二元二次方程范文

二元二次方程范文（精选11篇）

二元二次方程 第1篇

一、巧用代入法

代入法是解二元二次方程组最基本的方法, 但代入法也有其巧妙的地方.

分析由 (2) 提公因式发现 (1) 式的整体出现, 那么即可代入 (1) 式简化整个式子.

解由 (2) 得:x2 (x-y) +2x (x-y) +1=0. (3)

将 (1) 代入 (3) 式得:x2-2x+1=0, 即x=1.

由 (1) 式得y=0

注意本题关键是在 (2) 式中寻找“x-y”整体, 再采用代入法.

二、巧用消元法

消元法解二元二次方程组也是常选择的方法, 消元法包括消二次项、消常数项以及同时消二次项、二元项等, 需要我们根据题目选择最佳的方法.

分析观察题目可知二次项系数x, y不对应成比例, 可适当变形方程 (2) 为2x2-4y2+x2=-5.

解由 (1) 2- (2) , 得x2-2x+1=0, 即x=1.

解得

三、巧用换元法

在计算过程中合理利用换元法可以使复杂的方程简单化, 减轻计算量.

分析若直接用代入法或者消元法计算都比较复杂, 考虑换元.

注意可将值一一代入原方程检验.

四、巧用因式分解

因式分解是乘法公式的逆运算, 因式分解的特点之一是降次, 在解二元二次方程组时运用因式分解可以将方程化简.

分析 (2) 式是一个可分解的方程, 即可达到降次的目的.

解将 (2) 式化简为: (x-2y) (x-3y) =0.

五、巧用方程

=c+d

在解二元二次方程组的时候, 若遇到形如=c+d的等式 (c, d均为常数) , 根据等式的性质可令x=c或x=d, 求解x的值.

分析由 (2) 式得, 代入 (1) 即可得到类似x+=c+d的形式.

解由 (2) 知:x≠0且y=. (3)

将 (3) 代入 (1) 得:x2+=5.

注意关键是 (4) 式形如x+=c+d的转化.

六、巧用判别式

在解一元二次方程的根时, 用判别式判断一个方程是否有根, 在解较复杂二元二次方程组时可以借助方程有根的特点解方程.

分析要以判别式来求解, 需将 (1) 式变形为关于x的方程.

解即x2- (y+3) x+y2+3=0. (3)

由于x, y均为实数, 方程 (1) 有解,

所以Δ=[- (y+3) ]2-4 (y2+3) ≥0, 即 (y-1) 20.

而 (y-1) 2≥0, 所以 (y-1) 2=0, 则y=1.

将y=1代入 (3) 式:x2-4x+4=0, 即x=2.综上

注意

可将结果代入 (2) 式验证计算结果.

“二元一次方程组”单元练习 第2篇

1. 下列方程组中是二元一次方程组的是（ ）.

A. xy=1，x+y=2. B. 5x-2y=3，■+y=3. C. 2x+z=0，3x-y=■. D.x=5，■+■=7.

2. 若x=1，y=2是关于x、y的二元一次方程ax-3y=1的解，则a的值为（ ）.

A. -5 B. -1 C. 2 D. 7

3. 由方程组x+m=6，y-3=m可得出x与y的关系式是（ ）.

A. x+y=9 B. x+y=3 C. x+y=-3 D. x+y=-9

4. 方程2x-y=1和2x+y=7的公共解是（ ）.

A. x=0，y=-1. B. x=0，y=7. C. x=1，y=5. D. x=2，y=3.

5. 若方程组3x+2y=a+2，2x+3y=a的解x与y的和是2，则a的值为（ ）.

A. -4 B. 4 C. 0 D. 任意数

6. 解方程组ax+by=2，cx-7y=8时，一学生把c看错而解得x=-2，y=2.而正确的解是x=3，y=-2.那么a、b、c的值是（ ）.

A. 不能确定 B. a=4，b=5，c=-2

C. a、b不能确定，c=-2 D. a=4，b=7，c=2

二、 精心填一填

7. 请写出方程x+2y=7的一个正整数解_______.

8. 若3a7xby+7和-7a2-4yb2x是同类项，则x=_______，y=_______.

9. 若一个二元一次方程的一个解为x=2，y=-1，则这个方程可以是______.（只要写出一个）.

10. 若关于x、y的方程组4x+y=5，3x-2y=1和ax+by=3，ax-by=1有相同的解，则a=_______，b=_______.

11. 若（2x-3y+5）2+|x+y-2|=0，则x=_______，y=_______.

12. 一个两位数的十位数字与个位数字的和为8，若把这个两位数加上18，正好等于将这个两位数的十位数字与个位数字对调后所组成的新两位数，则原来的两位数为_______.

三、 用心做一做

13. 解方程组：

（1） x+2y=9，y-3x=1. （2） x+4y=14，■-■=■.

14. 已知二元一次方程：（1） x+y=4；（2） 2x-y=2；（3） x-2y=1.

请从这3个方程中选择你喜欢的2个方程，组成一个方程组，并求出这方程组的解.

15. 若方程组ax+by=4，bx+a=2与方程组2x+3y=3，4x-5y=-5的解相同，则a，b的值分别是多少？

16. 已知方程ax+by=11，它的解是x=1，y=-4，x=5，y=2.求a，b的值.

17. 有黑白两种小球各若干只，且同色小球的质量均相同，在如图所示的两次称量中天平恰好平衡，若每只砝码的质量均为5克，则每只黑球和白球的质量各是多少克？

18. 夏季奥运会的比赛门票开始接受公众预订.下表为奥运会官方票务网站公布的几种球类比赛的门票价格，球迷小王用8 000元作为预订下表中比赛项目门票的资金.

（1） 若全部资金用来预订男篮门票和乒乓球门票共10张，问男篮门票和乒乓球门票各订多少张？

（2） 小王想用全部资金预订男篮、足球和乒乓球3种门票共10张，他的想法能实现吗？请说明理由.

参考答案

1. D 2. D 3. A 4. D 5. B 6. B

7. 答案不唯一，如：x=1，y=3. 8. x=2，y=-3 9. 答案不唯一，如x+y=1.

10. a=2，b=1 11. x=■，y=■ 12. 35

13. （1） x=1，y=4. （2） x=3，y=■.

14. （1）（2）组合的解为x=2，y=2.（1）（3）组合的解为x=3，y=1.（2）（3）组合的解为x=1，y=0.

15. a=2，b=4.

16. a=3，b=-2.

17. 黑球是3克，白球是1克.

18. （1） 男篮门票6张，乒乓球门票4张.

（2） 男篮门票3张，足球门票5张，乒乓球门票2张.

解二元方程组的技巧和方法 第3篇

本文综合了解二元方程 (组) 的各种类型, 也包括了解二元方程 (组) 所需要用到的一些基础知识和有关的一些技巧。解此类题目的关键是根据方程组的特征, 认真分析问题, 灵活运用代入消元法或加减消元法等技巧和方法, 以达到消元和降次的目的。从而顺利的解决问题。

现举几个例子供学生学习及复习时参考, 望能对学生有所帮助。

一、整体代入法

解:由 (1) 得3 (x+5) =y+23, 代入 (2) 得

5 (y-1) =y+23, 解之得, y=7

二、整体加减法

三、参数法

解:设y=k-2, 则由 (1) 得x=5k-1, 将其代入 (2) 可得k=1

四、消常数项法

解: (1) 8+ (2) 得:4.5x-3y=0, y=1.5x代入 (2) 得:

五、观察法

以上是二元一次方程组的一些特殊解法。下面再谈谈二元二次方程组的一些特殊方法。

一、代入法

由一个二元二次方程和一个二元一次方程所组成的方程组, 通常用代入法求解, 这是基本的消元降次方法。

解:由 (1) 得:x=7-y (3)

把 (3) 代入 (2) 得:7y-y2=12,

解之得:y1=3, y2=4

将其代入 (3) 得x1=4, x2=3

二、韦达定理法

形如:x+y=a xy=b (a2≥4b) 的方程组均可利用韦达定理求解。

解:对于这个方程组可以把x, y看作一元二次方程z2-7z+12=0的两个根 (韦达定理) , 解这个方程得:z=3或z=4

三、配方法

形如x2+y2=a xy=b (a>0, a±2b≥0) 的方程组可用此方法

解:由 (1) + (2) 2得: (x+y) 2=81, x+y=±9

(1) - (2) 2得: (x-y) 2=121, x-y=±11

于是可得以下四个方程组:

四、因式分解法

在二元二次方程组中, 至少有一个可以分解时, 可采用因式分解法通过消元降次法求解。

解:由 (2) 得 (x-2y) (x-3y) =0

以下用代入法求解 (略)

五、两式相除法

六、用根的判别式

例6:m取什么值时, 方程组

解:将y=2x+m代入y2=4x得:4x2+4 (m-1) x+m2=0

而方程组仅有一个实数解, 所以△=[4 (m-1) ]2-44m2=0,

七、消去常数项法

二元一次方程组 第4篇

检验一对未知数的值是否为某个二元一次方程组的解必须同时满足方程组的两个方程，这是本节课的疑点.在教学中只要通过多举一系列的反例来说明，就可以辨析解决好该问题了.

四、课时安排

一课时.

五、教具学具准备

电脑或投影仪、自制胶片.

六、师生互动活动设计

1.教师通过复习方程及其解和解方程等知识，创设情境，导入课题，并引入二元一次方程和二元一次方程组的概念.

2.通过反复的练习让学生学会正确的判断二元一次方程及二元一次方程组.

3.通过二元一次方程组的.解的概念的教学，通过教师的示范作用，让学生学会正确地去检验二元一次方程组的解的问题.

七、教学步骤

(-)明确目标

本节课的教学目标为理解二元一次方程及二元一次方程组的概念并会判断一对未知数的值是否为二元一次方程组的解.

(二)整体感知

由复习方程及其解，导入二元一次方程及二元一次方程组的概念，并会判断它们;同时学会用一个未知数表达另一个未知数为今后的解方程组埋下伏笔;最后学会检验二元一次方程组解的问题.

(三)教学过程

1.创设情境、复习导入

(1)什么叫方程?什么叫方程的解和解方程?你能举一个一元一次方程的例子吗?

回答老师提出的问题并自由举例.

【教法说明】提此问题，可使学生头脑中再现有关一元一次方程的知识，为学习二元一次方程做铺垫.

(2)列一元一次方程求解.

香蕉的售价为5元/千克，苹果的售价为3元/千克，小华共买了香蕉和苹果9千克，付款33元，香蕉和苹果各买了多少千克?

学生活动：思考，设未知数，回答.

设买了香蕉 千克，那么苹果买了 千克，

根据题意，得

解这个方程，得

答：小华买了香蕉3千克，苹果6千克.

上面的问题中，要求的是两个数，能不能同时设两个未知数呢?

设买了香蕉 千克，买了苹果 千克，根据题意可得两个方程

观察以上两个方程是否为一元一次方程，如果不是，那么这两个方程有什么共同特点?

观察、讨论、举手发言，总结两个方程的共同特点.

方程里含有两个未知数，并且未知项的次数是1，像这样的方程，叫做二元一次方程.

这节课，我们就开始学习与二元一次方程密切相关的知识―二元一次方程组.

【教法说明】学生自己归纳总结出方程的特点之后给出二元一次方程的概念，比直接定义印象会更深刻，有助于对概念的理解.

2.探索新知，讲授新课

(1)关于二元一次方程的教学.

我们已经知道了什么是二元一次方程，下面完成练习.

练习一

判断下列方程是否为二元一次方程，并说明理由.

① ② ③

④ ⑤ ⑥

练习二

分组练习：同桌结组，一人举例，一人判断是否为二元一次方程.

学生活动：以抢答形式完成练习1，指定几组同学完成练习2.

【教法说明】这样做既可以活跃气氛，又能加深学生对二元一次方程概念的理解.

练习三

课本第6页练习1.

提出问题：二元一次方程的解是惟一的吗?学生回答后，教师归纳：一元一次方程只有一个解，而二元一次方程有无限多解，其中一个未知数( 或 )每取一个值，另一个未知数( 或 )就有惟一的值与它相对应.

练习四

填表，使上下每对 、的值满足方程 .

-2

0

0.4

2

-1

0

3

师生共同总结方法：已知 ，求 ，用含有 的代数式表示 ，为 ;已知 ，求 ，用含有 的代数式表示 ，为 .

【教法说明】由此练习，学生能真正理解二元一次方程的解是无限多的;并且能把一个二元一次方程定成用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式，为用代入法解二元一次方程组奠定了基础.

(2)关于二元一次方程组的教学.

上面的问题包含两个必须同时满足的条件，一是香蕉和苹果共买了9千克，一是共付款33元，也就是必须同时满足两个方程.因此，把这两个方程合在一起，写成

这两个方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组.

方程组各方程中，同一字母必须代表同一数量，才能合在一起.

练习五

已知 、都是未知数，判别下列方程组是否为二元一次方程组?

① ②

③ ④

【教法说明】练习五有助于学生理解二元一次方程组的概念，目的是避免学生对二元一次方程组形成错误的认识.

二元一次方程应用新走向 第5篇

例1（湖北省恩施自治州）团体购买公园门票票价如下：

今有甲、乙两个旅行团，已知甲团人数少于50人，乙团人数不超过100人.若分别购票，两团共计应付门票费1392元，若合在一起作为一个团体购票，总计应付门票费1080元．求甲、乙两旅行团各有多少人？

解析：设甲、乙两旅行团分别有x人、y人，甲乙两团人数之和超过100人.若y＜50，则x+y＜100，（x+y）×13＜100×13＜1300＜1392，所以乙团的人数不少于50人，不超过100人，所以13x+11y=1392，9（x+y）=1080.解得：x=36，y=84.所以甲、乙两旅行团分别有36人、84人.

说明：本题必须要对乙团的人数进行讨论，即乙团的人数是否超过50人.这种人数不同价格也不同的情形，在日常生活中是一种普遍的现象，解决问题一定要分类进行讨论.

二、判断说理题

例2（江西省南昌市)2008年北京奥运会比赛的门票开始接受公众预订．下表为北京奥运会官方票务网站公布的几种球类比赛的门票价格，球迷小李用8000元作为预订下表中比赛项目门票的资金．

（1）若全部资金用来预订男篮门票和乒乓球门票共10张，问男篮门票和乒乓球门票各订多少张？

（2）小李想用全部资金预订男篮、足球和乒乓球三种门票共10张，他的想法能实现吗？请说明理由．

解析：（1）设订男篮门票x张，乒乓球门票y张．由题意，得1000x+500y=8000，x＋y=10.

解得x=6，y＝４.

答：小李可以订男篮门票6张，乒乓球门票4张．

（2）能，理由如下：设小李订男篮门票x张，足球门票y张，则乒乓球门票为（１０－x－y）张．由题意，得1000x＋８００y＋５００（１０－x－y）＝８０００．整理得5x+3y=30，y

=．因为x，y均为正整数，所以当x=3时，y=5，所以10-x-y=2．因为小李可以预订男篮门票3张，足球门票5张和乒乓球门票2张，所以小李的想法能实现.

说明：本题以2008年北京奥运会为背景进行命题，旨在提醒我们要多关注社会热点问题.第2问是通过列二元一次方程，求出它的正整数解.因为一般情形下二元一次方程的解有无数个，所以要注意未知数隐含的条件，即未知数的取值范围，如本题中因为票数为正整数，所以要求未知数必须为正整数.

三、数形结合题

例3（2007年重庆市）小王购买了一套经济适用房，他准备将地面铺上地砖，地面结构如图所示．根据图中的数据（单位：m），解答下列问题：

（1）用含x，y的代数式表示地面总面积；

（2）已知客厅面积比卫生间面积多21m2，且地面总面积是卫生间面积的15倍．若铺1m2地砖的平均费用为80元，那么铺地砖的总费用为多少元？

解析：（1）观察图形知道：地面由四部分组成，卧室、厨房、客厅、卫生间，其面积分别为：3×（2＋2）＝12，2×（6－3）＝6，6x，2y，所以地面总面积为：6x+2y+18（m2）．

（2）由题意，得６x-2y=21，6x+2y+18=5×2y.解得x=4，y＝.

地面总面积为：6x+2y+18=6×4+2×+18=45（m2）． 所以，铺地砖的总费用为45×80=3600（元）．

说明：本题把数量关系借助于图形展示,兼容了数的严谨与形的直观，充分体现了数形结合的数学思想.解决这类问题的关键是要能从图形中获取有用的信息.

四、自编应用题

例4（内蒙古赤峰）“方程”是现实生活中十分重要的数学模型，请结合你的生活实际编写一道二元一次方程组的应用题，并使所列出的二元一次方程组为x＝2y，x+y=６０，并写出求解过程．

解析：应用题：我家里有60棵树，其中杨树是柳树的2倍，求杨树和柳树各有多少棵？

解答过程：设杨树x棵，柳树y棵，依题意：x+y＝６０，x＝2y.解得x＝４０，y＝２０.

答：我家有杨树40棵，柳树20棵．

说明：依据已知条件，按照某一些形式自主编拟试题，逐渐成为中考的热点.这类自编问题不但可以加深同学们对解题思路的理解，而且可以培养同学们的创新思维能力，希望同学们在平时的学习中多加练习.

五、图文信息题

例5（山东济宁）同学们喜欢足球吗？足球一般是用黑白两种颜色的皮块缝制而成的，如图所示，黑色皮块是正五边形，白色皮块是正六边形．若一个球上共有黑白皮块32块，请你计算一下，黑色皮块和白色皮块的块数分别为（ ）.

A．16块，16块B．8块，24块

C．20块，12块D．12块，20块

解析：设黑色皮块块数为x块，白色皮块的块数为y块，从图形上可以发现，与每一块正六边形白色皮块相连的是3块正五边形黑色皮，所以足球上所有正六边形的边数和是所有正五边形的边数和的2倍，再结合一个球上共有黑白皮块32块，可列出方程组，x+y＝32，６y＝２×５x，解得x＝１2，y＝２０，所以选D.

二元一次方程整数解及其应用浅析 第6篇

初看这道题目,可能绝大部分学生能比较顺利的列出两个等量关系式:1角硬币数量+5角硬币数量+1元硬币数量=15,1角硬币钱数+5角硬币钱数+1元硬币钱数=7,进而可以列出两个三元一次方程:x+y+z=15①;0.1x+0.5y+z=7②。但是如何求解, 可能是很多学生所未曾遇到过的。如何求解呢?这儿就不可避免的应用到二元一次方程的非负整数解。

二元一次方程的解有无数组,但在实际应用中,我们往往只需要求出其非负整数解。下面试举几例以供参考:

例1.小虎子有一张面值为10元的人民币,他想换成1元或2元的人民币,请你想一想,可能有几种兑换方法?

解:设可换成1元的人民币x张,2元的人民币y张,则x+2y= 10。

∵x、y只能取非负整数。

∴ 其非负整数解为:

所以有6种兑换方法, 分别为5张2元;2张1元和4张2元;4张1元和3张2元;6张1元和2张2元;8张1元和1张2元;10张1元。

例2.如果x、y为不等于0的自然数,且3x·3y=27,试求xy的值。

分析:由27=33,可得3x·3y=33,根据幂的性质可得x+y=3,再由x、y为不等于0的自然数可确定x、y的值。

解:因为3x·3y=27,即3x+y=33,所以x+y=3;又因为x、y为不等于0的自然数,所以有或所以xy=1×2=2或xy=2×1=2。 综上所得:xy=2。

点评:因为x、y为不等于0的自然数,所以本题实际上是求x+ y=3的整数解。

在近几年的中考题目中,也已经出现了类似题型的考查。

例3.(2013·绥化)某班组织20名同学去春游,同时租用两种型型号的车辆,一种车每辆有8个座位,另一种车每辆有4个座位. 要要求租用的车辆不留空座,也不能超载。 有_______ 种租车方案。

解:设租用每辆8个座位的车x辆,每辆有4个座位的车y辆,

% % 根据题意得,8x+4y=20,

整理得,2x+y=5,

∵x、y都是正整数,

∴x=1 时,y=3,

x=2 时,y=1,

x=3时,y=-1(不符合题意,舍去),

所以,共有2种租车方案。

点评:本题考查了二元一次方程的应用,解题的关键在于车辆数是正整数。

由此我们可以看出,二元一次方程虽然具有无数组解,但在特定条件下整数解是可以求出的,从而可以用来解决一些生活中的实际问题。同样,借鉴“消元”思想和二元一次方程整数解我们就可以顺利解出刚才的硬币问题。

我们可以将方程x+y+z=15①,0.1x+0.5y+z=7②通过消x得到一个二元一次方程:4y+9z=55,利用题目中隐含的x、y、z只能取非负整数解条件,我们可以求出:y=7,z=3,进而求出x=5,至此我们就可以求出该题的答案为:1角硬币5枚、5角硬币7枚、1元硬币3枚。

二元二次方程 第7篇

原题 (苏科版教材七下第107页练一练2)一个两位数的十位数字与个位数字的和是7,如果把它的个位数字与十位数字对换,那么所得的两位数比原数大45,求这个两位数.

【解析】设这个两位数的十位数字为x,个位数字为y,根据题意,得解得所以这个两位数是16.

变式1有一个两位数,个位上的数比十位上的数大5,如果把两个数字的位置对换,那么所得的新数与原数的和是143,求这个两位数.

【解析】设这个两位数的十位数字为x,个位数字为y.根据题意,得解这个方程组得所以这个两位数为4×10+9=49.

【说明】变式1将原题中的数量关系作了一些变化,由变式1可知,涉及两位数的计算问题要把握住两个相等关系:(1)个位数字-十位数字=5;(2)新数+原数=143. 根据这两个相等关系,可通过设十位数字为x,个位数字为y,列方程组求得十位数字和个位数字,然后确定两位数.

变式2有一个两位数,其值等于十位数字与个位数字之和的4倍,其十位数字比个位数字小2,求这个两位数.

【解析】设这个两位数的十位数字为x,个位数字为y,

则可列方程组为

解这个方程组得所以这个两位数为24.

变式3有一个两位数和一个一位数,如果在这个一位数后面多写一个0,则它与这个两位数的和是146,如果用这个两位数除以这个一位数,则商6余2,求这个两位数和一位数.

【解析】设这个两位数为x,这个一位数为y,根据题意,得,解这个方程组得,所以这个两位数是56,一位数是9.

【说明】变式3中,根据条件“一位数后面多写一个0”,也就是这个一位数扩大了10倍,如果设两位数为x,一位数为y,则根据两个数的和为146可得x+10y=146;根据被除数=除数×商+余数,可得x=6y+2,由此可得到方程组. 通过解方程组确定两位数和一位数.

变式4一个三位数,现将最左边的数字移到最右边,则比原来的数小45;又已知百位数字的9倍比由十位和个位数字组成的两位数小3,求原来的三位数.

【解析】设百位数字为x,由十位和个位数字组成的两位数为y,则原来的三位数为100x+y,对调的三位数为10y+x,则9x=y3,10y+x=100x+y-45,x=4,y=39,则原来的三位数为100x+y=4×100+39=439.

【说明】变式4是在两位数的基础上研究三位数问题,若已知一个三位数百位上的数字是a,十位上的数字是b,个位上的数字是c,则这个三位数可以表示为100a+10b+c.

“二元一次方程组”中考试题研究 第8篇

这样, 含有两个未知数并且未知项的次数都是1的二元一次方程组成的方程组是二元一次方程组. 在七年级下学期, 同学们学习了二元一次方程组的解法及其应用.下面以常见的中考题为例, 探讨解方程组的基本方法.

一、二元一次方程组的解法

【解析】这类中考题属于基础题, 考查解方程组的基本技能.例1中方程 (1) 已经是用含x的代数式表示y的形式, 故而适宜使用代入消元法, 答案为例2两种方法均可, 但同学们一般还是比较偏向于使用加减消元法, 答案为

【点评】多元方程的解法原则是“消元”.而“消元”的具体方法有代入法和加减法两种.

有时, 试题也会涉及“整体代换”等思想方法, 比如:

例3 (2015·珠海) 阅读材料:善于思考的小军在解方程组时, 采用了一种“整体代换”的解法:

解:将方程 (2) 变形:4x+10y+y=5, 即

2 (2x+5y) +y=5 (3) ,

把方程 (1) 代入 (3) 得:2×3+y=5, ∴y=-1.

把y=-1代入 (1) 得x=4.

请你解决以下问题:

(1) 模仿小军的“整体代换”法解方程组

(2) 已知x, y满足方程组

【解析】第 (1) 题模仿小军的“整体代换”法, 把方程 (2) 变形为:

3 (3x-2y) +2y=19 (3) , 把 (1) 代入 (3) 得:15+2y=19, 即y=2, 把y=2代入 (1) 得:x=3, 则方程组的解为

第 (2) 题需经整理后, 再模仿小军的“整体代换”法, 由 (1) 得:3 (x2+4y2) =47+2xy, 即解得:xy=2, 则x2+4y2=17.

【点评】此题考查了解二元一次方程组, 弄清阅读材料中的“整体代换”方法, 是解本题的关键.

二、二元一次方程组的应用

例4 (2015·北京) 《九章算术》是中国传统数学最重要的著作, 奠定了中国传统数学的基本框架.它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术.其中, 方程术是《九章算术》最高的数学成就.

《九章算术》中记载:“今有牛五、羊二, 直金十两;牛二、羊五, 直金八两.问:牛、羊各直金几何?”

译文如下:“假设有5头牛、2只羊, 值金10两;2头牛、5只羊, 值金8两.问:每头牛、每只羊各值金多少两?”

设每头牛值金x两, 每只羊值金y两, 可列方程组为__________.

【解析】根据“假设有5头牛、2只羊, 值金10两;2头牛、5只羊, 值金8两”, 得到等量关系, 即可列出方程组.

【点评】这类问题中两个量呈一次关系, 往往可以抽象出二元一次方程组, 解决本题的关键是找到题目中所存在的等量关系.

例5 (2015·佛山) 某景点的门票价格如表:

某校七年级 (1) 、 (2) 两班计划去游览该景点, 其中 (1) 班人数少于50人, (2) 班人数多于50人且少于100人, 如果两班都以班为单位单独购票, 则一共支付1 118元, 如果两班联合起来作为一个团体购票, 则只需花费816元.

(1) 两个班各有多少名学生?

(2) 团体购票与单独购票相比较, 两个班各节约了多少钱?

【解析】 (1) 设七年级 (1) 班有x人、七年级 (2) 班有y人, 根据如果两班都以班为单位单独购票, 则一共支付1 118元, 如果两班联合起来作为一个团体购票, 则只需花费816元建立方程, 解得:, 答:七年级 (1) 班有49人、七年级 (2) 班有53人.

(2) 用一张票节省的费用乘该班人数即可求解. (2) 七年级 (1) 班节省的费用为: (12-8) ×49=196 (元) , 七年级 (2) 班节省的费用为: (10-8) ×53=106 (元) .

【点评】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用、二元一次方程组的解法的运用, 解答时建立方程组求出各班的人数是关键.

三、与二元一次方程组有关的综合题

例6 (2014·益阳) 某电器超市销售每台进价分别为200元、170元的A、B两种型号的电风扇, 下表是近两周的销售情况:

(进价、售价均保持不变, 利润=销售收入-进货成本)

(1) 求A、B两种型号的电风扇的销售单价;

(2) 若超市准备用不多于5 400元的金额再采购这两种型号的电风扇共30台, 求A种型号的电风扇最多能采购多少台?

(3) 在 (2) 的条件下, 超市销售完这30台电风扇能否实现利润为1 400元的目标?若能, 请给出相应的采购方案;若不能, 请说明理由.

【解析】 (1) 设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元, 根据销售3台A型号5台B型号的电扇收入1 800元, 销售4台A型号10台B型号的电扇收入3 100元, 列方程组得:, 所以A、B两种型号电风扇的销售单价分别为250元、210元.

(2) 设采购A种型号电风扇a台, 则采购B种型号电风扇 (30-a) 台, 根据金额不多于5 400元, 列不等式得:200a+170 (30-a) ≤5 400, 解得:a≤10.所以超市最多采购A种型号电风扇10台时, 采购金额不多于5 400元.

(3) 设利润为1400元, 列方程 (250-200) ·a+ (210-170) (30-a) =1 400, 解得:a=20.

若不符合 (2) 的条件, 可知不能实现目标.∵a≤10,

∴在 (2) 的条件下超市不能实现利润1 400元的目标.

谈七年级二元一次方程组解法 第9篇

代入消元法就是把方程中的一个未知数用另一个未知数表示,即将其中的一个方程写成"y=" 或"x=" 的形式。如果题目中已经有一个方程是这种形式,则直接把这个方程代入另一个方程即可。

例:解二元一次方程组

观察这两种解题方法,解法一是选择未知数的系数的绝对值为1的方程进行变形,解法二是选择常数项为0的方程进行变形。这两种方法都是解题过程中的常见方法。总之在用代入消元法解二元一次方程时,应对方程中系数比较简单的变形。并且解题过程中还要尤为注意,必须把变形后的方程代入另一个方程,否则就出现“0 = 0”,无法求出方程的解。代入法体现的是“化未知为已知”的思想转化方法。逐步渗透“在一定条件下,不同事物可以互相转化”的辩证唯物主义思想。

加减消元法是把方程组中的两个方程的左右两边,通过相加或相减的方法来消去方程组中的某个未知数的方法。这种解法的思路和代入消元一样,也是通过把二元一次方程转化成一元一次方程,进一步求出方程组的解。

例:解下列方程组:

解:(1)原方程组整理得

(2) ① - ②整理得,x=y ③

把③代入②得,y=(24)/7

分析上面两个例子,由于第一个方程组的形式比较复杂,在选择消元方式前,首先要把方程组化简、整理成它的标准形式然后根据方程组的特点,选择消元方式。确定好消元方式后,进一步选定消元目标,一般都是消去未知数的系数比较简单的未知数,所以本例选择③进行变形,消去未知数x。观察第二个例题可以发现,它的常数项相同,我们就选择加减消元法,消去常数项,从而得到关于x和y的等式,再用代入消元法代入比较简单的方程中,求出x或y的值。

从上面的例子可以看出,代入消元法和加减消元法不是孤立的,它们在解题过程中可以交叉使用。每一个方程组的解题方式也不是唯一的,代入和加减这两种消元方法可以灵活选用。下面总结一下常见解法:(1)用代入法比较简单的方程组的特征①方程组中的某个方程是用一个未知数表示另一个未知数的形式,或者是通过简单的变形可以化为这种形式的。 ②方程组中已经给出或者可以化简为某个未知数系数的绝对值为1。(2)用加减法比较简单的方程组的特征①方程组中的某个未知数的系数可以化为相等或者相反的关系。②方程组中同一个未知数的系数成倍数关系时,利用等式性质,对其进行去分母、去括号、移项、合并同类项的运算,把它转化成①的类型。③对于比较复杂的二元一次方程组,先把它变形成二元一次方程组的标准形式,如果没有以上特征,就选取某个系数简单的未知数的系数,求出最小公倍数,变形方程组为系数的绝对值相等的形式。

在实际解题及应用过程中,这两种方法没有必然的界限。学生可以根据自己知识掌握的侧重点,选择适合自己的方法。如果所给(列)方程组比较复杂,不易观察,就先变形,再判断用哪种方法消元比较好。在给方程组进行变形时要注意以下两点:(1)对于需要变形的方程中的每一项要取相同倍数的变化,常数项也不例外。(2)对方程组中的两个方程相加减时, 要左右两边同时进行。

最后再介绍含字母系数的二元一次方程组解的情况。首先看一元一次方程ax=b的解,它的解由a、b确定。(1)当a≠0时,有唯一解x= b/a。(2)当a=b=0时,方程变形为0x=0的形式,有无数解。(3)当a=0,b ≠ 0时,方程变形为0x=b, 方程无解。类比得出,含字母系数的二元一次方程组的标准形式,其方程组的解由a1、b1、c1、a2、b2、c2的取值范围确定。当a1、b1、c1、a2、b2、 c2的取值取值范围确定时,其解法与数字系数的二元一次方程组的解法相同; 当a1、b1、c1、a2、b2、c2的取值取值范围没有给出时,需要讨论解的情况,总结为 :(1)当时,方程组有唯一解。(2)当时,方程组无解。(3时,方程组有无数解。

诗歌中的二元一次方程 第10篇

一、周瑜寿属

而立之年督东吴，早逝英年两位数；

十比个位正小三，个位六倍与寿符；

哪位同学算得快，多少年寿属周瑜？

分析：诗中的“寿”指的是年龄.诗的大致意思是：周瑜病逝时的年龄是一个大于30的两位数，其十位上的数字比个位上的数字小3，个位上的数字的6倍正好等于这个两位数，求周瑜病逝时的年龄.

解：设这个两位数的十位上的数字为x，个位上的数字为y.

根据题意，得x+3=y，6y=10x+y.

解这个方程组，得x=3，y=6.

所以这个两位数是36.即周瑜共活了36岁.

二、老头买梨

一群老头去赶集，半路买了一堆梨；

一人一个多一个，一人两个少俩梨；

请问诸君知道否，几个老头几个梨？

分析：诗句的大致意思是：若干个人分若干个梨.如果一人分一个，那么还剩余一个梨；如果一人分两个，那么就少两个梨，不够分配.问共有多少个人和多少个梨.

解：设有x个老头，y个梨.

根据题意，得y=x+1，y+2=2x.解得 x=3，y=4.

所以有3个老头，4个梨.

最后，请同学们动动脑筋，做一做下面两题.

1.二人牧羊

甲乙隔沟牧羊，二人暗里参详；

甲云得乙 6只，多你一倍刚好；

乙说得甲 6只，两家羊数相当；

两边间坐思量，画地算了半晌.

2.和尚分油

一个庙宇香火盛，大小和尚几十名；

月底分油条例严，大小和尚分得清；

大的一人分十斤，小的十人分一斤；

共分二十五斤油，大小和尚各几名？

参考答案：

1. 甲有42只羊，乙有30只羊. 2. 大和尚2名，小和尚50名.

探索二元一次方程组巧解方法 第11篇

对于二元一次方程组:

你有什么好的解法吗?

1.代入法解方程:

代入法是二元一次方程组的常规解法.就拿这道题为例, 由 (2) 可化简得:

y=3x-1, (3)

将 (3) 代入 (1) 可得x+3 (x+3x-1) =10,

解之得:x=1, 将x=1代入得:y=2,

∴方程组的解为

2.加减消元法

加减法是解二元一次方程组的基本方法之一, 有时可以较简单地解决代入法难以解决的问题.让我们拿这道题试试.

(1) 化简后可得:4x+3y=10, (4)

(2) 化简后可得:3x-y=1, (5)

(5) ×3得:9x-3y=3, (6)

(4) + (6) 得:13x=13, ∴x=1.

将x=1代入 (5) 得:y=2.

∴方程组的解为

3.换元法

用换元法解这个方程组, 要先给方程“变形”.

(2) 可化为:3x-x-y+x=1, 即4x- (x+y) =1, (7)

此时 (7) 与 (1) 中出现了相同部分 (x+y) .

不妨令x+y=a,

此时只要解出这个简单的二元一次方程组就可以求出原方程组的解了.

4.图像法

在学习数学的过程中, 我们常常会听到“数形结合”这一重要思想.那么, 如果把二元一次方程组与一次函数图像结合呢?

由 (4) 得: (1) 的图像为

由 (5) 得: (2) 的图像为y2=3x-1,

可得到如图的函数图像:

y1、y2的交点即为该二元一次方程组的解.

对于这样简单的方程这个方法略为烦琐, 但对于复杂难解的方程, 或许画图像更直观, 能防止出错.