函数单调性的教学反思

函数单调性的教学反思（精选12篇）

函数单调性的教学反思 第1篇

对《函数的单调性》的教学反思：

《函数的单调性》这节内容是初中有关内容的深化、延伸和提高，我是这样安排教学流程的：首先通过对具体函数图像的归纳和抽象，概括出函数在某个区间上是增函数或减函数的准确含义，明确指出函数的增减性是相对于某个区间来说的。其次，根据其定义进行逻辑推理的严格方法。最后将两种方法统一起来，形成根据观察图像得出猜想结论，进而用推理证明猜想的体系。我的设计理由是：在这一节中利用函数图象来研究函数性质的数形结合思想将贯穿于我们整个高中数学教学。按现行新教材结构体系，学生只学过一次函数、二次函数、反比例函数，所以对函数的单调性研究也只能限于这几种函数。依据现有认知结构，学生只能根据函数的图象观察出“随着自变量的增大，函数值增大”的变化趋势，而不能用符号语言进行严密的代数证明，只能依据形的直观性进行感性判断而不能进行“思辩”的理性认识。所以在教学中要找准学生学习思维的“最近发展区”进行有意义的建构教学。在教学过程中，要注意学生第一次接触代数形式的证明，为使学生能迅速掌握代数证明的格式，要注意让学生在内容上紧扣定义贯穿整个学习过程，在形式上要从有意识的模仿逐渐过渡到独立的证明。

教学重、难点的制定：在本节课的教学中以函数的单调性的概念为线，它始终贯穿于教师的整个课堂教学过程和学生的学习过程；利用函数的单调性的定义证明简单函数的单调性是对函数单调性概念的深层理解，且“取值、作差与变形、判断、结论”过程学生不易掌握。所以对教学的重点、难点确定如下：教学重点：函数的单调性的判断与证明；教学难点：增、减函数形式化定义的形成及利用函数单调性的定义证明简单函数的单调性。我是这样突破重难点的——让学生通过观察函数图象的基础上，从特殊到一般的方法归纳出函数单调性的定义及有关概念，通过例题归纳出证明函数单调性的方法、步骤及注意点。例题与练习由浅入深，完整，全面。练习的设计有新意，有深度，为学生数学思维能力、创造能力的培养提供了平台。

另在学生的学习指导上，我是以启发引导、设疑启思、任务驱动等方法和过程进行的。如此用心设计，当然是想让学生以主动探究、积极思考为目的，从而让他们学会发现问题，解决问题，增强自发学习的积极意识，也能激发他们的浓厚学习兴趣。

函数单调性的教学反思 第2篇

第一、教学上应突出数学思想方法，本课时的定位是探究课，作为一堂探究课，学生是课堂的主体，必须把课堂时间交给学生。本节课通过复习二次函数的单调性，让学生动手发现探究原函数的单调性与其导数符号的关系，最后归纳出结论：一般地,设函数y=f(x)在某个区间内可导,则导函数的符号与函数的单调性之间具有如下关系：

1)如果在某个区间内，函数的导数，则在这个区间上，函数是增加的。

2)如果在某个区间内，函数的导数，则在这个区间上，函数是减少的。

优点：

1、从熟悉的二次函数入手，简单复习回顾以前学过的确定函数单调性的方法，使知识学习有连贯性。

2、由不熟悉的三次函数单调性的确定问题，使学生体会到，用定义法太麻烦，而图像又不清楚，必须寻求一个新的解决办法，产生认知冲突，认识到再次研究单调性的必要性。

3、从简单的、熟悉的二次函数图象入手，引导学生从函数的切线斜率变化观察函数单调性的变化，再与新学的导数联系起来，形成结论。再用代数法求出导数进行验证。另外，也使学生感受到解决数学问题的一般方法：从简单到复杂，从特殊到一般，同时体会数形结合的思想方法。

4、学生分组探讨，用导数的几何意义和代数法两种方法探讨，每组选出中心发言人，将本组讨论的结果公布出来，从而抽象概括一般性的结论。这个过程充分体现了学生的合作学习、自主学习、探究学习。

第二、例题和变式练习体现层次性、思想性。例题设计的两重用意：一是利用已知的二次函数的知识再次体验归纳结论的正确性，前面得到的是通过归纳得到的结论，没有严格的证明，这样处理有利于培养学生严谨的数学思想;二是对于二次以下的多项式函数，不仅可以通过用导数求单调性，也可以用图像法和定义法，都比较简单，也为了突出再求三次、三次以上的多项式函数或图像比较难画时的函数的单调性，应用导数的优越性。

1.通过例题让学生总结导数法求函数的单调区间的步骤，体会算法思想。

2、定义域的强调：对于求导，学生容易急于求成，往往忽略了定义域，让学生去讲例题，学生之间发现问题，他们印象会更深刻。

3、时刻注意学生基本功，学生的计算能力一直是薄弱点，每节课刻意去强调这些基本功，这样到高三就不会在这些方面费太多时间。

第三、教学中让学生“形成知识还是形成思想?”数学思想方法是以知识为载体，依附在具体的数学知识之中，是数学教学的隐形知识体系，但具体教学知识的教学不能代替数学思想方法的教学。数学思想方法将零散、具体的数学知识串起来，优化知识结构、、迅速构建学生的认知结构，从而对学生的数学思维产生深刻而持久的影响。相对而言，知识的有效性是短暂的，思想方法则是潜在的，持久的。因此，方法的掌握、思想的形成，才能使知识转化为能力，才是数学教学教育的最终目标。

函数单调性的教学反思 第3篇

探究式教学是以探究为基本特征的一种教学活动形式, 课堂教学中的探讨和研究包含着师生之间的交流、互动和对话.这种教学方式可以充分调动学生自主学习, 自主探究的积极性和主动性, 让学生在不断地探究过程中体验数学发现和创造的历程, 感受成功的喜悦和快乐, 发展学生的创新意识, 培养学生的创新能力.那么在平时的教学中教师应如何引导学生有效地开展探究活动呢?本文就一次关于对勾函数单调性的探究式教学谈谈自己的做法和体会.

1 (部分) 课堂教学实录

在学习过高中新课程人教A版数学必修1的函数单调性与奇偶性内容后, 笔者在一次上课前提出如下问题:学校准备建造一个长方形花坛, 面积为16平方米, 由于周围环境的限制, 每边的长度均不能超过8米, 也不能少于2米, 求花坛的长与宽两边之和的最小值与最大值.

师:如何将实际问题归结为数学问题?

经过短暂的独立思考, 学生将实际问题归结为如下的数学问题:

设花坛一边长为x米, 则另一边长为$\frac{16}{x}$米.

由

所以两边之和

$f(x)=x+\frac{16}{x}(2x8).$

师:如何求f (x) 的最大 (小) 值?

生1:取x=2, 3, 4, 5, 6, 7, 8代入计算, 发现当x=4时, f (x) 最小;当x=2或8时, f (x) 最大.因此,

生2:生1的说法是错误的, 因为他并没有取遍区间[2]上的所有值.我认为解决问题的关键是探讨f (x) 的单调性, 并由此确定f (x) 的最大 (小) 值.

师:很好!那么如何探讨$f(x)=x+\frac{16}{x}(2x8)$的单调性呢?

生2:可以描点画图, 观察图像, 发现f (x) 的单调性.

学生画图后, 教师问道:f (x) 的单调性如何?

生3:画图发现f (x) 在[2]上递减, 在[4, 8]上递增.

由于作图时描出点的个数多少不同及作图精度的差异, 学生得到的结论并不一致, 于是课堂上出现了激烈的争论.突然生4大声说道:“生3的结论是正确的”.

师:为什么?

生4:因为

所以当$\sqrt{x}=\frac{4}{\sqrt{x}}$, 即x=4时,

由此可猜测:f (x) 在[2]上递减, 在[4, 8]上递增, 并且可用函数单调性的定义证明结论的正确性.

教师对生4的探究精神给予充分地肯定, 并投影展示了该生的证明过程.至此课前问题获得解决.但教师并没就此罢休, 而是趁热打铁, 因势利导地提出问题:

函数$f(x)=x+\frac{16}{x}(x>0)$的单调性如何?

学生思维的积极性又一次被调动起来, 经过学生间充分地探讨与交流, 得到如下解法.

解法1 类比生4的思路, 由

$f(x)=(\sqrt{x}-\frac{4}{\sqrt{x}}){}^2+8\ge 8,$

猜想:f (x) 在 (0, 4]上为减函数, 在[4, +∞) 上为增函数, 并给出证明 (略) .

解法2 设0<x1<x2, 则

$\begin{array}{l}f(x{}_1)-f(x{}_2)\\ =\left(x{}_1+\frac{16}{x{}_1}\right)-\left(x{}_2+\frac{16}{x{}_2}\right)\\ =\frac{(x{}_1-x{}_2)(x{}_{1}x{}_2-16)}{x{}_{1}x{}_2}.\end{array}$

若f (x1) -f (x2) >0, 由0<x1<x2, 知x1x2-16<0, 即

又x1x2<x${}_2^2$, 所以只需x${}_2^2$16, 即

因此, 当0<x1<x24时, 有f (x1) -f (x2) >0, f (x) 在 (0, 4]上为减函数.

同理可得f (x) 在[4, +∞) 上为增函数.

我对学生的精彩表现给予了高度的评价, 到此, 学生体验了一次成功的学习经历, 脸上洋溢着幸福的微笑.

师:函数$f(x)=x+\frac{16}{x}(x<0)$的单调性又如何呢?

学生又一次陷入沉思状态.稍后, 学生便纷纷发表自己的见解.

生5:类比探究$f(x)=x+\frac{16}{x}(x>0)$的单调性的思路1可得

$\begin{array}{l}f(x)=x+\frac{16}{x}\\ =-(\sqrt{-x}-\frac{4}{\sqrt{-x}}){}^2-8\\ -8,\end{array}$

所以当$\sqrt{-x}=\frac{4}{\sqrt{-x}}$即x=-4时,

f (x) max=-8.

猜想:f (x) 在 (-∞, -4]上为增函数, 在[-4, 0) 上为减函数, 证明 (略) .

生6:类比探究$f(x)=x+\frac{16}{x}(x>0)$的单调性的思路2:

设x1<x2<0, 则

$\begin{array}{l}f(x{}_1)-f(x{}_2)\\ =\left(x{}_1+\frac{16}{x{}_1}\right)-\left(x{}_2+\frac{16}{x{}_2}\right)\\ =\frac{(x{}_1-x{}_2)(x{}_{1}x{}_2-16)}{x{}_{1}x{}_2}.\end{array}$

若f (x1) -f (x2) >0, 由x1<x2<0, 知x1-x2<0且x1x2>0, 必需x1x2-16<0即

x1x2<16.

又x1x2<x${}_1^2$, 所以只需x${}_1^2$16, 即

因此, 当-4x1<x2<0时, 有f (x1) -f (x2) >0, f (x) 在[-4, 0) 上为减函数.

同理可得f (x) 在 (-∞, 4]上为增函数.

生7:由于$f(x)=x+\frac{16}{x}(x\ne 0)$是奇函数, 其图像关于原点对称, 因此, 由$f(x)=x+\frac{16}{x}(x>0)$在 (0, 4]上递减, 在[4, +∞) 递增可知:$f(x)=x+\frac{16}{x}(x<0)$在[-4, 0) 上递减, 在 (-∞, -4]上递增.

这正是新课程理念所期待的课堂学习氛围.

师:很好!现在请大家归纳函数$f(x)=x+\frac{16}{x}(x\ne 0)$的单调性, 据此你能画出f (x) 的图像吗?

学生尝试画图后, 教师选择几幅具有典型问题的图像 (如画成一、三象限内的两支抛物线等) 投影展示, 并让大家发表见解.

师:上述图像是否正确?你能通过f (x) 的解析式去探究它的图像特征吗?

一石激起千层浪, 学生学习的热情异常高涨.突然, 生8激动地要求发言, 教师鼓励他到讲台边画边讲.

生8: (边画边讲) 当x>0时, 由$x+\frac{16}{x}>x$, 知f (x) 的图像在直线y=x的上方, 又$f(x)-x=\frac{16}{x}$, 当x+∞时, $\frac{16}{x}0$.因此, f (x) 的图像向右逐渐靠近直线y=x (向上逐渐靠近y轴) .这样就得到f (x) 在x>0时的图像 (图1) .再利用奇函数图像的对称性, 便可得$f(x)=x+\frac{16}{x}(x\ne 0)$的整个图像 (图2) .

接着教师用几何画板画出了$f(x)=x+\frac{16}{x}(x\ne 0)$的图像, 验证了生8的推理和绘图, 并评价道:“生8为我们演绎了一次数和形的完美结合, 他的探究精神令人佩服.”同学们对生8的出色表现爆以热烈的掌声, 该生脸上流露出成功的喜悦.

随后在教师的引导下, 学生由特殊到一般归纳并证明了对勾函数$f(x)=x+\frac{a}{x}(a>0)$的单调性 (f (x) 在$(-\infty ,-\sqrt{a}]$及$[\sqrt{a},+\infty )$上递增, 在$[-\sqrt{a},0)$及$(0,\sqrt{a}]$上递减) , 并画出了f (x) 的图像 (图3) .

最后, 作为对本节课探究结论及方法的巩固与练习, 我布置了如下思考题:

讨论函数$f(x)=\frac{x}{x{}^2+1}$的单调性, 并画出其图像.

2 教学体会与反思

2.1 转变学生的学习方式, 让学生成为知识的主动建构者

丰富学生的学习方式, 改进学生的学习方法是《普通高中数学课程标准 (实验) 》追求的基本理念, 该理念认为学生的数学学习活动不应只限于对概念、结论和技能的记忆、模仿和接受等被动学习方式, 强调应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等主动学习方式, 让学生成为知识的主动建构者.在传统课堂中, 关于对勾函数$f(x)=x+\frac{a}{x}(a>0)$的教学, 多数情况下教师的做法是要求学生先证明f (x) 在某个区间上的单调性, 然后教师直接给出f (x) 的单调性, 并画出其图像.这种直接把现成结论呈现给学生的教学方式, 不仅使学生失去了一次宝贵的探究数学知识的经历和丰富体验, 而且容易造成学生由于死记结论而不能灵活运用的现象.本案例中, 教师一改原来的做法, 通过一个简单的问题情境, 由浅入深, 由特殊到一般, 循序渐进地引导学生经历数学学习中的发现、观察、猜想、归纳、类比、验证等探究活动过程, 从而让学生主动完成数学知识的建构, 体现出以教师为主导, 学生为主体的教学原则, 真正实现了教师教学观念的更新和学生学习方式的转变.在此过程中, 学生的学习是主动的, 积极的, 实现了由“要我学”到“我要学”的转变, 既培养了兴趣, 又发展了能力.

2.2 教师应注意加强自身的专业修养, 做好教学的策划、组织和指导工作

《普通高中数学课程标准 (实验) 》指出:教师是学生进行数学探究的组织者、指导者、合作者, 应该为学生提供较为丰富的数学探究课题的案例和背景材料, 有比较开阔的数学视野, 并积累指导学生进行数学探究的资源.新课程对教师的专业化成长提出了更高的要求.因此, 教师只有不断地学习才能适应新的挑战, 决不能因循守旧, 故步自封.本案例中的函数$f(x)=x+\frac{a}{x}(a>0)$是一个重要的函数模型, 在许多数学问题中有重要应用.如前所述, 以往教师对该函数单调性的教学处理要么是过于简单和草率, 要么是让学生机械完成证明过程或被动接受, 其教学效果不言而喻.本案例中教师以敏锐地眼光捕捉到这一重要的教学资源, 并独具匠心地进行了教学活动的组织设计, 为学生的探究活动提供了丰富的形式、充分的空间和机会, 让学生通过亲身体验, 去发现问题, 并通过独立思考、讨论交流、合作探究等学习方式去解决问题, 获得规律和结论, 使学生的自主学习成为可能, 较好地培养了学生的创新精神和实践能力.在探究画函数$f(x)=x+\frac{16}{x}(x\ne 0)$图像阶段, 当有学生将图像画成一、三象限内的两支抛物线时, 教师并没有直接告诉学生图像的错误, 也没急于用几何画板展示该函数图像, 而是巧妙地运用教学智慧, 引导学生从函数解析式的角度去探讨函数图像特征, 使学生体验到了通过“数”研究“形”的方法, 实现了思维的创新.试想, 如果教师在备课时没有进行相应的教学预设, 或教师的专业功底不够扎实, 当他突然面对学生的错误画图时, 又会出现什么现象呢?如果教师是就图论图的话, 那就会让学生浅尝辄止, 从而使学生失去一次宝贵的以“数”探“形”的机会.因此, 教师要扮好导演者的角色, 让我们的数学教学成为在教师指导下的, 以学生独立自主学习和合作讨论为前提的数学探究活动.教师要通过各种措施和途径, 把学生数学学习过程中的发现、探索、研究等认知活动突现出来, 使学生的数学学习过程更多地成为在教师引导下的学生发现问题、提出问题、解决问题的“再创造”过程.教学中, 教师要为学生形成积极主动的、多样的学习方式创造有利的条件, 以激发学生的数学学习兴趣, 增强学生学习的自信心和克服困难的意志力, 培养学生独立思考的习惯、探索精神和合作意识, 不断提高学生的数学能力和数学素养.

参考文献

[1]徐斌艳.新课程与“数学教学内容”[M].南宁:广西教育出版社, 2004.

[2]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准 (实验) [S].北京:人民教育出版社, 2003.

浅谈函数单调性的应用 第4篇

1． 函数单调性应用的常见几类问题

1．1 定义证明函数的单调性

利用函数单调性定义来判定函数的单调性，能更深刻的理解概念

例1 讨论f(x)=1-x2在区间［-1,1］上的单调性

解：设x1,x2∈［-1,1］且x1＜x2即-1≤x1＜x2≤1

则f(x1)-f(x2)=1-x21=1-x21-(1-x22)1-x21+1-x22=(x2-x1)(x2+x1)1-x21+1-x22

当x1＞0，x2＞0时x1+x2＞0那么f(x1)＞f(x2)

当x1＜0，x2＜0时x1+x2＜0那么f(x1)＜f(x2)

故f(x)=1-x2在区间［-1,0］上为增函数f(x)=1-x2在区间［0,1］上为减函数

1．2 利用函数单调性比较大小

比较两个含有幂指数的大小，往往显得比较复杂，把其转化为函数，利用函数的单调性就显的比较容易.

例2 比较20062007与20072006的大小

解:经过归纳，我们可以发现，当n=1,2时nn+1＜(n+1)n当n=3,4,5时nn+1＞(n+1)n因此可以猜测当n＞3时nn+1＞(n+1)n下面构造函数f(x)，利用函数的单调性证明nn+1＞(n+1)n

构造函数f(x)=xx+1(x+1)x(x≥3)则有

f(x+1)-f(x)=(x+1)x+2(x+2)x+1-xx+1(x+1)x=(x+1)2x+2-［x(x+2)］x+1(x+2)x+1(x+1)x=(x2+2x+1)x+1-(x2+2x)x+1(x+2)x+1(x+1)x＞0

所以函数f(x)在［3,+∞)∩Z上单调增加

因为f(3)=3443=8164＞1 故当n＞3时，f(n)=nn+1(n+1)n＞1

即nn+1＞(n+1)n 所以20062007＞20072006

1．3 求函数最值

根据函数单调性的增加（或减少）的性质，来解决函数的最值问题，问题显的更加简洁，容易解决

例3 已知数列{an}中，a1=1且点(an,an+1)在直线x+y-1=0上

（1） 求数列{an}的通项公式

（2） 若f(n)=1n+a1+1n+a2+…+1n+an(n∈N,n≥2)求f(n)的最小值

解:（1） 因为点(an,an+1)在直线x+y-1=0上

所以an+1-an=1 由{an}是首项和公差为1的等差数列 故an=n

（2） 因为f(n)=1n+1+1n+2+…+12n

f(n+1)-f(n)=1n+2+1n+3+…+12n+2-1n+1+…+12n

=12n+1+12n+2-1n+1=1(2n+1)(2n+2)>0

所以f(n)为增函数 由f(n)≥f(2)=12+1+12+2=712则f(n)min=712

1．4 函数单调性在不等式中的应用

不等式是数学中重要组成部分，在实际应用中，最为简捷的方法，利用函数单调性来解决不等式中的问题.

例4 a,b∈R+ a+b=1,求解a+1ab+1b的最值.

解 由a+1ab+1b=ab+2ab+2而0＜ab≤a+b22=14

令ab=x0＜x≤14构造函数f(x)=x+2x+2则f′(x)=1-2x2

显然当0＜x＜2时，f′(x)＜0又f(x)在x∈(0,2］上为严格单调减函数,f(x)在x∈0,14为减函数 当x∈0,14时,f(x)≥f14则x+2x+2≥14+8-2=254

所以ab+2ab-2≥254即a+1ab+1b≥254

1．5 利用单调性解决数列问题

数列{an}中的an是以n为自变量的函数，所以在解决有关数列的最值问题时，可考察其单调性.

例5 已知an=1n+1+1n+2+…+13n+1(n∈N+),

若an＞2b-5恒成立,且b为自然数.求b的最大值

解 因为an=1n+1+1n+2+…+13n+1 an+1=1n+2+1n+3+…+13n+4

则an+1-an=13n+2+13n+3+13n+4-1n+1=13n+2+13n+4-23n+3

=23(n+1)(3n+2)(3n+4)＞0

所以an+1>an所以数列｛an｝是递增数列

{an}min=a1=12+13+14=1312

则由2b-5＜1312可解得b＜7324

2. 函数单调性在高考中的应用

函数是高中数学的重要内容,是高考重点考察的对象，也是常考不衰的考点不但考察函数单调性的概念，而且更主要的是考察其思想.

例6 （2005年全国卷Ⅱ）设函数f(x)=2｜x+1｜-｜x-1｜，求f(x)≥22使的取值范围？

解:要求f(x)≥22即2｜x+1｜-｜x-1｜≥22

又y=2x是增函数 所以｜x+1｜-｜x-1｜≥32 (1)

1. 当x≥1时｜x+1｜-｜x-1｜=2时(1)恒成立

2. 当-1＜x＜1时｜x+1｜-｜x-1｜=2x(1)式化为2x≥32得x≥34

即34≤x＜134≤x＜1

3. 当x≤-1时｜x+1｜-｜x-1｜=-2 (1)式无解

综上x取值范围34,+∞

高中数学函数单调性的教学探讨 第5篇

崔兴清

(陕西省汉台中学)

摘 要：众所周知，在我国的高中教育中，数学教学占据了重要的地位。高中数学有其教学的复杂性，因此，只有在教学中运用正确的教学方法才能取得事半功倍的效果。高中数学教学中函数的单调性问题让许多学生感到头疼，学生无法对这一知识点进行掌握和理解。但是，函数的单调性问题又在生活和生产中有着很多用途。因此，在高中数学教学中，老师应该根据学生学习的特性，采取合适的方法进行函数单调性的教学。

函数单调性的定义 第6篇

函数的单调性，也叫函数的增减性，可以定性描述在一个指定区间内，函数值变化与自变量变化的关系。当函数f(x)的自变量在其定义区间内增大(或减小)时，函数值也随着增大(或减小)，则称该函数为在该区间上具有单调性(单调增加或单调减少)。在集合论中，在有序集合之间的函数，如果它们保持给定的次序，是具有单调性的.。

如果说明一个函数在某个区间D上具有单调性，则我们将D称作函数的一个单调区间，则可判断出：

DQ(Q是函数的定义域)。

区间D上，对于函数f(x)，(任取值)x1，x2∈D且x1>x2，都有f(x1)>f(x2)。或，x1，x2∈D且x1>x2，都有f(x1)

函数图像一定是上升或下降的。

复合函数的单调性的证明 第7篇

例

1、已知函数yf(x)与yg(x)的定义域都是R，值域分别是0,与,0，在R上f(x)是增函数而g(x)是减函数，求证:F(x)f(x)g(x)在R上为减函数.分析：证明的依据应是减函数的定义.证明：设x1,x2是R上的任意两个实数，且x1x2，则F(x1)F(x2)f(x1)g(x1)f(x2)g(x2)

f(x1)g(x1)f(x1)g(x2)f(x1)g(x2)f(x2)g(x2)f(x1)g(x1)g(x2)g(x2)f(x1)f(x2)

f(x)是R上的增函数，g(x)是R上的减函数，且x1x2.f(x1)f(x2)，g(x1)g(x2)即f(x1)f(x2)0，g(x1)g(x2)0.又f(x)的值域为0,，g(x)的值域为,0，f(x1)0,g(x2)0.F(x1)F(x2)0即F(x1)F(x2)

浅谈高中函数单调性的教学 第8篇

一般地, 设函数f (x) 的定义域为I:如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x, 当x1<x2时, 都有f (x1) <f (x2) , 那么就说f (x) 在这个区间上是增函数;如果对于属于I内某个区间上任意两个自变量的值x1、x2, 当x1<x2时, 都有f (x1) >f (x2) , 那么就说f (x) 在这个区间上是减函数。

二、从数学知识的角度认识函数单调性

函数单调性概念是函数概念的进一步学习, 对它的学习是建立在函数概念的基础之上的, 所以“函数单调性”并不是客观存在的东西, 它是从大量的函数的具体事例中, 经过了分化、类比等多次抽象、概括出来的函数这类数学对象所具有的本质属性。因此, 它具有高度抽象性。

数学符号由符号形式和符号内容两部分组成, 一种是符号内容能被符号的形式充分暗示出来的概念, 如平行、垂直等;另一种是符号内容不能由符号形式表示的概念, 如函数、复数等。然而, 函数单调性又恰恰属于符号内容不能被符号形式暗示出来的概念, 对它的学习需要进行更多的数学思维活动。

函数单调性的表达方式具有多样性, 它不仅能用表格、图像表示, 还能用符号语言表示, 甚至还可以用自然语言描述。因此, 学习函数单调性这部分内容, 不但要求学生能进行单一“数”或“形”的运算, 还要求学生进行“数”与“形”相结合的运算。对于高一阶段的学生而言, 把观察函数图像得到的结论转化成形式化的数学符号语言无疑是一种思维上的挑战。

三、高中函数单调性研究的必要性

《普通高中数学课程标准》明确提出:理解基本的数学概念、数学结论的本质, 了解概念、结论等产生的背景、应用, 体会其中所蕴含的数学思想和方法, 以及在后续学习中的作用。可见, 课程标准非常重视数学概念的教学, 尤其是对数学概念本质和数学思想方法的理解。例如, 课标对函数单调性的要求:通过已学过的函数特别是二次函数, 理解函数的单调性、最大 (小) 值及其几何意义;学会运用函数图像理解和研究函数的性质。

函数单调性的不管是教学方式, 还是学习方式, 特别是其研究方法对函数后续性质的学习具有良好的示范作用。由此可见, 对函数单调性的教学进行研究是非常有必要的。

四、函数单调性教学现状和存在的问题

《普通高中数学课程标准》强调概念教学的基础性与重要性, 但通过访谈调查和案例研究发现:教师按照字面意思讲解函数单调性定义的情况仍然存在;部分教师尝试引导学生探索概念的形成过程, 但教师在这个过程中忽视学生的独立思考和建构;忽视研究函数性质的思想方法的渗透等“重知识, 轻过程”情况仍然存在。然而, 一线教师很向往解决课堂教学中出现的这些问题, 也不断尝试用探究的方法让学生经历函数单调性概念形成的思维构造过程, 但结果不尽如人意, 仍有待突破。

五、对高中函数单调性教学提出的具体建议

(一) 数形结合, 优化思维过程

高中函数单调性的概念是形与数结合的概念, 所以教学应该采用“形”和“数”相结合的方式, 优化学生的思维过程, 让学生全面地初步获得概念。与此同时, 还需要注意提供的正面实例必须是不同形式的能反映函数单调性本质属性的典型例子, 还要利于学生从图像 (形) 和表格 (数) 两个角度对函数单调性进行观察、探究。

(二) 巧妙设置探究问题

在函数单调性符号化的过程中, 需要以学生为主体, 结合学生已有的经验设计出能够引导学生思维参与的问题, 使学生真正经历思维构造的过程, 最终建构起函数单调性的概念。

(三) 教学方式多样化

函数单调性是一个复杂而抽象的概念, 在概念的探究的过程中, 可以融入概念形成和同化两种方式, 因为大量实例可以让学生先直观感知新概念, 在经过同化使得新概念与原有概念发生认知冲突, 使学生真正经历这种不愤不启、不悱不发的状态, 进而引导学生得到形式化的新概念。在这个新概念建构的过程中, 既有感性认识, 又有理性认识, 在有限的课堂教学时间里, 极大限度地帮助学生理解概念的本质。

(四) 多角度理解概念

在概念形成之初, 学生对概念的理解是不深刻的, 因此, 教师应及时帮助学生理解概念, 而不是急着去讲解函数单调性的判断方法、证明步骤等。首先, 用新获得的概念去分析概念引入时所提供的实例, 加深学生对新概念的认识。其次, 利用变式练习来突出概念的本质属性, 采用多种形式的正反结合的例子让学生明确概念的外延。此外, 在后续学习指数、对数函数等时, 有目的地引导学生深刻认识函数单调性概念。例如, 可以让学生用描点———连线的方法作出函数图像, 这种操作使得学生在函数单调性的图像、表格、形式化的符号语言之间不断地进行转换, 丰富学生对函数单调性概念的认识, 加深学生对概念本质的理解。

总之, 函数是高中数字的重点内容, 而单调性又是函数的重点内容。它又可以和许多非函数问题有机地结介在一起。所以, 我们在教学中应有意识地让学生应用函数单调性的知识、方法、技能解决新的、综合性的问题, 从而提高学生的观察、分析、运算、推理能力, 培养学生的创新能力以及良好的数学修养。

参考文献

高中数学函数单调性的解法分析 第9篇

关键词：高中数学；函数单调性；解法

【分类号】G634.6

前言：在近几年的高考当中，对于函数单调性、单调区间、最值和极值等方面知识的考察十分的重视，数学试卷中关于函数单调性的题目所占比例也在不断的增加。由于高考对于函数单调性的考察多种多样、十分灵活，所以学生在平常的学习中，一定要充分理解函数单调性的概念和特点，掌握扎实、牢固的函数相关基础知识。同时教师在课堂教学中要对相关知识点进行深入的剖析和详尽的讲解，尽量的让学生掌握更多的函数单调性解题方法，从而应对高考中的各类相关试题。

1.函数单调性的定义和应用

1.1函数单调性的定义

高中数学教材中，对函数单调性的定义是：设函数y=f（x）的定义域为A，且区间I?A。对于区间I内的任意两个值x1和x2，如果当x1f（x2），那么y=f（x）在区间I中就是单调减函数，区间I就是函数y=f（x）的单调减区间。如果y=f（x）在区间I中是单调增函数或单调减函数，那么就说函数y=f（x）在区间I中具有单调性。在函数的单调区间内，如果是單调增函数，其函数图像是上升的，如果是单调减函数，则其图像是下降的。

1.2函数单调性的作用

在初中时，我们学过一次函数和二次函数，通过对其图像的分析，对函数的增减性有了一个初步的了解。进入高中之后，系统的对函数单调性的知识进行了学习，通过数形结合的方式进一步了解了函数单调性的含义[1]。函数单调性是对自变量变化的研究，学生在以后学习不等式和导数等其它数学知识的时候，都会用到运用函数单调性的相关知识，在考试做题中，也会大量的用到函数单调性。

2.函数单调性的解法

2.1利用函数单调性的定义的解法

利用函数单调性的定义是一种比较直接、有效的解题方法。要想解析函数的单调性，首先就要确定其区间范围。其次要注意对于带有无理式的函数，在利用定义解题的过程中，要注意无理式的有理化。

例如：已知函数f（x）=根号下（x2+1）-ax（a>0），证明当a=1时，函数f（x）在R上是减函数。在解答这道问题的时候，就要用到无理式的有理化。由题可知，当a=1时，f（x）=根号下（x2+1）-x=（根号下（x2+1）-x）*（根号下（x2+1）+x）/（根号下（x2+1）+x）=1/（根号下（x2+1）+x）。当x递增时，f（x）递减，因此，函数f（x）在R上是减函数。

2.2利用函数图像数形结合的解法

在函数的图形中，在特定区间内，如果y随着x的增加而增加，那么函数在此区间内单调递增。如果y随着x的增加而减少，那么函数在此区间内单调递减。试题当中对于函数单调性的考察虽然比较灵活，但究其根本也只是对一些简单的基础知识进行结合[2]。因此，高中生在平时的学习当中，要充分的理解和掌握函数单调性相关的基础知识，并且学会将其融合在一起进行分析和理解。

对于函数f（x）=5/x，它的函数图像是关于原点对称的奇函数图像，因此，在对称区间内，其单调性是一致的。而函数f（x）=x2，由于其是偶函数，因此，在对称区间内，其单调性是相反的。

例如：已知函数f（x）=x（1/（2x-1）+1/2）且x>0，判断函数f（x）的奇偶性并求证f（x）>0。在解答这道题的时候，通过画出函数图像，可以简单的判断出该函数为偶函数。在求证f（x）>0时，因为x>0，所以2x>1，所以2x-1>0。由此可以得出1/（2x-1）+1/2>0，又因为x>0，所以x（1/（2x-1）+1/2）>0，因此可得出当x>0时，函数f（x）>0。

2.3利用复合函数的解法

在高中数学当中，对于复合函数的定义是：函数y=f（g（x））是由函数y=f（t）和函数t=g（x）两部分组成的。其中t=g（x）是其内层函数，y=f（t）是其外层函数。根据定义，如果内层函数和外层函数的单调性不一致，该复合函数就单调递减[3]。如果内层函数和外层函数的单调性一致，该复合函数就单调递增。

例如：判断函数f（x）=3的（x2+1）次平方的单调性。在解题时，应先将该复合函数分解成外层函数f（t）=3t和内层函数t=x2+1。由于内层函数t=x2+1的是关于y轴对称的偶函数，因此在区间（-∞，0）中单调递减，在区间（0，+∞）中单调递增。而由于外层函数f（t）=3t是指数函数，因此其在（-∞，+∞）中单调递增。根据复合函数的定义，可知，在区间（-∞，0）中，函数f（x）=3x2+1为单调递减。在区间（0，+∞）中，函数f（x）=3x2+1为单调递增。

2.4利用导数的解法

导数是解决函数单调性问题的一个十分有效的数学工具，它为解答函数单调性问题提供了很多新的思路。如果函数y=f（x）在区间（a，b）中可导，且其导函数大于0，就可得出函数y=f（x）在区间（a，b）中单调递增。如果其导函数小于0，就可得出函数y=f（x）在区间（a，b）中单调递减[4]。

在实际应用中，利用导数法解决函数单调性的问题，可以做到步骤明确、思路清晰，十分简便和容易。例如：设函数f（x）=lnx-ax，g（x）=ex-ax，其中a为实数。如果f（x）在区间（1，+∞）中单调递减，且g（x）在区间（1，+∞）中存在最小值，求实数a的取值范围。这道题在解题时，由题目可知，f（x）=1/x-a=（1-ax）/x。由于函数f（x）的定义域为（0，+∞），且函数f（x）在区间（1，+∞）中单调递减，可以得出a>0。设f（x）<0，则x>1/a，因此f（x）在（1/a，+∞）中单调递减。又因为f（x）在（1，+∞）中单调递减，所以（1，+∞）?（1/a，+∞），可得出1/a≤1，因此a≥1。设g（x）=0，可得出x=lna。如果xlna，g（x）>0，g（x）单调递增。由于g（x）在区间（1，+∞）中存在最小值，所以lna>1，可得出a>e。综上所述，可得出a的取值范围为（e，+∞）。

总结：高中数学离不开函数单调性，对函数单调性的研究和解析更是高考当中的重点。对于函数单调性的解法有很多，只有充分的掌握函数单调性的基础知识，熟知其各种解法，才能在实际中应用，应当根据题目的特点，有针对性的选择合适的解法，从而轻松解决函数单调性的问题。

参考文献：

高一函数单调性的求法和步骤 第10篇

1、导数法

首先对函数进行求导，令导函数等于零，得X值，判断X与导函数的关系，当导函数大于零时是增函数，小于零是减函数。

2、定义法

设x1，x2是函数f(x)定义域上任意的两个数，且x1f(x2)，则此函数为减函数.

3、性质法

若函数f(x)、g(x)在区间B上具有单调性，则在区间B上有：

① f(x)与f(x)+C(C为常数)具有相同的单调性;

②f(x)与c?f(x)当c>0具有相同的单调性，当c<0具有相反的单调性;

③当f(x)、g(x)都是增(减)函数，则f(x)+g(x)都是增(减)函数;

④当f(x)、g(x)都是增(减)函数，则f(x)?g(x)当两者都恒大于0时也是增(减)函数，当两者都恒小于0时也是减(增)函数;

4、复合函数同增异减法

对于复合函数y=f [g(x)]满足“同增异减”法(应注意内层函数的值域)，令 t=g(x)，则三个函数 y=f(t)、t=g(x)、y=f [g(x)]中，若有两个函数单调性相同，则第三个函数为增函数;若有两个函数单调性相反，则第三个函数为减函数。

拓展资料：

函数的定义：

给定一个数集A，假设其中的元素为x。现对A中的元素x施加对应法则f，记作f(x)，得到另一数集B。假设B中的元素为y。则y与x之间的等量关系可以用y=f(x)表示。我们把这个关系式就叫函数关系式，简称函数。

函数单调性的定义：

一般的，设函数y=f(X)的定义域为A,I?A，如对于区间内任意两个值X1、X2，

1)、当X1

2)、当X1>X2时，都有f(X1)>f(X2),那么就说y=f(x)在区间I上是单调减函数，I称为函数的单调减区间。

二.高一数学怎么学

1、积极调整心态。对于高一学生暂时学数学有困难的问题，千万不要产生畏难情绪，因为大部分的高中生都遇到过这种问题。困难是暂时的，只要树立好学习数学的信心，找好学习数学的方法，就一定能学好数学的。高一学生要调整好自己的心态，学会对自己的学习情况进行评估，分数可以直观的反应出自己的一些情况，只有明白自己的问题，才能有效的纠正它。

2、多动笔、勤做题。在高中的数学课堂上，老师的板书还是挺多的。这个时候需要高一学生跟着老师勤动笔，勤做题。因为不动脑跟不上老师的思路，不动笔，就不会知道下一步是什么。多动笔，不仅是需要学生们几段，更重要的是通过解题步骤的书写，理清自己的思路。

3、重视概念的学习。高中数学中有很多概念知识，是数学重要的组成部分，很多时候对于数学概念的了解，不能只局限于字面上，要学会从正面理解概念，还要能举出反例，甚至是从符号，图形角度来理解概念。

教学反思：函数的单调性 第11篇

新课标明确指出：函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，不仅把函数看成是变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，函数的思想将贯穿高中数学课程的始终《函数的单调性》的课标教学要求，从结合实际问题出发，让学生感受运用函数概念建立模型的过程和方法，体会函数在数学和其他学科中的重要性，初步运用函数思想理解和处理现实生活和社会中的间断问题。数学新课标还提到：要注重提高学生的数学思维能力，即“在学生学习数学运用数学解决问题时，应经历直观感知，观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等思维过程”。

对于函数单调性，学生的认知困难主要在两个方面：（1）要求用准确的数学符号语言去刻画图象的上升与下降，这种由形到数的翻译，从直观到抽象的转变对高一的学生是比较困难的；（2）单调性的证明是学生在函数内容中首次接触到的代数论证内容，而学生在代数方面的推理论证能力是比较薄弱的．根据本课教材的特点、教学大纲对本节课的教学要求以及学生的认知水平，从三个不同的方面确定了教学目标，重视单调性概念的形成过程和对概念本质的认识；强调判断、证明函数单调性的方法的落实以及数形结合思想的渗透；突出语言表达能力、推理论证能力的培养和良好思维习惯的养成；确定本节课的重点和难点．在本节课的教学设计中在分析学生的认知发展水平和已有的只是经验的基础上，让学生通过观察函数图像的变化规律，然后归纳猜测，勇于实践探究式的教学方法，取得了较好的教学成果。

为达到本节课的教学目标，突出重点，突破难点，教学上采取了以下的措施：

一、函数单调性可以从三个方面理解

（1）图形刻画：对于给定区间上的函数，函数图象如从左向右连续上升，则称函数在 1 该区间上单调递增，函数图象如从左向右连续下降，则称函数在该区间上单调递减。

（2）定性刻画：对于给定区间上的函数，如函数值随自变量的增大而增大，则称函数在该区间上单调递增，如函数值随自变量的增大而减小，则称函数在该区间上单调递减。

（3）定量刻画，即定义。

上述三方面是我们研究函数单调性的基本途径

二、判断增函数、减函数的方法：

①定义法：一般地，对于给定区间上的函数，如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值、，当 时，都有 〔或都有 〕，那么就说 在这个区间上是增函数（或减函数）。

与之相等价的定义：

⑴，〔或都有 〕则说 在这个区间上是增函数（或减函数）。其几何意义为：增（减）函数图象上的任意两点 连线的斜率都大于（或小于）0。

⑵，〔或都有 〕则说 在这个区间上是增函数（或减函数）。

②导数法：一般地，对于给定区间上的函数，如果 那么就说 在这个区间上是增函数；如果 那么就说 在这个区间上是减函数；

如果函数 在某个区间上是增函数（或减函数），就说 在这一区间上具有（严格的）单调性，这一区间叫做的单调区间。如函数是增函数则称区间为增区间，如函数为减函数则称区间为减区间。导数法是一个通法，而且不要过多的技巧，但要注意本法只对于给定区间上的可导函数而言才可以用，一般含有绝对值的函数应采用其他方法。

③复合函数单调性的根据：设都是单调函数，则在上也是单调函数。

函数的单调性说明了物质是变化的，变化是有规律的，通过学习教会学生用变化的观点 2 看世界，树立与时俱进的思想意识。

函数的单调性教学反思 第12篇

函数的单调性是函数非常重要的性质，在初中学习函数时，对这个问题已经有了初步的探究，当时研究比较粗浅，没有明确的定义。函数的单调性从图像的角度看，简单，清楚，直观容易理解。因此，这节课的设计是从熟悉的简单的具体的一次函数，二次函数入手，让每个学生通过图像体会图像的变化情况，并用普通语言描述。通过动画演示，让学生观察两个点在运动的过程中横、纵坐标之间的关系，并用抽象的数学符号语言来刻画，即当x1f(x2)，给出增函数的定义，再通过类比给出减函数的定义，并对函数单调性作深入的讨论。最后通过两个例题的讲解加强学生对概念的理解。例1让学生学会通过函数图像找出函数的单调区间，明白函数的单调性是在定义域的子区间上的性质，由例2归纳出用定义法证明函数单调性的一般步骤，从而突破难点。

本节课是学生在教师的指导下的逐步探索过程。在探索过程中，让学生通过观察、实验归纳及抽象概括等体会从特殊到一般，从具体抽象、从简单到复杂的研究方法，让学生学会图形语言、普通语言以及抽象上学符号语言之间相互转换，并渗透数形结合的，分类讨论等数学思想。

在整个课堂的教学中，我暴露了作为新老师的种种问题。（1）本节课教学旨体现了课堂教学从“灌输式”到“引导发现式”的转变，以教师提出问题、学生探讨解决问题为途径，以相互补充展开教学，总结科学合理的知识体系，形成师生之间的良性互动，提高课堂教学效率。然而在实际授课中，引导学生主动发现问题，主动解决问题的语言不够精炼，并不能很好的引导学生的思维，而是变成了“满堂贯”。

⑷ 本人认为在概念教学中多花一些时间是值得的，因为只有理解掌握了概念，才能更好地帮助学生落实“双基”，更好地帮助学生认识数学，认识数学的思想和本质，进一步地发展学生的思维，提高学生的解题能力。在例题的讲解中我注意培养学生回答问题的规范性。教师起到一个引导作用，教学有法，教无定法，相信只要我们大胆探索，勇于尝试，课堂教学一定会更精彩！但是，在实际课堂中，在对概念的讲解时并没有强调到关键点，比如单调性中对“任意的”的理解，因此在对概念的讲解上还需要加强。而在例题的讲解过程中，也没有引导学生对例题有一个整体的思考，引导学生学会读题，从哪里入手解题等等问题，而是直接给出了此类题型的一般解法，而由于学生的基础不扎实，因而对教师所给的解法不理解，导致在变式证明函数的单调性的时候，觉得无从下手。实际授课时，过度不自然，从创设情境到概念的讲解，最后到例题，过度的显得生硬不通畅。这些都需要加强。