解三角形范文

解三角形范文（精选6篇）

解三角形 第1篇

第七章解三角形

一、基础知识

在本章中约定用A，B，C分别表示△ABC的三个内角，a, b, c分别表示它们所对的各边长，p

abc

2为半周长。

a



bsinB

1

2csinC

1．正弦定理：

sinA

=2R（R为△ABC外接圆半径）。

bcsinA

casinB.推论1：△ABC的面积为S△ABC=absinC

推论2：在△ABC中，有bcosC+ccosB=a.推论3：在△ABC中，A+B=，解a满足

asina



bsin(a)，则a=A.正弦定理可以在外接圆中由定义证明得到，这里不再给出，下证推论。先证推论1，由正弦函数定义，BC边上的高为bsinC，所以S△ABC=

absinC；再证推论2，因为B+C=-A，所以sin(B+C)=sinA，即sinBcosC+cosBsinC=sinA，两边同乘以2R得bcosC+ccosB=a；再证推论

3，由正弦定理

asinA



bsinB，所以

siansiAn



sin(a)sin(A)，即

sinasin(-A)=sin(-a)sinA，等价于

12

[cos(-A+a)-cos(-A-a)]=

[cos(-a+A)-cos(-a-A)]，等价于cos(-A+a)=cos(-a+A)，因为0<-A+a，-a+A<.所以只有-A+a=-a+A，所以a=A，得证。

2．余弦定理：a=b+c-2bccosAcosA

222

bca

2bc

222，下面用余弦定理证明几个常

用的结论。

（1）斯特瓦特定理：在△ABC中，D是BC边上任意一点，BD=p，DC=q，则AD=

bpcqpq

pq.（1）

【证明】因为c2=AB2=AD2+BD2-2AD·BDcosADB，所以c2=AD2+p2-2AD·pcosADB.①

222

同理b=AD+q-2AD·qcosADC，② 因为ADB+ADC=，所以cosADB+cosADC=0，所以q×①+p×②得

qc+pb=(p+q)AD+pq(p+q)，即AD=

bpcqpq

pq.用心爱心专心

注：在（1）式中，若p=q，则为中线长公式AD

（2）海伦公式：因为SABC



2b2ca

4222

.14

b2c2sin2A=b2c2(1-cos2A)= b2c2

2222

(bca)122 22

[(b+c)-a][a-(b-c)]=p(p-a)(p-b)(p-c).122

4bc16

这里p

abc

.所以S△ABC=p(pa)(pb)(pc).二、方法与例题 1．面积法。

例1（共线关系的张角公式）如图所示，从O点发出的三条射线满足w, v，这里α，β，α+β∈(0, POQ,QOR，另外OP，OQ，OR的长分别为u,)，则P，Q，R的共线的充要条件是

sinsinsin()

.u

v

w

2．正弦定理的应用。

例2 △ABC内有一点P，使得BPC-BAC=CPA-CBA=APB-ACB。求证：AP·BC=BP·CA=CP·AB。

例3 △ABC的各边分别与两圆⊙O1，⊙O2相切，直线GF与DE交于P，求证：PABC。

3．一个常用的代换：在△ABC中，记点A，B，C到内切圆的切线长分别为x, y, z，则a=y+z, b=z+x, c=x+y.例4在△ABC中，求证：a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c)≤3abc.4．三角换元。

例5设a, b, c∈R+，且abc+a+c=b，试求P

例6在△ABC中，若a+b+c=1，求证: a2+b2+c2+4abc<.212a

1

2b1



3c1的最大值。

三、基础训练题

1．在△ABC中，边AB为最长边，且sinAsinB=__________.2．在△ABC中，若AB=1，BC=2，则C的取值范围是__________.3．在△ABC中，a=4, b+c=5, tanC+tanB+__________.4．在△ABC中，3sinA+4cosB=6, 3cosA+4sinB=1，则C=__________.5．在△ABC中，“a>b”是“sinA>sinB”的__________条件.6．在△ABC中，sinA+cosA>0, tanA-sinA<0，则角A的取值范围是__________.7．在△ABC中，sinA=

52

4，则cosAcosB的最大值为

33tanCtanB，则△ABC的面积为，cosB=

3，则cosC=__________.A2tan

C213

8．在△ABC中，“三边a, b, c成等差数列”是“tan件.”的__________条

9．在△ABC中，若sinC=2cosAsinB，则三角形形状是__________.10．在△ABC中，tanA·tanB>1，则△ABC为__________角三角形.11．三角形有一个角是600，夹这个角的两边之比是8：5，内切圆的面积是12，求这个三角形的面积。

12．已知锐角△ABC的外心为D，过A，B，D三点作圆，分别与AC，BC相交于M，N两点。求证：△MNC的外接圆半径等于△ABD的外接圆半径。

13．已知△ABC中，sinC=

四、高考水平训练题 1．在△ABC中，若tanA=

2sinAsinBcosAcosB

3，试判断其形状。, tanB=，且最长边长为1，则最短边长为__________.2．已知n∈N+，则以3，5，n为三边长的钝角三角形有________个.3．已知p, q∈R, p+q=1，比较大小：psinA+qsinB__________pqsinC.4．在△ABC中，若sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC，则△ABC 为__________角三角形.5．若A为△ABC 的内角，比较大小：cot

A8

cotA__________3.+222

6．若△ABC满足acosA=bcosB，则△ABC的形状为__________.7．满足A=60，a=6, b=4的三角形有__________个.8．设为三角形最小内角，且acos是__________.

+sin



-cos



-asin



=a+1，则a的取值范围

9．A，B，C是一段笔直公路上的三点，分别在塔D的西南方向，正西方向，西偏北30方向，且AB=BC=1km，求塔与公路AC段的最近距离。

10．求方程x11．求证：

y1yx1xy的实数解。

sin20



720

.五、联赛一试水平训练题

1．在△ABC中，b2=ac，则sinB+cosB的取值范围是____________.2．在△ABC中，若

sinBsinC



cosA2cosCcosA2cosBA2cot

B

2，则△ABC 的形状为____________.C2

3．对任意的△ABC，Tcot____________.4．在△ABC中，sin

A2

cot-(cotA+cotB+cotC)，则T的最大值为

sinBsinC的最大值为____________.5．平面上有四个点A，B，C，D，其中A，B为定点，|AB|=3，C，D为动点，且|AD|=|DC|=|BC|=1。记S△ABD=S，S△BCD=T，则S+T的取值范围是____________.6．在△ABC中，AC=BC，ACB80，O为△ABC的一点，OAB10，ABO=300，则ACO=____________.7．在△ABC中，A≥B≥C≥最小值为__________.8．在△ABC中，若c-a等于AC边上的高h，则sin

CA2

cos

AC2



6，则乘积cos

A2

sin

B2

cos

C2的最大值为____________，=____________.9．如图所示，M，N分别是△ABC外接圆的弧AB，AC中点，P为BC上的动点，PM交AB于Q，PN交AC于R，△ABC的内心为I，求证：Q，I，R三点共线。

10．如图所示，P，Q，R分别是△ABC的边BC，CA，AB上一点，且AQ+AR=BR+BP=CQ+CP。求证：AB+BC+CA≤2（PQ+QR+RP）。11．在△ABC外作三个等腰三角形△BFC，△ADC，△AEB，使BF=FC，CD=DA，AE=EB，ADC=2BAC，AEB=2ABC，BFC=2ACB，并且AF，BD，CE交于一点，试判断△ABC的形状。

六、联赛二试水平训练题

1．已知等腰△ABC，AB=AC，一半圆以BC的中点为圆心，且与两腰AB和AC分别相切于点D和G，EF与半圆相切，交AB于点E，交AC于点F，过E作AB的垂线，过F作AC的垂线，两垂线相交于P，作PQBC，Q为垂足。求证：PQ

EF2sin，此处=B。

2．设四边形ABCD的对角线交于点O，点M和N分别是AD和BC的中点，点H1，H2（不重合）分别是△AOB与△COD的垂心，求证：H1H2MN。

3．已知△ABC，其中BC上有一点M，且△ABM与△ACM的内切圆大小相等，求证：AM

P(Pa)，此处P

2(a+b+c), a, b, c分别为△ABC对应三边之长。

4．已知凸五边形ABCDE，其中ABC=AED=90，BAC=EAD，BD与CE交于点O，求证：AOBE。

5．已知等腰梯形ABCD，G是对角线BD与AC的交点，过点G作EF与上、下底平行，点E和F分别在AB和CD上，求证：AFB=900的充要条件是AD+BC=CD。

6．AP，AQ，AR，AS是同一个圆中的四条弦，已知PAQ=QAR=RAS，求证：AR（AP+AR）=AQ（AQ+AS）。

7．已知一凸四边形的边长依次为a, b, c, d，外接圆半径为R，如果a2+b2+c2+d2=8R2，试问对此四边形有何要求？

8．设四边形ABCD内接于圆，BA和CD延长后交于点R，AD和BC延长后交于点P，A，B，C指的都是△ABC的内角，求证：若AC与BD交于点Q，则

cosAAP



cosCCR



cosBBQ

.9．设P是△ABC内一点，点P至BC，CA，AB的垂线分别为PD，PE，PF（D，E，F是垂足），求证：PA·PB·PC≥(PD+PE)·(PE+PF)·(PF+PD)，并讨论等号成立之条件。

解三角形 第2篇

本周三早上第二节林**老师的一堂“解三角形”高考复习课。三角函数以及解三角形是高考的重点，近几年高考所占分值都在二十几分，所以复习的时候要重点抓。本堂课，林文娟老师以自己扎实的数学基本功,细致严谨的数学解题思路,灵活轻松的师生互动,为我们献上了成功的复习课。由于学生基础较薄弱的原因，很多学生都不知道具体的解题原理，但是也都喜欢去思考探索,从而得到一部分分数。

针对本专题三角函数中的解三角形，公式主要有正弦定理、余弦定理、面积公式以及三角形的内角和等于一百八十度。在熟记、掌握公式的基础上去解决此类问题并不是很难。该老师是先将公式罗列出来，正弦定理、余弦定理，然后通过例题的讲解，促进学生对公式的掌握应用。这种方式的复习虽然比较传统，但是对于基础薄弱的学生来说却是更加适合，更加可以接受，也更能提高课堂效率。

例题的分布，按照从易到难的次序，让大部分学生能充分参与进来，使得整个课堂气氛活跃，师生共同解决问题，学生能极大地提高自信心，从而对数学产生兴趣;而后面那个高考题也正是开学初刚刚考过的`“温州一模”解答题当中的第一题，复习过后重新回过头来看看前面考过的题目，不仅提高学生的学习探究欲望，也达到了复习必须紧抓高考，为高考复习这个目的。

一堂好的复习课，高效的复习课，必须要精心的去准备，每一个环节都是重点。比如例题的选用，例题当中数值的选择;板书的设计，多媒体课件的设计等等。

深入到本堂课具体的内容上，我谈谈几点自己的看法吧。第一点：我们教师上课，一定要以学生为主，多关注学生。比如说，本节课中的变式训练一，已知三角形一条边的长和两个内角的度数，求另一条边，设计意图是想对余弦定理公式的一个应用。但是已知的两个角度却刚好非常特殊，一个105度，一个45度。这样一来如果直接从105度这个顶点做垂线垂直于它的对边，马上就会出现一个等腰直角三角形，而此时题目的解决只需要用到初中的平面解析几何知识点勾股定理就能得到答案。班上也刚好一个学生就是这么算的，他说自己这样做很简单，但是该老师没有注意到，这对该学生来说一种遗憾，自己的想法没有得到老师的认同与赞扬，对于该老师对于本堂课来说更是一种遗憾。所以，我们老师在上课的时候一定要做到多关注学生的思想，多关注学生的反应。第二点：该老师对于上课时候节奏的把握做得还不够，从给出问题到下一问题的给出时间过于短，没有留给学生足够多的时间去思考。我也看了自己的手表，从给出例一，到给出变式训练一中间只有短短的两分钟不到的时间。基础差的学生，看完问题，再回忆一下本题所用到的公式差不多就要一分多钟了，总的来说就是给人感觉太过于着急给出答案。第三点：在学生上台板书结束后，对于好的地方一定要点出，对于不够的地方更加需要给出完善。

浅析三角形解的个数以及解三角形 第3篇

已知三角形的两边和其中一边的对角, 不能唯一确定三角形的形状, 解决这类三角形问题将出现无解、一解和两解的情况, 应分情况予以讨论.在△ABC中, 已知a, b和∠A时, 三角形解的讨论如下:

(1) 当A为锐角时 (如图) ⅰ.a

(2) 当A为直角或钝角时ⅰ.ab时, 无解;ⅱ.a>b时, 有一解.

下面我们用余弦定理和根的判别式来进行讨论:

即c2-2bc cos A+b2-a2=0 (※)

这是一个关于c的二元一次方程, 由根的判别式得:

Δ= (-2b cos A) 2-4 (b2-a2) ,

即Δ=4 (a2-b2sin2A) .

(1) 当A为锐角时, 2b cos A>0,

∴当Δ>0时有4 (a2-b2sin2A) >0,

即a>b sin A, 此时方程有两解c1, c2.

根据韦达定理有:c1c2=b2-a2, c1+c2=2b cos A.

∴当b sin A0, c1+c2>0, 方程有两正根, 即三角形有两解;

当b0, 方程有一正一负两根, 三角形有一解;

当Δ=0即a=b sin A时, 三角形有唯一解;

当Δ<0即a

(2) 当A为直角或钝角时, 2b cos A0, 由 (※) 得:

b2-a2=-c2+2bc cos A<0,

即a>b时, 方程有解且Δ>0, 方程有两解c1, c2, 而c1c2=b2-a2<0,

∴方程有唯一正解, 即三角形有一解.

由此可以得出上面的结论, 即:

当A为直角或钝角时,

ⅰ.ab时, 无解;

ⅱ.a>b时, 有一解.

例判断下列三角形是否有解, 如有作出解答.

解根据余弦定理有a2+c2-2ac cos B=b2,

代入已知量得:a2-10a-50=0,

由余弦定理可以分别求得

由上述解题过程可以看出, 利用余弦定理以及演变的一元二次方程, 解相关的一元二次方程, 得到方程有解或无解, 根据正解的个数来判断三角形解的个数, 并顺便解出三角形中要求的边, 而由于余弦值在 (0, 180°) 是单调递减的, 因此所对应的角也是唯一的, 这样就可以解出三角形中的角, 从而达到判定三角形解的个数甚至解三角形的目的.

通过余弦定理和根的判别式以及韦达定理, 我们也可以讨论得出与课本上一致的结论, 条条大路通罗马, 我们的学习也是如此, 在数学的学习过程中, 方法并不是唯一的, 最重要的是找出适合同学们自己的一种方法, 能够快速、正确的解决问题.所以, 对于每一名同学来说, 数学的学习是一个持之以恒的过程, 和医生分析病例一样, 我们只有经过长期的练习, 首先对给出的题目进行分析, 找出已知条件和未知条件, 并且列出相对应的关系式, 然后解答.总结很重要, 对于正确的解答过程要继续保持, 如果解答不正确, 要找出错误的症结所在, 分析自己错误的原因, 加深印象, 这样才能避免在以后相同的题型中再犯同样的错误.只有通过不断的练习和总结, 才能找到一套有效的解题方法, 进而对数学产生浓厚的学习兴趣, 才能够学好数学, 运用好学到的数学知识.

摘要：本文主要通过运用余弦定理和根的判别式以及韦达定理来判定三角形的解的个数, 解出相关的三角形.

由一题四解浅析解三角形 第4篇

关键词：解三角形；正余弦定理；多种分析方法

一、正弦定理和余弦定理是解三角形的关键

1.正弦定理■=■=■=2R（R为△ABC外接圆半径），推广：

（1）a=2RsinA b=2RsinB c=2RsinC（边化角）

（2）sinA=■ sinB=■ sinC=■（角化边）

2.余弦定理c2=a2+b2-2abcosC（求边，另两个略），推广：cosC=■（求角）

以上是两定理的内容和推广，它揭示了任意三角形边角之间的规律。利用两定理可求三角函数的值，可求三角形的内角和边，判定三角形的形状，综合考查三角变换以及深化三角形和平面向量等多种知识的运用能力，当然这也是高中数学的主要精髓之一。

二、举例分析

说明：由于篇幅有限，例子中图形已省略，个别步骤作了简化。

例子：在△ABC中，AB=4，cosB=■，AC边上的中线BD=■，求sinA的值.

解法一：设M为BC的中点，则DM∥AB，且DM=2。在△BDM中，cos∠BMD=cos（180°-∠ABC）=-■，由余弦定理，得：（■）2=BM2+22-2×2×（-■）.BM解得BM=3，BM=-5（舍去）。

则BC=6，由AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cosB=28

得AC=2■，又由正弦定理■=■，得：sinA=■

解法二：作AE⊥BC，垂足为E，延长BD到M，使DM=BD，再作MF⊥BC，垂足为F，则BE=AB·cosB=2，并且AE=2■·BF=■=8，而CF=BE=2，所以BC=BF-CF=6又EC=4，所以AC=■=2■

在△ABC中，由正弦定理，得：sinA=■

解法三：延长BD至M，使DM=BD，连接AM，CM，则ABCM为平行四边形。

于是∠BAM=180°-∠ABC，在△ABM中，由余弦定理，得： （2■）2=42+BC2-2×4·BC·（-■）

解得BC=6。再根据解法一求出AC，最后得：sinA=■

解法四：以B为原点，向量■为x轴建立直角坐标系，由sinB=■，得：向量■=（4·cosB，4·sinB）=（2，2■）.设■=（x，0），则向量■=（■，■），从而向量■的模=■=■解得x=6，于是向量■=（-4，2■），所以根据两向量夹角公式，有：■·■=■·■·cosA，得cosA=■，故sinA=■=■（负值舍去，需讨论）

三、简评

1.所有三角形的边角变换，其实就是有条件限制的三角关系式的计算与证明，在三角形的三角变换中，正余弦定理、勾股定理和直角三角形中的边角关系都是解题的关键，通过本例可以看出。

2.解三角形的有关问题，常常需作一些辅助线。如解法一中的中位线，解法二和解法三中的延长线都是解三角形中常作的辅助线，应引起学生学习的足够重视。如果不作辅助线，解题方法就受局限，甚至造成解不出的可能。

3.通过建立适当直角坐标系，利用向量或点坐标的工具解答有关边角的问题，这也是解三角形中常用的方法。本例解法四就是用解析几何知识解决纯平面几何问题的典例，希望对学生有所启迪。

4.当然，解三角形有时还要用到两角和公式、倍角公式、半角公式、和差化积、积化和差公式、推导公式、两点间距离公式等诸多公式，希望学生灵活运用，以不变应万变。

5.解三角形其主要作用是解决在实际生活中的一些应用。常见有距离、高度、角度及平面图形的面积等计算与测量问题，希望学生学习时要有应用意识与动手能力，做到学有所用。

另外，本题还可继续探讨，例如，作△ABC的外接圆或利用点坐标法是否可解。感兴趣的学生可以试试。总之，解一般三角形万变不离其宗，其要领都是平面几何与正余弦定理两方面知识的结合。

（作者单位 辽宁省本溪市机电工程学校）

老师教案12 解三角形 第5篇

一、课前检测

1.在ABC中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（）A．b10，A45，C70

B．a60，c48，B60

C．a7，b5，A80

D．a14，b16，A4

52.在△ABC中，已知B30，b503，c150，那么这个三角形一定是 _________三角形。答案：等腰或直角三角形

|3.在ABC中，已知|AB||AC2且,ABAC1,则这个三角形的BC边的长为 ．答案：6

二、知识梳理

1．角与角关系：A+B+C = π，由A＝π－（B＋C）可得：

1）sinA＝sin（B＋C），cosA＝－cos（B＋C）． 2）A22BC2．有：sinA2cosBC2，cosA2sinBC2．

解读：

2．正弦定理

①a:b:csinA:sinB:sinC；

②a2RsinA,b2RsinB,c2RsinC； ③asinAbsinBcsinCabcsinAsinBsinC；

④a:b:csinA:sinB:sinC。

解读：

3．射影定理：

a＝b·cosC＋c·cosB，b＝a·cosC＋c·cosA，c＝a·cosB＋c·cosA．

解读：

三、典型例题分析

例1．在△ABC中，若acosBbcosA，则这个三角形是__________ 三角形 答案：等腰三角形

变式训练

在△ABC中，若答案：等边三角形

小结与拓展：

例2．a:b:c1:3:2，求A，B，C

acosAbcosBccosC，则这个三角形是__________ 三角形

答案：A=30°，B=60°，C=90°

变式训练： a:b:c2:6:(31)，求A，B，C

答案：A=45°，B=60°，C=75°

小结与拓展：

例3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c求角A，C，边a及三角形的面积 答案：A=30°，C=30°，SABC322，b6，B120。

a8，b6，变式训练：在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且SABC123，求c

答案：c=8或c=237

小结与拓展：

四、归纳与总结（以学生为主，师生共同完成）

1.知识：

2.思想与方法：

3.易错点：

解三角形的教学反思 第6篇

三角形中的几何计算的主要内容是利用正弦定理和余弦定理解斜三角形，是对正、余弦定理的拓展和强化，可看作前两节课的习题课。本节课的重点是运用正弦定理和余弦定理处理三角形中的计算问题，难点是如何在理解题意的基础上将实际问题数学化。在求解问题时，首先要确定与未知量之间相关联的量，把所求的问题转化为由已知条件可直接求解的量上来。为了突出重点，突破难点，结合学生的学习情况，我是从这几方面体现的：

我在这节课里所选择的例题就考常出现的三种题型：解三形、判断三角形形状及三角形面积，题目都是很有代表性的，并在学生练习过程中将例题变形让学生能观察到此类题的考点及易错点。这节课我试图根据新课标的精神去设计，去进行教学，试图以“问题”贯穿我的整个教学过程，努力改进自己的教学方法，让学生的接受式学习中融入问题解决的成份，企图把讲授式与活动式教学有机整合，希望在学生巩固基础知识的同时，能够发展学生的创新精神和实践能力，但我觉得自己还有如下几点做得还不够：①课堂容量中体来说比较适中，但由于学生的整体能力比较差，没有给出一定的时间让同学们进行讨论，把老师自己认为难的，学生不易懂得直接让优等生进行展示，学生缺乏对这几个题目事先认识，没有引起学生的共同参与，效果上有一定的折扣；②没有充分挖掘学生探索解题思路，对学生的解题思维只给出了点评，而没有引起学生对这一问题的深入研究，例如对于运用正弦定理求三角形的角的时候，出了给学生们常规方法外，还应给出老教材中关于三角形个数的方法，至少应介绍一下；③没有很好对学生的解题过程和方法进行点评，没起到“画龙点睛”的作用。④本来准备了一道练习题，但没能很好把握时间，而放弃了，说明了对这堂课准备不足，缺乏对学生很好的了解。

高中数学必修五《解三角形》第二节余弦定理教学反思

本课之前，学生已经学习了三角函数、向量基本知识和正弦定理有关内容，对于三角形中的边角关系有了较进一步的认识。在此基础上利用向量方法探求余弦定理，学生已有一定的学习基础和学习兴趣。总体上学生应用数学知识的意识不强，创造力较弱，看待与分析问题不深入，知识的系统性不完善，使得学生在余弦定理推导方法的探求上有一定的难度，在发掘出余弦定理的结构特征、表现形式的数学美时，能够激发学生热爱数学的思想感情；从具体问题中抽象出数学的本质，应用方程的思想去审视，解决问题是学生学习的一大难点。

本课的教学应具有承上启下的目的。因此在教学设计时既要兼顾前后知识的联系，又要使学生明确本课学习的重点，将新旧知识逐渐地融为一体，构建比较完整的知识系统。所以在余弦定理的表现方式、结构特征上重加指导，只有当学生正确地理解了余弦定理的本质，才能更好地应用求解问题。本课教学设计力求在型（模型、类型），质（实质、本质），思（思维、思想方法）上达到教学效果。学生应用数学的意识不强，创造力不足、看待问题不深入，很大原因在于学生的知识系统不够完善。因此本课运用联系的观点，从多角度看待问题，在提出问题、思考分析问题、解决问题等多方面对学生进行示范引导，将旧知识与新知识进行重组拟合及提高，帮助学生建立自己的良好知识结构。

《几种常见的递推数列通项的求法》之教学反思

我在这几年的高中教学中，从每年各省的高考真题和模拟题中，发现“数列通项公式”求法在高中解题中占有很大的比重。求数列（特别是以递推关系式给出的数列）通项公式的确具有很强的技巧性，与我们所学的基本知识与技能、基本思想与方法有很大关系，因而在平日教与学的过程中，既要加强基本知识、、基本方法、基本技能和基本思想的学习，又要注意培养和提高数学素质与能力和创新精神。这就要求无论教师还是学生都必须提高课堂的教与学的效率，注意多加总结和反思，注意联想和对比分析，做到触类旁通，将一些看起来毫不起眼的基础性命题进行横向的拓宽与纵向的深入，通过弱化或强化条件与结论，揭示出它与某类问题的联系与区别并变更为出新的命题。这样无论从内容的发散，还是解题思维的深入，都能收到固本拓新之用，收到“秀枝一株，嫁接成林”之效，从而有利于形成和发展创新的思维。

与旧教材相比，现在高考对此类题型的考查难度有所降低。比如利用构造新数列求通项公式时一般会给出构造提示。2015年高考填空第16题就是对这种方法的考查，教学中要选择适合高考和学生实际的典型例题进行体会学习，掌握一般类型与方法。

数列求和的教学反思

这节课是高中数学必修5第二章数列的重要的内容之一，是在学习了等差、等比数列的前n项和的基础上，对一些非等差、等比数列的求和进行探讨。

内容是数列的求和是现阶段学习数列部分一项很重要的内容，在高考题中经常出现。等到高三复习时再讲还是在高一阶段就慢慢渗透给学生还是值得商榷的。我认为高中数学的学习应该是螺旋上升的，而不是直线型。在高一阶段学生能够掌握的知识是要渗透给学生，学生经历过的，形成一定的经验，到了高三复习阶段就能唤醒这些经验和记忆。关于数列的求和的方法有很多，常见的如倒序相加法、并项法、拆项法、分组求和法、裂项相消法、错位相减法等。在本节课主要介绍了并项法和分组求和法，其目的是让学生先有一个经验，就是能够认识到一些非等差、等比数列都能转化为等差、等比数列后再分别求和。这样对后继学习裂项相消法、错位相减法做一些铺垫。

教学呈现方式的定位。这是很关键的环节，直接影响到本节课的成败。本节课设计上一个难点就是如何设计例题。不能求全而脱离学生实际，也不能一味搞成题海战术，因此结合本班学生的特点，选择设计的题目在难度和容量上较为侧重基础，以适应学生的认知水平，使学生在教学过程中能灵活应用，思维得到提高。

必修5《1.2 解三角形的应用》教学反思

根据教学内容的特点，这一课时的教学重点是结合实际，利用测量工具,解决生活中的测量问题，主要集中在距离和高度两个方面。在教学设计时，对教学的每一个环节都强调了学生的主体地位,无一不是由学生亲自参与，合作完成的，教师只是充当了指导者和合作伙伴的角色，形成了一个自由的、开放的课堂。这是一堂探究课，因此在进行教学设计时，我尽可能设置情境让学生更多的参与，而不是简单的教师提出问题，学生解答问题。首先，教材中的问题做了改变：测量距离,结合四川地震的灾后重建工作,及增加了学生的学习兴趣，又激发了了身为未来建设者的使命感，以及爱国热情；测量高度,从测量操场上的旗杆高度到迪拜的七星级酒店的高度,题目设计由易到难.课堂上学生分组讨论，直接参与方案的探寻、数据的获取与分析、结论的得出全过程，“实践出真知”，在获得真实的过程体验同时，也掌握了解决测量问题的方法。

这样的课堂教学，学生非常乐于参与，自然有了积极主动的学习态度。通过对问题的解决，使每一个参与者都深深地感受到了数学应用的灵活性、开放性。数学的应用价值和美学价值在这一刻获得了清晰地体现。但是本节教学还是有不尽如人意的地方：①由于时间关系，个别问题讨论不够充分；②最后应留一点时间，让学生反思这堂课所学的知识，自己总结教学内容。

基本不等式教学反思

根据新课标的要求，本节的重点是应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索基本不等式的证明过程，难点是用基本不等式求最值。本节课是基本不等式的第一课时。

在新课讲解方面，我仔细研读教材，发现本节课主要是让学生明白如何用基本不等式求最值。如何用好基本不等式，需要学生理解六字方针：一正二定三等。这是比较抽象的内容。尤其是“定”的相关变化比较灵活，不可能在一节课解决。因为我把这部分内容放到第二节课。本节课主要让学生掌握“正”“等”的意义。

我设计从例一入手，第一小题就能说明“积定和最小”，第二小题说明“和定积最大”。通过这道例题的讲解，让学生理解“一正二定三等”。然后再利用这六字方针就最值。这是再讲解例二，让学生熟悉用基本不等式解题的步骤。然后让学生自己解题。

巩固练习中设计了判断题，让学生理解六字方针的内涵。还从“和定”、“积定”两方面设计了相关练习，让学生逐步熟悉基本不等式求最值的方法。

课堂实施的过程中以学生为主体。包括课前预习，例题放手让学生做，还有练习让学生上台板书等环节，都让学生主动思考，并在发现问题的过程中展示典型错误，及时纠错，达到良好的效果。

不足之处是：复习引入的例子过难，有点不太符合文科学生的实际。且复习时花的时间太多，重复问题过多，讲解琐碎；例题分析时不够深入，由于担心时间不够，有些问题总是欲言又止。练习题讲解时间匆促，没有解释透彻。

循环语句教学发思

在教学过程中，注意通过在书本原有程序的基础上逐渐改变和增加条件的方法来提高同学的综合编程能力。例如，同学们在学习FOR循环时，书本内给出了一段求前100项自然数和的程序。这段程序在同学们弄懂FOR循环之后，理解起来是并不困难的，为了提高同学们的编程能力，我要求同学们对原程序做如下几种变化：（1）求1～100中所有偶数的和

（2）计算并输出1-3+5-7+„„-99+101的值

（3）在程序运行过程中任意输入一个自然数n，计算n的阶乘n!（n!= 1 × 2 × 3 „„ × n），并将结果输出。要求同学们能够把以前所学的知识综合起来运用，对刚刚学习编程的同学来说这还是有一定难度的，但通过练习同学们的综合编程能力可以得到训练提高。

四、程序设计教学中可以有意识的在以下几个方面给予比较多的关注：（1）对于一些比较简单的程序要求同学们直接写出结果；（2）对于有循环或判断结构的程序，要求同学们根据条件一步步向前走，把循环过程写下来；（3）故意给出一些错误的程序，给同学们设计一些陷阱，让同学们自己去发现；（4）让同学们把书本中程序编写错了的地方改正过来。

线性回归教学反思

错误率高的一题

1．1例 下图提供了某厂节能降耗技术改造后生产A产品过程中记录的产量x（吨）

与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对应数据，根据右表提供数据，求出y关于 x的线性回归方程为y=0.7x+0.35，那么表中t的值为（）.x 3 4 5 6 y 2.5 t 4 4.5 A．3

B．3．15

C．3．5

D．4．5 本以为这道题目很简单。改完试卷后，发现这道题目的得分率很低。问题出在哪里？

从反馈的结果看：只有26%的学生理解并算出正确结果，这些学生不仅掌握了基本知识点能很好的转换题意，还能准确计算。直接代入求结果，犯这类错误的学生占到37%，是比例最大的。看到直线方程就直接代入求解，思维还停留在普通直线方程上，根本就没想这题到底是考什么。由于计算出错的同学占到14%，说明整体上的计算能力还是有待加强。畏惧、怕难不去做的占到10%。总的来说，畏惧放弃、计算能力弱、不解题意、靠直觉，是造成错误最主要的几个原因。这种结果跟实际教学有没有关系？回顾、反思教学，发现还是有很多不足。

本节教学中，可以有意识的让学生们来自学，培养理解能力。在讲一些题目时，不要怕耽误时间，要停下来让学生来读题目找已知、未知，分析考查目的。这样就不会出现了本文问题背景中所提的那么多错解。再如2011年广东高考理科卷第13题：

3．1例 某数学老师身高176cm，他爷爷，父亲，儿子的身高分别为173cm，170cm，182cm，因为儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高是____cm.概率教学反思

1、“统计与概率”的内容与现实生活联系密切，必须结合具体案例组织教学。

概率的教学，离开了具体案例寸步难行，要让学生在具体案例中体验概率有关问题的情景，在案例中发现问题、解决问题，亲身体验案例情景，以激发兴趣。

在实际教学中一方面要尽量创设情境，采用案例教学的基本方式展开教学，通过大量的具体案例来帮助学生理解；另一方面要设计一些活动，让学生经历统计的全过程，在学生合作学过程中，学生既要独立思考，自主探索，又要在解决实际问题中与别人合作、交流。