分式及不等式应用题

分式及不等式应用题（精选6篇）

分式及不等式应用题 第1篇

1、某商场计划投入一笔资金采购一批紧俏商品，经市场调研发现，如果本月初出售，可获利10%，然后将本利再投资其它商品，到下月初又可获利10%；如果下月初出售可获利25%，但要支付仓储费8000元，请你根据商场的资金情况，向商场提出合理化建议，说明何时出售获利较多？

2、某医药研究所开发了一种新药，在实验药效时发现，如果成人按规定剂量服用，那么服药后2小时时血液中含量最高，达每毫升6微克，接着逐步衰减，10小时时血液中含药量为每毫升3微克，每毫升血液中含药量y微克随时间x（小时）变化如图所示，当成人按规定剂量服药后，（1）分别求出x＜2和x＞2时y与x的函数关系式；

（2）如果每毫升血液中含药量为4微克或4微克以上时在治疗疾病时是有效的，那么这个有效时间是多长？

3、小明、小颖两名同学在学校冬季越野赛中的路程（千米）与时间（分）的函数关系如图所示。

（1）根据图像提供的数据，求比赛开始后，两人第一次相遇所用的时间；

（2）求小颖的速度；

（3）求终点距离起点的距离是多少？

4、某商场销售某种商品，第一个月将此商品的进价加价20%作为销售价，共获利6000元，第二个月商场搞促销活动，将商品的进价加价10%作为销售价，第二个月的销售量比第一个月增加了100件，并且商场第二个月比第一个月多获利2000元，问：此商品进价是多少元？商场第二个月共销售多少件？

5、某商人用7200元购进甲、乙两种商品，然后卖出，若每种商品均用去一半的钱，则一共可购进750件；若用2的钱买甲种商品，其余的钱买乙种商品，则要少购进50件。卖出时，3

甲种商品可盈利25%。（1）求甲、乙两种商品的购进价和卖出价；

（2）因市场需求总量有限，每种商品最多只能卖出600件，那么该商人应采取怎样的购货方式才能获得最大利润？最大利润是多少？

分式及不等式应用题 第2篇

-------------密--------------------封-------------------线---------不等式、分式计算应用题综合复习卷

一、选择题

1.(2010 山东省泰安市)若关于x的不等式xm0，的整数解共有4个，则m的取值范围是（）72x≤1

A．6m7B．6≤m7C．6≤m≤7Ｄ．6m≤7

2.(2010 湖南省益阳市)货车行驶25千米与小车行驶35千米所用时间相同，已知小车每小时比货车多行驶

20千米,求两车的速度各为多少?设货车的速度为x千米/小时,依题意列方程正确的是

Ａ．***5Ｂ．Ｃ．Ｄ． xx20x20xxx20x20x

3.(2010 黑龙江省大庆市)某工程队铺设一条480米的景观路，开工后，由于引进先进设备，工作效率比原计划提高50%，结果提前4天完成任务．若设原计划每天铺设x米，根据题意可列方程为（）

A．***4804804804B．4 4C．4D．(150%)xx(150%)xxx(150%)xx(150%)x

4.(2011 辽宁省沈阳市)小明乘出租车去体育场，有两条路线可供选择：路线一的全程是25千米，但交通比较拥堵，路线二的全程是30千米，平均车速比走路线一时的平均车速能提高80%，因此能比走路线一少用10分钟到达．若设走路线一时的平均速度为x千米/小时，根据题意，得（）A．25x3010 (180%)x60B．25x3010(180%)xC．302510D．302510

(180%)xx60(180%)xx

2x13x1，5.(2011 山东省威海市)如果不等式组的解集是x2，那么m的取值范围是（）xm

A．m2B．m2C．m2D．m≥2 6.(2011 黑龙江省绥化市)分式方程xm1有增根，则m的值为（）x1(x1)(x2)

A．0和3B．1C．1和2D．

37.(2011 重庆市綦江县)在实施“中小学生蛋奶工程”中，某配送公司按上级要求，每周向学校配送鸡蛋10000个，鸡蛋用甲、乙两种不同规格的包装箱进行包装，若单独使用甲型包装箱比单独使用乙型包装箱可少用10个，每个甲型包装箱比每个乙型包装箱可多装50个鸡蛋，设每个甲型包装箱可装x个鸡蛋，根据题意下列方程正确的是（）A．100001000010B．100001000010C．100001000010D．100001000010

xx50x50xxx50x50x

二、填空题

8.(2011 湖北省襄阳市)关于x的分式方程m3+=1的解为正数，则m的取值范围是． x11x

１

三、计算题

9.(2010 浙江省嘉兴市)（1）解不等式：3x2x4；（2）解方程：xx12． x1x

7xx≤1，x331.11.(2011 宁夏)解不等式组10.(2011 宁夏)解方程： x1x2x283．

2x3x31x，(1)20． 12.(2011佛山)解不等式组213.(2011 山东)解方程：x1x1x(3x1)≥5．(2)

x2≥0，14.(2011 四川省成都市)解不等式组：3x12x1并写出该不等式组的最小整数解.．32

２

2x≥02x21．15.(2011 四川)求不等式组x12x11的整数集．16.(2011 四川)解方程： 2x52x5233

17.(2011昆明)

31x218.(2011 湖北)解关于x1.x22xx3x

1四、应用题

19.(2011 山东省聊城市)徒骇河风景区建设是今年我市重点工程之一．某工程公司承担了一段河底清淤任务，需清淤4万方，清淤1万方后，该公司为提高施工进度，又新增一批工程机械参与施工，工效提高到原来的2倍，共用25天完成任务．问该工程公司新增工程机械后每天清淤多少方？

20.(2011 广东省清远市)某电器城经销A型号彩电，今年四月份每台彩电售价为2000元，与去年同期相比，结果卖出彩电的数量相同，但去年销售额为5万元，今年销售额只有4万元． ．．．．

（1）问去年四月份每台A型号彩电售价是多少元？

（2）为了改善经营，电器城决定再经销B型号彩电．已知A型号彩电每台进货价为1800元，B型号彩电每台进货价为1500元，电器城预计用不多于3.3万元且不少于3.2万元的资金购进这两种彩电共20台，问有哪几种进．．

货方案？

（3）电器城准备把A型号彩电继续以原价每台2000元的价格出售，B型号彩电以每台1800元的价格出售，在这批彩电全部卖出的前提下，如何进货才能使电器城获利最大？最大利润是多少？

３

21.(2011 广西桂林市)某校志愿者团队在重阳节购买了一批牛奶到“夕阳红”敬老院慰问孤寡老人，如果给每个老人分5盒，则剩下38盒，如果给每个老人分6盒，则最后一个老人不足5盒，但至少分得一盒．

（1）设敬老院有x名老人，则这批牛奶共有多少盒？（用含x的代数式表示）

（2）该敬老院至少有多少名老人？最多有多少名老人？

22.(2011 广西南宁市)南宁市五象新区有长为24000米的新建道路要铺上沥青．

（1）写出铺路所需时间t（单位：天）与铺路速度v（单位：米/天）的函数关系式；

（2）负责铺路的工程公司现有的铺路机每天最多能铺路400米，预计最快多少天可以完成铺路任务？

（3）为加快工程进度，公司决定投入不超过400万元的资金，购进10台更先进的铺路机，现有甲、乙两种机器可供选择，其中每种机器的价格和每台机器日铺路的能力如下表．在原有的铺路机连续铺路40天后，新购进的10台机器加入铺路，公司要求至少比原预计的时间提前10天完成任务．问：有哪几种购买方案？请你通过计算说明选择哪种方案所用资金最少．

分式及不等式应用题 第3篇

变式一:当m > 0, b > 0 时, , .

这个变式很容易获得, 用来证明形如这种结构特征的分式不等式, 就有其用武之地.

例1已知a, b, c>0, 求证: (第二届“友谊杯”国际数学竞赛邀请赛试题)

证明由b + c > 0, 变式一得:

以上三式相加, 得:

例2已知a, b, c>0) , 求证:. (第26届美国数学奥林匹克USAMO试题)

所以, , 当且仅当a=b=c时, 取“=”号.

变式二:当m > 0, b > 0 时, .

例3已知a, b, c>0, 且abc=1, 求证:. (第36届IMO第2题)

相加, 整理, 得

即原不等式成立, 当且仅当a=b=c时, 取“=”号.

变式三:若a, b>0, 则.

事实上, 由a, b > 0, a2+ b2≥ 2ab, 两边同除以a2, 得.

例4已知x>0, y>0, 求证:.

证明由x>0, y>0, 变式 (二) 得:

相加, 得:

, 当且仅当x = y = z时, 取“=”号.

变式四:若a, b>0, 则.

由a, b>0, a2+b2≥2ab, 得

例5已知ai>0, i=1, 2, 3, …, n, 且, 求证:

(第24届全苏联中学生IMO试题) .

证明由ai> 0, i = 1, 2, 3, …, n变式 (三) 知:

相加, 得:

所以, (当且仅当a1=a2=a3=…=ai时, 取“=”号) .

变式五:若a, b > 0, 则

由变式 (二) 便知该不等式成立, 适应于证明一类无理型分式不等式.

例6 已知a > 0, b > 0, c > 0, 求证:

证明:由, 令a=1, 得:

当且仅当a = b = c = 1 时, 取“=”号

变式六:若a, b∈R, 则或.

一类分式不等式的证法 第4篇

含参数的柯西不等式:

(aibi)2=[(λiai)•()]2≤(λ2 ia2 i)•(),其中λi>0(i=1,2,…n)

利用此不等式证明数学竞赛中某些难度较大的分式不等式,只要恰当地选取aibi和λ2 i,问题即可获证,这种方法简捷明快,易于操作。

例1.设ai,bi∈R+(i=1,2,…,n),且满足ai=bi.

求证:≥ai.

证明:(ai)2=[(λi•)]2≤(λ2 i)()

令λ2i=ai+bi=(i=1,2,…,n),则λ2 i=(ai+bi)=2ai,

则≥=ai.

例2.已知a1,a2,…,ak,…为互不相同的正整数,求证:对任何正整数n,不等式≥成立。

证明:()2=[(•)]2≤,

令λ2 k=ak(k=1,2,…,n),则

=≤,

所以≥=.

例3.设a,b,c,d是满足ab+bc+cd+da=1的正实数,求证:

+++≥.

证明:(a2+b2+c2+d2)2=(λ1•+λ2•+λ3•+λ4•)2

≤(λ2 1+λ2 2+λ2 3+λ2 4)(+++)

令λ2 1=a(b+c+d),λ2 2=b(c+d+a),λ2 3=c(d+a+b),λ2 4=d(a+b+c)

由均值不等式可知:λ2 1+λ2 2+λ2 3+λ24 ≤3(a2+b2+c2+d2)

所以+++≥

=(a2+b2+c2+d2)≥(ab+bc+cd+da)=.

二、构造对偶式

在数学竞赛和数学问题研究中,常常要证明分式不等式,发现若给原分式P配上恰当的对偶式Q,则产生简捷明快的证法。

1.循环配对。

循环配对是将原分式P的分子或分母作循环变换后而生成的新的对偶分式Q。

例4.已知x,y,z∈R+,试证:++≥0.

证明:令P=++,Q=++,则P+Q=++=0.

P-Q=(-)+(-)+(-)

=++

=++≥0.

故P=≥0.

2.簡化配对。

简化配对是将原分式P的分子简化而生成的配对分式Q.

例5.设λ,μ∈R+,0

证明:令P=++,Q=++,则μP-λQ=μ(++)-λ(++)=-3.

而Q≥≥==,故P=Q-≥•-=.

3.取整配对。

取整配对是将原分式的取分母的倒数,再添上恰当的系数或变元而生成的对偶分式。

例6.设正数a1,a2,…,an的和为1,求证:

++…++≥

证明:令P=++…++

Q=++…++,则

P+Q=(+)+(+)+…+(+)+(+)≥a1+a2+…+an=1

而Q==,故P≥1-Q=.

三、运用等比数列的各项和公式

对于一些分式不等式,可以利用无穷等比数列各项和公式及幂平均不等式给出证明,由无穷等比数列各项公式知,若|x|<1,则=a+ax+ax2+…

例7.已知a,b,c∈R+,求证:++≥.

分式不等式练习 第5篇

f(x)f(x)f(x)00(或01）标准化：移项通分化为(或)；g(x)g(x)g(x)

f(x)0)的形式，g(x)

2）转化为整式不等式（组）

f(x)g(x)0f(x)f(x)0f(x)g(x)0；0 g(x)g(x)g(x)0

解分式不等式：

x52x3001、2、x4x2

2x312x104、3、x2x3

分式及不等式应用题 第6篇

学习目标：

1．复习巩固一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握掌握简单的分式不等式和特殊的高次不等式的解法；

2．激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会从不同侧面观察同一事物思想。

重点：简单的分式不等式和特殊的高次不等式的解法。难点：正确串根。一．基础知识

1.分式不等式解法

f(x)

g(x)0f(x)g(x)0f(x)

g(x)0f(x)g(x)0f(x)

0

f(x)g(x)0g(x)g(x)0

f(x)0

f(x)g(x)0g(x)

g(x)0

2.高次不等式解法：数轴标根

二．典型例题

例1解下列不等式

（1）x－

32x＋7

＜0（2）3＋x ＜0

（3）4x－3＞2－x3－x

－3（4）3

x ＞

1例2 解下列不等式：

（1）(x+1)(x-1)(x-2)>0（2）（-x-1)(x-1)(x-2)<0

(3)x(x-1)2(x+1)3(x+2)≤0（4）（x-3)(x+2)(x-1)2(x-4)>0

（5）2x3x215x0（6）(x4)(x5)2

(2x)3

0．

（7）32

x24x1x21

x2（8）1

3x27x2

三．课堂练习

1.不等式2x1

3x1

0的解集是（）

A.{x|x13或x12B.{x|13x111

2C.{x|x2D.{x|x3

2.不等式

x1

x

≥2的解集为（）A.[1,0)B.[1,)C.(,1]D.(,1

](0,

3．（04重庆）不等式x

2x1

2的解集是（）A．(1,0)(1,)B．(,1)(0,1)C．(1,0)(0,1)D．(,1)(1,)4．（04天津）不等式x1

x

2的解集为（）

A．[1,0)B．[1,)C．(,1]D．(,1](0,)

(x1)25.不等式(2x)

x(4x)≥0的解集为

6,(1)不等式x3x3

x2>0的解集是;(2)不等式x2

≥0的解集是;

(3)不等式

x21x≥0的解集是;(4)不等式-2<1

x

≤3的解集是;(5)不等式(x2-x+1)(x+1)(x-4)(6-x)>0的解集是.x2

7．不等式x－1

>x＋1的解集是.8.解下列不等式：(1)2x1

x

4≥0(2)x22x1x1≥0

(3)x22x3

x2

x6

<0(4)(x1)2(x1)(x2)(x4)0(5)x1x3x41x<0

(6)

xx2x37x28x≥0;(7)4x20x18x2

5x4

≥3;(8)x-3≥4

x;

（9）(x2-x+1)(x+1)(x-4)(6-x)≥0；（10）(x2-x+1)(x+1)(x-4)2(6-x)>0.9．解关于x的不等式xa

xa2

0(aR).10已知不等式ax

x1

<1的解集为{x|x<1或x>2},求a.11思考题：

解关于x的不等式：(x-x2+12)(x+a)<0.四、小 结

1．特殊的高次不等式即右边化为0，左边可分解为一次或二次式的因式的形式不等式，一般用区间法解，注意：①左边各因式中x的系数化为“+”，若有因式为二次的（不能再分解了）二次项系数也化为“+”，再按我们总结的规律作；②注意边界点（数轴上表示时是“0”还是“.”）.2．分式不等式，切忌去分母，一律移项通分化为

f(x)f(g(x)>0(或x)

g(x)

<0)的形式，转化为：

f(x)g(x)0g(x)0(或f(x)g(x)0

