高中数学向量法教学
高中数学向量法教学（精选10篇）
高中数学向量法教学 第1篇
所谓向量法, 即从问题的条件入手, 找到与向量知识相关点, 转化为向量背景下的形式, 借助向量的运算法则求解, 然后回到原问题中达到解决问题的目的.
一、中学中向量法解题的几种常见数学思想方法
1.向量的充要条件
当我们在研究问题时, 会遇到一些个别情形, 如平行、垂直等, 而直接研究它们较困难, 那么我们可以利用已知的充要条件解决问题.如课本中研究点线关系时, 可以利用共线、垂直的充要条件.
2.数形结合
向量运算貌似代数, 但它其实是几何, 故而它是数形结合的典范.它把几何问题转化为代数问题, 即实现形数形, 或是把数赋予几何意义, 即实现数形数, 从而解决问题.将向量问题归结为几何图形问题, 可以借助几何图形的性质简化问题;将向量问题赋予坐标表示, 可以减弱问题解决的难度.
3.建立坐标系
向量问题实数化策略, 如当一个题目中所出现的平面图形较为规则 (如正方形、矩形、圆等) 时, 只须建立适当的坐标系, 就能将平面图形中的点、线转化为坐标系中的坐标, 从而达到将向量问题转化为实数问题, 使解题人实现知识的正迁移.一般地, 对于任意背景下的向量, 我们都可以根据问题的特征建立适当的坐标系, 实现向量的实数化.
4.映射思想
当处理某问题有困难时, 可以联想适当的映射, 把某问题及其关系结构, 映射成与它有一一对应关系且容易处理的问题再把所得结果通过逆影射返回到原来的问题中去, 得到原问题的解决方案.例如建立适当坐标系, 把向量利用坐标表示, 利用数的运算推理解决问题.
5.基本定理
比较基向量对应系数得出实数方程组, 即e1, e2是平面内一个基底, 若任意一个向量具有两种表达式:
a=x1e1+y1e2=x2e1+y2e2, 则x1=x2, y1=y2.
二、向量法和立体几何
空间向量的引入, 给传统的立体几何内容注入了新的活力, 向量是既有大小又有方向的量, 既具有图形的直观性, 又有代数推理的严密性, 是数形结合的一个很好的桥梁.而空间向量是处理空间问题的重要方法, 通过将空间元素间的位置关系转化为数量关系, 化繁难为简易, 化复杂为简单, 为学生处理某些立体几何问题提供了新的视角.借助空间向量这一工具, 增加了可操作性, 从而减轻了学生负担, 使他们对立体几何更容易产生兴趣.我们教师知道, 以往学习立体几何采用“形到形”的推理方法, 即要求学生根据题设条件, 将空间图形转化为平面图形, 再由线面、线线等关系确定结果, 从而达到培养学生空间想象能力的目的.但对大多数学生来说, 特别是像我们这类农村的高中学生来讲, 掌握这种“形到形”的推理方法比较困难, 特别是求线面角.二面角和距离时连垂线都难以找到, 大家想想其难度可想而知.现在《大纲》对向量明确指出: (1) 几何发展的根本出路是代数化, 引入向量研究几何是几何代数化的需要; (2) 向量运算体系与算术、代数运算体系基本相似, 学生们就可以运用他们熟悉的代数方法进行推理, 来掌握空间图形的性质; (3) 通过使用向量方法学习立体几何, 可使学生较牢固地掌握向量代数工具, 从而丰富学生的思维结构和运算数学的能力.下面以向量处理空间几何所成的角为例进行说明.
1.空间异面直线所成的角
直线AB与直线CD所成的角用向量可以表示为
这里需要注意的是异面直线所成的角是指所成的锐角或直角, 其余弦值为正值, 求出向量间的夹角后要取其绝对值所得的才是最终结果.用综合法一般是要经过平移, 然后在三角形中解决问题.
2.直线与平面所成的角
如右图所示, 直线AB与平面α所成的角是由平面的法向量与AB所成的角刻画的.如果直线AB与平面α所成的角为θ, 那么
我们看到θ与向量间的夹角是互余的.然而很多同学在做题中没有意识到这个问题, 使得最后得到的恰好是所求线面角的余角.用综合法一般我们会找直线的垂线, 利用垂线、斜线和射影所组成直角三角形来解决问题.
3.平面与平面所成的二面角
设α, β是二面角α-l-β的两个面, m, n分别是α, β的法向量, 如图所示, 两个法向量的方向都指向二面角的内部 (或同指向外部) , 则这个二面角的大小就是π-〈m, n〉;如果两个法向量一个指向二面角的内部而另一个指向二面角的外部, 那么这个二面角的大小就是〈m, n〉.用综合法的时候一般会将二面角的一个平面角作出来, 再利用解三角形来求出二面角的一个平面角的大小从而得到面面夹角.
解决空间角的三大步骤是找角、构造三角形、求角.对学生来说, 难点在于找角, 往往大多数学生都很难正确找到角, 尤其是二面角问题一直是学生的薄弱环节.由于用向量法引入了法向量后, 为解决二面角问题提供了新视角, 从而较好地解决了学习立体几何求角问题.
例如:在直三棱柱ABC-A1B1C1中,
对于此问题, 如果学生用综合法做, 找二面角比较困难, 需要作许多辅助线, 即使这样做也未必找到符合条件的二面角.由于此题是直三棱柱, 有明显的三维立体空间, 便于建立空间直角坐标系, 所以对学生来说运用向量法解决此问题有明显的解题思路.利用向量法通过建系、设点、设法向量, 求出两个法向量的夹角 (或其补角) , 从而使问题很容易得到解决.
高中数学向量教学研究 第2篇
【关键词】高中数学 向量教学
此次的数学课程改革的基本理念之一是体现数学的基础性和发展性，面向全体学生，人人学有用的数学，不同的人学不同的数学。高中课程还体现了多样性和选择性，课程内容继承了我国数学教育的优良传统，重视学生对必要的基础知识和基本技能的熟练掌握，重视数学与其他领域的联系，重视对数学的理解，重视借助现代数学中的基本思想方法改造传统教学内容。因向量由于其代数和几何的双重性，与物理学发展的密切联系，对传统几何改造的强有力工具性特点以及现代数学与初等数学的衔接上所具有的特殊地位，使向量进入中学数学是非常必要的。
由于每一位高中数学教师的知识结构、教学经历、擅长的教学模块都不尽相同，使每位教师对向量的理解、认识都不尽相同。另外，由于数学教师自身知识经验与知识储备有限，表现在进行向量的教学时，确立教学目标、确定教学内容选择教学方法都有所不同。又因向量内容本身又在深度和难度的把握上有较大的弹性，因而在高中数学教学实践中如何正确、有效的处理向量这部分教学内容成为一个不可回避的课题。
一、向量在高中数学教学中的意义
由于向量进入中学教材，给中学数学知识体系注入了新鲜血液，成为新教材改革中的一个亮点。但从向量的教学研究来看，多的只是利用向量的工具解题研究。而正确把握其深度、难度，吃透教材的实质内涵具有一定的帮助，对其他部分的教学有一定的启发。会进一步提高教育教学及提高高中学生的数学素质和数学品质。
教材中的向量实际上就是抽象的自由向量，教材从具体实例(力、速度、加速度等)抽象出向量概念，又用有向线段来表示向量。但用有向线段时又是固定向量，学生往往产生这样的错误：将向量理解为由起点、大小、方向三个要素来决定。为了突破这一点，笔者在进行概念教学时要求学生多画图，从图形中分辨出相等向量，加深对相等向量、共线向量、同向向量、反向向量、相反向量等概念的理解，正确判断两向量间的关系。平行向量刻画了向量方向间的关系，而向量长度刻画了向量大小间的关系。相等向量是平行向量的一部分，共线向量与平行向量是两个等价概念。值得注意的是教材中有这样一句话：“任意两个相等的非零向量，都可用一条有向线段来表示，而且与有向线段的起点无关。”这不但是向量的本质，又是向量可移动的基础。
二、向量在中学数学教学中的地位和作用
平面向量这部分内容本身很重要。它作为工具性知识而广泛应用于三角、解析几何、立体几何的教学中，如在三角中利用向量证明正弦定理、余弦定理既简便又容易接受。平面向量是数形结合的桥梁，它可以将形的内容转化为数的运算，可以使学生体会到数形结合的主要思想，建立有向线段、向量、坐标表示之间的联系，由于几何发展的出路是代数化，引入向量研究几何是几何代数化的重要手段。在立体几何教学中要特别注意向量法的应用。一方面有助于学生巩固所学的向量知识，另一方面强化了学生的思维结构，降低了立体几何学习的难度。向量法在解决立体几何中的距离、夹角、平行、垂直等问题上的应用很方便。例如在代数中，包括向量与三角函数的整合，与数列整合，与不等式整合，与复数整合。
三、向量在中学数学教学中存在的问题及原因
（一）教材并不是教师想象的那么容易很多教师都认为向量内容安排思路清晰，简单易学，可事实上并非如此。从教学中我们不难发现，学生对向量的有关概念和定理的学习都感到较抽象或抽象，如认为向量、线段的定比分点、向量的基本定理、向量的坐标表示、向量的数量积、向量的投影、平移等比较抽象。由此可见，向量的学习值得教师认真分析和处理，就从有利于学生学习这一角度讲，教师应充分了解学生的实际，因材旌教。
（二）高二教学中有很多内容可以利用向量知识简便求解，高三教学中更应看到向量的工具性作用。因此从多角度上处理问题，不仅能提高学生的解题的能力，更有利于学生思维的发展。从调查中看出，绝大多数同学都认为学习向量是有用的，但也存在着学生只是用向量解题，而没有使用向量的意识。
四、加强向量与现实生活的联系
强调数学与现实的联系是当前国际数学教育改革的共同趋势。利用向量解决平面内两条直线平行与垂直达到位置关系等问题。通过日常生活中确定“位置”中的位移概念，说明学习向量知识的意义：通过物理中的重力、速度、加速度等作为实际背景素材，说明它们都是既有大小又有方向的量，由此引出向量的模、单位向量等概念。这样安排，可以使学生认识到向量在刻画现实问题、物理问题以及数学问题时的作用，使学生建立起理解和运用向量概念的背景支持。通过运用教与学的结合，注重了学习环境的设计，有利于培养学生最基本的学习能力，同时通过识图、画图也有利于学生空间想象能力的培养。例如，为了调动学生参与教学的过程，可将空间向量基本定理与平面向量基本定理进行对比教学。引导学生比较空间向量基本定理与平面向量基本定理的相似之处和不同之处，思考空间向量基本定理的证明是否可以仿照平面向量基本定理的证明思路进行。
五、充分发挥向量的工具作用
新教材之所以增加向量的内容，不仅是因为教材内容的陈旧这么简单，而增加新的内容是为了适用与形式的需要，更是因为向量是解决问题的有效工具，它为教材增加了新鲜的血液，使得教材体系更加富有活力，更有利于学生思维的发展。由于向量的模就是线段的长度，因此用向量可以解决很多的几何问题。有时会起到意想不到的效果。在解决问题的过程中发展学生的空间想象能力。明确向量法解决数学问题的思路，即从条件出发，选取基本向量，把这些条件翻译为向量关系式，这个新的向量关系式的具体解释就是所解决的问题结论。
（一）向量方法解决数学问题的思考原则：
1、向量的线性关系是向量的重要性质，它贯穿与整个向量法中，特别是在确定某些点的位置关系时常常用到它。
2、当证明或解题时要用到垂直关系、长度或夹角等问题时，要想到向量的内积。
如果这时我们在对照旧的教材版本，我们不难看出勾股定理的推导变得简单，回避了许多细节的讨论，优势不言而喻。学习的最好刺激是对所学材料的兴趣，简单的重复将会引起学生大脑疲劳，学习兴趣衰退这充分揭示了方法求变的重要性，如果我们能够重视向量的教学，必然会引起学生的兴趣。
六、结束语
高中数学向量法教学 第3篇
一、法向量在高中数学立体几何教学中的应用现状
( 一) 无视法向量
高中的数学教学中虽然已经引入了空间向量的知识和概念, 也对教学的难度降低起到了一定的作用. 但在平面的法向量应用中却出现了比较尴尬的局面, 文本内容的缺失导致很多教师会将这部分知识一带而过, 学生对此也难以提高重视性, 使得法向量的真实效果难以发挥. 在对法向量的概念进行介绍的时候, 课本中描述的十分简单, 既没有介绍其求法, 同时也没有对应用进行详细的论述, 导致学生概念性理解难以提升. 法向量在高中立体几何问题的解决上有着十分重要的作用, 并且有着较为广泛的实践价值, 需要教师们对此加以重视, 提高法向量的应用性.
( 二) 对法向量比较轻视
法向量的教学在课本描述中显得不够重视, 在实际的教学中教学中教师对此也不够重视, 常常忽视法向量教学, 使得学生对法向量缺少根本性的认识. 学生在知识的学习过程中本身就是一个认知的过程, 教师在这个过程中应发挥出自身的引导性和启发性. 如果教师对此不够重视, 那么也无法提升教学效果. 对此教师需要有意识的引导学生对此进行人事, 提高法向量的应用性, 减少学生在立体几何学习中的困难.
二、法向量在高中数学立体几何教学中的应用
( 一) 在平行于垂直关系证明中的应用
高中数学教学中垂直于平行关系的证明是基础教学内容, 传统的解题方式中需要经过较多的步骤, 显得十分麻烦. 而利用平面向量来进行立体几何问题的解决则显得更加方便, 同时也更加的简洁化, 通过法向量可以不用作图而直接的计算出来. 在空间的关系当中包含了直线平行、交叉和垂直的关系. 当中直线与直线的平行以及垂直都可以通过法向量来进行问题解决. 在教学中教师不能只在教学的定义上多纠结, 而是应引导学生对问题中的核心点进行分析和理解“为什么法向量可以确定平面的位置”“法向量与平面之间到底有着什么样的关系”等等. 在具体的操作中, 教师应重视起以下的学习环节设置: 首先是思考方向向量确定直线的位置, 这是学习向量位置表述中的重点, 同时也是为法向量学习提供类比思想的重点. 其次, 教师要用语言来引导学生进行向量的解释, 得到基本的结论, 也就是一点和一个法向量能确定一个平面等概念. 此外, 设计用方向向量和面面之间位置关系等知识, 来完成线面平行、垂直、直线平行等判断. 并在此基础上尝试使用向量法来证明线面或面面平行的判定定理.
( 二) 在求距离问题中的应用
在求距离问题中使用法向量来紧凑型问题处理, 能有效的简化问题的思路, 同时由于解题方法固定, 因此, 更加容易解题.具体的方法如下:①A点到平面α的距离:当中B∈α, n是平面α的法向量.②直线a与平面α之间的距离是当中A∈α, B∈α, n是平面α法向量.③两平行面α, β之间的距离当中A∈α, B∈α, n是平面α法向量.④异面直线a, b的距离是:当中n⊥a, n⊥b, A∈a, B∈b.
三、引起法向量教学重视性
在高中数学教学中应科学的利用书本上的资源, 将教材进行充分的开发和利用, 这对学生的数学能力提升和整体数学素质提升将起到重要的作用. 在教学的过程中教师可以利用典型案例的方法来进行法向量应用教学, 让学生能在实践中得到对法向量的真实理解, 以便于日后能自主应用. 同时, 教师可以利用法向量应用中长出现的问题和难点进行教学分析, 进一步的推进法向量教学应用. 在高中数学立体几何教学中, 法向量教学应重视起概念性教学和实践教学, 加强学生对法向量的理解性, 强化学生的法向量应用性, 促使法向量在解题过程中得到真正的应用.
结语: 法向量在高中数学立体几何教学中有着一定的优越性和灵活性, 当前已经逐渐被教师们所认可并应用. 但在几何教学中教师应科学应用法向量, 不能过分的强调机械化运算而对几何本身有所忽视, 而是应该利用多种不同的向量方法来引导学生进行解题, 提高学生对立体几何的理解能力, 促进学生整体能力上升.
摘要：在高中的立体几何教学中, 引入法向量, 能有效的提升教学效果, 并对学生答题思路的拓展和方法应用有着重要的意义.法向量的引入在当前已经成为了几何教学中的重要解题工具, 能将原本复杂的知识变得更加容易理解.本文主要对法向量在高中数学立体几何教学中的应用进行了分析和讨论, 希望为高中的数学教学提供有益建议.
关键词：法向量,高中数学,几何教学,应用
参考文献
[1]张凤丽.平面法向量在立体几何中的应用[J].新课程 (中学) , 2014, (04) :42—45.
[2]陈庆新.平面法向量在解题中的应用举例[J].第二课堂 (高中版) , 2011, (01) :60—63.
高中数学向量法教学 第4篇
教材分析
平面向量的基本定理是说明同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合，它是平面向量坐标表示的基础，也是平面图形中任一向量都可由某两个不共线向量量化的依据．这节内容以共线向量为基础，通过把一个向量在其他两个向量上的分解，说明了该定理的本质．教学时无须严格证明该定理，只要让学生弄清定理的条件和结论，会用该定理就可以了．
向量的加法、减法、实数与向量的积的混合运算称为向量的线性运算，也叫“向量的初等运算”．由平面向量的基本定理，知任一平面内的直线型图形都可表示为某些向量的线性组合，这样在证明几何命题时，可先把已知和结论表示成向量形式，再通过向量的运算，有时能很容易证明几何命题．因此，向量是数学中证明几何命题的有效工具之一．为降低难度，目前要求用向量表示几何关系，而不要求用向量证明几何命题．
平面向量的基本定理的理解是学习的难点，而应用基本向量表示平面内的某一向量是学习的重点．
教学目标
1.了解平面向量基本定理的条件和结论，会用它来表示平面图形中任一向量，为向量坐标化打下基础．
2.通过对平面向量基本定理的归纳、抽象和概括，体验数学定理的产生、形成过程，提升学生的抽象和概括能力．
3.通过对平面向量基本定理的运用，增强向量的应用意识，进一步体会向量是处理几何问题的强有力的工具之一．
任务分析
这节课是在学生熟悉向量加、减、数乘线性运算的基础上展开的，为了使学生理解和掌握好平面向量的基本定理，教学时，常应用构造式的作图方法，同时采用师生共同操作，增强直观认识，归纳和总结出任意向量与基本向量的线性组合关系，并且通过适当的练习，使学生进一步认识和理解这一基本定理．
教学设计
一、问题情景 1.在ABCD中，（1）已知＝ａ，＝ｂ，试用ｂ，ｂ来表示，；
（2）已知＝ｃ，＝ｄ，试用ｃ，ｄ表示向量，.2.给定平面内任意两个不共线向量e1，e2，试作出向量3e1＋2e2，e1－2e2． 3.平面内的任一向量是否都可以用形如λ1e1＋λ2e2的向量表示？
二、建立模型 1.学生回答
（1）由向量加法，知＝ａ＋ｂ；由向量减法，知＝ａ－ｂ，＝ａ＋0·ｂ．
（2）设AC，BD交于点O，由向量加法，知
2.师生总结
以ａ，ｂ为基本向量，可以表示两对角线的相应向量，还可表示一边对应的向量估计任一向量都可以写成ａ·ｂ的线性表达．
任意改成另两个不共线向量ｃ，ｄ作基本向量，也可表示其他向量． 3.教师启发，通过了e1＋2e2，e1－2e2的作法，让学生感悟通过改变λ1，λ2的值，可以作出许多向量ａ＝λ1e1＋λ2e2．在此基础上，可自然形成一个更理性的认识———平面向量的基本定理．
4.教师明晰
如图，设e1，e2是平面内两个不共线的向量，ａ是这一平面内的任一向量．
在平面内任取一点O，作
＝e1，＝e2，＝ａ；过点C作平行于直线OB的直线，与直线OA交于M；过点C作平行于直线OA的直线，与直线OB交于N．这时有且只有实数λ1，λ2，使
＝λ1e1，＝λ2e2．由于
＝
＋，所以ａ＝λ1e1＋λ2e2，也就是说任一向量ａ都可表示成λ1e1＋λ2e2的形式，从而有
平面向量的基本定理 如果e1，e2是一平面内的两个不平行向量，那么该平面内的任一向量ａ，存在唯一的一对实数λ1，λ2，使ａ＝λ1e1＋λ2e2．
我们把不共线向量e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底，有序实数对（λ1，λ2）叫ａ在基底e1，e2下的坐标．
三、解释应用 ［例 题］
1.已知向量e1，e2（如图38-3），求作向量－2.5e1＋3e2． 注：可按加法或减法运算进行．
2.如图38-4，解：∵，不共线，＝t（t∈R），用，表示．
［练习］
1.已知：不共线向量e1，e2，求作向量ａ＝e1－2e2．
2.已知：不共线向量e1，e2，并且e1－3e2＝λ1e1＋λ2e2，求实数λ1，λ2． 3.已知：基底｛a，b｝，求实数ｘ，ｙ满足向量等式：3xa＋（10－y）b＝（4y＋7）a＋2xb．
4.在△ABC中，＝ａ，＝ｂ，点G是△ABC的重心，试用ａ，ｂ表示．
5.已知：ABCDEF为正六边形，＝ａ，．
＝ｂ，试用a，b表示向量6.已知：M是平行四边形ABCD的中心，求证：对于平面上任一点O，都有
.四、拓展延伸
点 评
高中数学向量法教学 第5篇
【关键词】 平面向量；思维能力
思维能力是学生智力水平发展的重要表现，是学生学习能力提升的重要条件，也是学生学习素养树立的重要“构建”。常言道，“质疑是思维发展的重要源泉”。古语云：“小疑则小进，大疑则大进”，可见，思考、分析等学习活动在学生思维能力培养和提升上具有显著的促进和推动作用。当前，新课标已成为学科教育教学的“方向标”和“指南针”，如何让学生在学习知识、探知问题中，能动思维、自主分析、有效反思特性有效锻炼，已成为教师开展教学活动的重要任务，也成为需要教学工作者迫切解决的教研课题。平面向量章节作为“数”与“形”的有效结合体，是高中数学知识体系的重要组成部分，与三角函数、立体几何以及一元二次不等式等章节存在密切关联，同时，在高中数学章节体系中占有较大比重，也是高考试题命题的重点。平面向量的内在特性，也为培养学生思维能力提供了鲜活载体和有效平台。
一、凸显平面向量知识生活特性，创设融洽情境，激发学生思维内在潜能
数学学科作为基础性知识学科，源自于现实生活，服务于现实生活。生活性是数学学科的重要内在特性之一。思维活动，特别是创新思维活动，不仅需要学生具有一定的学习基础，还要求学生必须具有良好的学习情感。因此，高中数学教师在平面向量章节教学中，要将学生学习情感激发作为思维能力培养的“首要条件”和“先决条件”，抓住平面向量知识内容与现实生活问题之间的密切联系，设置具有生活性、现实性的教学情境，引导学生感知，激发学生情感，使学生在积极情感驱使下，“愿意思考”成为自觉行动。
如在教学“向量的概念及表示”内容时，由于学生对“零向量、平行向量、相等向量、共线向量”等知识理解具有一定困难，导致学生思考分析的主动性没有得到激发。此时，教师抓住向量与现实生活的关联特性，设置了“有一辆汽车从A点出发向西行驶了100公里，到达B点，然后改变方向向西偏北50°走了200公里到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100公里达到D点，试作出向量AB，BC，CD，并求出向量AD绝对值的值。”生活性，将向量概念知识与现实中的汽车行驶方向有机结合，从而使学生内在潜能得到激发，主动参与探知活动，能动分析问题，打下有效思维情感基础。
二、凸显平面向量解法规律特性，注重问题教学，传授学生分析问题方法
问题：已知A（-2，-3），B（4，1），延长AB至点P，使|AP|=3|PB|，求点P的坐标。
分析：本题考查向量的定比分点坐标公式的运用。可以从两个方面进行问题的考虑。一是考虑点P为分点，可以应用定比分点坐标公式求点P的坐标；二是通过图像法，作出符合问题条件的函数图像，如图所示，通过对图像的分析，可以知道，点B是AP的内分点，这样就可以得到λ＞0，此时只要求出λ，就可以由定比分点坐标公式求出P（x， y）。
这时让学生结合该问题的分析过程，进行解题活动。解题过程略。这时，教师与学生共同思考、探求该问题解答的策略和方法。在师生共同分析、总结基础上，学生得到该类型问题解答一般方法：
利用向量定比分点坐标公式求点的坐标时，起点、分点和终点课根据问题需要而确定，所选分点不同，λ的值也随之变化。上述第二种解法，是把向量的定比分点坐标公式看成是一个等量关系，利用解方程的思想处理问题，此种解答比较灵活，在实际解答时，可以进行充分运用。
在上述平面向量问题案例教学活动中，教师在认真研析教学内容基础上，通过设置典型问题案例，引导学生开展问题分析活动，找寻解答问题的“切入点”和思路，指导学生进行解题活动，并与学生共同探寻该类型问题解答的基本方法。这样，就将思考分析问题方法渗透到解题过程中，使问题探究分析的过程变为领会和掌握解题方法的过程，促进了学生问题解答方法的有效掌握。
三、凸显平面向量内涵综合特性，重视思想积淀，培养学生良好思维习性
平面向量章节知识与其他章节知识内容一样，不仅章节内知识点内容丰富，同时还与其他章节存在密切而又复杂的联系。这就为学生良好数学思想的锻炼和形成，提供了实践的有效平台。但由于高中生思维活动易出现思考分析不完备、解题思路不正确、遗漏问题隐含条件等方面的缺点，教师就可以将平面向量综合性问题作为学生思维能力提升的重要载体，引导学生对问题解答过程进行辨析评价活动，将辨析评价过程变为思维素养完善和提升的过程。
问题：已知向量 =（cos3/2x，sin3/2x）， =（cosx/2，-sinx/2）且x∈[0，π/2]，求（1） ；（2）若f（x）= -2λ| + |的最小值是-3/2，求λ的值。
上述问题案例是有关平面向量的一道综合性问题案例。教师在该问题教学活动中，先引导学生进行问题条件分析，然后让学生阐述该问题解答方法和思路，最后，学生进行问题解答活动。学生在解答问题过程中，认识到该问题解答过程中，不仅运用平面向量章节的知识点，还运用到三角函数的知识点内容。同时，在解题思想的运用上，不仅运用函数思想，而且对λ取值范围解答时还运用到分类讨论思想，这样，学生在综合性问题解答中，思维素养能够得到有效锻炼和提升。
高中数学向量教学探究 第6篇
一、突出向量的几何背景与物理背景, 体现向量的直观性
数学教师在进行向量教学的时候, 需要从几何背景与物理背景角度出发.在教材中, 通过日常生活中确定位移概念, 将向量知识的意义进行概述, 并且利用物理教材中的加速度、力等背景素材, 引出向量的概念, 再利用又向线段给出向量的几何背景.这样一来, 能够建立学生理解向量概念的背景支持.
如, 在学习“向量夹角概念”时, 教材从w=|F||s|cosθ 出发, 引出夹角的定义:对于两个非零向量:, 作, 那么∠AOB=θ (0°≤θ≤180°) 则是两个向量的夹角.此外, 在学习向量夹角的时候, 教师还可以画出各种向量关系题, 让学生根据自己的定义进行分析, 去体会两个向量有角的关系.见下图.
二、注重向量应用的教学, 培养学生的数学意识
1. 向量在代数不等式中的应用
例证明:
证明:因为不等式的左边=, 所以将向量设为, 那么可以证明不等式左边为
在此题的解答之中利用向量法代替传统的三角代换法, 不仅构思巧妙、解法新颖, 并且能够给人耳目一新的感觉, 最重要的是能够将本题的关键进行分析, 体现出了向量的重要作用.
2.向量在三角函数中的应用.
在高中数学教学中三角函数一直是教学的难点, 为突破这一难点, 可以利用向量进行求证.比如, 在直角坐标系x Oy之中, 以Ox为始边分别作角 α、β, 那么终边则利用P1 (cosα, sinα) , P2 (cosβ, sinβ) 所代替, 则∠P1OP2=α-β.
设向量, 那么则变换为.在根据向量数量积坐标的表示中, , 所以可以求证出cos (α-β) =cosαcosβ+sinαsinβ.
三、向量在几何之中的应用
在高中数学中最为主要的内容便是解析几何, 在解答几何习题的过程之中需要构建坐标系, 并且利用相关的方程式对曲线的性质进行分析.将向量法应用到几何习题的解析之中, 能够实现对两点距离公式、线段中点公式的推导.
如, 使用向量对点到直线的距离公式进行推导.已知点P的坐标为 (xo, yo) , 直线l的方程式为Ax+By+C=0, 并且知道P到L的距离为d, 那么
分析:在平面之内, 直线l的法向量为, M作为直线l上的一点, 根据几何意义可以得知点P到直线l的距离是
在平面直角坐标系之中, 可以得知P的坐标为 (xo, yo) , 直线l的方程式为Ax+By+C=0, 当B不等于0 的时候, 直线l的方向向量:;如果当B等于0 的时候, 那么向量则是直线l方向的向量, 可以得知直线l的法向量为:
在直线l上任意取一个点M, 那么向量, 所以得知向量的绝对值便是点 P 到直线 l 之间的距离, 所以可以求证出P到直线l的距离为:
有因为M在直线l上, 所以C=-Ax1-By1
将其带入可以得出
高中数学向量教学的探索 第7篇
一、高中数学中向量教学存在的问题
数学学科具有逻辑性的特点, 需要调动和发挥学生的独立思考能力、 分析整理能力、探究创新能力最终解决数学难题, 这对学生综合素质能力的培养有着重要的意义, 这也是数学课程核心目标之一。 学生思维能力的形成并不是一蹴而就的, 是要经过不断训练逐渐形成的。 而运用向量法来解决数学问题, 就不需要学生进行作图、逻辑分析、综合分析等就可以有效解决问题。 由此可知, 虽然向量法可以简化高中几何难题的解决思路, 但这对培养学生的综合能力有着不利影响。 所以, 教师在解决数学问题教学时, 不仅要指导学生掌握向量法解题, 还要综合其他多种数学思维方法展开教学, 让多种思维、多种思想有机地交融在一起, 互相补充, 相辅相成。
二、高中数学中向量教学的实践
1.强化向量运算法则的理解与掌握
向量法可以凭借其独特、 简单运算规律和向量图形化的特点, 有效化简知识难点, 使原本抽象的数学难点具体化, 更便于学生提高解题速度和正确率。 但是向量法与数学其他运算方法还是有区别的, 最重要的区别是向量法采用了特殊的表示方式。 所以, 教师在运用向量解题教学时, 应运用对比的策略, 使学生在运用向量法解题过程中, 理解向量运算的几何意义, 加深对向量运算法则的认识, 明确向量的运算对象。 按以往的经验, 学生普遍采用机械记忆的方法来学习向量的运算法则和规律, 教师也容易忽略对向量运算规律形成过程的教学, 这样使得学生在学习向量时, 往往只学到皮毛, 无法深入到本质中。 所以, 数学教师在讲解这部分知识时, 需要注重让学生对向量运算法则反复验证的体验, 使学生充分认识向量将抽象的数学知识转换为具体化知识的过程, 理解向量运算的本质和意义, 提高学生运用向量知识解决难题的能力。
2.强化向量法的实践运用
向量法是一种高效的数学解题思维方法。在日常生活中, 也有很多实际应用涉及到向量的知识, 并且持续有效地促进了社会的进步。 所以, 在教学时, 数学教师应渗透实践运用的意识, 引导学生将课堂所学向量知识延伸至实际生活中, 指导学生解决实际问题, 提高学生理论联系实际的水平。 如, 在教平面向量的数量积这部分内容时, 可以结合一些具体的生活实例来展开。 某工厂刚刚买入一批货物, x千克A货物, y千克B货物, A货物价格为m元/千克, B货物的价格为n元/千克。假如数量向量用字母a表示, 价格向量用b字母表示, 就可以提到:a= ( x, y) , b= ( m, n) , 那么, 工厂购入货物的总费用就是数量向量a与价格向量b的数量乘积, 即mx+ny。 原本复杂的计算问题, 就这样迎刃而解了。 所以, 在生活中运用向量法可以极大提高问题解决的效率, 简化解决思路和方法。 教师应有意识地培养学生运用向量解决实际问题的意识和能力, 使学生体验到学以致用的满足感, 增强学好数学的动力。
3.强化向量教学思想方法的渗透
在高中数学知识架构中, 向量与其他的数学思想有着千丝万缕的联系。 比如数形结合思想、对比归纳思想等。 在进行向量教学时, 教师应鼓励、 培养学生积极探索和总结数学思想方法的意识, 让学生在不断练习、验证过程中体验数学思想方法, 逐渐形成符合自己特点的解题思维, 有效提高学生的向量解题能力。 教师在讲授向量的概念知识时, 应帮助学生准确把握和理清数学各部分内容间的内在联系, 并能有效整合, 将各部分知识内容互相渗透、融合, 最终构建起完整的、有效的知识体系, 真正提高学生对向量知识掌握和运用能力。
高中数学向量法教学 第8篇
根据新教改的要求, 给学生提供充分的空间以展示自己的才能, 让学生亲身感受学习过程中问题的提出、探究及解决途径, 以达到掌握科学的研究学习的方法过程, 在整个过程中全面培养学生的自主探究意识、合作创新意识, 让学生感受学习的乐趣、成功的喜悦, 进而提升学生的自主学习能力、问题处理能力以及合作学习能力, 使学生形成正确的学习观和价值观.在此基础上“自主探究—小组合作”的教学模式则被界定为:学生先根据教师提供的学案进行自觉、主动、独立的探究学习, 在此基础上标注出自己不懂的问题, 再与组内成员合作探讨、互帮互助寻求解决途径, 最终在老师的点拨下得出正确结论并理解所学知识且达到熟练掌握运用的程度.
2 “自主探究—小组合作”教学模式的教学过程
3 “自主探究—小组合作”教学模式在课堂教学中的实践
3.1 情境创设-激发兴趣
在这一环节中, 教师需要根据已有资料 (教材、学案、多媒体动画等) 创设出数学情境, 让学生在感受数学趣味的同时提出数学疑惑, 进而教师根据教学要求, 引导学生将数学疑惑升华为有待解决的数学问题.这样学生有了疑惑有了问题才会有思考的动力、研究的兴趣、才会有所创新、有所发展.而在传统的课堂学习中, 老师是教学的核心, 学生只需要会听、会记、会背、会用就好, 这严重地阻碍了学生积极性、创造性的发展, 使得学生过于被动, 没有自己的意愿, 基本依附于老师讲授.本节课笔者以“南辕北辙”这个故事引入.
师:战国后期, 魏王想出兵攻伐赵国.谋臣季梁前来劝阻伐赵.季梁为了打动魏王, 来了个现身说法.季梁说:“今天我在路上, 遇见一个人坐车朝北而行, 告诉臣他想要去楚国.臣问道:楚国在南方, 为什么要朝北走?那人的回答是:我的马好, 跑得快.”请问这个路人能到达他的目的地吗?
生:不能, 因为他的方向错了, 不管他的马多快, 车夫技术再好, 钱再多也到达不了目的地.
师:嗯, 很不错, 这个故事给了我们什么启发呢?
生:我们不管做什么事, 方向很重要.首先要找准方向, 才能充分发挥有利条件, 达到目标;如果方向错了, 再好的条件也只会起到反作用.
师:分析的很有道理, 所以方向很重要, 那么这节课我们将学习以大小、方向为本质属性的新概念———平面向量, 其实我们物理学当中学过很多与方向、大小相关的量, 比如说位移、加速度等, 这些量在科学研究中起到很大作用, 没有它们科学将寸步难行, 为了更好地运用它们解决问题.于是, 物理学家向数学家们提出:这类既有大小又有方向的量究竟具有什么特性?希望在数学上能得到清晰的回答.所以高中数学中的向量就是在物理学研究需要的背景下提出的.
设计意图在这一环节, 设置成语故事问题情境, 让学生感受数学趣味, 在数学教学中渗透德育教育, 讲解向量产生的背景, 让学生再次感受物理、数学、科学研究紧密地联系在一起.
3.2 自主探究—小组合作
在这一教学环节中, 学生需要在既定教学目标的指导下, 自学已有的学习资料 (教材、学案、参考资料等) , 进行自主探究, 解决基础知识的学习以及浅层次的问题, 再将自己搞不明白的问题归类出来, 跟小组成员一起探寻问题的症结, 以期达到教学要求.老师要及时的给予存在思维偏差的学生正确的指导, 查明不能达标学生所存在的问题并及时答疑解惑, 排除学生在学习上仍然存在的误区, 引导学生快速地、正确地学习.
问题探讨1 向量的概念、表示方法、模.
以下为分享小组的教学实录:
小组代表:物理学中我们把既有大小又有方向的量叫做矢量, 比如力、加速度、速度、位移等.通过预习我们知道, 数学中我们把既有大小又有方向的量叫做向量.
小组代表:我们学习过的数量和向量的区别在哪里呢?
生:向量是既有大小又有方向的量, 而数量只有大小没有方向, 它们的本质区别在于方向.
小组代表:既然向量既有大小又有方向, 两个向量能比较大小吗?
生:好像能比较大小, 比如物理中的力有大小.
此时, 另外一个小组的学生马上反驳:不能比较, 因为向量有方向, 方向不能比较的, 物理学中的力的大小才能比较, 方向不能比较.
小组代表:向量是不能比较大小的, 只有向量的大小才能比较大小.
小组代表:下列哪些量是向量, 哪些是数量?
质量、位移、力、长度、面积、体积、身高、年龄、加速度、速度、密度、温度、时间.
小组代表:我们回顾一下物理中怎样表示力, 并举例.
生:用有方向的线段表示.
于是小组代表通过类比引出了向量的几何表示法, 用有向线段来表示.
小组代表分享向量的表示方法, 以及向量的模的表示, 强调向量的书写和印刷体的区别.
小组代表分享后, 小组其他成员对知识补充, 教师对学生活动进行评价.
设计意图精心设计问题, 通过导学案引导学生进行自主探究, 小组合作探讨交流解决问题, 然后小组派代表上台分享小组合作成果.学生代表上台讲解知识的过程中, 教师巡堂检查各小组的学习情况, 个别辅导, 教师对学生活动进行评价, 表扬学生讲解好的地方.学生知识讲解不到位的地方, 教师加以强调, 通过学生自主探究、小组合作、分享交流、教师评价的方式, 让学生亲身经历获取知识的过程, 体验学习数学的成功感, 增强学生学习数学的兴趣和信心.
问题探讨2 特殊的向量.
以下为分享小组的教学实录:
小组代表:数量有0和1两个特殊的量, 0可以把数分为正负数, 定义相反数, 1是单位, 作用很大.那么向量中有哪些特殊的呢?
生:根据向量的模是用数量来表示的, 向量也有零向量和单位向量两个特殊向量.
小组代表边讲解边板书:我们把长度为0的向量叫做零向量, 方向是任意的.把长度为1的向量叫做单位向量.
小组代表没有分享单位向量的方向, 其他组成员及时举例补充, 单位向量的方向是根据所给向量的方向而确定的.因此单位向量的方向不是任意的.
教师对学生活动进行评价, 并强调零向量的特殊性, 方向是任意的, 提醒学生今后学习时要注意零向量的特殊性, 解答问题时, 一定要看清题目当中是 “向量”还是 “非零向量”.
问题探讨3 向量的特殊关系.
操作:请在正六边形ABCDEF (O为中心) 中画出一些向量, 并用符号表示出来, 小组之间比较一下, 你们画的向量之间有什么关系?
分享小组代表都让学生先画向量, 然后建议每个小组根据所画的向量找到3种不同的关系, 写成一组一组的, 便于观察、比较和抽象, 然后留足够的时间让学生相互讨论、比一比、发挥“小组合作学习”的优势, 并以“小组汇报”的方式展示各小组的研究成果, 要求后一组不能重复前一组已有的关系.这样, 小组代表把定义的“权利”交给学生.最后小组代表对“相等”、“相反”、“共线”、“平行”等关系下定义、总结, 教师解释强调一下“共线”与“平行”在自由向量里是一样的, 这样再探讨向量的特殊关系中让学生参与概念的定义过程, 使概念成为学生观察、归纳、概括之后的自然产物.
设计意图学生自学已有的学习资料 (教材、导学案、参考资料等) , 进行自主探究, 解决基础知识的学习以及浅层次的问题, 再将自己搞不明白的问题归类出来, 然后学生小组合作, 一起探寻问题的症结, 通过讨论, 合作交流理解平行向量、相等向量、相反向量的定义, 掌握平行向量和共线向量的关系, 然后上台进行知识讲解, 其他小组补充, 教师对学生的活动进行评价.
3.3 巩固练习
实战训练1判断下列结论是否正确.
(1) 两个单位向量一定是平行向量.
( )
(2) 若线段AB与线段CD平行, 则 ()
(3) 若a∥c且b∥c, 则一定有a∥c.
( )
(4) 平行向量方向一定相同. ()
(5) 不相等向量一定不平行. ()
(6) 与零向量相等的向量是零向量.
( )
(7) 与任何向量都平行的向量是零向量.
( )
(8) 共线向量一定在一条直线上. ( )
(9) 若两向量平行, 则这两向量的方向相同或相反. ( )
(10) 相等向量一定是平行向量. ( )
实战训练2 如图2, 设O是正六边形ABCDEF的中心, 分别写出图中与向量相等的向量.
实战训练3 图3每个格子边长为1cm, 比例尺为1∶100, 请求出图3中向量的模.
实战训练4 某人从A点出发向西走了200m到达B点, 然后改变方向, 向北偏西30°走了350m到达C点, 最后又改变方向, 向东走了200m到达D点.
(1) 用向量表示这个人的位移;
(2) 求位移对应向量的模.
学生通过小组合作, 得出结论, 上黑板展示.
设计意图这一教学环节在整个教学过程中具有举足轻重的作用, 通过4个实战训练检验学生对于新知的掌握, 同时起到对本节课知识的巩固.
3.4 归纳总结
本节课概念多, 弄清每一个概念和它们的关系实属不易.因此, 在课堂教学的最后, 梳理本节课的内容非常重要.大部分课堂总结的“本节课我们学习了什么”的导语对“概念多”的章起始课显得模糊了点, 学生说起来抓不住要点.所以教师鼓励每个小组互相合作, 用框图的形式总结出本节课知识.
教师活动:教师投影展示画好的知识网络图.
设计意图学生对于新知的探寻、解惑、掌握后要学会归纳整理, 也就是学生不仅要学会探究知识还要学会归纳总结.在这一环节中, 笔者通过本节课的知识的学习自主画出本节课的知识网络图, 加深对本节课知识的理解和掌握, 并引导学生归纳思考问题的方法、探寻知识的方法等, 使学生能够养成良好的习惯, 激发学生对于数学学习的热情, 形成学生的数学情感.
3.5 反馈评价
学生自我评价:完成本节导学案的情况为 ( ) .
(A) 很好 (B) 较好
(C) 一般 (D) 较差
教师评价:……
设计意图设置学生和教师评价环节, 反馈评价对于学生具有激励和促进的重要作用.通过反馈评价, 教师能够及时地掌握学生的学习状况, 发现学生在学习中仍然存在的问题, 以便进一步正确指导;学生也可以及时地了解到自己的学习状况, 看到自己在学习上的进步和成长以及仍然存在的问题和不足, 及时地接受教师的正确指导、同学的关心和帮助等.
最后, 请学生阅读教材第78页向量及向量符号的由来, 学生再次感慨又和牛顿有关, 教师不失时机地补充是深厚的数学功力成就了牛顿的伟大.
4 “自主探究—小组合作”教学模式的课后反思
笔者以前教这一节内容时, 自认为向量这个概念很简单, 就自己大包大揽地把几个概念很快交代清楚, 留够时间给学生做练习.然而, 这种“独角戏”传授的直接结果是学生没有深刻领会向量的内涵, 没有弄清相关概念, 甚至不少学生很长一段时间在向量上方还是没有加上箭头表示.有了这个教训, 加之对概念教学重要性的认识进行了深刻的思考后, 借这次录制科组安排优质课任务的机会, 结合“自主探究—小组合作”教学模式, 进行了如上教学过程设计, 因此笔者有以下几点体会:
4.1 “自主探究—小组合作”活跃课堂气氛, 落实双基
平面向量概念的产生有着丰富的知识背景, 再由于数学概念的高度抽象性, 对任何一个貌似简单的概念, 学生往往都要费很大周折才能理解, 甚至于无法理解只能死记硬背.而现代教学理念认为, 学习最好的途径是让学生自己去发现.在向量概念的教学中, 笔者根据学情, 精心设计学案, 让学生自觉学习、合作交流, 通过让学生上台讲解学习成果, 在探究、交流讨论中相互指正, 相互完善, 从而理解知识、掌握知识, 这种互帮互助的形式, 不仅活跃了课堂气氛, 落实了双基, 更重要的是学生自主探索, 合作交流, 相互启发, 相互点拨, 使学生的思维得到碰撞, 心智得到开启, 在小组合作学习中学习了倾听, 学会了表达, 学会了与同伴交流, 这是任何说教都不能比拟的.
因此, 课堂教学需要提供让学生充分发挥才能的机制, 使学习群体在思想、情感与认识上得以充分直接的交流, 合作与分享, 真正体现出学习的本原要义.
4.2 “自主探究—小组合作”教学模式下, 要注重师生的课后反思
目前在大多数学校中“自主探究—小组合作”只流于形式, 并没有实际深入的展开实施.比如课堂上看似老师采取的是自主探究后进行小组合作讨论再得出所要掌握的知识内容, 而实际上学生只是装模作样的讨论, 最终还是老师直接给出结论并要求熟记并运用, 学生依然是知其然而不知其所以然, 这种现象既浪费时间又没有效率, 最终导致的结果是老师的教学任务不能及时有效地完成, 而学生的学习也达不到理想状态.从某种视角上讲, 这样的老师缺乏对自主探究—小组合作教学模式的调控和指导, 不能起到正确的引导作用, 进而造成的教学模式流于形式, 学生不能较好自己探究寻找问题、与同学合作解决问题.课堂讨论最应注意的是“繁华”之后的实效, 这个实效衡量的依据就是学生在课堂上的表现和随后教学环节的推进效果.但真正可取的评估还是在每节课后, 花一点时间对学生进行访谈, 让他们进行自我反思、自我评价, 想一想在讨论中“我思考了什么”“我学到了什么”.实践证明, 经常进行自我反思, 能有效增强学生自主学习的动力和能力.更重要的是学生的回答如果能够与教师的教学预设目标相符合, 且其回答的内容也有侧重点, 便证明了教师教学目标设定和课堂讨论活动实施上的双丰收.此外, 教师也要经常进行课后反思, 对讨论活动的反思内容可以包括以下几个方面:我有没有明确地提出讨论问题?学生是否能清楚地理解问题?学生在多大程度上参与了教学活动?在整个讨论过程中, 哪一阶段是最成功的, 其原因是什么?讨论中我的引导作用主要体现在哪些方面?学生都学到了我想要教给他们的东西了吗?我的教学目标达到了吗?
4.3 “自主探究—小组合作”教学模式下需要改进的方向
(1) “自主探究—小组合作”教学模式能够给予学生足够的时间、空间去发挥自我、实现自我.但是, 如何能够确保学生在这个过程中是在思考、探究知识而不是开小差.
(2) 老师如何能够很好的在教学过程中发现那些比较内向、不善于表达的学生在学习中所存在的问题, 对于学生在学习过程中提出的问题老师如何给予合理的、正确的解答过程.
(3) 各科老师要怎样协商并实施教学改革, 才能使得整个班级都能够形成一种自主学习与合作学习相结合的氛围, 如何让学生在这种学习氛围下发挥最大的学习优势, 从而使得教学模式的效益发挥到最大程度.
参考文献
[1]章建跃.普通高中课程标准实验教科书人教A版必修4[M].北京:人民教育出版社, 2007.
[2]高嫚.“自主探究—小组合作”教学模式在高中数学教学中的应用研究[D].延安:延安大学, 2014.
[3]章建跃, 陶维林.概念教学必须体现概念的形成过程[J].数学通报, 2010, (1) .
[4]张天寿, 骆妃景.探讨数学教学中数学表征的原则[J].中学数学研究, 2014, (6) .
向量在高中数学中的应用 第9篇
一、单纯考查向量的运算与性质
例1 (2009年全国Ⅰ卷第6题) 设a、b、c是单位向量, 且ab=0, 则 (a-c) (b-c) 的最小值为 () .
解:本题综合考查了向量的加减法、数量积的运算以及向量垂直的充要条件.∵ab=0, ∴a⊥b, a、b、c是单位向量, 因此|a+b|=, |c|=1, 又设
故 (a-c) (b-c) 的最小值为1-姨2.
201 1年高考辽宁卷第1 0题、201 1年高考广州卷第3题、2010年高考天津卷第15题、2011年高考湖南卷第14题均涉及向量的内积、模等基本运算及向量平行、垂直的充要条件.这类题型只要熟练掌握向量的运算与性质, 一般不会出现丢分问题.
二、借助函数、解析几何、线性规划等知识求解向量运算问题
例2 (2010年全国Ⅰ卷第11题) 已知圆O的半径为1, PA, PB为该圆的两条切线, A, B为两切点, 则PBBAPBBB的最小值为 () .
A.-4+ B.-3+
C.-4+ D.-3+
解:由圆的切线的性质, 设, 则
当且仅当x2+1=, 即x2=-1时取“=”, 故的最小值为-3.
2011年高考全国大纲卷第1 2题借助单位圆数形结合、通过余弦定理和正弦定理与内积相结合求得向量模的最大值;201 1年高考广东卷第5题、201 1年高考福建卷第8题利用线性规划方法求向量内积的最大值、最小值.这类题在知识交汇处出题, 难点在于向量的运算转化.因此学生在熟练掌握课本基础知识的同时, 一定得会灵活使用.
三、向量在解析几何中的应用
向量的坐标是代数与几何联系的纽带, 它与解析几何联系比较紧密, 许多解析几何问题 (如求长度、角度、点的坐标、轨迹等) 都可以用平面向量知识来求解.解法简捷明快, 易于理解.
例3 (2011年全国大纲卷第10题) 已知抛物线C:y2=4x的焦点为F, 直线y=2x-4与C交于A, B两点, 则cos∠AFB= () .
解:联立方程组, 解得交点A, B分别为 (1, -2) , (4, , 4) , 又依题可知F (1, 0) ,
所以= (0, -2) , = (3, 4) 所以cos∠AFB=-.
2010年高考全国Ⅰ卷第1 6题、201 0年高考全国Ⅱ卷第15题、2009年高考全国Ⅱ卷第21题、2011年高考课标全国卷第20题、2011年高考天津卷第18题、201 1年高考安徽卷第21题均为向量与解析几何的融合题, 题型分两类, 一类是自己找向量关系, 借助向量运算求解;一类是题中给出满足的向量关系, 学生首先将向量运算坐标化, 再根据圆锥曲线的几何性质求解.
四、向量在立体几何中的应用
例4 (2011年课标全国卷第18题) 如图, 四棱锥P-ABCD中, 底面ABCD为平行四边形, ∠DAB=60°, AB=2AD, PD⊥底面ABCD,
(1) 证明:PA⊥BD;
(2) 若PD=AD, 求二面角A-PB-C的余弦值.
解: (1) 略; (2) 如图, 以D为坐标原点, AD的长为单位长, 射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz, 则A (1, 0, 0) , B (0, , 0) , C (-1, , 0) , P (0, 0, 1) ,
设平面PAB的法向量为n= (x, y, z) , 则, 即,
因此可取
设平面PBC的法向量为m, 则, 可取
, 故二面角A-PB-C的余弦值为.
这种类型的题几乎出现在所有的高考数学试卷中, 通常有立体几何与向量两种方法处理, 前一种方法逻辑性较强, 学生处理会有一定困难, 向量方法的难点是空间直角坐标系的建立以及已知点坐标的确定, 然后借助平面的法向量和直线的方向向量解决二面角或直线与平面所成角的问题即可.
五、向量在求函数极值、证明不等式中的应用
利用不等式|a+b||a|+|b|, |ab||a|b|通常可以求函数的最值及值域, 也可以证明不等式。
例5求函数的最小值.
解:设a= (x-2, 3) , b= (5-x, 1) , a+b= (3, 4) .因为|a+b||a|+|b|, 所以
, 当且仅当a∥b, 即x=时, f (x) =5.
类似习题:
1. 求函数的值域.
2. 求函数f (x) =3si nx+4cosx的最大值.
例6证明
证明:设, B (-1, 1) 则, , 设, 点A在单位圆上, 作图易知0θ,
当0θ时, cosθ1, 所以
高中数学解题中向量方法的应用分析 第10篇
一、高中数学教学中向量法应用过程中的必要性阐述
( 一) 向量法的应用有助于提高学生理解中学数学与现代数学之间联系的能力
中学数学内容作为现代数学发展的基础,涉及的多为常量数学和变量数学的基本知识,而向量的引入则是进一步完善了中学数学知识结构体系,以交汇点的形式存在,其综合应用可帮助学生构造知识结构网,为中学数学和高等数学过渡奠定基础.
( 二) 向量法的应用有助于提高学生处理,解决数学问题的能力
向量作为处理数学问题的有效工具,可以降低学生对空间形式的依赖性,规避思维结构误区,缩减数学问题的推理过程. 比方,通过使用向量法处理三角形问题及线性问题等. 和传统的处理方法相比,能够非常直观、简便的找出解决问题的关键,提高教学效率.
( 三) 向量法的应用可以提高学生的思维扩散能力
培养学生的思维扩散能力是向量教学内容的一大重点. 在教授学生知识处理的过程中,要尽可能的将问题设计成能够通过概括、想象、抽象、分析等方法解决的形式. 这种方式能够培养学生的自主性和思维延展性. 如,大海中帆船航行过程中产生的位移,可以渗透数学建模的理论知识,通过进行图示训练和相等向量解题法的训练,渗透平移变换思想,让“形”和“数”结合在一起,形成数形桥梁.
二、数学解题中向量解题法的影响因素
( 一) 数学解题过程当中产生的影响因素
在数学解题过程中,产生的影响因素分为很多种,根据元认知规律的特点,可以将其进行归纳为下面几种:
第一,经验原因. 数学解题的经验主要表现为学生个体现存的知识结构体系、解题思路以及问题陈述形式等,其中还涉及学生的个人特点以及该问题产生的情境等原因.
第二,情感原因. 情感在学生学习过程中起主导作用,如学生学习的爱好、意志力以及动机等,都会影响学生的解题兴趣.
第三,认知原因. 认知原因决定了学生剖析问题、解决问题的能力,涉及的多为智力因素.
( 二) 影响向量法解题的几点因素
高中教师授课有两种较为明显的倾向,其一,部分教师不敢尝试一些新的教学方法,通常会将一些利用向量很好解决的问题是用传统几何推理的方式来解决; 其二,部分教师教学方法笼统,无具体的分类法,不根据实际情况进行方法的选择. 另外,向量法在高中命题中所占据的比重也是比较重要的影响因素之一.
三、高中数学解题中向量方式的利用论述
( 一) 向量法在三角函数解题过程中的使用方式
空间向量的学习有助于激发学生的创造性,发散思维,在数学三角函数解题过程中,空间向量法的使用可以将问题简单化,使解题思路更加明了,进而降低解题难度. 比如,证实cos( α - β) = cosαcosβ + sinαsinβ.
证明: 假设( e1,e2) 为平面中的标准正交基,a,b为平面上的单位向量,且a和e1的夹角是α,b与e2的夹角是β,而α > β. 向量a在( e1,e2) 出的坐标是( cosα,sinβ) ,向量b在( e1,e2) 下的坐标是( cosβ,sinβ) ,则有a的绝对值等于b的绝对值等于1.
是以,a* b = | a | * | b | cos ( α - β) = cos ( α - β) =cosαcosβ + sinαsinβ. 由此我们可以得知,向量法应用于三角函数,可借用几何图形的直观性来完成.
( 二) 向量法在平面几何解题中的使用方式
一般来讲,向量具有双重性,它既有运算性又具有形的特点,部分几何问题内容比较抽象,而传统的解题方法往往比较复杂,且直观性差,很难帮助学生更好地解决问题,向量法中形和数的转化特性,则能够在很大程度上将问题简单化.
例如向量法在求边问题中的应用,设△ABC的内角,A,B,C对应的边长分别是a,b,c,且有2sin Bcos A = sincos C+ cos Asin C.
( Ⅰ) 求角A的大小;
( Ⅱ) 如果b = 2,c = 1,D是BC的重点,求AD的长度
由此可以得知,利用向量对几何元素之间的关系进行详细分析,可将问题进行转化.
( 三) 向量法在处理不等式问题中的使用方式
合理使用向量法求解不等式问题,通常可以起到事半功倍的效果. 在高中阶段,求解不等式主要利用的是向量数量积的性质,| a* b|≤| a| * | b |及其变形公式| a* b2|≤| a|2* | b |2.
高中数学向量法教学
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