分解因式测试题

分解因式测试题（精选6篇）

分解因式测试题 第1篇

一、待定系数法

例1分解因式x4+2x2+x+2.

解设x4+2x2+x+2= (x2+ax+1) (x2+bx+2) .

则有x4+2x2+x+2=x4+ (a+b) x3+ (ab+3) x2+ (2a+b) x+2.

比较对应的系数, 得:

a+b=0, ab+3=2, 2a+b=1.故a=1, b=-1.

因此, x4+2x2+x+2= (x2+x+1) (x2-x+2) .

说明用待定系数法分解因式, 就是按已知条件把原式假设为若干个因式的乘积, 然后利用恒等式的性质列出方程组, 再求出各待定系数的值.这一方法的关键是如何判定各因式的形式.

二、添项法

例2分解因式a5+a4+1.

1. 按照某一字母的降 (升) 幂添项

解a5+a4+1=a5+a4+ (a3+a2+a) - (a3+a2+a) +1=a3 (a2+a+1) + (a2+a+1) -a (a2+a+1) = (a2+a+1) (a3-a+1) .

2. 利用各项系数之间的关系添项

例3分解因式2x3-x2-1.

解2x3-x2-1=2x3-2x2+x2+x-x-1= (2x3-2x2) + (x2-x) + (x-1) = (x-1) (2x2+x+1)

小结对于某些不易分解的因式, 可先添置“某些项”, 再减去“某些项”, 使这些项的代数和为零, 然后再施行变化, 重新组合, 就能顺利分解.

三、拆项法

1. 拆二次项构造公因式

例4分解因式x3-3x2+4x-4.

分析考虑到-x2+4x-4=- (x-2) 2, 因此可将-3x2拆成-2x2和-x2两项, 问题就容易多了.

解x3-3x2+4x-4=x3-2x2- (x2-4x+4) =x2 (x-2) - (x-2) 2= (x-2) (x2-x+2) .

2. 拆一次项构造公因式

例5分解因式x3-2x-1.

分析先将-2x拆成-x, -x两项, 即可分解.

解x3-2x-1=x3-x-x-1=x3-x- (x+1) =x (x2-1) - (x+1) = (x+1) (x2-x-1) .

3. 同时拆二次项和一次项构造公因式

例6分解因式x3+5x2+3x-9.

分析易知9=32推测式中应含有- (x2+6x+9) , 故可将5x2拆成6x2-x2两项3x拆成9x与-6x两项, 思路就会豁然开朗了.

解x3+5x2+3x-9=x3+6x2+9x- (x2+6x+9) =x (x2+6x+9) - (x2+6x+9) = (x-1) (x+3) 2.

小结拆项法比较灵活, 应用时要注意把各项联系起来考虑, 关键是拆开再重新组合后要找出公因式.

四、配方法

例7分解因式a4+4.

解a4+4= (a2) 2+22+2 (2a2) -2 (2a2) = (a2+2) 2- (2a) 2= (a2+2a+2) (a2-2a+2) .

说明配方法利用的是完全平方公式, 它在本质上是添项法的一种特殊变形.

五、求根公式法

例8分解因式2x2+3x-2.

解设2x2+3x-2=0由一元二次方程的求根公式得到 .

小结对一个二次式, 先设其等于0, 并将其中的一个字母视为未知数, 再求出两根, 写出a (x-X1) (x-X2) 的形式, 最后整理成最简形式.

六、换元法

例9分解因式 (x-1) (x-2) (x-3) (x-4) -35.

解原式= (x2-5x+4) (x2-5x+6) -35.

令x2-5x+5=y,

于是原式= (y+1) (y-1) =y2-36= (y+6) (y-6) .

因此 (x-1) (x-2) (x-3) (x-4) -35= (x2-5x+11) (x2-5x-1) .

小结利用换元法, 可使题目由繁变简, 由难化易, 从而比较顺利地看出解题途径.

七、判别式法

例10分解因式x4+2x2-20x-16.

解设原式 .可见, 如果原式能分解, 则必须 能成完全平方式.于是得出它的判别式 , 从而m=6 (取有理数) .

故x4+2x2-20x-16= (x2+2x+8) (x2-2x-2)

说明此法属于待定系数法, 应用了二次三项式为完全平方式, 得出它的根的判别式必为零这一结论.

八、多项式除法

例11分解因式x5-1.

第四章因式分解测试题 第2篇

1.下列各多项式中,不能用平方差公式分解的是( )

A.a2b2-1 B.4-0.25a2 C.-a2-b2 D.-x2+1

2.如果多项式x2-mx+9是一个完全平方式,那么m的值为( )

A.-3 B.-6 C.±3 D.±6

3.下列变形是分解因式的是( )

A.6x2y2=3xy2xy B.a2-4ab+4b2=(a-2b)2

C.(x+2)(x+1)=x2+3x+2 D.x2-9-6x=(x+3)(x-3)-6x

4.下列多项式的分解因式，正确的是( )

A.12xyz 9x2y2 3xyz(4 3xyz) B.3a2y 3ay 6y 3y(a2 a 2)

C. x2 xy xz x(x2 y z) D.a2b 5ab b b(a2 5a)

5.满足m2 n2 2m 6n 10 0的是( )

A.m 1,n 3 B.m 1,n 3 C.m 1,n 3 D.m 1,n 3

6.把多项式m2(a 2) m(2 a)分解因式等于(

A (a 2)(m2 m) B (a 2)(m2 m)

C、m(a-2)(m-1) D、m(a-2)(m+1) )

7.已知多项式2x2 bx c分解因式为2(x 3)(x 1)，则b,c的值为( )

A、b 3,c 1 B、b 6,c 2 C、b 6,c 4 D、b 4,c 6

228、若n为任意整数，(n 11) n的值总可以被k整除，则k等于( )

A. 11 B. 22 C. 11或22 D. 11的倍数

二、填空题：(每小题3分，共24分)

9.多项式-2x2-12xy2+8xy3的公因式是_____________.

10.分解因式：2x3 18x __________

2224x 9y 11.完全平方式

12.利用分解因式计算:3+63-3=_____________.

13.若A 3x 5y，B y 3x，则A2 2A B B2 _________

14.若x2 px q (x 2)(x 4)，则p，q。

15.已知a

11 3，则a2 2的值是。 aa

16.已知正方形的面积是9x2 6xy y2 (x>0，y>0),利用分解因式，写出表示该正方形的边长的.代数式 。

三、解答题：(共52分)

17：分解因式(16分)

(1)(x2+2x)2+2(x2+2x)+1 (2)m2(m n)2 4(n m)2

(3) x3 x2 1

4x (4)(a b)(3a b)2 (a 3b)2(b a)

18. 计算(每小题4分，共8分)

(1)2022+1982

20043 2 20042 2002

(2)20043 20042

19.已知x2-2(m-3)x+25是完全平方式,你能确定m的值吗?不妨试一试.(6分)

20.先分解因式,再求值：(6分)

已知a b 2，ab 2，求1a3b a2b2 1ab3

22的值。

21.不解方程组 2x y 6，求

x 3y 17y(x 3y)2 2(3y x)3的值。(8分)

22.读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：(8分)

1+x+x(x+1)+x(x+1)2=(1+x)[1+x+x(x+1)]

=(1+x)2(1+x)

=(1+x)3

(1)上述分解因式的方法是 ，共应用了 次.

(2)若分解1+x+x(x+1)+x(x+1)2++ x(x+1)2004，则需应用上述方法 次，结果是 .

(3)分解因式：1+x+x(x+1)+x(x+1)2++ x(x+1)n(n为正整数).

参考答案：

一、选择题：

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9：2x 10:2x(x+3)(x-3) 11:±12xy,2x±3y 12：0 13：(6x-4y)2 14：-2、-8 15：7 16：3x+y

三、解答题：

17：(1)(x+1)4 (2)(m-n)2(m+2)(m-2)

18：(1)80008 (2)2002

2005

19：m=8或m=-2

20. 4

21：原式=7y(x-3y)2+2(x-3y)3

=(x-3y)2(7y+2x-6y)

=(x-3y)2(2x+y)

=126

=6.

22：(1)提公因式、2

(2)2004、(1+x)2005

(3)(1+x)n+1

分解因式综合测试题 第3篇

1. 下列分解因式中错误的是（）

A. 1-9x2=（1+3x）（1-3x）B. a2-a+=a－

2

C. -mx+my=-m（x+y）D. a2b+5ab-b=b（a2+5a-1）

2. 下列多项式中，不能用公式分解因式的是（）

A. x2-x+B. ++C. -x2-y2D. m4-25

3. 将多项式（1+x）（1-x）-（x-1）提公因式x-1后，余下的部分是（）

A. （x+1）B. -（x+1）C. xD. -（x+2）

4. 设M=a（a+1）（a+2），N=a（a-1）（a+1），那么M-N等于（）

A. a2+aB. （a+1）（a+2）C. a2+a D. （a+1）（a+2）

5. 若（2x）n-81能分解成（4x2+9）（2x+3）（2x-3），那么n的值是（）

A. 2 B. 4C. 6D. 8

6. 把7x3y（x-y）3-14x4y3（y-x）2分解因式，结果是（）

A. 7（x-y）3（x3y-2x4y3）B. 7x3y（x-y）2（x-y+2xy2）

C. 7x3y（x-y）2（x-y-2xy2）D. 7x3y（y-x）2（x-y+2xy2）

7. 计算16.6×0.125+15.4×0.125的结果是（）

A. 3B. 4.2C. 4D. 3.2

8. 若多项式4x2+1加上一个单项式后，能成为一个完全平方式，则加上的单项式不可以是（）

A. 4xB. -4xC. 4x4D. -4x4

9. 已知四边形ABCD的四条边长依次为a，b，c，d，且 （a2+ab）-（ac+bc）=0,（b2+bc）-（bd+cd）=0，那么四边形ABCD是（）

A. 一般平行四边形B. 矩形C. 菱形D. 梯形

二、填空题（每题3分，共24分）

10. a2b4-4ab2c+（）=（）2．

11. 若多项式x2-kx+9是完全平方式，则常数k=．

12. 多项式-5ab+15a2bx-35ab2y各项的公因式是．

13. 已知n2-n-1=0，则n3-n2-n+5的值是．

14. 已知一个矩形的面积为4a2-2ab+b2，其一边长为4a-b,则其周长为．

15. 若ax2+bx+c=（3x+1）（4x-3），则a=，b=，c=.

16. 计算：=．

17. 若｜p+2｜与q2-8q+16互为相反数，分解因式：x2+y2-pxy－q=．

三、解答题（18题20分，19题10分，20题5分，21题6分，22题8分，共49分）

18. 分解因式．

（1） -8m3+16m2-6m；

（2） m2-n2-n（m+n）（m-n）；

（3） a2（a+2b）2-9（a+b）2；

（4） （x2+9）2-36x2．

19. 用简便方法计算．

（1） 0.41×39.8+0.35×39.8+2.4×3.98；

（2） ．

20. 已知x=156，y=144,求代数式x2+xy+y2的值.

21. 已知x=6.61，y=-3.39.求（x-y）（x2+3xy+y2）-5xy（x-y）的值.

22. 求证：（1）817-279-913能被45整除.

（2） 不论x为何实数，多项式-2x4+12x3-18x2的值都不会是正数.

四、附加题

23. 设a为自然数，试判断3+3a+a（a+1）是质数还是合数，并说明理由.

如何学好因式分解 第4篇

一、首先应明确因式分解的要求

(1) 因式分解的结果必须是整式乘积的形式。

(2) 结果中的每个因式必须是整式, 且每个因式的次数必须低于原来多项式的次数, 不能出现undefined或undefined的形式。

(3) 必须将多项式分解到不能再分解为止。不要出现x4-y4= (x2+y2) (x2-y2) 的形式。

(4) 分解的最后结果中, 相同的因式应写成幂的形式。

二、掌握两种基本的方法

1.提取公因式法。

温馨忠告:这种方法的关键是找出公因式, 公因式的构成为:系数各项系数的最大公约数;字母取各项都含有的相同字母;指数相同字母指数的最低次幂。

例1 用提公因式法分解因式:-3ab3+18ab2-3ab

分析:因本题所给多项式的三项系数-3, 18, -3的最大公约数是3, 各项相同字母的最低次幂为ab, 第一项的系数为负, 由上面确定公因式的方法可得本题的公因式为-3ab。将其提出即可使本题得解。

解:原式=-3ab (b2-6b+1) 。

友情提示:应用这种解法时应注意:①公因式要提尽;②提公因式后括号内不能漏掉单独成一项的“1”;③当首项的系数为负数时, 要先把“-”号提出, 使得括号内的第一项的系数为正, 且此时括号内各项都变号。

牛刀小试:用提公因式法分解因式:-4a3b2+6a2b-2ab。答案为:-2ab (2a2b-3a+1) 。

例2 分解因式:x (x-y) 3+2x2 (x-y) 2-2xy (x-y) 2

分析:所给多项式很奇特, 各项中均含有x和 (x-y) , 此时应将 (x-y) 作为一个整体来看待, 取其最低次幂和 x的积作为公因式将其从各项中提出, 再据此得出的结果去分解。

解:原式=x (x-y) 2 (x-y+2x-2y)

=x (x-y) 2 (3x-3y)

=3x (x-y) 2 (x-y)

=3x (x-y) 3.

经典存盘:此类题求解应利用整体观点理解公因式, 同时还应注意符号变换, 如当n为自然数时, 有 (a-b) 2n= (b-a) 2n, (a-b) 2n-1=- (b-a) 2n-1。另外因式分解后各个因式还要化简 (如上面解法第一步后要合并同类项) , 当出现新的公因式时还应提出, 并且注意相同的因式要写成幂的形式。

跟踪练习:

把2x (a-b) 4+ax (a-b) 3+bx (b-a) 3分解因式。答案为:3x (a-b) 4。

2.运用公式法

这种方法求解时首先要弄清各个公式的特点, 如平方差公式, 其特点是: (1) 有两项; (2) 这两项都是平方项, 且这两项的符号相反。

对完全平方公式, 其特点是: (1) 有三项; (2) 首末两项是平方项, 中间两项是首末两项底数积的2倍。且首、末两项的符号相同, 公式中的字母可以是任何数, 也可以是单项式和多项式。上面几点要记牢吆!!

例3 (06邵阳市) 分解因式4a2-4ab+b2

分析:因4a2= (2a) 2, -4ab=-2 (2a) b, b2=b2, 符合两数差的平方公式的特点, 故应将其按两数和的平方公式分解。

解:原式= (2a) 2-2 (2a) b+b2

= (2a-b) 2

解题秘诀:此类题求解首先进行观察, 判断所要分解的多项式是否符合某个公式的特点;其次还要分清要分解的多项式的各项与相应的公式的各项的对应表示, 将其变成完全符合公式的形式, 再分解, 注意在求解的过程中要根据题目的特点及时化简!

举一反三:分解因式169 (a+b) 2-121 (a-b) 2.

答案:4 (12a+b) (a+12b) 。

三、综合运用, 提升能力

在掌握上述两种分解因式方法的基础上, 还应根据题目的特点灵活的综合运用这些方法求解与此有关的一些综合性的问题。

例4 (06玉林市、防城港市) 若x+y=1003, x-y=2, 则x2-y2的值是 _____ 。

分析:因x2-y2= (x+y) (x-y) , 这样就将已知条件和求值式联系起来了, 将已知整体代入求值式即可得解。

解:∵x2-y2= (x+y) (x-y) , 又因x+y=1003, x-y=2, 将其代入该式可得x2-y2=2006。

彰显你的能力: (2006吉林省) 若m+n=8, mn=12, 则mn2+m2n的值为 _____。答案:96。

经典提炼:此类题求解应认真分析已知条件和求值式的特点, 将所给求值式分解因式, 再将已知条件整体代入即可。

例6 (2006烟台市非实验区) 如图, 有三种卡片, 其中边长为a的正方形卡片1张, 边长为分别为a、b的矩形卡片6张, 边长为b的正方形卡片9张, 用这16张卡片拼成一个正方形, 则这个正方形的边长为 ______ 。

分析:这样的题很有趣, 不妨先计算所给的这些图形的面积之和, 再根据计算的结果和已知得出结论。

解:依据题意可知所给的这些卡片的面积之和为a2+6ab+9b2= (a+3b) 2, 又因这些卡片需拼成一个正方形, 由此可知这个正方形的边长为a+3b。

解后感言:这是一类与因式分解有关的推理演算题, 根据所给的条件首先计算出所给的图形的面积之和, 再结合完全平方公式和已知确定应得答案。

分解因式测试题 第5篇

一.单选题（共10题；共30分）

1.4x2-12x+m2是一个完全平方式，则m的值应为（）

A.3                                         B.-3                                         C.3或-3                                         D.9

2.下列多项式，能用完全平方公式分解因式的是（）

A.x2+xy+y2                            B.x2-2x-1                            C.-x2-2x-1                            D.x2+4y2

3.已知多项式分解因式为，则的值为（）

A.B.C.D.4.下列分解因式正确的是（）

A.B.C.D.5.若m＞-1，则多项式m3-m2-m+1的值为（）

A.正数                                  B.负数                                  C.非负数                                  D.非正数

6.下列从左到右的变形，是因式分解的是（）

A.（a+3）（a﹣3）=a2﹣9                                  B.x2+x﹣5=x（x+1）﹣5

C.x2+4x+4=（x+2）2                                          D.x2﹣4=（x﹣2）2

7.如果多项式x2﹣mx+6分解因式的结果是（x﹣3）（x+n），那么m，n的值分别是（）

A.m=﹣2，n=5                    B.m=2，n=5                  C.m=5，n=﹣2                  D.m=﹣5，n=2

8.﹣（3x﹣1）（x+2y）是下列哪个多项式的分解结果（）

A.3x2+6xy﹣x﹣2y           B.3x2﹣6xy+x﹣2y           C.x+2y+3x2+6xy           D.x+2y﹣3x2﹣6xy

9.不论a，b为何有理数，a2+b2﹣2a﹣4b+c的值总是非负数，则c的最小值是（）

A.4                                       B.5                                       C.6                                       D.无法确定

10.下列各式从左到右的变形为分解因式的是（）

A.m2﹣m﹣6=（m+2）（m﹣3）B.（m+2）（m﹣3）=m2﹣m﹣6

C.x2+8x﹣9=（x+3）（x﹣3）+8x                      D.x2+1=x（x+）

二.填空题（共8题；共24分）

11.因式分解：a2﹣2a=​________

.12.因式分解：x2﹣1= ________.13.分解因式：9a﹣a3=________ ．

14.分解因式：4x3﹣2x=________

15.分解因式：4ax2﹣ay2=________．

16.分解因式：a3﹣a=________．

17.已知a+b=3，ab=2，则a2b+ab2=________．

18.分解因式：xy4﹣6xy3+9xy2=________．

三.解答题（共6题；共42分）

19.已知关于x的多项式2x3+5x2﹣x+b有一个因式为x+2，求b的值．

20.分解2x4﹣3x3+mx2+7x+n，其中含因式（x+2）和（x﹣1），求m，n．

21.已知：a﹣b=﹣2015，ab=﹣，求a2b﹣ab2的值．

22.我们对多项式x²+x﹣6进行因式分解时，可以用特定系数法求解．例如，我们可以先设x2+x﹣6=（x+a）（x+b），显然这是一个恒等式．根据多项式乘法将等式右边展开有：x2+x﹣6=（x+a）（x+b）=x²+（a+b）x+ab

所以，根据等式两边对应项的系数相等，可得：a+b=1，ab=﹣6，解得a=3，b=﹣2或者a=﹣2，b=3．所以x2+x﹣6=（x+3）（x﹣2）．当然这也说明多项式x2+x﹣6含有因式：x+3和x﹣2．

像上面这种通过利用恒等式的性质来求未知数的方法叫特定系数法．利用上述材料及示例解决以下问题．

（1）已知关于x的多项式x2+mx﹣15有一个因式为x﹣1，求m的值；

（2）已知关于x的多项式2x3+5x2﹣x+b有一个因式为x+2，求b的值．

24.（1）计算：（﹣a2）3b2+2a4b

（2）因式分解：3x﹣12x3

．

答案解析

一.单选题

1.【答案】C

【考点】因式分解-运用公式法

【解析】【分析】根据完全平方式的构成即可得到结果。

【解答】∵4x2-12x+m2=(2x)2-2×2x×3+m2，∴m2=32=9，解得m=

故选C.【点评】解答本题的关键是熟练掌握完全平方公式。

2.【答案】C

【考点】因式分解-运用公式法

【解析】【解答】x2+2xy+y2=（x+y)2，x2-2x+1=（x-1)2；-x2-2x-1=-（x+1)2；x2+4xy+y2=（x+2y)2，故选C．

【分析】由于x2+2xy+y2=（x+y)2，x2-2x+1=（x-1)2，-x2-2x-1=-（x+1)2，x2+4xy+y2=（x+2y)2，则说明只有-x2-2x-1能用完全平方公式分解因式．本题考查了运用完全平方公式分解因式：a2±2ab+b2=（a±b)2

．

3.【答案】C

【考点】因式分解的应用

【解析】【分析】去括号可得。

故

故选择C。

【点评】本题难度较低，主要考查学生对分解因式整式运算知识点的掌握，去括号整理化简即可。

4.【答案】D

【考点】因式分解的意义

【解析】【分析】根据提公因式法和公式法分别分解因式，从而可判断求解．

选项A、，故错误；

选项B、，故错误；

选项C、，故错误；

选项D、，故正确．故选D．

5.【答案】C

【考点】多项式，因式分解的应用，因式分解-分组分解法

【解析】【解答】多项式m3-m2-m+1

=（m3-m2）-（m-1），=m2（m-1）-（m-1），=（m-1）（m2-1）

=（m-1）2（m+1），∵m＞-1，∴（m-1）2≥0，m+1＞0，∴m3-m2-m+1=（m-1）2（m+1）≥0．

选：C．

【分析】解此题时可把多项式m3-m2-m+1分解因式，根据分解的结果即可判断

6.【答案】C

【考点】因式分解的意义

【解析】【解答】解：A、（a+3）（a﹣3）=a2﹣9是多项式乘法运算，故此选项错误；

B、x2+x﹣5=x（x+1）﹣5，不是因式分解，故此选项错误；

C、x2+4x+4=（x+2）2，是因式分解，故此选项正确；

D、x2﹣4=（x﹣2）（x+2），故此选项错误．

故选：C．

【分析】根据把多项式写出几个整式积的形式叫做因式分解对各选项分析判断后利用排除法求解．

7.【答案】C

【考点】因式分解的应用

【解析】【解答】解：x2﹣mx+6=（x﹣3）（x+n）=x2+（n﹣3）x﹣3n，可得﹣m=n﹣3，﹣3n=6，解得：m=5，n=﹣2．

故选C

【分析】因式分解的结果利用多项式乘以多项式法则计算，利用多项式相等的条件求出m与n的值即可．

8.【答案】D

【考点】因式分解-分组分解法

【解析】【解答】解：3x2+6xy﹣x﹣2y=（3x﹣1）（x+2y），A错误；

3x2﹣6xy+x﹣2y=（3x﹣1）（x﹣2y），B错误；

x+2y+3x2+6xy=（3x+1）（x+2y），C错误；

x+2y﹣3x2﹣6xy=﹣（3x﹣1）（x+2y），D正确．

故选：D．

【分析】根据分组分解法把各个选项中的多项式进行因式分解，选择正确的答案．

9.【答案】B

【考点】因式分解的应用

【解析】【解答】解：∵a2+b2﹣2a﹣4b+c=（a﹣1）2﹣1+（b﹣2）2﹣4+c=（a﹣1）2+（b﹣2）2+c﹣5≥0，∴c的最小值是5；

故选B．

【分析】先把给出的式子通过完全平方公式化成（a﹣1）2﹣1+（b﹣2）2﹣4+c≥，再根据非负数的性质，即可求出c的最小值．

10.【答案】A

【考点】因式分解的意义，因式分解-十字相乘法

【解析】【解答】解：A、符合因式分解的定义，是因式分解，故正确；

B、是多项式乘法，故不符合；

C、右边不是积的形式，故不表示因式分解；

D、左边的多项式不能进行因式分解，故不符合；

故选A.二.填空题

11.【答案】a（a﹣2）

【考点】因式分解-提公因式法

【解析】【解答】a2﹣2a=a（a﹣2）．

故答案为：a（a﹣2）．

【分析】先确定公因式是a，然后提取公因式即可．

12.【答案】（x+1）（x﹣1）

【考点】因式分解-运用公式法

【解析】【解答】解：原式=（x+1）（x﹣1）．

故答案为：（x+1）（x﹣1）

【分析】代数式利用平方差公式分解即可．

13.【答案】a（3+a）（3﹣a）

【考点】提公因式法与公式法的综合运用

【解析】【解答】

9a﹣a3，=“a”

（9﹣a2），=a（3+a）（3﹣a）．

【分析】

本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，熟记公式是解题的关键，难点在于要进行二次分解因式．

先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．

14.【答案】2x（2x2﹣1）

【考点】公因式

【解析】【解答】解：4x3﹣2x=2x（2x2﹣1）．

故答案为：2x（2x2﹣1）．

【分析】首直接提取公因式2x，进而分解因式得出答案．

15.【答案】a（2x+y）（2x﹣y）

【考点】提公因式法与公式法的综合运用

【解析】【解答】解：原式=a（4x2﹣y2）

=a（2x+y）（2x﹣y），故答案为：a（2x+y）（2x﹣y）．

【分析】首先提取公因式a，再利用平方差进行分解即可．

16.【答案】a（a+1）（a﹣1）

【考点】提公因式法与公式法的综合运用

【解析】【解答】解：a3﹣a，=a（a2﹣1），=a（a+1）（a﹣1）．

故答案为：a（a+1）（a﹣1）．

【分析】先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．

17.【答案】6

【考点】因式分解-提公因式法

【解析】【解答】解：∵a+b=3，ab=2，∴a2b+ab2=ab（a+b）=6．

故答案为：6．

【分析】首先将原式提取公因式ab，进而分解因式求出即可．

18.【答案】xy2（y﹣3）2

【考点】提公因式法与公式法的综合运用

【解析】【解答】解：原式=xy2（y2﹣6y+9）=xy2（y﹣3）2，故答案为：xy2（y﹣3）2

【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．

三.解答题

19.【答案】解：∵x的多项式2x3+5x2﹣x+b分解因式后有一个因式是x+2，当x=﹣2时多项式的值为0，即16+20﹣2+b=0，解得：b=﹣34．

即b的值是﹣34．

【考点】因式分解的意义

【解析】【分析】由于x的多项式2x3+5x2﹣x+b分解因式后有一个因式是x+2，所以当x=﹣2时多项式的值为0，由此得到关于b的方程，解方程即可求出b的值．

20.【答案】解：∵分解2x4﹣3x3+mx2+7x+n，其中含因式（x+2）和（x﹣1），∴x=1、x=﹣2肯定是关于x的方程2x4﹣3x2+mx2+7x+n=0的两个根，∴2-3+m+7+n=032-24+4m-14+n=0，解得：m=-103n=-83

【考点】因式分解的意义

【解析】【分析】由“多项式2x4﹣3x3+mx2+7x+n含有因式（x﹣1）和（x+2）”得到“x=1、x=﹣2肯定是关于x的方程2x4﹣3x3+mx2+7x+n=0的两个根”，所以将其分别代入该方程列出关于m、n的方程组，通过解方程组来求m、n的值．

21.【答案】解：∵a2b﹣ab2=ab（a﹣b），∴ab（a﹣b）=（﹣2015）×（﹣）=2016．

【考点】代数式求值，因式分解-提公因式法

【解析】【分析】首先把代数式因式分解，再进一步代入求得数值即可．

22.【答案】解：（1）由题设知：x2+mx﹣15=（x﹣1）（x+n）=x2+（n﹣1）x﹣n，故m=n﹣1，﹣n=﹣15，解得n=15，m=14．

故m的值是14；

（2）由题设知：2x3+5x2﹣x+b=（x+2）（2x+t）（x+k）=2x3+（2k+t+4）x2+（4k+2t+kt）x+2kt，∴2k+t+4=5，4k+2t+kt=﹣1，2kt=b．

解得：k1=32，k2=﹣1．

∴t1=﹣2，t2=3．

∴b1=b2=2kt=﹣6．

【考点】因式分解-运用公式法，因式分解的应用

【解析】【分析】（1）根据多项式乘法将等式右边展开有：x2+mx﹣15=（x﹣1）（x+n）=x2+（n﹣1）x﹣n，所以，根据等式两边对应项的系数相等可以求得m的值；

（2）解答思路同（1）．

23.【答案】解：（1）证明：

z=3x（3y﹣x）﹣（4x﹣3y）（x+3y）

=9xy﹣3x2﹣（4x2+9xy﹣9y2）

=9xy﹣3x2﹣4x2﹣9xy+9y2

=﹣7x2+9y2

∵x是3的倍数时，∴z能被9整除．

（2）当y=x+1时，则z=﹣7x2+9（x+1）2

=2x2+18x+9

=2（x+92）2﹣632

∵2（x+98）2≥0

∴z的最小值是﹣632

．

【考点】因式分解-运用公式法，因式分解的应用

【解析】【分析】（1）首先利用整式的乘法计算方法计算，进一步合并求证得出答案即可；

（2）把y=x+1代入（1）中，整理利用二次函数的性质解决问题．

24.【答案】解：（1）原式=﹣a6b2+2a4b；

（2）原式=﹣3x（x2﹣1）=﹣3x（x+1）（x﹣1）．

【考点】整式的混合运算，提公因式法与公式法的综合运用

【解析】【分析】（1）原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算即可得到结果；

《分解因式》复习指导 第6篇

1. 重点：正确理解分解因式的概念以及它与整式乘法的区别、联系，能够熟练地运用提公因式法和公式法把多项式分解因式.

2. 难点：能用类比的思想方法去分析、理解整式乘法与分解因式的关系，能灵活选择适当的方法将一个多项式分解因式.

二、知识精析

1. 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式．分解因式的最终结果必须是几

个整式的积的形式.

2. 提公因式法的关键是找出各项的公因式．公因式中的系数是各项系数的最大公约数，同一字母或因式的指数则要取各项中最低的指数.

3. 运用公式法的关键是熟悉每一个公式的特征，如项数、符号、指数、系数等．在多项式没有公因式的前提下，两项式常用平方差公式，三项式常用完全平方公式或公式x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）．若各项有公因式，则先提公因式，再考虑运用公式法.

4. 分解因式与整式乘法是两个互逆的过程，但不是互逆运算（整式乘法的逆运算是整式除法），它们的关系可以表示为：

5. 分解因式要进行到每一个因式都不能再分解为止.

6. 分解因式的结果中，相同因式的积应写成幂的形式，单项式因式应写在多项式因式前面.

7. 分解因式的过程是恒等变形的过程，在变形前后，式子的值始终保持不变.

8. 感受并领悟渗透于分解因式过程中的类比、转化、整体代换等思想方法，学会运用配方法和逆向思维法.

三、解题技巧

例1 计算：.

解析：根据题目的结构特点，通过观察，可巧妙利用分解因式，使运算简便、快捷.

原式===＝.

例2 已知a=x+20，b=x+19，c=x+21，那么代数式a2+b2+c2-ab-bc-ac的值是.

解析：由题设知a-b=1，b-c=-2，a-c=-1．根据求值代数式的特点，可利用完全平方公式分解因式，然后整体代入求值.

由已知可得a-b=1，b-c=-2，a-c=-1，所以，原式=x（2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac）=［（a-b）2+（b-c）2+（a-c）2］=（1+4+1）=3.

例3 求方程x2-y2+2x-2y=-5的整数解.

解析：根据方程特点，可先将其左边分解为几个因式的积的形式，而右边为一个常数，从而可列出方程组求解.

原方程可变形为：（x+y）（x-y）+2（x-y）=-5，即（x-y）（x+y+2）=-5.由-5=-1×5=1×（-5），可得到以下方程组：x-y=-1，

x+y+2=5；或x-y=5，

x+y+2=-1；或x-y=1，

x+y+2=-5；或x-y=-5，

x+y+2=1．解上述各方程组，得到原方程的整数解：x1=1，

y1=2；x2=1，

y2=-4；x3=-3，

y3=-4；x4=-3，

y4=2.

例4 证明：四个连续整数的积加上1是一个奇数的平方.

解析：由连续整数的特点及乘法的交换律，将多项式利用分解因式变形为完全平方式.

设这四个连续整数分别为n-1，n，n+1，n+2（n为整数），于是有（n-1）n·（n+1）（n+2）+1=［（n-1）（n+2）］［n（n+1）］+1=（n2+n-2）（n2+n）+1=（n2+n）2-2（n2+n）+1=（n2+n-1）2.由于n2+n=n（n+1）是两个连续整数的积，必为偶数，从而n2+n-1必是一个奇数，故四个连续整数的积加上1是一个奇数的平方.

例5 已知△ABC的三边长a、b、c满足关系式a2-c2+3ab-3bc=0，试判断△ABC的形状.

解析：将已知条件的左边分解为几个因式的积，因右边为0，则左边必有因式为0，从而得到有关边之间的等式.

因a2-c2+3ab-3bc=0，故 （a＋c）（a-c）+3b（a-c）=0，即（a-c）（a+c+3b）=0.又a、b、c为△ABC三条边的长， 所以a+c+3b＞0.故 a-c=0．所以△ABC是等腰三角形.

四、易错点直击

1． 对整式的意义理解不正确而出错.

例6 分解因式：m2-5m+6.

错解：原式=m21-

+

.

剖析：结果虽是积的形式，但1-＋不是整式，故分解因式不正确.

正解：原式=（m-2）（m-3）.

2． 不是恒等变形而出错.

例7 分解因式：3y2-6xy+3y.

错解：原式=3y（y-2x）.

剖析：“1”作为系数通常可以省略不写，但如果单独成一项时就不能漏掉．上面的错误就出在多项式的第三项提取3y后，将“1”省略了.

正解：原式=3y（y-2x+1）.

3． 公因式未提尽而出错.

例8 分解因式：4m（a-b）3-2mc（b-a）2.

错解：原式=2m［2（a-b）3-c（b-a）2］.

剖析：中括号内仍含有公因式（a-b）2.

正解：原式=2m（a-b）2（2a-2b-c）.

4． 公式应用不正确而出错.

例9 分解因式：4x2-（x2+1）2.

错解：原式=（2x+x2+1）（2x-x2-1）=（x+1）2（x-1）2.

剖析：错误出在二次三项式2x-x2-1不等于（x-1）2，而应等于-（x-1）2.

正解：原式=（2x+x2+1）（2x-x2-1）=-（x+1）2（x2-2x+1）=-（x+1）2（x-1）2.

5． 分解不彻底而出错.

例10 分解因式：-m4+16.

错解：原式=16-m4=（4+m2）（4-m2）.

剖析：4-m2在有理数范围内还可以再分解.

正解：原式=16－m4＝（4+m2）（4-m2）=（4+m2）（2+m）（2-m）.

6． 分解后的因式不是最简形式而出错.

例11 分解因式：m（m-n）3+2m2（m-n）2-2mn（m-n）2.

错解：原式=m（m-n）2［（m-n）+2m-2n］=m（m-n）2（m-n+2m-2n）．

剖析：提取公因式后，剩下的因式中能进一步合并的没有合并，或相同的因式没有写成幂的形式.

正解：前面分解方法同上解，得：原式=m（m-n）2（3m-3n）=3m（m-n）2（m-n）=3m（m-n）3.

五、相关中考题链接

1. （临沂市）把45ab2-20a分解因式的结果是（）．

A. 5ab（9b-4） B. 5a（9b2-4） C. 5a（3b-2）2 D. 5a（3b+2）（3b-2）

2. （天门市）如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形．小明将图1的阴影部分剪拼成了一个矩形，如图2所示．这一过程可以验证（）．

A. a2+b2-2ab=（a-b）2B. a2+b2+2ab=（a+b）2

C. a2-b2=（a+b）（a-b） D. 2a2-3ab+b2=（2a-b）（a-b）

3. （淮安市）如果a+b=2 006，a-b=1，那么a2-b2= .

4. （锦州市）若多项式4a2+M能用平方差公式分解因式，则单项式M= （写出一个即可）.

5. （福建）已知x2+4x-2=0，那么3x2+12x+2 000的值为 .

6. （北京）分解因式：（1）x5-4xy2；（2）a2-2ab+2b2.

7. （济南市）请你从下列各式中任选两式作差，并将得到的式子分解因式：

4a2，（x+y）2，1，9b2.

8. （2006年·安徽）老师在黑板上写出三个算式：52-32=8×2，92-72=8×4，152-32=8×27．王华接着又写了具有同样规律的算式：112-52=8×12，152-72=8×22……

（1）请你再写出两个（不同于上面算式）具有上述规律的算式．

（2）试用文字表达上述算式的规律．

（3）证明这个规律的正确性.

相关中考题链接参考答案