非线性微分论文

非线性微分论文（精选10篇）

非线性微分论文 第1篇

在科学领域中,振动理论有着广泛的应用前景。作为微分方程稳定理论的一个重要分支,对其讨论有着十分重要的意义。关于时滞微分方程的振动理论,以受到很多人的关注,而非线性方程振动性研究的一个重要内容是线性化振动。近年来,新的研究结果不断发表,但大多数研究结果都是自治微分方程,方程中的非线性项只依赖于状态而不依赖于时间。Pituk将线性化振动的方法推广到非自治时滞微分方程,考虑了一阶非线性时滞微分方程

其中r∈R+=[0,∞),f∈C1(R+(-δ,δ),R)(0<δ∞)。对所有t∈R+都有f(t,0)=0。借助于该方程的线性近似方程

得出了方程线性化振动的充分条件。

本文在pituk的基础上研究了多变时滞微分方程

的振动性。式(1)中fk∈C1(R+(-δ,δ),R)且满足fk(t,0)=0。t∈R+,0<δ∞。x(τk(t))在R上是一致收敛的,τk(t)为单调非减的连续函数,τk(t)t,且tlim∞τk(t)=∞,k=1,2,,m,且在R上是一致收敛的,利用式(1)的线性近似方程

得出了方程式(1)所有解振动的充分条件,式(2)中D2fk表示fk关于第二个变量的偏导,所得结果推广了相关文献。

1 准备工作

在研究之前,首先介绍几个定义。

定义1方程式(1)的解x(t)为振动的,如果此解既不是最终正解,也不是最终负解。否则,此解为非振动的。

定义2对于一个连续函数b(t):[0,∞)R,称为一致正的,如果ρ>0,使得:

则称b(t)为一致正的。

定义3当n∞时,如果存在R+中一个趋于无穷的序列{tn}n∈N使得:ptn(t)=p(tn+t),ptn(t)逐点收敛于p(t)的,即:

则称p(t)为弱递推的。

考虑如下形式的线性方程

式(4)中b(t):[0,∞)R为一致正的,τk∈C1([σ,∞),R)且满足klim∞τk(t)=∞,k=1,2,,m。

引理设b(t):[0,∞)R为一致正的函数,τk(t)为单调非减的连续函数,且在R上是一致收敛的,τk(t)t,tlim∞τk(t)=∞,存在r>0,τk(t)t-r,k=1,2,,m。τk′≥0。如果x(t)为方程式(4)在[珔τk(σ0),∞)(σ0≥σ)上的一个正解(珔τk(σ0)=1mkinm{τk(σ0)})则

引理得证。

2 主要结果

定理1设引理的条件成立,同时假设在R+中存在一个趋于无穷的序列{tn}n∈N,使得:t-τk(t)是弱递推的。b(t)为满足式(3)的连续有界函数,函数序列b(tn+t)在[σ,∞)中逐点收敛于连续函数β。

若极限方程

的所有解振动,则方程式(4)的所有解振动。

证明反证法,我们不妨设x(t)为式(4)的一个最终正解,取常数σ0≥0,使得当t≥珔τk(σ0)时,t≥珔τk(σ0)=1mkaxm(σ0)。定义:

式(11)其中非负序列{tn}n∈N满足式(9)。由式(4)和式(11),则可得:

b(t)为有界一致正的连续函数,再由式(5)可得:

其中q=ωt≥sσu0p>0b(t),因此,对每一个n,有:

则可得:

而

所以yn(t)eqt在[σ0,∞)上是单调不减的,同时yn(t)在[σ0,∞)上是单调减少的。因为yn(σ0)=1,则有yn(t)yn(σ0)=1。

因此

式(14)和式(15)则表明{yn}n∈N以及它们的导数在[σ0,∞)的所有紧子集是一致有界的。由Arzela-Ascoli定理和Cantor对角线法,则我们可以找到{yn}n∈N的一个子序列{ynk}k∈N,使得该子序列在[σ0,∞)的所有紧子集上一致收敛于极限函数y:[σ0,∞)R,且y在[σ0,∞)上是有界正的连续函数。把式(12)从σ0到t积分得:

t-τk(t)为弱递推的,上式两边取极限得:

从而y(t)为式(10)的一个有界非振动解,矛盾。则定理得证。

定理2

因为t≥σ,有:

摘要：主要研究了一类线性多变时滞微分方程x′(t)=∑mk=1fk(t,x(τk(t)))的振动性。利用其线性近似方程x′(t)=∑mk=1D2fk(t,0)x(τk(t))得出了方程振动的充分条件。所得结果推广了相关文献的结果。

关键词：振动性,时滞微分方程,线性化,弱递推函数

参考文献

[1]Pituk M.Linearized oscillation in a nonautonomous scalar delay dif-ferential equation.Applied Mathematics Letters,2006;19:320—325

[2]Pituk M.Asymptotic behavior and osci-llation of function differential equations.Math Anal Appl,2007;187(1):68—78

[3]Tang X H,Yu J S.Linearzied oscillati-on of first-order nonlinear neu-tral delay differential equations.Math Anal Appal,2001;258:194—208

[4]Gyori I,Trofimchuk S,On the existence of rapidly oscillation solutions in the Nic-holson blowflies equation.Nonlinear Anal,2002;48:1033—1042

[5]郑祖庥.泛函微分方程.合肥:安徽教育出版社,1992

二阶非线性泛函微分方程的振动性 第2篇

二阶非线性泛函微分方程的振动性

讨论了一类二阶非线性泛函微分方程的`振动性,得到一些新的振动准则.

作 者：付银莲 FU Yin-lian  作者单位：华南农业大学理学院应用数学系,广州,510640 刊 名：科学技术与工程  ISTIC英文刊名：SCIENCE TECHNOLOGY AND ENGINEERING 年，卷(期)：2009 9(2) 分类号：O175.14 关键词：泛函微分方程   二阶   振动性   functional differential equations   second order   oscillation  

非线性微分论文 第3篇

收稿日期： 20131124

基金项目： 国家自然科学基金仪器专项(2127013);云南省自然科学基金(60968001,61168003);云南省应用基础研究计划面上项目(2011FZ079,2009CD047);国家级大学生创新创业训练计划项目(2012103005)

作者简介： 徐林丽(1989),女,硕士研究生,主要从事多光谱成像及图像处理方面的研究。

通讯作者： 李宏宁(1975),男,讲师,博士,主要从事旋光检测和多光谱成像方面的研究。

摘要： 多光谱成像系统会改变输出光的波长,这就导致图像在不同波段下形成了不均匀亮度(阴暗图像和高亮度图像),严重影响了特征波段提取与测量。为了提高各波段的有效利用率,引用了一种增强多光谱灰度图像清晰度的有效方法。通过非线性的偏微分方程扩大梯度空间、保留梯度值较大的边缘,增强图像的纹理细节。由于多光谱图像阴暗波段的纹理较弱,不容易辨别其所有信息,为了更好地使增强效果完全体现出来,使用直方图均衡化来调节亮度的不均匀性。最后,通过人眼视觉的定性和客观函数的定量两方面对该组增强图像的清晰度进行了评价。结果表明:该方法能够有效地协调各波段的多光谱图像清晰度,并且图像的增强效果也非常明显。

关键词： 多光谱成像; 清晰度; 非线性偏微分方程; 直方图均衡化

中图分类号： TN 911.73文献标志码： Adoi： 10.3969/j.issn.10055630.2014.03.006

Multispectral images′ sharpness enhanced by

nonlinear partial differential equation

XU Linli, XU Haibin, FENG Jie, YANG Weiping, LI Hongning

(School of Physics and Electronic Information Technology, Yunnan Normal University, Kunming 650500, China)

Abstract： Multispectral imaging system can change the output wavelength of light well, forming the uneven brightness images in different wave bands(dark images and high brightness images), it will affect the extraction and measurement in the feature bands seriously. In order to improve the effective utilization of each band, this paper appoints an effective way to enhance multispectral grayscale images′ sharpness. First enlarge gradient space through nonlinear partial differential equation, keep the bigger edges of the gradient value, enhance the texture details of images. Because the texture is weak in dark bands, to identify all of its information is difficult, to incarnate heighten and effect preferably, this article combines with the histogram equalization to adjust nonuniformity of brightness. Finally, evaluate this sets of enhanced images in two aspects by human vision qualitatively and objective function quantitately. The result shows that this method can coordinate multispectral images′ sharpness in different bands, and images′ enhancement effect is very obvious.

Key words： multispectral imaging; sharpness; nonlinear partial differential equation; histogram equalization

引言多光谱成像系统是一组多源信道所采集的关于同一目标的图像成像系统,经过图像处理和计算机技术等可以最大限度地提取各自信道中的有利信息,最后综合成高质量的图像［1］。相比于一般的数字成像系统,具有较高的光谱分辨率,能十分方便连续地改变输出光的波长,协调成百上千幅可见光和近红外光波段的图像。因此,多光谱成像在颜色测量、地理空间分析、天文学以及拉曼化学成像等方面起着非常重要的作用［2］。然而由于多光谱成像系统其不同波段的光对同一物体的反射率不同,使得不同波段图像的亮暗程度非常不均匀,这就造成了阴暗和高光区域中的图像信息不能够很好地被人眼所观察［3］,这些区域内往往存在着很多对比度相对很小的细节信息,一旦这些信息丢失就会严重影响多光谱图像在其应用领域以及实际生产过程中的作用;因此,协调多光谱数字图像在这些波段中的清晰度具有重要的意义。一般的图像增强采用线性方法进行滤波处理,如卷积滤波、高频增强滤波、维纳滤波等［4］,这些方法都是基于实际的应用环境提出的,当应用于多光谱成像系统时,就表现出一定的局限性。目前就增强多光谱数字图像清晰度的研究方法还少见报道,本文是针对多光谱灰度图像中不同波段的差别较大的不均匀亮度图像,通过改进直方图均衡化提高图像对比度的增强方法,而引用一种基于非线性偏微分方程的图像增强方法［56］,来提高多光谱灰度图像的清晰度。为了客观地检验该方法是否真实有效,在进行人眼视觉系统(HVS)［7］主观判定的同时,又引入了适用于多光谱图像清晰度评价的客观函数［811］——灰度差分函数,分别对原图像、经直方图处理过后的图像、通过改进算法处理后的图像进行了定性定量的测量和比较。光学仪器第36卷

第3期徐林丽，等：非线性偏微分方程增强多光谱图像清晰度

1多光谱成像的特点多光谱成像系统是利用了光的色散原理(复色光分解为单色光谱,白光分解为彩色光谱)。将目标光波的波长分割成若干波段,并拍摄目标物在各个波段的图像,所采集的图像是被色散开的单色光按波长在各波段依次成的像。由于不同波段光照强度的不均匀性而形成了亮暗程度不一的多光谱灰度图像,这就导致在不同波段所采集的图像清晰度差别很大,尤其是在阴暗波段,严重影响其在应用领域的分析与测量。图1选取了多光谱各波段图像中具有代表性的亮暗程度不均匀的12幅波段图像,通过人眼的主观认知方式可以很明显地分辨出:该组图像随着波长的改变,其清晰度也会随之改变。在阴暗波段和高亮度波段的图像中很多细节都无法被人眼所察觉,而实际上,这些波段内的图像中存在着很多细节信息,并且这些信息在多光谱图像的分析以及应用中是不可缺少的。2直方图均衡化图像增强消除光的强度对图像的影响方法有很多,首先采用目前图像增强技术领域里发展较为成熟的,同时也是图像增强技术的一种基本方法——直方图均衡化。它是一种以积累分布函数CDF(cumulative distribution function)为基础的直方图修正法,其目的是将原始图像的直方图修正为均衡分布的形式,即将原始图像的梯度场进行均衡,增强梯度场中出现概率高的信息,抑制概率低的信息,从而可以增强阴暗波段和高亮度波段灰度图像的细节信息。对于一幅多光谱灰度图像,第i个灰度级ri出现的频率数用ni表示,该灰度级像素对应的概率pr(ri)为:pr(ri)=nini=0,1,…,k-1(1)其中,n为像素总数,i为灰度级数,ri满足归一化条件。图像变化的函数表达式为:S=T(ri)=∑k－1i=0pr(ri)=∑k－1i=0nin(2)

nlc202309032023

图1具有代表性的不同波段的多光谱图像

Fig.1Typical multispectral images in different bands

对该组多光谱图像进行直方图均衡化处理,效果如图2所示(选取450 nm、550 nm、600 nm、720 nm波段图像为例)。

图2原图像与直方图均衡化处理后所得的对比图像

Fig.2Contrast between original images and histogram equalization processing images

从图2四组图像中不难看出,直方图均衡化处理后,图像直方图灰度间隔被拉大了,从而有利于图像的分析与识别。但是该方法又存在一定的局限性,虽然在450 nm波段和720 nm波段图像的清晰度得到了很明显的提高,然而,在550 nm波段以及600 nm波段处理后的图像随着直方图均衡化将图像细节放大的同时,图像的噪声也随之放大,尤其在550 nm波段最为明显。可以看出该方法不仅对光照比较均匀的550 nm波段灰度图像的清晰度无明显增强效果,而且还带来了较大的噪声。3基于非线性偏微分方程的图像增强为了避免直方图均衡化的同时放大噪声,本文采用一种改进的基于非线性偏微分方程的图像增强方法,设增强后的梯度图像为A:A=1－cosu－uminumax－umin•π•umax2•uu(3)其中,u为原图像的梯度函数,umax为梯度模的最大值,umin为梯度模的最小值,uu表示梯度场的方向信息。经过该变换之后梯度函数使原梯度场从［umin,umax］映射到［0,umax］内,且分布按照所需要求变换,使原本不明显的纹理凸显,同时保留梯度值较大边缘,增强图像的纹理细节。图像增强后再经过最小二乘原理恢复出所要增强的图像,该过程可以增强图像中比较弱的纹理和出现概率较低的细节信息。为了使增强效果完全体现出来,本文用直方图均衡化与原图像的差乘上补偿因子λ来调节增强后图像,从而构建出重建图像，公式如下:Δu=div(A)+λ(S(u)－u)(4)其中,Δ为拉普拉斯算子,Δu=2ux2+2uy2,S(u)是对原图像的直方图均衡化,λ为补偿因子。通过该方法对多光谱图像的增强效果与直接直方图均衡化处理产生的效果如图3所示(以图2中无明显增强效果的550nm和600nm波段图像为例)。

图3改进的方法与直方图均衡化处理对比图

Fig.3Contrast between images of improved method and histogram equalization processing

从图3可以看出该方法能够明显弥补直方图均衡化处理对某些波段图像增强无明显效果的不足,同时能够很好地抑制带噪图像在图像增强过程中所引起的噪声放大,从而克服了上述方法的缺陷,可以达到更好的视觉效果。4结果分析与讨论对实验结果的检验本文从定性和定量两方面着手。定性是从人眼视觉效果进行的评价,图1、图2、图3分别展示了在某些特征波段的原图像、直方图均衡化处理后的图像、改进的方法处理后的图像,从以上三组图像中可以看出改进的方法与直方图均衡化处理相比可以明显地提高图像的细节信息,从而增强图像的视觉质量。由于定性评价具有一定的主观性,因此,本文又引入了具有客观性的定量评价。因为,图像清晰度是衡量图像增强效果的重要指标,它的客观函数评价有很多,就反映图像细节信息的函数有:熵函数、灰度差分函数、Tenengrad函数、能量梯度函数以及点锐度函数等,在这里选用最适用于多光谱数字图像清晰度客观评价函数——灰度差分函数［11］,来对实验的原始图像以及增强后的图像进行评价。灰度差分函数的算法是:先逐个算出各个像素点的平均灰度值,再将各像素点灰度值与平均灰度值之差累加,得到该图像的清晰度。公式如下:q(I)=∑x∑y［I(x,y)－μ］(5)

μ=∑x∑yI(x,y)(M×N)2(6)其中,I(x,y)为图像I在(x,y)处的灰度值,μ为图像I的平均灰度值,M×N为图像的像素总数,q(I)表示该函数的清晰度值。为了说明改进算法比直方图均衡化算法更具有优越性,本文选用比一般的多光谱成像系统有更高成像质量的LCTF成像系统,并且在D65光源下从450~720 nm波段(每隔5 nm,共55幅)采集一组多光谱数字图像进行清晰度分析。灰度差分函数对原图像、直方图均衡化处理后的图像、改进方法处理后的图像的清晰度值如图4所示。

图4各方法在不同波段的清晰度值分布

Fig.4The distribution of each method for images′ sharpness in different bands

通过图4三组波段图像清晰度的分布图可以看出，非线性偏微分方程图像增强能够很好地提高多光谱图像的清晰度,这为以后在多光谱图像的筛选和清晰度的视觉评价方面具有很大的帮助,然而又会导致多光谱数据立方体的能量分布的改变,因此,在多光谱图像的反射率重建等方面工作时将会进行后续的处理。5结论综合图1、图2、图3的定性评价和图4的定量评价可以看出多光谱图像在各波段成像质量是非常不均匀的,在550 nm左右的波段图像较为清晰,但在两端波段图像的清晰度相对较差,尤其是在470 nm以下和700 nm以上波段的图像非常不清晰,在此基础上如果采用直方图均衡化处理会使得较低波段和较高波段的图像清晰度得到明显的改善,然而随之而来会造成噪声的放大,结果导致在500～640 nm范围内被测的图像清晰度不升反降。而本文的方法不仅可以使几乎每个波段的图像清晰度获得提高,而且还可以使各个波段的清晰度基本维持在一条直线上,因此这种方法使得多光谱图像在各个波段图像质量得到了明显提高,克服了多光谱在不同波段成像不均匀这一缺点。实验结果表明:该方法不仅可以克服噪声较大时,直方图均衡化所带来的噪声同步放大的缺点,而且可使各波段图像清晰度值基本保持一致,有效地提高了不同波段多光谱灰度图像的清晰度,提高了图像的质量,为多光谱成像系统更多的应用研究提供了参考。参考文献：

［1］周红志,冯莹莹,王戴木.基于Bayesian压缩感知的融合算法［J］.计算机应用研究,2013,30(2):613615.

［2］郑芝寰,沈会良,杜昕.基于聚焦对称性的多光谱相机自动调焦方法［C］∥高光谱成像技术及其应用研讨会.苏州:中国宇航学会光电专委会,2012:9297.

［3］赵建.基于偏微分方程的非线性图像增强方法［J］.仪器仪表学报,2011,32(6):358362.

［4］CASTLEMAN K R.数字图像处理［M］.朱志刚,林学闫,石定机,等译.北京:电子工业出版社,2003:171208.

［5］朱立新,王平安,夏德深.基于梯度场均衡化的图像对比度增强［J］.计算机辅助设计与图形学学报,2007,19(12):15461552.

［6］韩希珍,赵建.结合偏微分方程增强图像纹理及对比度［J］.光学精密工程,2012,20(6):13821388.

［7］章毓晋.图像工程:图像处理［M］.3版.北京:清华大学出版社,2012:259263.

［8］蔡明荣,马军山,王福红,等.自动调焦系统中图像清晰度判别方法的研究［J］.光学仪器,2008,30(5):3539.

［9］姚铖,隋成华,魏高尧,等.自动验光仪中图像处理与调焦准确性的研究［J］.光学仪器,2012,34(6):1013.

［10］陈亮,李卫军,谌琛,等.数字图像清晰度评价函数的通用评价能力研究［J］.计算机工程与应用,2012,11(6):152155.

［11］LI H N,XU L L,FEN G J.Sharpness evaluation function of wavelength related multispectral image［C］∥IEEE 2013 2nd International Conference on Measurement,Information and Control,Harbin,2013:452456.

非线性微分论文 第4篇

1 非线性灰色微分方程

对a (1) ka建立非线性灰色微分方程

, 及=[p, q]T。利用= (BTB) -1BTY对模型中的参数列 =[p, q]T进行估计。由于微分进化算法 (Differential Evolution Algorithm, DE) 具有很强的全局寻优功能、较快的收敛速度及较好的稳定性的优点, 文章采用微分进化算法对参数α 进行优化。

2 基于非线性灰色微分方程的PPI预测模型的建立

全国2014年11月—2015年6月PPI见表1, 数据来源于财经网站http://data.eastmoney.com/cjsj/ppi.html。

以2014年11月—2015年4月PPI作为训练数据集, 以2015年5月—2015年6月PPI作为测试数据。用训练数据集建立非线性灰色微分方程预测模型并对2015年5月和2015年6月的PPI进行预测。具体算法如下。

Step1:输入样本数据X (0) = (a (0) (1) , a (0) (2) , Λ, a (0) (6) ) = (97.3, 96.7, 95.7, 95.2, 95.4, 95.4) 。设置DE的最大迭代循环次数D=500 、种群规模Np=200、放缩因子F=0.5 及交叉常数CR=0.4 等参数并设置参数 α 的搜索范围 (0, 9) 。令迭代的代数j=0 。

Step2:计算X的一阶累加生成序列的紧邻均值生成序列。在所设置的参数α的范围内随机生成初始种群, 计算。以作为训练集, 利用 (1) 分别对进行拟合得其拟合值。计算每个个体的适应度值, 记录各个体极值、全局极值和全局极值点。

Step3:通过变异、交叉和选择这三种操作对种群进行更新, 计算新种群各个体的适应度值, 并更新各个体极值、全局极值和全局极值点。

Step4:若j<D , 则j←j+1, 转Step3。否则, 输出全局极值点α*, 即为参数α 的最优取值。

Step5:利用α*建立PPI的非线性灰色微分方程预测模型。

利用matlab很方便地实现上述算法。2014年11月—2015年4月PPI的预测结果及2015年1月—2015年6月PPI的预测结果见图1和表2。

2015年1月—2015年6月PPI的拟合值与原始值的相对误差如表2。

3 结语

由图1、表2可知, 采用本文所建立的非线性灰色微分方程预测模型对2014年11月—2015年4月的PPI进行拟合所得的各拟合值和对2015年5月、6月的PPI进行预测所得的各预测值, 与其对应的原始值相比较, 相对误差都较小;其中, 对2015年5月、6月的PPI进行预测所得的预测值分别为95.2407和95.1526, 而2015年5月、6月的PPI的实际值分别是95.4和95.2, 相对误差分别为0.17%和0.05%, 与实际值较为接近, 这也表明了该预测模型的有效性。

摘要：由于工业品出厂价格指数 (PPI) 是衡量工业产品出厂价格变动程度的指数, PPI的变化会影响居民消费价格指数 (CPI) , 存在PPI向CPI的传导关系, 是有关部门制定经济政策的重要依据, 因而对PPI进行有效的预测具有现实的重要意义。由于微分进化算法 (DE) 具有很强的全局寻优功能、较快的收敛速度及较好的稳定性的优点, 该文采用微分进化算法对非线性灰色微分方程中的参数进行寻优, 从而建立起基于非线性灰色微分方程的PPI预测模型, 仿真结果表明了该模型的有效性。

关键词：工业品出厂价格指数,非线性灰色微分方程,微分进化算法,基于非线性灰色微分方程的PPI预测模型

参考文献

[1]杨灿, 陈龙.中国CPI与PPI:因果关系和传导机制[J].厦门大学学报:哲学社会科学版, 2013 (3) :1-9.

[2]刘康.PPI、CPI传导机制研究[J].国际金融研究, 2014 (5) :24-30.

[3]王美岚.一类非线性灰色微分方程的拟合方式[J].山东师范大学学报:自然科学版, 2003, 18 (2) :17-19.

非线性微分论文 第5篇

一类二阶非线性泛函微分方程的振动性

在二阶泛函微分方程振动理论研究成果的基础上,利用Riccati变换、微分与积分、不等式的放大与缩小等方法,讨论了更一般的`一类二阶非线性泛函微分方程的振动性,得到了该类方程所有解振动的新的充分条件,改进了已有文献中的某些条件,推广了文献中的一些已知的结果.

作 者：柴益琴 侯亚红 CHAI Yi-qin HOU Ya-hong  作者单位：太原理工大学,财经学院,山西,太原,030024 刊 名：太原理工大学学报  ISTIC PKU英文刊名：JOURNAL OF TAIYUAN UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 年，卷(期)： 38(6) 分类号：O177.91 关键词：二阶泛函微分方程   振动性   非线性  

非线性微分论文 第6篇

其中a, b, c是任意常数。显然, 对于该类方程的显式解是很难研究的, 因此本文研究目的是通过定性分析研究该类方程的解问题。

方程 (1) 两边乘以y′后积分得到:

整理后得到:

为了进一步分析方程 (3) , 我们要借助于一些对微分方yx2=F (x) 已有的结果[4]:

(a) 若F (x) 在y=m处有一个简单零点, 即F (m) =0, F′ (m) ≠0, 则解在x→x0时有, %其中y在x=x0处取极值m。

(b) 若F (y) 在y=m处有一个二重零点, 即F (m) =0, F′ (m) =0, F″ (m) ≠0, 则解在x→∞时有, 且当x→∞时y→m。

利用上述结果, 我们很容易得到以下结论:

若满足F (y) >0和y1<y<y2, 则微分方程yx2=F (x) 有下列形式的解 (图1) :

(1) 如果函数F (y) 具有两个简单零点y1和y2, 那么微分方程具有周期解。

(2) 如果函数F (y) 具有一个简单零点y1和一个二重零点y2, 那么微分方程具有一个衰减解。

(3) 如果函数F (y) 具有一个二重零点y1和一个二重零点y2, 那么微分方程具有一个扭结解。

下面研究的零点分布, 本文只讨论a>0的情况。利用韦达定理以及根与系数的关系, 可以得到函数的9种图形以及相应的参数条件。

1.若c>0, 则微分方程的解为: (i) 当b>0时, 方程有负周期解 (c0<0) ;方程有负衰减的解 (c0=0) ;方程除了常数解没有其他形式解 (c0>0) 。 (ii) 当b=0时, 方程除了常数解外无解。 (iii) 当b<0时, 方程有正周期解 (c0<0) ;方程有正衰减的解 (c0=0) ;方程除了常数解没有其他形式解 (c0>0) 。

2.若c=0, 则方程除了常数解没有其他形式解。

3.若c<0, 则方程y′2=F (y) 的解为 (i) 当b>0时, 方程除了常数解外没有其他形式解 (c0≤0) ;方程有周期解, 正衰减解和负衰减解 (c0>0) ; (ii) 当b=0时, 方程除了常数解没有其他形式解 (c0≤0) ;方程有周期解和扭结解 (c0>0) ; (iii) 当b<0时, 方程除了常数解没有其他形式解 (c0≤0) ;方程有负周期解和负衰减解 (c0>0) 。

摘要：本文给出一类特殊二阶常系数非线性微分方程的定性解法。通过对零点分布的分析, 证明了该类方程具有周期解, 衰减解以及扭结解。本文的研究对高等数学的教材也是一种有益补充。

关键词：零点分布,周期解,衰减解,扭结解

参考文献

[1]同济大学数学系.高等数学[M].北京:高等教育出版社, 2007.

[2]罗梭M.常微分方程[M].叶彦谦, 译.上海:上海科学技术出版社, 1981.

[3]时宝, 张德纯, 盖明久.微分方程理论及其应用[M].北京:国防工业出版社, 2005.

非线性微分论文 第7篇

考虑B样条基函数具有较好的性质,且Ramsay所提出的B样条估计也并未做局部影响分析。因此本文选择具有较好性质的B样条基函数进行参数的估计,并对局部的影响做出分析,最终与核光滑算法进行比较,说明该算法的优越之处。

1简单介绍两步估计法

假设非线性微分方程均可表示成如下形式

其中,X( t) 是k维状态变量,每个元素都是一个关于t的函数; θ 为未知参数; X( t) 是X( t) 的导函数。为方便起见,令k = 1。观测点为Yi= X ( ti) + εi,i = 1,2, …,n,其中 εi是服从独立同分布的随机变量,且Eεi= 0和Dεi= σ2。

则由最小二乘法得

其中,Φ 每一行表示基函数分别在观测时间ti,i = 1, 2,…,n的值,从而求得

将分别代入式(1)中,并求解下列问题,即可得到如下参数的估计值

2基于数据删除模型的异常点检测

利用提出的两步估计法进行局部影响分析。规定删除第i个观测值删除之后的变量用带有i的符号表示,比如Y(i)表示删除第i个观测点之后的Y。由的定义,并根据统计诊断中数据删除模型的理论有

因此广义Cook距离可定义为

由式( 10) 和式( 11) 可看出,只需对完全数据进行样条光滑,并估计原函数及其导函数,即可算出广义Cook距离,这使得计算量大幅降低。

3模型应用

FitzHugh - Nagumo方程

是FitzHugh和Nagumo等人所提出的。该动态系统清晰地描绘出V与R之间的相互依赖关系,模型的未知参数是 θ = ( a,b,c)T。

用R统计软件进行模拟实验。首先设定参数( a,b,c) = ( 0. 2,0. 2,3) ,然后利用4阶Runge - Kutta方法计算模型在区间[0,10]内的数值解,并对其添加标准正态分布的噪声得到V和R的观测值,本文选择3次B样条基函数进行模拟实验。为了方便表示,记: H代表核光滑算法,B代表样条光滑算法。表1显示在观测点个数分别为50,100,150和200时,H和B算法的参数估计值。

下面进行局部影响分析: 选择观测点为200,并考虑4种不同的偏移,即d =0. 5,1,2,4。为检验局部影响分析法的有效性,对第100个观测值进行增加均值偏移d。给定d,利用式( 9) 计算每个数据点的Cook距离。定义若第100个数据点对应的Cook距离是所有数据点中该距离的最大值,则算法有效,对该算法重复100次,有效率如表2所示。考虑到边界处的估计会产生较大的误差,故计算去掉前后各5个点的Cook统计量,结果如图1所示。

4结束语

在参数估计中引入了B样条基函数的结果精确, 并由模拟实验可知,参数的估计误差随着样本容量的增加而减小,这一点符合实际情况。而局部影响分析过程中,微小偏移下的检测效果并不明显,但偏移越大,效果则越明显,且在实验过程中发现边界处的拟合误差较大。此外,该算法的参数估计精确度比核光滑算法高,算法的优越性在局部影响分析中更为明显,检测效率也高于核光滑算法。因此该算法是实际生活中解决问题的一种有效途径。

摘要：通过引入B样条基函数,给出非线性常微分方程中未知参数的两步估计法。然后导出基于数据删除模型的广义Cook距离的计算公式,并说明该算法降低了计算量。最终利用FitzHugh-Nagumo方程的模拟实验,检验了该算法的有效性,同时与现有算法进行比较,分析证明了其优越性。

非线性微分论文 第8篇

2000年李德胜和黄海洋[1]考虑了一类二阶非线性微分方程x″=f (t, xt, x′) 解的爆破现象, 并给出了充分的条件。J.Baris, P.Baris和B.Ruchlewicz[2]研究了一阶二次初值微分系统y′=py2+qy+r, y (0) =y0, 的爆破解。2006年, J.Baris, E.Wawiorko[3]研究了一阶三次初值微分系统y′=a3y3+ a2y2+a1y+a0, y (0) =y0, 的爆破解。到目前为止, 对于泛函微分方程解的爆破现象还没有人考虑。受此启发, 我们来考虑二阶泛函微分方程

$\{\begin{array}{c}{x}^{″}=f(t,x{}_t,x^{\prime }(t)),t\in [0,+\infty )\\ x(0)=x{}_0=0\\ x^{\prime }(0)=L\end{array}(1)$

解的爆破现象。其中:L为常量。f:$[0,+\infty )C\left(\left[-r,0\right]\right)RR$, 总假设为连续函数, 且有xt= x (t+θ) , θ∈[-r, 0], ϕ∈C ([-r, 0], R) , x∈C ([0, n], R) 。范数定义为:$\left|\text{ϕ}\right|{}_r=\underset{t\in [-r,0]}{{\displaystyle \max }}\left|\text{ϕ}(t)\right|$。

1 定理1

假设f满足:

(F1) f∈[0, +∞) C[-r, 0]R, 且f有界;

$(\text{F}2)\underset{y0}{{\displaystyle \lim }}f(t,\text{ϕ},y)=f(t,\text{ϕ},0),(t,\text{ϕ})\in [0,+\infty )[-r,0]$;

(F3) 存在α≥0, β>max (α, 1) , 及c0, c1, c2>0, 使得对∀t∈[0, +∞) , 有:

$f(t,\text{ϕ},y)\ge c{}_0\left|\text{ϕ}(0)\right|{}^{\beta }-c{}_{1}y{}^{\alpha }-c{}_2,\text{ϕ},y\ge 0$。

(F4) 存在常数M0, 使得当$\left|\text{ϕ}(0)\right|\ge {\rm M}{}_0$时, 有

f (t, ϕ (0) , 0) ≥ε0>0, ∀t∈[0, +∞) 。

设x为式 (1) 的一个解, 若存在t0∈[0, +∞) 使得

x (t0) ≥M0, x′ (t0) >0, 则其最大存在区间[t0, T) 是有限的 (T<+∞) , 且$\underset{t{\rm T}}{{\displaystyle \lim }}{x}^{\prime }(t)=+\infty$。

2 定理1的证明

假设定理1中各条件成立, 令x为满足 (F4) 的式 (1) 的解, [t0, T) 为x的最大存在区间。我们需证T<+∞, 且$\underset{t{\rm T}}{{\displaystyle \lim }}{x}^{\prime }(t)=+\infty$。

首先, x在[t0, T) 上是非减的。若不然, 可得x有一局部最大点s, 有x (s) ≥M0, x′ (s) =0, x″ (s) 0, 而xs (0) =x (s+0) =x (s) ≥M0。则由 (F4) 知0≥x″ (s) =f (s, xs (0) , x′ (s) ) =f (s, x (s) , 0) >0。得出矛盾。现在有两种可能情况。

情况$1\underset{t{\rm T}}{{\displaystyle \lim }}x(t)=+\infty$。本部分, 我们分两步证明:

第一步 下证$\underset{t{\rm T}}{{\displaystyle \lim }}{x}^{\prime }(t)=+\infty$。首先证明x′在[t0, T) 上是无界的。若不然, 对某M>0, 有0x′ (t) M, t∈[t0, T) 。若T<+∞, 则有x (t) = x (t0) +∫${}_{t{}_0}^t$x′ (s) dsx (t0) +M (t-t0) 。对其取极限得$\underset{t{\rm T}}{{\displaystyle \lim }}x(t)=x(t{}_0)+{\rm M}(t-t{}_0)$。即x (t) 有界, 与$\underset{t{\rm T}}{{\displaystyle \lim }}x(t)=+\infty$矛盾;若T=+∞, 由 (F3) , 可取$B=\frac{\delta +c{}_1{\rm M}{}^{\alpha }+c{}_2}{c{}_0},\delta >0$, 使得对∀t∈[0, +∞) , 有:

f (t, xt, x′) ≥δ, xt (0) ≥B, 0x′M (2)

取t*≥t0+r, 使得xt+x (t+θ) ≥B, ∀t≥t*, 则

x″=f (t, xt, x′) ≥δ, ∀t≥t* (3)

$x^{\prime }(t)<\left|x^{″}(\xi )(t-t{}_0)\right|+\left|x^{\prime }(t{}_0)\right|+\infty ,(t+\infty )$, 上式对∀t≥t*成立与0x′ (t) M, t∈[t0, T) 矛盾。所以x′在[t0, T) 上是无界的。下证$\text{l}\text{i}\underset{t{\rm T}}{{\displaystyle \text{m}}}{x}^{\prime }(t)=+\infty$。由x′在[t0, T) 是无界的, 可取序列tn⊂[0, T) , tnT, 使得x′ (tn) +∞。令M为任意给定的正数, 由$\underset{t{\rm T}}{{\displaystyle \lim }}x(t)=+\infty$。类似于式 (3) 的讨论, 可证得存在tM>0使得, 若t≥tM, 且x′ (t) M, 则x″ (t) ≥0。由此, 若tn≥tM, 使得x′ (tn) ≥M, 则x′ (t) ≥M, ∀t≥tn。既有$\underset{t{\rm T}}{{\displaystyle \lim }}{x}^{\prime }(t)=+\infty$。

第二步 下证T<+∞。令α, β满足 (F3) 中的条件, 固定α<γ<β, 则对∀t∈[0, +∞) , 有:

$f(t,x{}_t,x^{\prime })\ge c{}_0\left|x{}_t(0)\right|{}^{\beta }-\frac{1}{4}c{}_0{x}^{\prime }{}^{\gamma }-c{}_3,x{}_t,x^{\prime }\ge 0(4)$

对某c3>0, 取M>0, 使得$\frac{c{}_0{\rm M}{}^{\beta }}{2}\ge c{}_3$。则

$\begin{array}{l}f(t,x{}_t,x^{\prime })\ge \frac{1}{2}c{}_0\left|x{}_t(0)\right|{}^{\beta }-\frac{1}{4}c{}_0{x}^{\prime }{}^{\gamma },\\ \forall t\in [0,+\infty ),\left|x{}_t(0)\right|\ge {\rm M},x^{\prime }\ge 0(5)\end{array}$

因为$\underset{t{\rm T}}{{\displaystyle \lim }}x(t)=+\infty ‚\underset{t{\rm T}}{{\displaystyle \lim }}{x}^{\prime }(t)=+\infty$, 故存在m∈N, tm∈[t0, T) , 使得

x (tm) ≥2m≥M, x′ (tm) ≥2m (6)

则$\left|x{}_{t{}_m}\right|{}_r=\underset{\theta \in [-r,0]}{{\displaystyle \max }}\left|x(t{}_m+\theta )\right|\ge {\rm M}$, 对k≥m (k∈N) , 定义一序列tk∈[tm, T) 如下:假设tk满足

x (tk) ≥2k, x′ (tk) ≥2k (7)

$\begin{array}{l}\text{又}\left|x{}_{t{}_k}\right|{}_r=\underset{\theta \in [-r,0]}{{\displaystyle \max }}\left|x(t{}_k+\theta )\right|\ge 2{}^k‚\text{则}t{}_{k+1}=\inf \{t{}_k\\ t<{\rm T}|x(t),x^{\prime }(t)\ge 2{}^{k+1}\}\end{array}$

。令Δtk=tk+1-tk, 为证明T<+∞, 需证:

${\displaystyle \sum _{k\ge m}}$Δtk<+∞ (8)

由x在[t0, T) 是非减的, 由式 (5) 、式 (6) 可得:

$x^{″}=f(t,x{}_t,x^{\prime })\ge \frac{1}{2}c{}_0\left|x{}_t(0)\right|{}^{\beta }-\frac{1}{4}c{}_0\left(x^{\prime }(t)\right){}^{\gamma },\forall t\ge t{}_m(9)$

令β=σγ, 则σ>1, 对k≥m, 由式 (7) 和式 (9) 可得:

$x^{″}(t)\ge \frac{1}{2}c{}_0\left(2{}^{\sigma k}\right){}^{\gamma }-\frac{1}{4}c{}_0\left(x^{\prime }(t)\right){}^{\gamma },\forall t\ge t{}_k(10)$

由此可见, 若t∈[tk, T) 使得x′ (t) <2σk, 则x″ (t) >0。则若s∈[tk, T) 满足x′ (s) ≥2σk, 则:

x′ (t) ≥2σk, st<T (11)

假设m取得足够大, 使得

σk≥k+1, k≥m (12)

令$\delta {}_k=\max \left(\frac{2}{2{}^{\left(\sigma -1\right)k}},\frac{8}{c{}_{0}2{}^{\left(\beta -1\right)k}},\left(\frac{32}{c{}_{0}2{}^{\left(\beta -1\right)k}}\right){}^{\frac{1}{2}}\right)$, 若对某些k≥m, 有Ttk+δk, 则定理得证。下面用反证法证明, 假设对任意的k≥m, 有tk+δk<T。我们需要证:

tk+1tk+δk, ∀k≥m (13)

则Δtkδk。则有式 (8) 成立。仍需分两种情况讨论:

(1) 存在$t\in \left[t{}_k,t{}_k+\frac{\delta {}_k}{2}\right]$, 使得x′ (t) ≥2σk, 对这种情况, 由式 (11) , 式 (12) 及δk的定义得:$x^{\prime }(t{}_k+\delta {}_k)\ge 2{}^{\sigma k}\ge 2{}^{k+1},x{}_{t{}_k+\delta {}_k}=x{}_{t{}_k+\frac{\delta {}_k}{2}}+$${\displaystyle {\int }_{t{}_k+\frac{\delta {}_k}{2}}^{t{}_k+\delta {}_k}{x}^{\prime }}(t)\text{d}t$。所以$\left|x{}_{t{}_k+\delta {}_k}\right|{}_r=\underset{\theta \in [-r,0]}{{\displaystyle \max }}\left|x(t{}_k+\frac{\delta {}_k}{2}+\theta )\right|+{\displaystyle {\int }_{t{}_k+\frac{\delta {}_k}{2}}^{t{}_k+\delta {}_k}{x}^{\prime }}(t)\text{d}t\ge 2{}^{k+1}$。由tk的定义, 我们得tk+1tk+δk, 即Δtkδk。

(2) 对$\forall t\in \left[t{}_k,t{}_k+\frac{\delta {}_k}{2}\right],x^{\prime }(t)<2{}^{\sigma k}$, 这种情况下, 由式 (10) 知:

x′ (t) =x′ (tk) +∫${}_{t{}_k}^t$

$\begin{array}{l}{x}^{″}(t)\ge 2{}^k+\frac{1}{2}c{}_0(2{}^{\sigma k}){}^{\gamma }-\\ \frac{1}{4}c{}_0(x^{\prime }(t)){}^{\gamma }\left(t-t{}_k\right)\ge 2{}^k+\frac{1}{4}c{}_{0}2{}^{\beta k}(t-t{}_k)(14)\end{array}$

对$\forall t\in \left[t{}_k,t{}_k+\frac{\delta {}_k}{2}\right]$, 由式 (14) 得:$x^{\prime }\left(t{}_k+\frac{\delta {}_k}{2}\right)\ge 2{}^k+\frac{1}{4}c{}_{0}2{}^{\beta k}\frac{\delta {}_k}{2}\ge 2{}^{k+1},x{}_{t{}_k+\frac{\delta {}_k}{2}}=x{}_{t{}_k}+$${\displaystyle {\int }_{t{}_k}^{t{}_k+\frac{\delta {}_k}{2}}{x}^{\prime }}(t)\text{d}t$。所以,

$\left|\left|x{}_{t{}_k+\frac{\delta {}_k}{2}}\right|\right|{}_r\ge \left|\left|x{}_{t{}_k}\right|\right|{}_r+$${\displaystyle {\int }_{t{}_k}^{t{}_k+\frac{\delta {}_k}{2}}\left(2{}^k+\frac{1}{4}c{}_{0}2{}^{\beta k}(t-t{}_k)\right)}\text{d}t\ge 2{}^{k+1}$, 所以$t{}_{k+1}t{}_k+\frac{\delta {}_k}{2}$, 即$\Delta t{}_k\frac{\delta {}_k}{2}\delta {}_k$。从而式 (13) 得证。

情况$2\underset{t{\rm T}}{{\displaystyle \lim }}x(t)=c{}^{*}<+\infty$。这种情况下, 只需证明$\underset{t{\rm T}}{{\displaystyle \lim }}=+\infty$。事实上, 若此为正确的, 则由x在[t0, T) 是有界的, 即可知T<+∞。

首先证明x′无界。用反证法, 若不然, 由x在[t0, T) 是非减的, 可得存在一常数c>0, 使得

0x′ (t) c, ∀t∈[t0, T) . (15)

由$\underset{t{\rm T}}{{\displaystyle \lim }}x(t)=c{}^{*}$, 则知存在t*>t0, 使得任意的t*< t<T有$\left|x(t)\right|<c{}^{*}+\epsilon$。从而t+θ>t*>t0, 有

$\left|x{}_t\right|{}_r=\underset{\theta \in [-r,0]}{{\displaystyle \max }}\left|x(t+\theta )\right|<c{}^{*}+\epsilon$。即xt在[t0, T) 有界。

由对f的有界性假设, 我们可得:x″=f (t, xt, x′) 在[t0, T) 是有界的, 且因此$\underset{t{\rm T}}{{\displaystyle \lim }}{x}^{\prime }(t)$存在, 则由古典延展定理可知有T=+∞。对n∈N, 定义xt+n=x (t0+n+t+θ) , θ∈[-r, 0], t∈[0, 1]。则xt+n满足

x″t+n=f (t0+n+t, xt+n, x′) , t∈[0, 1] (16)

由$\underset{t{\rm T}}{{\displaystyle \lim }}x(t)=\underset{t+\infty }{{\displaystyle \lim }}x(t)=c{}^{*}$, 得存在N>0, 使得∀t>N, 有$\left|x(t)\right|<c{}^{*}+\epsilon$。令n>N+r, 从而t0+n+t+θ>N。则有$\left|x(t{}_0+n+t+\theta )\right|<c{}^{*}+\epsilon$, 即xt+n在$C{}^2\left(\left[-r,0\right]\right)$上有界。因此它有一子序列在$C{}^1\left(\left[-r,0\right]\right)$上收敛。由$\underset{t{\rm T}}{{\displaystyle \lim }}x(t)=c{}^{*}$, 则xt+n=x (t0+n+t+θ) c*, n+∞, 则有$\left(x{}_{t+n},x^{\prime }{}_n\left(t\right)\right)\left(c{}^{*},0\right),n+\infty$。若t∈[0, 1], 则$\left(x{}_{t+n}(t),x^{\prime }{}_n(t)\right)$一致收敛到$\left(c{}^{*},0\right),n+\infty$。由 (F2) 对足够大的n有

$\begin{array}{l}\left|f{}_n(t,x{}_{t+n},x^{\prime }{}_n)-f{}_n(t,x{}_{t+n},0)\right|<\frac{1}{4}\epsilon {}_0,\\ \forall t\in [0,1](17)\end{array}$

下面我们来证明存在一序列tn⊂[0, 1], 使得x″n (tn) 0, (n+∞) 。事实上, 若x″n在[0, 1]上变号, 则可将tn取做x″n的零点, 即x″n (tn) =0。当x″n (t) ≥0时, tn为x″n在[0, 1]的最小值, t∈[0, 1];当x″n (t) 0时, tn为x″n在[0, 1]的最大值, t∈[0, 1]。由x′n (t) ≥0, 且在[0, 1]上一致收敛到0, 易证由以上方法所取的序列tn满足所需条件。由 (F2) , (F3) , 式 (17) 注意到xtn+n (tn) c*, 对足够大的n有:

$\frac{1}{4}\epsilon {}_0\ge x^{″}{}_n(t{}_n)=f{}_n(t{}_n,x{}_{t{}_n+n},x^{\prime }{}_n(t{}_n))>f{}_n(t{}_n,x{}_{t{}_n+n},0)-\frac{1}{4}\epsilon {}_0>\epsilon {}_0-\frac{1}{4}\epsilon {}_0=\frac{3}{4}\epsilon {}_0,$

得出矛盾。即得x′ (t) 在[t0, T) 上无界。

用此序列来证明$\underset{t{\rm T}}{{\displaystyle \lim }}{x}^{\prime }(t)=+\infty$。用反证法, 假设其不成立, 则存在两序列sn, tnT, n+∞使得对某常数B>0有:

$x^{\prime }(s{}_n)B,\forall n\in {\rm N},\underset{n+\infty }{{\displaystyle \lim }}{x}^{\prime }(t{}_n)=+\infty (18)$

可假设对任意的n∈N有x′ (tn) ≥2B, 且

s1<t1<s2<t2<<sn<tn< (19)

对n∈N令$\sigma {}_n=\max \{s{}_{n}st{}_n|x^{\prime }(s)B\},\tau {}_n=\min \{\sigma {}_{n}st{}_n|x^{\prime }(s)\ge 2B\}$, 则x′ (σn) =B, 则x′ (τn) =2B, 便有

Bx′ (t) 2B, ∀t∈[σn, τn] (20)

且有[σi, τi]∩[σj, τj]=ϕ, i≠j时, 我们断言

$\underset{n+\infty }{{\displaystyle \lim }}(\tau {}_n-\sigma {}_n)=0(21)$

然后由式 (20) 可得$\underset{t{\rm T}}{{\displaystyle \lim }}x(t)=+\infty$。从而导致一矛盾。由中值定理, 对每个n存在ξn∈[σn, τn]使得$x^{″}(\xi {}_n)=\frac{x^{\prime }(\tau {}_n)-x^{\prime }(\sigma {}_n)}{\tau {}_n-\sigma {}_n}=\frac{B}{\tau {}_n-\sigma {}_n}$。由式 (2.1) 可得x″ (ξn) +∞, n+∞。则有

s″ (ξn) =f (ξn, xξn, x′ (ξn) ) (22)

由式 (20) 和 (F1) 我们可得式 (22) 右侧对任意的n∈N有界, 产生矛盾。从而结论得证。

参考文献

[1]Li Desheng, Huang Haiyang.Blow-up phenomena of second-order nonlinear differential equations.J Math Anal Appl, 2002;276:184—195

[2]Baris J, Baris P, Ruchlewicz B.Blow-up solutions of quadratic differ-ential systems.Journal of Mathematical Sciences, 2008;149 (4) :

非线性微分论文 第9篇

令E是实Banach空间,范数是‖‖,并且令P是E中的一个锥,E中的半序“”由锥P引出。关于锥的正规性、正则性、E的对偶空间、锥P的对偶锥、半序等的进一步的讨论,可参考文献[1,4]。

设PC={u∈C[J,E]:u(t)≥θ,∀t∈J},其中J=[0,1]且C[J,E]表示所有连续映射u:JE构成的Banach空间,其范数‖u‖C=max{‖u(t)‖:t∈J},显然PC是C[J,E]中的锥,并且定义了C[J,E]中的半序。显然如果P是正规的,则PC是正规的,并且有相同的正规常数。本文中E是实Banach空间,P是E中的一个锥,α()是Kuratowski非紧性测度,进一步讨论参看文献[4]。对任意的u0,v0∈C[J,E]满足u0v0,定义[u0,v0]={u∈C[J,E]:u0uv0}。

本文主要研究如下形式的Banach空间非线性积微分方程组的初值问题:

式(1)中t∈J,f,g∈C[JEEEE,E],x0y0,Tu(t)=∫${}_0^t$k(t,s)u(s)ds,Su(t)=∫${}_0^1$h(t,s)u(s)ds, k(t,s)∈C[D,R+],h(t,s)∈C[JJ,R+],R+=[0,+∞),D={(t,s)∈R2:0st1},k0=max{k(t,s):(t,s)∈D},h0=max{h(t,s):(t,s)∈ JJ},B(t)={u(t):u∈B},TB(t)={Tu(t):u∈B},SB(t)={Su(t):u∈B}。

1 引理

引理1(比较定理)设p=p(t)∈C1[J,E]满足:

$\{\begin{array}{l}{p}^{\prime }(t)\ge -{\rm N}p(t)-{\rm N}{}_1{\displaystyle {\int }_0^{t}k}(t,s)p(s)\text{d}s+\\ {\rm N}{}_2{\displaystyle {\int }_0^{1}h}(t,s)p(s)\text{d}s\\ p(0)\ge \theta \end{array}(2)$

式(2)中N>0,N1≥0,N2≥0是常数,并且满足:

N+N1k01,N2h01 (3)

则p(t)≥θ,t∈J。

证明 对任意的φ∈P*,令m(t)=φ(p(t)),t∈J,由式(2)得:

$\{\begin{array}{l}{m}^{\prime }(t)\ge -{\rm N}m(t)-{\rm N}{}_1{\displaystyle {\int }_0^{t}k}(t,s)m(s)\text{d}s+\\ {\rm N}{}_2{\displaystyle {\int }_0^{1}h}(t,s)m(s)\text{d}s\\ m(0)\ge 0\end{array}(4)$

由于m(t):JR是连续的,所以存在t0,t1∈J使得0t1t01,令m(t0)=min{m(t):0t1},m(t1)=max{m(t):0tt0}。由于m(0)≥0,得m(t1)≥0,由式(4)和中值定理知:存在t2∈(t1,t0)满足:

m(t0)=m(t1)+(t0-t1)m′(t2)≥m(t1)+(t0-t1)[Nm(t2)-N1∫${}_0^t$k(t2,s)m(s)ds+N2∫${}_0^1$h(t2,s)m(s)ds]≥m(t1)(1-N-N1k0)+N2(t0-t1)∫${}_0^1$h(t2,s)m(s)ds。

由上式得:

$m(t{}_0)\left[1-{\rm N}{}_2(t{}_0-t{}_1){\displaystyle {\int }_0^{1}h}(t{}_2,s)\text{d}s\right]\ge m(t{}_1)(1-{\rm N}-{\rm N}{}_{1}k{}_0)$。

由式(3),有:

$m(t{}_0)\ge \frac{1-{\rm N}-{\rm N}{}_{1}k{}_0}{1-{\rm N}{}_2(t{}_0-t{}_1){\displaystyle {\int }_0^{1}h}(t{}_2,s)ds}m(t{}_1)\ge 0$。

因此:m(t)≥m(t0)≥0,∀t∈J。由于φ∈P*的任意性,可得p(t)≥θ,∀t∈J。

引理1(比较定理)设u,v∈C1[J,E]满足:

$\{\begin{array}{l}{u}^{\prime }\ge -{\rm M}{}_{1}u+{\rm M}{}_{2}v-{\rm N}{}_1{\displaystyle {\int }_0^{t}k}(t,s)u(s)\text{d}s+\\ {\rm N}{}_2{\displaystyle {\int }_0^{1}h}(t,s)u(s)\text{d}s,u(0)\ge \theta ；\\ v^{\prime }\ge -{\rm M}{}_{1}v+{\rm M}{}_{2}u-{\rm N}{}_1{\displaystyle {\int }_0^{t}k}(t,s)v(s)\text{d}s+\\ {\rm N}{}_2{\displaystyle {\int }_0^{1}h}(t,s)v(s)\text{d}s,v(0)\ge \theta \end{array}(5)$

式(5)中M1≥0,M2≥0,N1≥0,N2≥0是常数,且满足:

M1>M2,M1+M2+N1k01,N2h01 (6)

则u(t)≥θ,v(t)≥θ,∀t∈J。

证明 令p(t)=u(t)+v(t),∀t∈J,由式(5),有:

$\{\begin{array}{l}{p}^{\prime }(t)\ge -({\rm M}{}_1-{\rm M}{}_2)p(t)-{\rm N}{}_1{\displaystyle {\int }_0^{t}k}(t,s)p(s)\text{d}s+\\ {\rm N}{}_2{\displaystyle {\int }_0^{1}h}(t,s)p(s)\text{d}s,\\ p(0)=u(0)+v(0)\ge \theta 。\end{array}$

类似引理1的证明,可以得到:u(t)≥θ,v(t)≥θ。

引理3u(t),v(t)⊂[u0,v0]是式(1)的解当且仅当是如下积分方程组的解:

$\{\begin{array}{l}u(t)=x{}_{0}e{}^{-{\rm M}{}_{1}t}+{\displaystyle {\int }_0^{t}e}{}^{-{\rm M}{}_1(t-s)}[f(s,u,v,{\rm T}u,Su)+{\rm M}{}_{1}u]\text{d}s\\ v(t)=y{}_{0}e{}^{-{\rm M}{}_{1}t}+{\displaystyle {\int }_0^{t}e}{}^{-{\rm M}{}_1(t-s)}[g(s,v,u,{\rm T}v,Sv)+{\rm M}{}_{1}v]\text{d}s。\end{array}$

证明 直接求导可得结论。

引理4 (Liu[2]) 如果B⊂C[J,E]是可数的有界集,则α(B(t))⊂L[J,R+]并且

$\alpha \left(\left\{{\displaystyle {\int }_{J}u}(t)dt:u\in B\right\}\right)2{\displaystyle {\int }_J\alpha }(B(t))\text{d}t$。

引理5 (Liu[2]) 如果B⊂C[J,E]是有界的、等度连续的。令m(t)=α(B(t)),t∈J。则m(t)在t∈J上连续,并且$\alpha \left({\displaystyle {\int }_{J}B}(s)\text{d}s\right){\displaystyle {\int }_J\alpha }(B(s))\text{d}s$。

2 主要结果

为了方便,首先列出本文需要的基本假设

(H1) u′0f(t,u0,v0,Tu0,Su0),u0(0)x0;

v′0g(t,v0,u0,Tv0,Sv0),v0(0)≥y0。

(H2) 存在非负常数M1,M2,N1,N2满足M1>M2,M1+M2+N1k01,N2h01使得

f(t,u2,v2,Tu2,Su2)-f(t,u1,v1,Tu1,Su1)≥-M1(u2-u1)-M2(v2-v1)-N1T(u2-u1)+N2S (u2-u1)g(t,u2,v2,Tu2,Su2)-g(t,u1,v1,Tu1,Su1)≥-M1(u2-u1)-M2(v2-v1)-N1T(u2- u1)+N2S(u2-u1)g(t,u2,v2,Tu2,Su2)-f(t,u1,v1,Tu1,Su1)≥-M1(u2-u1)-M2(v2-v1)-N1T(u2-u1)+N2S(u2-u1)。

其中ui,vi∈[u0,v0](i=1,2),u2≥u1,v1≥v2,t∈J。

(H3) 存在常数c>0使得

α(f(t,B1(t),B2(t),TB1(t),SB1(t)))c[α(B1(t))+α(B2(t))+α(TB1(t))+α(SB1(t))]α(g(t,B1(t),B2(t),TB1(t),SB1(t)))c[α(B1(t))+α(B2(t))+α(TB1(t))+α(SB1(t))]。

其中B1,B2⊂[u0,v0],t∈J是任意有界等度连续函数集合。

定理1 设P⊂E是正规锥,并且条件(H1)(H3)成立,u0,v0∈C[J,E]满足u0v0。则非线性积-微分方程组(1)有解:u=u*,v=v*∈[u0,v0],并且存在单调迭代序列un(t),vn(t)⊂[u0,v0]满足:

并且u0unu*v*vnv0。

证明 首先利用归纳法证明:un-1unvnvn-1对式(7),式(8)求导:

由上式和条件(H1),(H2),引理1,引理2有:

u0u1v1v0,假设un-1unvnvn-1对于n=k>1时成立,即:uk-1ukvkvk-1,下证对n=k+1时成立。方法类似证明u0u1v1v0成立。即:u0unu*v*vnv0成立。

令U={un:n=0,1,2},V={vn:n=0,1,2},

m(t)=α(U(t)),n(t)=α(V(t)),显然由锥P的正规性可以得到PC是正规的,并且U(t),V(t)⊂[u0,v0]是C[I,E]中的有界集,U和V在J上是等度连续的,因此,由式(7),式(8),条件(H3),引理4,有:

由引理5,

α(TU(s))k0∫${}_0^s$m(τ)dτ,α(TV)k0∫${}_0^s$n(τ)dτ,

α(SU)h0∫${}_0^1$m(τ)dτ,α(SV)

h0∫${}_0^1$n(τ)dτ。 由上式得:

m(t)+n(t)2[(M1+2M2+2c)+(2N1+c)k0]∫${}_0^t$(m(s)+n(s))ds+2(2N2+c)h0∫${}_0^1$(m(s)+n(s))ds。

由文献[1,定理4.1.3]的证明知,m(t)+n(t)=0,因此m(t)=0,n(t)=0,i.e.,α(U(t))=0,α(V(t))=0.由文献[1,定理1.2.1],知U和V是相对紧集,所以存在序列{unk}⊂{un},{vnk}⊂{vn},u*,v*∈C[J,E]在J上一致收敛到u*和v*。因为PC是正规的,{un},{vn}是单调序列,所以很容易得到:{un},{vn}分别一致收敛u*和v*,对式(7),式(8)求极限,有:

u*(t)=x0e-M1t+∫${}_0^t$e-M1(t-s)[f(s,u*,v*,Tu*,Su*)+M1u*]ds;

v*(t)=y0e-M1t+∫${}_0^t$e-M1(t-s)[g(s,v*,u*,Tv*,Sv*)+M1v*]ds。

直接求导:

(u*)′=f(t,u*,v*,Tu*,Su*);(v*)′=g(t,v*,u*,Tv*,Sv*)。

即:u*和v*是非线性积-微分方程组的解,并且可得结论成立。

定理2 设P⊂E是正则锥,并且条件(H1)-(H2)成立,u0,v0∈C[J,E]满足u0v0。则定理1的结果成立。

证明 类似定理1的证明, (H3)得到的结论可利用P的正则性得到。

注1 利用本文的主要结果,可以研究Banach空间非线性积-微分的初值问题:

w′=H(t,w,w,Tw,Sw),w(0)=z0 (9)

积分算子T和S在引言中的定义。

假设H和z0可以分解如下:

H(t,w,w,Tw,Sw)=f(t,u,v,Tu,Su)+g(t,v,u,Tv,Sv)。

z0=x0+y0,利用定理1和定理2可以直接得到如下结论:

推论1 设P⊂E是正规锥,并且条件(H1)(H3)成立,则 式(9)有解w*∈[2u0,2v0],并且迭代序列{wn}={un+vn}在J上一致收敛到w*。

证明 直接利用定理1。

推论2 设P⊂E是正则锥,f,g满足条件(H1)(H2)成立,则推论1的结论成立。

证明 直接利用定理2。

注2 在推论1和推论2中,本文不需要算子H是单调或混合单调。

注3 即使在有限维空间,本文的结果也是新的。

摘要：利用新的比较定理和混合单调的迭代方法,研究了Banach空间非线性积-微分方程组的初值问题的解的存在性以及给出了逼近解的迭代序列。得到的结果较以前的结果有了很大的提高。

关键词：比较定理,混合单调,非线性积-微分方程组,Banach空间

参考文献

[1]郭大钧.非线性分析中的半序方法.济南:山东科学技术出版社,2000

[2] Liu Lishan.Iterative method for solutions and coupled quasi-solutionsof nonlinear integro-differential equations of mixed type in Banachspaces.Nonlinear Aanlysis,2000;42:583—598

[3]宋光兴,王秀荣,排新颖,等.Banach空间二阶积-微分方程组初值问题.数学物理学报,2008;28A(6):1119—1127

[4]排新颖.抽象函数空间算子方程解的存在定理.中国石油大学学报,2007;31(5):154—157

巧解一阶线性微分方程 第10篇

对一阶线性非齐次微分方程, 我们可以通过“常数变易法”求出方程的通解为:, 并将其作为公式来用, 这也是我们说的“公式求解法”, 只要将P (x) 和Q (x) 代入公式中, 将积分算出来, 即可求得方程的通解。解方程的难易程度主要与公式中的不定积分有关。

例如:求y′-ytanx=secx的通解。

解:由于y′-ytanx=secx为一阶线性非齐次微分方程, 且P (x) =-tanx, Q (x) =secx, 代入公式中, 得其通解为:

上式中涉及到了分部积分法。

能不能找到一阶线性非齐次微分方程的技巧解法呢?本人通过多年的教学发现, 利用公式中“解的结构”, 可以巧解一阶线性非齐次微分方程。

我们将解的公式括号打开, 写成两项,

可以看出, 其解的结构为第一项是一阶线性非齐次微分方程的特解;第二项是一阶线性齐次微分方程的通解。两项加起来, 构成了一阶线性非齐次微分方程的通解。

即:一阶线性非齐次微分方程的通解=非齐次特解+齐次通解

由于“齐次通解”很容易通过“分离变量法”得到。所以求通解的关键就是要求出“非齐次特解”, 而求“非齐次特解”中的积分, 往往又是比较繁, 或比较难的。

所谓“巧解”, 是指通过其它方法, 比较容易的找到“非齐次特解”, 从而避开求“非齐次特解”中的较复杂的积分。

例如:求的通解。

解:分析, 因为Q (x) =3为常数, , 由此判断“非齐次特解”的形式为y1=ax+b, 将y1代入原方程,

又如:求y′+y=3ex的通解

解:分析, 因为Q (x) =3ex, 与ex有关, 所以“非齐次特解”中一定含有e x因子, 设为y1=e x, 代入原方程得, ,

在前面例题求y′-y=x的通解中, 设“非齐次特解”为y1=ax+b, 代入原方程得a=-1, b=-1,

对于一些特殊题型, 用“公式求解法”, 其积分非常难积, 甚至有可能积不出来, 但“巧解”可求出来。

例如:求y′-2xy=1-2x2的通解。

如果用“公式法“, 其中特解的积分中

非常难积, 甚至积不出来。

但, 如果设“非齐次特解”为y1=ax+b, 代入原方程

得:a-2x (ax+b) =1-2x2, 解得a=1, b=0,