2010年高考数学试卷（理）（大纲版Ⅰ，全国Ⅰ卷）（解析卷）

2010 年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版Ⅰ）参考答案与试题解析 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分）1．（5 分）复数= （）A．iB．﹣iC．1213i﹣D．12+13i【考点】A5：复数的运算．菁优网版权所有【专题】11：计算题．【分析】复数的分子中利用﹣i2=1 代入 3，然后化简即可．【解答】解：故选：A．【点评】本小题主要考查复数的基本运算，重点考查分母实数化的转化技巧． 2．（5 分）记 cos（﹣80°）=k，那么 tan100°= （）A．B．﹣C．D．﹣【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值；GG：同角三角函数间的基本关系；GO：运用诱导公式化简求值．菁优网版权所有【专题】11：计算题．【分析】法一：先求 sin80°，然后化切为弦，求解即可．法二：先利用诱导公式化切为弦，求出求出结果．【解答】解：法一，所以 tan100°=tan80°=﹣．：法二cos（﹣80°）=k⇒cos（80°）=k，第 1 页 | 共 22 页 =【点评】本小题主要考查诱导公式、同角三角函数关系式等三角函数知识，并突出了弦切互化这一转化思想的应用． 3．（5 分）若变量 x，y 满足约束条件，则 z=x2y﹣的最大值为（ ）A．4B．3C．2D．1【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有【专题】11：计算题；31：数形结合．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=x2y﹣表示直线在 y 轴上的截距，只需求出可行域直线在 y 轴上的截距最小值即可．【解答】解：画出可行域（如图），z=x2y﹣⇒y=x﹣z，由图可知，当直线 l 经过点 A（1，﹣1）时，z 最大，且最大值为 zmax=12﹣ ×（﹣1）=3．故选：B．【点评】本小题主要考查线性规划知识、作图、识图能力及计算能力，以及利用几何意义求最值，属于基础题． 第 2 页 | 共 22 页 4．（5 分）已知各项均为正数的等比数列{an}，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则 a4a5a6= （）A．B．7C．6D．【考点】87：等比数列的性质．菁优网版权所有【分析】由数列{an}是等比数列，则有 a1a2a3=5⇒a23=5；a7a8a9=10⇒a83=10．【解答】解：a1a2a3=5⇒a23=5；a7a8a9=10⇒a83=10，a52=a2a8，∴，∴，故选：A．【点评】本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识，着重考查了转化与化归的数学思想． 5．（5 分）（1+2）3（1﹣）5的展开式中 x 的系数是（）A．﹣4B．﹣2C．2D．4【考点】DA：二项式定理．菁优网版权所有【专题】11：计算题．【分析】利用完全平方公式展开，利用二项展开式的通项公式求出 x 的系数．【解答】解：（1+2）3（1﹣）5=（1+6+12x+8x）（1﹣）5故 （ 1+2） 3 （ 1﹣） 5 的 展 开 式 中 含 x 的 项 为 1×C53 （） 3+12x=﹣10x+12xC50=2x，所以 x 的系数为 2．故选：C．【点评】本小题主要考查了考生对二项式定理的掌握情况，尤其是展开式的通项公式的灵活应用，以及能否区分展开式中项的系数与其二项式系数，同时也考查了考生的一些基本运算能力第 3 页 | 共 22 页 6．（5 分）某校开设 A 类选修课 3 门，B 类选择课 4 门，一位同学从中共选 3 门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有（）A．30 种B．35 种C．42 种D．48 种【考点】D1：分类加法计数原理．菁优网版权所有【专题】11：计算题．【分析】两类课程中各至少选一门，包含两种情况：A 类选修课选 1 门，B 类选修课选 2 门；A 类选修课选 2 门，B 类选修课选 1 门，写出组合数，根据分类计数原理得到结果．【解答】解：可分以下 2 种情况：① A 类选修课选 1 门，B 类选修课选 2 门，有C31C42种不同的选法；②A 类选修课选 2 门，B 类选修课选 1 门，有 C32C41种不同的选法．∴根据分类计数原理知不同的选法共有 C31C42+C32C41=18+12=30 种．故选：A．【点评】本小题主要考查分类计数原理、组合知识，以及分类讨论的数学思想．本题也可以从排列的对立面来考虑，写出所有的减去不合题意的，可以这样解：C73C﹣33C﹣43=30． 7．（5 分）正方体 ABCDA﹣1B1C1D1 中，BB1 与平面 ACD1 所成角的余弦值为...