多元函数微分学复习课

多元函数微分学复习课（精选6篇）

多元函数微分学复习课 第1篇

第六章 多元函数微分学及其应用

6.1 多元函数的基本概念 一、二元函数的极限

定义 f(P)= f(x，y)的定义域为D, oP0(x0,y0)是D的聚点.对常数A，对于任意给定的正数，总存在正数，使得当点P(x，y)∈D U(P0,)，即

0|P0P|

(xx0)(yy0)22

时，都有

|f(P)–A|=|f(x，y)–A|<



成立，那么就称常数A为函数f(x，y)当(x，y)→(x0，(x,y)(x0,y0)y0)时的极限，记作

y0)), lim f(x,y)A或f(x，y)→A((x，y)→(x0,也记作

PP0limf(P)A

或

f(P)→A(P→P0)为了区别于一元函数的极限，上述二元函数的极限也称做二重极限.二、二元函数的连续性

(x,y)(x0,y0)limf(x,y)f

(x0,y0)，(x,y)(0,0)limz0

如果函数f(x , y)在D的每一点都连续，那么就称函数f(x , y)在D上连续，或者称f(x , y)是D上的连续函数.如果函数f(x , y)在点P0(x0,y0)不连续，则称P0(x0,y0)为函数f(x , y)的间断点.多元连续函数的和、差、积仍为连续函数；连续函数的商在分母不为零处仍连续；多元连续函数的复合函数也是连续函数。一切多元初等函数在其定义区域内是连续的.多元初等函数的极限值就是函数在该点的函数值，即

pp0limf(P)f(P0).有界性与最大值最小值定理 在有界闭区域D上的多元连续函数，必定在D上有界，且能取得它的最大值和最小值.介值定理 在有界闭区域D上的多元连续函数必取复介于最大值和最小值之间的任何值。

三、例题 例1 设f(x,y)xyg(xy)，已知f(x,0)xf(x,0)xg(x)x222，求

f(x,y)的表达式。

2解 由题设，有g(x)xx2，于是

。f(x,y)xy[(xy)(xy)]，即 f(x,y)(xy)2y例2 证明极限limxyxy623不存在。

x0y0 证 当(x,y)沿三次抛物线ykx

3趋于(0,0)时，有

limxyxyxyxy。

623623x0y0limxkx62336x0y0xkxlimk1k2

x0y0其值随k去不同值而取不同值。故极限lim不存在。

x0y0 例3 求极限limxy11xy2222x0y0 解

原式limxy2222x0y0xy1xy11zx2212limxx0y022y22xy0

6.2 偏导数与高阶导数 6.2.1 偏导数

一、概念

说明对x求导视zf(x,y)，ylimf(xx,y)f(x,y)x

x0为常数，几何意义也说明了这个问题

二元函数z=f(x , y)在点M0(偏导数数

x0,y0)的偏导数有下述几何意义.0fx(x0,y0)，就是曲面zf(x,y)与平面yy0的交线在点M0处的切线M0Tx对x轴的斜率.同样，偏导fy(x0,y0)的几何意义是曲面zf(x,y)与平面x=x0的交线在点M 2 基于如上理由，求

处的切线M0Ty对y轴的斜率.zx(x0,y0)时，（因此可能简化函数）再对xy0可先代入，求导

例 f(x,y)xarctany(xarctany(xarctany))，求fx(1,0)。

n重 解 f(x,0)x，fx(x,0)1，fx(1,0)1

二、可微，偏导数存在，连续的关系

偏导数存在可微连续

三、高阶偏导数

设函数z=f(x , y)在区域D内具有偏导数，偏导数连续可微，fxy和

fyx都连续，则

fxy=

fyx;

zx2fx(x,y),zyfy(x,y)，则这两个函数的偏导数称为函数z=f(x , y)的二阶

2偏导数。按照对变量求导次序的不同有下列四个二阶偏导数：

zzzzf(x,y),fxy(x,y),xx2xxxyxxyzxyzf(x,y),yxyyx2zyzfyy(x,y).2y2

四、偏导数，微分运算公式 1．z 2．dz f(x,y)，uu(x,y)，vv(x,y)

zxfuuxfvvx

zyfuuyfvvy

fudufvdvfu(udxuydy)fv(vdxvydy)xx(fuufvv)dx(fuuyfvvy)dyxx

d(uv)dudvd(uv)udvvduzx2

uvduudvd2vv

3．F(x,y,z)0 确定zz(x,y)，FxFz；

zy2FyFz6.2.2 求偏导数算例 例1（1）zarctanxy1xy，求

zx，zy，zx22，zxy。

解 zx1xy11xy11y221(1xy)(xy)(y)(1xy)11x2

由对称性 zy2，zx2222x(1x)，求

22；

2zxy220；（2）ulnxyz2ux22uy2uz2。

解ux122x222xyzxxyz22，2 ux由对称性 222xyzx2x(xyz)22222222222xyz2222222222(xyz)22

uy222xyz222，uz1222(xyz)uy22xyz2(xyz)2

故 ux2uz22xyz222。

（3）xy22f(x,y)xy0x022xy0，求

fx(0,0)，fy(0,0)

xy022 解 fx(0,0)limx0x0x220，同理fy(0,0)0；

ux，例2 uyf(xy,xy)，求

uxy2。

解 ux22yf12xf2y2xyf1yf2

uxy

(2y)f12x2yf2y2f21(2y)f22x 2xf12xyf1122x2yf122yf22y3f21xy2f22 2xf14xyf11

例3

zyzf(xy,)g，求

xyxxy2

解

yyf1yf22g2xxx2z

11y1xf12f1yf11ffxf2222221xyxxxxy1yy12f23f222gf12ff1xyf11xxxxxy)，求du。例4 uf(xy,xy,x解（1）z1xx2gg

yx2g1x

y3 duuxdxuydy

u1yuf1f2(1)f3f1f2f32；xxxy

故

y1duf1f22f3dxf1f2f3dy xxxdyydxd(xy)f2d(xy)f3解（2）duf12x

f1(dxdy)f2(dxdy)f3[f1f2yx2xdyydxx1x2

f3]dx[f1f2f3]dy

例5 设zz(x,y)由方程F(xzy,yzx)0，确定，F有连续一阶偏导数，求

zx，zy。

解（1）方程两边对x求导

zzxz0 F11xF2x2yxzyzF12F2xyF1F2zxx11xxF1yF2F1F2yx；

方程两边对y求导

zyz1zyFF11220 yxyzxzFFFxyF2122zyy 11yxF1yF2F1F2yxzy)F2d(yzx2；

解（2）方程两边取微分 F1d(x)0)F2(dyzy2F1(dxydzzdyyzx2xdzzdxx2)0

(F1

F2)dx(1yF11xF1F2)dy dzF2xyF1yzF2； 则 zxF11yF1zx12F2F2xyF1yzxxF1yF2F2；

zxxxF1yF2dydxx 例6 设yf(x,t)，tt(x,y)由F(x,y,t)0确定F,f可微，求。

解（1）对方程取微分

(1)dyfxdxftdtFxdxFydyFtdt0(2)dyfxdxft0

由（1）解得dt代入（2）得 FxdxFydyFt

则 FxFtfx/ftFxftFtfxdydxdxFtFfFytFyft解（2）

dy，即

dxFxftFtfxFyftF

yf(x,t(x,y))

dyttdyfxftdxxydx

dydxfxft1ftt 而xtyxtxFxFt；

tyux22FyFt，则

dydxFxftFtfxFyftF2

y， 例7 证明：当y时，方程x22xyuxy2y2uy20可化成标准形式

u220，其中uu(x,y)二阶偏导数连续。

证明：将u看成由u(,)，而yx，y复合成x,y的函数，uu((x,y),(y))

则 ux2ux2uuu1uuyu2；

xyyyx22yu1u22；

2xyxxx

ux222uyuy2223xxu21u

u22221u1uu1u1

222yxxx2则 xux222xyuxy2y2u22y2u220u220

小结

① 显函数（复合）二阶混合偏导数

② 隐函数求偏导，会用微分法，用复合法习题 1．zf(u)，u由方程u(u)

xyp(t)dt确定的x,y的函数，f,可微，P,连续，(u)1，求P(y)zxP(x)zy

（答案：0）（蔡 P146）

22．zz(x,y)由zexyz确定，求

zxy；

23．F(xy,yz)1确定了隐函数zz(x,y)，Fyy(x),zz(x)是由方程zxf(xy)和

具有连续二阶偏导数求

zyx

4．设5．t6．zF(x,y,z)0确定，f,F有连续偏导数，求

dzdx。

0，f可微且满足

kf(tx,ty,tz)tf(x,y,z)，证明 xfxyfyzfzkf。

。f(x,y)于(1,1)点可微，且f(1,1)1，fx(1,1)23x1。，fy(1,1)3。(x)f(x,f(x,x))求ddx[(x)]ux2y7．设变换vxay8．设可把方程6zx22zxy2zyx220化简为

zuvzx22202，求常数a的值。（a＝3）。

f(u)u有连续二阶导数，而uzf(esiny)满足

zy2ez2x，求

f(u)。（f(u)c1ec2e）

6.2 偏导数应用

偏导数应用注意四个方面：空间曲面曲线切平面、法线、切线、法平面；方向导数；梯度、散度、旋度；极值与条件极值。

6.3.1 内容小结

1． 空间曲线切线与法平面

xx(t)1）yy(t)

zz(t)切向量v(xt,yt,zt)

切线方程：

xx0xtyy0ytzz0zt

(x法平面方程：xtx0)yt(yy0)zt(zz0)0

xxyy(x)yy(x)2）zz(x)zz(x)切线方程：

v(1,y,z)类似的

xx01yy0yzz0z

法平面方程：xx0y(yy0)z(zz0)0

Fzz0F(x,z,y)0xxFxFyy3）v(1,y,z)xxG(x,y,z)0GxGyyxGzzx02． 空间曲面切平面与法线

1）F(x,y,z)0,n(Fx,Fy,Fz)|P0切平面：Fx|p0法线：

(xx0)Fy|p0(yy0)Fz|p0(zz0)0xx0Fx|p0yy0Fy|p0zz0Fz|p0

2）zf(x,y)Ff(x,y)zn(fx,fy,1)

切平面：类似地

fx(xx0)fy(yy0)(zz0)0

法线：xx0fxyy0fyzz01

xx(u,v)3）*yy(u,v)

zz(u,v)（参数方程形式）

切线 ,yu,zu),v2(xv,yv,zv)v1(xuixvjyuyvnv1v2xu(y,z)(z,x)(x,y)zu(u,v),(u,v),(u,v)zvk

3． 方向导数

uu(x,y,z)uluxcosuycosuzcosgradul（梯度在l方向投影）

4． 梯度、散度、旋度

，

xyzuuugraduu，xyz

divAAPxQyRz

rotAAixPjyQkzR

6.3.2 例题

例1 求曲线xt,yt,zt223上与平面x2yz4平行的切线方程。

解 切向量2(1,2t,3t)，n(1,2,1)由n，则n0，即，14t3t0t11,t2当t1时 (1,2,3),x11,y11,z11，切线方程为13x11y12z13

当t时 2(1,21111,),x2,y1,z1333927，x切线方程为13y11923z13127

22xy10例2 求空间曲线22xz10在点(3,1,1)处的切线方程和法平面方程。

解 22xy1022xz10确定了

yy(x),zz(x)，对x求导2x2yy02x2zz0x3y13，yzz13

xyxz

于

1法平面方程为x33(y1)3(z1)0，即x3y3z30 例3 求曲面x2M(3,1,1)点：y3,z3,v(1,3,3)切线方程为 yzx的切平面。使之与平面xy22z22垂直，同时也与xyz2垂直。

解 切平面法向量n(2x1,2y,2z)，n1(1,1,12)，n2(1,1,1)，依题意

n1n0

既有2x 12yz0

（1）

（2）n2n0 2x12y12z0

联立（1）（2）和原方程 22x42得解y4z022x42，y4z0

 n012222，0，n02,,0 2222切平面22(x242)22(y24)0

即

xyxy121222

得

22222x(y)0 2424x2y3z222即

例4 求u解 令

在(1,1,1)点沿x2yz3的外法线方向的方向导数。

22222F(x,y,z)xyz3，Fx2x,Fy2y,Fz2z于P(1,1,1)点n(2,2,2)，n(13,13,13)

unuxcosuycosuzcos111122x4y6z|43(1,1,1)3333

例5 设f(x,y)在fL3|p0fx1111p0点可微，L1，,L222227。，fL11,fL20

试确定L3使52fycos11，fL2fxcos2fycos20，则 解 fL1cos1 fxfx12fy121fx12y,f12

1f10y22 设L3(cos3,cos3)

从而fL3fxcos375fxcos375235 即

1245cos3 此时cos12cos345或cos752

cos3sin3，解得cos3或cos33335

34即L3,55例6 或L3243, 552 ulnxyz2，求div2(gradu)。

解 div(gradu)(u)u12ln(xyz)222ux22uy222uz22。

u，2ux22xxyz222222，2222ux22xyzx2x(xyz)xyz222(xyz)

由对称性 uy22xyz222222(xyz)2，uz22xyz222222(xyz)2

从而 div(gradu)1xyz222

例7 设a, b, c为常数，F证明(u,v)有连续一阶偏导数。

证 xayb,)0上任一点切平面都通过某定点。zczc11xayb，FyF2，FFFxF1Fz1222zczc(zc)(zc)F（则切平面方程为 F1取1zc(Xx)F21zc(Yy)1(zc)2F(xa)F2(yb)(zy)0

xa,Yb,Zc，则对任一的(x,y,z)点上式均满足，即过任一点的切平面都过(a,b,c)点。

。(xaz,ybz)0上任一点切平面都通过某定直线平行（F具有连续偏导数）

例8 设a,b为常数，证明曲面F证

FxF1，FyF2，FzaF1bF2，即n(F1,F2,aF1bF2)，取l(a,b,1)，则nl0，nl，曲面平行l，取直线

xx0ayy0bzz01，则曲面上任一点的切平面都与上述直线平行。例9 求二元函数u5方向导数最大？这个最大的方向导数值是多少？u沿那个方向减少得最快，沿哪个方向u的值不变？

解 xxyy22在点M(1,1)沿方向n1(2,1)的方向导数，并指出u在该点沿哪个方向的gradu|(1,1)(2xy,2yx)|(1,1)(3,3)，uM在点M(1,1)沿n方向的方向导数为

un132(gradu)n|M(3,3),555，方向导数取得最大值的方向为梯度方向，其最大值为为求使u变化的变化率为零的方向，令l

gradu|M32，u沿负梯度方向减少最快。

(cos,sin)，则，ululM(gradu|M)l3cos3sin32sin44或令0，得4，故在点(1,1)处沿4和4函数u得值不变化。

例10 一条鲨鱼在发现血腥味时，总是沿血腥味最浓的方向追寻。在海上进行试验表明，如果血源在海平面上，建立坐标系味：坐标原点在血源处，xOy2坐标面为海平面，Oz轴铅直向下，则点(x,224y,z)处血源的浓度C（每百万份水中所含血的份数）的近似值Ce(xy2z)/10。

（1）求鲨鱼从点1,1,1（单位为海里）出发向血源前进的路线2的方程；

（2）若鲨鱼以40海里/小时的速度前进，鲨鱼从1,1,1点出发需要用多少时间才能到达血源处？ 2解（1）鲨鱼追踪最强的血腥味，所以每一瞬时它都将按血液浓度变化最快，即C的梯度方向前进。由梯度的计算公式，得

2224CCC4(xy2z)/10gradC，10e(2x.2y,4z)xyz设曲线的方程为xx(t)，yy(t)，zz(t)，则的切线向量(dx,dy,dz)必与gradC平行，从而有 dx2xdy2ydz4z

解初始值问题

dydx2y2xy|1x1dzdx2x4zz|1x12

得

yx

解初始值问题

得

z12x2，所以所求曲线的方程为

xx，yx，z 12（2）曲线的长度 x2(0x1)s101yzdxxxln(31)2210x2xdx22x2ln(x2x1)

03212ln2（海里）

31)1。ln2（小时）

2因此到达血源处所用的时间为T6.4 多元函数的极值

13ln(402

一、无条件极值 限于二元函数zf(x,y)

1． z0x求驻点z0y驻点P

2． 于驻点P处计算Azx22，Bzxy2，Czy22。B2AC0是极值点，A0可取得极小值，A0可取极大值。

3． 条件极值：minuf(x,y,z)S.t.(x,y,z)0，令

Lf(x,y,z)(x,y,z)求无条件极值。

例1 求内接于椭球面，且棱平行对称轴的体积最大的长方体。

解 设椭球面方程为 xa22yb22zc221，长方体于第一卦限上的点的坐标为(x,y,z)，则

V8xyz，s.t.xa 22yb22zc221，令

2xa222x2yz L8xyz1a2b2c28yzLxL8xzy8xyLz及0(1)0(2)0(3)2yb2zc22xa22yb22zc221

由（1）（2）（3）得xa22b3yb22zc22tc3，代入（3）得t13，从而 xa3，y2，z22，此时V8abc33839abc。

例2 求由方程2x2yz8xzz80所确定的二元函数zf(x,y)的极值。解

方程两边对x,y求偏导数得：

4x2zzx8z8xzxzx0

„（1）

4y2zzy8xzyzy0

„（2）

4x8z016和原方程联立得驻点(2,0)，(,0)0，得x74y0y方程（1）对x,y再求偏导，方程（2）对y求偏导 令z0，z。

zzzzzz42888x0 2z222xxxxxx2zzyx2z22222„（3）

zxy282zy8x2zxy22zxy20

„（4）

zzzz

422z8x0

222yyyy将驻点(2,0)代入（此时z1）

„（5）

42A16AA0

AC415415

2B16BB0

B0

242C16CC0

BAC0，z1是极小值（因A>0）

将驻点8（4）（5）（此时z,0代入（3）

7716），同上过程有

A 415，B0，C415，2BAC0，A0，z87是极大值。

习题： 1 设uF(x,y,z)在条件(x,y,z)0和(x,y,z)0限制下，在P0(x0,y0,z0)处取得极值mFx1Lx20xx

。证明F(x,y,z)m，(x,y,z)0，(x,y,z)0在P0点法线共面。

正：L F(x,y,z)m12LFy120yyy

Fz1Lz20 zzFxxyzx0yzxyz5r2222由于(1,1,2)0，从而原方程有非零解，及系数矩阵为0FyFz，即三法向量共面。

2． 设f(x,y,z)lnxlny3lnz。点

3(x,y,z)在第一卦限球面

3上，①求f(x,y,z)的最大值。②证明 对任意正数a,b,c成立abc

abc275。

习题课

ye例1 设f(xy,lnx)1，求f(x,y)yxxeln(x)解 令xyu，lnxv。

yef(u,v)f(xy,lnx)1yxxeln(x)

xxxyxueveu2vexyxlnx(xy)ee2lnxxylnx

所以

f(x,y)xeyex2y.例2 讨论limxyxy是否存在.x0y0 解

当点 P(x,y)沿直线ykx趋向（0，0）时，limxyxy2ykxx0limxkxxkxx0limkx1kx00

(k1)，当点P(x,y)沿直线yxxlim2xyxy趋向（0，0）时，yxxx0lim2x(xx)x(xx)22lim(x1)1yxxx0x01，所以limxyxy不存在.x0y0 例3 22(xy)sinzf(x,y)0在（0，0）处是否连续？

1xy22(xy0)，22(xy0),22（1）（2）（3）（4）fx(0,0),fy(0,0)是否存在？

偏导数fx(x,y),fy(x,y)在（0，0）处是否连续？

f(x,y)在（0，0）处是否可微？

f(x,y)在（0，0）处是否连续，只要看limf(x,y)＝f(0,0)是否成立.因为

x0y0解

（1）函数 limf(x,y)lim(xy)sinx0y0221xy22

x0y0

limsin0210f(0,0).所以

f(x,y)在（0，0）处连续.（2）如同一元函数一样，分段函数在分界点处的偏导数应按定义来求.因为

(x)sinx021(x)x1(x)220 limf(x,0)f(0,0)xlimx0limxsinx00,所以

(3)fx(0,0)0，类似地可求得fy(0,0)0.当(x,y)(0,0)时

fx(x,y)2xsin

1xy1xy2222(xy)cosxxy22221xy221222xx2y23

2xsincos1xy2.因为 limfx(x,y)lim2xsinx0x0y0y01xy22xxy22cos不存在.22xy1所以 fx(x,y)在（0，0）处不连续。同理fy(x,y)在（0，0）处也不连续

（4）由于由fx(x,y),fy(x,y)在（0，0）处不连续，所以只能按定义判别f(x,y)在（0，0）处是否可微.fx(0,0)0，fy(0,0)0，故

x0y0limz[fx(0,0)xfy(0,0)y](x)(y)222

[(x)(y)]sinlimx0y02221(x)(y)220(x)(y)(x)(y)sin122 lim1(x)(y)22

x0y0limsinx0y00由全微分定义知f(x,y)在（0，0）处可微，且df(0,0)0.f(x,y,z)，zg(x,y)，yh(x,t)，t 例4 设u(x)，求

dudx.解

对于复合函数求导来说，最主要的是搞清变量之间的关系.哪些是自变量，哪些是中间变量，可借助于“树图”来分析.图9－1 由上图可见，u最终是x的函数，y，z，t都是中间变量.所以

dudxfxfxfhhdfgghhdyxtdxzxyxtdxfhyxfhdytdxfgzxfghzyx.fghdzytdx 从最后结论可以看出:若对x求导数(或求偏导数),有几条线通到”树梢”上的x,结果中就应有几项,而每一项又都是一条线上的函数对变量的导数或偏导数的乘积.简言之,按线相乘,分线相加 例5 z12xfxy1f2，f 可导，求zx.解 zx1f2x.y

例6 已知yetyx，而t是由方程ytx1确定的x，y的函数，求

ty222dydx.解

将两个方程对x求导数，得

ye(tyyt)12yy2tt2x0

解方程可得

2dydxtxye2ty2tyt(yt)e.例7 求曲面x2y3z21平行于平面x4y6z0的切平面方程.解

曲面在点(x,y,z)的法向量为 n ＝(Fx,Fy,Fz)(2x,4y,6z)，2x14y42已知平面的法向量为n1＝(1，4，6),因为切平面与已知平面平行，所以n//n1,从而有

6z6（1）

又因为点在曲面上，应满足曲面方程

x2y3z212

（2）

由（1）、（2）解得切点为(1,2,2)及(1,2,2), 所求切平面方程为：

或(x1)4(y2)6(z2)0(x1)4(y2)6(z2)012,1,1)。

这里特别要指出的是不要将n//n1不经意的写成n=n1,从而得出切点为(例8 在椭球面2x222的错误结论.2222yz1上求一点，使函数f(x,y,z)xyzel在该点沿l＝(1,–1,0)方向的方向导数最大.11,,0，22所以 fl fx12fy12fz20

2(xy)2(xy)在条件2x由题意，要考查函数

2yz1下的最大值，为此构造拉格朗日函数

222F(x,y,z)2(xy)(2x2yz1)，14

Fx24x0,Fy24y0, Fz2z0,2222x2yz1.解得可能取极值的点为 11,,0 22 及

11，0.222，因为所要求的最大值一定存在，比较

fl11,,022fl11，02222知12,1,02为所求的点.例9 求函数zxy222在圆(x22)(y22)9上的最大值与最小值.0,zy0，解得点(0,0).显然z(0,0)=0为最小值.解

先求函数z再求z2xy2在圆内的可能极值点.为此令zxxy在圆上的最大、最小值.为此做拉格朗日函数

22F(x,y)xy[(x2)(y22)9]，2Fx2x2(x2)0,Fy2y2(y2)0,22(x2)(y2)9.，代入（3）解得

(1)(2)(3)由（1）、（2）可知xy xy522，和

xy22，5252z,2225221.z,222)(y25252,22为z25，最小值为z0.比较z(0,0)、z

22、z三值可知：在(x,222)92上，最大值

多元函数微分学复习课 第2篇

一、平面点集与多元函数

（一）平面点集:平面点集的表示: E{(x,y)|(x,y)满足的条件}.1.常见平面点集:

⑴ 全平面和半平面: {(x,y)|x0}, {(x,y)|x0}, {(x,y)|xa}, {(x,y)|yaxb}等.⑵ 矩形域: [a,b][c,d], {(x,y)|x||y|1}.⑶ 圆域: 开圆, 闭圆, 圆环.圆的个部分.极坐标表示, 特别是 {(r,)|r2acos}和{(r,)|r2asin}.⑷ 角域: {(r,)|}.⑸ 简单域:X型域和Y型域.2.邻域: 圆邻域和方邻域，圆邻域内有方邻域，方邻域内有圆邻域.空心邻域和实心邻域, 空心方邻域与集

{(x,y)|0|xx0| , 0|yy0|}的区别.（二）点集的基本概念: 1.内点、外点和界点：集合E的全体内点集表示为intE, 边界表示为E.集合的内点E, 外点E, 界点不定.2.聚点和孤立点: 孤立点必为界点.例1 确定集E{(x,y)|3.开集和闭集: 1(x1)2(y2)24 }的内点、外点集、边界和聚点.intEE时称E为开集,E的聚点集E时称E为闭集.存在非开非闭集.R2和空集为既开又闭集.4.开区域、闭区域、区域：以上常见平面点集均为区域.5.有界集与无界集: 6.点集的直径d(E)：两点的距离(P1 , P2).7.三角不等式：

|x1x2|（或|y1y2|）(x1x2)2(y1y2)2 |x1x2||y1y2|.（三）二元函数: 1.二元函数的定义、记法、图象： 2.定义域： 例4 求定义域：

ⅰ> f(x,y)3.有界函数: 4.n元函数: 9x2y2x2y21;ⅱ> f(x,y)lny.ln(yx21)

二、二元函数的极限

（一）.二元函数的极限: 1.二重极限limf(P)A的定义: 也可记为PP0PD(x,y)(x0,y0)limf(x,y)A或xx0yy0limf(x,y)A

例1 用“”定义验证极限

(x,y)(2,1)lim(x2xyy2)7.[1]P94 E1.xy20.例2 用“”定义验证极限 lim2x0xy2y0x2y2,(x,y)(0,0),xy例3 设f(x,y)x2y

20 ,(x,y)(0,0). 证明(x,y)(0,0)limf(x,y)0.(用极坐标变换)

PP0PETh 1 limf(P)A对D的每一个子集E ,只要点P0是E的聚点,就有limf(P)A.PP0PD推论1 设E1D,P0是E1的聚点.若极限limf(P)不存在, 则极限limf(P)也不存在.PP0PE1PP0PD推论2 设E1,E2D,P0是E1和E2的聚点.若存在极限limf(P)A1,limf(P)A2，PP0PE1PP0PE2但A1A2,则极限limf(P)不存在.PP0PD推论3 极限limf(P)存在对D内任一点列{ Pn },PnP0但PnP0,数列{f(Pn)}PP0PD xy ,(x,y)(0,0),22收敛 例4 设f(x,y)xy 证明极限limf(x,y)不存在.(x,y)(0,0)0 ,(x,y)(0,0).(考虑沿直线ykx的方向极限).例5 设f(x,y)1,0,当0yx2,x时，证明极限limf(x,y)不

(x,y)(0,0)其余部分.存在.二重极限具有与一元函数极限类似的运算性质.例6 求下列极限: ⅰ>(x,y)(0,0)limsinxyx2ylim;ⅱ>;(x,y)(3,0)yx2y2 ⅲ>(x,y)(0,0)limxy11ln(1x2y2);ⅳ> lim.22(x,y)(0,0)xyxyf(x,y)的定义: 3． 极限(x,y)(x0,y0)lim其他类型的非正常极限，(x,y)无穷远点的情况.例7 验证(x,y)(0,0)lim1.222x3yEx

[1]P99—100 1⑴—⑹，4，5.（二）累次极限:

1.累次极限的定义: 定义.例8 设f(x,y)xy, 求在点(0 , 0)的两个累次极限.22xyx2y2例9 设f(x,y)2, 求在点(0 , 0)的两个累次极限.2xy例10 设f(x,y)xsin11ysin, 求在点(0 , 0)的两个累次极限与二重极限.yx 2.二重极限与累次极限的关系:

⑴ 两个累次极限存在时, 可以不相等.(例9)

⑵ 两个累次极限中的一个存在时, 另一个可以不存在.例如函数f(x,y)xsin1y在点(0 , 0)的情况.⑶ 二重极限存在时, 两个累次极限可以不存在.(例10)

⑷ 两个累次极限存在(甚至相等)二重极限存在.(参阅例4和例8).综上, 二重极限、两个累次极限三者的存在性彼此没有关系.但有以下确定关系.Th 2 若全面极限(x,y)(x0,y0)limf(x,y)和累次极限limlimf(x,y)(或另一次序)都存在,则

xx0yy0必相等.推论1 二重极限和两个累次极限三者都存在时, 三者相等.注: 推论1给出了累次极限次序可换的一个充分条件.推论2 两个累次极限存在但不相等时, 全面极限不存在.注: 两个累次极限中一个存在,另一个不存在全面极限不存在.参阅⑵的例.三、二元函数的连续性

（一）二元函数的连续概念：

xy22 , xy0 ,22xy例1 设f(x,y)

m , x2y20.1m2证明函数f(x,y)在点(0 , 0)沿方向ymx连续.1 , 0yx2, x ,例1 设f(x,y)

浅谈多元函数微分学的奇妙性 第3篇

1.偏导数存在函数不一定连续, 函数连续偏导数不一定存在

例1试证在点 (0, 0) 处两个偏导数f'x (0, 0) 和f'y (0, 0) 均存在, 但是, 函数f (x, y) 在该点不连续.

证明由偏导数的定义可知, 函数在 (0, 0) 点得偏导数分为两个, 对变量x求偏导和对变量y求偏导.

可以看出f (x, y) 在 (0, 0) 点两个偏导数存在.但lim (x, y) (0, 0) f (x, y) =0≠f (0, 0) =1, 极限值不等于该点的函数值, 因而函数f (x, y) 在点 (0, 0) 处不连续.

由此可得函数在一点的连续性已不再是函数在该点偏导数存在的必要条件, 这是多元函数与一元函数的本质的不同点之一.

为什么偏导数存在而函数在该点可能不连续呢?这是因为偏导数的概念是用“单一法”给出的.即函数f (x, y) 在点 (x0, y0) 处对于x的偏导数是将变量y看作常数, 令变量x变化时, 函数的变化率.因此f'x (x0, y0) 实质上是一元函数f (x, y0) 在点x0处得导数, 从f'x (x0, y0) 存在, 只能得到一元函数f (x, y0) 在点x0处连续.同理f'y (x0, y0) 只能得到一元函数f (x0, y) 在点y0处连续.综上所述, 偏导数存在不能推出函数连续.

下面通过例子讨论函数f (x, y) 在点 (x0, y0) 处连续, 但是两个偏导数不一定存在.

例2判断函数在点 (0, 0) 处的连续性及可导性.

解, 说明函数在点 (0, 0) 处连续, 但左导数不等于右导数, 故f'x (0, 0) 不存在.同理可得f'y (0, 0) 不存在.由上式可得, 由二元函数连续是不能推得偏导数存在的.

2.函数可微则函数偏导数存在, 偏导数存在不一定可微

定理1若z=f (x, y) 在点 (x, y) 可微, 则z=f (x, y) 在该点处的两个偏导数都存在, 且

证明因为函数z=f (x, y) 在点 (x, y) 可微, 即函数值的增量Δz满足:Δz=AΔx+BΔy+o (ρ) .

下面再举例说明, 函数的偏导数存在, 但是不一定可微.

例3设讨论函数在点 (0, 0) 的偏导数是否存在以及可微性.

解同样:f'y (0, 0) =0.所以f (x, y) 在点 (0, 0) 可导.我们再让点 (x, y) 沿直线y=kx趋于 (0, 0) , 则它将随x的不同而具有不同的值, 因此极限不存在, 即f (x, y) 在点 (0, 0) 不连续.又因为连续是可微的必要条件, 所以f (x, y) 在点 (0, 0) 不可微.由此可得:偏导数存在不一定可微.

那么在什么样的情况下, 偏导数存在可以得到函数可微呢?针对此问题给出定理2.

定理2若函数z=f (x, y) 在点 (x0, y0) 处的两个偏导数连续, 则z=f (x, y) 在该点一定可微, 但是z=f (x, y) 在点 (x0, y0) 处可微, 不能得到函数在该点的两个偏导数连续.

3.函数f (x, y) 在点 (x0, y0) 处的连续性和可微性的关系

多元函数积分定义的微课设计 第4篇

摘 要：本文针对多元函数积分定义的微课设计作了初步的探讨。

关键词：多元函数的积分；定义；微课；设计

多元函数积分部分是高等数学课程的核心内容之一，也是这门课程的重点和难点。多年的教学经验告诉我们定义是数学的灵魂，它直接决定着学生对这部分知识掌握的程度。因此我们将多种多元函数积分的定义放到一起构成知识单元，通过类比的方法加深学生对各类多元函数积分概念的理解，达到复杂问题简单化的目的。下面就是我们具体的做法：

首先，教师在制作微课程之前应该对该部分内容做一个系统地设计（最好是图表形式，间接直观） ，给微课制作者提供一个可行的整体方案。

我们将各类多元函数积分的定义放到一起称之为一个单元，这个单元中包含了二重积分、三重积分、第一类曲线积分、第二类曲线积分、第一类曲面积分和第二类曲面积分共六种多元函数的积分。为了更好地引入多元函数积分的定义，我们将定积分作为复习模块纳入这个单元，从而将单元划分为七个知识点；将每个知识点细分为引例、这类积分的思想方法、定义（符号）、几何或物理意义、积分域、你对这类积分的概念（符号）的理解、与定义有关的习题七个模块；说明每一个模块呈现的方式、方法（教案、视频、图片、讲义、试卷、题库等形式）；通过学习要求学生完成的线上作业，并说明此次作业成绩占单元成绩的百分比。

其次，教师团队按照之前制定的整体方案分工合作，将我们录制好的视频、图片以及讲义、试卷、题库等分类到不同模块，以不同形式上传到学校的网络教学平台，分享给学生使用。下面就以定积分和二重积分两个模块的设计来说明我们具体的做法：

定积分放到这个单元，目的是帮助学生回忆定积分的思想方法，温习定积分的定义以及它所代表的几何、物理意义，并和多元函数积分的定义形成类比。二重积分定义知识点（或其他知识点）与定积分定义知识点中的引例模块都是通过PPT教案的形式展现，通过学生线上自学完成教师提出的问题“曲边梯形面积的计算与曲顶柱体体积的计算有何异同？”。对比两类积分的引例，实质上它们采取的都是“以直代曲、以常代变、找近似和、取极限”的思想方法。为了达到学生能够灵活的运用这种方法自学其他类型积分定义的目的，这部分再通过教师讲解的微视频展现。定义（符号）以教师在纸上或黑板上讲解的有声图片形式呈现，通过类比使学生深刻理解定积分和二重积分实质上都是是离散和的极限值—也就是离散和的推广“连续和”（这样说有可能不科学，但学生可以会意地去理解），只不过它们作和的范围不同（积分域不同）；定积分在几何上代表的是曲边梯形的面积，在物理上代表变速直线运动的位移（由此引出定积分的基本公式），二重积分在几何上代表的是曲顶柱体的体积（由此引出二重积分的计算方法）。二者在物理上具有共同的特性：定积分代表直线型构件的质量，二重积分代表平面型构件的质量，并且这种物理解释可以延续到三重积分、第一类曲线和第一类曲面积分上。教师通过微视频讲解提醒学生注意，同时提出问题“如何求三维空间中的立体、曲线型、曲面型构件的质量”，这样后续模块的铺垫自然完成。

最后，教师搜集学生作业中出现的典型问题，通过线下课堂教学加以讲解纠正，将六类多元函数积分符号与其物理意义相对照书写出来（表格形式），加以比较，找到各类积分的共同点（没有方向的积分代表质量，有方向的积分代表的是功和流量）与不同点（积分域不同），让学生彻底理解各类多元函数积分的定义不过就是离散和的极限---连续和，只是不同类型的积分做和的范围不同而已。通过学生线上的学习，不仅节省了教师讲授的时间，而且使得教师的讲解更有针对性，使得像多元函数积分定义这样繁琐的问题一次性地类比解决，让学生看到多元函数的积分原来很容易，真正做到使复杂的问题简单化，轻松消化课堂上的难点，激发他们进一步研究各类积分的性质和计算方法的兴趣，达到提高教学质量的目的。

参考文献：

[1]同济大学数学系，高等数学第七版，高等教育出版社.

多元函数微分学复习课 第5篇

多元函数微分学是一元函数微分学的推广和发展，两者的处理方法有很多相似之处．由于

自变量个数的增加，多元函数的微分学又产生了很多新内容，如偏导数、全微分、方向导数、条

件极值等．本章以二元函数为主讲述有关内容．

一、多元函数的定义、极限、连续及其性质

二、偏导数与全微分

3．全微分 三、二元函数的极值

四、多元微分学的几何应用

第八章多元函数的微分法及其应用 第6篇

§ 1多元函数概念

一、设.二、求下列函数的定义域：

1、2、三、求下列极限：

1、（0）

2、()

四、证明极限不存在.证明：当沿着x轴趋于（0，0）时，极限为零，当沿着 趋于（0，0）时，极限为 ,二者不相等，所以极限不存在五、证明函数在整个xoy面上连续。

证明：当 时。当 时，所以函数在（0，0）也连续。所以函数

在整个xoy面上连续。

六、设 且当y=0时，求f(x)及z的表达式.解：f(x)=，z

§ 2偏导数

1、设z=,验证

证明：，2、求空间曲线 在点（）处切线与y轴正向夹角()

3、设 ,求(1)

4、设 , 求，解：，5、设，证明 :

6、判断下面的函数在(0,0)处是否连续？是否可导（偏导）？说明理由

连续；不存在，7、设函数 f(x,y)在点（a,b）处的偏导数存在，求

（2fx(a,b)）

§ 3全微分

1、单选题

（1）二元函数f(x,y)在点(x,y)处连续是它在该点处偏导数存在的__________

(A)必要条件而非充分条件（B）充分条件而非必要条件

（C）充分必要条件（D）既非充分又非必要条件

（2）对于二元函数f(x,y)，下列有关偏导数与全微分关系中正确的是___

(A)偏导数不连续，则全微分必不存在（B）偏导数连续，则全微分必存在（C）全微分存在，则偏导数必连续（D）全微分存在，而偏导数不一定存在2、求下列函数的全微分：

1）

2）解：

3）解：

3、设，求

解：

=

4、设求：

5、讨论函数 在（0，0）点处的连续性、偏导数、可微性

解：所以 在（0，0）点处连续。，所以可微。

§4多元复合函数的求导法则

1、设，求

解： =

2、设，求

3、设，可微，证明

4、设，其中 具有二阶连续偏导数，求，解：，=,5、设，其中 具有二阶连续偏导数、具有二阶连续导数，求

解：，6、设，，求

解：。

7、设，且变换可把方程=0化为，其中 具有二阶连续偏导数，求常数 的值

证明：

得：a=

38、设函数f(x,y)具有连续的一阶偏导数，f(1,1)=1, ,又，求和(1),(a+ab+ab2+b3)

§ 5隐函数的求导公式

1、设，求

解：令，2、设 由方程 确定，其中 可微，证明

3、设 由方程 所确定，其中 可微，求

4、设，求，(，)

5、设 由方程 所确定，可微，求

解：令，则

6、设 由方程 所确定，求()

7、设z=z(x,y)由方程所确定，求 ，,§ 6微分法在几何中的应用

1、求螺旋线在对应于 处的切线及法平面方程

解：切线方程为

法平面方程

2、求曲线在（3，4，5）处的切线及法平面方程

解：切线方程为，法平面方程：

3、求曲面 在（1，-1，2）处的切平面及法线方程

解：切平面方程为

及法线方程

4、设 可微，证明由方程 所确定的曲面在任一点处的切平面与一定向量平行

证明：令，则，所以在（）处的切平面与定向量（）平行。

5、证明曲面）上任意一点处的切平面在三个坐标轴上的截距的平方和为

证明：令，则

在任一点 处的切平面方程为

在在三个坐标轴上的截距分别为 在三个坐标轴上的截距的平方和为

证明曲面 上任意一点 处的切平面都通过原点

7、设F(x,y,z)具有连续偏导数，且对任意实数t, 总有

k为自然数，试证：曲面F(x,y,z)=0上任意一点的切平面都相交于一定点

证明 ：两边对t 求导，并令t=

1设是曲面上任意一点，则过这点的切平面为：

+ + =0

此平面过原点（0，0，0）

§ 7方向导数与梯度

1、设函数，1）求该函数在点（1，3）处的梯度。

2）在点（1，3）处沿着方向 的方向导数，并求方向导数达到最大和最小的方向

解：梯度为, 方向导数达到最大值的方向为，方向导数达到

最小值的方向为。

2、求函数 在（1，2，-1）处沿方向角为 的方向导数，并求在该点处方向导数达到最大值的方向及最大方向导数的值。

解：：方向导数为，该点处方向导数达到最大值的方向即为梯度的方向，此时最大值为

3、求函数 在（1，1，-1）处沿曲线 在（1，1，1）处的切线正方向（对应于t增大的方向）的方向导数。

解：：，该函数在点（1，1，-1）处的方

向导数为，4、求函数 在（1，1，-1）处的梯度。

解：：，§ 8多元函数的极值及求法

1、求函数 的极值。

答案：（，）极小值点

2．求函数 的极值

答案：极小值

3.函数 在点（1，1）处取得极值，求常数a(-5)

4、求函数 在条件 下的条件极值

解：，极小值为

5、欲造一个无盖的长方体容器，已知底部造价为3元/平方，侧面造价均为1元/平方，现想用36元造一个容积最大的容器，求它的尺寸。

（长和宽2米，高3米）

6、在球面（）上求一点，使函数达到极大值，并求此时的极大值。利用此极大值证明有

证明：令

令，解得驻点。所以函数 在 处达到极大值。极大值为。即，令 得。

7、求椭球面 被平面x+y+z=0截得的椭圆的长半轴与短半轴的长度

解：，长半轴，短半轴

第八章自测题

一、选择题：（每题2分，共14分）

1、设有二元函数则[]

A、存在；

B、不存在；

C、存在，且 在(0,0)处不连续；

D、存在，且 在(0,0)处连续。

2、函数 在 各一阶偏导数存在且连续是 在 连续的[]

A、必要条件；B、充分条件；

C、充要条件；D、既非必要也非充分条件。

3、函数在(0,0)点处[]

A、极限值为1；B、极限值为-1；

C、连续；D、无极限。

4、在 处，存在是函数在该点可微分的[]

（A）必要条件；（B）充分条件；

（C）充要条件；（D）既非必要亦非充分条件。

5、点 是函数 的[]

（A）极小值点；（B）驻点但非极值点；

（C）极大值点；（D）最大值点。

6、曲面 在点P(2,1,0)处的切平面方程是[]

（A）；（B）；

（C）；（D）

7、已知函数 均有一阶连续偏导数，那么 []

(A);(B);

(C);(D)

二、填空题：（每题３分，共18分）

1、（0）

２、设，则（）

３、设 则(0)

４、设，则在点 处的全微分.５、曲线 在点 处的切线方程为(６、曲线 在点(1,1,1)处的切线方程为()

三、计算题（每题6分）

1、设，求 的一阶偏导数。

2、设，求此函数在点 处的全微分。并求该函数在该点处沿着从P 到 方向的方向导数(，)

３、设 具有各二阶连续偏导数，求

解：

４、设求 和。

不存在，故 不存在，同理，也不存在。

当 时，有

５、设 由方程 所确定，求()

６、设，具有连续的二阶偏导数，可导，求

７、设 确定函数，求。

８、设，式中 二阶可导，求

解：记，则，)

类似地，有

四、（１０分）试分解正数 为三个正数之和，而使它们的倒数和为最小。设三个正数为，则，记，令

则由

解出。

五、证明题：（１０分）

试证：曲面 上任一点处的切平面都平行于一条直线，式中 连续可导。证明：曲面在任一点 处的切平面的法向量为

定直线L的方向向量若为，则，即