二阶微分线性方程论文-盘古文库

二阶微分线性方程论文（精选9篇）

二阶微分线性方程论文第1篇

二阶常系数线性齐次微分方程的求解, 现行高等数学教材一般都采用猜测、验证的方式给出其通解.对此, 有不少学生虽承认但仍心存质疑;二阶常系数线性非齐次微分方程的求解, 一般都根据自由项f (x) 的形式特点, 采用待定系数法, 设出其特解形式, 而后代入原方程求解, 其设解结论的依据常数变易法推导也是采用猜测、验证的思路, 同样也不被一些学生认同.此外, 待定系数法求二阶常系数线性非齐次微分方程特解时, 现行高等数学教材虽然都给出了特解的对应设法, 但这种方法也存在一些局限性:第一, 设解时形式多样, 初学者不易掌握;第二, 代入求解过程比较繁琐、复杂;第三, 当f (x) 为生疏的函数时不知如何下手.其实, 以上疑惑和问题, 一方面需要教师耐心解释, 另一方面也可以通过将二阶常系数线性微分方程稍加变形, 转换成一阶线性微分方程来解决, 这样既容易理解, 又便于求解.

1.二阶常系数线性齐次微分方程的一阶线性求法

首先变形y″+py′+qy=0为 (y′+my) ′+n (y′+my) =0.

易知

${\begin{cases} m + n = p ‚ \\ m n = q, \end{cases}$

即m, n是r2-pr+q=0的两个根.

由于方程r2-pr+q=0与r2+pr+q=0二者的根关于原点对称, 因此定义r2-pr+q=0是特征方程r2+pr+q=0的对称方程, 并令m=-r1, n=-r2, 则原方程为 (y′-r1y) ′-r2 (y′-r1y) =0.

∴y′-r1y=cer2x,

$\begin{array}{l} ∴ y = e^{r_{1} x} (\int c_{1} e^{r_{2} x} \cdot e^{- r_{1} x} d x + c_{2}) ‚ \\ ∴ y = {\begin{cases} c_{1} e^{r_{1} x} + c_{2} e^{r_{2} x} (r_{1} \neq r_{2}) ‚ \\ (c_{1} + c_{2} x) e^{r x} (r_{1} = r_{2}) . \end{cases} \end{array}$

2.二阶常系数线性非齐次微分方程特解的一阶线性求法

对于二阶常系数线性非齐次微分方程, 关键是求方程的特解, 同上法可得y″+py′+qy=f (x) 的一个特解为

y*=e-mx∫ $_{c_{0}}^{x}$ e (m-n) x (∫ $_{c_{0}}^{x}$ f (x) enxdx) dx,

或y*=er1x∫ $_{c_{0}}^{x}$ e (r2-r1) x (∫ $_{c_{0}}^{x}$ f (x) e-r2xdx) dx.

其中∫ $_{c_{0}}^{x}$ f (x) dx表示f (x) 的一个不含独立常数项的原函数.m, n是对称方程r2-pr+q=0的两个根, 容易验证当m, n (或r1, r2) 为相等、不等实根或虚根时, 公式都成立.因此, 在求解二阶常系数线性非齐次微分方程的特解时, 不妨直接应用公式, 现举例如下:

例1 求微分方程y″+y′=2cosx的一个特解.

解特征方程r2+r=0的特征根为r1=-1, r2=0,

则∫ $_{c_{0}}^{x}$ f (x) e-r2xdx=∫ $_{c_{0}}^{x}$ 2cosxe0dx=2sinx,

∫ $_{c_{0}}^{x}$ e (r2-r1) x (∫ $_{c_{0}}^{x}$ f (x) e-r2xdx) dx

=∫ $_{c_{0}}^{x}$ 2exsinxdx=ex (sinx-cosx) ,

∴所求特解为y*=e-xex (sinx-cosx) =sinx-cosx.

例2 求微分方程y″-3y′+2y=4x的一个特解.

解特征方程r2-3r+2r=0的特征根为r1=1, r2=2,

则∫ $_{c_{0}}^{x}$ f (x) e-r2xdx=∫ $_{c_{0}}^{x}$ $4^{x} e^{- 2 x} d x = \frac{4^{x} e^{- 2 x}}{2 (\ln 2 - 1)}$ ,

∫ $_{c_{0}}^{x}$ e (r2-r1) x (∫ $_{c_{0}}^{x}$ f (x) e-r2xdx) dx

$\begin{array}{l} = \int_{c_{0}}^{x} e^{x} \frac{4^{x} e^{- 2 x}}{2 (\ln 2 - 1)} d x \\ = \frac{4^{x} e^{- x}}{2 (\ln 2 - 1) (2 \ln 2 - 1)} ‚ \end{array}$

∴所求特解为

$\begin{array}{l} y^{*} = e^{x} \cdot \frac{4^{x} e^{- x}}{2 (\ln 2 - 1) (2 \ln 2 - 1)} \\ = \frac{4^{x}}{2 (\ln 2 - 1) (2 \ln 2 - 1)} . \end{array}$

3.一点补充

二阶常系数线性非齐次微分方程特解的一阶线性求法也有一定的局限性, 即当特征方程为虚根时, 需要用复积分知识去解决, 且比较麻烦, 因此发生这种情况时, 还是回归到待定系数法解决较好一些.本方法的意义一方面是提供一种解题的方法, 更重要的方面是解除学生心中之疑惑, 促进学生对课本方法的理解.另外, 笔者在教学中还经常遇到对一阶线性非齐次微分方程的常数变易法、积分因子法的质疑, 此时不妨从全微分法的角度揭示, 也能收到良好的效果.

二阶微分线性方程论文第2篇

研究二阶非线性变时滞微分方程x"(t)+p(t)∫(x(g(t)))=0.对振动因子p(t)变符号的情况讨论了方程的振动性.通过两个已有引理得到了方程振动的两个充分条件.所得结论推广了原有的二阶非线性微分方程与变时滞微分方程当系数不变号时的振动性结论,完善了具变符号振动因子的二阶非线性变时滞微分方程的`研究.

作者：庄需芹朱红霞张建国 ZHUANG Xu-qin ZHU Hong-xia ZHANG Jian-guo 作者单位：庄需芹,张建国,ZHUANG Xu-qin,ZHANG Jian-guo(北方工业大学,理学院,北京,100041)

朱红霞,ZHU Hong-xia(河北廊坊师范学院,数学与信息科学学院,河北,廊坊,065000)

基于二阶偏微分方程的环境模型研究第3篇

随着社会经济的飞速发展, 我国的环境污染也日趋严重, 主要污染物如化学需氧量、二氧化硫排放量均居世界第一, 排放总量已远远超过环境自净能力;水污染事故引起较高的癌症发病率, 严重影响人民的健康, 环境维权群体上访及冲突事件时有发生[1]。诸如此类环境污染引发的问题带来的不良影响, 给国家带来了巨大的经济损失。环境污染问题的研究变得尤为重要。本文以某市为例建立小范围内环境污染过程的数学模型, 预测从现在开始, 停止一切污染源, 要多长时间某市的环境才能得到显著改善。从社会角度来看, 先排污后再治理的成本与直接处理污染的成本比较。根据建立的模型, 提出了环境治理策略。

1 模型建立

污染物在环境介质中的分散过程包括分子扩散、同湍流扩散和弥散三个子过程。分子扩散是一种客观现象, 湍流扩散是由于对流体质点的各种状态 (流速、浓度等) 做时间平均值引起的, 弥散则是由于对流速的空间平均引起的。

一维模型是考虑污染物纵向浓度梯度的情况下导出的。假设存在一个体积微元, 其在x方向存在输入、输出, 边长分别为Δx、Δy、Δz。则在单位时间内, 流入该体积微元的污染物重分别为:

(1) 平流推移输入量 uxCΔyΔz;

(2) 纵向弥散扩散输入量 $- D_{x} \frac{\partial C}{\partial x} Δ y Δ z;$

(3) 平流推移项经Δx变化历程后的输出量 $u_{x} C Δ y Δ z - \frac{\partial u_{x} C}{\partial x} Δ x Δ y Δ z$ ;

(4) 纵向弥散扩散项经Δx的变化历程后的输出量为:

$- D_{x} \frac{\partial C}{\partial x} Δ y Δ z + \frac{\partial}{\partial x} (- D_{x} \frac{\partial C}{\partial x}) Δ x Δ y Δ z$

考虑污染物在体积微元内的一级衰减反应, 衰减的输出量-KCΔxΔyΔz。

在Δt这段时间内, 体积微元内的输入量为:

$[(u_{x} C Δ y Δ z) + (- D_{x} \frac{\partial C}{\partial x} Δ y Δ z)] Δ t = u_{x} C Δ y Δ z Δ t - D_{x} \frac{\partial C}{\partial x} Δ y Δ z Δ t$

Δt 时间段体积微元内的污染物输出量为:

$\begin{array}{l} [u_{x} C Δ y Δ z - \frac{\partial u_{x} C}{\partial x} Δ x Δ y Δ z - D_{x} \frac{\partial C}{\partial x} Δ y Δ z + \\ \frac{\partial}{\partial x} (- D_{x} \frac{\partial C}{\partial x}) Δ x Δ y Δ z - Κ C Δ x Δ y Δ z] Δ t \end{array}$

于是, Δt时段体积微元内放入污染物浓度变化量为:

$\begin{array}{l} Δ C = [u_{x} C Δ y Δ z Δ t - \frac{\partial u_{x C}}{\partial x} Δ x Δ y Δ t - D_{x} \frac{\partial C}{\partial x} Δ y Δ z Δ t + \\ \frac{\partial}{\partial x} (- D_{x} \frac{\partial C}{\partial x}) Δ x Δ y Δ z Δ t - Κ C Δ x Δ y Δ z Δ t - \\ u_{x} C Δ y Δ z Δ t + D_{x} \frac{\partial C}{\partial x} Δ y Δ z Δ t] / Δ x Δ y Δ z \end{array}$

通过拉普拉斯变换法求解, 得:

$C (x, t) = \frac{Μ}{A \sqrt{4 D_{x} π t}} \exp (- \frac{(x - u_{x} t)^{2}}{4 D_{x} t}) \exp (- Κ t)$

其中, M是瞬时投放的污染物量。某一时刻某一空间位置的污染物浓度C (x, t) 与瞬时投放的污染物量成正比。 $\frac{1}{A \sqrt{4 D_{x} π t}} \exp (- \frac{(x - u_{x} t)^{2}}{4 D_{x} t}) \exp (- Κ t)$ 是动态比例因子, 它是随时间和空间位置而变化的, $\frac{1}{A \sqrt{4 D_{x} π t}}$ 反映了横截面积和弥散系数的不同造成浓度随时间的变化情况; $\exp (- \frac{(x - u_{x} t)^{2}}{4 D_{x} t})$ 反映了介质在纵向流动和弥散造成的浓度随时间的变化情况;exp (-Kt) 则反映了由于污染物降解造成的浓度随时间的变化情况。从该比例因子看出, 当x-uxt=0, 即 $t = \frac{x}{u_{x}}$ 时, 此时污染物浓度出现最大值。

同理, 如在x、y、z方向存在浓度梯度, 则得到三维模型如下式所示:

$\begin{array}{l} \frac{\partial C}{\partial t} = E_{x} \frac{\partial^{2} C}{\partial x^{2}} + E_{y} \frac{\partial^{2} C}{\partial y^{2}} + E_{z} \frac{\partial^{2} C}{\partial z^{2}} - u_{x} \frac{\partial C}{\partial x} - \\ u_{y} \frac{\partial C}{\partial y} - u_{z} \frac{\partial C}{\partial z} - Κ C \end{array}$

其中Ex、Ey、Ez分别为x, y, z方向的湍流扩散系数;ux、uy、uz 分别为x、y、z方向的流速分量。通过变换得:

$\begin{array}{l} C = \frac{Μ \exp (- Κ t)}{8 \sqrt{(π t)^{3} E_{x} E_{y} E_{z}}} \\ \exp (- \frac{(x - u_{x} t)^{2}}{4 E_{x} t} - \frac{(y - u_{y} t)^{2}}{4 E_{y} t} - \frac{(z - u_{z} t)^{2}}{4 E_{z} t}) \end{array}$

通过简化公式可得:

$C = \frac{Μ \exp (- Κ t)}{8 \sqrt{(π t)^{3} E_{x} E_{y} E_{z}}}$

2 模型求解

根据某市2001～2005年度二氧化硫、二氧化氮、可吸入颗粒及API月平均计算等数据信息, 如表1所示。

针对大气污染排放数据进行画图分析Ex, 如图1所示。

一般情况下, 大气中的湍流扩散系数为:Ex=1.010-5～1.0100m2/s , 根据天气情况以及风速, 猜测ExEyEz=1.010-3m2/s , K=0.0005。运用Matlab, 计算出三个污染物达标时间如下:

t1 =1680.9861743309044922010829756119

t2 =1631.9026001275314207158713196535

t3 =3081.6289131242657866807149283148

3 环境治理策略

根据:

$C (x, t) = \frac{Μ}{A \sqrt{4 D_{x} π t}} \exp (- \frac{(x - u_{x} t)^{2}}{4 D_{x} t}) \exp (- Κ t)$

如要降低污染物浓度, 则需要减少瞬时投放的污染物量, 将之控制在危害较小范围内, 建议采用如下环境治理策略:

(1) 要推进节约发展、清洁发展、安全发展、循环发展, 依法淘汰高能耗、高排放、低效益的落后工艺技术和生产能力, 从源头控制环境污染, 实现经济可持续发展。将清洁生产提升至构建和谐社会的高度。优化升级产业结构, 加快发展先进制造业、高新技术产业和服务业, 形成一个有利于资源节约和环境保护的产业体系。

(2) 实施重大生态建设和环境整治工程, 有效遏制生态环境恶化。坚持生态保护与环境治理并重, 重点控制不合理的资源开发, 优先保护天然植被, 坚持退耕还林、退牧还草、退田还湖、防沙治沙、水土保持和防治石漠化等生态治理工程;严格控制土地退化和草原沙化;加强矿产资源和旅游开发的环境监管。做好红树林、滨海湿地、珊瑚礁、海岛等海洋、海岸带典型生态系统的保护工作。

(3) 统筹城乡环境建设, 加强城市环境综合治理, 改善农村生活环境和村容村貌。要结合社会主义新农村建设, 实施农村小康环保行动。引导和鼓励农民合理使用农药、化肥, 积极发展生态农业。推进农村改水、改厕工作, 搞好作物秸秆等资源化利用, 积极发展农村沼气, 妥善处理生活垃圾和污水, 解决一些农村地区存在的环境“脏乱差”问题, 创建环境优美乡镇、文明生态村。

(4) 加快环境科技创新, 加强污染专项整治, 强化污染物排放总量控制, 重点搞好水、大气、土壤等污染防治工作。大力发展环保高新技术, 实现环保高新技术产业化。针对我国实际情况, 应着重解决两方面问题:一是通过融资问题, 加快乡镇企业的产业升级与技术改造, 使其在实现经营方式转变的同时, 逐步实现规模化。二是通过加大科技开发的先进设备的投入以及立法、政府引导等手段相配合, 实现城市生活垃圾回收处理的产业化, 促进环保产业成为具有良好经济效益和社会效益的新兴支柱产业。

4 结论与展望

基于二阶偏微分方程的环境污染模型适用于研究各种污染物的污染过程, 预测某一时刻某位置的污染物浓度。根据流体在介质中的迁移扩散形式, 一维模型可以推广到二维、三维模型, 从而研究所有流体在介质中的扩散过程。但该环境质量模型会因为土壤、多孔介质、污染物的吸附、沉淀、挥发等因素在一定上影响预测效果。

摘要：为实现大气环境质量预测和模拟, 通过对大气污染和水体污染过程分析, 从污染物迁移转化空间形式出发, 构建了基本的环境流体力学三维模型, 并针对某市大气污染物排放情况改进了迁移模型。运用Matlab软件, 推算出各污染物达标需要的天数。该模型的优点是可以适用于研究各种污染物污染过程, 预测某一时刻某位置污染物浓度。最后, 进行成本比较, 提出了环境治理策略。

关键词：环境污染,三维模型,浓度梯度,湍流扩散

参考文献

[1]Kass M, Witkin A, Terzopoulos D.Snakes:Active Contour Models[J].International Journal of Computer Vision, 1998, 1 (4) :321-331.

[2]Osher S, Sethian J A.Fronts Propagating with Curvature-dependentSpeed:Algorithms Based on Hamilton-Jacobi Formulation[J].Journalof Comput.Phys.1988, 79 (1) :12-49.

[3]柴微涛, 宋述军, 宋学鸿.城区空气污染指数的时间序列分析[J].理工大学学报:自然科学版, 2007, 34 (4) .

[4]Bettstetter C.On the Minimum Node Degree and Connectivity of aWireless Multiho Network[C]//Proc.of ACM MobiHoc’02.Lau-sanne, Switzerland:[s.n.], 2002.

[5]张建同, 尤建新.非线性时序法在城市大气污染预测中的应用[J].自然灾害学报, 2007, 16 (3) .

[6]毛明志, 陈立.多粒度的面向对象软件估算模型的研究及应用[J].计算机科学, 2009, 36 (2) :1-2.

[7]Santi P, Blough D, Vainstein F.A Probabilistic Analysis for the RangeAssignment Problem in Ad hoc Networks[C]//Proc.of ACM Mobi-Hoc’01.Long Beach, CA, USA:[s.n.], 2001.

[8]严建峰, 李伟华.故障诊断系统的综合收益评价模型[J].计算机科学, 2009, 36 (1) :3-4.

[9]何恺铎, 顾明, 宋晓宇, 等.面向源代码的软件模型检测及其实现[J].计算机科学, 2009, 36 (1) .

[10]Philips K, Panwar S.Connectivity Properties of a Packet Radio NetworkModel[J].IEEE Trans.on Information Theory, 1989, 35 (5) :1044-1047.

二阶微分线性方程论文第4篇

一类非线性二阶常微分方程的正周期解

考察非线性二阶常微分方程u″(t)=,(t,u(t))关于周期边界条件u(0)=u(2π),u′(0)=u′(2π)的正解,由于该方程没有Green函数,通常的方法是无效的.利用适当的转换技巧和锥上的不动点定理证明了这个周期边值问题的.n个正解的存在性,其中n是一个任意的自然数.

作者：姚庆六 YAO Qingliu 作者单位：南京财经大学数学系,南京,210003刊名：系统科学与数学 ISTIC PKU英文刊名：JOURNAL OF SYSTEMS SCIENCE AND MATHEMATICAL SCIENCES年，卷(期)：28(1)分类号：O1关键词：二阶常微分方程周期边值问题正解存在性多解性.

二阶微分线性方程论文第5篇

其中a, b, c是任意常数。显然, 对于该类方程的显式解是很难研究的, 因此本文研究目的是通过定性分析研究该类方程的解问题。

方程 (1) 两边乘以y′后积分得到:

整理后得到:

为了进一步分析方程 (3) , 我们要借助于一些对微分方yx2=F (x) 已有的结果[4]:

(a) 若F (x) 在y=m处有一个简单零点, 即F (m) =0, F′ (m) ≠0, 则解在x→x0时有, %其中y在x=x0处取极值m。

(b) 若F (y) 在y=m处有一个二重零点, 即F (m) =0, F′ (m) =0, F″ (m) ≠0, 则解在x→∞时有, 且当x→∞时y→m。

利用上述结果, 我们很容易得到以下结论:

若满足F (y) >0和y1<y<y2, 则微分方程yx2=F (x) 有下列形式的解 (图1) :

(1) 如果函数F (y) 具有两个简单零点y1和y2, 那么微分方程具有周期解。

(2) 如果函数F (y) 具有一个简单零点y1和一个二重零点y2, 那么微分方程具有一个衰减解。

(3) 如果函数F (y) 具有一个二重零点y1和一个二重零点y2, 那么微分方程具有一个扭结解。

下面研究的零点分布, 本文只讨论a>0的情况。利用韦达定理以及根与系数的关系, 可以得到函数的9种图形以及相应的参数条件。

1.若c>0, 则微分方程的解为: (i) 当b>0时, 方程有负周期解 (c0<0) ;方程有负衰减的解 (c0=0) ;方程除了常数解没有其他形式解 (c0>0) 。 (ii) 当b=0时, 方程除了常数解外无解。 (iii) 当b<0时, 方程有正周期解 (c0<0) ;方程有正衰减的解 (c0=0) ;方程除了常数解没有其他形式解 (c0>0) 。

2.若c=0, 则方程除了常数解没有其他形式解。

3.若c<0, 则方程y′2=F (y) 的解为 (i) 当b>0时, 方程除了常数解外没有其他形式解 (c0≤0) ;方程有周期解, 正衰减解和负衰减解 (c0>0) ; (ii) 当b=0时, 方程除了常数解没有其他形式解 (c0≤0) ;方程有周期解和扭结解 (c0>0) ; (iii) 当b<0时, 方程除了常数解没有其他形式解 (c0≤0) ;方程有负周期解和负衰减解 (c0>0) 。

摘要：本文给出一类特殊二阶常系数非线性微分方程的定性解法。通过对零点分布的分析, 证明了该类方程具有周期解, 衰减解以及扭结解。本文的研究对高等数学的教材也是一种有益补充。

关键词：零点分布,周期解,衰减解,扭结解

参考文献

[1]同济大学数学系.高等数学[M].北京:高等教育出版社, 2007.

[2]罗梭M.常微分方程[M].叶彦谦, 译.上海:上海科学技术出版社, 1981.

[3]时宝, 张德纯, 盖明久.微分方程理论及其应用[M].北京:国防工业出版社, 2005.

二阶微分线性方程论文第6篇

脉冲现象作为一种瞬时突变现象在科技领域的实际问题中是普遍存在的,从20世纪90年代起引起广泛研究[1,2],这些研究成果大都侧重于一阶脉冲微分方程,二阶脉冲微分方程作为实际问题的数学模型也是广泛存在的,关于其出现脉动现象的研究还不多见。在文献[3]中,陈绍著等人给出了保证二阶脉冲微分方程脉动现象不发生的条件,以及碰撞次数的最大估计,文献[4]中,作者在没有脉冲函数有界的前提下,给出了一阶脉冲微分方程脉动现象发生或不发生的一些充分条件。本文在前人的基础之上,致力于寻找保证脉动现象发生的条件。同时在没有脉冲函数有界条件的前提下,给出了解曲线碰同一脉冲面若干次的充分条件。推广且改进了文献[3]的结论。

本文考虑以下变时刻的二阶脉冲微分系统

式(1)中给定

T>0,f∈C([0,Τ]R2,R);h∈C(R,R),g∈C(R2,R);τ∈C2(R,R)。并且对∀x∈R,有0<τ(x)<Τ。

定义1 脉冲微分系统的解与同一个脉冲面有规律的碰撞有限次(至少两次)或无限次的现象,称为脉动现象。

定义2 空间(x,x′,t)中的面t=τ(x),称为脉冲面,记为Σ。当解碰到脉冲面时会发生脉冲作用。

定义3 定义x(t):[0,b]R,0<bΤ,若满足以下条件:

(a) x(0)=x0,x′(0)=y0;

(b) x(t)二阶连续可微且对任意的t∈[0,b],当t≠τ(x)时有x″=-f(t,x(t),x′(t));

则称x(t)是系统(Ⅰ)的解。

引理1 ∀x∈R,τ′(x)≠0有τ″(x)≠(τ′(x))3f(τ(x),x,(τ′(x))-1),

则系统(1)的解可向右延展。

由引理1,我们可以定义系统(Ⅰ)的最大解和其最大存在区间,以下所说的系统(Ⅰ)的解都是存在于其最大存在区间上的。

2主要结果

为了得到保证脉动现象发生的条件,有以下假设:

(H1)∀x∈R,τ(h(x))≥τ(x)。

(H2)∀x,y∈R,若τ′(x)y1,则τ′(h(x))g(x,y)≥1。

(H3)∀x∈R,t∈[0,Τ],若τ′(x)≠0且

t≥τ(x),则τ″(x)>(τ(x))3f(t,x,(τ(x))-1)。

显然条件(H3),可保证引理1的结论成立。

定理1 假设(H1)(H3)成立,则系统(Ⅰ)的解碰脉冲面Σ:t=τ(x)多次。

证明令x(t)为系统(Ⅰ)的解,在x(t)的存在区间上定义:ρ(t)=τ(x(t))-t。

则ρ(0)=τ(x(0))=τ(x0)>0,

由0<τ(x)<Τ,即ρ(Τ)<0。存在t1∈(0,Τ)使得:ρ(t)>0,t∈[0,t1),ρ(t1)=τ(x1)-t1=0。式(1)此时x1=x(t1)。

即在t=t1时刻第一次碰脉冲面Σ:t=τ(x)。

由(H1)

ρ(t1+0)=τ(x(t1+0))-t1=τ(h(x1))-t1≥0。由解的定义,存在一个δ>0,使得当t∈(t1,t1+δ)时,有t≠τ(x(t))。

下证:通过适当选取,可存在这样的δ,使得

ρ(t)>0,t∈(t1,t1+δ) (2)

若ρ(t1+0)>0,则此δ易得。

若ρ(t1+0)=0,则t1=τ(h(x1))。

由ρ′(t)=τ′(x(t))x′(t)-1,由式(1)知ρ′(t1)0,即τ′(x1)x′(t1)1。由(H2)得:

τ′(h(x1))g(x1,y1)≥1。此时y1=x′(t1)。

我们有

ρ′(t1+0)=τ′(x(t1+0))-1=τ′(h(x1))g(x1,y1)-1≥0。

若ρ′(t1+0)>0,则可取适当的δ,使得式(2)成立。

若ρ′(t1+0)=0,即τ′(h(x1))g(x1,y1)=1,

则有τ′(h(x1))≠0。

下面考虑ρ(t)的二阶导:

ρ″(t)=τ″(x(t))(x′(t))2-τ′(x(t))f(t,x(t),x′(t)),t∈(t1,t1+δ)令tt1+0;

ρ″(t1+0)=g(x1,y1)2 $τ^{″} (h (x_{1})) - (τ^{'} (h (x_{1})))^{3} f (τ (h (x_{1})), h (x_{1}), \frac{1}{τ^{'} (h (x_{1}))})$ 。

由(H3)知: ρ″(t1+0)>0。

由上述可知,可选取适当的δ,使得式(2)成立。

由(H1)知τ(h(x))≥τ(x)。

若τ(h(x))=τ(x)相当于解连续的通过脉冲面。

由式(2)知:∃t′∈(t1,t1+δ),使得ρ(t′)>0。

又由于ρ(Τ)<0,则∃t2∈(t′,Τ),使得ρ(t2)=0。

即在t=t2时刻,第二次碰脉冲面Σ:t=τ(x)。

以下讨论类似于t1。

若τ(h(x))>τ(x),即t1<τ(h(x1))。

由式(2)知:∃t″∈(t1,t1+δ),使得ρ(t″)>0。

又由于ρ(Τ)<0;则∃t′2∈(t″,Τ),使得ρ(t′2)=0。

即在t=t′2时刻,第二次碰脉冲面Σ:t=τ(x)。

以下讨论类似于t1。

证毕。

若把条件(H2)改为:

(H′2)∀x,y∈R,若τ′(x)y1,则τ′(h(x))g(x,y)>1。

推论1 假设(H1)、(H′2)成立,则系统(Ⅰ)的解碰脉冲面Σ:t=τ(x)多次。

上述结果是在τ(x)有界的条件下得到的,下面在τ(x)无界的情况下考虑:

(H4) ∀(t,x,x′)∈(R+R2),∃M∈L′(R+R+),使得τ′(x(t))x′(t)+M(t)1,其中∫∞tM(s)ds=∞。

定理2 假设(H1)(H4)成立,则系统(Ⅰ)的解碰脉冲面Σ:t=τ(x)多次。

定理2的证明过程类似于定理1,我们只要证明在定理1中由τ(x)有界得到的结果,可以由(H4)证得即可。

证明由定理1中τ(x)有界,得到了如下不等式ρ(Τ)<0。下面证明由(H4)也可得到类似的不等式。

已知ρ(t)=τ(x(t))-t,

则其一阶导数ρ′(t)=τ′(x(t))x′(t)-1,

由条件(H4)得ρ′(t)-M(t),

从0～t积分,有ρ(t)ρ(0)-∫ $_{0}^{t}$ M(s)ds。

令t∞,则ρ(t)-∞。

又由ρ(0)=τ(x(0))=τ(x0)>0,存在t1>0使得:ρ(t)>0,t∈[0,t1),ρ(t1)=τ(x1)-t1=0。

即在t=t1时刻第一次碰脉冲面Σ:t=τ(x)。

以下讨论类似于t=t1情况的证明。在用到τ(x)有界时,类似以上讨论,应用条件(H4)。

定理2证毕。

推论2假设(H1)、(H′2)、(H4)成立,则系统(Ⅰ)的解碰脉冲面Σ:t=τ(x)多次。

参考文献

[1] Lakshmikantham V,Bainov D D,Simeonov P S.Theory of impulsivedifferential equations,World Scientific,1989

[2]傅希林,闫宝强,刘衍胜.脉冲微分系统引论.北京,科学出版社,2005

[3] Chen S,Jin J Q M.Pulse phenomena of second-order impulsive differ-ential equations with variable moments.Computers and Mathematicswith Applications,2003;46:1281—1287

二阶微分线性方程论文第7篇

的求解是必不可少的, 其中b>0是常数。本文就问题 (1) 给出参数变易法, 齐次化方法和拉普拉斯变换法三种方法下的具体求解步骤。

1预备知识

本节给出线性微分方程叠加原理的叙述, 齐次化原理的叙述以及拉普拉斯变换的叙述和两条有用性质。

引理1 (叠加原理) [1]设ui满足线性问题

引理2 (齐次化原理) [1]如果w (t;τ) 是齐次方程的初值问题

的解。

我们称由此确定的函数L (p) 为f (t) 的拉普拉斯变换, 记成L (p) =L[f (t) ]。

拉普拉斯变换有两条非常重要的性质, 其一就是微分性质[2], 即若f (t) 存在n阶导数 (n叟1) 且f (t) , f' (t) , f" (t) , …, f (n-1) (t) 都满足拉普拉斯变换存在的条件, 则f (n) (t) 也存在拉普拉斯变换且L[f (n) (t) ]=pn L (p) -pn-1f (0) -pn-2f' (0) -…-f (n-1) (0) 。

2主要内容

本节给出参数变易法, 齐次化方法和拉普拉斯变换法三种方法求解问题 (1) 的具体步骤。

2.1参数变易法

问题 (1) 所对应的齐次方程v" (t) +b2v (t) =0的通解是v (t) =Ccosbt+Dsinbt, 其中C, D为任意常数。应用参数变易法, 令

计算可得

将 (5) 式带入 (2) 中, 整理可得

将v (0) =d0, v' (0) =d1带入上式, 可得C=d0, D=d1/b, 于是问题 (1) 的解为

2.2齐次化方法

首先应用叠加原理, 问题 (1) 的解v (t) 可以分解成问题

的解和问题

的解n (t) 的叠加, 即v (t) =m (t) +n (t) 。

故问题 (6) 的解为

与参数变易法求得的解是一致的。

2.3拉普拉斯变换法

由v (t) =m (t) +n (t) 可得

针对问题 (1) , 我们给出参数变易法, 齐次化方法和拉普拉斯变换法三种方法下的具体求解步骤, 尤其是齐次化方法和拉普拉斯变换法, 在可查阅文献中较少看到, 本文对这两种方法的介绍增加了常微分方程定解问题的求解方法。

参考文献

[1]王明新.数学物理方程 (第二版) [M].北京:清华大学出版社, 2009.

二阶微分线性方程论文第8篇

文献[1]研究了如下时滞微分方程

的周期解的存在性问题, 文献[2]在文献[1]的基础上, 研究了较广泛的一类时滞微分方程

存在2π周期解, 式中g, p都是定义在R上的实连续函数, c, b, τ是常数, p以2π为周期.且其结论如下:

如果下列条件成立:

(ⅰ) 存在正常数M, 使得g (x) M, x∈R;

(ⅱ) 0<b<

则方程 (2) 至少存在一个2π周期解。

本文讨论如下更广泛的一类时滞微分方程

周期解的存在性。式 (3) 中g, h, p都是定义在R上的实连续函数, p以T为周期。且本文采用重合度理论, 获得了方程 (3) 至少存在一个T (T>0) 周期解的充分性定理。

定理如果下列条件成立:

(ⅰ) 存在正常数M, 使得g (x) M, x∈R;

则方程 (3) 至少存在一个T (T>0) 周期解。

证明考察方程

这里λ∈ (0, 1) , 设x (t) 是方程 (4) 的任一T周期解, 将方程 (4) 两边同时从0到T积分得

因此存在t0∈ (0, T) , 使得

从而有

因为存在t1∈[t0, t0+T], 使得x (t1) =t0tm1atx0+Tx (t) ,

由x (t1) =x (t0) +t0x∫t1′ (s) ds, 得

又由x (t1) =x (t0+T) -∫t1t0+Tx′ (s) ds, 从而有

式 (5) 、式 (6) 相加得

将方程 (4) 两边乘以x (t) , 然后从0到T积分得

由此得

其中m=t∈m[0a, xT]p (t) 。因此由条件 (ⅱ) 及上式知, 存在与λ无关的数R1>0, 使得

且有

所以存在与λ无关的数R2>0, 使得

从而由方程 (4) 有

另外对任意的t∈[0, T], 存在t2∈ (0, T) , 使得

所以由 (10) 式、 (11) 式、 (12) 式知, 必存在与λ无关的数R3>0, 使得x′ (t) R3。取R=max{R1, R2, R3}, 令X={x (t) ∈C (R, R) x (t+T) =x (t) }, Ψ={x (t) ∈X x (t) R, x′ (t) <R},

g (x (t-τ) ) +p (t) 。显然KerL=R, 同时定义投影算子

则KerL=lmP=R, KerQ=lmL, 即L是指标为零的Fredholm算子, 且可证明N在Ψ上L-紧.方程 (4) 即为算子方程

因此根据对方程 (3) 周期解界的估计及已知条件, 有

1) Lx≠λNx, x∈DomL∩Ψ, 还需证明

2) QNx≠0, x∈KerL∩Ψ;

3) deg (QN, Ψ∩KerL, 0) ≠0。

事实上, 当x∈KerL∩Ψ时, x为常数且x=R, 因此

故QNx≥bxbg (x) ≥

即QNx≠0, 于是2) 成立;作变换:F (x, μ) =μh (x′) x+ (1-μ) [h (x′) x+g (x (t-τ) ) ], 对任意x∈KerL∩Ψ, μ∈[0, 1], x为常数且x=R。

(1) 当x=R, b>0时, F (x, μ) ≥

(2) 当x=R, b<0时, F (x, μ)

所以当x=R时, F (x, μ) ≠0, 同理可证当x=-R时, F (x, μ) ≠0。因而F (x, μ) 为同伦变换, 因此

故3) 满足, 由重合度理论知, 方程 (3) 至少有一个T (T>0) 周期解。

推论1如果下列条件成立:

(ⅰ) 存在正常数M, 使得g (x) M, x∈R;

则方程 (3) 至少存在一个T (T>0) 周期解。

推论2如果下列条件成立:

(ⅰ) 存在正常数M, 使得g (x) M, x∈R;

(ⅱ) -Hh (x) -b<0;b, H为正常数;

(ⅲ) H<aT2;

则方程 (3) 至少存在一个T (T>0) 周期解。

文献[2]的结果是本文定理的简单推论。事实上, 只要在本文的方程 (3) 中取h (x′ (t) ) ≡b, T=2π即明。当h (x′ (t) ) =b, c=0为常数时, 即得文献[1]的结论。

摘要：利用重合度理论研究一类时滞微分方程ax″ (t) +cx′ (t) +h (x' (t) ) x (t) +g[x (t-τ) ]=p (t) 周期解的存在性, 得到了该方程存在T (T>0) 周期解存在的充分性定理。

关键词：微分方程,周期解,存在性

参考文献

[1]张正球, 庚建设.一类时滞Duffing型方程周期解.高校应用数学学报, 1998;13 (4) :389—392

二阶微分线性方程论文第9篇

在文献[1]中, Li Lei, Zhou Zongfu利用迭合度连续性定理研究了具有偏差变元的二阶中立型泛函微分方程

$\begin{array}{l} \frac{d^{2}}{d t^{2}} [x (t) - k x (t - τ (t))] = \\ f (x (t)) x^{'} (t) + g (t, x (x (t))) + p (t) (1) \end{array}$

至少存在一个周期解, 本文受其启发, 利用了迭合度的缺方向性和可加性得到了方程 (1) 至少存在两个非平凡周期解的充分条件。

条件Hf∈C (R, R) , g∈C (R2, R) , p∈C (R, R) , τ∈C2 (R, R) , T>0, k∈R, f (t+T) =f (t) , g (t+T, x) =g (t, x) , p (t+T) =p (t) , τ (t+T) =τ (t) , ∫ $_{0}^{t}$ p (t) dt=0, τ′ (t) <1.

令τ11=min0tTτ′ (t) , τ12=max0tTτ′ (t) , τ2=max0tT|τ″ (t) |, G (t) =t-τ (t) , 则τ110, 0τ12<1, 令λi=G, G, , G.ηi=μ, μ, , μ (均为i个) 。

1 主要结果及证明

定理1 设条件H成立, 且

(Ⅰ) ∃M>0, 使得|f (x) |M, ∀x∈R;

(Ⅱ) ∃R1>0, α>0, β>0, 使|g (t, x) |α+β|s|, 对∀ (t, s) ∈RR;且g (t, s) ≥0, s≥-R1, ∀t∈R;g (t, s) =0, s-R1, ∀t∈R;

$(Ⅲ) Τ | k | τ_{2} + 2 β Τ^{2} + Μ Τ + \frac{| k | (1 - τ_{11})^{1}}{1 - τ_{12}} ＜ 1 .$

则方程 (1) 至少存在两个非平凡的周期解。

注这样的g (t, s) 是存在的, 例如

$g (t, s) = {\begin{cases} (s + R_{1}) | c o t t |, s \geq - R_{1} \\ 0, s - R_{1} \end{cases}}$

证明:令X={x∈C1 (R, R) |x (t+T) |=x (t) }, Y={y∈C (R, R) |y (t+T) =y (t) }, ‖x‖=max{|x|∞, x′|∞}, ‖y‖=|y|∞, 则X, Y为Banach空间。

L: $D o m L = C^{2} (R ‚ R) \cap X Y ∶ x L x = \frac{d^{2}}{d t^{2}} [x (t) - k x (t - τ (t))]$ , 由文献[1]知L为零指标的Fredholm映射。

记N∶XY, Nx (t) =f (x (t) ) x′ (t) +g (t, x (x (t) ) ) +p (t) 。

$Q ∶ Y Y, Q x = \frac{1}{Τ} \int_{0}^{Τ} x (t) d Τ$ 。

P∶XKerL, P=Q|x, Kp为L在KerP中的逆。Kp:ImLDomL∩KerP, J=-I, 则由文献[2]知求Lx=Nx的解等价于求M的不动点, 这里Mx=Qx-QNx+Kp (I-Q) Nx。下证方程族x=λMx, λ∈ (0, 1) 在X中先验有界。

事实上, 设λ∈ (0, 1) , x∈X, 使得x=λQx-λQNx+λKp (1-Q) Nx (2)

则必存在ξ1∈R, 使x (ξ1) R1, 若不然, 由 (Ⅱ) , g (t, x (x (t) ) ) ≥0, 故Qx (t) >0, 且 $(Q Ν x) (t) = \frac{1}{Τ} \int_{0}^{Τ} f (x (t)) x^{'} (t) + g (t, x (x (t))) + p (t, x (x (t))) + p (t) d t = \frac{1}{Τ} \int_{0}^{Τ} g (t, x (x (t))) d t \geq 0$ , 而由文[2]知 (2) 式等价于

$\begin{array}{l} (1 - Q) x = λ Κ_{p} (1 - Q) Ν x, \\ (1 - λ) Q x + λ Q Ν x = 0 (3) \end{array}$

与 (3) 式第二式矛盾。同理, 存在ξ2∈R, 使x (ξ2) ≥-R1, 因而易证, ∃ξ∈[0, T], 使得|x (ξ) |R1.于是|x|∞R1+∫ $_{0}^{Τ}$ |x′ (t) |dt。

又x (0) =x (T) , 所以∃η∈ (0, T) , 使x′ (η) =0,

$\begin{array}{l} 所以 | x^{'} (t) | \int_{0}^{Τ} | x^{″} (t) | d t, \\ 即 | x^{'} |_{\infty} \int_{0}^{Τ} | x^{″} (t) | d t; \\ | x |_{\infty} R_{1} + Τ \int_{0}^{Τ} | x^{″} (t) | d t 。 \end{array}$

用L作用于 (3) 式第一式得Lx=λNx-λQNx。

即 $x^{″} (t) - k x^{″} (t - τ (t)) (1 - τ^{'} (t))^{2} + k x^{'} (t - τ (t)) τ^{″} (t) = λ [f (x (t)) x^{'} (t) + g (t, x (x (t))) + p (t)] - \frac{λ}{Τ} \int_{0}^{Τ} g (t, x (x (t))) d x,$

所以 |x″ (t) ||k||x″ (t-τ (t) ) | (1-τ11) 2+|k|τ2|x′|∞+M|x′|∞+α+β|x|∞+|p|∞+α+β|x|∞,

所以 ∫ $_{0}^{Τ}$ |x″ (t) |dt|k| (1-τ11) 2∫ $_{0}^{Τ}$ |x″ (t-τ (t) ) |dx+|k|τ2T|x′|∞+MT|x′|∞+T|p|∞+2αT+2βT|x|∞,

所以 (1-|k|τ2T-MT-2βT2) ∫ $_{0}^{Τ}$ |x″ (t) |dx|x| (1-τ11) 2∫ $_{0}^{Τ}$ |x″ (t-τ (t) ) |dx+2αT+2βR1T+T|p|∞,

又因为 $\int_{0}^{Τ} | x^{″} (t - τ (t)) | d t \int_{0}^{Τ} | x^{″} (x) | \frac{1}{1 - τ_{12}} d s,$

所以

$[1 - | k | τ_{2} τ_{2} Τ - Μ Τ - 2 β Τ^{2} - \frac{| k | (1 - τ_{11})^{2}}{1 - τ_{12}}] \int_{0}^{Τ} | x^{″} (s) | d s 2 α Τ + 2 β R_{1} Τ + Τ | p |_{\infty}$ , 由 (Ⅲ) 知∫T0|x″ (s) |ds有界, 故x=λMx先验有界, 即∃R2>R1, 使x=λMx的任一解x, 都有‖x‖R2。

下面, 不妨设x≠Mx, ∀x∈∂BR2, 则由同伦不变性得

$D [(L ‚ Ν) ‚ B_{R_{2}}] = d (Ι - Μ, B_{R_{2}}, θ) = 1 。$

不妨设Lx≠Nx, ∀x∈∂BR1, 下证D[ (L, N) , BR1]=0。

事实上, 我们有Lx-Nx≠λ.∀x∈∂BR1。

若不然, ∃x0∈∂BR1, λ0>0, 使Lx0-Nx0=λ0, 从而QNx0+λ0Q (1) =0, 即 $\frac{1}{Τ} \int_{0}^{Τ} g (t, x_{0} (x_{0} (t))) d t + λ_{0} = 0$ .但由x0∈∂BR1知x0 (t) ≥-R1, ∀t∈R, 由 (Ⅱ) 知g (t, x0 (x0 (t) ) ) ≥0, 与上式矛盾, 故D[ (L, N) , BR1]=0。

事实上, 我们有Lx≠Nx, ∀x∈∂BR3, R3=R2+1, 下证D[ (L, N) , BR3]=0.

若不然, ∃x0∈∂BR3, λ0>0, 使Lx0-Nx0=λ0,

即0=QNx0+λ0Q (1) ,

即 $0 = \frac{1}{Τ} \int_{0}^{Τ} g (t, x_{0} (x_{0} (t))) d t + λ_{0}$ 。

但由 (Ⅱ) 知g (t, s) ≥0, ∀ (t, s) ∈RR, 与上式矛盾, 故D[ (L, N) , BR3]=0。

于是由叠合度的可加性知方程 (1) 至少存在两个非平凡的周期解。

摘要：考虑具有偏差变动的二阶中立型泛函微分方程的周期解, 并利用迭合度的缺方向性得到方程至少存在两个非平凡的周期解的充分条件, 推广了已有的结论, 得到了新的结果。

关键词：周期解,中立型微分方程,偏差变元,叠合度

参考文献

[1]Li Lei, Zhou Zongfu.Periodic solution to a class of second order neu-tral functional differential equation with a statement-dependent devia-tion variable.Annal of Dierential Equations, 2007;23 (3) :280—287

[2]张福保.叠合度的缺方向性与边值共振问题的非平凡解.数学研究民评论, 1999;19 (4) :693—698

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