第一类换元积分法

第一类换元积分法（精选5篇）

第一类换元积分法 第1篇

关键词：第一换元积分法,凑微分,运用技巧

在高等数学中, 微积分学是重要的知识内容.第一换元积分法 (也叫凑微分法) 是一种重要的基本积分方法, 它的关键步骤是“凑微分”.熟练掌握和运用“凑微分”的思想方法, 对学习后续的第二换元积分法和分部积分法等积分方法有很重要的作用.由于积分是微分的逆运算, 没有固定的公式和模式可以直接套用, 需要对积分式子进行适当的变形和换元才能够利用积分公式计算出来, 所以, 初学者在学习的过程中往往对要凑微分的函数作出多次尝试, 浪费了时间.本文就第一换元积分法中的“凑微分”思想的理论依据进行解析, 总结出凑微分的具体计算方法, 帮助初学者更好地学习和掌握凑微分的知识并在积分运算中运用.

第一换元积分法是当被积表达式∫g (x) dx不容易求出积分时, 可以通过恒等变形和变量代换, 将被积表达式转化成为基本积分公式表中的某一被积表达式, 然后根据基本积分表中的某些公式, 对新变量进行积分, 最后还原求出结果.其具体的计算过程可表示为:∫g (x) d (x) =∫f[φ (x) ]φ′ (x) dx=∫f[φ (x) ]dφ (x) =∫f (u) du=F (u) +C=F[φ (x) ]+C.即“恒等变形凑微分换元积分回代”的计算过程.其中最为关键的步骤是将积分表达式中的φ′ (x) 凑成dφ (x) 的形式, 即俗称的凑微分.

1.“凑微分”思想的理论依据和知识点解析

“凑微分”思想的理论依据:其一是原函数的概念, 其二是复合函数一阶微分形式的不变性的性质.原函数的概念是不定积分的一个最基本的概念, 即:若F′ (x) =f (x) , 则F (x) 称为f (x) 的一个原函数.由微分的定义和计算公式可得:任意函数F (x) 的微分dF (x) =F′ (x) dx=f (x) dx.相对于复合函数而言, 设y=f (u) , u=φ (x) , 则复合函数y=f[φ (x) ]的微分为dy=f′ (u) φ′ (x) dx, 由于du=φ′ (x) dx, 所以上式可以写成dy=f′ (u) du, 这表明, 不论u是自变量还是中间变量, 函数y=f (u) 的微分形式保持不变, 这就是一阶微分形式的不变性, 即dy=f′ (u) φ′ (x) dx=f′ (u) du=f′[φ (x) ]d[φ (x) ], 这个式子从正向看是利用微分计算公式进行运算, 而从逆向看是一个凑微分的过程, 实际上也是一个积分的过程, 即f′[φ (x) ]d[φ (x) ]=f′ (u) du=f′ (u) φ′ (x) dx=dy.所以要掌握凑微分的运算技巧, 既要会用微分公式计算函数的微分, 又要善于利用逆向思维灵活变形.例如:3dx=d (3x+2) , 2xdx=dx2, cosxdx=dsinx, exdx=dex, 3dx=d (3x+2) 等.

2.凑微分时要分清复合函数结构, 由函数结构确定基本积分公式和凑微分因式

凑微分没有一个固定的模式, 需要对函数正向逆向计算比较之后才可以确定凑微分的因式.而将什么函数凑进微分, 如何凑, 有没有一般的规律可遵循呢?一般地, 大部分被积函数中都会出现复合函数的形式, 而运用积分公式运算时需要积分变量与函数的中间变量保持一致, 因此, 复合函数的外层函数往往决定了求解时可以利用基本积分表中的积分公式, 而除去外层函数后剩下的部分即为凑微分的因式.“凑微分”的计算步骤可归纳为:第一, 先观察被积函数的函数结构, 由外向内逐层分析复合函数结构, 通过外层函数联系基本积分公式表就可以确定需要运用的基本积分公式;第二, 把握积分变量和函数中间变量相一致的原则, 将出发点放在被积函数中的复合函数上, 除去外层函数剩下的函数的中间变量即为需要凑微分的因式, 可尝试将函数中间变量凑进微分里, 然后展开计算函数的微分, 与原积分式子作一比较, 看需要什么条件进行补充, 使之成为恒等变形, 然后逆向运算进行凑微分后, 即可利用基本积分公式进行求解.

3.运用第一换元积分法计算积分的方法和步骤

我们结合凑微分运用第一换元积分法计算积分时可分为三个步骤进行:

第一步, 确定积分公式:分析被积的复合函数的结构, 由外层函数联系基本积分公式表, 可以初步判断将要运用到的某一个基本积分公式.

第二步, “凑微分”:除去外层函数, 将复合函数的中间变量函数φ (x) 凑进微分里变成dφ (x) , 对比观察原被积表达式, 补充一定的条件使之成为一个恒等变形, 将积分表达式凑成∫f[φ (x) ]dφ (x) 的形式, 即俗称的“凑微分”, 为能够运用基本积分公式表中的公式创造条件.

第三步, 积分计算:将中间变量函数φ (x) 换元, 然后利用基本积分公式积分, 最后回代换元.当然做熟练之后, 换元的步骤可以省略.即将中间变量函数φ (x) 视为一个整体变量, 通过外层函数套用基本的积分公式进行积分求解即可.

参考文献

[1]游潘丽.第一类换元积分法应用.凉山大学学报, 2002 (1) .

第一类换元积分法 第2篇

关键词：不定积分；第一类换元积分法；分类

第一类换元积分法是求不定积分重要的、基础的方法，本文将第一类换元积分法（凑微分法）常见的类型进行分类总结。

定理：设（1）■f(u)du=F(u)+C，（2）函数u=?渍(x)可微，则成立第一类换元积分方法：

■f[?渍(x)]?渍′(x)dx=■f[?渍(x)]d?渍(x)=■f(u)du■

=[F(u)+C]u=?渍(x)=F[?渍(x)]+C

类型Ⅰ■f(ax+b)dx=■■f(ax+b)d(ax+b)(a≠0)

例1■■=■■(3x-1)■d(3x-1)=■■+C

例2①■■②■■

分析：①中被积函数分母x2+2x+5的△<0，通过对分母配方，做变换■■dx=■■dx；②中被积函数分母x2-5x+6的△>0，通过对分母因式分解，做变换■■=■■。

解：①■■dx=■■dx

=■■d(x+1)=■arctan■+C

②■■=■■=ln■+C

类型Ⅱ■x?琢-1f(x?琢+b)dx=■■f(x?琢+b)d(x?琢+b)(?琢≠0)

例3■x■dx=■■(x2-3)■d(x2-3)=■·■(x2-3)■+C=■(x2-3)■+C

例4■■sec2■dx=-■sec2■d(■)=-tan■+C

类型Ⅲ■■f(lnx)dx=■f(lnx)d(lnx)或■■f(ln|x|)dx=■f(ln|x|)d(ln|x|)

例5■■=■■=■(1+lnx)-2d(1+lnx)

=-■+C

类型Ⅳ■exf(ex)dx=■f(ex)d(ex)或■f(ex)dx=■■d(ex)

例6■■dx=■■dex=■arcan■+C

类型Ⅴ关于被积函数中含有sinx和cosx的不定积分

ⅰ■cosxf(sinx)dx=■f(sinx)d(sinx)和■sinxf(cosx)dx

=-■f(cosc)d(cosx)

例7■esinxcosxdx=■esinxd(sinx)=esinx+C

ⅱ对于形如■sinmxcosnxdx，■sinmxsinnxdx和■cosmxcosnxdx的积分(m,n∈N)，可首先利用积化和差公式对被积函数进行变形。

例8■sin5xcos3xdx=■■[sin(5x+3x)]+sin(5x-3x)dx

=■[■sin8xdx+■sin2xdx]

=■■sin8xd(8x)+■■sin2xd(2x)

=-■cos8x-■cos4x+C

ⅲ对于形如■sinmxcosnxdx的积分(m,n∈N)，可按如下方法处理：

（1）m,n中至少有一个为奇数时，不妨设n=2k+1，

■sinmxcos2k+1xdx=■sinmx(1-sin2x)kd(sinx)=■um(1-u2)kdu，化成u的多项式积分，求出后以u=sinx代回；

（2）m,n都为偶数时，可用倍角公式，sin2x=■(1-cos2x),cos2x=■(1+cos2x)降低三角函数幂次。

例9■sin2xcos3xdx=■sin2x(1-sin2x)d(sinx)

=■(sin2x-sin4x)d(sinx)

=■sin3x-■sin5x+C

例10■sin2xcos2xdx=■■■dx

=■■(1-cos22x)dx=■■(1-■)dx=■■(1-cos4x)dx

=■■dx-■■cos4xd(4x)=■-■sin4x+C

类型Ⅵ■sec2xf(tanx)dx=■f(tanx)d(tanx)■cos2xf(cotx)dx=-■f(cotx)d(cotx)

和■f(secx)secxtanxdx=■f(secx)d(secx)■f(cscx)cscxcotxdx=-■f(cscx)d(cscx)

例11■tanxsec4xdx=■tanxsec2x·sec2xdx

=■tanx(1+tan2x)d(tanx)

=■tan2x+■tan4x+C

或者用下面解法：

■tanxsec4xdx=■tanxsec2x·sec2xdx

=■sec3xd(secx)=■sec4x+C

类型Ⅶ■■dx=■■df(x)=ln|f(x)|+C

例12■■dx=■■d(x2-x+3)=ln|x2-x+3|+C

类型Ⅷ■■dx=■f(arcsinx)d(arcsinx)

和■■dx=■f(arctanx)d(arctanx)

例13■■dx=■arcsinxd(arcsinx)=■(arcsinx)2+C

例14■■dx=■earctanxd(arctanx)=earctanx+C

不定积分计算方法多样灵活，作为对逆向思维的一种考察，难度较大。三本院校偏文科类的学生，数学基础薄弱，因此要降低理论推导要求，加强知识分类、识别的介绍和方法总结，多举例，注意培养学生的计算应用能力。结合实践教学过程中的经验，本文对第一类换元积分法做分类总结，教会学生识别不同的被积函数，进而采用相应合适的积分方法。

参考文献：

[1]同济大学应用数学系.高等数学（本科少学时类型）[M].北京：高等教育出版社，2008.

[2]赵树嫄.微积分（第三版）[M].北京：中国人民大学出版社，2007.

摘 要：本文分类总结了不定积分第一类换元积分法的常见类型，并给出典型的例题讲解。

关键词：不定积分；第一类换元积分法；分类

第一类换元积分法是求不定积分重要的、基础的方法，本文将第一类换元积分法（凑微分法）常见的类型进行分类总结。

定理：设（1）■f(u)du=F(u)+C，（2）函数u=?渍(x)可微，则成立第一类换元积分方法：

■f[?渍(x)]?渍′(x)dx=■f[?渍(x)]d?渍(x)=■f(u)du■

=[F(u)+C]u=?渍(x)=F[?渍(x)]+C

类型Ⅰ■f(ax+b)dx=■■f(ax+b)d(ax+b)(a≠0)

例1■■=■■(3x-1)■d(3x-1)=■■+C

例2①■■②■■

分析：①中被积函数分母x2+2x+5的△<0，通过对分母配方，做变换■■dx=■■dx；②中被积函数分母x2-5x+6的△>0，通过对分母因式分解，做变换■■=■■。

解：①■■dx=■■dx

=■■d(x+1)=■arctan■+C

②■■=■■=ln■+C

类型Ⅱ■x?琢-1f(x?琢+b)dx=■■f(x?琢+b)d(x?琢+b)(?琢≠0)

例3■x■dx=■■(x2-3)■d(x2-3)=■·■(x2-3)■+C=■(x2-3)■+C

例4■■sec2■dx=-■sec2■d(■)=-tan■+C

类型Ⅲ■■f(lnx)dx=■f(lnx)d(lnx)或■■f(ln|x|)dx=■f(ln|x|)d(ln|x|)

例5■■=■■=■(1+lnx)-2d(1+lnx)

=-■+C

类型Ⅳ■exf(ex)dx=■f(ex)d(ex)或■f(ex)dx=■■d(ex)

例6■■dx=■■dex=■arcan■+C

类型Ⅴ关于被积函数中含有sinx和cosx的不定积分

ⅰ■cosxf(sinx)dx=■f(sinx)d(sinx)和■sinxf(cosx)dx

=-■f(cosc)d(cosx)

例7■esinxcosxdx=■esinxd(sinx)=esinx+C

ⅱ对于形如■sinmxcosnxdx，■sinmxsinnxdx和■cosmxcosnxdx的积分(m,n∈N)，可首先利用积化和差公式对被积函数进行变形。

例8■sin5xcos3xdx=■■[sin(5x+3x)]+sin(5x-3x)dx

=■[■sin8xdx+■sin2xdx]

=■■sin8xd(8x)+■■sin2xd(2x)

=-■cos8x-■cos4x+C

ⅲ对于形如■sinmxcosnxdx的积分(m,n∈N)，可按如下方法处理：

（1）m,n中至少有一个为奇数时，不妨设n=2k+1，

■sinmxcos2k+1xdx=■sinmx(1-sin2x)kd(sinx)=■um(1-u2)kdu，化成u的多项式积分，求出后以u=sinx代回；

（2）m,n都为偶数时，可用倍角公式，sin2x=■(1-cos2x),cos2x=■(1+cos2x)降低三角函数幂次。

例9■sin2xcos3xdx=■sin2x(1-sin2x)d(sinx)

=■(sin2x-sin4x)d(sinx)

=■sin3x-■sin5x+C

例10■sin2xcos2xdx=■■■dx

=■■(1-cos22x)dx=■■(1-■)dx=■■(1-cos4x)dx

=■■dx-■■cos4xd(4x)=■-■sin4x+C

类型Ⅵ■sec2xf(tanx)dx=■f(tanx)d(tanx)■cos2xf(cotx)dx=-■f(cotx)d(cotx)

和■f(secx)secxtanxdx=■f(secx)d(secx)■f(cscx)cscxcotxdx=-■f(cscx)d(cscx)

例11■tanxsec4xdx=■tanxsec2x·sec2xdx

=■tanx(1+tan2x)d(tanx)

=■tan2x+■tan4x+C

或者用下面解法：

■tanxsec4xdx=■tanxsec2x·sec2xdx

=■sec3xd(secx)=■sec4x+C

类型Ⅶ■■dx=■■df(x)=ln|f(x)|+C

例12■■dx=■■d(x2-x+3)=ln|x2-x+3|+C

类型Ⅷ■■dx=■f(arcsinx)d(arcsinx)

和■■dx=■f(arctanx)d(arctanx)

例13■■dx=■arcsinxd(arcsinx)=■(arcsinx)2+C

例14■■dx=■earctanxd(arctanx)=earctanx+C

不定积分计算方法多样灵活，作为对逆向思维的一种考察，难度较大。三本院校偏文科类的学生，数学基础薄弱，因此要降低理论推导要求，加强知识分类、识别的介绍和方法总结，多举例，注意培养学生的计算应用能力。结合实践教学过程中的经验，本文对第一类换元积分法做分类总结，教会学生识别不同的被积函数，进而采用相应合适的积分方法。

参考文献：

[1]同济大学应用数学系.高等数学（本科少学时类型）[M].北京：高等教育出版社，2008.

[2]赵树嫄.微积分（第三版）[M].北京：中国人民大学出版社，2007.

摘 要：本文分类总结了不定积分第一类换元积分法的常见类型，并给出典型的例题讲解。

关键词：不定积分；第一类换元积分法；分类

第一类换元积分法是求不定积分重要的、基础的方法，本文将第一类换元积分法（凑微分法）常见的类型进行分类总结。

定理：设（1）■f(u)du=F(u)+C，（2）函数u=?渍(x)可微，则成立第一类换元积分方法：

■f[?渍(x)]?渍′(x)dx=■f[?渍(x)]d?渍(x)=■f(u)du■

=[F(u)+C]u=?渍(x)=F[?渍(x)]+C

类型Ⅰ■f(ax+b)dx=■■f(ax+b)d(ax+b)(a≠0)

例1■■=■■(3x-1)■d(3x-1)=■■+C

例2①■■②■■

分析：①中被积函数分母x2+2x+5的△<0，通过对分母配方，做变换■■dx=■■dx；②中被积函数分母x2-5x+6的△>0，通过对分母因式分解，做变换■■=■■。

解：①■■dx=■■dx

=■■d(x+1)=■arctan■+C

②■■=■■=ln■+C

类型Ⅱ■x?琢-1f(x?琢+b)dx=■■f(x?琢+b)d(x?琢+b)(?琢≠0)

例3■x■dx=■■(x2-3)■d(x2-3)=■·■(x2-3)■+C=■(x2-3)■+C

例4■■sec2■dx=-■sec2■d(■)=-tan■+C

类型Ⅲ■■f(lnx)dx=■f(lnx)d(lnx)或■■f(ln|x|)dx=■f(ln|x|)d(ln|x|)

例5■■=■■=■(1+lnx)-2d(1+lnx)

=-■+C

类型Ⅳ■exf(ex)dx=■f(ex)d(ex)或■f(ex)dx=■■d(ex)

例6■■dx=■■dex=■arcan■+C

类型Ⅴ关于被积函数中含有sinx和cosx的不定积分

ⅰ■cosxf(sinx)dx=■f(sinx)d(sinx)和■sinxf(cosx)dx

=-■f(cosc)d(cosx)

例7■esinxcosxdx=■esinxd(sinx)=esinx+C

ⅱ对于形如■sinmxcosnxdx，■sinmxsinnxdx和■cosmxcosnxdx的积分(m,n∈N)，可首先利用积化和差公式对被积函数进行变形。

例8■sin5xcos3xdx=■■[sin(5x+3x)]+sin(5x-3x)dx

=■[■sin8xdx+■sin2xdx]

=■■sin8xd(8x)+■■sin2xd(2x)

=-■cos8x-■cos4x+C

ⅲ对于形如■sinmxcosnxdx的积分(m,n∈N)，可按如下方法处理：

（1）m,n中至少有一个为奇数时，不妨设n=2k+1，

■sinmxcos2k+1xdx=■sinmx(1-sin2x)kd(sinx)=■um(1-u2)kdu，化成u的多项式积分，求出后以u=sinx代回；

（2）m,n都为偶数时，可用倍角公式，sin2x=■(1-cos2x),cos2x=■(1+cos2x)降低三角函数幂次。

例9■sin2xcos3xdx=■sin2x(1-sin2x)d(sinx)

=■(sin2x-sin4x)d(sinx)

=■sin3x-■sin5x+C

例10■sin2xcos2xdx=■■■dx

=■■(1-cos22x)dx=■■(1-■)dx=■■(1-cos4x)dx

=■■dx-■■cos4xd(4x)=■-■sin4x+C

类型Ⅵ■sec2xf(tanx)dx=■f(tanx)d(tanx)■cos2xf(cotx)dx=-■f(cotx)d(cotx)

和■f(secx)secxtanxdx=■f(secx)d(secx)■f(cscx)cscxcotxdx=-■f(cscx)d(cscx)

例11■tanxsec4xdx=■tanxsec2x·sec2xdx

=■tanx(1+tan2x)d(tanx)

=■tan2x+■tan4x+C

或者用下面解法：

■tanxsec4xdx=■tanxsec2x·sec2xdx

=■sec3xd(secx)=■sec4x+C

类型Ⅶ■■dx=■■df(x)=ln|f(x)|+C

例12■■dx=■■d(x2-x+3)=ln|x2-x+3|+C

类型Ⅷ■■dx=■f(arcsinx)d(arcsinx)

和■■dx=■f(arctanx)d(arctanx)

例13■■dx=■arcsinxd(arcsinx)=■(arcsinx)2+C

例14■■dx=■earctanxd(arctanx)=earctanx+C

不定积分计算方法多样灵活，作为对逆向思维的一种考察，难度较大。三本院校偏文科类的学生，数学基础薄弱，因此要降低理论推导要求，加强知识分类、识别的介绍和方法总结，多举例，注意培养学生的计算应用能力。结合实践教学过程中的经验，本文对第一类换元积分法做分类总结，教会学生识别不同的被积函数，进而采用相应合适的积分方法。

参考文献：

[1]同济大学应用数学系.高等数学（本科少学时类型）[M].北京：高等教育出版社，2008.

第一类换元积分教学方法的探索 第3篇

在本校高等数学教材中, 对第一类换元积分作如下描述:

我们在平时的教学中, 采用一种叫做“凑微分”的积分方法, 这种方法有别于世界通用的换元积分法, 并非规范的积分解法体系, 具有一定的随意性, 但是较之传统的换元积分法, 更容易让学生理解和接受。

针对本人现阶段从事的五年制大专高等数学教学工作, 结合学生的学习能力及专业特点, 对这部分教学内容进行以下的处理。

一、将积分公式加以推广

可引导学生进一步将后续的积分公式自行写出。通过自行推导, 可加强学生对积分公式的记忆, 为后续凑微分运算打好基础。

在学生推导的过程中, 提醒学生注意三个位置变量的一致性:分别为: (1) 被积函数的变量 (这里的变量是以φ (x) 的形式表示的, 下同) ; (2) 积分变量; (3) 原函数的变量, 同时也要注意在今后的解题过程中时刻予以关注。

二、讲授凑微分的使用方法

三、结合恒等变换灵活地运用“凑微分”

根据实际情况, 具体问题具体分析。在实际的问题中, 积分形式往往很复杂, 要灵活运用恒等变换, 进行拆分, 再通过凑微分来解决问题。

分析:可将sin3x拆成sin2x·sin x, 将后面的sin x挪到微分号d后面去凑微分。

浅谈换元积分法的应用 第4篇

一、引导学生对基本积分公式的再认识，拓展基本积分公式的应用

传统的教学方法是先介绍换元积分公式，再运用公式求积分

设∫f(u)du=F(u)+C且u=φ(x)可导，则有

问题是怎样将∫g(x)dx化为∫f[φ(x)]φ'(x)dx形式，学生往往感到困惑．如果从学生已经熟悉的知识出发，进一步挖掘基本积分公式的作用，其实教材中16个基本积分公式就是16类换元积分公式，对此学生的反映是:目标明确，易于操作．

二、发挥等价变形在换元积分中的作用，解决好如何换元问题

如何将一个不定积分形式转化为基本积分公式类型是解决换元积分问题的关键．下面以求两个例题的不同解法说明．

解法1(应用三角函数公式合项、凑微分)

解法2(分子分母同乘、拆项、凑微分)

解法3(利用万能公式)

解法4(添项、凑微分)

第二换元法求解某类积分的探讨 第5篇

对某些无理函数的积分,通常需要使用第二换元积分法。本文针对如何求这类积分总结归纳出一定的规律,一般有以下几种类型。

第一类:型积分[1,2,3],其中α,b,n为常数且n>1,α≠0。

(其中表示由x和构成的有理函数,以下同)

此类积分为最常见类型,解决方法是令t=。

当被积函数有下列两种特殊情况时须注意:

(1)不出现在分式中;

(2)单独出现在分式分母中。

此时也可以使用第一换元积分法来解决,即令t=αx+b.形如,此类不定积分。

第二类:型积分,其中α,b,c,d,m,n,p,q为常数,且

求解方法是令,其中λ为分数和的公分母。如求,须令(式中的6为和的公分母)。

此类积分的求解可以推广到含有限个无理函数的情形。

第三类:型积分,其中α,b,c,d,n为常数,且n>1,αd-bc≠0。

对此只须令就可以将它化为以t为变量的有理函数积分。

第四类:型积分,其中α,b,n,N为常数且b≠0,n>1,N

第六类:型积分,其中α,b为常数且b≠0。

此类积分的计算只须令t=,但在求积分时必须注意事先限定x的取值范围,否则会出现漏解.诸如此类还有,,

型积分,求解方法类似,但同样须事先限定x的取值范围。

第七类:型积分,其中α,b为常数且b≠0。

第八类:型积分,其中α为常数。

求解此类积分须使用三角换元法,可令x=αsint或x=αcost。但必须注意限定t的取值范围,否则若被积函数中出现,则必须讨论φ(t)的符号,不然会出现错解或漏解。如求(α>0),若令x=αsint,则t的范围须限定为;若令x=αcost,则t的范围须限定为0<t<π。

诸如此类积分还有:

但同样必须注意限定t的取值范围。

第九类:型积分,其中二次三项式αx2+bx+c的系数满足条件:α>0时b2-4αc≠0,或α<0时b2-4αc>0。

此类积分是可以转化为第八类中的三种类型之一的积分。

则二次三项式就可化为下述三种形式之一:

因此上述积分就转化为第八类中三种类型之一的积分了。

在此类积分中,有三种特殊情形[4]:(1)若α>0,则令;

第十类:型积分,式中m,n和p为有理数。仅在下列三种情形可化为有理函数的积分(契比雪夫定理):

第一种情形,p为整数。假定x=t N,其中N为分数m和n的公分母。

第二种情形,为整数。假定α+b x n=t N,其中N为分数p的分母。

第三种情形,为整数。利用代换:αx-n+b=t N,其中N为分数p的分母。

容易看出,第一类积分实际上可看作是此类积分中当(n*为第一类中的n)时的特殊情形。

参考文献

[1]华东师范大学数学系编.数学分析上册(第二版)[M].北京:高等教育出版社.1991.

[2]李心灿主编.高等数学(第二版)[M].北京:高等教育出版社.2003.

[3]同济大学数学教研室主编.高等数学上册(第四版)[M].北京:高等教育出版社.1996.