函数周期性教案

函数周期性教案（精选6篇）

函数周期性教案 第1篇

一、教材分析

1、教材的地位和作用：

由教材的知识结构、功能特点可知：本节课是学生学习了诱导公式和三角函数图象之后，对三角函数的又一个深入探讨。是研究三角函数其它性质的基础，又是函数性质的重要补充。

研究三角函数周期的过程中蕴含着数形结合、分析讨论、归纳推理等数学思想方法，在高中数学课程的学习中起到承上启下的作用。

2、教学目标：

根据本节课的教学内容和学生的认知规律，我制定以下教学目标：

(1)知识目标：

理解周期函数的概念及正弦、余弦函数的周期性，会求一些简单三角函数的周期。

(2)能力目标：

让学生经历研究三角函数从特殊到一般再到特殊的过程，领会并感悟数形结合、分类讨论、归纳推理的思想方法

(3)情感目标：

让学生体会数学来源于生活，体会从感性到理性的思维过程，感受数学的魅力。

3、重点难点分析：

由于学生对抽象函数图像缺乏感性认识。为此，在教学过程中让学生自己去感受函数图象的周期性为这一堂课的突破口。因此确定本节课的重点是

重点：正弦、余弦函数的周期性;

难点：周期函数定义及运用定义求函数的周期

二、教法分析：

依据本节课的特点，我主要运用了启发发现教学法，并充分利用多媒体、网络等现代教学媒体进行辅助教学，增强知识的直观性和趣味性。通过创设情境，激发学习兴趣，引导学生去观察、思考、讨论，使得学生在动手动脑的过程中发现规律，减轻学生认知的难度。

三、学法分析：

学生已掌握了诱导公式、函数图象及五点作图的方法，但对知识的理解和方法的掌握不完善，反映在学生解题思维不严密、过程不完整，能力上具备了观察、类比、分析、归纳的能力，但知识的整合和主动迁移能力较弱。因此，我指导学生采用自主思考、合作探究的学习方法。让学生在学习、合作的过程中，体会数学的乐趣。

四、 教学过程分析

我设计的教学环节分别是情境引入、探索新知、精析例题、巩固提高、小结归纳、布置作业六个环节。

下面我将就每个环节分别从教什么、怎么教、为何这样教三个方面加以说明。

1、创设情境，引入新课：

托尔斯泰曾说过：“成功的教学所需要的不是强制，而是激发学生的学习兴趣。”因此我通过有趣的现象引入课题，由时间和日历引导学生得出相同的间隔重复出现的现象称为周期现象。在我们的自然界中也同样的存在周期现象，例如：行星的转动;不断更换的一年四季，那么聪明的你们，有没有发现数学中的周期现象呢?引出本节课的课题，这样的设计可以激发学生兴趣，培养学生主动性，让同学们体会数学来源于生活，用之生活，为理解函数的周期性做铺垫。

2、师生互动，探索新知：

新课标指出：学习过程中要给学生提供探索与交流空间，鼓励学生自主探索、合作交流。

首先利用课件出示某港口的`水深变化图，通过生活实际，利用正弦函数图像进行动画演示，让学直观感知周而复始的变化规律DD函数图像存在有周期性。接着引导学生回顾以前的知识DD终边相同的角有相同的三角函数值，让学生把y=sinx,x∈[0,2π]的图象得出y=sinx,x∈R的图象，通过动画的演示，将图象左右平移，加深学生对周期的理解。然后引导学生观察发现：形：图象按照一定规律重复出现;数：对于自变量的一切值每增加或减少一个定值时，函数值重复取得。接着引导学生联想诱导公式，结合抽象的图象，构建出周期函数的定义：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数。非零常数T叫做这个函数的周期。这样的设计有利于培养学生观察、分析和抽象概括的能力，进一步渗透数形结合的思想方法。

接着就提出疑问

1、正弦函数的周期是多少;

2、正弦函数的周期中，最小的正数是多少?这样问题的设计，有利于让学生理解最小正周期的定义，同时为学习后面知识埋下了伏笔。

为了帮助学生正确理解周期函数概念，防止学生以偏概全。我设计了小组讨论，将四人分一组进行讨论，再由学生发表意见。让学生学会怎样学习概念，培养学生透过现象看本质的能力，使学生养成细致、全面地考虑问题的思维品质。让学生在讨论交流中不断完善自己，充分感受成功与失败的体验，突破本课的重点。

到这里学生已经基本掌握了正弦函数的周期，接着让学生通过类比的方法，应该可以很快得到余弦函数的周期，加深到周期性定义的理解。

3、 例题精解，加深理解：

俗话说：“光说不练假把式，光练不说傻把式，又练又说真把式。” 为了让学生将知识应用于实际，突破难点，我设计了三道题，第一题师生共同完成，利用课件中的图像引导学生发现最小正周期。第2、3题学生独立完成，观察学生对周期函数定义的掌握情况，由学生点评，培养学生数形结合的能力。

4、 分层练习，巩固提高：

为了巩固学生所学的知识和不足，我设计了以下练习;

概念理解：函数周期性定义的变式题;

周期运用：运用函数定义求函数的周期;

整个练习的设计涵盖了本节课的知识点，减轻了学生课后练习的负担，有效提高学生解决问题的能力。

5、小结归纳，知识梳理：

1、你这节课学到了什么新知识和数学方法?

2、你这节课有什么感悟和疑惑?

最后小结归纳，知识梳理，通过老师的提问的方式，你这节课学到了什么新知识和数学方法?有什么感悟和疑惑?有效地活跃了课堂氛围，梳理知识，明确学习内容和学习方法，强化重点，达到巩固新知的目的。

6、布置作业，拓展提升

(1)必做题：教科书习题4.8第3题;

(2)课外思考：

分层作业设计，满足不同学生的学习需求，有效地依据学生的能力提高他们的数学水平，让不同的学生在数学上得到不同的发展。

五、教学评价分析

我在课堂中将采用自评、小组评、教师评等评价的方式，让评价与反思贯穿教学的全过程，也尊重了学生的个体差异，从而让学生认识自我，建立信心，掌握学习的方法，提高学习效率。

函数周期性教案 第2篇

教学目标

1．使学生理解函数周期性的概念，并运用它来判断一些简单、常见的三角函数的周期性．

2．使学生掌握简单三角函数的周期的求法．

3．培养学生根据定义进行推理的逻辑思维能力，提高学生的判断能力和论证能力．

教学重点与难点

函数周期性的概念．

教学过程设计

师：上节课我们学习了利用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象．今天我们将利用正弦函数图象，研究三角函数的一个重要性质．请同学们观察y=sinx，x∈R的图象：

(老师把图画在黑板左上方．)

师：通过观察，同学们有什么发现？

生：正弦函数的定义域是全体实数，值域是[－1，1]．图象有规律地不断重复出现．

师：规律是什么？

生：当自变量每隔2π时，函数值都相等．

师：正弦函数的这种性质叫周期性．我们将会发现，不但正弦函数具有这种性质，其它的三角函数和不少的函数也都具有这样的性质，因此我们就把它作为今天研究的课题：函数的周期性．(老师在黑板左上方写出课题)

师：我们先看函数周期性的定义．(老师板书)

定义 对于函数 y=f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f(x＋T)=f(x)都成立，那么就把函数y=f(x)叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期．

师：请同学们逐字逐句的阅读定义，找出定义中的要点．

生：首先T是非零常数，第二是自变量x取定义域内的每一个值时都有f(x＋T)=f(x)．

师：找得准！那么为什么要这样规定呢？

师：如果T=0，那么f(x＋T)=f(x)恒成立，函数值当然不变，没有研究价值；如果T为变数，就失去了“周期”的意义了．“每一个值”的含义是无一例外．

师：除这两条外，定义中还有一个隐含的条件是什么？

生：如果x属于y=f(x)的定义域，则T＋x也应属于此定义域．

师；对．否则f(x＋T)就没有意义．

师：函数周期性的定义有什么用途？

生：它为我们提供判定函数是否具有周期性的理论依据．

师：下面我们看例题．

(老师板书)

例1 证明 y=sinx是周期函数．

生：因为由诱导公式有sin(x＋2π)=sinx，所以2π是y=sinx是一个周期．故它就是周期函数．

师：要想判断T是不是函数y=f(x)的周期有什么方法？我们现有的理论依据只有定义，如何使用定义？

y=sinx的周期．

义域内的每一个x，都有f(x＋T)=f(x)，而不是有(存在着)某一个x，使f(x＋T)=f(x)

乙是正确的．

师：分析得好！同学对概念的学习应该做到真正能弄清每句话的含义，而不能只停留在字面的意思读懂了．这样才可能透彻地理解概念，为进一步的学习打下牢固的基础．

例3 已知 f(x＋T)=f(x)(T≠0)，求证f(x＋2T)=f(x)．

师：此题用文字如何叙述？谁能给予证明？

生：若不等于零的常数T是f(x)的一个周期，证明2T仍是f(x)的周期．

因为T是f(x)的周期，所以f(x＋T)=f(x)，f[(x＋T)＋T]=f(x＋T)，即f(x＋2T)=f(x)．

因此2T是f(x)的周期．

师：这个命题推广可得到什么结论？

生：如果T是f(x)的周期，那么2T，3T，„，nT(n∈Z)也都是f(x)的周期．

师：这说明如果一个函数是周期函数，所有的周期就构成一个无穷集合．这无数个周期中我们有必要研究在它们中间是否存在着最小正周期．这是为什么？

生甲：如果发现一个函数存在最小正周期，就可以确定这个函数的所有周期．

生乙：更具有实用性．如果找到最小正周期，就可以在其定义域的一个长度为最小正周期的范围内对函数进行研究．

师：这位同学思考问题有一定的深刻性．他不但弄清最小正周期的实质，还进一步想到我们研究函数周期性的目的，那就是要研究一个周期函数在整个定义域上的性质，只要研究它在一个周期内的性质，然后经过周期延拓即可．如果能够确定最小正周期，可使研究的范围缩小在最小正周期的范围内．这无疑给我们研究周期函数的性质带来方便．

(老师在函数的周期性定义下板书)

如果在所有的周期中存在着一个最小正周期，就把它叫做最小正周期．

例4 证明f(x)=sinx(x∈R)的最小正周期是2π．

师：例1证明了y=sinx是周期函数，并且找到了一个周期T=2π．例2我们证明

命题，只要证明什么？

生：只要证明任何比2π小的正数都不是它的周期．

师：如何证？能否逐一证明比2π小的正数都不行呢？当然不行．因为比2π小的正数是无限的．那这样的命题应如何证？

生：反证法．假设存在 T∈(0，2π)使得 y=sinx对于任意的x∈R都成立．推出矛盾即可．

师：你能具体的给予证明吗？

生：假设T是y=sinx，x∈R的最小正周期，且0＜T＜2π，那么根据周期函数的定义，当x为任意值时都有

sin(x＋T)=sinx．

即

cosT=1．

这与 T∈(0，2π)时，cosT＜1矛盾．这个矛盾证明了 y=sinx，x∈R的最小正周期是2π．

师：请同学们在课堂练习本上证明y=cosx的最小正周期是2π．

师：通过上面的例题和练习我们得出这样的结论，正弦函数y=sinx(x∈R)和余弦函数y=cosx(x∈R)都是周期函数，2πk(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π．

例5 求y=3cosx的周期．

师：以后求周期如果没有特殊要求，都求的是最小正周期

生：因为y=cosx的周期是2π，所以 y=3cosx的周期也是2π．

师：好．好在他能利用我们总结出的结论，也就是新知识归结到旧知识上去．你能再具体的证明吗？

生：可以从数和形两个角度来证明．

解(一)因为对一切 x∈R，3cos(x＋2π)=3cosx，所以 y=3cosx的周期是2π．

解(二)因为y=3cosx图象是把y=cosx图象上的每点的横坐标不变，纵坐标扩大3倍得到的，当自变量x(x∈R)增加到x＋2π且必须增加到x＋2π时，函数cosx的值才重复出现，因而函数3cosx的值也才重复出现，因此y=3cosx的周期是2π．

师：数和形是我们研究数学问题的两个方面，他都想到了，并且能完整的叙述清楚，若把此题推广，能得到什么结论？

生：y=Asinx，x=Acosx(A≠0，是常数)的周期都是2π，也就是说函数周期的变化与系数A无关．

例6 求y=sin2x的周期．

(请不同解法的三位同学在黑板上板演)

生甲：

解 因为y=sin(2x＋2π)=sin2x，对于任意x∈R都成立．所以y=sin2x的周期是2π．

生乙：

解 因为 y=sin(2x＋2π)=sin2(x＋π)=sin2x，所以 y=sin2x的周期是π．

生丁：

解 设2x=u，因为y=sinu的周期是2π，所以

y=sin(u＋2π)=sinu，即

sin(2x＋2π)=sin2(x＋π)=sin2x，所以 y=sin2x的周期是π．

师：我们一起来分析三个同学的解法．解法一是错误的，错误在对于周期函数定义中任意x都有f(x＋T)=f(x)的本质没弄清楚，要证明y=sin2x是周期函数，应证明对于任意x∈R，都有y=sin2x=sin2(x＋T)，而不是y=sin2x=sin(2x＋T)．解法(二)，(三)是正确的．区别在于解法(三)经过换元，把要研究的新问题y=sin2x的周期转化为已有的旧知识y=sinu的周期．这种转换的意识、换元的思想是很重要的．

师：其实这个问题也可以从图象的变换来考虑．我们先看如何由y=sinx的图象得到y=sin2x的图象．使y=sinx的图象上的每点的纵坐标不变，横坐标是该点横坐标的出现，所以 y=sin2x的周期是π．

师：通过这个例题我们看到，谁对函数的周期有影响？是x的系数．有怎样的影响？带着这个问题同学们做下面的题目．

y=2sin(u＋2π)=2sinu，又因为

所以

师：通过这个例题，进一步验证了我们的猜想，函数的周期的变化仅与自变量x的系数有关．我们把例7写成一般式．

＞0，x∈R)

sin(u＋2π)=sinu，即

即

师：这样就证明了我们的猜想，不但函数的周期仅与自变量的系数有关系，而且

(老师板书)

师：以后再求正弦函数或余弦函数的周期，可由上面的结论直接写出它的周期．

师：(总结)通过今天的课，同学们应明确以下几个问题．

(一)研究函数周期的意义是什么？

周期函数是反映现实世界中具有周期现象的数学模型．如果能找到函数的最小正周期T，那么只要在以T为长度的区间内，就可以研究函数的图象与性质，然后推断出函数在整个定义域的图象和性质．这给我们研究函数带来了方便．

(二)对于函数周期的定义应注意：

1．f(x＋T)=f(x)是反映周期函数本质属性的条件．对于任意常数T(T≠0)，如果在函数定义域中至少能找到一个x，使f(x＋T)=f(x)不成立，我们就断言y=f(x)不是周期函数．对于某个确定的常数T≠0，如果在函数定义域中至少能找到一个x，使f(x＋T)=f(x)不成立．我们能断言T不是函数y=f(x)的周期，但不能说明y=f(x)不是周期函数．

2．定义中的“每一个值”是关键词．

此函数对于任意确定的常数T≠0，尽管f(x＋T)=f(x)对函数定义域(－∞，＋∞)中几乎所有x都成立．但仅仅由于x的个别值x=0，x=－T时，等式不成立．因此函数f(x)不是周期函数．

(三)周期函数的周期与最小正周期的区别与联系．

1．周期函数的周期一定存在，但最小正周期不一定存在，最小正周期如果存在必定唯一．周期函数的周期有无数个．

如：f(x)=c(常数)，任意非零实数都是它的周期，但由于不存在不等于零的最小正实数，所以f(x)=c没有最小正周期．这个例子也同时说明不是只有三角函数才具有周期性．

2．周期函数的最小正周期一定是这个函数的周期，反之不然．

例如，2π是 y=sinx的最小正周期，也是函数的周期；4π是函数的周期，但不是最小正周期．

作业：课本P178第6题，P132第4题．

课堂教学设计说明

此教学方案是按照“教师为主导，学生为主体，课本为主线” 的原则而设计的．教师的主导作用在于激发学生的求知欲，为学生创设探索的情境，指引探索的途径，引导学生不断地提出新问题，解决新问题．

函数周期性的探究 第3篇

这个定义是采用内涵定义法定义的, 要正确理解周期函数定义, 应从定义的内涵 (性质) 和外延 (对象) 两个方面来分析, 应注意以下几点:

1.式子f (x+T) =f (x) 对定义域中的每一个值都成立, 即定义域内任何x, 式子都成立.而不能是“一个x”或“某些个x”, 另一方面, 判断一个函数是不是周期函数, 只需举一个反例就行了.

例如, 教材第63页第6题:等式$\sin (\frac{\text{π}}{6}+\frac{2}{3}\text{π})=\sin \frac{\text{π}}{6}$, 此等式成立, 即$\sin (x+\frac{2}{3}\text{π})=\sin x$, 该式中x取$\frac{\text{π}}{6}$时等式成立.能否断定$\frac{2}{3}\text{π}$是sinx的周期呢?不能.因为对于其他一些x值, 该式不一定成立, 如$x=\frac{\text{π}}{3}$时, $\sin (x+\frac{2}{3}\text{π})\ne \sin x.$

【例1】 函数y=cosx (x≠0) 是周期函数吗?

解:不是.举反例, 当T=2π时, 令x=-2π, 则有cos (x+2π) =cos (-2π+2π) =cos0=1, 但x=0不属于题设的定义域, 则x≠-2π, 故y=cosx (x≠0) 不是周期函数.

2.式子f (x+T) =f (x) 是对“x”而言.

【例2】 由$\cos (\frac{x}{3}+2k\text{π})=\cos \frac{x}{3}(k\in \mathbf{{\rm Z}})$是否可以说cosx的周期是2kπ呢?

解:不能.因为$\cos (\frac{x}{3}+2k\text{π})=\cos \frac{x+6k\text{π}}{3}$, 即$\cos \frac{x+6k\text{π}}{3}=\cos \frac{1}{3}(x+6k\text{π})=\cos \frac{1}{3}x(k\in \mathbf{{\rm Z}})$, 所以$\cos \frac{x}{3}$的周期是6kπ, 而不是2kπ (k∈Z) .

3.一个函数是周期函数, 但它不一定有最小正周期.例如, f (x) =a (常数) , 显然任何一个正数T都是f (x) 的周期, 由于正数中不存在最小的数, 所以周期函数f (x) =a无最小正周期.

4.设T是f (x) (x∈R) 的周期, 那么kT (T∈Z, k≠0) 也一定是f (x) 的周期, 定义规定了T为一个实常数, 而不是一个变数, 同时也规定了T的取值范围, 只要求不为零, 不要误认为T一定是π的倍数.

众所周知, 函数y=Acos (ωx+φ) 的周期即最小正周期${\rm T}=\frac{2\text{π}}{|\omega |}$, 函数y=Acos (ωx+φ) 的最小正周期也是${\rm T}=\frac{2\text{π}}{|\omega |}$.函数y=tan (ωx+φ) 的周期是${\rm T}=\frac{\text{π}}{|\omega |}$, 不难看出, 上述各函数的周期中都含有“π”, 而且, 同学们所见的课本例题及习题中的周期函数的周期中也都含有“π”.于是, 有的同学认为:周期函数的周期一定含有“π”.

事实上, 这种看法是错误的.实际上, 有许多周期函数的周期中是不含“π”的, 如下面几例:

(1) 函数y=sinπx的周期是${\rm T}=\frac{2\text{π}}{\text{π}}=2.$

(2) 函数y=tan2πx的周期是${\rm T}=\frac{\text{π}}{2\text{π}}=\frac{1}{2}.$

(3) 若对于函数y=f (x) 定义域的任何x的值, 都有f (x+1) =f (x) 成立, 则由周期函数的定义可知, 函数y=f (x) 是周期函数, 且T=1是其周期.

函数周期性教案 第4篇

【关键词】正弦函数；余弦函数；周期性；抽象

一、教材分析

教材是新课程标准的具体化，是进行课堂教学设计的蓝本，是教师教、学生学的具体材料，要把握好教材，落实教学目标，必须准确理解课程标准。因此我在认真研读课程标准的基础上从教材的地位与作用、教材重点与难点两个方面展开我对教材的分析。

1.教材的地位与作用

本课选自人教A版数学必修4第一章第4节第2小节第一课时，该课时主要学习函数的周期性。

这节课是在学习了正、余弦函数图像以及三角函数诱导公式之后，对三角函数的又一重要探讨。周期性，是对函数性质的一个重要补充，又是研究三角函数其它性质的根本，所以本课既是前期知识的发展，又是后续知识的基础，起着承前启后的作用。

从思想方法上讲，这节课的教学过程中还渗透了建模、数形结合、由特殊到一般、类比等数学思想方法。

2.教材的重点与难点

根据新课标的要求，我确定本课的重点为，周期函数的定义和正、余弦函数的周期性；难点为：对周期函数概念的理解和求函数的周期。

二、学情分析

从学生的知识储备上看：学生已经学习了正、余弦函数的图像和三角函数的诱导公式，这为学习本课做好了知识上的准备。

从学生思维特点来看：学生具备了一定的形象思维和抽象思维，但还需要进一步加强。

三、教学目标

在充分把握新课程标准的要求，教学内容和教学对象的基本情况的基础上，我制定如下教学目标：

1.知识与技能

准理解周期函数的概念和正弦函数、余弦函数的周期性，会求一个函数的周期。

2.过程与方法

在概念形成与探究的过程中，培养学生观察、分析、抽象、概括的能力和抽象素养，渗透建模、数形结合、由特殊到一般、类比等数学思想方法。

3.情感、态度与价值观

在获取知识的过程中，让学生感受数学来源于生活，又回归于生活，体会数学的应用价值；是学生体会获取知识后成功的喜悦，培养学生的学习兴趣，养成主动探究的习惯。

四、教法学法

1.教学方法

第斯多惠说过：“一个坏的老师奉送真理，一个好的老师则教人发现真理”。因此，我采用引导发现法与启发探究法相结合的教学方法，启发学生在探究的过程中发现真理，体会获得成功的快乐。

2.学习方法

新课标中“倡导积极主动、勇于探索的学习方式”因此，我鼓励他们采用自主探索、合作交流的学习方法，让学生亲身经历知识的形成过程，最终掌握良好的学习方法和学习习惯。

五、教学过程

为了达到预期的教学目标，我设计了以下五个环节。

环节1：创设情境，导入新课

教师用多媒体向同学们展示情境1、情境2. 引导学生发现它们的变化周期，使学生对周期有初步的认识。再让学生进入情境3，说一说。

情境1：四季变化的图片。

情景2：月亮圆缺现象，即一个月的月亮图形。

情境3：鼓励学生列举类似的周而复始的现象。 紧接着，说明这种现象是周期性。

设计思路： 皮亚杰曾说：没有一个行为模式不含有情感因素作为动机。这样的设计不仅激发了学生的学习兴趣，还使学生对周期有一个初步的认识。

师：数学源于生活，但高于生活，数学是自然规律的高度概括与抽象。那么，我们用数学语言如何刻画周期性？

设计思路：由生活中的自然现象自然过渡到数学课堂中，使学生感受到数学源于生活。

环节2：观察分析，形成概念

问题1：观察正弦函数、余弦函数的图像，指出它的定义域和值域分别是什么？

设计思路：学生们容易想到正、余弦函数就是周期函数的代表。首先，带领学生回顾其图像，得到正弦函数、余弦函数的定义域和值域，为本节课的难点做铺垫。

问题2：正弦函数图像有何规律？其本质是什么？

设计思路：“教学过程是一种提出问题和解决问题的持续不断的活动，思维永远是从问题开始。”留给学生充分的时间，进行小组讨论，之后请小组代表汇报结果。学生可以得到该图像是以2π、4π等为单位的周而复始的变化。但对于其本质，部分同学难以表达。

问题3：观察下面的图形和三组点，分析并总结这几组点有什么共同特征？

设计思路：对于正弦函数图像规律的本质，一些同学难以理解。我以2π为周期为例，化抽象为形象，帮助学生理解周期函数的本质，为概念形成打下良好的基础。让学生观察几组特殊点，分析共同属性，同学们经过交流，抽象得到其本质。

问题4：你能将正弦函数的周期性推广到一般函数，得到周期函数的定义么？

定义：对于函数f（x），如果存在一个非零常数T，使得当X取定义域内的每一个值时，都有f（x+T）=f（x），那么f（x）就叫周期函数。非零常数T叫做这个函数的周期。

设计思路：趁热打铁，启发同学们将它推广到一般函数，在小组中交流后，形成周期函数的概念。这样的设计有利于培养学生观察、分析、抽象概括的能力，培养学生的六大核心素养之一——抽象素养，同时，进一步渗透数形结合的思想方法。

问题5：一个函数的周期是唯一的么？其周期中最小的正数是多少？

生：不是唯一的，例如正弦函数的周期有2π，4π，6π…，最小正数是2π。

此时，我便给出最小正周期的概念：如果在周期函数f（x）的所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f（x）的最小正周期（如果不加特别说明，周期一般都是指函数的最小正周期）。

设计意图：直接给出最小正周期的概念，以概念同化的形式让学生学习此概念，扩大了学生原有的认知结构。

问题6：是不是每一个周期函数都有最小正周期呢？

生：常函数f（x）=c没有最小正周期。

设计思路：学生通过对已学的函数进行讨论，得到常函数没有最小正周期。

问题7：我们已经基本掌握了正弦函数的周期性，通过类比的方法，你能得到余弦函数的周期性么？

师：正弦函数是周期函数，2kπ（k∈Z，k≠0）都是它的周期，最小正周期是2π。

生：余弦函数是周期函数，2kπ（k∈Z，k≠0）都是它的周期，最小正周期是2π。

设计思路：学生通过类比的方法，进行知识性的小结，再次理解函数的周期性。

环节3：合作探究，深入理解

探究1：用定义法求下列函数的周期。

设计思路：本环节是这节课的难点。我采用由一般到特殊的方法，先给出一个例题，请同学们独立完成。本题既是对周期函数定义的考察，又是为探究正余弦型函数周期公式做铺垫，起着承上启下的作用。我将对一二题进行分析，首先看第一题，观察f（x）的形式，由正弦函数的周期为2π得到f（x+T）的形式，T既是此函数的周期。再看第二题，需要将2x看成一个整体，同理得到其周期周期。通过对前两题的分析，让同学们对第三题进行整理、分析、交流、展示。

探究2：你能从探究1的解题过程中，猜想出y=Asin（ωx+φ）（x∈R）（其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω?0）的周期与解析式里的哪些量有关？

设计思路：同学们在小组内交流后发现：（1）ω=1，T=2π；（2）ω=，T=π ，得到函数的周期仅与ω的值有关，并猜想得到周期公式 。数学是抽象的，为了让学生形象感知，我将在几何画板中，通过改变A、W、Q量，验证此猜想的一般性。同时，数学也是严谨的，学生类比探究1的第（3）题的证明演绎推理得到该函数周期公式。同理，得到余弦型函数周期公式。

环节4：运用新知，巩固提升

练习1：求函数 的周期。

变式：求函数 的周期。

练习2：若钟摆的高度h（mm）与时间t（s）之间的函数关系如图所示.

（1）求该函数的周期；

（2）求t=10s时钟摆的高度。

设计思路：学生知识的掌握是通过“学得”和“习得”而来的，所以我给出了两道练习题。练习1是基本型的，直接利用公式，目的是强化学生对公式的理解，变式是对公式的灵活运用，需要先应用诱导公式。练习2是一道实际应用题，不仅考察了学生对周期函数的理解，还体现了数学的应用价值。

环节5：温故反思，任务后延

1.温顾反思

（1）本节课你学习了哪些知识？

（2）本节课你学习了哪些思想方法？

设计思路：我以学生为主体归纳本节所学知识和思想方法。目的是帮助学生建构知识体系，深化认知结构。

2.任务后延

必做题：课本P36：练习1、练习2

选做题：你认为求函数y=Asin（ωx+φ）（x∈R）和y=Acos（ωx+φ）（x∈R）（其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω?0）的方法能否推广到一般函数的周期上去？即命题：

“如果函数f（x）的周期是T，那么函数y=f（x）的周期是 ”是否成立？

设计思路：针对学生差异我设计了必做题和选做题，这样使人人都学数学，不同的人在数学上得到不同的发展。

六、板书设计

七、设计分析

本课在“教师为主导，学生为主体”的教学思想的指导下，以周期函数概念的形成，正弦函数、余弦函数的周期性，正弦型、余弦型函数周期公式作为明线，让学生由感性认识上升到理性认识，感受其应用价值。在教学当中，我还将通过学生的课堂反馈及时调整自己的教学内容和方法，使自己的教更好的服务于学生的学。

参考文献：

[1]何小亚.中学数学教学设计[M].北京：科学出版社，2012：249.

[2]孙培青.教育名言录.上海：上海教育出版社，1984：67.

三角函数周期与最值教案 第5篇

时间：2017-9-12 授课班级：高三（5）班

授课内容：三角函数的周期与最值 教学目标： 掌握三角函数的最小正周期的求法。掌握能化成形如yAsin(x)b的三角函数的最值的求法。3 有范围限制的三角函数最值的求法

教学重点：把形如yasinxbcosx的三角函数化成yAsin(x)b的形式的方法与技巧。

教学过程：

回顾上节课内容，导入新课

复习上节课三角函数的图像以及求单调区间，对称轴，对称中心。

新课讲授：

一．三角函数的周期（最小正周期）

2(x)b

T=

1.yAsin（w>0）

2 2.yAcos(x)b

T=（w>0）

x)b

T=（w>0）3.yAtan(

二.三角函数的最值

1.形如yAsin(x)b（x∈R）的最值

若A>0时，ymaxA

yminA

若A<0时，ymaxA

yminA 注:有范围限制时需结合图像求值域

2.辅助角公式

yasinxbcosxaba2b2(sinxcosx)

2222ababa2b2sin(x)

(其中cosaab22，sinbab22)yasinxbcosxabcos(x—)22

（其中sinaab22，cosbab22）

三.例题：

1.选择题

x)+1是（）4

A

最小正周期为的奇函数

B

最小正周期为的偶函数

C

最小正周期为的奇函数

D

最小正周期为的非奇非偶函数

2.填空题

sin2xcos2x函数y=的最小正周期

cos2xsin2x

3.解答题

已知函数f(x)=sin2xsinxsin(x)

（1）求f(x)的最小正周期



（2）当x∈﹝0，）时，求f（x）的值域

2函数y=-2cos2（练习题:

求y23sinx2cos(x),x0,的最大值 3

函数周期性公式及推导 第6篇

设函数f(x)在区间X上有定义，若存在一一个与x无关的`正数T,使对于任一x∈X,恒有f(x+T)=f(x)

则称f(x)是以T为周期的周期函数，把满足上式的最小正数T称为函数f(x)的周期。

周期函数的运算性质:

①若T为f(x)的周期,则f(ax+b)的周期为T/al。

②若f(x),g(x)均是以T为周期的函数,则f(X)+g(X)也是以T为周期的函数。