高中解三角形教学反思

高中解三角形教学反思（精选15篇）

高中解三角形教学反思 第1篇

三角形之间的关系是在理解三角分类和角度和教学的基础上。教学重点主要是探索：任何三个小棒可以被三角形包围？研究三角边缘的关系得出的结论是，短边之和大于第三边，我不急于给学生答案，但经过任意而不是较短的讨论，让学生更清楚。

这一课主要是让学生体验一个过程来探索这个问题，引导学生先识别问题，提出假设，实验验证，得出结论，申请过程的实践。我在教，关键是抓住任意三条线不能被三角形包围？发起探讨学生围绕这个问题的愿望，让学生自己动手，发现有些可以被包围，有些不能被包围，再由学生自己找出原因，为什么可以为什么不呢？最初的感觉三方之间的关系，然后聚焦可以被三边之间的三角形包围，结束之间有什么关系？通过观察，验证，重新操作，最终发现三角形任意两边的和大于结论的第三边。这种教学符合学生的认知特征，既增加了兴趣，也提高学生的能力。

高中解三角形教学反思 第2篇

第二，本节课的设计，力求体现新课程理念。给学生自主探索的时间，给学生宽松和谐的氛围，让学生学得更主动、更轻松，力求在探索知识的过程中，培养探索能力、创新精神、合作精神，激发学生学习数学的积极性、主动性。

第三，教师应该是课堂教学的`组织者、引导者、合作者、服务者。在学生选择解直角三角形的诸多方法的过程中，并没有过多地干预学生的思维，而是通过问题引导学生自己想办法解决问题，指导学生比较各种方法中选择了一种最好解法进行板演。

通过本节课的教学实践，发现一些需要反思和改进的地方。比如，在探讨解直角三角形的依据时，处理不当过于仓促，应该让学生从理论上理解其中的原理；再如，在探索解直角三角形需要具备的条件时，预设问题过于简单化，忽视了知识生成过程，如果放手让学生自己去想，可能效果更好；又如，课堂总结时，总是忽视了学生在没有体验与感受，直接把现成的小结讲给学生听，真是拔苗助长的做法。在今后的教学中，要关注学生知识再发现和生成过程。

总而言之，本节课体现新课标的教学理念，对新课标下的新课堂的丰富内涵进行积极的探索与有益的尝试。把数学课都上成数学活动课，是学生讨论交流的平台，同时注意渗透德育，是学生发现创造展示自我的舞台！

一道解三角形题的解法探究与反思 第3篇

问题:在△ABC中, 角A、B、C的对边分别是a, b, c, 且b2=ac=a2-c2+bc

(2) 试判断△ABC的形状, 并说明理由.

此题咋看非常普通, 就是一道解三角形类题目.标准答案解答如下:

(2) △ABC为等边三角形.b2=a2-c2+bc, 不失一般性, 可设c=1, 则b2=a=a2+b-1, 消去a得b2=b4+b-1, 即 (b-1) (b3+b2+1) =0, 所以b=1, a=1, 即证.

此题从高考角度出发, 应当算是一道容易题, 但是问题 (2) 答案给的解答方式学生不易想到.另外判断三角形形状的方法较多, 笔者觉得这是培养学生发散思维, 激发学生学习兴趣的好机会.所以在上课教学时, 我把学生分成了七个小组, 进行自主合作, 探究总结本题第 (2) 问可能的解法, 经过讨论, 小组总结归纳展示如下.

解直角三角形的应用教学设计 第4篇

根据新课标的指导思想，结合注重开放与生成，构造充满生命活力的课堂教学体系的思想。改变课堂过于注重知识传授的倾向，强调形成积极主动的学习态度，关注学生的学习兴趣和体验，让学生主动参与学习活动，并引导学生在课堂活动中感悟知识的生成、发展与变化。在教学过程中由学生主动去发现、去思考，留有足够的时间让他们去操作，体现以学生为主体的原则；而教师为主导，采用启发探索法、讲授法、讨论法相结合的教学方法。这样，使学生通过讨论、实践，形成深刻印象，对知识的掌握比较牢靠，对难点也比较容易突破，同时也培养了学生的数学能力。

二、教学分析

1.地位与作用

解直角三角形的知识，可以被广泛地应用于测量、工程技术和物理中，主要是用来计算距离、高度和角度。教科书中的应用题，内容比较广泛，具有综合技术教育价值，解决这类问题需要进行运算，但三角中的运算和逻辑思维是密不可分的；为了便于运算，常需要先选择公式并进行变换，同时，解直角三角形的应用题和课题学习也有利于培养学生空间想象的能力，即要求学生通过对实物的观察，或根据文字语言中的某些条件画出适合它们的图形，总之，解三角形的应用题与课后学习可以培养学生的三大数学能力和分析解决问题的能力。

本章内容属于三角学，中学数学把三角学内容分成两部分，第一部分归入义务教育初中阶段，就是本章的解直角三角形。这主要是因为解直角三角形的知识有较多的应用，它的基础仅仅是锐角三角函数，这在学生学过相似三角形后不难接受。后一部分是三角内容的主体部分，包括解斜三角形、三角函数、反三角函数和三角方程，将归入义务教育后的高中阶段。前一部分是后一部分的必要基础，只有学好锐角三角函数和直角三角形的解法，才能继续学习三角函数和斜三角形的解法。

同时，解直角三角形还有利于数形结合。通过这一章的学习，学生才能对直角三角形的概念有较为完整的认识。另外，有些简单的几何图形可分解为一些直角三角形的组合，从而也能用本章的知识加以处理。以后学生学习斜三角形的余弦定理、正弦定理和任意三角形的面积公式时，也要用到解直角三角形的知识。本节内容在这起到承上启下的作用。承上使学生对锐角三角形函数有更深的理解，更好地掌握。启下，通过对本节的学习为高中的知识打下基础。所以说，本节课的教学有着不可忽视的地位。

2.学情分析

学生在小学就接触过直角三角形，前几节已经学习了锐角三角函数，所以这节课内容学生可以接受。本节的学习使学生初步掌握解直角三角形的方法，培养学生把实际问题转化为数学问题的能力。同时让学生通过观察、思考、操作，体验转化过程，真正学会用数学知识解决实际的问题。

3.教学方式和教学手段

从学生最熟悉的实际生活创设问题情境，采用“引导—探究—解决—扩展”的教学方式，从学生活动出发，结合实物和多媒体教学，强调实用性。

4.技术准备

多媒体，三角板，半圆仪。

三、目标分析

学会用数学问题来解决实际问题，既是我们教学的目的，也是我们教学的归宿。本部分安排三节课，本节是第一节。根据课标的要求，要尽量把解直角三角形与实际问题联系，减少单纯解三角形的习题。在实际问题中，要使学生养成“先画图，再求解”的习惯，还要引导学生合理地选择所要用的边角关系。

1.知识目标：会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题。

2.能力目标：培养学生把实际问题转化为数学问题并进行解决的能力，进而提高学生的形象思维能力，渗透转化的思想。

3.情感目标：培养学生理论联系实际，敢于实践，勇于探索的精神。

重点：实际问题与数学问题之间的转化。

难点：如何把实际问题转化为数学问题。

四、教学过程

（一）创设情境，导入新课

在天安门广场的升旗仪式上，当嘹亮的中华人民共和国国歌响起，鲜艳的五星红旗高高飘扬的时候，心情激动的同时，你可曾想过，升起的国旗有多高呢？你能测量和计算它的高度吗？通过这节课的学习，我们又掌握了一种测量国旗高度的方法……

（教学意图：数学的教学要紧密联系生活实际，而学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的。呈现给学生现实生活实际的问题是为了激发学生主动探索的热情与兴趣，让学生有探索、解决问题的欲望。）

（二）新知导学

1.仰角和俯角的概念

我们站在低层的看台上，仰望升到顶端的国旗，视线在水平线的上方，这时视线与水平线所成的夹角，我们称为仰角（如图）。

站在高层的看台上，俯视升到顶端的国旗，视线在水平线的下方，这时视线与水平线所成的夹角，称为俯角（如图1）。

学生：通过看电脑展示结合图形理解仰角、俯角的概念。

老师：板书仰角和俯角的图形定义。

问题1：如图4，学生甲站在第1层看台的地面上，仰望升到顶端的国旗，已知他的双眼距地面1.5米，他的双脚距旗杆底部18米，看国旗的仰角为29°，你会利用这些条件计算国旗的高度吗？（结果精确到0.1米）如果这名学生继续往看台的上方走呢？

问题2：如图5，学生甲站在某一高层看台的地面上，俯视升到顶端的国旗，已知他的双眼距台阶1.5米，现在他的双脚距地面16米，距旗杆底部的水平距离为34米，看国旗的俯角为10°，你会利用这些条件计算国旗的高度吗？（结果精确到0.1米）

学生：根据所给图形，分析并列出式子。

1.5+18tan29°≈11.5（米）

问题3：学生甲站在看台的某层台阶上，请问：需要测量或补充哪些数据，才能计算出国旗的高度？

问题4：现在为了美观，旗杆AB下面摆设一些盆栽作装饰，即不能直接测量出人的双脚到旗杆底部B点的距离，当人站在C点时，测得旗杆顶A的仰角是16°，向旗杆的方向前进18米，在D处测得旗杆顶A的仰角为30°，求国旗的高度AB为多少米？（结果保留到0.1米）

1.5+16-34×tan10°≈11.5（米）

应用概念直接解题已知一个锐角和一个边和两个边的直角三角形的直角三角形都可解。加深问题的研究，扩展学生的思路，培养学生分析问题解决问题的能力，归纳总结出在直角三角形中已知一边和一个锐角，已知两边这样的直角三角形都是可解的。

（三）总结

解直角三角形的关键是找到与已知、未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作辅助线构筑直角三角形；当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题化归为直角三角形中的边角关系。

（四）巩固练习

如图8，山脚下有一棵小树AB，小强从点B沿山坡向上走了50米到达点D，用高为1.5米的测角仪CD测得树顶的仰角为10°，已知山坡坡角为15°，求树AB的高（结果保留到0.1米）

解：设AG=x，在Rt△AFG中，FG=AG/tan∠AFG=x/tan30°=x

Rt△AEG中，tan∠AEG=x/（x+18）x≈10.3

AB=AG+GB≈10.3+1.5=11.8m

板书设计：基础知识：

例3

例4

五、教学反馈，评价分析

本课设计中先安排一个引例，激发学生的兴趣，再设计有梯度的例题，让学生体验由实际问题转化为数学问题的过程。注重学生的思维过程，站在学生的角度思考问题，才能知道学生的问题出在哪里，这样不仅能让学生体验学习的乐趣，培养学生解决问题的能力。在活动的过程中，学生确实体验到数学在日常生活中无处不在，也让学生感悟到数学是有用的。在探索与交流中，让学生互问互检。注意学生的相互评价的作用，整节课学生都保持着较高的学习热情。

解直角三角形教学反思 第5篇

在《解直角三角形》中第四节船有触礁的危险中，其情境引入是这样的：

海中有一个小岛A，该岛四周10海里内有暗礁。今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行使20海里后到达该岛的南偏西25°的C处。之后，货轮继续向东航行。你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗?

对于本题，要判断船是否有触礁的危险，只需要判断该船行使的路线中，其到小岛A的最近距离是否在10海里范围内，过A作AD⊥BC于D，AD即为小船行驶过程中，其到小岛A的最近距离，因此需要求出AD的长。根据题意，∠BAD=55°，∠CAD=25°，BC=20，那么如何求AD的长呢?

教参中是这样给出思路的，过A作BC的垂线，交直线BC于点D，得到Rt△ABD和Rt△ACD，从而BD=ADtan55°，CD=ADtan25°，ADtan55°—ADtan25°=20。这样就可以求出AD的长。这里，需要学生把握三点：第一，两个直角三角形;第二，BD—CD=20;第三，用AD正确地表示BD和CD。用这种思路，多数学生也能够理解。

但教学过程中，我发现利用方程的思路来分析这道题目，学生更容易接受。题目中要求AD的长，我们可以设AD的长为x海里，其等量关系是：BD—CD=20，关键是如何用x来表示CD和BD的长。这样，学生就很容易想到需要在两个直角三角形利用三角函数来表示：Rt△ABD中，tan∠BAD=从而，BD=xtan55°;Rt△ACD中，tan∠CAD=，从而，CD=xtan25°，这样根据题意得：xtan55°—xtan25°=20，然后利用计算器算出tan55°和tan25°值，这样就可以利用方程来很容易的解决这样一个题目，并且是大家很熟悉很拿手的一元一次方程。

高中解三角形复习课教学记录 第6篇

学生在学校已经上完，自我感觉还可以，但是面对题目，一提醒就会做，不提醒略复杂的题目就卡壳。

教学过程：

1、视觉心算训练

2、指令：在脑海里画一个三角形ABC其中，AB的长是2，BC的长是3，角ABC是50°。

3、问：脑海里的三角形是唯一确定的吗？（一个学生说不确定，上黑板画出，发现他的长

度是随意的，所以感觉不唯一，精确脑海里的长度后，明确唯一确定的意思）

4、利用学生画在黑板上的三角形，判断三角形中线、角平分线是否确定，强化学生确定三

角形再确定边角的意识

5、变换条件，判断三角形是否确定，复习边角边角边角、角角边、边边边，以及大小不

确定的情况下如何确定三角形形状（知道两个角）

6、探讨边边角下的一解、两解和无解，已经SINA>0时，角A是否唯一确定。

7、题组训练指令：15道题，找出其中大小形状确定、大小不定形状确定、大小形状不确定、可能无解和两解的三角形。

8、对着前面的确定方法，思考什么情况下第一步需要用正弦定理，第一步需要用余弦定理。

9、题组训练指令：刚才的15道题，确定每个第一步需要正弦定理还是余弦定理

10、整题训练指令：

1、题目中涉及到的三角形是？

2、该三角形是否确定？确定的依据

是

3、该三角形确定了可以确定哪些关于这个三角形的量？

4、第一步应当用正弦还是余弦定理

11、指令：回忆刚才的解答过程，尝试用刚才的路径整理三道习题的解答思路

12、高考题共同分析（示范处理不确定时如何设定x表示，把x当做已知进行思考）

13、高考题独立尝试

14、整理解答思路，高中数学题：

1、识别三角形——数学对象

2、确定三角形——

数学对象（不确定设x表示）

解直角三角形的应用教学反思 第7篇

本节课的复习目标是：掌握直角三角形的边角关系并能灵活运用;会运用解直角三角形的知识，利用已知的边和角，求未知的边和角;能结合仰角、俯角、坡度等知识，综合运用勾股定理与直角三角形的边角关系解决生活中的实际问题。因为是中考一轮复习，所以我先将课前自主复习部分让学生课前独立完成教师批阅，这样在上课前授课老师能做到心中有数，再针对课前自主复习部分的题目有侧重性的讲，真正做到有惑必解，有疑必答。

本节课我共设计了3条例题，一是台风中心的运动问题，涉及到了仰角和俯角问题;第2题是一条20xx年的中考题，我将题目变式为3小题，将坡角、坡度、以及基本图形的渗透都融合在一题中，让学生学会分析、类比，并能独立归纳出此类题的解法，抓住题中的基本图形进行解题;第3题是一条设计方案题，目的让学生选择测量工具运用解直角三角形的知识测量出塔的高度，并适当变式，如果当塔的底部不能直接到达测量时，如何设计方案求出塔高。

课上完后，我认真总结了本节课的得与失，本节课的主要失误的地方有两点，一是例1的处理上，应将点与圆的位置关系和直线与圆的位置关系结合例1一起来处理，这样学生对于为什么作出AD这条辅助线就很明晰了，效果将会更好，;二是小结时较仓促，应该让学生总结归纳出此类题的一般解法，找出基本图形，这样才有助于让学生知识形成体系，进一步得以提高。

《课程标准》中指出“教学中应当有意识、有计划地设计教学活动，引导学生体会数学之间的联系，感受数学的整体性，不断丰富解决问题的策略，提高解决问题的能力”，对于初三一轮复习，注重对学生对知识间的沟通与联系进行讲解，将这些知识点灵活组合，通过综合性题目所提供的信息，搜寻解决问题的相关知识点，找出解决问题的方法。在平时教学中能讲到中考一模一样的题目的可能性微乎其微、那怎么办，教给学生思考方法和解题的策略往往更有用、这样可以与一反三，会一题可能就会掌握一类题，并在学生理解之后及时复习巩固，努力把新方法新技巧纳入到原有的知识体系中。在解题中应该尽量的让题目一题多解，或者多提一解，尽量在学生思维的的转折点处进行点拨，这样最有效。

运用变量替换法巧解高中三角题 第8篇

代数替换法

通过替换把三角问题转化为代数问题进行讨论, 这样可以避开解三角函数式的麻烦, 达到化繁为简、化难为易的目的.

例1求cos36°-cos72°的值.

解析:设x=cos36°, y=cos72°, 由cos72°=2cos236°-1得y=2x2-1.又cos36°=1-2sin218°=1-2cos272°, 则x=1-2y2.因为x+y=2 (x2-y2) =2 (x+y) (x-y) , 所以x+y≠0, 所以, 即.

整体替换法

整体替换法即把已知式或待求式视为一个整体进行变形替换.

例2已知, 求cosx+cosy的变化范围.

解析:设u=cosx+cosy, 将已知式与待求式两边平方得:, u2=cos2x+2cosxcosy+cos2y (2) .

(1) + (2) 得:, 即.因为-22cos (x-y) 2, 所以, 解得.

引入参数法

即通过引入参变量调节命题结构, 把问题转化为对参变量的讨论.

例3 (2008年重庆卷文12) 函数的值域是 ()

解析:令, 则, 当0xπ时, .

当且仅当时取等号.同理可得当π

三角替换法

对于有些三角问题, 如果能依据其特征, 合理地引入三角替换, 把问题结构转化, 这样解题构思别致, 解题过程简捷、巧妙.

例4求函数的值域.

解析:由题意知:.

综上所述, 所求函数的值域为.

高中解三角形教学反思 第9篇

关键词：解直角三角形 机械加工 锥形工件 燕尾形工件

0 引言

技工院校生源普遍存在基础知识薄弱、综合素质偏低和厌学的现象，尤其体现在数学这一学科上，给教学工作带来较大的困难。在学习专业课程或在技能训练中，经常会遇到根据各种几何图形来计算有关角度或长度尺寸的问题，特别是对于机械类专业的学生来说更是离不了数学计算和数学作图，因为数学作图知识比抽象的理论知识更直观，以动手操作为主，如锥形工件等有关公式的由来，机械加工中遇到的实际问题，这类问题通常可以用解直角三角形的方法来解决。针对这些现象及数学在机械类班级中的重要性，数学怎样才能更好的应用到机械类专业课程中。因此在学习解直角三角形教学过程中，结合专业内容学习解三角形，激发了学生学习的兴趣，让学生感到熟悉，使学生深刻意识数学知识在机械加工领域中的重要应用及价值，促使学生更好地学习数学知识，使专业知识的学习达到事半功倍的良效。机械加工课程是机械类专业必修的技术基础课，几乎所有的技工院校的机械类专业在一年级的第一学期便开设机械加工课程。它是以平面几何与立体几何为理论基础，要求学生在学习课程之前必须具备初等几何，特别是立体几何的基本知识，对机械类专业起到非常重要的作用。机械类专业与数学有着紧密的联系，作为技工院校的机械类专业在数学教学过程中存在很多问题，比如缺少与初中相衔接的内容、数学容量大，所占课时数多等等。为了使机械类专业与数学更加紧密的结合，这就需要我们在教学实践中实行必要的改革措施，这些措施包括：数学教学方法的革新、提高数学教师的综合素质、教学内容的调整、教学评价的调整等等，下面就解直角三角形结合机械加工问题课堂教学研究与大家探讨。

1 新课程理念下技工院校教师应该走一条什么样的道路

众所周知，进入技工院校的学生成绩普遍不好。他们在学习等方面存在较大的缺陷，其数学课的教学难度可想而知。同时伴随技工院校教育改革和教学模式的创新，文化基础课程的设置再三调整。作为重要一门文化课程的数学，教材一改再改，难度不断降低，教学方法和手段也推陈出新。面对如此现状，技工院校数学教师应该走一条什么的道路？仍是普通高中数学教学模式，注重公式、定理的演绎论证，把学生的注意力吸引到逻辑推理的严密性上，很少结合专业知识进行展开，导致学生认为数学与专业没有多大的关系，学了也没有多大用处。因此，教师尽可能结合专业特点，开发切合学习内容的课例。笔者认为在课堂中很有必要结合专业知识设计实例，“够用”的尺度应该是培养学生学会应用数学的能力。正视技工院校数学教学的客观实际、结合所教专业的特点，使数学课在技工院校教育中真正发挥应有的作用。

2 在机械类专业数学课堂中引入与专业有关的机械加工问题实例必要性

单从知识来看，数学枯燥乏味，其实数学又不乏趣味性，教师若以探究式方式激发学生学习的动力，同时尽量以实例为模型引入学习内容，以情境增强数学的应用性，并多使用现代化的多媒体教学手段，提高学生学习的兴趣，教学效果不言而喻。因此，教师尽可能结合本地、本校及专业学生的生活经验，开发生动有趣、结合专业内容的实例，使数学课在技工院校教学中真正发挥应有的作用，真正实现配合专业课教学。因此，教师应该主动地寻求与专业相关的数学问题，利用与专业相关的实际问题背景作为数学教学的背景。这就要求我们在文化课教学中，经常接触专业学科中的问题，了解专业技能中需要的专业知识，熟悉专业问题解决中应用到的数学知识。这种教学形式，改变了传统数学教学的枯燥，有利于激发学生的学习兴趣。同时也极大地提升了学生数学知识的应用能力，锤炼学生解决实际问题的能力。总之，分析技工院校数学教学的客观实际、结合专业的特点，配合专业课程教学，积极改革文化课教学，在机械类班级数学课堂中引入与专业有关的机械加工问题实例是必要的，是值得数学课教师共同研讨的一个教改问题。

3 课堂中引入与专业有关的机械加工问题实例的做法与效果

3.1 笔者在“解直角三角形”教学过程中，在机械类班级1101班、1109等课堂中引入与专业有关的机械加工实例，主要以构造直角三角形为主要工具点，通过直角三角形的解法，体现了机械加工对象的几何计算法在机械加工中的应用，使学生理解直角三角形中五个元素的关系，掌握直角三角形各边角元素之间的关系以及解直角三角形在机械加工中的应用。不但让学生达到学习目的，而且使学生解答专业课题目时学会了如何添加辅助线构造出直角三角形的方法。比如在加工和测量锥形工件时，经常需要作图添加辅助线构造出直角三角形的方法，通过解直角三角形求出圆锥半角，达到解题目的。下面就课堂教学中具体的实例与大家共同探讨。

比如：加工和测量锥形工件问题。如图1用转动小滑板加工锥形工件时，圆锥半角■的计算。在通过锥形工件轴线的截面内，两条素线间的夹角α称为圆锥角，圆锥角的一半，即■称为圆锥半角，其中D为锥形工件的大端直径，d为小端直径，L为锥形部分的长度。

在车削锥形工件时，通常可用转动小滑板的方法加工，此时，需把刀架小滑板按工件的圆锥半角■的要求转动一个相应角度，使车刀的运动轨迹（走刀方向）与所要加工的圆锥素线平行。如果已知大端直径D、小端直径d及锥形部分的长度L，在图1中，可过A点作AE⊥BE，构造出Rt△ABE，有AE=L，BE=■，∠BAE=■，则tan■=■=■=■，如果已知锥度C，由锥度公式C=■得tan■=■。在生产实际中，当圆锥半角 ■<6°时，■常用下面的近似公式计算：■≈28.7°×■=28.7°×C。通过本节课的实践，学生亲身体验与感受的情况下，作图添加辅助线构造出直角三角形的方法，通过解直角三角形求出圆锥半角，达到解题目的，收到的教学效果完全不同。

比如：加工和测量燕尾形工件。如图2所示燕尾槽和如图3所示燕尾块统称为燕尾形工件，它们都由两个斜角为α的斜面组成。机床上常利用这两种互相配合的零件做相对滑动，来达到控制其他零件或机构做准备直线运动的目的。

■

燕尾形工件的槽底及槽顶宽度是配合中的重要尺寸，精度要求较高的燕尾形工件，其中宽度M或N可用精密圆柱和游标卡尺来测量。测量时，把两根直径均为d的圆柱放在斜角的根部，然后用游标卡尺测得实际尺寸E或F，而E或F的理论值则根据图样要求的尺寸，经过计算得出。

■

根据图4、图5所示，连结OA，则OA是∠A的平分线。连结O与切点B，则OB⊥AB。构造出Rt△OAB，由图知E=M-d-2AB，F=N+d+2AB。在Rt△OAB中，∠OAB=■，OB=■，cot■=■，ZE则AB=OB cot■=■ cot■。所以 E=M-d-d2AB=M-d（1+ cot■）； F=N+d+d cot■=N+d（1+ cot■）；若α=55°，则cot■=cot27°30′=1.921，所以E=M-2.921d，F=N+2.921d。在课堂中引入与专业有关的实例，体现了数学课在教学设计形式上突出专业特色，在兼顾原教材实用问题的选取情况下，在本专业中选取应用问题，教学中尽量实现数学课与专业知识的融合，体现专业特色，把简单化的数学应用问题，还原成实际专业背景下的具体应用问题。把握数学知识在专业课程及专业技能培养中的应用，彻底打散数学课程体系，使数学课程真正做到配合专业课程教学。

3.2 一年多来，突显教学效果。对1101班（40人）与没有引入与专业有关的机械加工实例的1001班（38人）进行研究比较，通过师生交流会、评学评教，以及对这章节内容的学习兴趣、学生接受能力、考试成绩合格率，进行调查、问卷、考试、观察、对比，从以下数据（如图6）可见有着明显的差异。

4 反思不足，不断探索

综上所述，加强数学课配合专业课教学，构建以专业需要为主的数学教学体系，突出专业数学知识的实用性和服务性。针对开设的数控加工、模具制造等机械类专业，在机械类班级数学课堂中引入与专业有关的机械加工问题实例效果显著。课程内容的选择要有针对性，在教学中为了突出专业特色，配合专业课教学，笔者通过向专业老师了解机械制图、车工工艺等专业课程的知识结构，并亲自查阅相关的专业课程，结合学生的数学基础，对专业课需要的数学知识进行分类、归纳、整理，这样不但确定了学习内容，而且为确定知识的重点、难点、课时分配等指明了方向。如加工和测量锥形工件问题、加工和测量燕尾形工件、加工斜孔方向问题等计算问题，使得机械加工专业的数学职业模块教学让学生意识到了数学的重要性。提高了学生学数学的兴趣，改善了课堂教学气氛，学生学习的自觉性明显提高，从而取得好的教学效果。最后，如果能够打破数学教材传统的章节安排的框框，对数学教材有的放矢的调整和改革，数学内容的学习与相关专业课程的学习进度一致的话，结果如何不言而喻了。

参考文献：

[1]李娜.数学在数控机械加工中的体现——解直角三角形的应用[J].黑龙江科技信息，2000（36）.

[2]刘兴伟.浅谈数学作图与数控基础编程[J].新课程（教师版），2010（05）.

[3]翟俊美.浅谈中职数控专业与数学教学的结合[J].中国科技创新导刊，2010（36）.

[4]李月媚.关于技工学校数学教学的几点思考[J].学科教育， 2012（05）.

[5]数学[M].广东职业技术教研室编.

解直角三角形教学设计及反思 第10篇

教学内容分析：

本节内容是在学习了“锐角三角函数”“勾股定理”等内容的基础上进一步探究如何利用所学知识解直角三角形。通过直角三角形中边角之间关系的学习，学 生将进一步体会数学知识之间的联系，如比和比例、图形的相似、推理证明等。将为一般性地学习三角形的知识及进一步学习其他数学知识奠定基础。对部分学生来 说，有一定的难度。教学目标：

1、知识技能：使学生掌握直角三角形的边角关系，会选用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形。

2、过程与方法：经历探求直角三角形边角关系的过程，体会三角函数在解决问题过程中的作用，感受理论来源于实践又反作用于实践的唯物主义思想。

3、情感态度与价值观：形成数形结合的数学思想，体会数学与实践生活的紧密联系。从而增强学生的数学应用意识，激励学生敢于面对数学学习中的困难。通过获取成功的体验和克服困难的经历，增进学习数学的信心，养成良好的学习习惯。教学课时： 一课时 教学重难点：

重点：理解并掌握直角三角形边角之间的关系。难点：从条件出发，正确选用适当的边角关系解题。教学过程：

一、创设情境：

问题1： 如图所示，一棵大树在一次强大台风中折断倒下，树干折断处距地面3米，且树干与地面的夹角是30°，大树折断之前高多少米？

问题2：要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角α一般要满足50°≤ α ≤ 75°（如图），现有一个长6米的梯子，问：

（1）使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙（结果保留小数点后一位）（2）当梯子底端距离墙面2.4米时，梯子与地面所称的角α等于多少（精确到1°）？这时人是否能够安全使用这个梯子？

二、知识回顾：

如图，已知：在ΔＡＢＣ中，∠C=90°，你能说出这个图形有哪些性质吗？

1、在一个三角形中，共有几条边？几个角？（引出“元素”这个词语）

2、在RtΔABC中，∠C=90°。a、b、c、∠A、∠B这些元素间有哪些等量关系呢？ 讨论复习：

RtΔABC的角角关系、三边关系、边角关系分别是什么？ 总结：

直角三角形的边角关系（1）两锐角互余：∠A+∠B=90°（2）三边满足勾股定理：a2+b2=c2（3）边与角的关系：

sinA=cosB=a/c cosA=sinB=b/c tanA=cotB=a/b cotA=tanB=b/a 在直角三角形中由已知元素求出所有未知元素的过程就是解直角三角形。

三、探究新知：

从以上关系引导学生发现，在直角三角形中，只要知道其中两个元素（至少有一个是边）就可以求出其余的几个元素，从而引出解直角三角形的定义。交流讨论：

（1）已知两条边如何解直角三角形？（可分为已知a、b或已知a、c两种情况考虑）

（2已知一条边及一个角如何解直角三角形？（可分为a、∠A或c、∠A两种情况考虑）

四、知识应用：

例1：如图在RtΔABC中，∠C=90°，AC=√2，BC=√6，解这个直角三角形。

例2：如图：在RtΔABC中，∠C=90°，∠B=35°，b=20.解这个直角三角形（结果保留小数点后一位）

以上两例有学生小组内讨论解决。

解决本章引言中提出的有关比萨斜塔倾斜角的问题。在教师引导下分析解决之。

师生共同分析解决本节问题

1、问题2.注意强调：在解决直角三角形的过程中，常会遇到近似计算，出特别说明外。边长保留四位有效数字，角度精确到1′。

五、总结概述

一、利用解直角三角形的知识来解决实际应用问题，是中考的一大类型题，主要涉及测量、航空、航海、工程等领域，解答好此类问题要先理解以下几个概念： 1 仰角、俯角； 2 方向角； 3 坡角、坡度； 4 水平距离、垂直距离等。再依据题意画出示意图，根据条件求解。

二、解实际问题常用的两种思维方法：（1）切割法：把图形分成一个或几个直角三角形与 其他特殊图形的组合；（2）粘补法：此方法大都通过延长线段来实现。

六、课堂练习：见教科书P.91 练习

七、作业安排：习题28.2 1、2、3.八、自我问答： 教学反思

高中解三角形教学反思 第11篇

本节课是一节复习课，内容是关于解直角三角形的知识的应用复习。在教学设计中，我针对学生对三角函数及对直角三角形的边角关系认识的模糊，计算能力薄弱等特点，我决定把教学的重、难点放在了解决有关实际问题的建构数学模型上。通过对知识点的回顾、基础知识的练习，例题的解题思路、例题变式练习及巩固练习等教学，绝大部分学生能很好地掌握了如何建构模型的解决方法，很好地达到了本节课的教学目的。

当然由于自己在如何上好一节复习课上还处在摸索阶段，所以在设计与安排上还存在很多不足，如本节课设计容量较大，有4个实际应用问题，学生对每个问题逐个探究解答，时间感觉比较紧。有时就有越俎代庖的感觉;本节课的教学内容是解直角三角形的应用问题。对一部分学生来说，他们从作辅助线构建直角三角形模型，到利用方程解答题目，直至描述答案都显得轻松自如；但对另外一部分学生来说，他们基础较弱，对数学的应用不是那么得心应手，不会合理构造直角三角形，也不能列出合理的方程进行解答。在课堂教学中，如何面向全体学生，如何培优与转差，这是值得思考的一个问题。

3-《解三角形应用》反思总结 第12篇

应用题教学是培养学生应用数学能力的一个良好途径。数学应用题的教学模式一般是直接给出实际问题的解决方案，再让学生用数学知识去求解.给出的实际问题有很多并不是学生所能感觉到、体会到的，往往是一些文字、符号、事实、事件等，解决方案的单一性也会使学生感到枯燥、被动.因此在大多数情况下，应用题仅是作为理论联系实际和巩固新知识的一种手段，正如谭良军在《浅谈数学应用意识及其培养》一文中指出的，传统的应用题教学中常存在这样的“假象”，即在学生学完某一知识后，就给出一个应用题，要求学生解答。这种所谓的“应用题”，有时是机械的辨别、模仿，强调的是学生解答数学问题的能力。它有助于加深学生对知识的巩固和理解，但对于培养学生的应用意识和应用能力效果甚微。

要说培养学生的应用意识，那本节得设计成一节实践探讨课，教学时先介绍测量工具，让学生清楚工具可以做哪些测量，再根据老师给出的问题自行设计解决方案.接着组织学生探讨方案的实效性.最后对可行的方案，自编数据，完成解题过程.教师只负责引领学生促使问题的探讨层层深入。

问题一：如何测量距离。

1.两点间不可拉线测量，但测量者可以到达两端。比如计算隧道的长度

2.两点中有一点不可到达，比如测量小岛到岸边的距离 3.两点都不可到达。隔河可以看到两目标A、B，但不能到达.求A、B之间的距离。

进一步深化将实际问题转化为数学问题的过程与方法，通过对问题的解决，使每一个参与者都深深地感受到了数学应用的灵活性、开放性。问题二：如何测量高度。

1.底部可以到达。比如操场上旗杆的高度 2.底部不可以到达。比如测酒店的高度 问题三：如何测量角度。比如船的航向。

将生活中的各种不可测的距离由浅入深的引入解决.让学生亲身经历和体验运用解三角形的知识可以变“不可测”为“可以算”.使学生感受到“生活处处有数学”，提高应用数学的意识。在学习过程中鼓励学生深入、开放性地提出测算方案，提倡多元思考。

如此设计改变了封闭的传统应用题解决模式，把学生的学习融入到丰富多彩的生活场景之中.通过对实际问题解决方案的设想与构造，既熟练了数学知识，又使学生发展了想象力和创造力，形成钻研精神和科学态度.另外通过对方案实效性的探讨与编题解题，加强了学生的数学表达和交流能力，同时增强了合作精神

由一题四解浅析解三角形 第13篇

关键词：解三角形；正余弦定理；多种分析方法

一、正弦定理和余弦定理是解三角形的关键

1.正弦定理■=■=■=2R（R为△ABC外接圆半径），推广：

（1）a=2RsinA b=2RsinB c=2RsinC（边化角）

（2）sinA=■ sinB=■ sinC=■（角化边）

2.余弦定理c2=a2+b2-2abcosC（求边，另两个略），推广：cosC=■（求角）

以上是两定理的内容和推广，它揭示了任意三角形边角之间的规律。利用两定理可求三角函数的值，可求三角形的内角和边，判定三角形的形状，综合考查三角变换以及深化三角形和平面向量等多种知识的运用能力，当然这也是高中数学的主要精髓之一。

二、举例分析

说明：由于篇幅有限，例子中图形已省略，个别步骤作了简化。

例子：在△ABC中，AB=4，cosB=■，AC边上的中线BD=■，求sinA的值.

解法一：设M为BC的中点，则DM∥AB，且DM=2。在△BDM中，cos∠BMD=cos（180°-∠ABC）=-■，由余弦定理，得：（■）2=BM2+22-2×2×（-■）.BM解得BM=3，BM=-5（舍去）。

则BC=6，由AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cosB=28

得AC=2■，又由正弦定理■=■，得：sinA=■

解法二：作AE⊥BC，垂足为E，延长BD到M，使DM=BD，再作MF⊥BC，垂足为F，则BE=AB·cosB=2，并且AE=2■·BF=■=8，而CF=BE=2，所以BC=BF-CF=6又EC=4，所以AC=■=2■

在△ABC中，由正弦定理，得：sinA=■

解法三：延长BD至M，使DM=BD，连接AM，CM，则ABCM为平行四边形。

于是∠BAM=180°-∠ABC，在△ABM中，由余弦定理，得： （2■）2=42+BC2-2×4·BC·（-■）

解得BC=6。再根据解法一求出AC，最后得：sinA=■

解法四：以B为原点，向量■为x轴建立直角坐标系，由sinB=■，得：向量■=（4·cosB，4·sinB）=（2，2■）.设■=（x，0），则向量■=（■，■），从而向量■的模=■=■解得x=6，于是向量■=（-4，2■），所以根据两向量夹角公式，有：■·■=■·■·cosA，得cosA=■，故sinA=■=■（负值舍去，需讨论）

三、简评

1.所有三角形的边角变换，其实就是有条件限制的三角关系式的计算与证明，在三角形的三角变换中，正余弦定理、勾股定理和直角三角形中的边角关系都是解题的关键，通过本例可以看出。

2.解三角形的有关问题，常常需作一些辅助线。如解法一中的中位线，解法二和解法三中的延长线都是解三角形中常作的辅助线，应引起学生学习的足够重视。如果不作辅助线，解题方法就受局限，甚至造成解不出的可能。

3.通过建立适当直角坐标系，利用向量或点坐标的工具解答有关边角的问题，这也是解三角形中常用的方法。本例解法四就是用解析几何知识解决纯平面几何问题的典例，希望对学生有所启迪。

4.当然，解三角形有时还要用到两角和公式、倍角公式、半角公式、和差化积、积化和差公式、推导公式、两点间距离公式等诸多公式，希望学生灵活运用，以不变应万变。

5.解三角形其主要作用是解决在实际生活中的一些应用。常见有距离、高度、角度及平面图形的面积等计算与测量问题，希望学生学习时要有应用意识与动手能力，做到学有所用。

另外，本题还可继续探讨，例如，作△ABC的外接圆或利用点坐标法是否可解。感兴趣的学生可以试试。总之，解一般三角形万变不离其宗，其要领都是平面几何与正余弦定理两方面知识的结合。

（作者单位 辽宁省本溪市机电工程学校）

解直角三角形复习反思 第14篇

为了使学生熟练掌握直角三角形的解法，我设计一个悬念、创设学习情境：在幻灯片中出示比萨斜塔，让学生通过给出的条件，能否求出倾斜的角度。当学生的兴趣被激发出来后，再抛出当天的课题：“解直角三角形”。

首先，本节课教学我结合课程标准，在对教材深入钻研的基础上，围绕知识与技能、过程与方法、情感态度价值观，制定了以“会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形”作为本节课的核心目标，“渗透数形结合的数学思想、分类思想等，培养学生良好的学习习惯”。

第二，本节课的设计，力求体现新课程理念。给学生自主探索的时间，给学生宽松和谐的氛围，让学生学得更主动、更轻松，力求在探索知识的`过程中，培养探索能力、创新精神、合作精神，激发学生学习数学的积极性、主动性。

第三，在讲授本节课时，我采用以下方法进行教学：

(1)展示图象法：将自己制作的教具展示在黑板上，也让学生根据教学的需要到黑板上画出图形及展示教具，同时播放电脑制作的动画，让学生在视听结合的环境中激发学习热情，加深体验，同时也为即将学习的问题做好铺垫，学生兴趣较高。

(2)情境引入法：通过课前创设问题情境，以学生感兴趣的，并容易回答的问题为开端，让学生在各自熟悉的环境中轻松、愉快的回答老师提出的问题后，带着成功的喜悦进入新课的学习之中，这样效率和兴趣自然就高了许多，今后应采用该法引入情境。

(3)启发教学法：在教学过程中，选用启发式教学是较为行之有效的教学方法，并且也是永恒的教学方法。在教师的启发下，让学生成为课堂的主人也是本节课堂的主要亮点之一;鼓励学生主动参与，积极展示所得结果，学生兴趣较高，效率也很好。

通过本节课的实践，我觉得也存在一些需要自己深刻反思和改进的地方。比如，例题较多，时间仓促，有点赶鸭子上架;没有根据学生的实际水平出示相应的练习，练习难度偏大;在探讨解直角三角形的依据时，处理的有些过于仓促，讲话语速太快，影响学生的思考时间;不敢放手让学生有自己去想，教师主导、主讲的情况偏多;对于例题，没有做到深入的挖掘，如求比萨斜塔的倾斜角度后，可再抛出如何求斜塔的垂直高度。

高中解三角形教学反思 第15篇

最新考纲

考情考向分析

能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.以利用正弦定理、余弦定理测量距离、高度、角度等实际问题为主，常与三角恒等变换、三角函数的性质结合考查，加强数学知识的应用性．题型主要为选择题和填空题，中档难度.实际测量中的常见问题

求AB

图形

需要测量的元素

解法

求

竖

直

高

度

底部

可达

∠ACB＝α，BC＝a

解直角三角形

AB＝atan

α

底部不可达

∠ACB＝α，∠ADB＝β，CD＝a

解两个直角三角形

AB＝

求

水

平

距

离

山两侧

∠ACB＝α，AC＝b，BC＝a

用余弦定理

AB＝

河两岸

∠ACB＝α，∠ABC＝β，CB＝a

用正弦定理AB＝

河对岸

∠ADC＝α，∠BDC＝β，∠BCD＝δ，∠ACD＝γ，CD＝a

在△ADC中，AC＝；

在△BDC中，BC＝；

在△ABC中，应用

余弦定理求AB

知识拓展

实际问题中的常用术语

1．仰角和俯角

与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图①)．

2．方向角

相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等．

3．方位角

指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．

4．坡度(又称坡比)

坡面的垂直高度与水平长度之比．

题组一　思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.(×)

(2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为.(×)

(3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系．(√)

(4)方位角大小的范围是[0,2π)，方向角大小的范围一般是.(√)

题组二　教材改编

2.[P11例1]如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50

m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为________

m.答案　50

解析　由正弦定理得＝，又∵B＝30°，∴AB＝＝＝50(m)．

3．[P13例3]如图，在山脚A测得山顶P的仰角为30°，沿倾斜角为15°的斜坡向上走a米到B，在B处测得山顶P的仰角为60°，则山高h＝______米．

答案　a

解析　由题图可得∠PAQ＝α＝30°，∠BAQ＝β＝15°，△PAB中，∠PAB＝α－β＝15°，又∠PBC＝γ＝60°，∴∠BPA＝－＝γ－α＝30°，∴＝，∴PB＝a，∴PQ＝PC＋CQ＝PB·sin

γ＋asin

β

＝a×sin

60°＋asin

15°＝a.题组三　易错自纠

4．在某次测量中，在A处测得同一半平面方向的B点的仰角是60°，C点的俯角是70°，则∠BAC等于()

A．10°

B．50°

C．120°

D．130°

答案　D

5.如图所示，D，C，B三点在地面的同一条直线上，DC＝a，从C，D两点测得A点的仰角分别为60°，30°，则A点离地面的高度AB＝________.答案　a

解析　由已知得∠DAC＝30°，△ADC为等腰三角形，AD＝a，所以在Rt△ADB中，AB＝AD＝a.6．在一次抗洪抢险中，某救生艇发动机突然发生故障停止转动，失去动力的救生艇在洪水中漂行，此时，风向是北偏东30°，风速是20

km/h；水的流向是正东，流速是20

km/h，若不考虑其他因素，救生艇在洪水中漂行的方向为北偏东________，速度的大小为________

km/h.答案　60°　20

解析　如图，∠AOB＝60°，由余弦定理知OC2＝202＋202－800cos

120°＝1

200，故OC＝20，∠COy＝30°＋30°＝60°.题型一　求距离、高度问题

1．(2018·吉林长春检测)江岸边有一炮台高30

m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距____m.答案　10

解析　如图，OM＝AOtan

45°＝30(m)，ON＝AOtan

30°＝×30

＝10(m)，在△MON中，由余弦定理得，MN＝

＝＝10

(m)．

2.(2017·郑州一中月考)如图所示，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角为α，在塔底C处测得A处的俯角为β.已知铁塔BC部分的高为h，则山高CD＝________.答案

解析　由已知得，∠BCA＝90°＋β，∠ABC＝90°－α，∠BAC＝α－β，∠CAD＝β.在△ABC中，由正弦定理得＝，即＝，∴AC＝＝.在Rt△ACD中，CD＝ACsin∠CAD＝ACsin

β＝.故山高CD为.3．(2018·日照模拟)一船以每小时15

km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60°的方向上，行驶4

h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°的方向上，这时船与灯塔的距离为________

km.答案　30

解析　如图，由题意知，∠BAC＝30°，∠ACB＝105°，∴B＝45°，AC＝60，由正弦定理得＝，∴BC＝30(km)．

思维升华

求距离、高度问题的注意事项

(1)选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．

(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．

题型二　求角度问题

典例

如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，则cos

θ的值为________．

答案

解析　在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°，由余弦定理得

BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos

120°＝2

800，得BC＝20.由正弦定理，得＝，即sin∠ACB＝·sin∠BAC＝.由∠BAC＝120°，知∠ACB为锐角，则cos∠ACB＝.由θ＝∠ACB＋30°，得cos

θ＝cos(∠ACB＋30°)

＝cos∠ACBcos

30°－sin∠ACBsin

30°＝.思维升华

解决测量角度问题的注意事项

(1)首先应明确方位角或方向角的含义；

(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步；

(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正弦、余弦定理的“联袂”使用．

跟踪训练　如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°的方向上，灯塔B在观察站C的南偏东60°的方向上，则灯塔A在灯塔B的______的方向上．

答案　北偏西10°

解析　由已知∠ACB＝180°－40°－60°＝80°，又AC＝BC，∴∠A＝∠ABC＝50°，60°－50°＝10°，∴灯塔A位于灯塔B的北偏西10°的方向上．

题型三　三角形与三角函数的综合问题

典例

(2018·石家庄模拟)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，(2a－c)cos

B－bcos

C＝0.(1)求角B的大小；

(2)设函数f(x)＝2sin

xcos

xcos

B－cos

2x，求函数f(x)的最大值及当f(x)取得最大值时x的值．

解(1)因为(2a－c)cos

B－bcos

C＝0，所以2acos

B－ccos

B－bcos

C＝0，由正弦定理得2sin

Acos

B－sin

Ccos

B－cos

Csin

B＝0，即2sin

Acos

B－sin(C＋B)＝0，又C＋B＝π－A，所以sin(C＋B)＝sin

A.所以sin

A(2cos

B－1)＝0.在△ABC中，sin

A≠0，所以cos

B＝，又B∈(0，π)，所以B＝.(2)因为B＝，所以f(x)＝sin

2x－cos

2x＝sin，令2x－＝2kπ＋(k∈Z)，得x＝kπ＋(k∈Z)，即当x＝kπ＋(k∈Z)时，f(x)取得最大值1.思维升华

三角形与三角函数的综合问题，要借助三角函数性质的整体代换思想，数形结合思想，还要结合三角形中角的范围，充分利用正弦定理、余弦定理解题．

跟踪训练　设f(x)＝sin

xcos

x－cos2.(1)求f(x)的单调区间；

(2)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若f＝0，a＝1，求△ABC面积的最大值．

解(1)由题意知f(x)＝－

＝－＝sin

2x－.由－＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z,可得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z；

由＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z,可得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.所以f(x)的单调递增区间是

(k∈Z)；

单调递减区间是(k∈Z)．

(2)由f＝sin

A－＝0，得sin

A＝，由题意知A为锐角，所以cos

A＝.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos

A，可得1＋bc＝b2＋c2≥2bc，即bc≤2＋，当且仅当b＝c时等号成立．

因此bcsin

A≤.所以△ABC面积的最大值为.函数思想在解三角形中的应用

典例

(12分)某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇．

(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？

(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．

思想方法指导　已知两边和其中一边的对角解三角形时，可以设出第三边，利用余弦定理列方程求解；对于三角形中的最值问题，可建立函数模型，转化为函数最值问题解决．

规范解答

解(1)设相遇时小艇航行的距离为S海里，则[1分]

S＝

＝＝.[3分]

故当t＝时，Smin＝10，v＝＝30.即小艇以30海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．[6分]

(2)设小艇与轮船在B处相遇．

则v2t2＝400＋900t2－2·20·30t·cos(90°－30°)，[8分]

故v2＝900－＋.∵0

故可设计航行方案如下：

航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/小时．[12分]

1．(2018·武汉调研)已知A，B两地间的距离为10

km，B，C两地间的距离为20

km，现测得∠ABC＝120°，则A，C两地间的距离为()

A．10

km

B．10

km

C．10

km

D．10

km

答案　D

解析　如图所示，由余弦定理可得，AC2＝100＋400－2×10×20×

cos

120°＝700，∴AC＝10.2．(2018·襄阳模拟)如图，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的()

A．北偏东10°

B．北偏西10°

C．南偏东80°

D．南偏西80°

答案　D

解析　由条件及图可知，∠A＝∠CBA＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B的南偏西80°.3．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是()

A．10

海里

B．10

海里

C．20

海里

D．20

海里

答案　A

解析　如图所示，易知，在△ABC中，AB＝20，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，根据正弦定理得

＝，解得BC＝10.4．(2018·广州模拟)如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60

m，则河流的宽度BC等于()

A．240(＋1)m

B．180(－1)m

C．120(－1)m

D．30(＋1)m

答案　C

解析　如图，∠ACD＝30°，∠ABD＝75°，AD＝60

m，在Rt△ACD中，CD＝＝

＝60(m)，在Rt△ABD中，BD＝＝＝

＝60(2－)m，∴BC＝CD－BD＝60－60(2－)＝120(－1)m.5.如图，两座相距60

m的建筑物AB，CD的高度分别为20

m，50

m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为()

A．30°

B．45°

C．60°

D．75°

答案　B

解析　依题意可得AD＝20，AC＝30，又CD＝50，所以在△ACD中，由余弦定理得cos∠CAD＝

＝＝＝，又0°<∠CAD<180°，所以∠CAD＝45°，所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.6．(2018·郑州质检)如图所示，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB等于()

A．5

B．15

C．5

D．15

答案　D

解析　在△BCD中，∠CBD＝180°－15°－30°＝135°.由正弦定理得＝，所以BC＝15.在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝15×＝15.故选D.7．轮船A和轮船B在中午12时同时离开海港C，两船航行方向的夹角为120°，两船的航行速度分别为25

n

mile/h,15

n

mile/h，则下午2时两船之间的距离是________n

mile.答案　70

解析　设两船之间的距离为d，则d2＝502＋302－2×50×30×cos

120°＝4

900，∴d＝70，即两船相距70

n

mile.8．(2018·哈尔滨模拟)如图，某工程中要将一长为100

m，倾斜角为75°的斜坡改造成倾斜角为30°的斜坡，并保持坡高不变，则坡底需加长________m.答案　100

解析　设坡底需加长x

m，由正弦定理得＝，解得x＝100.9．(2018·青岛模拟)一船向正北航行，看见正西方向相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时________海里．

答案　10

解析　如图所示，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10，在Rt△ABC中，得AB＝5，于是这艘船的速度是＝10(海里/时)．

10.如图，在山底A点处测得山顶仰角∠CAB＝45°，沿倾斜角为30°的斜坡走1

000米至S点，又测得山顶仰角∠DSB＝75°，则山高BC为________米．

答案　1

000

解析　由题图知∠BAS＝45°－30°＝15°，∠ABS＝45°－(90°－∠DSB)＝30°，∴∠ASB＝135°，在△ABS中，由正弦定理可得＝，∴AB＝1

000，∴BC＝＝1

000.11．(2018·泉州质检)如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2分钟，从D沿DC走到C用了3分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径为________米．

答案　50

解析　如图，连接OC，在△OCD中，OD＝100，CD＝150，∠CDO＝60°.由余弦定理得OC2＝1002＋1502－2×100×150×cos

60°＝17

500，解得OC＝50.12.如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．

(1)求渔船甲的速度；

(2)求sin

α的值．

解(1)依题意知，∠BAC＝120°，AB＝12，AC＝10×2＝20，∠BCA＝α.在△ABC中，由余弦定理，得

BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC

＝122＋202－2×12×20×cos

120°＝784，解得BC＝28.所以渔船甲的速度为＝14(海里/小时)．

(2)在△ABC中，因为AB＝12，∠BAC＝120°，BC＝28，∠BCA＝α，由正弦定理，得＝，即sin

α＝＝＝.13.(2018·德阳模拟)如图，在水平地面上有两座直立的相距60

m的铁塔AA1和BB1.已知从塔AA1的底部看塔BB1顶部的仰角是从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角的2倍，从两塔底部连线中点C分别看两塔顶部的仰角互为余角．则从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角的正切值为________；塔BB1的高为________

m.答案　　45

解析　设从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角为α，则AA1＝60tan

α，BB1＝60tan

2α.∵从两塔底部连线中点C分别看两塔顶部的仰角互为余角，∴△A1AC∽△CBB1，∴＝，∴AA1·BB1＝900，∴3

600tan

αtan

2α＝900，∴tan

α＝，tan

2α＝，则BB1＝60tan

2α＝45.14.如图，据气象部门预报，在距离某码头南偏东45°方向600

km处的热带风暴中心正以20

km/h的速度向正北方向移动，距风暴中心450

km以内的地区都将受到影响，则该码头将受到热带风暴影响的时间为________h.答案　15

解析　记现在热带风暴中心的位置为点A，t小时后热带风暴中心到达B点位置，在△OAB中，OA＝600，AB＝20t，∠OAB＝45°，根据余弦定理得OB2＝6002＋400t2－2×600×20t×，令OB2≤4502，即4t2－120t＋1

575≤0，解得≤t≤，所以该码头将受到热带风暴影响的时间为－＝15.15.如图所示，经过村庄A有两条夹角为60°的公路AB，AC，根据规划要在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M，N(异于村庄A)，要求PM＝PN＝MN＝2(单位：千米)．记∠AMN＝θ.(1)将AN，AM用含θ的关系式表示出来；

(2)如何设计(即AN，AM为多长时)，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离AP最大)?

解(1)∠AMN＝θ，在△AMN中，由正弦定理，得

＝＝，所以AN＝sin

θ，AM＝sin(120°－θ)．

(2)AP2＝AM2＋MP2－2AM·MP·cos∠AMP

＝sin2(θ＋60°)＋4－sin(θ＋60°)cos(θ＋60°)

＝[1－cos(2θ＋120°)]－sin(2θ＋120°)＋4

＝－[sin(2θ＋120°)＋cos(2θ＋120°)]＋

＝－sin(2θ＋150°)，θ∈(0°，120°)(其中利用诱导公式可知sin(120°－θ)＝sin(θ＋60°))，当且仅当2θ＋150°＝270°，即θ＝60°时，工厂产生的噪声对居民的影响最小，此时AN＝AM＝2千米．

16．已知△ABC的三内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量m＝(cos

B，cos

C)，n＝(2a＋c，b)，且m⊥n.(1)求角B的大小；

(2)若b＝，求a＋c的取值范围．

解(1)∵m＝(cos

B，cos

C)，n＝(2a＋c，b)，且m⊥n，∴(2a＋c)cos

B＋bcos

C＝0，由正弦定理，得cos

B(2sin

A＋sin

C)＋sin

Bcos

C＝0，∴2cos

Bsin

A＋cos

Bsin

C＋sin

Bcos

C＝0，即2cos

Bsin

A＝－sin(B＋C)＝－sin

A.∵A∈(0，π)，∴sin

A≠0，∴cos

B＝－.∵0

b2＝3＝a2＋c2－2accos

＝a2＋c2＋ac＝(a＋c)2－ac≥(a＋c)2－2＝(a＋c)2，当且仅当a＝c时取等号．