高等代数课程范文

高等代数课程范文（精选12篇）

高等代数课程 第1篇

本文以杏坛学院为例总结了当前独立学院高等代数教学中普遍存在的问题, 对其改革创新提出了思考, 促进其教学规范化、科学化, 进而达到培养目标的要求。

1、目前独立学院数学专业的学生情况与教学现状

1.1 生源的数学基础普遍较差

通过各省招生网的数据可以看出, 独立学院的学生的入学成绩普遍介于二本和专科之间, 学生的数学成绩平均分一般在及格线左右, 数学基础较差使学生对学习失去信心。我校独立学院的学生录取分数线一般在全省倒数第二三名的, 也就是说数学专业的学生并不都是数学的爱好者或者擅长者, 他们很多缺乏自主学习的能力。

1.2 生源的数学素质参差不齐

各省市高考入取分数线不统一及其所学专业并非所报专业, 导致独立学院的学生入学时数学基础差别较大, 但教学内容和教学要求却完全一样, 长此以往, 达不到理想的教学效果。

1.3 缺乏与培养目标相适用的 (专用) 教材、教学大纲

目前没有适合独立学院学生现状的专用高等代数教材, 大部分独立学院选用与本部一样的教材、并套用其教学大纲。近几年杏坛学院和本部的教材一样, 都是北京大学前代数小组编的高等代数, 基本上沿用本部的教学模式, 没做过体现自身特点的教学改革, 只是机械性地删减一些教学内容, 因而导致大部分学生不能系统的掌握高等代数的知识体系, 和思维方法, 这不仅达不到本门课程的教学目标, 甚至影响其他两门基础课数学分析和解析几何, 以至于后续专业课程的学习效果。

1.4 教学内容多与课时少的矛盾

一些独立学院为了强化应用型人才培养计划, 以及节约开支的目的, 减少行课周数, 这就导致将高等代数课程的学时被压缩。学时数少与教学任务量大的尖锐矛盾, 迫使授课教师为了完成教学任务而疲于追赶教学进度, 对一些重点内容和应当精讲细讲的内容在教学过程中难以展开, 严重影响了教学质量和教学效果。

2、独立学院高等代数教学改革的具体措施与方法

2.1 因材施教, 以生为本, 与时俱进

独立学院作为新型本科, 学生的数学基础较差, 因此, 在高等代数的教学中, 更应做到以生为本, 因材施教。从教材上来讲, 选取经典教材, 注重知识的删减与扩展, 中国的高等代数教材建设, 国内名校起了主导作用, 不少高校使用北京大学前代数小组编著的教材长达二三十年之久。正因如此, 尽量选取经典教材, 并针对独立学院的学生实际情况进行知识的删减与扩展, 原则是不破坏原有内容布局, 删减部分章节, 扩展知识的应用达到对知识的理解。

随着近几年就业形势的变化, 有些同学认为学习数学理论不如多参加一些社会实践更利于自己的就业, 不把主要心思放在学习上, 马马虎虎的熬到毕业, 这就要求专业课老师和辅导员老师共同携手改变学生的学习无用论思想。

2.2 注意传统板书与数学软件的有机结合

对于基础课程的教学, 传统的板书仍然发挥着它无与伦比的作用。在高等代数的学习过程中, 一般行列式的计算、一般线性方程组的求解以及把矩阵化为阶梯形矩阵等往往是一个比较有规律但很繁琐的工作, 就可以借此机会教学生用Matlab编写相应的程序, 通过计算机很快的得到准确的结果。这在提高学生们学习兴趣的同时, 还提高了学生对计算机的运用能力。

2.3 适时地渗透数学建模的思想

高等代数的思维方式是:观察客观世界的一些现象, 抓住其本质特征, 抽象出概念或建立模型进行探讨或研究;通过直觉判断或归纳推理、类比推理等方法做出猜想, 然后通过分析或逻辑推理, 揭示事物的内在规律, 从而使纷繁复杂的现象变得井然有序.高等代数课程不仅有一些数学知识和解决问题的具体方法 (属于操作层面或知识技能层面) 。更重要的是, 它还有研究问题的思维方式、建立模型的方法等内容 (高级思维层面或思想方法层面) , 因此, 只有掌握了这种思维方式才算真正掌握了这门课程。

比如, 在讲矩阵乘法以及方阵对角化的时候, 以兔子繁殖为例子引入裴波那契 (Fibonacci) 序列的推导, 可以锻炼学生用高等代数处理实际问题的能力, 让学生较早地学习数学建模的思想和建模的方法及建模的应用, 提高解决问题的能力, 大大提升学生对高等代数实际应用的期望, 激发学生学习数学的兴趣。

2.4 因地制宜, 充分发挥地域优势

经济发达的大城市的高校, 信息流通快, 观念较新, 而且还有很多国际交流的机会, 对个人的发展往往比中小城市有利, 因而, 大城市是很多人向往的目标, 这就要求地处中小城市的高校力推自己的办学特色, 的时间相对较多, 老师就可以多布置课下任务, 多读书, 让自己的学生都打下扎实的专业基础, 充分发挥自身的优势,

3、结束语

本文分析了高等代数课程教学改革的必要性, 从教学方法和教学实践等方面进行了相应的教学探讨和改革, 并把该方法应用到我校独立学院高等代数课程教学中取得了较好的教学效果。

总之, 高等代数教学改革是长期的、复杂的系统工程。为了加快独立学院高等代数教学改革, 不断提高独立学院数学教学质量, 我们应该针对独立学院学生学习的自身特点对高等数学教学内容、教学模式和师资队伍建设等方面进行探索、改革与创新, 自觉主动地研究独立学院高等代数的教育教学规律, 制定更为灵活和人性化的教学措施。

参考文献

[1]北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组.高等代数[M].2版.北京:高等教育出版社, 1988.

[2]徐兵.独立学院数学基础课程教学改革实践之我见[J].大学数学课程报告论坛, 2007:150-152.

[3]李成杰.关于高等代数教学的思考与探索[J].高等数学研究, 2010, 13 (2) :47-48

[4]张硕, 王翠芳.独立学院中高等代数课程建设与教学改革的实践--以天津师范大学津沽学院为例[J].高等函授学报 (自然科学版) , 2011, 24 (1) :13-15

高等代数课程 第2篇

会议纪要

福建省《高等代数》与《线性代数》课程建设第十一次研讨会于2009年5月15日至17日在福建师范大学福清分校召开。研讨会的宗旨是建立课程建设交流平台，互相学习、共同促进，提高全省《高等代数》与《线性代数》课程的师资水平与教学质量。参加本次研讨会的有厦门大学、福州大学、福建师范大学、华侨大学、福建农林大学、集美大学、漳州师范学院、莆田学院、泉州师范学院、闽江学院、三明学院、龙岩学院、武夷学院、福建工程学院、厦门理工学院、福建师范大学福清分校、福建师范大学协和学院、仰恩大学、宁德师范专科学校、福建交通职业技术学院、福建商业高等专科学校、福建水利电力职业技术学院、厦门海洋职业技术学院等23个学校的专家、学者和在读研究生共50余人。

邀请著名专家作指导报告是本次研讨会的特色。继上次会议邀请顾沛教授和李尚志教授会议作指导报告，本次会议邀请了国内代数学著名专家、第一届全国高等学校教学名师、北京大学博士研究生导师丘维声教授作指导报告。丘教授题为《按照数学的思维方式教线性空间和线性映射》的报告中，强调了在教学过程中突出数学思维方式的重要性，并以线性空间与线性映射的内容为例，梳理教学内容的主线。丘教授的讲座立意高，针对性强，使全体与会人员受益匪浅。

由优质出版社赞助协办是本次研讨会的又一特色。高教出版社数学分社和高教出版社福建教学服务中心重视研讨会，资助协办本次会议。马丽编辑、曹明浩主任助理等全程参加了会议。马丽编辑在会上作了题为《注重资源研发，提供优质教学服务》的报告，介绍了高教出版社在代数教学方面的资源建设情况，受到大家的欢迎。

福建师范大学福清分校薛建明副校长出席了开幕式，对本次研讨会的召开表示祝贺，并简要介绍了学校的情况。丘维声教授在开幕式上致辞，充分肯定了教学研讨对提高教学质量的重要作用。马丽编辑发表热情洋溢的讲话，表达了出版社对课程建设的关心和支持。林亚南教授回顾了研讨会的思路和设想，简要总结了系列研讨会的情况和全省各个高校在《高等代数》《线性代数》课程建设取得的成果。开幕式由福建师范大学福清分校数学与计算机科学系黄晓秋主任主持。

本次研讨专题是线性空间和线性映射，共有8位老师在会上作了交流发言。福州大学曾有栋教授作了题为《线性变换教学的几点体会》的报告；福建师范大学辛林教授作了题为《无限维空间上线性变换特征值问题》的报告；莆田学院王海明副教授作了题为《线性变换可交换的讨论》的报告；厦门大学林鹭副教授作了题为《关于线性空间、线性变换的试卷设计》的报告；莆田学院林志兴老师作了题为《与给定矩阵的可交换空间的一些探讨》的报告；龙岩学院周金森老师作了题为《同调代数观点下的高等代数教学》的报告；三明学院黄益生教授作了题为《向量组的秩》的报告；厦门大学林亚南教授作了题为《突出数学思想观点下的教学方法—以线性空间的同构为例》的报告。报告会分别由林亚南教授、陈清华教授、徐增德教授和杨忠鹏教授主持。

与会人员一致认为，研讨会为提高我省《高等代数》与《线性代数》课程教学质量和师资水平做出了卓有成效的贡献，继续召开《高等代数》与《线性代数》课程建设研讨会很有必要。会议决定，下次研讨会于2010年4月在三明学院召开，研讨交流的内容是“二次型”。

全体与会人员对福建师范大学福清分校与高等教育出版社为本次会议顺利举办所做出的努力表示由衷的感谢！

福建省《高等代数》与《线性代数》课程建设研讨会

高等代数课程 第3篇

关键词：近世代数数学美和谐美

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近世代数是以研究代数系统的性质与构造为中心的一门学科，它不仅是现代数学的重要基础，也是许多其他现代科学的基础，已成为数学专业成人高等教育学生的重要专业必修课程之一。近世代数中的等价、划分、同态、同构等思想方法，不仅是最重要的数学方法之一，而且也是观察和研究自然和社会的普遍采用的方法。随着科技的不断发展与实际应用的需要，近世代数的基本理论与基本思想逐渐渗透到编码与信息安全等领域。本文将以近世代数中几个重要而又典型的代数系统为切入点，探讨近世代数中蕴涵的数学美，从而揭示其臻美取向和人文底蕴。

一、代数结构的简单美

在最基本的逻辑层次——集合和映射基础上抽象而成的各大代数系统，由于其抽象出的概念不再是客观事物原本的形象，从抽象概念逐级演绎出的推理论证的方法，排除了自由、价值、人文等生活中的终极意义的信念，完全置身于抽象的世界之中。要还原抽象系统的物理及其本质属性，需要利用多种方法对其本身结构加以认识，找出系统间的结构关系，实现系统的同构、同态等等。下面仅通过同构进行研究和分析上面所提到的代数系统。

同构也称同构映射，是现代数学一个很重要的基本概念。同构关系是一种等价关系，等价的两个代数系统具有完全相同的代数性质和数学构造，在代数性质上可以视为同等的。继群之后逐步建立的其他代数系统结构研究，常常也会使用同构和同态等工具。比如，向量空间的扩展就是模。又如，对于很多域的研究可以转化为本身的同构群，进而使研究变得更清晰易懂。竭力找出系统间的结构关系，实现同构、同态等意义下的简单形态，这是研究代数系统的方法论准则。

二、代数理论的结构美

无论系统结构在深度和广度上如何扩展，系统最基本的属性就是集合，而由代数运算和公理条件所限定的结构，将本来彼此独立的各元素密切的联系起来，使得元素之间有了远近关系、大小之分及运算，使得系统有了架构。因此，代数系统的逻辑起点是一致的，集合和映射以及必要的公理条件是所有系统都具备的要素。不同的系统有着统一的逻辑起点，统一的系统又会有差异，差异中有统一、统一中又存在差异，这正是近世代数建构美的本质所在。代数系统的建立都是希望用统一的、抽象的方法来整体考察，并不去考虑独立的元素。近世代数建立的理性美体现在：逻辑一致、统一协调、整体把握。

.我们认识近世代数建立与扩展中逻辑基础的简单一致，以及为了研究系统之间的结构关系，实现同态、同构等意义下的简单形态的理性思维，就是从共性上把握对象间的本质，品味数学表达与分析中的质朴、和谐、涵盖美的数学内在美，体验数学的联系带来的深刻美学价值。.

三、代数理论的现实美

数学和其他任何学科都面临着同一个问题：它能派在什么用场？就是说它的实实际意义或价值是什么。数学能发展到高度抽象的近现代数学时期，使得逻辑抽象实现的纯数学领域更渴望找到其本身存在的直接或间接的实际意义，尽管数学家纯粹的思维实现的只是数学体系内部逻辑发展的必然性，这样必然走向理论先行的、超验的道路上，而现代物理学在寻求本身发展的同时找到了其必需的工具——数学，意外的为数学找到了存在的意义，回归了价值美。

比如，群论的产生最初是在探讨高次方程的求解时，发现了方程的根的对称性和平等性是解决全部问题的关键。随着科学的发展，近世代数的研究成果和方法已逐步被应用到工程技术中，如代数编码学、语言代数学、代数自动化理论等领域，并对组合数学的突起和发展产生了重要影响。

四、代数系统的和谐美

数学美之根源在于统一和和谐统一性，源于对事物的本质认识和科学抽象，如在解决五次或者五次以上代数方程的根式解问题时，阿贝尔和伽罗华引入了置换群的理论之后，人们慢慢发现，对于这一理论中大多数的本质问题来说，用以构成群的特殊材料——置换并不是最主要的，重要的只是在于对任意集合里所规定的代数性质的研究，这样就把置换群的研究推进到了更一般的抽象群的研究上去，把群的研究建立在公理化的基础上，使他的理论变得更加严谨和清晰。这种和谐统一将特殊问题化为一般讨论，是科学抽象的典型应用。

在近世代数中，除了研究某种代数系统如群环域等自身的内部结构之外，考虑代数系统间的联系也是具有重大的意义，这种联系往往以某种代数系统在另一种代数系统上的作用来实现。譬如模就是具有环作用的交换群。许多在表面上看来差异很大的代数系统，如交换群环理想线性空间，在模的语言下都统一了起来。

五、近世代数的抽象美和自由美

从初等数学的基本概念到现代数学的各种原理都具有普遍的抽象性与一般性。从伽罗瓦和阿贝尔开创以来，近世代数以绝对抽象的代数系统的结构为研究中心，实体化的公理转变成了形式化的公理，数学的公理化方法所體现的理论简单性更加复杂了。近世代数中所处理的概念，比如，群、环、域、模等及其理论是抽象的，脱离了具体事物内容，它们当中都蕴含着抽象美和自由美。

总之，近世代数的教学是一个伴随着研究和创新的过程，它需要掌握一定的数学方法。在近世代数的教学中，通过挖掘其中所蕴涵的数学美和数学思想方法，有助于揭示数学知识的精神实质，可以让学生掌握近世代数的精髓，有利于培养学生的抽象思维能力和审美能力，有利于培养学生的综合素质和创新意识。

参考文献：

[1] 数学辞海（第二卷） [ Z]. 北京：中国科学技术出版社，2002.

[2] 张禾瑞. 近世代数基础 [M]. 北京：高等教育出版社，1985.

[3] M. 克莱茵. 数学与知识的探求 [M]. 刘志勇译. 上海：复旦大学出版社， 2005.

[4] 吴品三.近世代数[M].北京： 高等教育出版社， 1979： 61-63.

[5] 郭华光， 徐祥， 裴定一. 近世代数课程教学内容的改革与实践[J]. 广州大学学报（自然科学版）， 2003， （6） .

高等代数课程改革的探索与思考 第4篇

关键词：高等代数,课程改革,案例

一、引言

作为数学类本专科阶段最基本的、最主要的核心课程之一, 高等代数课程除了是中学数学的延拓, 同时也是现代数学的基础, 它理论性比较强, 概念比较多, 内容非常抽象。通过学习该课程, 可慢慢地训练和培养学生的逻辑推理能力和抽象思维能力, 指引学生由中学数学逐步进入近、现代数学的殿堂。也正因为这门课程的理论性较强, 再加上近年来高校招生规模的扩大, 生源质量的下降, 使得近几年的高等代数的教学情况总是不理想, 学生普遍反映抽象难懂, 面对大量的定义、定理、证明感到枯燥无味, 同时, 老师在教学中由于教学任务重, 为了赶教学进度, 存在直接用“定义、定理、证明”的短平快模式, 从而影响了教学效果, 也达不到教学目的。笔者根据历年的教学实践, 对如何搞好高等代数的教学进行了一些探讨和反思。

二、以培养应用型人才为宗旨, 明确本课程的改革思路

目前, 应用型本科院校中, 该课程的教学现状, 已有一些不适应的地方。例如, 教学内容在理论上偏深, 有些内容学生难以理解;理论与实际联系少, 应用背景与应用实际很少介绍, 使得学生学用脱节, 缺乏学习的兴趣。那么, 在实际授课中, 到底该不该降低难度要求?在实践中可发现, 如果降低了难度, 重点追求应用, 学生就学不到应该掌握的知识, 达不到应有的知识水平, 难关躲得开却没有解得开, 反而给学生后继课程的学习和较高应用能力的培养带来了障碍。所以, 降低难度这种做法, 颇有些舍本逐末之嫌。能不能既让学生学起来容易一些, 又不降低教学质量甚至提高教学质量?那就意味着必须要在课堂教学上进行改革。清楚了这个问题以后, 为了实现应用型人才的培养目标, 我们以本专业的应用型人才培养方案作为课程建设的依据, 确立了课程改革思路:以课堂教学作为主战场, 在不降低课程体系本身难度的前提下, 遵循课程主线, 优化教学内容;改变教学方法, 把理论与实际相结合, 增加案例教学;加强习题课教学中的灵活性与综合性, 适当补充应用型习题。

三、遵循课程主线, 优化课程内容

自15世纪以来, 人们对代数学的认知经历了三次根本的变革, 其最后一次是天才的法国数学家Galois用置换群理论, 彻底解决了困扰人们几个世纪的“五次、五次以上代数方程的根式解问题”, 从而引发了人们对群、环、模、域等代数结构的研究。使得以研究方程为中心的符号代数, 成为了研究代数运算规律和各种代数结构的学科。近年来, 丘维声在其著作中, 渗透了现代数学研究结构及其态射 (即保持运算的映射) 的观点。因此, 可建立本课程的教学主线, 就是研究数域上的矩阵代数结构、多项式因式分解理论、向量空间的代数结构及其度量的数学课程。

在遵循教学主线的原则下, 对于某些课程内容, 进行了优化处理。比如, 在“矩阵”这一章中, 通过调整教材中相关内容的顺序, 把内容优化设置为如下三大模块:矩阵运算与分块矩阵运算;矩阵初等变换与初等矩阵的关系及其应用;矩阵的秩及其性质。这样, 矩阵这部分内容就十分清晰了。在向量空间这一章中, 可把抽象的概念、性质、结构与数域P上的n维向量空间Pn及线性方程组建立起对应的关系, 从而把抽象与直观较好地结合。在线性变换这章中, 运用映射的观点, 把线性变换与矩阵一一对应, 体现了矩阵作为研究现代数学的一个重要工具。另外, 对于一些较难定理的证明, 或用其他方法化简证明, 或者不作要求。只要能把思路讲清, 会运用即可。

四、注重课堂教学, 适当引入案例

学习高等代数有何用?学生经常会问到这个问题。因为在教材和很多参考书中内容的处理都是从理论到理论, 很少能有与实际生活相联系的例子。对初接触高等数学的学生而言, 很难从单调晦涩的专业术语中看到数学的应用价值, 更体会不到数学的那种美。其实, 在数学的发展过程中, 概念和定理的产生, 并非都是抽象、枯燥的。而是伴随着一系列问题的解决而产生的。在教学中对于每一章节, 应尽可能地引入生动、合适、有趣的案例, 我们从两个方面选取案例。一方面, 寻求合适的知识点, 把教学内容与鲜活的实际问题 (如经济现象、生活实际) 相结合。设计出符合学生特点, 且易于被学生接受的案例, 从而激发学习兴趣, 变被动学习为主动学习;另一方面, 寻求各学科的联系, 高等代数实际上为其他学科提供了一种用“代数法”解决问题的途径。通过研究如何揭示知识间的内在联系, 发挥代数学的优势与特点, 使学生能学以致用, 提高其应用能力, 为培养应用型人才奠定基础。

五、加强习题课教学, 适当补充应用型习题

上课听得懂, 习题不会做。这是学生在学习高等代数时普遍遇到的头疼问题。学生认为高等代数比较抽象, 解题时似乎无规律可循。实则不然, 正由于内容的抽象, 从而解题方法也灵活多变。万变不离其宗, 我经常跟学生讲, 要学会“追根求源”, 拿到一个问题, 可以首先从定义、定理出发, 有助于消除悬念, 解决问题。针对做题难这个问题, 在习题课教学中, 我选择的题目很多都是一题多解。在讲解过程中, 我更注重的是到本节课的内容上来, 让学生带着悬念听课, 在学习新知识中去分析、讨论, 最终自己求得问题的解答。学生在获得知识的同时, 能力也得到提高, 从而收到良好的教学效果。

六、结论

总之, 教学过程是师生共同活动的过程, 两者之间相辅相成。“数学分析”概念多、内容细、专业知识性强, 学生在学习过程中有一定的难度。因此, 在教学过程中, 教师既要注重自身的教, 更要关注学生的学, 也唯有如此, 才能不断提高教师的授课水平, 才能帮助学生提高学习质量, 从而获得良好的教学效果。

参考文献

[1]李长青.高等数学教学中应重视几何直观的作用[J].高等数学研究, 2007, (2) :25-27.

[2]毛京中.高等数学概念教学的一些思考[J].数学教育学报, 2003, (2) :83-86.

[3]陈祥平.数学分析教学与数学美[J].云南师范大学学报:教育科学版, 2001, (2) :35-37.

高等代数学习精选心得 第5篇

反正我们班在大一之后，有好多弃坑转专业的，认为大学“数学”跟想象的不一样，整天就是概念证明啥的，有些枯燥无味。

我想这主要是因为我们被中学的数学束缚太久，习惯了“计算式”的数学。

想一想，我们在大学之前所接触的数学，主要是初等代数，平面和立体几何，三角函数和圆锥曲线，多项式和不等式等内容，课上所学也注重技巧的运用，和形式的计算及简单的推导。事实上，这些绝大多数是三百年前甚至两千年前的知识，关于现代数学的涉及基本没有。

即使高中时接触到了导数，极值等有关极限的概念，但没有讲更深。很多概念，还是停留在特定模式的计算和“只可意会不可言传”的理解层次上。

而近代数学的发展，特别是分析的严谨化以来，“数学的本质已经不是计算，对数学的精通不意味着能够做复杂计算或者熟练推演符号。近代数学的重心已从计算求解转变为注重理解抽象的概念和关系。

证明不仅仅是按照规则变换对象，而是从概念出发进行逻辑推 演。”(出自微信公众号：中国科学院数学与系统科学研究院数学是什么?)所以，从高中到大学，所学的数学，内容上可以说是有了质的提升和深化。尤其数分里，很多知识点的定义，真真表现了分析的严谨和自成体系的理论。像极限的表述，就把一个脑海里变动的过程所导致的结果，合理地用定性的语言作了描述。

这很“数学”，不再是意会的说不清道不明。虽然会遇到困难，但是我相信当你耐心地钻进去，体会概念之间的联系，证明的精巧和严谨会极大地刺激你的求知欲，这是数学专业学生的必经之路。

我认为你目前的状态，首先要能清楚地理解每一个概念和定义。如果有不清晰的点，请教一下老师，这是事半功倍的，因为以老师多年的数学功底和教学经验，可以帮助你更准确地把握一些关键知识点和定理的运用，平时要及时地多做练习，掌握一些解题的技巧。

可以买一些教材配套的参考书啥的，遇到不会的，学习一下标准的解答，也不要死磕，毕竟没有那么多时间和精力。一切学习，都是从模仿开始的，根据书上定理或者例题的证明思路，要学着去尝试证明别的题。

总之，要多读，多想，多做，这样你的学习能力的积累和理解力才能提升。学好这些基础课是极其重要的，后续的很多课程：像实变函数、泛函分析，抽象代数等都是数分高代的抽象版，如果一开始的学习里积攒很多不扎实的点，会让以后变得更加难以捉摸。

我自己现在就是，当开始真正研究问题时，不得不耗费精力去弥补之前的不足之处。

高等代数和中学数学的联系 第6篇

关键词： 高等代数 中学数学 行列式 矩阵

高等代数在大学数学学习中占有重要的地位，其与数学分析、解析几何是大学数学里最基础的三门学科，三者相互联系，相互渗透。不仅如此，高等代数对中学数学也有着很重要的指导作用。高等代数中的方法和思想灵活多变，涵盖的知识面较广。在面对中学数学的问题中，联系一定的高等代数知识，往往可以分类、整理、简化中学数学中所碰到的难题。

1.高等代数与中学数学观念方面的联系

数学研究的对象有很多，单从基本研究对象来说，从简单的中学代数研究的数、代数式方程、函数、多项式等到中学几何研究的点、线、面、圆等常见图形的内容，很容易得到，初等数学中研究的绝大部分对象是现实世界的数量之间的关系和空间位置与形式。然而这种研究观念在高等代数等后继逐渐对知识的深化的课程中却发生了许多变化。例如，多项式与多项式之间的整除关系、集合元素之间的包含关系、不同向量间的线性关系、矩阵的相似、合同关系等许多高等代数中研究的关系，已不再是在中学数学中所接触到的数量关系[1]。其次，向量空间、欧氏空间也不再局限于平常的空间形式，《高等代数》和《近世代数》等许多大学里所学的课程都说明了数学是一门应用抽象化、具体化的方法研究元素之间关系和研究对象结构的科学。这一新的观念对于指导现在所提倡的中学教改是至关重要的[2]。

作为数学专业的高校教师，我们最重要的责任是致力于培养和发展学生解决问题的能力、在教学和学习中树立理论的应用意识，总结和归纳理论的应用方法。同时深入发掘最近几年大学里高等代数的教学实践，结合中学课程特点及对教师示范性的要求，突出高等代数的理论应用特点和优点，将抽象的理论概念与相应层面上的具体问题结合，加深学生对理论的理解，同时培养学生应用理论分析、解决具体问题的能力。

2.高等代数与中学数学应用方面的联系

高等代数课本中的某些知识，在指导中学数学中相对比较困难的一些问题时会发挥很好的作用，为解决问题提供捷径。首先，谈到高等代数，就不得不提到其中三个最基础的概念：行列式、矩阵、线性方程组。这些概念是高等代数中研究的主要内容和重点，它们相互联系、彼此有着重要的指引关系，且对中学数学解题有重要作用。

2.1行列式在中学数学解题中的应用

行列式是高等代数中运用比较广泛的一个概念。行列式可以应用于中学数学中的因式分解，同时也可以把行列式应用到不等式的证明上。如果能在中学数学中构造适当的行列式，就会达到事半功倍、简化问题的效果。

2.2矩阵在中学数学解题中的应用

矩阵是由方程组的系数及常数项组成的方阵，行列式和矩阵具有很多关系，矩阵是由数值组成的，而行列式的值是按可能求得的所有不同的积的代数和，即是一个实数性质和概念。根据矩阵的基本定义，可以自然想到能够利用引入矩阵的方法解决中学数学里经常碰到的问题——求数项通项。又由矩阵和行列式在概念和计算方面有很多近似的地方，类比上述利用行列式对等式因式分解，同样的，可以发现利用矩阵也可以对等式因式分解。矩阵的乘积和矩阵的逆对中学数学具有指导作用。

2.3线性方程组在中学数学解题中的应用

线性方程组无疑是高等代数知识中的另外一个重要组成部分，其与行列式、矩阵共同构成高等代数的重要部分，矩阵的出现可以解决线性方程组的求解问题，而行列式又可以看成矩阵的内部。运用线性方程组解决某些复杂的函数问题中，在对于研究中学数学中求函数的取值问题中有重要作用。

结语

随着现代教学开放性程度的提高，高等代数的思想理论方法在中学数学中渗透得越来越深[3]。作为高校教师，我认为把高等代数课程思想与中学数学相融合，从更高的角度研究中学数学中的重难点，将教会学生以更开阔的眼界看待中学数学问题，从而会提高学生对高等代数的兴趣。

参考文献：

[1]李珍珠.在高等代数习题课教学中培养学生能力的探讨[J].湖南科技学院学报，2011，10（12）：1-2.

[2]方次军.浅析高等代数与中学数学的关联[J].新校园（理论版），2013，12（4）：23-24.

[3]阮国利.高等数学方法在中学数学中的应用研究[D].内蒙古：内蒙古师范大学数学系，2008.

[4]代业明.从方法论和知识论看线性代数与中学数学的联系[J].煤炭高等教育，2011，6（5）：124-125.

高等代数课程 第7篇

几年来,笔者一直在教学一线,既承担《高等数学》的教学,也承担《线性代数》的教学。在教学实践中,笔者发现和总结了一些这两门课程的相通性,下面介绍几点。

一、《高等数学》和《线性代数》课程中部分定义和结论的相通性

1.线性的概念。在《线性代数》课程中,“线性”是指未知变量的次数是一次的,比如线性方程组:

方程组中的变量x1x2,…,xn都是一次的,同样“线性”这个概念在《高等数学》课程中也是类似定义的。比如线性微分方程是指未知变量的导数及未知变量的次数是一次,弄清楚线性微分方程的辨别方法,学生就能快速识别一阶线性微分方程y′+p(x)y=Q(x)、二阶常系数齐次线性微分方程y″+py′+qy=0,从而找到正确的求解方法。实际“线性”概念的相通性不止体现在《高等数学》和《线性代数》课程中,在《数学建模》课程中,线性规划中的线性概念仍然和这里的概念一致。

2.矩阵表示与函数的分解。在《高等数学》中,介绍完函数的奇偶性质之后,有这样一个结论:a.若函数(fx)的定义域关于原点对称,则可以写成一个偶函数和一个奇函数之和。而在《线性代数》课程中,在介绍完对称矩阵概念之后,也有类似结论:b.若矩阵A是方阵,则可以写成一个对称矩阵和一个反对成矩阵之和。不但如此,两个结论的证明过程也具有相通性,结论a中函数的表示方法为:,其中为偶函数,为奇函数。结论b中方阵A的表示方法为:,其中为对称矩阵,为反对称矩阵。

究其缘由是因为奇、偶函数的定义及反对称、对称矩阵的定义相似。函数(fx)的定义域关于原点对称,若(f-x)=(fx),则(fx)为偶函数,若(f-x)=-(fx),则(fx)为奇函数。矩阵A是方阵,若AT=A,则A为对称矩阵,若AT=-A,则A为反对称矩阵。

3.线性相关和线性无关的概念及判断。在《线性代数》中,向量的线性相关和线性无关是这样定义的:给定向量组α1,α2,…,αn,如果存在一组不全为零的数k1,k2,…,kn,使得k1α1+k2α2+…+knαn=0,则称向量组α1,α2,…,αn线性相关;否则称为线性无关。在《高等数学》中,函数的线性相关和线性无关是这样定义的:定义在区间I上的n个函数y(1x),y(2x),…,y(nx),如果存在一组不全为零的数k1,k2,…,ks,使得k1y(1x)+k2y(2x)+…+kny(nx)≡0,x∈I,则称这n个函数在I上线性相关;否则称为线性无关。概念如此的相似,因此向量组相关性的判定方法也可以用于函数相关性的判定。比如,若两个向量构成的向量组对应分量成比例,则线性相关,否则线性无关。类似的还有,若两个函数的比为常数,则线性相关,否则线性无关。

4.方程解的结构。在《线性代数》中,当非齐次线性方程组Ax=b有无穷解时,其解可以表示为对应齐次方程组Ax=0的通解加上非齐次线性方程组Ax=b的一个特解。在《高等数学》中,非齐次线性微分方程的通解也有类似的结构,即也可表示成对应齐次微分方程的通解加上非齐次微分方程的特解。线性方程组和线性微分方程除了解结构类似外,解的性质也完全一样。

二、《高等数学》和《线性代数》课程中部分量运算的相通性

在《线性代数》中有一个重要的量———矩阵,故对矩阵的运算作了大量的介绍,有矩阵的加法、矩阵的减法、矩阵的乘法,但是没有矩阵的除法这一说法。在《高等数学》中,极限部分有个关键量无穷小,两个无穷小相加、相减、相乘仍然是无穷小,但是两个无穷小相除不一定是无穷小。这个特点和矩阵的运算特点类似,即对除法运算的特殊性。矩阵无除法运算,无穷小相除不一定为无穷小,它们虽然没有除法运算或性质对除法运算的不成立性,但是它们都有特殊的运算来代替,矩阵有矩阵的逆运算,无穷小可以通过相除来比较无穷小的阶数。

三、《高等数学》和《线性代数》课程对学生逆向思维培养的相通性

逆向思维是从原问题的相反方向、否定方向或已有思路的相反方向进行思考的一种思维。它反映了思维过程的间断性、突变性和多向性,有利于培养思维的灵活性,常常可以帮助学生寻找新的思路、新的方法,开拓新的知识领域。在《高等数学》和《线性代数》课程中,都大量存在对定理、结论的逆否命题的采用,因而两门课程在培养学生的逆向思维能力方面具有相通性。我们来看几个例子。

命题1:如果齐次线性方程组的系数行列式不等于零,则齐次线性方程组只有零解。而在实际的解题过程中,往往用其逆否命题:如果齐次线性方程组有非零解,则齐次线性方程组的系数行列式等于0。

命题2:如果向量组中有一部分向量(部分组)线性相关,则整个向量组线性相关。在向量组中相关性判断中,也常常用到其逆否命题形式。线性无关的向量组中的任何一部分组皆线性无关。再比如,若向量组线性无关,则其升维组也线性无关。其逆否命题:若一个向量组线性相关,则其降维组也线性相关。这些结论在线性代数学习中是比较难以区分的,若弄清楚两两之间的关系,不但有利于逆向思维的培养,而且学习起来也会事半功倍。

命题3:若级数收敛,则.这是级数收敛的必要条件。

例:判定正项级数的敛散性。

在上述级数的敛散性判断中,用的就是命题3的逆否命题:如果,则级数一定发散。

上面只是列举了这两门课程中的几个例子,实际这种逆向思维的训练在两门课程中还有很多。文献[1]中还介绍了利用反例、反问题等来培养学生的逆向思维。

线性代数与高等数学是大学数学的两门重要基础课,虽然这两门课解题方法有些差异,却密切相关。除了上面介绍的几个方面外,还在很多方面都有内在的渗透[2,3,4,5,6,7]。例如二次型在函数极值、不等式中有着重要的应用,线性空间理论也可用于数列极限的求解,矩阵、行列式在高等数学中的向量积、混合积、旋度、Stokes公式等知识点中都有具体的应用。而另一方面,高等数学中的许多内容,譬如函数的连续性、导数等都可广泛地应用于线性代数众多章节之中。教师在教学过程中应该抓住这些相通性及相互渗透的知识点,将这两门课的内容更好地交叉、融合。

参考文献

[1]袁秀萍.线性代数教学中逆向思维能力的培养[J].科教文汇,2014,(294):42-44.

[2]桑旦多吉.线性代数方法在高等数学解题中的应用[J].求知导刊,2015,(7):126-127.

[3]米永生,梁静.线性代数方法在高等数学中的渗透[J].石家庄学院学报,2007,9(6):17-21.

[4]董晓妃.线性代数方法在搞定数学解题中的应用思考[J].科技创新导报,2015,(19):155-157.

[5]李明泉.线性代数在高等数学中的一些应用[J].长春师范学院学报(自然科学版),2007,26(4):27-30.

[6]梅红.线性代数在高等数学中的应用[J].蚌埠学院学报,2015,4(5):26-29.

高等代数课程 第8篇

一、改革措施

1. 通过增设专题讲座充实高等代数应用背景

专题讲座一:Page Rank算法的原理, 这是能够计算网页自身质量的完美的数学模型. 在互联网上, 如果一个网页被很多其他网页所链接, 说明它受到普遍承认和信赖, 那么它的排名就高. 这就是Page Rank的核心思想. 按照这个核心思想, 计算搜索结果的网页排名过程中需要用到网页本身的排名 (作为链接的权重) . Brin和Page[1]把这个问题变成了一个二维矩阵相乘的问题, 并且用迭代的方法解决了这个问题.

专题讲座二: 矩阵运算中的奇异值分解 (Singular ValueDecomposition) . 在自然语言处理中 , 最常见的两个分类问题分别是, 将文本按主题归类和将词汇表中的字词按意思归类.这两个分类问题都是可以通过矩阵运算来解决的. 我们将通过讲座向学生介绍如何把这些分类问题转化为矩阵运算中的奇异值分解问题.

2. 利用数学软件辅助求解高等代数问题 , 提 高学生科学计算能力

西安电子科技大学陈怀琛教授等在[2, 3, 4]中专门讨论了大学教学中科学计算能力的重要性, 并编著了相关的教材[5, 6, 7]. 五邑大学梁浩云教授在 [8]专门介绍了用Mathematica软件解决线性代数的相关问题, 内容包括:向量与矩阵的输入与输出、向量与矩阵运算、向量组的线性相关性与矩阵的秩、线性方程组的解、相似矩阵及二次型. 五邑大学数学与计算科学学院已经完成校级教改项目“线性代数工科特性改造的研究与实践”, 相关成果也发表在[9, 10]. 然而, 数学专业类学生仍然沿用以往教学大纲教授高等代数课程, 我们有必要把工科线性代数的改革成功经验移植到高等代数课程, 提高数学专业类学生的科学计算能力.

3. 成立大学生创新创业训练小组, 贯穿学生毕业论文设计

根据《关于做好2012年度广东省高等学校教学质量与教学改革工程项目申报工作的通知》启动2012年度广东省大学生创新创业训练计划. 我们以高等代数课程为平台, 选拔优秀学子, 成立兴趣小组, 从一年级开始就布置与高等代数课程联系紧密的毕业设计题目供学生选择, 尝试四年的贯穿式毕业设计工作.

4. 以数学专业竞赛为平台 , 实施分层次教学 , 满 足不同层次学生的需要

2009年 , 中国大学生数学竞赛开始举办. 作为一项面向本科生的全国性高水平学科竞赛, 全国大学生数学竞赛为青年学子提供了一个展示数学基本功和数学思维的舞台, 为发现和选拔优秀数学人才并进一步促进高等学校数学课程建设的改革和发展积累了调研素材. 高等代数内容占竞赛内容35%. 我们计划在高等代数教学过程中采用分层次教学 , 给一部分拔尖的数学人才导入相关的竞赛试题, 同时也为四年级的数学类考研做好准备.

二、效果总结

通过增设课程专题讲座, 能够增强学生学习的兴趣, 也明白本课程的应用背景. 如专题讲座Page Rank算法的原理, 目标就是计算网页的排名, 而网页排名的计算主要是矩阵相乘, 足以让学生增强对矩阵基础理论学习的兴趣和信心;通过引入数学软件Matlab, 学生的实践解题能力提高, 能够借助计算机高效地求解高阶方程组, 提高了学生的科学计算能力;通过以课程为载体的贯穿式毕业设计为导引, 增强学生的就业竞争力, 同时也带动了学生参与教师科研项目的积极性, 成功申报以提高大学生科学计算能力为目标的省级创新创业训练项目;通过分层次教学, 选拔出对高等代数具有浓厚兴趣的学生, 这些学生在省级数学专业类竞赛获奖共11项. 实践证明了我们的教学改革措施是有成效的.

摘要：先讨论了信息与计算科学专业综合改革下高等代数课程的教学改革探索:开设专题讲座介绍应用背景, 借助数学软件提高学生科学计算能力, 成立大学生创新创业训练小组并贯穿式引导学生利用高等代数工具完成毕业设计, 以大学生数学竞赛 (数学类) 为平台实施分层次教学并选拔培养优秀数学人才, 最后总结了这些教改措施实施的成效.

关键词：信息与计算科学,高等代数,科学计算能力,数学竞赛,MOOCs

参考文献

[1]Brin S, Page L.The anatomy of a large-scale hypertextual Web search engine[J].Computer networks and ISDN systems, 1998, 30 (1) :107-117.

[2]陈怀琛.线性代数要与科学计算结成好伙伴[J].大学数学, 2010, 26 (1) :28-34.

[3]陈怀琛.大学理工科要把“科学计算能力”当作一个重要培养目标[J].中国大学教学, 2005 (9) :15-17.

[4]陈怀琛, 高淑萍, 杨威.科学计算能力的培养与线性代数改革[J].高等数学研究, 2009, 12 (3) :23-25.

[5]陈怀琛.MATLAB及其在理工课程中的应用指南[M].西安:西安电子科技大学出版社, 2004.

[6]陈怀琛, 高淑萍, 杨威.工程线性代数:MATLAB版[M].北京:电子工业出版社, 2007.

[7]陈怀琛, 龚杰民.线性代数实践及MATLAB入门[M].北京:电子工业出版社, 2009.

[8]梁浩云.Mathematica软件与数学教学[M].广州:华南理工大学出版社, 2001.

[9]郑成勇.论将MATLA B融入线性代数[J].中国科教创新导刊, 2011 (16) :154.

高等代数教学方法探讨 第9篇

关键词：高等代数,代数思想方法,教学过程

高等代数作为数学专业的一门重要基础课, 其主要内容为代数的基本知识与基本理论, 目的是培养学生的抽象思维能力与逻辑推理能力。学生在数学系的基础课程中,对高等代数的学习是比较困难的。其原因一方面在于这门课本身很抽象,另一方面是这门课在大一开设,而学生的学习习惯、思维方式还是中学期间固有的方式,所以面对高等代数内容的高度抽象性,学生在学习方法、思维方式上存在诸多不适应,因此教学方法与技巧是很重要的。教师应努力钻研教法 ,注重数学 思想、数学 方法的渗 透 ,引导学生 尽快适应高等代数的学习, 逐步培养他们的抽象思维及逻辑推理能力。

一、介绍代数学的基本思想,优化教学效果,达到教学目的。

在高等代数教学中,注重介绍代数学的基本思想方法。数学方法有技巧性的数学方法,有逻辑性的数学方法,还有宏观性的数学方法,本文主要讨论的是这种宏观性的方法。这种方法是影响代数学发展的全局性方法,主要包括公理化方法、结构化方法等,简单介绍如下:公理化方法:高等代数从数、多项式、矩阵、几何向量、函数等具体的数学对象中,抽象出它们关于各自加法和数乘共同满足的八条运算律, 把八条运算律作为公理给出线性空间的定义, 从而线性空间这一概念就不是一个任何具体形式的数学对象, 而是满足八条公理的抽象的代数系统,再由线性空间的定义以八条公理为唯一的依据,推出线性空间的其他性质和定理, 由于公理系统是一个逻辑演绎系统, 因此对培养学生的逻辑思维能力和演绎推理能力都有其重要意义。线性空间是学生遇到的第一个公理化的定义,在这之后,高等代数中的线性变换、欧氏空间、双线性变换等概念都是用公理化的方法引进的。结构化方法:结构思想方法是在集合论的基础上从数学的整个全局出发, 把数学看成一个大系统,在当代数学思想理论的指导下,利用现代形式的公理方法,对整个数学依其结构的特征做了重新整理,从宏观上使其系统化和条理化。由此可见,结构思想方法的提出,把公理化方法推向更高的阶段, 从而为数学方法论揭开了新的一页,高等代数在线性空间“欧氏空间”等章节中都用到结构化方法。所谓高等代数中的结构化方法是, 依据代数系统的公理、研究系统中元素之间的关系、系统的生成方法、系统和子系统的关系、系统的分类等。例如:在线性空间一章中,除了从公理出发研究加法与数乘的运算性质外, 还借助由加法和数乘两种运算确定的线性相关性研究向量之间的关系, 向量组之间的关系,线性空间的生成,基和维数;研究子空间及其交、并、和与直和,最后引入同构映射,介绍向量空间的比较办法和按维数分类办法。

二、对课程作适当调整,强化教学效果。

近世代数作为高等代数的后继课是由历史演变形成的,不是由课程的难易程度决定的,事实上,高等代数中许多内容并不比近世代数容易,比如,群、环、域是抽象的代数体系,线性空间也是抽象的代数体系,而且它是特殊的模;从授课内容上看,近世代数只讲到一些群、环、域的基本概念、基本性质、子体系、商体系,而高等代数中讲到线性空间时所研究的内容深入得多,比如线性空间的分解、线性变换的标准形等理论。而从方法论的角度看, 任何数学知识中都包含一定的数学方法,在获得知识的同时,必然会接触数学方法。从学生认识的角度看,认识规律为从易到难,从简到繁。综合上述理由,设想对高代的课程安排,可进行适当调整,把近世代数中讲到的基本概念和群、环、域的基本知识安排在线性空间、线性变换等内容的前面,用公理化思想方法进行统一的组织安排,系统地介绍代数学的基本思想方法, 然后用统一的代数学思想方法讲授高等代数中的线性空间等抽象的代数系统, 才能真正理解高等代数中的线性空间等抽象的内容。

三、补充典型例题,提倡一题多解。

基本概念的理解、吃透、基本理论的掌握及应用都可通过做题实现。为此,教师可选择一些有代表性的,典型的综合试题作为例题介绍给学生,最好是一题多解。每道数学题总含有一些数学概念, 解题过程就是深入理解有关基本概念和基本定理,运用一些基本方法,从已知推向未知的过程。因此,讲解时应注意讲清解题的思路、想法、把自己的分析过程也一并讲给学生听。解题之后,再有意识地对例题进行剖析,如这个题包含哪些概念,运用哪些基本定理或公式,有没有其他解法,应注意哪些问题。这样做不但能加深对原题的印象,对巩固概念、定理和基本方法也是很有帮助的。一题多解,还可使学生从不同角度认识一个问题,对学生开阔思路,掌握更多解题技巧,逐步提高解题能力等都有好处。这种方式如果在一个单元结束后进行,则效果更为显著。

四、教学中应加强代数思想方法的渗透与培养。

高等代数内容中体现了很多数学思想方法。如利用等价关系进行分类的思想方法,同构的观点和方法,化标准形的方法,构造性证明,以及存在性证明的思想方法。这些数学思想方法要在教学中有意识地加以渗透, 提醒学生注意整理、比较,做到潜移默化,使学生逐步理解这些思想方法并会加以应用。如利用等价关系进行分类的思想方法在高等代数中反复出现,矩阵在初等变换下的等价关系,在合同变化下的合同关系,在相似变化下的相似关系都是等价关系。利用合同关系还可对复数域及实数域上的二次型进行分类。又如同构的观点和方法,它是代数学中一种重要的思想方法。在高等代数中多次出现,一般数域p上的n维向量空间v与pn同构,从而把一般n维向量空间向量间的线性关系问题转化为讨论pn中n维向量的线性关系。这种抓住特例推广到一般的方法, 以及把复杂问题转化为简单问题的方法是代数以致整个数学的基本思想和方 法之一。 数域p上n维向量空 间V的所有线 性变换所 成集合L(V)与p上全体n阶矩阵所 成集合Mn(P ) 在给定基 之下是同 构的 , 这样线性 变换与矩 阵就可看做是同一事物的两种表现形式, 在相关的讨论中二者可相互替代。

五、充分利用高等代数的特点,培养学生的数学能力。

高等代数教学改革研究 第10篇

高等代数这门课程是各高等院校数学专业学生的必修课, 它不仅仅是中学数学理论的延续, 而且还是整个现代数学大厦的基石。通过对这门课程的系统的学习, 有助于学生养成严谨的处事习惯, 增强学生逻辑推理能力, 培养学生的数学抽象思维能力。绝大多数大中专院校将高等代数课程列为研究生入学考试的必考科目之一。

但是, 目前高等代数的主要内容, 在文革之前就已经确定了, 还基本上是沿用前苏联的高等代数内容体系。近年来, 国内许多学者对高代的内容进行大量的革新尝试, 但其中几道丝线基本内容变动不大, 仍然难以适应日新月异的科学技术发展的趋势, 难以发挥高等代数作为自然科学原动力的作用, 不能适应目前教学、科研的诸多需求。况且, 近30年来, 数学的理论分支发展迅猛, 新思想、新知识、新研究方法不断涌现, 更加强调理论的适应性, 即如何提高生产力和更多的创造经济价值。但现行的高等代数教材的内容过分强调数学的纯理论性, 往往是直接突兀的给出一个定义或一个定理, 而没有关于这个定义或定理形成过程的介绍, 同时缺乏讨论这些数学理论的发展和应用。在传统的高等代数课程教学中, 往往只注重向学生灌输知识, 课堂教学基本上还是“教材+粉笔+黑板”模式。从而难以提高学生的学习积极性, 学生很难在认识上有所突破。

总之, 为了应对数学理论日益迅猛的发展形势, 为了紧跟时代发展的脚步, 为了遵循我国教育发展的规律, 为了提高办学质量、培养新时代的创新型人才, 必须对高等代数课程的指导思想、内容以及教学方法进行改革。

1 指导原则

1.1 突出师范特色

大部分师范院校学生毕业后是进中学和小学参加教书。许多师范院校的毕业生工作以后感到大学里学到的东西在中学里用不到。因此, 作为师范院校高等代数课程的内容要坚持师范性与学术性的统一, 重点要突出师范性。必须将该课程的教学内容由学术型向教育学术型转化, 加强与中学数学相关内容的联系, 使学生在学习上有的放矢, 认识并领会高等代数课程的教育价值。

1.2 面向未来

邓小平同志指出:“教育要面向现代化、面向世界、面向未来。”高等代数课程的内容及讲授方法也必须面向现代化、面向未来。这样才能使这门课程永远充满活力。同时, 必须将现代数学中的最前沿的新思想、新方法、新内容融于教材中, 用新的视角和方法重新处理传统的教学内容。在课程讲授过程中, 充分利用网络和多媒体技术等现代化教育教学手段。

1.3 重视应用性

高等代数作为数学专业的必修课程, 与其他数学课程有着广泛的联系。而且高等代数的基本原理在经济学、管理学及金融学等社会科学领域中也有着广泛的应用。要想深入的了解高等代数课程的应用价值, 就必须注重理论与实际的联系, 这就要求在内容上增加一些应用实例, 尤其是高等代数与其它学科相互交叉应用的例子, 增加一些与生活实践密切相关的例子, 增加一些与中学数学紧密联系的例子。这样, 不但有利于激发起学生学习高等代数的兴趣, 而且有利于把握高等代数课程基本理论的要领, 开阔视野。

1.4 体现创新性

江泽民同志指出“创新是一个民族进步的灵魂”, 没有创新的教学改革是毫无价值和意义的, 只有用创新的课程教学内容, 创新的教学方法, 才能完成教学改革的重任。因此, 高等代数的课程改革的宗旨是建立并形成一个融教学内容、教学方法、教学思路、教学评价为一体的创新体系。

2 教、学现状

高等代数、数学分析、解析几何是我院本科专业的三门最主要的基础课程, 学期一学年, 实上36周, 共8个学分。

2.1 目前学生的学习状况

许多学生从中学步入大学, 还不太适应大学里的学习、生活节奏, 没有养成良好的学习习惯, 很多学生课前不预习、上课不认真听讲, 课后又不能及时将老师上课讲的内容加以消化。有一部分学生只做老师布置的课后习题, 还有相当多的学生课后根本不做作业或为了应付老师去抄袭作业。

2.2 目前的教材内容设置

我院目前使用的教材是张禾瑞、郝炳新主编, 高等教育出版社出版的《高等代数》 (第五版) 。这套教材的主要内容由三大部分组成。第一部分是代数学的基本理论部分, 主要内容为整数的整除性和多项式理论;第二部分为线性方程组理论, 内容包括行列式理论、线性方程组理论、矩阵理论;第三部分为向量空间理论, 内容包括向量空间理论、线性变换、欧式空间和酉变换、二次型理论。该教材内容的编排基本符合学生的认知规律。但是第一部分的理论性太强, 性质定理的证明与推导太多, 学生普遍对这部分的理论掌握的不是太好。对于刚进入大学一年级的新生, 他们对数学知识只停留在表象上的理解, 学习习惯和思维模式还停留在中学的的固定模式上, 在开始学习高等代数这门课程时往往感到抽象难懂, 面对大量的定理、命题无法理解它们的内在联系。于是, 一些学生就对这门课程失去了兴趣, 产生了厌学的情绪, 甚至有些学生开始逃课。目前高等代数课堂教学基本上还是以板书的方式为主, 教师在讲, 学生记笔记。学生总是被动的接收知识。这样的教学方法陈旧、呆板, 课堂气氛死气沉沉, 学生提不出问题, 甚至教师从不答疑, 很少互动。

3 高等代数教学改革探讨

3.1 改革教学思想

转变思想、更新观念是高等代数教学改革的第一要务。必须贯彻“以人为本”的办学思想, 坚持“以教师引导, 学生主动学习为主”的原则。学校教育和教学关键是如何教会学生学习, 授之以渔, 而非授之以鱼。

3.2 改革课程内容

在中学里, 学生训练的最多和最擅长的是数值计算。因此, 我们应该适当的调整高等代数教材的内容及顺序, 尽量将性质、定理的证明过程转化为数值计算问题。尽量用通俗易懂的语言解释定理和定义。对那些理论空洞、抽象、陈旧的内容要坚决予以去除。力争使得教学内容能反映出现代数学的新概念、新气象。

3.3 在应用中巩固所学

知识不应用, 时间久了就一定会忘记。随着现代科技的发展, 高等代数知识和它的思想方法已与我们的生产生活联系的非常紧密。并且在经济上也有广泛的应用。有针对性的补充一些典型的、综合性强的例题, 使学生在解决这些问题的过程中, 深入理解和掌握高等代数知识, 学会并领会高等代数的思想方法和运行方式。

4 改革教学方法

在教学中一定要推行和应用先进的教学方法、教学手段和教学技术。遵循提出问题、分析问题、解决问题的思想方法, 变注入式教学为启发式教学、研究式教学, 培养学生的独立思考问题的能力。S

摘要：高等代数是高等院校数学专业的主干课程, 该门课程的教学改革对整个数学专业学生的教学质量的提高以及培养目标的完成都起着主导作用。本文在分析目前高等代数课程教与学的基础上, 为高等代数的课程内容、教学方法、指导思想和教育观念进行改革。

关键词：高等代数,教学内容,教学方法,改革

参考文献

[1]曹重光, 张显, 唐孝敏, 等.高等代数课程建设与改革[J].黑龙江教育, 2005 (2) :19-21.

[2]冯光庭.高等代数学习困难及对策研究[J].湖北教育学报, 2006 (8) :97-99.

[3]陈宝山, 王云密.关于高校数学教学改革的探索[J].长春理工大学学报, 2005 (3) :15-17.

反证法在高等代数解题中的应用举例 第11篇

关键词：高等代数；反证法；多项式；矩阵

中图分类号：G642 文献标识码：A 文章编号：1009-3044（2016）20-0213-02

1 反证法的定义

反证法是一种间接证明的论证方法，它通过与原论题相矛盾的反论题的真假，根据排中律和矛盾律，由假推真，来证明论题的真实性。由德 摩根律可知，要否定，即在证明过程中我们只要能够否定和中的一个就可推出矛盾得出结论。在离散数学的数理逻辑中反证法的推理形式有多种，如：（1） ；（2）；（3） 等。反证法作为一种论证方法在数学领域具有广泛的应用，对我们现在的数学研究有很大的贡献，古希腊科学家欧多克斯正是应用了反证法发现了无理数；罗巴切夫斯基应用反证法发现了欧洲几何学。

2 反证法在多项式中的应用

6 小结

反证法是一种重要的间接证明法，在一些数学问题中，反证法成为一种比较常用和有效的方法之一，如在高等代数中利用反证法证明多项式、向量空间、矩阵等问题，用反证法可以解决下面的一些命题：

1）否定、肯定性命题；2）含有至多、至少性命题；3）含有任意、无穷性命题；

4）存在性、唯一性命题；5）需分类讨论的命题。

另一方面，不是所有的题型都适用此方法，在解决数学问题时我们要找到合适的方法，以便更快、更准确地去解答。反证法也有一点的局限性，其必须准确无误地找出命题结论的否定，不然问题的所有证明均将错误。为了解题的准确性我们在否定结论时也要肯定前提。

总之，解题方法的多样性，训练了我们思维的灵活性。其中反证法发展了我们的逻辑推理和严谨辩证的思维能力。

参考文献：

[1] 华东师范大学数学系.数学分析第四版上册[M].北京：高等教育出版社，2010.

[2] 錢吉林.高等代数题解精粹[M].2版.北京：中央民族大学出版社，2010.

[3] 莫明忠.反证法在高等代数解题中的应用[J].高等函授学报，2013（）1：62-63.

[4] 李玉琪.反证法的逻辑原理与思想方法[J].曲阜师范大学学报，1989（4）：72-75.

关于提高高等代数教学质量的思考 第12篇

1. 加强基本概念的教学

虽然高等代数中涉及的定理、证明多, 内容繁杂, 但很多证明的思想和技巧都是基于相关的概念的。概念是构筑高等代数学科的基石和支架。因此, 在具体的教学过程中, 教师应特别注重基本概念的教学, 即要讲清基本概念的含义, 并在讲课过程中从多角度、多方面来举例说明相关的概念及其应用、由此引出定理的实质, 刻画概念与概念之间的关系来帮助学生加深对概念、定理的理解, 从而使学生在做题时能联想并灵活地运用相关概念解决问题。如:在讲解第八章λ-矩阵时, 我把重点放在讲清行列式因子、不变因子、初等因子和矩阵相似等概念上。理解了概念, 学生也就不难理解它们之间的关系了。这样, 任给行列式因子、不变因子、初等因子中的一项, 学生就可以写出其他项, 进一步有两个矩阵相似的一系列充要条件:矩阵A相似于矩阵B的充要条件是它们的特征矩阵λE-A和λE-B等价;矩阵A相似于矩阵B的充要条件是它们有相同的不变因子;矩阵A相似于矩阵B的充要条件是它们有相同的初等因子;矩阵A相似于矩阵B的充要条件是它们对应的二次型有相同的标准型。由此可见, 概念的层层深入理解不仅对于定理及其推论的掌握至关重要, 而且也把课程的各个内容前后关联起来, 便于学生系统地理解相关内容。

2. 注重思维过程的训练

数学不仅是一种知识或工具, 而且是一种思维模式。高等代数教学的一个重要方面就是教会学生数学的思维方式。高等代数课程内容虽然繁杂且抽象, 但问题的求解和证明的过程中蕴含着丰富的数学思想。在教学过程中, 教师一方面应注重强调概念的含义、概念与概念之间的联系, 重视基础内容的讲解, 另一方面要注重对学生进行数学思维的训练, 培养其数学思想和数学素养。关于思维的训练, 我主要从以下两个方面来进行。

(1) 在教学过程中充分体现数学思维的过程, 注重数学思想的渗透。

在讲解教学内容时, 我一般先结合实际问题引出基本概念, 然后进行推广, 或先阐明代数中概念、公式和定理的提出过程, 问题的发展过程, 再讲解题思路的探索过程, 解题方法和规律的概括过程。我提出在教学过程中, 要遵循由直观到抽象、由特殊到一般、由低维到高维的科学认识规律, 循序渐进, 使学生逐步深入, 从中展开思维, 积极主动地获取知识。我认为, 教学最重要的目的是培养学生思维的能力, 使其具备学习的能力。因此, 教师不能仅仅满足于让学生熟悉概念和定理的内容, 对重要的定理还必须在定理证明的过程中讲清推导的思路、方法, 并在证明的过程中体现数学中转化、构造等数学思想。教师要让学生能理解考虑问题的思路与角度, 联想的方法, 让他们学会学习, 对相关的知识能做到举一反三、融会贯通。如:关于线性方程组的基础解系, 有这样一个定理:在齐次线性方程组有非零解的情况下, 它有基础解系, 且基础解系所含的解向量的个数等于n-r, 其中, r表示系数矩阵的秩。我介绍了它的涵义, 并给出了构造性的证明, 构造了线性方程组的一组解, 且证明了它本身线性无关, 而任一解都可由它线性表示, 也就是所求基础解系。这样的证明过程的展现, 让学生理解构造的思想, 并使学生在其它存在性问题的证明中联想到构造法。

(2) 精心设计习题, 通过对例题讲解、习题的练习, 加强思维过程的训练。

在例题和习题的选择和讲解方面, 我遵循由浅入深、由易到难、由具体到抽象的原则, 仔细设计做题与讲题的过程, 引导学生解读问题信息, 探索解决问题的途径。对较难的题目, 我则用启发式和探究式、讨论式等多种教学方式引导学生思考, 让学生联想相关知识, 考虑从什么角度来解决问题, 并对求解过程加以归纳。这样, 在对问题的分析、讨论的过程中培养了学生的抽象思维、逻辑思维等能力。

3. 注重知识的综合运用

我们经常强调要在教学的过程中培养学生的数学能力, 而数学能力中除了分析、归纳的能力, 联想的能力, 演绎推理的能力, 还有一种非常重要的能力, 那就是综合运用数学知识的能力。关于综合运用数学知识能力的培养, 我着重从以下三个方面入手。

(1) 围绕高等代数中的一些基本概念和重要定理, 设计一组由浅到深的相关的问题。

这样做一方面可以巩固基本知识, 另一方面可以将知识进行拓展, 建立知识间的联系。如:关于矩阵相似, 我们可延伸地考虑两个相应的矩阵等价;也可拓展到求矩阵的幂Bn=P-1AnP;还可建立线性变换在不同组的基下的矩阵的对应关系。

(2) 注重一题多解的训练。

此种训练可培养学生举一反三、融会贯通的能力。在矩阵的计算、向量组的线性相关性、相似矩阵、正定二次型、λ-矩阵的标准形等方面, 我都设计了很多一题多解的问题。

(3) 加强对综合题的练习。

综合题是指在一个问题的求解过程中, 要用到多个方面的知识才能完成的问题。由于综合问题涵盖面宽, 启发性强, 因此这方面的练习有助于培养学生应用数学知识解决问题的能力, 但通常是在学生对基本概念和相关知识比较熟悉的基础上进行这类练习。如, 我在正定矩阵一节中曾举这样一例。

例:设n阶矩阵A是正定的, E是n阶单位矩阵, 试证明:|A-E|>1

证明:因为A是正定的,

所以, A的特征值λ1, λ2, , λn均大于零, 且A～Λ,

其中即存在可逆矩阵P, 使得P-1AP=Λ, 即A=PΛP-1。

所以有|A+E|=|PAP-1+E|=|P (A+E) P-1|=|P||A=E||P-1|=|A+E|= (λ1+1) (λ2+1) (λn+1) >1。

在这题的证明过程中, 我综合运用了正定矩阵的概念与性质、矩阵的特征值的概念、相似矩阵和矩阵的行列式的概念。这样一类问题的训练可帮助学生深入理解知识间的联系。在线性无关、矩阵的秩、方程组有解的判别, 以及线性空间的和与交的基、向量组的极大无关组、线性方程组的基础解系等方面, 教师都可设计这一类综合问题。

4. 注重与数学实验的结合

高等代数与数学实验结合是指在教学过程中增加一些关于高等代数中的矩阵、行列式、线性方程组、特征值、特征向量等的Matlab操作及编程。教师注重这样的结合, 就能锻炼学生利用数学软件处理相关计算问题的能力, 激发其学习高等代数的兴趣, 提高教学的效果。

总之, 我通过对教学内容的整合, 对基本概念、基本定理等基础知识的加强, 对渗入数学思想方法的重视和对学生思维过程的训练等一系列教学上的改革尝试, 提高了学生综合运用数学知识的能力, 促进了学生知识、能力、素质的综合协调发展, 取得了较好的教学效果。

摘要：本文作者从加强基本概念的教学、注重思维过程的训练、注重知识的综合运用及注重把高等代数与数学实验相结合四个方面提出了提高高等代数教学质量的建议, 并结合自己教学实践, 对具体教学内容设计了可操作的方案。

关键词：高等代数,概念教学,内容整合,教学质量

参考文献

[1]北京大学数学系几何与代数教研室.高等代数 (第三版) [M].北京:高等教育出版社, 2003.

[2]李师正等.高等代数解题方法与技巧[M].北京:高等教育出版社, 2004.