。比如在例3[3]中, 将被积函数化成正态分布的概率密度函数, 然后再利用正态分布的性质, 结合概率密度的规范性来使问题变得简单。

例3:证明:

(3) 概率论中数学期望与方差是随机变量的数字特征, 利用随机变量的数学数字特征可以解决高等数学中的有关等式和不等式的证明问题。例4是利用了随机变量的方差非负性, 非常简单地得到证明。这就大大节省了证明的时间, 提高了证明效率。

例4:设函数f (x) , g (x) 为区间[a, b]上的可积函数, 且g (x) >0, 则:

证明:设连续型随机变量X的概率密度函数为:

从而化简得证不等式成立。

当然利用概率思想还可以证明以前只能利用排列组合知识解决的古典概型恒等式的问题。详细论述和证明参见文献[4]。另外, 概率思想还可以解决有关CauchySchwarz不等式、Chebeshev不等式及高等数学级数部分的证明问题。这些将概率思想应用到高等数学证明中的实践, 充分说明, 在我们《概率论与数理统计》的教学中, 如果能将本文提高的实例应用到课堂授课的实际中, 会大大提高学生进一步学好概率课程的积极性, 对于提高课堂教学效果起到非常大的作用。另一方面, 概率论的用处不仅仅在高等数学的证明中能发挥出强大的作用, 在其它工程实践课程的教学中也同样重要。令人高兴的是, 目前高等教育的教学中已经开始按照国家教育委员会的要求, 逐渐开展“卓越工程师计划”, 该计划就是要增强学生的实践能力。我校将在2010级学生的《概率论与数理统计》课程的教学中增加实践学时, 今后我们可以在课堂教学中给学生充分展示出概率论的强大作用。这件事情在按部就班的进行中, 希望能够取得良好的教学效果。

参考文献

[1]盛骤.概率论与数理统计 (第3版) [M].北京:高等教育出版社, 2001, 12.

[2]同济大学应用数学系.高等数学[M].北京:高等教育出版社, 2004.

[3]李智明.概率方法在其它数学问题中的应用[J].河北北方学院学报 (自然科学版) , 2007 (4) .

概率思想论文 第9篇

关键词： 数学建模    概率论与数理统计    教学应用

一、将数学建模的基本思想融入到概率论及数理统计教学改革的必要性

想要用基本的数学方法解决现实中的实际问题，就需要建立有效的数学模型。虽然传统的数学教学拥有完善的教学体系，却忽略了数学的来源，只是一种封闭的系统，这种教学存在一定的缺陷。在数学教学中融入数学建模的思想，开设相应的数学实验或是数学建模的教学课程，促进学生在学习的同时体会到知识被发现及创作的过程。如今，随着教育的不断改革，已有多个院校将数学建模的基本思想融入到数学的分支学科中。在教育不断改革的背景下，许多院校都开始扩招大学生，但是要面临学生毕业后就业难的现状。大学中的概率论及统计课程的相关教学，不能仅停留在数学定义和各种公式的传授，而是在学生学到基本的数学概念及结论的同时，学会数学的思维方法，体会数学的内在含义，了解数学知识具体的来龙去脉，受到数学文化的熏陶。因此，应该在数学教学中让学生体会数学知识的真正魅力，并不只是停留在数学枯燥乏味的公式上。目前，虽然很多院校都开设了数学建模的相关课程，但是，如果不能将数学建模的基本思想融入到概率论及数学统计的课程中，将无法发挥数学建模思想在数学学科中的重要作用。

二、将数学建模的基本思想融入到概率论及数学统计的教学课堂上

1.课设数学教学的实验课

一般情况下，数学的实验课程都需要结合数学建模的基本思想，将各种数学软件作为教学的平台，模拟相应的实验环境。随着科学技术的不断发展，计算机软件应用到教学中已经越来越普遍，一般概率论及数学统计中的计算都可以利用先进的计算机软件进行计算。教学中经常使用的教学软件有SPSS及MABTE等，对于一些数据量非常大的教学案例，比如数据模拟技术等问题，都能够利用各种软件进行准确的处理。在数学实验的课程教学中，学生能够真实地体会到数学建模的整个过程，从而提高学生的实际应用能力，促进学生自发主动探索概率论及数学统计的相关知识内容。通过专业软件的学习和应用，增强学生实际动手及解决问题的能力。

2.利用新的教学方法

传统数学说教式的教学方法并不能取得较强的教学效果，这种传统的教学也已经无法满足现代教学的基本要求。在概率论及数学统计的教学中融入数学建模的基本思想并采用新的教学方法，能够有效强化课堂教学效果。将讲述教学与课堂讨论相互结合，在讲述基本概念时穿插各种讨论的环节，能够激发学生主动思考。启发式教学法，通过已经掌握的知识，对新的知识内容进行启发，引导学生发现问题解决问题，自觉探索新的知识。案例教学法，实践教学证明，这是在概率论中融入数学建模基本思想最有效的教学方法。在学习新的知识概念时，首先引入适当的教学案例，案例的选择要新颖，具有针对性，从浅到深，教学的内容从具体到抽象，对学生起到良好的启发作用。学生在学习过程中改变了以往被动学习的状态，开始主动探索，案例的教学贴近学生的生活，学生更容易接受。这种教学方法加深了学生对概率论相关知识的理解，发散思维，并利用概率论及数学统计的基本内容解决现实中的实际问题，激发了学生的学习兴趣，同时提高了学生解决实际问题的综合能力。

3.有效的学习方式

对于概率论及数学统计的相关内容，在教学过程中不能只是照本宣科，数学建模的基本思想并没有固定不变的模式，需要多种技能的相互结合，综合利用。在实际的教学中，教师不应该一味参照课本内容进行教学，而是引导学生学会走出课本，自主解决现实中的各种问题，鼓励学生查阅相关的资料背景，提高学生自主学习的能力。在教学前，教师首先补充一些启发式的数学知识，传授教学中新的观念及新的学习方法，拓展学生的知识面。在进行课后习题练习时，教师需要适当引入部分条件并不充分的问题，改变以往课后训练的模式，注重培养学生自己动手，自己思考，在得到基本数据后，建立数学模型的能力。还可以在教学中加入专题讨论的内容，鼓励学生能够勇敢地表达自己的想法和见解，促进学生之间的讨论和交流。

4.将数学建模的基本思想融入课后习题中

课后作业的练习是巩固课堂所学知识的重要环节，也是教学内容中不可忽视的过程。对于课后习题的布置，可以将数学建模的思想融入其中，并用这种思想真正地解决现实中的各种问题。在实践中学会应用，不仅能够巩固课堂学到的理论知识，还能够提高学生的实践能力。例如：课后的习题可以布置为测量男女同学的身高，并用概率统计学的相关知识分析身高存在的各种差异，或者分析中午不同时间段食堂的拥挤程度，根据实际情况提出解決方案，或者分析某种水果具体的销售情况与季节变化存在的内在关系等。在解决课后习题时，学生可以进行分组，利用团队的合作共同完成作业的任务，通过实践活动完成训练。学生在完成作业的过程中，不仅领会到了数学建模的基本思想，还能将概率统计的相关知识应用到实际问题中，并通过科学的统计和分析解决实际问题，培养了学生自主探究及实际操作的综合能力。

三、结语

将数学建模的基本思想融入到概率统计教学中，有效提高了学生学习数学的兴趣，有利于培养学生利用所学的课本知识解决现实问题的能力。

参考文献：

[1]甘静.从数学建模角度看《概率论与数理统计》教学[J].赤子（上中旬），2015，05：238.

概率思想论文 第10篇

一、概率统计教学中融入数学建模思想的重要性

传统的概率论与数理统计课程的教学, 可以简单地归纳为:数学知识+例子说明+解题+考试。这种模式虽然使学生在一定程度上掌握了基础知识, 提高了计算能力, 也学会了运用所学知识解决课后作业和应付考试。但也不难看出, 这种教学方式与实际严重脱节, 学生学会了书本知识, 但却不知在所学专业中该如何运用, 这不仅与素质教育的宗旨相违背, 也极大地削弱了学生学习这门课程的能动性, 从而也影响了教学效果。数学建模的指导思想恰恰在于培养学生运用所学理论知识来解决现实实际问题。这不仅仅是这门课程对学生的教育问题, 更是顺应当前素质教育和教学改革的需要问题。

二、在课堂教学中融入数学建模思想

对于讲授概率论与数理统计这门课程的教师来说, 有着非常重要的任务, 那就是如何教好这门课程, 即如何使学生通过对这门课程的学习而增强其对概率统计方法的理解与实际应用能力。

1. 教学内容上数学建模思想的渗透。

众所周知, 教师对教学内容的把握起着不容忽视的作用。有效的教学是依赖于教师对该课程的内容有着全面的和深刻的理解。概率统计中的一些概念、性质、模型的应用确实有些难度, 在日常教学中可以通过精选例题、切近现实生活, 使学生逐渐深化对相关知识的理解, 即讲课的内容生活化、趣味化, 生活中的概率统计问题模型化。在概率统计里这些趣味性的例子比比皆是!比如摸球、投掷骰子等常见的游戏, “父母的身高对子女的影响”、“男女生人数的均衡对一个班级学习效果的影响”等发生在身边的事。在概率统计这门课程中数学模型的影子也随处可见!比如像降雨概率、人体舒适度指数、超市银台处的等待服务时间等这样的随机现象问题都需要将实际问题数量化, 然后对研究对象做出判断, 从而解决问题。教学内容中也可插入一些反映社会经济生活的背景与热点问题, 使课堂教育跟上时代步伐。如有奖促销问题、保险赔偿金确定问题、交通事故问题等, 这样的内容都旨在培养学生利用数学工具分析解决实际问题的意识和能力, 也就是培养学生的建模能力。

2. 教学方法中融入数学建模思想。

在教学中, 教师的责任更大地体现在对学生的引导能力, 通过引导使学生运用自己的能力来解决相关的问题。这样使学生不但能够学到严谨的理论知识, 同时也提高了学生分析问题和解决问题的能力。在教学中, 我们主要采用精讲与导学相结合的方法, 同时在课堂教学的各个环节中也可恰当运用讨论式、启发式、归纳类比式等教学方法。在运用各种教学方法中都要充分关注学生的参与性, 在与学生的互动中挖掘出课本内容中的数学建模思想, 使其“显化”出来。比如在讲解随机事件和古典概型中, 可以讲解摸球问题、生日巧合及配对问题、确诊率及血清化验问题等, 这样既活跃了课堂氛围, 又培养了学生爱思考的习惯。必须提及的是“案例教学法”, 它是概率统计课程融入数学建模思想的有效而常用的教学方法之一。在教学中可以直接给出案例, 然后从求解具体问题中找出相应的理论和方法。此方法缩短了数学理论与实际应用的距离, 不仅可以提高学生学习的积极性, 同时也使学生明白概率统计是建立在现实生活基础上的一门课程。比如在随机变量的数字特征中, 可以给出“报童的收益问题”案例;在参数估计中, 可以给出“湖中鱼的数量估计”案例;在大数定律和中心极限定理中, 可以给出“保险公司的收益问题”案例;等等。由于受到课时限制, 可能不能充分有效地对案例进行完整讲解, 通常将“案例分析法”和“现代教育技术法”相结合进行教学, 利用多媒体教学手段可以将案例中出现的大量统计计算均由统计软件 (如Spss, SAS, R等) 来实现。这样既易于被学生接受, 也有助于学生掌握统计方法和实际操作能力。

三、发挥课后作业作为课堂教学的补充与延伸作用

作为数学课程, 课后作业是十分重要的组成部分, 是进一步理解、消化和巩固课堂教学内容的重要环节。

1. 课后试验。

在概率统计这门课程中有很多随机试验, 并且很多统计规律也都是在随机试验中获得的。比如通过投掷均匀的硬币和均匀的六面体骰子, 可以很好地理解频率与概率之间的关系;双色球的有 (无) 放回抽样, 有助于理解随机事件的相互独立性;统计某书上的错别字, 并判断是否服从泊松分布等。通过让学生们亲自做实验, 不仅使他们能够探索随机现象的统计规律性, 还能帮助他们更深刻的理解、巩固和深化理论。

2. 课后作业。

除常规概率统计练习题目外, 可以增加一些有趣的、与日常生活中密切相关的概率统计题目。比如在给出了摸彩票规则和中奖规则后, 解决下面三个问题: (1) 中奖概率与摸彩票的次序有关系吗? (2) 假设发行了100万张彩票, 中一、二等奖的概率是多少? (3) 若你打算摸彩票, 在什么条件下中奖概率会大一些?

3. 课外实践。

针对概率统计实用性强的特点, 有目的地组织学生参加社会实践活动, 深入实际, 调查研究, 收集数学建模的素材。只有将某种思想方法应用到实践中去, 实际解决几个问题, 才能达到理解、深化、巩固和提高的效果。教师可以从现实中寻找素材, 选择具有丰富现实背景的学习材料, 可以让学生自由组队, 深入实际, 运用统计方法调查、观察和收集一些数据, 在教师指导下运用所学知识和计算机技术, 分析解决一些实际问题, 写出书面报告。比如利用闲暇时间观察校门口某路公交车各时段乘车人数, 根据观察数据, 为该线路设计一个便于操作的公交车调度方案:包括发车时刻表;共需多少辆车;以怎样的程度能够照顾乘客和公交公司双方的利益。

四、改变传统单一的考核方式

考核是教学过程中不可缺少的一个教学环节, 是检验学生学习情况, 评估教师教学质量的手段。传统的概率论与数理统计课程均采用期末闭卷考试, 教师通常都会按照固定的内容和格式出题, 学生为了应付考试, 往往把过多的精力花费在对公式和概念的死记硬背上, 而忽略了所学知识在实际中的应用。虽然综合成绩是由平时成绩和期末成绩的各占比例计算而成, 但平时成绩的考核主要看课后习题所做的作业, 而学生的学习积极性对作业的态度差异性是很大的。为此, 有必要改革传统单一的考核方式, 培养学生综合运用知识的能力。考核结果包括两部分:一部分是闭卷考试, 占60%, 主要考察学生对概率统计的基本知识、基本运算和基本理论的掌握程度;另一部分是开放性考核, 由各占20%的平时成绩和课后试验、课外实践构成, 其中平时成绩主要考查学生的作业情况、考勤情况、课堂表现情况等方面;课后试验、课外实践主要考核学生对概率统计知识的应用能力, 可以给学生一些实际问题, 或者让学生参加社会实践调查收集数据, 学生可以自由组队也可单独完成, 通过运用概率统计知识建立数学模型并借助计算机处理大量数据对实际问题得到解决, 最后提交一份书面研究报告。如此灵活多变的考核机制, 才能充分调动学生学习的积极性和主动性, 才有利于学生应用能力的培养。

通过在各个环节中融入数学建模思想, 不但充分体现了概率统计的实用价值, 搭建起概率统计知识与实际应用的桥梁, 而且也使得工科类学生对概率统计这门课程的理解、认识增强了, 数学的应用能力也得到了提高。

摘要：本文结合概率统计课程和数学建模的特点, 从课堂教学、课后作业、考核方式三个方面就如何将数学建模思想融入到概率统计教学中进行了深入的探讨, 以期激发学生学习兴趣, 培养学生应用能力。

关键词：概率统计,数学建模思想,教学改革

参考文献

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