LQR方法范文
LQR方法范文（精选7篇）
LQR方法 第1篇
倒立摆系统具有快速、多变以及非线性的特点, 广泛应用于航天飞行器以及双足机器人等领域, 因此, 对于倒立摆的研究具有重要的现实意义。
直线一级倒立摆系统主要由小车、摆杆等组成, 它们之间自由连接。小车可以在导轨上自由移动, 摆杆可以在铅垂的平面内自由地摆动。将其置于平面坐标系后, 其结构图如图1所示。我们规定逆时针方向的转角和力矩均为正, 另外设:m为摆杆的质量, M为小车的质量, L为摆杆的长度, O为旋转点坐标, G为摆杆质心坐标, l为点O到点G的距离, J为摆杆的转动惯量, f0为小车与导轨间的摩擦系数, f为摆杆绕转动轴的摩擦阻力矩系数, Φ为摆杆与垂直向上方向的夹角, F为外界作用力, Fx为F在x轴方向的分力, x为小车运动距离原点的位移, 则摆杆和小车的受力情况如图2所示。
1.1 对摆杆进行运动学分析
由图2分析摆杆受力情况, 摆杆水平方向受力:
则摆杆绕O点的力矩平衡方程为:
(J+ml2) Φ″=mglsinΦ-fΦ′+mx″lcosΦ. (2)
1.2 对小车进行运动学分析
小车在竖直方向上受力平衡。小车在水平方向上受力为:
由此得到了描述一级倒立摆运动的微分方程组:
将式 (5) 进行理想化处理, 一级倒立摆的线性化微分方程为:
对方程组 (4) 进行拉式变换, 得:
倒立摆实物控制系统中, 系统的输出为摆杆的角度, 受到控制的是小车的位置, 以调整小车的位置来矫正摆杆的角度, 因此在进行数学建模时我们以角度为受控对象。以摆杆角度为输出时, 传递函数为:
对微分方程 (7) 进行线性变化可以得到系统的状态方程:
力矩平衡方程为:
将式 (11) 线性化后, 得:
假设x″=a, 以a做控制输入, 状态方程为:
即以加速度为控制量, 角度为被控对象, 此时的传递函数为:
设倒立摆系统的物理参数如下:小车的质量M=0.618kg, 摆杆的长度L=0.350m, 摆杆的质量m=0.073 7kg, 摆杆质心到转轴的距离l=0.122 5m, 得到一级倒立摆实物近似模型:
此时, 得到系统的传递函数为:
1.3 倒立摆系统的稳定性分析
通过求线性化后系统模型的特征根来研究系统的稳定性。本系统的特征根为:λ1=7.746, λ2=-7.746。
根据劳斯判据可知, 因为有存在于右半平面的极点, 故系统不稳定。
2 线性二次最优控制 (LQR) 基本原理及分析
2.1 线性二次最优控制研究的主要问题
最优控制研究的主要问题是:根据已建立的被控对象的数学模型, 选择一个容许控制的控制规律, 对被控对象按照事先预定的要求进行控制, 并能使其某一性能指标到达最值 (最大值、最小值) 。
经典的变分理论只能解决控制无约束, 而工程实践中遇到的多为有约束控制。因此, 这种最优控制成为现代控制理论中最核心的成果之一。线性二次型问题通过状态反馈便可实现闭环控制, 这在工程实际应用上具有重要意义。
2.2 二次型性能指标的一般形式
二次型性能指标的一般形式为:
其中:u为电压或者电流的函数;X为误差矢量;t0为初始时间参量;t1为终止时间参量;tf为某一时间点的时间值;Q为n×n维半正定的状态加权矩阵;R为r×r维正定的控制加权矩阵;Fn为n×n维半正定的终端加权矩阵;在工程上, Q和R常取对角阵。
2.3 最优控制的目标
最优控制的目标就是使Jmin, 其实质为用不大的控制量来保持相对比较小的误差, 从而使结果达到能量及误差综合最优的结果。
2.4 LQR控制参数的调节
在一般情况下, R增加时, 则控制力减小, 角度的变化减小, 进而速度变慢。矩阵Q中某个元素相对增加, 则其对应的状态参量的响应速度便增加, 但是其他变量的响应速度则相对减慢。例如, 若Q对应于角度的元素增加, 则使得角度变化速度减小, 进而位移的响应速度相对减慢;若Q对应于位移的元素相对增加, 则位移的跟踪速度变快, 但是角度的变化幅度增大。
3 倒立摆系统的系统结构
倒立摆系统的系统结构组成图如图3所示。
4 直线一级倒立摆系统在MATLAB程序控制下进行LQR仿真
倒立摆的平面控制流程图如图4所示。
用MATLAB 7.0对一级倒立摆进行仿真研究, 在“Simulink”中构建LQR控制的倒立摆模型, 模型如图5所示。
单击LQR Controller模块, 利用公式 (18) 中的Q和R矩阵, 当更改Q和R数值时, 计算出不同的反馈增益K值, 在反馈增益K中包含4个参量K1, K2, K3, K4, 将不同的反馈增益K值输入到系统中, 得到一级倒立摆的理想控制参数, 如图6所示。根据理想控制参数得到不同的仿真曲线, 理想参数下的仿真曲线如图7所示。
图6所示的控制参数下的状态是经过试验得到最佳理想的状态, 即初始位置为轨道中心时, 小车在轨道中心7cm左右运动, 摆杆在人为地放到最高点后, 仍然能保持稳定倒立状态。
5 结论
随着控制理论的发展, 新的控制方法不断出现, LQR控制方法是对系统线性化之后运用的一种方法, 具有很好的控制效果。本文对于具有不稳定性、高阶次、多变量、强耦合的直线一级倒立摆, 利用经典的牛顿力学方法和LQR控制方法对其进行MATLAB仿真, 从而更好地显示出LQR控制器的鲁棒性与较好的动态特性。
参考文献
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车辆悬架LQR控制器权值优化方法 第2篇
因此,将遗传算法应用于汽车主动悬架LQR控制器的设计中,利用遗传算法的全局搜索能力,以主动悬架的性能指标作为目标函数对权值系数矩阵进行优化设计,以提高汽车LQR控制器的设计效率和性能。
1 悬架系统模型
以图1所示的二自由度1/4车辆模型的主动悬架系统为研究对象,其中mb为簧载质量,mw为非簧载质量,ks为悬架刚度系数,cs为悬架阻尼系数,kt为轮胎刚度系数,u为控制力,zb为车身位移,zw为轮胎位移,q为路面输入。悬架模型的运动微分方程如式(1)所示。
为便于分析问题,采用一个带有滤波白噪声作为路面输入模型,其表达式为式(2)。
式(2)中w(t)为高斯白噪声,G0为路面不平度系数,f0为下截止频率,v为车辆行驶速度。
态方程为
式(3)中,u为控制力输入矩阵;w为白噪声矩阵,
影响汽车行驶平顺性和操纵稳定性的因素主要有车身的垂直加速度、悬架动挠度(zb-zw)和轮胎动变形(zw-q),故以为输出变量,系统的输出方程为
2 LQR控制权值系数优化算法
2.1 主动悬架LQR控制原理
对于如下线性可观可控时不变系统
设计一个控制输入量u,使得式(6)最优控制的性能指标J为最小,这样的控制问题称为线性二次型最优控制问题。
式(6)中,Q和R分别表示状态变量和输入变量的加权系数矩阵,均为正定矩阵,N为上述两种变量关联性的加权矩阵。根据最优控制理论可知系统的最优控制律为:
最优控制反馈增益矩阵K可以由如式(8)黎卡提方程求出:
2.2 LQR控制器设计
对于前述二自由度1/4车辆悬架系统,LQG控制设计中的目标性能指标J可表示为车身垂向加速度、悬架动挠度(zb-zw)和轮胎动变形(zw-q)的加权平方和的积分值,即
式(9)中,q1为车身垂直加速度加权系数;q2为悬架动挠度加权系数;q3为轮胎动变形加权系数。将性能指标J改写成式(6)的矩阵形式,则有
根据权值矩阵Q、N和R,利用MATLAB提供的函数LQR即可求出反馈增益矩阵K。
如果状态变量x中的各分量均可测,根据式(7)可得到主动悬架LQR控制器的最优控制力u,即
根据以上方法获得的最优控制反馈增益矩阵K完全取决于加权系数q1、q2和q3,而加权系数大小主要靠设计者经验经多次试凑调整确定,这样获得的最优控制存在很大的主观性。
2.3 LQR控制加权系数优化算法
遗传算法(GA)是一种基于自然选择和基因遗传学原理的高效并行全局寻优搜索算法,在函数数值优化、组合优化、智能控制和模式识别等诸多领域得到了成功地应用[912]。利用遗传算法优化LQR控制加权系数可获得更真实的最优控制。
由于悬架性能指标的单位及数量级不一样,故采用如下的性能指标作为遗传算法的适应度函数,即
式(11)中,AVB(x)、SWS(x)和DTD(x)分别代表主动悬架车身垂直加速度、悬架动挠度(zb-zw)和轮胎动变形(zw-q)的均方根值;AVBpas、SWSpas和DTDpas分别代表被动悬架的相应性能,优化变量x表示加权系数q1、q2和q3。
利用遗传算法优化加权系数q1、q2和q3的具体步骤如下:
(1)个体编码及种群初始化。LQR控制器加权系数有q1、q2和q3共3个变量,故个体表达形式为3个元素的行向量x=[q1,q2,q3],采用实数编码。
在个体变量x上下限范围内采用一致随机的方式产生N个个体作为初始种群;
(2)将种群个体依次赋值给q1、q2和q3,根据LQR控制算法求出控制反馈增益矩阵K,求出最优控制力u并作用于悬架模型,计算悬架系统输出变量的均方根值;
(3)利用式(11)计算种群中各个体的适应度函数值,判断是否满足遗传算法终止条件。如满足,则退出遗传算法,并得到最优个体x;如不满足,则转至步骤(4);
(4)遗传算法进行选择、交叉、变异,产生新的种群,并转至步骤(2)。
3 数值仿真结果及分析
为验证优化方法的有效性,悬架模型采用表1所示的参数,路面不平度系数G0=6410-6m,下截止频率f0=0.1 Hz,车速v=20 m/s。遗传算法采用MATLAB R2011b版本自带的遗传算法工具箱GADST,种群大小为200,精英个数取4,交叉后代比例为0.5,其他参数取默认值。在如图2所示的随机路面输入激励下,求得K=[1 240 1 676-652 12 859-10 500],被动悬架和主动悬架的车身垂向加速度、悬架动行程和轮胎动位移的时域响应如图35所示。从图中可以看出,经遗传算法优化的主动悬架LQR控制与悬架被动控制相比,主动悬架的车身垂向加速度减小约58.9%,悬架动行程减小约28.5%,轮胎动位移减小近43.6%。从结果对比可知,基于遗传算法优化的主动悬架LQR控制可以很好提高车辆行驶的平顺性和操纵稳定性。
4 结论
针对主动悬架LQR控制中加权系数不易确定问题,利用遗传算法全局并行搜索能力对加权系数进行优化,在同一随机路面激励下,重点研究了本文算法与被动悬架及按经验确定权值系数的LQR控制算法在车身垂向加速、悬架动行程和轮胎动位移在时域响应的性能对比,实验结果表明该算法比被动悬架和常规LQR控制算法更能提高汽车乘坐的舒适性,同时提高汽车LQR控制器的设计效率。
参考文献
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LQR方法 第3篇
对于LQR最优控制方法, 性能指标中权重矩阵的选择对控制系统的性能有很大影响。通常权重矩阵是根据系统的物理过程人为设置, 往往不能获得最优的权重矩阵, 从而获得最优控制反馈系数。遗传算法是一种全局优化算法, 传统的遗传算法存在容易早熟和进化后期搜索效率低重大缺陷。本文采用一种多种群遗传算法, 避免传统遗传算法过早收敛, 同时并行运算可以提高算法的效率。然后采用多种群遗传算法优化LQR (Linear Quadratic Regulators, LQR) 控制器的加权系数, 以提高LQR的设计效率和性能。
2 基于多种群遗传算法的LQR控制器优化设计
对于LQR[1]最优控制方法, 性能指标中权重矩阵的选择对控制系统的性能有很大影响。针对LQR控制器权重矩阵确定困难的问题, 这里采用多种群遗传算法对LQR控制器的加权系数进行优化, 以提高LQR的设计效率和性能。遗传算法是一种借鉴生物界自然选择和进化机制发展起来的高度并行、随机、自适应的全局优化概率搜索算法。传统的遗传算法存在两个重大缺陷:一是, 容易早熟, 即收敛提前结束, 陷入局部最优解;二是, 进化后期搜索效率低, 这使得最终得到的结果往往不是全局最优解。为避免以上情况, 本文采用一种多种群遗传算法, 通过多种群并行进化的思想, 将遗传算法在多个具有不同控制参数的子种群间并行进行, 并通过移民算子在子种群间交换信息, 通过人工选择算子保存各种群每个进化代中的最优个体, 可以避免过早收敛, 同时并行运算可以提高算法的效率。主要步骤如下:
Step 1:随机生成N个种群, 将每个种群中的每个个体依次赋值给LQR控制器的加权系数, 求出最优控制反馈增益矩阵及控制信号。
Step 2:以精华种群中最优个体最少保持代数作为算法终止判据, 计算每个种群中各个体的适应度函数值, 判断是否满足算法终止条件。若满足, 则退出算法, 并得到最优个体;若不满足, 则转至步骤 (3) 。
Step 3:基于传统标准遗传算法进化机制, 各种群采用轮盘赌选择、单点交叉和位点变异, 产生新的种群。其中, 每个种群均选择不同的交叉概率Pc和变异概率Pm, 使得多个种群协同进化, 同时提高算法的全局搜索和局部搜索能力。
Step 4:采用移民算子将目标种群中的最差个体用源种群的最优个体代替, 实现种群之间的信息交换。
Step 5:采用人工选择算子选出每一代其他种群的最优个体放入精华种群加以保存, 并转至Step 2。
3 实例分析
本文参照文献[2], 以汽车主动悬架作为被控对象, 以主动悬架的性能指标作为目标函数, 采用第2节所提出的多种群遗传算法对LQR控制器的加权矩阵进行优化设计。在Simulink中建立主动悬架LQR控制模型, 如图1所示。模型参数如下:mb=320kg, mw=40kg, Ks=20000N/m, Kt=20000N/m, G0=510-6m3/cycle, v=20m/s, f0=0.1Hz, Kspas=22000N/m, Cspas=1000Ns/m。路面输入噪声为100011为强度20d B的高斯白噪声。
多种群遗传算法参数设置如下:种群数目为10, 种群中个体数目为40, 代沟为0.9, 交叉概率在[0.7, 0.9]区间内随机产生, 变异概率在[0.001, 0.05]区间内随机产生, 最优个体最少保持代数为10。算法最终收敛至2.54, 此时对应最优个体为 (q1, q2, q3, ) = (1.11105, 1.18104, 7.56104) , 相应的性能指标及其与被动悬架的比较如表1所示。从表1可以看出, 基于本文方法设计的LQR控制器使主动悬架性能明显优于被动悬架。
4 结语
针对LQR控制方法权重确定困难的问题, 本文采用多种群遗传算法对LQR控制器加权系数进行优化。将本文方法应用在主动悬架控制规律的设计中, 仿真结果表明基于多种群遗传算法的LQR控制方法可以有效提高悬架的性能。
参考文献
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LQR方法 第4篇
LQG(Linear Quadratic Gaussian)是目前最广泛应用的控制算法之一[4]。磁流变阻尼器具有响应迅速、结构简单耐久性好、、动态范围大、阻尼力大[1]的特点。通过自身的通入很少的电流产生可变的较大的电磁力。通过局部传感器的反馈和LQG控制算法算法控制可以让磁流变阻尼器达到较好的结构减震效果,本文将测得的加速度对位移、速度进行估计从而得到最优反馈力,然后进行半主动控制。
2基于加速度反馈的LQG的半主动控制
使用的磁流变阻尼器[5]时,地震作用下的受控体系的运动方程可表示为:
其中Y是系统的输出。
式中0和I分别表示相应的零矩阵和单位矩阵。
本文采用了一个三层框架模型,并且仅观测结构各层的绝对加速度,由式(2)
3数值算例及分析
由图3、4及表1可以看出,在LQG控制下与未受控条件下结构比较,此时的磁流变半主动控制可以使结构模型的一层、二层、三层位移峰值分别减少36.6%、37.2%和44.1%,同时一层、二层、三层的加速度峰值分别减少了13.8%、32.9%和36.5%。通过各层最大加速度和位移的包络图可以看出结构在加速度反馈下的LQG算法能够有效的减少结构的位移和加速度反应,说明了磁流变阻尼器加速度反馈控制的优越性,是一种简便有效的控制算法。
4结论
本文研究了以加速度作为反馈的磁流变阻尼器半主动控制算法,并且进行了数值模拟研究,得到如下结论:
1)磁流阻尼器能够有效的减小结构的加速度和位移反应。
2)Kalman滤波器能够较好的估计结构的位移和速度,从而达到较好的控制效果。
摘要：目前结构半主动控制多以结构位移和速度作为状态反馈从而得到结构的最优控制力。但是考虑到结构的绝对位移测量不便和累积误差,本文研究了基于加速度反馈的线性二次高斯(LQG)算法,用测量简单、可靠的加速度作为反馈量,通过Kalman滤波器估计结构位移和速度,从而对结构进行半主动控制。数值算例分析结果表明,此控制算法能够有效地减小结构的地震反应。
关键词：磁流变阻尼器,加速度反馈,半主动控制
参考文献
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LQR方法 第5篇
目前对于各高校而言,比较典型的控制对象就是倒立摆,因为它是一个绝对不稳定的非线性多变量的系统,作为一个多变量系统对于它的控制主要是以现代控制理论为基础的。本文对倒立摆系统的控制方法就是采用现代控制理论中的状态反馈极点配置和LQR算法控制。文章通过Matlab仿真软件实现了对实际一级倒立摆系统的极点配置和LQR控制器的设计,通过仿真进一步验证了系统的时实控制效果及其可靠性。
1 直线一级倒立摆工作原理及数学模型
1.1 系统工作原理
直线一级倒立摆系统的结构示意图如图1所示。
系统方框图如图2所示,很明显系统是一个闭环的控制系统,由于要控制2个输出变量,即小车的位置以及摆杆与垂直方向的夹角,因此使用2个光电码盘。其中1号光电码盘检测过来的反馈信号是小车的位移和速度信号,2号光电码盘检测过来的反馈信号是摆杆与垂直方向的夹角和角速度,两组反馈信号都送给运动控制卡,1号光电码盘的反馈信号同时也送给伺服驱动器。计算机从控制卡中读取实时数据,做出判断,从而确定控制决策,最后由控制卡来实现控制决策,产生相应的控制量,使电动机转动,通过皮带最终达到控制小车位移和摆杆与垂直方向的夹角的目的。
1.2 一级倒立摆数学模型
若要实现对倒立摆系统的控制,首先要建立倒立摆的数学模型。为了简化后期的工作,需要建立一个准确简练的数学模型。在建立模型的过程中,要抓住主要因素,忽略次要因素,本系统忽略了空气流动阻力以及各种次要的摩擦阻力,这样就得到了如图3所示的小车和匀质刚性杆所组成的系统。
系统参数来自固高公司生产的教学产品中的相关参数为[1]:M为小车质量,M=1.096 kg;m为摆杆质量,大小为0.109 kg;b为小车摩擦系数大小为0.1 N/m/sec;l为摆杆转动轴心到杆质心的长度,大小为0.25 m;I为摆杆惯量大小为0.003 4 kgm2;F为水平方向加在小车上的力;x是输出量小车的位置;θ是输出量摆杆与垂直方向的夹角;T是采样频率,大小为0.005 s。
根据牛顿运动定律,并经过相关的整理得到系统状态空间方程:
代入相关的参数得到系统状态空间方程:
2 倒立摆系统的极点配置设计
极点配置法通过设计状态反馈控制器将多变量系统的闭环系统极点配置在期望的位置上,从而使系统满足瞬态和稳态性能指标[2]。
首先要判断系统是否能够通过状态反馈任意配置极点[3,4],然后选取期望的闭环极点进行状态反馈控制器的设计。依据经验,本系统为四阶系统,因此可选取4个期望极点,这里选取
ctrb(A,B)
obsv(A,C)
rc=rank(ctrb(A,B))
ro=rank(obsv(A,C))
P=[-10,-10,-2+2*sqrt(3)*i,-2-2*sqrt(3)*i];
K=acker(A,B,P)
Ac=A-B*K;
Bc=B;
Cc=C;
Dc=D;
T=0:0.005:5;
U=0.2*ones(size(T));
Cn=[1];
Nbar=rscale(A,B,Cn,0,K);
Bcn=[Nbar*B];
[Y,X]=lsim(Ac,Bcn,Cc,Dc,U,T);
figure
plot(T,Y(:,1),′-b′,T,Y(:,2),′--r′)
legend(′Cart Position′,′Pendulum Angle′)
grid
运行该程序,即可得到配置极点后系统的输出响应如图4。实线是小车位置的变化曲线,虚线是摆杆与垂直方向的夹角的变化曲线,从图中可以看出通过极点配置对系统的2个输出量都有良好的控制效果,经过2.5 s的过渡过程,小车能够保持稳定。
3 倒立摆系统的LQR算法设计
线性二次型最优控制算法LQR是现代控制理论中一种重要的、基本的方法[7,8],LQR算法的目的是在一定的性能指标下,使系统的控制效果最佳,即利用最少的控制能量,来达到最小的状态误差。对系统状态方程为:
根据期望的性能指标选取Q和R,然后利用Matlab中的一条命令lqr就能确定最佳反馈增益矩阵。这里选取R=1,Q=[1 000 0 0 0;0 0 0 0; 0 0 200 0; 0 0 0 0],其最佳反馈增益矩阵K=[ -31.622 8 -20.150 7 72.718 1 13.155 2],具体的Matlab程序如下[9]:
Q=[1000 0 0 0;0 0 0 0;0 0 200 0;0 0 0 0];
R=1;K=lqr(A,B,Q,R)
Ac = [(A-B*K)];Bc = [B];
Cc = [C];Dc = [D];T = 0:0.005:5;
U = 0.2*ones(size(T));
T=0:0.005:5;
U=0.2*ones(size(T));
Cn=[1];
Nbar=rscale(A,B,Cn,0,K);
Bcn=[Nbar*B];
[Y,X]=lsim(Ac,Bcn,Cc,Dc,U,T);
plot(T,Y(:,1),′--r′,T,Y(:,2),′:k′)
legend(′LQR Cart Position′,′LQR Pendulum Angle′)
grid
运行程序后可得到LQR算法下,系统的输出阶跃响应图如图6。从图中可以看出通过LQR控制器对系统的两个输出量都有良好的控制效果[10],经过不到2 s的过渡过程,小车能够保持稳定。由此可以看出这种控制方法比极点配置方法效果更佳。
4 结 语
倒立摆系统是控制理论研究中的一种理想的实验手段,通过该系统可以验证控制策略的效果。本文通过Matlab软件实现了倒立摆极点配置和LQR控制器的设计,方便快捷,实用性强。
参考文献
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LQR方法 第6篇
关键词：二级倒立摆,LQR,混合算法,遗传算法,最优化
倒立摆系统是一种典型的快速、非线性、强耦合、多变量和自然不稳定系统,是验证和检验新的控制理论与方法的理想装置,其控制方法在军工、航天、机器人领域和一般工业过程中都有着广泛的应用。近年来,许多学者已经利用经典控制理论、现代控制理论以及各种智能控制方法,成功地实现了倒立摆系统的稳定控制[1]。
由于二级倒立摆系统结构的特殊性,传统的状态反馈的方法难以获得满意的控制效果。而线性二次型(LQ)性能指标易于分析、处理和计算,并且通过线性二次型最优设计方法得到的二级倒立摆系统具有较好的鲁棒性等优点,在实际的二级倒立摆控制系统设计中得到了广泛的应用。线性二次型控制器(LQR)的控制效果取决于加权矩阵Q和R的选取,对加权矩阵Q和R的选取通常采用仿真试凑法,但是这需要经过大量反复试凑才能得到最优结果,而且实时性很差[2,3]。
遗传算法是模拟生物在自然环境中的遗传和进化过程而形成的一种高度并行、随机和自适应的全局优化算法,并且因诸多优点广泛地应用到系统的优化设计与研究中[4,5,6]。文献[7-9]中都采用了遗传算法对加权阵Q和R进行优化,得到了良好的控制效果,表明了该优化设计方法的正确性和有效性。
尽管遗传算法的全局寻优能力很好,但是其局部寻优能力不强,并且遗传算法寻优的精度和速度均不是很理想。而混合算法集成了遗传算法和最优化方法的优点,弥补了遗传算法和最优化方法的不足,能够快速、准确地求出最优值。从优化过程和控制效果出发,运用混合算法对加权矩阵Q和R进行全局优化,得到了更好的控制结果。
1 二级倒立摆的数学模型及可控性分析
本系统模型基于直线二级倒立摆,主要部分如图1所示。
对于控制系统设计,将功率放大器、力矩电机、小车、摆杆、皮带及皮带轮等的组合体视为控制对象,其输入是功率放大器的输入信号,输出是小车的位移和摆杆的角度。假设系统中下摆杆、上摆杆及小车都是刚体,皮带轮与皮带之间无相对滑动,传动皮带无伸长现象,小车的驱动力与直流放大器的输入成正比,且无滞后,忽略电极电枢绕组的电感。库仑摩擦,动摩擦等所有的摩擦力足够小,在建模过程中忽略不计。设定摆杆竖直向上时,下摆杆角位移θ1、上摆杆角位移θ2均为零,摆杆顺时针转动为正。
具体参数参考深圳固高公司出品的GIP-200型二级倒立摆,小车质量M为1.096kg,下摆杆质量M1为0.05kg,上摆杆质量M2为0.13kg,测角电位器的质量M3为0.236kg,下摆杆转动中心到杆心的距离l1为0.0775m,上摆杆转动中心到杆心的距离l2为0.25m,重力加速度g为9.8m/s2。建模并线性化后,将参数代入得到系统在平衡点附近的状态方程:
对于所确定的二级倒立摆系统,其特征方程为det(SI-A)=0,经过计算得系统的开环特征根为(-10.044-5.027 10.404 5.027 0 0),系统有2个极点是正实根,有2个极点在原点,因此系统是不稳定的。系统可控是控制器设计的前提,故必须对其可控性进行分析。可控性矩阵S=[B AB A2B A3B A4B A5B],得出Rank(s)=6,可知系统是可控的。因此可以对系统进行控制器的设计,使其稳定。
2 LQR控制器设计
2.1 二级倒立摆LQR控制器的状态加权阵Q和R
LQR即线性二次型控制器,对于线性系统X=AX+BU,Y=CX,确定一个最优反馈控制律U*=-KX,使得如下性能指标最小化:
二级倒立摆采用二次型性能指标的最优控制问题实质上就是用较小的控制能量来获得较小误差的最优控制。Q是对称的半正定矩阵,R是对称的正定矩阵,因此,可以把矩阵Q选为对角矩阵,这样二级倒立摆的目标矩阵就可以表示为:
而二级倒立摆线性二次最优控制一个最关键的问题就是二次型性能指标中最优状态加权矩阵Q和R的选取。状态加权矩阵,即待优化的设计变量:
2.2 基于混合算法的LQR最优控制器的Q和R的优化
混合算法集合了遗传算法和最优化的优点,克服了彼此的不足,是一种有效解决最优化问题的方法。
从最优化问题的求解的方法看,用最优化的算法优化速度快、精度高,但一次只能搜索到一个解,这个解往往是局部最优值;而遗传算法则可以不需要任何初始信息就能寻得全局最优值,但是其求取最优值算法的精度和优化速度均不是很理想。在实际求解问题中,可以考虑采用混合算法策略,先用遗传算法初步定出较好最优值的大概位置,然后以该值为初值,再做最优化处理,快速、准确地求出该最优值。
基于混合算法的LQR最优控制器的Q和R的优化过程如图2所示。
3 基于混合算法的Q和R优化过程及仿真结果
3.1 基于混合算法的Q和R优化过程
仿真计算机处理器Intel(R)Core(TM)i5 661@3.33GHz,内存1.89GB,应用软件MatlabR2008a。在混合算法中,利用的遗传算法采用实值编码方式,待优化的7个参数如式(4)所示,且初始范围上限定为[400 500 600400 200 300 10],下限定为[250 250 250 1 0.1 0.5 0.01],初始种群数为40,适应度的计算是基于排列顺序的,选择采用随机历遍抽样,交叉采用中间重组,交叉概率为0.9,变异采用均匀变异,变异的概率为0.1,最大运行代数分别为200代和20代。在遗传算法搜索过程中采用精英保留策略,该策略的实施可保证最优个体不会被交叉、变异所破坏,而且可以保证遗传算法的全局收敛性[10]。得出遗传算法优化Q和R的过程和最佳个体,如图3和图4所示。
由图3可以看出,适应度函数值是逐渐趋向于收敛的,并且开始收敛速度较快而后收敛速度变缓。由于受到遗传算法收敛速度和进化代数的限制,适应度函数没有完全收敛,不能够取得目标函数全局搜索的最小值,所以这样所得到的结果不是全局最优的。大量仿真结果表明,进化10代内,收敛速度快;10代之后,适应度函数的收敛速度明显变慢,基本收敛。进化10代的优化的结果为:
基于最优保留的遗传算法起始进化收敛速度很快,迭代10代得到的Q和R值已经非常接近于最小值,即准最优解。根据混合算法,在遗传算法优化结果的基础上,对遗传算法的优化结果进行局部最优化,进而得到全局最优解。局部最优化采用fmincon函数,以Q=diag[253.847 422.022 396.385 78.201 1.62130.228],R=[2.333],作为搜索初始值,为保证算法性能比较的准确性,待优化变量的约束与遗传算法设置相同,即上限是[400 500 600 400 200 300 10],下限是[250 250 250 1 0.1 0.5 0.01],适应度函数同为目标矩阵式(3),变量最优值点间的误差阈值为1.0010-6,适应度函数值的误差阈值为1.0010-6。最优化处理后的目标函数的优化过程和最佳个体如图5所示。
图3、图4、图5中的7个优化变量依次对应式(4)中加权矩阵Q和R的值,变量数值1、2、3所对应的值较大,说明对小车位移、下摆角位移、上摆角位移的要求较严格;变量数值7较小,即对倒立摆系统的输入量要求较小,控制费用较低,反馈增强,系统响应迅速。
从适应度函数的最小值的结果看,混合算法的结果要比遗传算法进化200代的结果精度高;从优化过程需要的时间看,遗传算法进化200代耗时827.1s;混合算法的优化时间是遗传算法进化10代耗时44.8s和最优化函数fmincon优化时间84.7s之和,即总耗时129.5s。因此,基于混合算法优化的结果要比遗传算法优化的结果更加节省时间,并且精度更高。
最优化迭代得到的结果为:
状态反馈矩阵为:
3.2 基于混合算法的二级倒立摆LQR仿真结果
基于混合算法和基于遗传算法的二级倒立摆LQR控制器对系统的仿真结果如图6所示。
仿真结果表明,基于混合算法和基于遗传算法进化200代的二级倒立摆LQR控制器控制效果很相似,但混合算法的超调量较小;混合算法和遗传算法进化200代都要比遗传算法进化10代的调节时间短;遗传算法进化200代的超调量要比遗传算法进化10代的超调量大。因此,基于混合算法的结果无论在超调量还是在调节时间上都是最好的。
4 结论
提出一种基于混合策略遗传算法的LQR最优控制器设计方法,即利用遗传算法的全局随机搜索能力对LQR中的加权矩阵进行寻优,避免在设计倒立摆最优控制器时对Q和R矩阵选择的盲目性,求得较好的最优值,即准最优解。然后对准最优值采用fmincon函数进行最优化处理,进而快速准确地求取最优值。结果表明:采用混合算法优化,提高了优化速度和精度,并且基于混合算法的二级倒立摆系统的控制器要比基于遗传算法的控制器的系统超调量小,系统稳定的调节时间更短,使二级倒立摆的控制效果得到改善。
参考文献
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LQR方法 第7篇
两轮平衡小车是轮式移动机器人的一种,是一个具体的、复杂的类倒立摆系统。本文在ADAMS中建立平衡小车的机械简化模型,实时接收由MATLAB传送给ADAMS的控制数据,形成控制系统与检测系统的控制回路,并应用PID与LQR两种控制算法对小车进行控制效果的研究。
1 平衡小车模型的建立
ADAMS中有两种建模方式:一种是在Pro/E中建立模型,然后导入ADAMS中;一种是利用ADAMS中的工具箱进行建模。本文利用ADAMS中的工具箱进行两轮平衡小车模型的搭建,搭建好的小车简化模型如图1所示。
2 PID与LQR控制模块的建立
两轮自平衡小车的联合仿真系统包括两个部分:ADAMS/Control生成的小车机械模型部分和在MATLAB中建立的PID及LQR控制策略。
图2为平衡小车的PID控制结构图。PID控制策略是工业控制中最为广泛的一种控制方法,PID控制策略中的Kp(比例系数)、Ti(积分时间常数)、Td(微分时间常数)是通过经验法来确定的。本文使用经验法,经过多次试验仿真,并作了比较,最终确定各参数的值为:Kp=1 050,Ti=0,Td=125。
图3为平衡小车的LQR控制结构图。LQR控制理论的任务在于系统偏离平衡状态时,在不消耗过多能量的情况下使系统的各分量达到平衡。本文应用MATLAB软件,借助其中的LQR函数可以直接求出状态反馈系数,最终确定的角度和角速度相对应的反馈系数分别为1 400和230。
3 联合仿真实验
本文利用ADAMS中自带的零件库建立了两轮平衡小车的机械模型。模型的具体参数如下:车体质量为30 kg,摆杆质量为30 kg,摆杆初始摆角为0.35 rad。
图4为LQR控制策略下两轮平衡小车的角度响应图。由图4可以看出,系统摆杆从初始摆角0.35 rad逐渐趋于0 rad,系统无超调,控制效果良好。系统的响应时间为1 s,响应迅速。图5为LQR控制策略下两轮平衡小车角速度响应图。从图5中可以看出角速度在0.1 s的时间内达到最大值(绝对值最大),在0.1 s时系统摆杆的摆幅最大。图6为LQR控制策略下两轮平衡小车的力输出图。从图6中可以看出系统的响应时间为1 s,系统无超调量,系统的最大输出力为500 N。
由图4~图6可以看出:LQR控制策略下,两轮平衡小车的摆杆能够在较短的时间内从初始摆角处恢复到平衡状态,系统具有快速的响应性并且具有很好的稳定性。
图7是PID控制策略下两轮平衡小车的角度响应曲线图。从图7中可以看出:在0 s~4 s的时间内,系统摆杆在-1 rad~1 rad内摆动;在4 s~9 s的时间内,系统摆杆在-6 rad~-2 rad内摆动;系统的响应时间为0.3 s,系统没有被有效地控制。图8为PID控制策略下两轮平衡小车的角速度响应曲线图。从图8中可以看出:在0 s~4 s的时间内,系统摆杆的角速度在-5 rad/s~5 rad/s内变化;在4 s~9 s的时间内,系统摆杆的角速度在-30 rad/s~30 rad/s内变化。图9为PID控制策略下两轮平衡小车的力输出曲线图。从图9中可以看出:在0 s~4 s的时间内,系统输出力为-300 N~300 N;在4 s~9 s的时间内,系统输出力为0 N~9 000 N。
由图7~图9可以看出:在PID控制策略下,两轮平衡小车的摆杆不能在较短的时间内从初始摆角处恢复到平衡状态,系统的响应性和稳定性较差。
4 总结
通过ADAMS和MATLAB的联合仿真,可以得出以下结论:LQR控制算法对于两轮平衡小车有着很好的控制能力,能在短时间内对小车系统进行纠正,使系统达到平衡状态,具有较好的鲁棒性和稳定性,且系统输出力较小,无超调现象。
摘要：两轮平衡小车是一种非线性、强耦合、多变量的系统,是检验各种控制方法处理能力的典型装置。在ADAMS与MATLAB软件平台下,应用PID与LQR两种控制算法对两轮平衡小车的控制效果进行研究。研究表明:LQR的控制效果较好,适应性更好。
关键词：两轮平衡小车,PID与LQR,控制算法,仿真
参考文献
[1]段旭东,魏衡华,陈星.基于DSP的二轮小车倒立摆系统[J].控制工程,2004,11(6):522-524.
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LQR方法范文
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