混沌电路范文

混沌电路范文（精选8篇）

混沌电路 第1篇

由于电子电路易于实验室搭建,易于测量与显示,易于建模与仿真,因而已逐渐成为混沌现象及其应用研究的重要途径。诸多学者通过电子电路模型对混沌现象进行了深入的研究[1,2,3,4]。蔡氏电路是1983年华裔科学家蔡少棠教授首次提出的,它是历史上第一例用电子电路来证实混沌现象的电路,也是非线性电路中产生复杂动力学行为的最有效且较为简单的混沌电路之一。

目前一些学者正在对蔡氏电路中各种变形产生的混沌现象进行研究[5,6,7,8,9],但主要集中在更改原电路中非线性元件使之产生混沌,或者添加新元件使其产生超混沌的研究上,而研究周围电路对蔡氏电路所产生影响的情况很少。到现在为止,研究该电路及其变形电路混沌行为的方法大都是数值方法、实验方法以及Pspice仿真的方法,没有见到用解析的方法研究该混沌电路的。本文在考虑周围电路对蔡氏电路影响的同时首次用解析法预测了电流激励下蔡氏电路的混沌行为,具有一定的理论和实际意义。

1 电流激励蔡氏电路状态方程的建立

电流激励蔡氏电路由电容C1,C2、电感L、电阻R,RN和电流源is组成,如图1所示。

图1中RN为非线性电阻。根据基尔霍夫电流定律和电压定律,该电路的状态方程为:

:vC1,vC2C1,C2;iLL;f(vC1)非线性电阻的伏安特性函数。设激励电流,令则式(1)可化为:

式中,非线性电阻用三次方多项式的形式[10],即:

f(x)=mx+nx3

2混沌的解析预测

设系统(2)的一次谐波解为:

当系统(2)为弱非线性系统时,a和b为慢变参数,通过平均法可得到:

为了简化表达式,设:

对式(4)进行代换并在[0,T]内进行积分,利用a和b缓慢变化性质有:

设式(4)的平衡点为(a0,b0),则有:

将式(9)中等号右边的式子在点(a0,b0)附近做泰勒展开,并利用式(10)有:

式中:

U(a(0),b(0)),V(a(0),b(0))为a(0),b(0)的高阶项

在点(a0,b0)附近,式(11)的高阶项可忽略不计,则:

显然式(16)是系统(2)在周期解附近的庞加莱映射:

比较式(16)与式(17)可知:

设T的特征值为λ,则:

由非线性动力学理论知,当λ1<1<λ2时,系统(2)才有可能出现混沌。由此可得到系统(2)出现混沌的必要条件为:

将A11,A12,A21,A22代入式(20)化简后得:

式(22)是系统出现混沌时α,β,m,n,ω,fC必须满足的参数条件。式中:k1,k2,k3,k4,r0为α,β,m,n,ω,fC的函数。取参数α=9,β=100/7,m=-8/7,n=2/7,用Matlab画出1ω3,系统产生混沌时,fC与ω的允许范围如图2所示。

3仿真结果

取参数α=9,β=100/7,m=-8/7,n=2/7,当fC与ω取不同值时,用Matlab对系统(2)进行仿真时,有图3的结果,数值仿真结果与混沌解析预测的结果有较好的吻合性。

4 结语

通过分析电流激励蔡氏电路中一次谐波解的庞加莱映射,预测出蔡氏电路在余弦电流激励下能够产生混沌的必要参数条件。仿真结果与解析预测结果有较好的吻合性

摘要：考虑到蔡氏电路受周围电路的影响,故将受周围影响的蔡氏电路做了等效处理,并将其等效为电流激励蔡氏电路。这里首次用解析的方法对三阶非线性微分方程能够产生混沌的参数范围进行预测,利用该方法得出电流激励蔡氏电路产生混沌的必要参数条件。通过数值仿真证明了该等效电路具有极其丰富的混沌动力学行为,仿真结果与解析预测结果有较好的吻合性。

关键词：电流激励,蔡氏电路,三阶非线性微分方程,解析预测,混沌现象

参考文献

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[9]王光义,丘水生,许志益.一个新的三维二次混沌系统及其电路实现[J].物理学报,2006,55(7):3295-3297.

多混沌系统的自适应同步电路设计 第2篇

多混沌系统的自适应同步电路设计

目前利用鲁棒自适应同步原理实现多个Chua混沌同步电路并不多,文中针对这一点利用自适应控制、混沌同步及电路原理,设计了一种混沌自适应同步电路,并用Multisim对该电路进行仿真,结果表明,该电路可使多个Chua电路达到自适应同步.

作 者：韩新娜 李智 奚波 朱丽 Han Xinna Li Zhi Xi Bo Zhu Li 作者单位：西安电子科技大学机电工程学院,西安,710071刊 名：航天控制 ISTIC PKU英文刊名：AEROSPACE CONTROL年，卷(期)：24(6)分类号：V4关键词：自适应同步 混沌系统 电路设计

一个新型对数混沌系统及其电路仿真 第3篇

1.对数混沌系统

本文构造的对数混沌系统的动力学方程为:

其中x,y,z为系统变量,a,b,c为系统参数且为正实数,调整各参数值得大小,可发现在很大范围内,系统都处在混沌状态。当a=36,b=20,c=40时,利用Matlab数值仿真可获得混沌吸引子相图如图1所示。

2.基本动力学分析

■2.1耗散性

系统的散度为:

■2.2平衡点及稳定性

为求系统的平衡点,令式(1)右边等于零,即:

■2.3 Lyapunov指数谱和分岔图

Lyapunov指数谱和分岔图也是分析混沌系统动力学特性的主要依据,当初始值为[x0,y0,z0]=[0.1,0.1,0.1]时,固定a,b的数值,改变参数c,观察分岔图随参数c的变化情况如图2所示,Lyapunov指数谱如图3所示,从图3中可以看出,c在[20,60]范围内变化时,除个别点的最大Lyapunov指数为0,系统为周期运动,其他点处的三个Lyapunov指数分别为:一个大于零,一个等于零和一个小于零,系统始终处于混沌运动。

3.对数混沌系统的Multisim仿真

Multisim软件是美国NI公司开发的用于电路仿真和设计的EDA软件,该软件具有强大的仿真分析能力,本文对数混沌电路的设计采用的是通用模块化的设计思想,由反相加法电路、反相积分电路、乘法器电路、对数电路和反相器电路构成通用的混沌电路模块,利用变量比例压缩变换调整混沌数值的范围,变量统一压缩为原来的1/10倍,变换得到方程式(6):

基于Multisim软件平台设计了一个模拟电路(如图4所示)用于电路仿真,通过Multisim硬件电路仿真得到对数混沌电路的吸引子相图如图5所示,其结果与Matlab数值仿真的结果一致,表明了通用模块化混沌电路的设计思想及在Multisim仿真软件中的混沌电路仿真应用是切实可行的。

4.结论

本文构造了一个新型的对数混沌系统,通过引入自然对数这一非线性项,扩展了混沌的运动范围,对该混沌系统进行了Matlab数值仿真,并详细分析了系统的动力学特性,系统具有复杂的混沌特性得到了验证,通过Multisim硬件电路仿真,表明电路仿真结果与理论分析是一致的,可以利用实际电路来实现该对数混沌系统。

参考文献

[1]周小勇.一个新混沌系统及其电路仿真[J].物理学报,2012,(61)3:030504-1-030504-9.

[2]张成亮,王树斌,王忠林.一个含指数函数的混沌系统设计与电路实现[J].济南大学学报:自然科学版,2013,27(2):140-144.

[3]薛华.一个新型指数混沌系统的设计与电路实现[J].安徽大学学报:自然科学版,2014,38(6):66-72.

混沌电路 第4篇

混沌系统的理论研究与硬件实现及其在混沌保密通信中的应用是非线性电路理论与系统的前沿课题, 近年来这一领域有了长足的进步。尤其是多维混沌的理论设计及其电路实现等问题备受人们的关注[1,2,3]。王光义等人构造了一个三维混沌系统及其实现电路[4], 王繁珍等人给出了一个四维混沌吸引子[5], 朱建良等人提出了五维混沌系统及其实现电路[6]。

本文给出了一个新的四维混沌系统及其相应的实现电路, 其全部混沌吸引子类似于阿拉伯数字“8”;系统的MATLAB仿真结果与所设计电路的MULTISIM仿真结果完全一致。不仅为混沌加密通信提供了新的信号源, 也提出了这样一个问题, 那就是能否构造出人们希望的混沌吸引子而这些混沌吸引子与混沌系统的关系又是如何, 特殊形状的混沌吸引子的技术应用等, 都有可能成为混沌研究的下一个热点。

1 混沌系统

混沌系统的方程为:

undefined

式中, a=20, b=30, c=-27, d=0.15, e=2。

对系统进行Lyapunov指数分析, 如图1所示。

LE1=22.199, LE2=-0.0046, LE3=-29.9896, LE4=-39.2048, 故系统存在混沌吸引子。

2 系统的MATLAB仿真结果

对系统进行MATLAB仿真, 其结果如图2所示。

3 系统的电路实现与仿真结果

系统的实现电路如图3所示。电路中的元件参数与系统参数一一对应, 其中乘法器由两个AD633构成。

电路的MULTISIM仿真结果如图4所示。

与MATLAB仿真结果完全一致。

4 结束语

本文给出的四维混沌系统, 数值计算表明此系统具有混沌特性, 而相应的实现电路的实验结果也证实了其混沌特性。由于电路仅由简单的电路元件构成且结构简单, 实现方便, 所以本电路具有较好的实际应用价值。同时研究如何构造特殊形状的混沌吸引子及其技术应用, 也将为混沌研究开辟新的思路。

参考文献

[1]LüJ, Yu S M, Leung H, et al.Experimental verification of multi-di-rectional multi-scroll chaotic attractors[J].IEEE Trans.CircuitsSyst.I, 2006, 53 (1) :149-165.

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[5]Wang F Z, Qi G Y, Chen Z Q, et al.On a four winged Chaotic at-tractor[J].2007 Acta Phys.Sin.56 3290 (in Chinese) .

混沌电路 第5篇

关键词：Colpitts振荡电路,混沌振荡器,基本振荡频率,信号带宽

0引言

混沌信号具有对初始条件极易敏感、 类噪声的宽带功率谱等特性,且易于产生和控制,广泛应用于雷达、保密通信、扩频通信、超宽带通信等无线系统中。产生混沌信号的关键技术在乎如何设计一款性能稳定、基本振荡频率高、带宽特性宽的混沌振荡器。1994年,爱尔兰的Kennedy教授在Colpitts经典电路结构中发现了混沌振荡现象,开启了Colpitts混沌振荡器的研究热潮。

Colpitts振荡电路是目前研究和应用最广泛的电容三点式混沌振荡电路。由Kennedy教授牵头的课题组使用截止频率为0.3GHz的晶体管产生了基本振荡频率f0=23MHz,带宽为30MHz的混沌信号。 2004年,立陶宛学者采用fT=9GHz的晶体管BFG520,产生了f0=1GHz,带宽约1GHz的微波混沌信号[3]。后续又有许国内外专家学者对Colpitts混沌振荡电进行了研究,但大部分研究集中在Colp电路的理论研究与电路的仿真上,通过验电路验证实现的为数不多,并且实验路产生的混沌信号基本振荡频率不高, 谱分布不均匀,振荡幅度很大,不利于际系统中的应用。

本文提出一种基于Colpitts电路构的新型混沌振荡器,该振荡器显著减了晶体管基极- 集电极寄生电容CBC影响。实验测试结果表明,采用截止频为9GHz的晶体管BFG520/XR,该新型沌振荡器产生的混沌信号基本振荡频达到1.28GHz,信号带宽达到2GHz(0 2.6GHz),同时,混沌信号频谱非常均振荡幅度严格限制在30d B带宽之内。

1电路结构与设计

1.1经典电路结构

图1为经典的Colpitts振荡电路结主要由双极型晶体管、电感L、电阻R、 电容C1、C2组成。其中晶体管作为混振荡电路的增益元件,其偏置由外接电Vcc与发射极端的恒流源I0提供。

分析Colpitts经典振荡电路,发现由于晶体管的PN结存在结电容寄生参数, 晶体管的集电极将通过基极- 集电极之间的寄生电容CBC接地。该谐振网络的等效电路结构如图2所示,寄生电容CBC与电容C1、C2并联接地。已有国内外专家研究指出,当该振荡电路工作频率较高时, CBC的寄生短路效应会使得集电极短路接地,导致高频混沌振荡信号流失至地。大量文献的实验结果表明,经典Colpitts混沌电路的基本振荡频率最高只能达到所使用晶体管截止频率的十分之一左右。

本文分析认为,在该经典结构中,一方面由于寄生电容CBC与外接电容C1、C2并联,增大了该振荡网络的总电容值,从而使得该混沌电路的基本振荡频率大大降低;另一方面,基极电路的负载电容CBC的存在,会降低电路的环路增益,直至破坏高频电路信号的混沌振荡。

1.2新型电路结构

在分析了经典Colpitts振荡电路的基础上,本文提出了一种新型的Colpitts混沌振荡电路,如图3(a)所示。电感L、电阻Rb与电容C1,C2组成谐振网络,晶体管为电路的增益元件。该结构的改进之处, 一是将电容C1从集电极与发射极的两端移动到了基极与发射极之间,二是将电感L移到了晶体管的基极端,并在基极处增加了一个电阻Rb,构成串联的电阻电感支路。

图3 (a)新型 Colpitts 混沌电路结构 (b)新型 Colpitts 结构振荡网络等效电路图

该新型混沌振荡电路的谐振网络等效图如图3(b)所示,分析可知,当电路工作频率较低时,CBC支路近开路,CBC的寄生对振荡电路的影响可忽略不计;当电路工作频率较高时,CBC支路短路,而此时电阻R的存在,确保了强度较弱的高频振荡信号不会流失到地,使得整个工作频段振荡信号的频谱密度较为均匀,从而提高了混沌信号的基本振荡频率和信号带宽。

2测试结果

本文采用截止频率fT=9GHz的晶体管BFG520/XR来设计实现该新型Colpitts混沌振荡器,实验电路设计图与PCB测试板图分别如图4、5所示。

由于实验室没有恒流源(恒流源价格较高),因此在本实验电路中,选用电阻Re(240Ω)、电感Le(10u H)和一个负电压源(V0)的组合来替代恒流源I0。 同时,在集电极与电源连接之处,增加了一个数值较大的电感Lc(10u H),用来充分隔离电路的直流与交流信号; 在正负电源处各自加上了滤波电容(C5=C7=100p F,C6=C8=1000p F)。 电容C1、C2上的电压输出信号则各自通过一个大电阻(R3=R4=500Ω)与一个小电容(C3=C4=2.7p F)耦合到SMA接口。电容主要用来耦合隔离直流信号,而500欧姆的电阻则是避免测试支路成为振荡网络的一部分,使混沌振荡电路受到的干扰尽量减小。通过不断调试,该混沌振荡器的主要各项参数取值为: C1=C2=2p F, L=3.6n H,Rb=25Ω, R =12Ω,VCC=8.8V, V0=-5.5V。

图6是示波器DSO7054A测得的输入输出端口稳定的时域振荡电压波形。图7是在示波器中观察到的二维相空间图。 从图中可以看出,该吸引子有无数条运行轨迹图,是奇异吸引子,证实了该混沌振荡器产生了稳定的混沌振荡信号。

图8是用频谱分析仪N9020A测得的振荡器输出信号频谱图。从图中可以看出,该混沌信号具有连续的频谱且分布较为均匀,证实该信号是混沌信号,电路处于混沌工作状态。该混沌信号的基本振荡频率为1.28GHz,稳定的信号带宽达到2GHz(0.6-2.6GHz),振荡信号频率持续可到3.5GHz以上。同时,大部分振荡信号频谱非常均匀与平稳,在1.3-2.5GHz频率段,振荡幅度在10d Bm波动范围之内,非常利于实际工程应用。

3结论

混沌电路 第6篇

四阶变型蔡氏电路与三阶蔡氏电路[1]相比, 是在电感元件L后面串联了一个R C并联电路。

根据电路图, 列出状态方程为:

列出无量纲方程为:

2变型蔡氏电路Multisim仿真分析

2.1仿真电路图的构建[2]

2.2 仿真结果

按下仿真开关, 双击双踪示波器, 调整相应参数, 观察示波器的时域波形和李萨茹波形。R为可变电阻, 调整, 示波器波形如图3, 4所示。

2.3 四阶变型蔡氏电路驱动响应同步 Multisim仿真分析

如前所述, 设计驱动响应同步电路, 驱动系统和响应系统电路参数完全相同, 它们之间只需电压跟随器连接, 收发系统可以达到完全同步, 由此构造变型蔡氏电路驱动响应同步仿真电路。变型蔡氏电路可以产生更加复杂的混沌信号, 提高了保密性。

3 本文小结

本文首先介绍了四阶变型蔡氏电路结构并分别对四阶变型蔡氏电路M ultisim 10仿真分析和四阶变型蔡氏电路驱动响应同步的M ultisim 10仿真分析, 分析结果表明效果非常好。

参考文献

[1]钟国群.蔡氏电路混沌同步保密通讯.电路与系统学报, 1996.

混沌电路 第7篇

混沌运动是确定性非线性动力系统所特有的复杂运动形态, 混沌运动具有伪随机性、对初始条件的敏感依赖性等特性使得混沌在诸多领域得到广泛应用。1994年M.P.Kennedy在Colpitts电路中发现混沌振荡, 通过改善电路结构、调整控制参数, 使得Colpitts振荡器的基本频率已达到GHz数量级上, 成为目前最有前景的混沌电路方案。

混沌振荡状态对元器件参数极其敏感, 而传统的混沌电路都是用参数误差较高的分立元件搭建而成, 一种有效的解决办法是将所有电路元件集成在单片Si或GaAs的基片上, 不仅提高电路的稳定性, 而且减小电路体积和功耗, 使用微波仿真软件Microwave office对微波Colpitts电路结构进行电路仿真研究, 得到频谱带宽达到DC-4.3GHz的混沌信号频谱分布图和相空间吸引子图, 通过分析发现采用镜像恒流源做为电路射极的理想恒流源可以提高混沌电路信号摆幅和频带宽度。

2 电路结构及数学模型

具有寄生参数的传统Colpitts电路基本结构如图1 (a) 所示, 其中三极管作为振荡器的增益元件, 电感L和电容C1、C2构成一个谐振网络[6]。三极管为三端口非线性器件, 采用图2所示的等效模型, 当三极管偏置在非线性负阻区域时, 电路才有可能工作在混沌状态, 集电极和基极之间等效为受控恒流源Ie。压控非线性电阻Re的驱动方程为:

当式 (1) 中Vbe>>Vt时, 可得到以下近似表达式:

式 (2) 中IS为反向饱和电流, Vt室温条件下约为26mV。

从图1 (a) 可以看出, 传统的Colpitts电路由分离器件搭建而成, 其中理想恒流源用大电感构成;图1 (b) 为新型全集成单片微波Colpitts电路基本结构, 电流源用镜像电流源构成, 另外在电路中加入了一级射级跟随器, 减少外界微扰对电路状态的影响。

以Colpitts电路中电感上的电流IL, 电容C1, C2上的电压VC2, VC2作为状态变量, 由图1 (a) 所示的电路归一化状态方程:

其中, n (x2) =exp (-x2) -1

其中k'=C3/C1+C2, k=C2/C1+C2。当k'<10-2时, 寄生电容C3对电路的工作状态几乎无影响 (D3=0) 。归一化状态方程中, 参数g*表示振荡器的开环增益, Q表示无载谐振回路的品质因素, k是一个无量纲的比值。要设计Colpitts混沌电路, 首先要选择合适的g*、Q值, 以使系统处于混沌振荡状态。

3 实验仿真结果与分析

3.1 混沌电路参数选取

根据式 (3) 的归一化状态方程在MATLAB上仿真log10Q-X2的分叉图, 如图3所示, 可以看到随着Q值的增加, X2呈现出丰富的非线性动态特性。为了保证电路稳定工作在混沌状态, 在分叉图中选取混沌状态的中心区域即:设电压VC1、VC2为X1、X2, 取g*值为16.5, log10Q为0.25进行研究。根据式 (3) 得出电路中电容C1、C2电感L以及电阻R的取值。

在Microwave Office上进行电路仿真, 电路中器件的取值分别为:R1=52Ω, L=16nH, C1=2.8pF, C2=2.6pF调整镜像电流源的负电压为-5V, R2=R3=200Ω, R4=300Ω, 使得I0=7.2mA。根据输出信号X1、X2的时域波形图, 可以仿真得到输出信号的相空间图。如图4所示, 可以明显看出电压信号丰富的动态特性是混沌吸引子图。

3.2 电路仿真与测试

在相同频率下镜像电流源替代电感作为恒流源对整个混沌电路影响进行分析, 在基本频率为1.20GHz时候, 各器件取值:R1=52Ω, L=16nH, C1=2.8pH, C2=2.6pF。在板级电路中以电感作为恒流源偏置时, 图1 (a) 器件取值为V3=-5V, R2=620Ω, L=1500nH, I0=7.2mA, 图1 (b) 中以镜像电流源中R2=R3=200Ω, R4=300Ω, 负电压源为-5V。对以上两个电路输出信号的频谱分别进行仿真:

图5 (a) 电感作为恒流源偏置时电压输出信号X1频谱分布; (b) 用镜像电流源时电压输出信号X1频谱分布

图5横坐标1.0GHz/div, 在用镜像电流源作为恒流源后输出信号频域分布可以观察到信号强度高于-15.0dBm的频带宽度从3.30GHz扩展到4.30GHz, 频带宽度扩展23%。输出信号时域波形得到输出电压摆幅, 可以看出输出电压X1摆幅从1.70V增加到2.0V, 提高了15%根据图1 (b) 设计并流片的单片微波混沌电路图如图6所示, 芯片面积为0.6*0.6mm2。

从图7网络分析仪信号测试频谱分布中可以看出, 混沌电路的输出信号基本频率达到1.28GHz, 频带宽度达到4.30GHz。

4 结论

用镜像恒流源取代电感作为恒流源, 使得混沌电路全集成于片内, 不仅提高了电路工作的稳定性, 而且减小了传统PCB板级电路由于器件自身误差对电路工作状态的影响, 扩大了混沌电路的适用范围。测试结果表明:当单片微波混沌电路最高基本频率达到1.20GHz时, 频谱带宽扩展23%, 达到DC-4.30GHz, 电压输出摆幅提高15%。

摘要：本文基于AWSC公司2μm InGaP/GaAsHBT晶体管工艺, 提出新型全集成的单片微波混沌电路结构。电路采用电流镜做为电路射极的恒流源, 解决了现有技术利用大电感 (1000nH以上) 做为恒流源而导致电路无法全集成及电感自身震荡影响电路稳定性的问题。仿真和测试结果表明, 当最高基本频率同为1.20GHz时, 全集成单片微波混沌电路比现有技术的频谱带宽扩展了23%, 达到DC-4.30GHz, 输出电压摆幅也提升15%。

混沌电路 第8篇

混沌是确定性非线性科学领域重点研究内容,它揭示了自然界及人类社会中普遍存在的复杂性,反映了世界上无序和有序之间、确定性与随机性之间的辩证统一的关系, 其本质是系统的长期行为对初始条件的敏感性,被称为是20世纪物理学的三大成就之一。 混沌理论与计算机科学理论相结合,使人们对一些久悬未解的基本难题的研究取得了突破性进展,成为世人瞩目的学术研究热点。 分数阶微积分是微积分的一个分支,它对函数进行分数阶微分积分。 分数阶在电路系统中开辟了新的领域,已经被广泛应用于科学研究和工程技术的很多方面。分数阶微积分与菲涅耳衍射、Wigner分布、小波变换等有着密切的联系,已经被广泛应用于科学研究和工程技术的很多方面,如神经网络、解微分方程、量子力学、衍射理论、光学系统、光图像处理以及雷达、通信、声纳等领域,对分数阶微积分和分数阶微分方程的研究已经成为应用数学和动力学领域的热点问题之一。

本文设计一个全新的混沌系统,通过理论分析确定了其混沌吸引子的存在。 利用分数阶树形、链型、混合型三种电路单元的电路进行了不同分数阶值组合电路的仿真实验,结果证实电路仿真与数值仿真有极高的吻合性,验证了该混沌系统在物理上的可实现性。 通过混沌系统对图像和音频做加密解密实验,实现该系统在保密通信中的应用。

2分数阶混沌系统模型的构建

本文基于Lorenz混沌系统,设计了一个全新的分数阶混沌系统,其动力学状态方程为:

通过实验验证可知该分数阶混沌系统对初始值十分的敏感, 在仿真验证的过程中可以得出当qi(i=1,2,3)低于0.82时便不会产生混沌现象 ,在q=0.82这个临界值开始出现混沌吸引子。

2.1基本动力学分析

对系统(1),由于

因此系统是耗散的,且以指数收敛,即一个初始体积为V(0)的体积元在时刻t时收缩为体积元V(0)e-5.7t。 这意味着 ,当t→∞ 时包含系统轨线的每一个小体积元会以指数率 -5.7收缩到0。 所有的系统轨线最终将会被限制在一个体积为零的极限子集上,且它渐进运动固定在一个吸引子上,这说明了吸引子的存在性。

2.2平衡点及稳定性

令式(1)右边等于0

显然,系统(1)存在唯一平衡点s0=(0,0,0)。 在平衡点s0处对系统(1)进行线性化,得其jacobian矩阵

求得相应 的特征根 λ1=-0.7000,λ2=11.0739,λ3=-16. 0739,三个特征根均为实数 ,其中 ,λ1、λ3为负实根,λ2为正实根,因此为不稳定鞍点。

2.3最大Laypunov指数

系统 (1)的最大Laypunov指数Lemax=1.6186, 最大Lyapunov指数大于0,证明系统(1)存在混沌吸引子。

3新分数阶混沌系统仿真

对于一个特定的三维分数阶混沌系统,当阶次q1、q2和q3取不同情况组合时,排列的结果参见表1,一共有6+18+3=27种排列组合方式。 由于对于每一个qi(i=1,2,3) 值均有链型和树型两种电路单元选择,从而对于任意三维的分数阶q1、q2和q3取值, 分数阶混沌系统组合电路方式共有216种。

3.1树型结构电路单元仿真

分数阶树型结构电路单元如图1所示。

鉴于文献[13-15]及电路理论,图4中A和B之间等效电路的复频域可以实现q从0.1到0.9,步长为0.1, 误差为2d B的1/Sa近似式,为方便起见,我们称其为树型电路单元。 选取q=0.9为例设计电路对系统进行仿真,根据文献[16]1/S0.9的近似式为:

树型电路单元如图2所示。

图5中A与B之间的传递函数H(S)为:

,其中C0为单位参数,令C1=1μF。 对该系统电路仿真得出,qi(i=1,2,3)=0.85,0.9,0.95时系统都是混沌的,在此仅给出qi(i=1,2,3)=0.9,0.95时分数阶混沌系统的数值分析及实验研究结果。

3.1.1同元树型电路仿真实验

当q=0.9时, 可得到图3所示树型电路单元的电阻电容值 为Ra=1.55M萃 ,Rb=61.54MΩ ,Rc=2.526KΩ , C1=0.7346μf,C2=0.5221μf,C3=1.103μf。 分数阶链型电路原理图如图3所示。

Multisim电路仿真结果相图如图4所示。

3.2链型结构电路单元仿真

分数阶链型单元电路图如图5所示。

图5中A与B可实现q=0.1-0.9,步长为0.1,误差为2d B的1/Sq近似式, 以及q=0.95误差为1d B的1/Sq近似式。

3.2.1同元链型电路仿真实验

根据文献[17]可知,当q=0.9时传递函数

实现a=0.9的链型单元电路如图6所示。

R1=62.840MΩ ,R2=0.25MΩ ,R3=0.0025MΩ ,C1=1. 232μf,C2=1.8400μf,C3=1.1000μf。 分数阶链型电路原理图如图7所示。

Multisim电路仿真结果相图如图8所示。

3.3树链结合型电路仿真

根据电路理论,对于混沌系统不同的变量采用不同的电路结构(q1=q2=q3=0.95)电路原理图如图9所示。

同分数阶电路仿真结果如图10所示。

4混沌系统在安全通信中的应用

4.1分数阶图像加密

基于新分数阶混沌系统加密具有加密速度快,解密图像保真度高等优点。 因此,对利用混沌系统对图像加解密的研究时很有必要的。 图像加密的过程主要是利用混沌系统生成的置乱矩阵对图像进行置乱加密,实验中我们采用“江西理工大学”校徽作为原始图像如图11所示,加密效果如图12所示。

如果用正确的参数及初始值解密, 图像能100%正确恢复,解密效果如图13所示:如果用错误的密钥解密的话,则不能恢复原始图像,如图14为密钥相差10^-5次方的解密效果图。

4.2分数阶音频加密

本文基于新分数阶混沌系统产生的伪随机序列对音频进行编码和解码,实现对音频信号的加密。 该音频信号为单声道信号,采样频率为22050Hz,共有155648Bit,由于混沌系统对初值和参数有极高的敏感性, 从而保证了音频信号传输的保密性 。 以原始信号bird.wav, 利用Matlab对其进行仿真 ,得出原始信号 、噪声信号 、加密信号、解密信号的变化波形,其中,加密算法的密钥是由混沌系统的参数和初值产生的。 结果如图15所示。

由波形可以看出,利用分数阶混沌系统进行加密的音频信号和混沌信号的波形非常相似,加密后得音频号基本上听到的全部是噪声信号。 可见,利用新分数阶混沌系统加密的信号其保密性非常高。

5结束语

本文应用 分数阶微 积分理论 , 设计了一 个基于Lorenz数学方程的全新的数学模型 ,该混沌系统存在混沌的最低阶数为0.82,并此设计了树型、链型及树链混合型电路系统, 数值仿真和电路仿真结果与Matlab、 Simlink仿真出来的图形效果一致 , 从而证实了实验结果的可靠性。 该系统共12个密钥,由于在发送方和接收方的参数出现较小差别或者系统结构不一致时结果会发生很大的变化,从而更好地实现在通信中的应用。

摘要：构建一个三维混沌系统,通过对系统非线性动力学特性进行分析,确定了其混沌吸引子的存在。利用分数阶电路进行了不同分数阶值组合电路的仿真实验,验证了该混沌系统在物理上的可实现性。选择一个异元混沌系统对图像和音频做加密解密实验,证实了该系统具有良好的保密性。