定积分的心得提炼总结

定积分的心得提炼总结（精选14篇）

定积分的心得提炼总结 第1篇

关于定积分、曲线积分与二重积分的简单总结

***

（吉首大学数学与计算机科学学院，湖南 吉首 416000）

摘要：微积分的内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用.在此主要讨论和简单总结一些有关定积分、曲线积分与二重积分的问题.关键词：定积分 曲线积分 二重积分

英文部分

引言：

微积分是一套关于变化率的理论.积分学包括求积分运算，为定义和计算面积、体积提供了一套通用的方法.通常积分计算问题都涉及到天文、力学、几何学等.这里主要通过有关定积分、曲线积分与二重积分的一些实例来对这些知识作一个回顾性总结.1、定积分

1(12333n3);4nn1、1利用定积分求极限：lim

解：lim1333(123n)nn4

112n=lim()3()3()3 nnnnn

i1=lim()3 nni1nn

设f(x)x3，则f(x)在[0,1]上连续且可积.取xi1i,i为区间nn

i1ixi1,xi,的右端点,i=1,2…,n.所以上式为函数f(x)x3在区间[0,1]nn

上的一个积分的极限，从而有

111411333lim4(12n)xdxx.0nn40

4回顾分析：由定积分的定义知，若f(x)在[a,b]上可积，则可对[a,b]用某种特定的方法，并可取特殊的点，此时所得积分的极限就是f(x)在[a,b]上的定积分，因此本题可将和式化为某个可积函数的积分和，然后用定积分求此极限.定积分在物理中的某些应用1、2 有一等腰梯形闸门，它的上、下两条边各长为10米和6米，高为20米，计算当水面与上底边相齐时闸门一侧所受的静压力.解：考虑建立直角坐标系，这里B(0,5),C(20,3).1则BC的方程为：x+20y-50=0.即y=5-x.10

由于在相同深度处水的静压力相同gx,故当x很小时，闸门上从深度x到x+x 这一狭条A上受的静压力为

1x)xxgdx.10

20202011pdp2(5x)xxgdx(10x2x3)dx 000105

=14373.33(kN).1、3 设有半径为r的半圆形导线，均匀带点电荷密度为，在圆心处有一单位E电荷，试求它们之间作用力的大小.解：同样考虑坐标，取所对应的一段导线，电荷电量为drd.，它圆心处电荷E在垂直方向上的引力为

srsinksFksin rr2pdp2yxdxxg2(5

则导线与电荷作用力为

0ksin2k rr

回顾分析：据以上例题可知，在解决积分实际问题中，确定积分区域是解决问题的关键，另外对于定积分我们还应注意以下几点：

⑴周期函数的定积分，其积分上下限可任意改变，只要积分区间的长度始终等于周期，则定积分的值不变。

⑵定积分存在的两个条件：

①积分区间有限;②被积函数有界

⑶对于定积分f(x)可积，则加上绝对值也一定可积，若其绝对值可积，但去掉绝对值却不一定可积.2、曲线积分2、1第一型曲线积分2、1、1证明：若函数f(x,y)在光滑曲线L:x=x(t),y=y(t),t[,]上连续,则存在点((x0,y0)L使得f(x,y)dsf(x0,y0)L l

其中L为L的弧长 证明：因为f(x,y)dsf(x(t),y(t))x(t)2y(t)2dt l

记F(t)f(x(t),y(t)),G(t)x(t)2y(t)2

由已知条件知F(t)在,上连续,G(t)在,上连续且非负（不变号），则根据推广的定积分第一中值定理知，存在t0,,对应点(x0,y0)(x(t0),y(t0)), 使f(x,y)dsf(x(t0),y(t0))lx(t)2y(t)2dtf(x0,y0)L

回顾分析:运用推广的定积分第一中值定理是证明此题的关键.2、2第二型曲线积分

2.2.1求y2dxz2dyx2dz，其中，L是维维安尼曲线x2y2z2a2，L

x2y2ax(z0,a0)若从轴正向看去，L是沿逆时针方向进行的.解：选择好参数方程确定好积分区域正是解此题的关键.将 x2y2z2a2表示为 2a2，x2y2ax

表示为r2ax 或 rax

令 xacos2 则 yasincos,zacos2asin，于是L:xacos2,yasincos,zacos2



2

2,所以

Ly2dxz2dyx2dz



2[a2sin2cos2(2acossin)a2(1cos2)a(cos22

sin)acosacossin(1cos)]d

224212

2a32(sin2cos2sin4)d0

3351a3[(,)(,)]2222



4a

3通过以上实例分析可知，曲线积分有着较为广泛和重要的作用.因此对于曲线积分，我们应注意以下几点：

⑴第一型曲线积分：第一型曲线积分上限、一定要大于积分下限； ⑵第二型曲线积分：

①曲线和有方向，方向改变后第二型曲线积分二值就要反向，即变号；

②第二型曲线积分的计算，在化为定积分时，积分上限可以小于积分下限，起点即为下限，终点即为上限.⑶曲线积分是定积分的推广.⑷对ds,即表示L的弧长，即f(x,y)=1.l

3.二重积分3、1计算(xy)2d，其中D0,10,1.，D

解：应用定理即：设f(x,y)在矩形区域Da,bc,d.上可积，且对每个xa,b积分d

cf(x,y)dy存在，则累次积分

bdbadxf(x,y)dy也存在，且cdf(x,y)ddxDacf(x,y)dy 有f(x,y)ddx(xy)2dx

D00117 6

回顾分析：对于一般区域，通常可以分解为如下两类区域来进行计算.称平面点集D{(x,y)y1(x)yy2(x),axb}为x型区域

称平面点集D{(x,y)x1(y)xx2(y),cyd}为y型区域.3、2关于x型区域的实例3、2、1计算二重积分d，其中D为由直线y=2x,x=2y及x+y=3所围的三角

D

形区域.解：把D看作x型区域时，相应的2x,0x1x ,y1(x), y2(x)23x,1x2

dxdddxxdydxxdy DD1D2021212x23x

12xx(2x)dx(3x)dx0122

333x23xx241240123、2、2关于x,y混合型区域的实例

求由坐标平面x=2,y=3,x+y+z=4所围二角柱体的体积.解：

Vzdxdy(4xy)dxdy

DD

dx(4xy)dydx0011324x0(4xy)dy

55

6回顾分析：

对于二重积分应注意以下几点：

⑴ 二重积分化为累次积分，积分上限一定要大于积分下限.⑵ 二重积分的许多性质与定积分的几乎完全相同.⑶ n(n2)重积分的计算都是转化为定积分的计算.⑷ 掌握型区域和型区域的二重积分的计算是计算一般平面上二重积分的基础.⑸ 解决了x型区域或y型区域上二重积分的计算问题，那么一般区域上二重积分的计算问题也就得到了解决.参考文献：

【1】 华东师范大学数学系编.数学分析（上、下）[M].第三版.北京:高等教育出版社.2001

【1】 林益等编数学分析习题详解（上、下）[M].武汉 华中科技大学出版社.2005

定积分的心得提炼总结 第2篇

1. 凑微分法

2. 裂项法

3. 变量代换法

1) 三角代换

2) 根幂代换

3) 倒代换

4. 配方后积分

5. 有理化

6. 和差化积法

7. 分部积分法(反、对、幂、指、三)

8. 降幂法

二、 定积分的计算方法

1. 利用函数奇偶性

2. 利用函数周期性

3. 参考不定积分计算方法

三、 定积分与极限

1. 积和式极限

2. 利用积分中值定理或微分中值定理求极限

3. 洛必达法则

4. 等价无穷小

四、 定积分的估值及其不等式的应用

1. 不计算积分，比较积分值的大小

1) 比较定理：若在同一区间[a,b]上，总有

f(x)>=g(x),则 >= dx

2) 利用被积函数所满足的不等式比较之 a)

b) 当0

2. 估计具体函数定积分的值

积分估值定理：设f(x)在[a,b]上连续，且其最大值为M，最小值为m则

M(b-a)<= <=M(b-a)

3. 具体函数的定积分不等式证法

1) 积分估值定理

2) 放缩法

3) 柯西积分不等式

%

4. 抽象函数的定积分不等式的证法

1) 拉格朗日中值定理和导数的有界性

2) 积分中值定理

3) 常数变易法

4) 利用泰勒公式展开法

定积分的热点题型聚焦 第3篇

一、计算型

是指给出定积分表达式,求其值,通常解法有:定义法,几何意义法,基本定理法及性质法等.

评注:本题由想到被积函数的原函数可能是自然对数的形式,只是需要把拆成与的差.运用微积分基本定理计算定积分的关键是找到被积函数的原函数.

例2求定积分x)dx的值.

解析:表示圆(x-1)2+y2=1(y≥0)的一部分与直线y=x所围成的图形(如图1所示)的面积,因此

评注:本题如果用定积分的定义或微积分基本定理求解都比较麻烦,由联想到圆(x-1)2+y2=1(y≥0)的一部分与直线y=x,再联想到定积分的几何意义,从而简化了运算.运用定积分的几何意义计算定积分,需要具备较强的观察能力、分析能力和逻辑推理能力.

二、逆向型

主要已知定积分的值,求定积分中参数.

例3设函数f(x)=ax2+c(a≠0),若,0x01,则x0的值为______.

分析:本题是逆向思维题,可用求积分的一般方法来解决.

评注:常用方程思想加以解决.

三、应用型

主要指求围成的平面图形的面积及变力做功等问题.

例4求y2=x与直线x-2y-3=0所围图形的面积.

解法2:本题也可把抛物线与直线方程写成x=y2=g1(y),x=2y+3=g2(y),应用公式对y求积分便得:

评注:1.求平面图形的面积的解题步骤:

(1)画出图形;(2)确定图形范围,通过解方程组求出交点横(纵)坐标,定出积分上、下限;(3)确定被积函数,注意分清被积函数的上、下位置;(4)写出平面图形面积的定积分的表达式;(5)运用微积分基本公式计算定积分,求出平面图形的面积.

2.求解时要灵活选择坐标系,积分变量,由图形特点,适当选取积分变量对计算简繁有很大影响,显然上述解法二简洁.

例5一物体按规律x=bt3作曲线运动,式中x为时间t内通过的距离,媒质阻力与速度的平方成正比,试求物体由x=0运动到x=a时,阻力所做的功.

分析:由运动规律可求得物体的速度,再由已知F阻=kv2,最后由,求得阻力所做的功.

解:,

定积分的概念 第4篇

类型1 求曲边梯形的面积及汽车行驶路程

例1 如图1所示，由直线[x=0,x=2,y=0]与曲线[f(x)=-x2+x+2]所围成的曲边梯形的面积.

[图1]

分析 要求这个曲边梯形的面积，可以按分割、近似代替、求和、取极限四个步骤进行.

解 将区间[0，2]等分成[n]个小区间，则第[i]个小区间为[[2(i-1)n,2in]][（i=1，2，…n）]，第[i]个小区间的面积为[△Si=f(2in)⋅2n=[-(2in)2+2in+2]⋅2n]

所以[Sn=i=1n ][△Si=i=1n [-(2in)2+2in+2]⋅2n]

[=-8n3⋅(12+22+…+n2)+4n2⋅(1+2+3+…+n)+4]

=[-8n3⋅n(n+1)(2n+1)6+4n2⋅n(n+1)2+4]

=[-43(1+1n)(2+1n)+2(1+1n)+4.]

[S=limn→∞Sn=limn→∞[-43(1+1n)(2+1n)+2(1+1n)+4]]

[=103.]

所以所求的曲边梯形的面积为[103].

点拨 求曲边梯形的面积体现下面规律方法：

①思想——以直代曲；

②步骤——分割→近似代替→求和→取极限；

③关键——近似代替，可以是每个小区间的左端点的函数值，也可以是右端点的函数值，还可以是小区间的任意一点的函数值；

④结果——分割越细，面积越精确.

例2 已知汽车做变速直线运动，在时刻[t]的速度为[v(t)=t2+2t]（单位：km/h），求它在[1≤t≤2]这段时间行驶的路程是多少？

解析 将时间区间[1，2]等分成[n]个小区间，则第[i]个小区间为[1+[i-1n,1+in]]，在第[i]个时间段的路程近似为[△Si=v(1+in)][△t=[(1+in)2]+2（1+[in]）][1n][（i=1，2，…，n）].

所以[Sn]=[i=1n ][△Si=i=1n ]（[3+i2n2+4in]）[1n]

=3+[1n3⋅n(n+1)(2n+1)6]+[4n2n(n+1)2]

=3+[16(1+1n)(2+1n)+2(1+1n)].

[S=limn→∞Sn=limn→∞[3+16(1+1n)(2+1n)+2(1+1n)]]

[=163].

所以这段时间汽车行驶的路程为[163]km.

点拨 求汽车行驶的路程转化为求时间—速度坐标系中的曲边梯形的面积，思想方法和解题方法与例1都是相同的，只是背景不同.

类型2 定积分的几何意义及应用

当函数[f(x)]在[[a，b]]上恒为正时，定积分[abf(x) dx]的几何意义是由直线[x=a，x=b(a≠b)，][y=0]和曲线[y=f(x)]所围成的曲边梯形的面积（图2中阴影部分）.

[图2]

一般情况下，定积分[abf(x) dx]的几何意义是介于[x]轴，曲线[f(x)]以及直线[x=a，x=b]之间的曲边梯形面积的代数和（图3中阴影部分），其中在[x]轴上的面积等于该区间上的积分值，在[x]轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数.

[图3]

例3 用定积分的意义求下列各式的值：

（1）[-13(2x+1) dx]； （2）[-12121-x2 dx.]

分析 根据定积分的几何意义作出由直线、曲线所围成的图形，利用几何知识求面积，从而得出定积分的值.

解 （1）由直线[x=-1,x=3,y=0]以及[y=2x+1]，所围成的图形，如图4所示.

[图4]

[-13(2x+1)dx]表示由直线[x=-1，x=3，y=0]以及[y=2x+1]所围成的图形在[x]轴上方的面积减去在[x]轴下方的面积.

所以[-13(2x+1) dx]=[12]×（3+[12]）×（2×3+1）-[12]×（-[12]+1）×1=12.5.

（2）由[y=1-x2]可知，[x2+y2=1(y≥0)]，图象如图5所示. 由定积分的几何意义知[-12121-x2 dx]等于圆心角为[π3]的弓形[CED]的面积与矩形[ABCD]的面积之和.

[图5]

[S弓形=12×π3×12-12×1×1×sinπ3=π6-34,]

[S矩形=|AB|⋅|BC|=1×32]=[32,]

所以[-12121-x2dx]=[π6+34.]

点拨 利用几何意义求定积分，关键是确定被积函数的图象以及积分区间，正确利用相关的几何知识求面积，不规则的图形常用分割法求面积，注意分割点的确定.

例4 已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线（假定为直线）行驶，甲车、乙车的速度曲线分别为[v甲]和[v乙]，如图6所示，那么对于图中给定的[t0]和[t1]时刻，下列判断中一定正确的是（ ）

[图6]

A. [t1]时刻，甲车在乙车前面

B. [t1]时刻后，甲车在乙车后面

C. [t0]时刻，两车的位置相同

D. [t0]时刻后，乙车在甲车前面

解析 判断甲、乙两车谁在前，谁在后的问题，实质上是判断在[t0]，[t1]时刻，甲乙两车行驶路程的大小问题.根据定积分的几何意义知，车在某段时间内行驶的路程就是该时间段内速度函数的定积分，即速度函数[v(t)]的图象与[t]轴以及时间段围成区域的面积，从图象知：在[t0]时刻，[v甲]的图象与[t]轴和[t=0，t=][t0]围成区域的面积大于[v乙]的图象与[t]轴和[t=0，t=][t0]围成区域的面积，因此，在[t0]时刻，甲车在乙车的前面，而且此时乙车的速度刚刚赶上甲车的速度，所以C、D错误；同时，在[t1]时刻，[v甲]的图象与[t]轴和[t=0]，[t=t1]围成区域的面积仍然大于[v乙]的图象与[t]轴和[t=0]，[t=t1]围成区域的面积，所以可以断定，在[t1]时刻，甲车还是在乙车的前面，故选A.

类型3 定积分的性质及应用

例5 已知[f(x)=9-x2,x∈[-3，0）3-x, x∈[0，2)2-12x,x∈[2，4]]，

求[f(x)]在区间[-3，4]上的定积分.

[图7]

分析 解答本题可先根据定积分的几何意义求出相应函数的定积分，再根据定积分的性质进行加减运算.

解 如图7所示，由定积分的几何意义得：

[-309-x2dx=14π×32=9π4]；

[02(3-x)dx=12×(1+3)×2=4]；

[24(2-12x)dx=12×1×2=1].

[∴-34f(x)dx=-309-x2dx+02 (3-x)dx+]

[24 (2-12x)dx]

[=9π4+4+1=5+9π4].

点拨 求定积分时，应注意利用定积分的性质及几何意义，利用定积分的性质还可以简化运算. 定积分的性质还可推广为：

①[ab[f1(x)±f2(x)±…±fn(x)]dx]

[=ab[f1(x)dx±ab f2(x)dx±…±ab fn(x)dx].

②[abf(x)dx=ac1 f(x)dx±c1c2 f(x)dx+]

[…+cnb f(x)dx(n∈N+)].

例6 已知[f(x)=sin5x+1，]根据函数的性质，积分的性质和积分的几何意义计算：[-π2π2f(x)dx]= .

解析 [-π2π2f(x)dx]=[-π2π2(sin5x+1)dx]

[=-π2π2sin5xdx+-π2π2dx=0+π=π]，

故答案填π.

点拨 此题运用了积分的性质以及奇、偶函数在区间[[-a，a]]上的定积分的性质：

若奇函数[y=f(x)]在[[-a，a]]上连续不断，则[-aaf(x)dx=0].

如：[-11x3dx=0].

若偶函数[y=g(x)]在[[-a，a]]上连续不断，则[-aag(x)dx=20ag(x)dx].

定积分证明题方法总结 第5篇

若F(x)f(x)，则f(x)dxF(x)C， C为积分常数不可丢!

性质1f(x)dxf(x)或 df(x)dxf(x)dx或

df(x)dxf(x) dx

性质2F(x)dxF(x)C或dF(x)F(x)C

性质3[f(x)g(x)]dx

或[f(x)g(x)]dx

二、基本积分公式或直接积分法

基本积分公式 f(x)dxg(x)dx g(x)dx;kf(x)dxkf(x)dx. f(x)dx

kdxkxC

xxdx1x1C(为常数且1)1xdxlnxC ax

edxeCadxlnaC xx

cosxdxsinxCsinxdxcosxC

dxdx22tanxCsecxdxcsccos2xsin2xxdxcotxC

secxtanxdxsecxCcscxcotxdxcscxC

dxarctanxCarccotx

C()1x2arcsinxC(arccosxC)

直接积分法：对被积函数作代数变形或三角变形，化成能直接套用基本积分公式。 代数变形主要是指因式分解、加减拆并等;三角变形主要是指三角恒等式。

三、换元积分法：

1.第一类换元法(凑微分法)

g(x)dxf((x))(x)dxf((x))d(x)

注 (1)常见凑微分：

u(x)f(u)du[F(u)C]u(x).

111dxd(axc), xdxd(x2c),2dc), dxd(ln|x|

c) a2x1dxd(arctanx)d(arccotxd(arcsinx)d(arccosx) 1+x2

(2)适用于被积函数为两个函数相乘的情况：

若被积函数为一个函数，比如：e2xdxe2x1dx， 若被积函数多于两个，比如：sinxcosx1sin4xdx，要分成两类;

(3)一般选择“简单”“熟悉”的那个函数写成(x);

(4)若被积函数为三角函数偶次方，降次;奇次方，拆项;

2.第二类换元法

f(x)dxx(t)f((t))(t)dtf((t))(t)dtt1(x)G(t)Ct1(x) 常用代换类型:

(1) 对被积函数直接去根号;

(2) 到代换x1; t

(3) 三角代换去根号

x

atantxasect、

xasint(orxacost)

f(xdx，t

f(xx，x

asect

f(xx，xasint

f(xx，xatant f(ax)dx，ta

x

f(xx，t

三、分部积分法：uvdxudvuvvduuvuvdx.

注 (1)u的选取原则：按“ 反对幂三指” 的顺序，谁在前谁为u，后面的为v;

(2)uvdx要比uvdx容易计算;

(3)适用于两个异名函数相乘的情况，若被积函数只有一个，比如：

arcsinx1dx，

u

v

定积分证明题方法总结 第6篇

关键词:积分方法  第一类换元法第二类换元法  分部积分法 不定积分是高等数学中积分学的基础,对不定积分的理解与掌握的好坏直接影响到该课程的学习和掌握。熟练掌握不定积分的理论与运算方法,不但能使学生进一步巩固前面所学的导数与微分的知识,而且也将为学习定积分,微分方程等相关知识打好基础。在高等数学中,函数的概念与定义与初等数学相比发生了很多的变化,从有限到无限,从确定到不确定,计算结果也可能不唯一,但计算方法与计算技巧显得更加重要。这些都在不定积分的计算中体会的淋漓尽致。对不定积分的求解方法进行简单的归类,不但使其计算方法条理清楚,而且有助于对不定积分概念的理解,提高学习兴趣,对学好积分具有一定的促进作用。

1 直接积分法

直接积分法就是利用不定积分的定义,公式与积分基本性质求不定积分的方法。直接积分法重要的是把被积函数通过代数或三角恒等式变形,变为积分表中能直接计算的公式,利用积分运算法则,在逐项积分。

一、原函数与不定积分的概念

定义1.设f(x)是定义在某区间的已知函数，若存在函数F(x)，使得F(x)或dF

f(x)

(x)f(x)dx

,则称F(x)为f(x)的一个原函数

定义2.函数

f(x)的全体原函数F(x)C叫做f(x)的不定积分，，记为:

f(x)dxF(x)C

f(x)叫做被积函数  f(x)dx叫做被积表达式C叫做积分常数

“

其中

”叫做积分号

二、不定积分的性质和基本积分公式

性质1. 不定积分的导数等于被积函数，不定积分的微分等于被积表达式，即

f(x)dxf(x)；df(x)dxf(x)dx.

性质2. 函数的导数或微分的不定积分等于该函数加上一个任意函数，即

f(x)dxf(x)C,

或df(x)f(x)C

性质3. 非零的常数因子可以由积分号内提出来，即

kf(x)dxkf(x)dx

(k0).

性质4. 两个函数的代数和的不定积分等于每个函数不定积分的代数和，即

f(x)g(x)dxf(x)dxg(x)dx

基本积分公式

(1)kdxkxC(k为常数)

(2)xdx

1

1

x

1

C

(1)

1

(3)xlnxC

x

(4)exdxexC

(6)cosxdxsinxC (8)sec2xdxtanxC (10)secxtanxdxsecxC (12)secxdxlnsecxtanxC (14)(16)

11x

11x

2

(5)a

x

dx

a

x

lna

C

(7)sinxdxcosxC (9)csc2xdxcotxC

(11)

cscxcotxdxcscxC

(13)cscxdxlncscxcotxC (15)

1x

2

2

xarctanxC

xarcsinxC

xarcsinxC

三、换元积分法和分部积分法

定理1. 设(x)可导，并且f(u)duF(u)C. 则有

f[(x)](x)dxF(u)C

凑微分

f[(x)]d(x)

令u(x)

f(u)du

代回u(x)

F((x))C

该方法叫第一换元积分法(integration by substitution)，也称凑微分法． 定理2.设x数F

(t)是可微函数且(t)0，若f((t))(t)具有原函

(t)，则

xt换元

fxdx

fttdt

积分

FtC

t

1

x

回代

1

FxC.

定积分的心得提炼总结 第7篇

摘要：积分学是微积分理论中的一个重要部分。一元函数的积分学主要包括定积分和反常积分两大类。这两类积分各自具备一些性质，而这些性质常常被拿来相互比较。本文将从定义出发，结合一些反例，深入剖析定积分和反常积分的性质差异及其原因。

关键词：反常积分与定积分;性质差异;定义

积分学是微积分理论中的一个重要组成部分。一元函数的积分学主要包括定积分和反常积分两大类，反常积分又包含了无穷积分与瑕积分，它们可以看作是定积分的推广，是定积分的某种意义下的极限形式。粗略来看，反常积分是更为一般的积分，定积分作为更为特殊的`积分，应该具备反常积分所具备的性质。但是在这部分内容的学习过程中，可以看到反常积分与定积分的一些性质有所区别，甚至从表面上看，反常积分的一些性质，定积分并不具备。本文将从定义出发，剖析这些性质的差异及其原因，以更加准确深刻的理解定积分和反常积分的异同。

一、无穷积分与定积分的定义与性质

我们知道对于无穷积分，有如下的一个重要性质。

dx存在与否的一个性质。而定理2讨论的是有限区间上的可积性，即内容A，它与内容B是完全不同的两个对象，得到的结论有所不同是自然的。

从定理的证明我们也可以进一步认识到A、B两部分内容的差异对定理结论的影响。定理1的两个证明都是围绕积分上限趋于正无穷时，变上限积分极限的存在性展开的，而定理2的证明则是依赖于有限区间上的可积性定理，即证明当划分足够细时，Daboux大和与Daboux小和收敛到同一个极限，这是完全不同的两个对象。另一方面，我们从证明里面看到，定理1确实是依赖于条件A的。在定理1的证明里，我们用到了f(x)在任一有限区间上的定积分，如果没有条件A，这些定积分是不存在的，这也说明了为什么不能运用定理1的证明方法得到定积分的类似性质。

从以上的分析我们可以看到反常积分的一些性质，特别是基于条件A的一些变限积分极限的收敛性质不能简单的从表面形式上与定积分的可积性质进行比较，更不能因此错误的认为反常积分具有定积分所不具备的性质。定理1和定理2所表述的是两个毫不相关的对象的性质，把它们进行比较没有实质的意义，反而容易产生认知上的混淆。

二、瑕积分与定积分的定义与性质

瑕积分的定义与无穷积分有类似的特点。

dx是不存在的。仔细观察可以发现这主要是因为对任意的ε>0，G(x)在任一有限区间[0，1-ε]上不可积。我们从这个例子可以看到区间[a，b-ε]上的可积性条件的重要性。

从以上的论述我们可以认识到，不论是无穷积分还是瑕积分，它们都是定积分的推广。这两类积分的收敛性首先都要以某类有限区间上的可积性为前提，其次是要求积分上(下)限在某一趋势下的变限积分的极限存在。反常积分的一些性质，形式上看起来可以与定积分的某些性质进行比较，但是实际上这种比较是非常牵强的，甚至会混淆概念、模糊认知，因此，应该从定义出发，区分这些性质的异同，理解背后本质的原因，更加准确深刻地理解反常积分和定积分。

参考文献：

[1]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京：高等教育出版社，2010.

定积分的几何意义是什么？ 第8篇

定积分是积分的一种，是函数f(x)在区间[a,b]上积分和的极限。

定积分就是求函数f(X)在区间[a,b]中的图像包围的`面积。即由y=0,x=a,x=b,y=f(X)所围成图形的面积。这个图形称为曲边梯形，特例是曲边三角形。

定积分的概念说课稿 第9篇

基础教学部 高黎明

一、教材分析

1、教材的地位和作用

本节课选自同济大学《高等数学》第五章第一节定积分的概念与性质，是上承导数、不定积分，下接定积分在几何学及物理学等学科中的应用。定积分的应用在高职院校理工类各专业课程中十分普遍。

2、教学目标

根据教材内容及教学大纲要求，参照学生现有的知识水平和理解能力，确定本节课的教学目标为：

（1）知识目标：理解定积分的基本思想和概念的形成过程，掌握解决积分学问题的“四步曲”。

（2）能力目标：培养学生分析和解决问题的能力，培养学生归纳总结能力，为后续的学习打下基础。

（3）情感目标：从实践中创设情境，渗透“化整为零零积整”的辩证唯物观。

3、教学重点和难点

教学重点：定积分的概念和思想。

教学难点：理解定积分的概念，领会定积分的思想。

二、教法和学法

1、教法方面

以讲授为主：案例教学法（引入概念），问题驱动法（加深理解），练习法（巩固知识），直观性教学法（变抽象为具体）。

2、学法方面

板书教学为主，多媒体课件为辅（化解难点、保证重点）。（1）发现法解决第一个案例 ；（2）模仿法解决第二个案例 ；（3）归纳法总结出概念 ；（4）练习法巩固加深理解。

三、教学程序

1、导入新课：

实例1：曲边梯形的面积如何求？

首先用多媒体演示一个曲边梯形，然后提出问题 ：（1）什么是曲边梯形？

（2）有关历史：简单介绍割圆术及微积分背景。（3）探究：提出几个问题（注意启发与探究）。a、能否直接求出面积的准确值？

b、用什么图形的面积来代替曲边梯形的面积呢？三角形、矩形、梯形？采用一个矩形的面积来近似与二个矩形的面积来近似，一般来说哪个值更接近？二个矩形与三个相比呢？„„探究阶段、概念引入阶段、创设情境、抛砖引玉。

（4）猜想:让学生大胆设想，使用什么方法，可使误差越来越小，直到为零？

（5）论证：多媒体图像演示，直观形象模拟,让学生逐步观察到求出面积的方法。

（6）教师讲解分析:“分割成块、近似代替、积累求和、无穷累加”的微积分思想方法。思解阶段、概念探索阶段、启发探究、引人入胜。

（7）总结: 总结出求该平面图形面积的极限式公式。实例2.如何求变速直线运动物体的路程？

（1）提问: 通过类似方法解决，注意启发引导。（2）归纳：用数学表达式表示。

2、讲授新课

归结阶段、提炼概念：

实例1和实例2的共同点：特殊的和式极限。

方法：化整为零细划分，不变代变得微分，积零为整微分和，无限累加得积分。

定义阶段、抓本质建立概念、深化概念 ：（1）定义: 写出定积分的概念。

（2）定义说明。

3、练习巩固

（1）例

1、求定积分10x2dx.学生练习，教师点评练习，让概念具体化。（2）练习巩固：求定积分21exdx.4、归纳总结

总结：梳理知识、巩固重点

（1）回顾四个步骤：①分割②近似③求和④取极限。（2）回顾定积分作为和式极限的概念。（3）加深概念理解的几个注意。（4）会用定积分的概念计算定积分。

2016考研数学：定积分的证明 第10篇

定积分及其应用这部分内容在历年真题的考察中形式多样，是考试的重点内容。启航考研龙腾网校老师希望同学们要加以重视！

定积分的证明是指证明题目中出现积分符号的一类题目，一般的解题思路和常见的证明题大同小异，但是由于积分符号的出现，往往使得同学们有这样那样的不适应，在这里呢，和同学们一起总结下关于这类题目的一般解题思路。常见的关于定积分的证明，主要包括以下几

类

问

题。

2、定积分中值定理命题的证明。一般利用连续函数的介值定理、微分中值定理、积分中值定理等来证明，其关键是构造辅助函数。

3、定积分不等式的证明。一般有三种方法。①利用被积函数的单调性、定积分的保序性和估值定理证明。

②将定积分的上(下)限改为变量，从而将定积分不等式化为函数不等式，再用微分学方法证明。

定积分概念教案(修改) 第11篇

授 课 计 划（教 案）

课程名称：高等数学

章节名称：第六章 第一节 定积分的概念 使用教材：赵树媛主编，《微积分》（第四版），北京：中国人民大学出版社，2016.8 教学目的：掌握定积分的概念，培养学生建立数学模型、从具体到一般的抽象思维方式；从已知到未知的研究问题的方法，提高学生的应用能力和创新思维。

教学重点：定积分的概念

教学难点：定积分概念建立、分割的思想方法及应用

教学方法：教学采用启发式、数形结合，用多媒体辅助教学。适用层次：应用型本科。教学时间：45分钟。

教学内容与教学设计

引言

介绍牛顿和莱布尼兹两位数学家和物理学家以及在微积分方面的研究成果，重点展示在积分方面的成果。（简单提及积分产生背景）

（PPT展示肖像，简历和成就。2分钟）

一、引例

已经会用公式求长方形、梯形、三角形面积。但对一些不规则平面图形的面积计算，需要寻求其他方法计算。

（PPT展示封闭的图形及分块，特别强调曲边梯形。2分钟）

（一）求曲边梯形的面积（板书）

由xa,xb,y0与yfx0围成平面图形，求面积A=?（如图）（PPT展示）

1.分析问题

（1）用小曲边梯形的面积相加就是A；（PPT展示）

（2）用小矩形代替小曲边梯形有误差，但有计算表达式（PPT放大图形）

（3）分的越细，其和精度越高（PPT）（4）最好是都很细，或最大的都很小（PPT）

（PPT展示，4分钟）

2.分割

（1）在a,b内任意插入n1个分点：

ax0x1x2xi1xixnb

这样，把a,b分成了n个小区间x0,x1,,xi1,xi,,xn1,xn，并记小区间的长度为xixixi1,i1,2,n（PPT演示，重点说明其目的是准备用小矩形代替小曲边梯形，以便提高精度。2分钟）

（2）过每一个分点作平行于y轴的直线，这样一来，大的曲边梯形被分成n个小曲边梯形Ai（小范围）。

3.近似代替

f(在第i 个小曲边梯形上任取i[xi-1,xi]，作以 [ x i, x

为底， i)为高的小矩形, 1i]并用此小矩形面积近似代替相应小曲边梯形面积 

A i , 得

Aif(i)xixixixi1，i1,2,....,n

（PPT演示，重点说明乘积的量表示什么。2分钟）

（1）求和

把n个小曲边梯形相加，就得到大曲边梯形面积的近似值

AAifixi（板书）

i1i1nn（PPT演示，重点说明，两个量的区别，让学生记住后一个表达式，这是将来应用的核心部

分。3分钟）

（2）取极限

当分点的个数无限增加，且小区间长度的最大值，即趋近于零时，上述和式极限就是梯形面积的精确值。

nn

AlimAi=limfixi即 max{xi},（板书）001ini1i1

（PPT演示，重点说明三个符号构成一个新的记号，重点。3分钟）

（二）变速直线运动的路程（板书）

求物体在这段时间内所经过的路程s。

n设某物体作直线运动，已知速度vv(t)是时间间隔T1，T2上t的连续函数，且 v(t)0,S=limviti（板书）

0i1（PPT展示上述结论，与

（一）对比，只是将符号变更，另一方面乘积的量发生了变化。

3分钟）

二、定积分的定义

定义：设函数fx在a,b上有定义，任意取分点

ax0x1x2xi1xixnb

把a,b分成n个小区间，xi-1，xi称为子区间，其长度记为xixixi1,i1,2,n。在每个子区间xi-1，xi上，任取一点ixi-1，xi，得函数值fnf()x。i，作乘积

ii

f(i)xi。把所有的乘积加起来，得和式 i1当n无限增大，且子区间长度的最大长度趋近于零时，如果上述和式的极限存在，则称fx在子区间a,b上可积，并将此极限值称为函数fx在a,b上的定积分。记作：

fxdx

ab即

fx

（板书）fxdxlima0iii1bn

（PPT展示定义，重点说明：记号和等号，左边是新的符号，右边是其表达式，即如果可以建立右边表达式，就立即将其用左边符号表示，换言之，看见左边符号，立即联想到右边的表达式。4分钟）

（板书）fxdx，变速直线运动的路程可以表示为：S=vtdt（板书）曲边梯形的面积可以表示为：AabT2T1定理

1设fx在a,b上连续，则fx在a,b上可积。

定理2 设fx在a,b上有界，且只有有限个间断点，则fx在a,b上可积。

（PPT展示定理。解释：只要满足条件，lim0fx 就可以与定积分符号划等号。

iii1n2分钟）

三、例题

利用定义计算定积分

10x2dx

（PPT展示全部计算过程及答案，说明几何意义。特别强调，以后用牛-莱公式计算，即简单又快捷，但要用到不定积分的知识，提醒学生复习已学过的相关知识。下次课介绍牛-莱公式。2分钟）

四、总结（板书）

（PPT展示定义-符号、定理，提示复习不定积分，核心表达式板书。1分钟）

五、作业（板书）

板书设计框架

第五章 第一节 定积分的概念

一、引例

（一）求曲边梯形的面积

（二）变速直线运动的路程

二、定积分定义

fx fxdxlima0iii1bn

三、例题

10x2dx=

四、总结

定积分的心得提炼总结 第12篇

1.教学目标

（1）知识与技能：定积分的概念、几何意义及性质

（2）过程与方法：在定积分概念形成的过程中，培养学生的抽象概括能力和探索提升能力。

（3）情感态度与价值观：让学生了解定积分概念形成的背景，培养学生探究数学的兴趣.2.教学重点/难点

【教学重点】：

理解定积分的概念及其几何意义，定积分的性质 【教学难点】：

对定积分概念形成过程的理解

3.教学用具

多媒体

4.标签

1.5.3定积分的概念

教学过程

课堂小结

定积分概念说课稿 第13篇

一、教材分析

1、教材的地位和作用

本节课选自二十一世纪普通高等教育系列教材《高等数学》第三章第二节定积分的概念与性质，是上承导数、不定积分，下接定积分在水力学、电工学、采油等其他学科中的应用。定积分的应用在高职院校理工类各专业课程中十分普遍。

2、教学目标

根据教材内容及教学大纲要求，参照学生现有的知识水平和理解能力，确定本节课的教学目标为：

（1）知识目标：掌握定积分的概念，几何意义和性质

（2）能力目标：掌握“分割、近似代替、求和、取极限”的方法，培养逻辑思维能力和进行知识迁移的能力，培养创新能力。

（3）思想目标：激发学习热情，强化参与意识，培养严谨的学习态度。

3、教学重点和难点

教学重点：定积分的概念和思想

教学难点：理解定积分的概念，领会定积分的思想

二、学情分析

一般来说，学生从知识结构上来说属于好坏差别很大，有的接受很快，有的接受很慢，有的根本听不懂，基于这些特点，综合教材内容，我以板书教学为主，多媒体课件为辅，把概念性较强的课本知识直观化、形象化，引导学生探究性学习。

三、教法和学法

1、教法方面

以讲授为主：案例教学法（引入概念）问题驱动法（加深理解）练习法（巩固知识）

直观性教学法（变抽象为具体）

2、学法方面：

板书教学为主，多媒体课件为辅（化解难点、保证重点）

（1）发现法解决第一个案例

（2）模仿法解决第二个案例

（3）归纳法总结出概念（4）练习法巩固加深理解

四、教学程序

1、组织教学

2、导入新课：

我们前面刚刚学习了不定积分的一些基本知识，我们知道不定积分的概念、几何意义和性质，今天我们要学习定积分的概念、几何意义和性质。

3、讲授新课（分为三个时段）

第一时段讲授

概念：

案例1：曲边梯形的面积如何求？

首先用多媒体演示一个曲边梯形，然后提出问题

（1）什么是曲边梯形？

（2）有关历史：简单介绍割圆术及微积分背景

（3）探究：提出几个问题（注意启发与探究）

a、能否直接求出面积的准确值？

b、用什么图形的面积来代替曲边梯形的面积呢？三角形、矩形、梯形？采用一个矩形的面积来近似与二个矩形的面积来近似，一般来说哪个值更接近？二个矩形与三个相比呢？……探究阶段、概念引入阶段、创设情境、抛砖引玉

（4）猜想:让学生大胆设想，使用什么方法，可使误差越来越小，直到为零？

（5）论证：多媒体图像演示，直观形象模拟,让学生逐步观察到求出面积的方法.（6）教师讲解分析:“分割成块、近似代替、积累求和、无穷累加”的微积分思想方法。思解阶段、概念探索阶段、启发探究、引人入胜

（7）总结: 总结出求该平面图形面积的极限式公式

案例2.如何求变速直线运动物体的路程？

（1）提问: 通过类似方法解决，注意启发引导。

（2）归纳：用数学表达式表示。

案例1和案例2的共同点：特殊的和式极限，并写出模型。

方法：化整为零细划分,不变代变得微分, 积零为整微分和,无限累加得积分。

归结阶段、提炼概念阶段、类比探究、数学建模

（1）定义: 写出定积分的概念。

（2）疑问:不同的分割方法，不同的矩形的高度计算，对曲边梯形的面积有何影响？

（3）定义说明

（4）简单应用

曲边梯形面积 直线运动路程

定义阶段、抓本质建立概念、深化概念

例

1、根据定积分的几何意义，求20sinxdx例

2、比较20xdx与20sinxdx的积分值的大小分析并解题解题示范、巩固理解概念阶段

练习1 定义计算 dxex10练习2 将由曲线及直线y=0,x=0,x=1围成的平面图形的面积用定积分表示。学生练习，教师点评练习、训练巩固阶段意义：意义应用概念阶段、概念具体化1.几何意义分f(x)>0, f(x)<0和f(x)符号不定三种情况。利用图形直观即可得出（关键要说明代数和的含义及原因）。2.范例(1)将几个平面图形的面积用定积分表示(题目略)。(2)利用几何意义求定积分20)32(dxx的值。第二时段指导练习题

4、归纳总结: 总结：梳理知识、巩固重点（1）、回顾四个步骤：①分割②近似③求和④取极限（2）、回顾定积分作为和式极限的概念（3）、加深概念理解的几个注意点（4）、几何意义 第三时段测验

定积分的心得提炼总结 第14篇

1.教学目标

（1）知识与技能：解决一些在几何中用初等数学方法难以解决的平面图形面积问题（2）过程与方法：在解决问题中，通过数形结合的思想方法，加深对定积分几何意义的理解

（3）情感态度与价值观：体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系，培养学生辩证唯物主义观点，提高理性思维能力．

2.教学重点/难点

【教学重点】：

（1）应用定积分解决平面图形的面积问题，使学生在解决问题的过程中体验定积分的价值以及由浅入深的解决问题的方法。

（2）数形结合的思想方法 【教学难点】：

利用定积分的几何意义，借助图形直观，把平面图形进行适当的分割，从而把求平面图形面积的问题转化为求曲边梯形面积的问题．

3.教学用具

多媒体

4.标签

1.7.1 定积分在几何中的应用

教学过程