第八课 三角形全等证明

第八课 三角形全等证明（精选17篇）

第八课 三角形全等证明 第1篇

第八讲 三角形全等的条件（2）

5．如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE交CD于F，且AD=DF，三角形全等条件（3）：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．

C

求证：AC= BF。如图，在ABC与DEF中 AD

AB

DE BE

A

E

F





ABCDEF(ASA)

ASA公理推论（AAS公理）：有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等．

1． 如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE

⊥AB于E，DF

⊥AC于F

。求证：DE=DF．

2．如图，已知：AD=AE，ACDABE，求证：

A

6.如图，AB，CD相交于点O，且AO=BO，试添加一个条件，使△AOC≌△BOD，并说明添加的条件是正确的。（不少于两种方法）

DB

7.如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90º，多点A的任一直线AN，BD⊥AN于D，CE⊥AN于E，你能说说DE=BD-CE的理由吗？

8．如图，已知AEDADE,BAECAD，求证：BE=CD

E

3．如图，已知∠A=∠C，AF=CE，DE∥BF，求证：△ABF≌△CDE.4．如图，已知123，AB=AD.求证：BC=DE.D

F

C

E

9.如图△ABC中，∠B＝∠C，D，E，F分别在AB,BC,AC上，且BD=CE,∠DEF=∠B 求证：ED=EF

C

F

D

E

C

10.如图，∠E=∠B，∠1=∠2，EC=BC，求证：DE=AB

11.如图，AB∥DE，AC∥DF，BE=CF． 求证：AB=DE

第八讲 三角形全等的条件（2）

15.如图，在正方形ABCD中，CEDF．求证：△CBE≌△DCF.A

E

D

D

C B F

16.已知：△ABC中，D、E、F分别是AB、AC、BC上的点，连结DE、EF，∠ADE=∠EFC，∠AED=∠ACB，DE=FC。求证：△ADE≌△EFC

17.已知：如图∠1=∠2，∠3=∠4，求证：△ABC≌△ABD。

18.如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AB=CD

△BED与△CFD全等吗？

13.如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，AEEC，CF∥AB．求证：ADCF

B

A

F

19.如图：AE、BC交于点M，F点在AM上，BE∥CF，BE=CF。求证：AM是△ABC的中线。

G

C

B

F

B E C

F

12.如图所示，BE⊥AE，CF⊥AE，垂足分别是E、F，D是EF的中点，A

D

A

C B

C

14.如图，ABCD是正方形．G是 BC 上的一点，DE⊥AG于 E，BF⊥AG于 F．

A D

（1）求证：△ABF≌△DAE；（2）DEEFFB．

B

E

M

C

第八讲 三角形全等的条件（2）24.已知：如图，AC⊥OB，BD⊥OA，AC与BD交于E 点，20.如图：AB=AC，ME⊥AB，MF⊥AC，垂足分别为E、F，若OA=OB，求证：AE=BE。求证：MB=MC

求证：BE=CD

22.如图，将一等腰直角三角形ABC的直角顶点置于直线l上，且过A、B两点分别作直线l的垂线，垂足分别为D、E．请你仔细观察后，在图中找出一对全

等三角形，并写出证明它们全等的过程．

C

O

21.已知：如图，AB=AC，BDAC，CEAB，垂足分别为D、E，BD、CE相交于点F，25.已知：如图，AB=CD，AD=BC，O是AC中点，OE⊥AB于E，OF⊥D于F。求证：OE=OF。

C

A E B

三角形全等条件（4）

1、如图，B、E、F、C在同一直线上，AE⊥BC，DF⊥BC，AB=DCBF=CE，试判断AB与CD的位置关系.2、已知 如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AB=DC，求证：AD∥BC.D

C

23.如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落到点B′的位置，AB′与CD交于点E.（1）求证：△ADE≌△CB′E；（2）若AB=8，DE=3，试求BC的长.D

C

A

B

第八讲 三角形全等的条件（2）

3、如图，AD是△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，具有BF=AC，FD=CD，8.如图，在ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别 试探究BE与AC的位置关系.求证：△ACF≌△BDE.5．如图，已知AC⊥BC，AD⊥BD，AD=BC，CE⊥AB，DF

垂足分别为E、F，那么，CE=DF吗？谈谈你的理由!

求证：（1）CE=BE；（2）CB⊥AD.B

B

D C4、如图，A、E、F、B四点共线，AC⊥CE、BD⊥DF、E A

是E、F，且DE=DF，试说明AB=AC.9.如图，DC=BC，∠B＝∠D=90°，求证：AB＝AD.10.已知：如图∠B=∠E=90°AC=DFFB=EC，证明：AB=DE 已知：如图，AB＝CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E，F是垂足，DEBF．求证：AB∥CD．

6．如图，已知AB=AC，AB⊥BD，AC⊥CD，AD，BC12.已知：如图，AB⊥BC，AD⊥DC，AB=AD，若E是AC上一点。求证：EB=ED

7.如图，△ABC中，D是BC上一点，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F分别为垂足，且AE=AF，试说明：DE=DF，AD平分∠BAC.E

第八课 三角形全等证明 第2篇

1、已知CD∥AB，DF∥EB，DF=EB，问AF=CE吗？说明理由。

CA2、已知∠E=∠F，∠1=∠2，AB=CD，问AE=DF吗？说明理由。

F3、已知，点C是AB的中点，CD∥BE，且CD=BE，问∠D=∠E吗？说明理由。

4、已知AB=CD，BE=DF，AE=CF，问AB∥CD吗？

A B

“五步法”突破全等三角形的证明 第3篇

我校山区学生较多, 面对全等三角形的证明题, 他们往往不知从何做起.虽然有很少一部分同学表面上知道方法, 但他们叙述不清楚, 说不出理由, 几乎不会写逻辑推理的过程.因此, 才有了“几何几何, 磨烂脑壳, 老师怕讲, 学生怕学”这种诙谐的说法.在此, 笔者根据自己的教学经验, 尝试运用以下五个步骤来解决全等三角形的证明问题.

步骤一:分析题目与图形

首先, 教师应引导学生认真审题, 弄清楚题目中所涉及的数学概念和专业术语的含义, 并结合图形, 理清已知条件, 明确求证内容.为了能使条件一目了然, 可以在已知条件前标注序号, 也可以将已知条件在图形中相应位置直接标注出来.此外, 图形中往往还有一些隐含条件, 比如, 对顶角、公共边、公共角等, 它们也是已知条件, 在证明中常常具有举足轻重的作用, 需要学生火眼金睛, 最大限度地从图形中挖掘有用信息.下面就举例具体分析一下.

例1如图, AC和BD相交于点O, OA=OC, OB=OD.求证:DC//AB.

认真审题后, 学生容易整理出两个已知条件: (1) OA=OC, (2) OB=OD.在此基础上, 教师可以引导学生在已知条件前标注数字序号, 并在图中相应位置进行标记.如, 学生可以在一组相等的线段上标注一点 (或者用红笔涂色) , 在另一组相等的线段上标注两点 (或者用蓝笔涂色) .这样一来, 所有的信息就都集中在图形上, 一目了然, 便于学生根据求证的内容迅速从图形中搜寻相关信息, 并且根据证明的需要挖掘隐含条件———对顶角相等.

步骤二:确定证明思路, 找到证明的条件

熟记定理是进行几何证明的前提.在证明过程中, 定理是联系题目中题设和结论的“桥梁”.例如, 要想证明两个三角形全等, 首先要把判定定理记得滚瓜烂熟, 只有这样, 才能在证明时审时度势, 深入探究已知条件和所求结论之间的内在联系, 确定具体使用哪个定理判定三角形全等, 并在此基础上, 进行严密的证明.证明命题时, 通常有以下三种思维模式:

1.正向思维.即执因索果, 证明的思路是从已知条件出发, 最终得出题目的结论.对于思路明了的简单题目, 通过正向思考, 不难得出答案.这种思维模式一般用于求线段的长度、角的度数等.

2.逆向思维.即由果导因, 证明的思路是从结论出发, 一步步探寻使结论成立的条件, 故称为“逆向思维”.在判定三角形全等的题目中, 使用逆向思维往往能使证明的思路更清晰, 证明的过程更简洁, 避免走弯路.如, 在例1中, 要想证明结论DC//AB, 就从结论出发, 找出使DC//AB成立的条件.根据平行的判定定理, 一般有三种思路: (1) 同位角相等, 两直线平行; (2) 内错角相等, 两直线平行; (3) 同旁内角互补, 两直线平行.结合图形不难看出, 从判定定理 (2) 内错角相等, 两直线平行入手, 即可证明.接着再寻找使定理 (2) 成立的条件——内错角相等.这样一来, 解题的目标从证明两直线平行转化为证明两个角相等.而在初中几何中, 要想证明两个角相等, 一般可以通过证明两个三角形全等, 进而得到对应角相等.通过两步推导, 题目变成了常规证明题———求证两个三角形全等.根据判定定理可知, 要证明两个斜三角形全等, 一般要具备三个条件.而此题题目中已经给出了两个条件, 即两组对应边分别相等.回顾所学的斜三角形全等的四个判定定理——AAS, ASA, SAS和SSS, 不难发现, 涉及两组对应边分别相等的判定定理只有SAS和SSS.所以, 此时要么想办法证明第三组对应边也相等, 要么确定两组对应边的夹角相等.带着这个任务回归图形, 寻找隐含条件, 发现由于AC与BD相交于点O, 显然OA与OB的夹角和OC与OD的夹角恰为对顶角, 不难推知, 用SAS即可证明△DOC与△BOA全等, 从而得到DC//AB.

逆向思维流程图如下:要证明两直线平行→ (找两直线平行的条件) 内错角相等→ (找角相等的条件) 证明三角形全等→接着找斜三角形全等的三个条件→根据题目所给条件并结合图形, 确定所用的判定定理.

3.从已知条件和结论同时出发, 综合使用正向思维和逆向思维, 得到结论.

步骤三:规范地书写证明过程

书写判定三角形全等的证明过程, 要求步骤清楚, 格式规范, 每一步都要有理有据.在教学中, 常常会出现这样的情况:学生能大致口述证明思路, 但不知道该如何书写证明过程, 或者有的学生索性先把已知条件全部罗列, 然后直接得出结论 (即题目的求证部分) .因此, 教师应教会学生使用标准的格式书写证明过程, 并重点强调以下要点:

1.证明哪两个三角形全等, 首先要写清楚在哪两个三角形中.

2.书写三角形全等的三个条件时, 用哪个判定定理, 就按照该定理的字母顺序相应地在大括号内罗列边和角.如, 例1, 用SAS证明, 就按边角边的顺序在大括号中相应地写出对应的边和角, 并着重强调这个角是两边的夹角, 避免学生误用判定定理进行证明.

3.写的时候, 对应点要写在对应位置上.

按照上述要求, 教师可向学生示范例1规范的书写格式.

步骤四:反思证明过程

反思是将解题思路升华的过程.学生证明完毕后, 教师应该指导学生反思证明过程.

第一, 反思证明思路.

第二, 反思如何规范地书写证明过程.

第三, 反思假如以后遇到类似的题目, 该怎么做.

步骤五:教会学生善于收集经典例题, 并把题型归类

全等三角形的证明题浩如烟海, 在教学中, 教师要引导学生抓住经典例题, 逐步掌握一些基本的证明方法, 归纳出带有规律性的一般结论, 力求举一反三.

在教学过程中, 教师可以改变经典例题的条件或者结论, 再让学生证明, 同时让学生自己把同类型的题目归类.比如, 哪些图形有隐含条件, 哪些题目用正向思维, 哪些题目用逆向思维等;或者说证明线段相等一般用什么方法, 证明角相等又用哪些方法, 在哪些图形中该怎么作辅助线等。既提高了学生的归纳总结能力, 又提高了学生的数学素养.

试析证明三角形全等的技巧 第4篇

【关键词】三角形全等 证明 两大关键 三类图形 两种方法

一般来说，证明三角形全等就是证明三角形的角和线段相等，这也是初中平面几何的基础理论。所以说，以多角度学习证明三角形全等的方法就是学好初中平面几何的关键，对后续更复杂的几何知识学习也很有帮助。

一、证明三角形全等的两大关键

三角形全等的基本理念就是找准角与角、边与边之间的对应关系，所以本文针对三角形全等证明归纳两大关键要点：

第一，全等三角形的公共边一定要是对应边，而其公共角即对顶角也必须全是对应角。

第二，在全等三角形中，相等的边边关系所对应的角也必须为对应角；反之，相等的角其所对应的边也一定是对应边，如此才能成立三角形全等这一结论[1]。

二、证明三角形全等的三类图形

在初中平面几何教学中，通常认为的全等三角形图形形态应该包括三种：

（一）平移型全等三角形

图1 平移型全等三角形

如图1中所示的即为平移型全等三角形，两个三角形在平移后依然是保持全等关系不变的，以下举例来说。

例1：如图2，在两个三角形△DEF与△ABC中，如果边EF∥BC，且有 ∠EDF=∠BAC，已知边DE=AB=8，AC=12，BC=10，那么边EF的长度为多少？

图2 平移三角形DEF和ABC

因为△DEF与△ABC符合ASA判定定理，∠EDF=∠BAC且AB=DE=8，那么BC=10，所以就有EF=BC=10.

（二）对称型全等三角形

图3 对称型全等三角形

例2：如图4，已知∠DBA=∠CAB，边DB=CA，DA与CB的相交点为O，而E为AB边的中点，试证明OE与AB的位置关系.

图4 对称三角形CAB和DBA

首先，根据ASA判定定理可以得知，因为∠DAB=∠DBA，所以△DBA与△CAB应该为全等三角形，E为AB边的中点，所以OB=OA，∠OBA=∠OAB，所以边OE与边AB应该呈垂直关系，即OE⊥AB.

（三）旋转型全等三角形

图5 旋转型全等三角形

例3：如图6，在平行四边形ABCD中，E、F两点位于对角边AC之上，如果AF=CE，求问DF与BE边的关系.

图6 旋转三角形ADF与CBE

该题求解的是DF与BE两边的关系，从经验来看，两边应该属于平行关系，若想证明DF∥BE，就必须先证明△ADF与△CBE为全等三角形。因为AD∥BF，且AD=BC，∠DAC=∠BCA，AF=CE，所以根据SAS判定定理，可以证明△ADF与△CBE为全等三角形。在证明两三角形全等后，就可以得出结论，边DF=BE，且两边也是平行关系，DF∥BE.

以上三种图形就是在对称、平移和旋转状态下的三种全等三角形，对它们的判定还是要基于四大判定定理，并通过变换图形的角度、位置、垂直平行关系来证明它们可能存在的全等关系。对于初中生来说，它的难点就在于要用角度变换的思维来看待对三角形全等的证明，并学会灵活运用三角形全等的四个判定定理进行证明[2]。

三、证明三角形全等的两种方法

在初中平面几何学习中，对三角形全等的证明存在顺推和逆推两种方法，本文将做出一一解析。

（一）顺推分析法

所谓顺推分析自然是从已知条件出发，利用上述提到的四种判定定理或其他平面几何知识进行推导，再联系结合题目中的已知条件来发展推理过程，最后得出结论。

例4：如图7，线段AB中点为C，其中DC边平分∠ACE，有∠1=∠2，EC边平分∠BCD，有∠2=∠3，且EC=DC，证明△DAC与△EBC为全等三角形.

图7

该题目中所给出的已知条件十分充分，因为C点为线段AB的中点，所以CA=CB。因为DC、EC边平分∠ACE与∠BCD，所以∠1=∠2=∠3。又因为DC=EC，根据SAS判定定理，至此可以说明△DAC≌△EBC.

（二）逆推分析法

逆推分析法是从结论入手的解题方法，它所分析的是到达结论的可行性路径，并且根据结合所给出的已知条件和结论来寻找到正确的证明方法。在三角形全等的求解过程中，逆推分析法是十分常见的。

例5：如图8，已知BA=CA，DA=EA，请求证BD=CE.

∵DA=EA，BA=CA

∴∠C=∠B，∠1=∠2

根据SAS，∵∠B+∠3=∠1，∠C+∠4=∠2

∴∠3=∠4

DA=EA，BA=CA，∴可得△BAD≌△CAE，∴BD=CE.

以上为顺推分析和逆推分析的例题求证，如果能够娴熟掌握上述两种方法技巧，学生还可以结合顺推与逆推，用两种技巧共同解决习题，求证三角形的全等关系[3]。

四、总结

除上述解题方法外，利用公共边、公共角、对顶角等方法也能证明三角形的全等关系。因此可以说，初中平面几何中三角形全等的求解方法是丰富多样的，教师在教学过程中应该在扎实掌握四大判定定理、边角关系的基础理论的基础上，充分打开学生的思路，开阔学生的视野，从不同角度、不同层面来启迪和开发学生的解题能力。而三角形全等证明问题作为初中平面几何的基础知识，也应该被学生所熟悉运用，这对他们未来面对和解决更复杂的几何题型很有帮助。

【参考文献】

[1]娄菊红.浅谈证明三角形全等的一些技巧[J].中学生数理化（八年级数学人教版），2012（07）：6-7.

[2]钱燕群.三角形全等的证明及应用举例[J].读写算（教育教学研究），2011（08）：118-119.

全等三角形证明题 第5篇

关于圆点对称的),将直角坐标系关于Y轴翻折,得A1,B1,然后分别

连接A,A1和B,B1后,证AA1O和BB1O两三角行全等!

2有一个正方形,分别连接它的对角,求其中的全等三角形?

3一个等腰三角形,做这个三角形的高线后,求其中的全等三角形?

4在直角坐标系中,有一个直角三角形,将此三角形向左平移6格,求平移后的三角形和原料的三角形是否全等?

5有两个直三角形,其一个三角形三边的长为3,4,5,另一个三角形的直角边长为3和4.求证两三角形全等.(注:SAS)

6一个等边三角形的边长为5cm,另一个等边三角形边长也是5cm,求两个等边三角形全等.(注:SAS或SSS)

7.已知平行四边形ABCD，连接点AC，求三角形ABC和三

角形CDA全等.8等腰梯形ABCD对角相连求全等的三角形?

9在一个圆上，在圆内做两个三角形，圆心是公共的两个三角形的端点，且这两个角度数都为30度，求两三角形全等.(由

于圆半径相等，且两边夹角相等，所以SAS)

10.已知：三角形中AB=AC，求证：(1)∠B=∠C

11三角形ABC和三角形FDE,AB=FD,AC=FE,BC=DE,求全等(SSS)

12三角形ABC和三角形FDE,∠C=∠E,AC=FE,∠A=∠F,求全等

(ASA)

三角形ADF是直角三角形

所以角EAD=90度-角BDA

三角形ADB是直角三角形

所以角BAD=90度-角BDA

所以角EAD=角BAD

CE平行AB

所以同旁内角互补

所以角BAD+角ACE=180度

角BAD=90度

所以角ACE=90度

所以角BAD=角ACE

所以三角形BAD和三角形ACE中

角EAD=角BAD

角BAD=角ACE

AB=AC

由ASA

三角形BAD≌三角形ACE

所以AD=CE

因为D是AC中点，且AB=AC

所以AB=2AD

所以AB=2CE

只要证明直角三角形BAD全等ACE就可以了

AE垂直BD，所以角EAC=角DBA(为什么?因为角EAC+角BAE=90度，而角BAE+角DBA=90度，所以角EAC=角DBA)

然后因为CE平行AB，所以角ACE=90度

看三角形BAD和ACE

角EAC=角DBA

角BAD=角ACE=90

又因为AB=AC

所以两个直角三角形全等

所以AD=CE

又因为BD是中线，所以AC=2AD

所以AB=2CE

∵∠DEC=∠AEB(对顶角相等)

∠A=∠D

AE=ED

∴△ABE全等于△DEC(ASA)

∴EB=EC

∵∠DEC=50°

∴∠BEC=180°—∠EDC=180°—50°=130°

∵BE=EC

∴△BEC是等腰三角形

全等三角形(基础证明题) 第6篇

1.把下列命题改写成“如果„„”“那么„„”的形式，指出它的题设和结论,并写出他们的逆命题.（1）同位角相等，两直线平行；

解：如果_______________________，那么_____________________;

题设为:________________________,结论为:________________________;

逆命题为:____________________________________________

（2）两直线平行，同旁内角互补；（3）对顶角相等；(4）全等三角形的对应边相等；（5）平行四边形对应角相等；

2.三角形全等的判定方法有:_________,___________,_____________,___________,________;

3.全等三角形用符号______来表示;其对应边_______对应角_________;

4.如图,在△ABC中,ABAC,AD平分BAC,求证:

B

D

△ABD△ABD

(第4题图)(第5题图)(第6题图)

5.如图,已知ABCD,ACBCBD,判断图中的两个三角形是否全等,并说明理由;

6.如图, △ABC是等腰三角形,AD,BE分别是BAC, △ABD和△BAE全等吗?请说明你的理由.7.如图 在ABCD中，求证ABDCDB

B

B

(第7题图)(第8题图)

8.如图,DEAB,DFAC,AEAF,你能找到一对全等的三角形吗?并证明你的结论.9.已知AB与CD相交于O，AD,COBO。求证：AODO

10.如图,在ABC中,BDCD,BEAB,DFAC,E,F为垂足,DEDF,求证:BECF

11.如图,在直线l上找出一个点P,使得点P到AOB的两边

B

第12题图)(第13题图)

12.如图,已知AECE,BDAC,求证:ABCDADBC

13.如图, 在△ABC中,ABC,ACB的平分线交于D,EF经过D,且EF∥BC,求证:EFBECF

14.如图,E是AOB平分线上一点,ECAO,EDBO,垂足分别为C,D,求证:EDCECD

ABD

E

(第14题图)(第15题图)

15.如图,AB∥DE,AC∥DF,BC∥EF。求证:ABCDEF

16.如图,AEDB,BCEF,BC∥EF。求证:ABCDEF

17．已知.ABDF,ACDE,BECF,求证18.如图,ACBD,BCAD。求证:ABCA

第19题图)

19.如图12,BD。求证:ABCADC

20.如图AB,CE ∥DA,CE交AB于E。求证:C

D

(第20题图)(第21题图)

21.如图,在△ABC中,ABAC,D是BC的中点,DEAB,DFAC,E,F是垂足,求证:DEDF

22.如图,BDACEA,AEAD。求证:ABAC

B

初一全等三角形证明 第7篇

1．如图，AB＝AD，CB＝CD．△ABC与△ADC全等吗？为什么？

２．如图，C是AB的中点，AD＝CE，CD＝BE．

求证△ACD≌△CBE．

３．如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF． 求证∠A=∠D．

４．已知，如图，AB=AD，DC=CB．求证：∠B=∠D。

B

５．如图, AD＝BC, AB＝DC, DE＝BF.BE＝DF.求证：∠E=∠F

A

DCBF

２．三角形全等的判定二（SAS）

1．如图，AC和BD相交于点O，OA=OC，OB=OD．求证DC∥AB．

2．如图，△ABC≌△ABC，AD，AD分别是△ABC，△ABC的对应边上的中线，AD与AD有什么关系？证明你的结论．

3．如图，已知AC⊥AB，DB⊥AB，AC＝BE，AE＝BD，试猜想线段CE与DE的大小与位置关系，并证明你的结论．

E B

4．已知：如图，AD∥BC，AD=CB，求证：△ADC≌△CBA．

CB

5．已知：如图AD∥BC，AD=CB，AE=CF。求证：△AFD≌△CEB．

AC

6．已知，如图，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2。求证：△ABD≌△ACE． AE D

３～４．三角形全等的判定三、四（ASA、AAS）

1．如图，点B，F，C，E在一条直线上，FB=CE，AB∥ED，AC∥FD．求证AB=DE，AC=DF．

2．如图，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE，AD⊥CE于D，AD=2.5cm，DE=1.7cm． 求BE的长．

3．已知，D是△ABC的边AB上的一点，DE交AC于点E，DE=FE，FC∥AB。求证：AE=CE。

E

DB

4．已知：如图 , 四边形ABCD中 , AB∥CD , AD∥BC．求证：△ABD≌△CDB

5．如图, AD∥BC, AB∥DC, MN＝PQ.求证：DE＝BE.3 QDPA

6．如图, 在ABC中, ∠A＝90°, BD平分B, DE⊥BC于E, 且BE＝EC,(1)求∠ABC与∠C的度数；

(2)求证：BC＝2AB.07．如图，四边形ABCD中，

（2）求证：E是CD的中点；

（3）求证：AD+BC=AB.8．如图, 在△ABC中, AC⊥BC, CE⊥AB于E, AF平分∠CAB交CE于点F, 过F作FD∥

第八课 三角形全等证明 第8篇

命题一:两腰和一腰所对的角对应相等的两个等腰三角形(锐角三角形)全等.

已知:如图,在锐角△ABC中,AB=AC,在锐角△A′B′C′中,A′B′=A′C′,且AB=A′B′,AC=A′C′,∠B=∠B′.

求证:△ABC≌△A′B′C′.

证明:∵AB=AC,∴∠B=∠C.

同理,∠B′=∠C′.

∵∠B=∠B′,∴∠C=∠C′.

易证△ABC≌△A′B′C′(AAS).

将已知条件“∠B=∠B′”换成“∠C=∠C′”,证法与上述类似. 由于两个等腰三角形以一腰相等即可得到两腰对应相等,所以命题一可简化成“腰和底角对应相等的两个等腰三角形(锐角三角形)全等”.

命题二:一腰及底边且其中一边所对的角对应相等的两个等腰三角形(锐角三角形)全等.

已知:如图,在锐角△ABC中,AB=AC,在锐角△A′B′C′中,A′B′=A′C′,且AB=A′B′,BC=B′C′,∠A=∠A′.

求证:△ABC≌△A′B′C′.

证明:∵AB=AC,A′B′=A′C′,AB=A′B′,

∴ AC=A′C′.

又∵AB=A′B′,BC=B′C′,

∴△ABC≌△A′B′C′(SSS).

此时,“∠A=∠A′”便成了多余条件,故将“∠A=∠A′”换成“∠C=∠C′”仍是多余条件. 所以可得“一腰及底边对应相等的两个等腰三角形(锐角三角形)全等”是真命题.

小结:抓住等腰三角形的性质,再利用“边边角”即可很简单地证明两个等腰三角形(锐角三角形)全等.

第八课 三角形全等证明 第9篇

情形一 简单组合“SAS”条件进行判定

例1 已知：如图1，E是BC的中点，∠1=∠2，AE=DE.

求证：AB=DC.

【分析】就本题图形与已知条件来看，要证得AB=DC，只要证得两个三角形全等即可. 从所给的条件来看，已知中直接给定了一组角与一组边对应相等，好像少一组边对应相等，实际上∠1=∠2的另一组夹边以“E是BC的中点”的形式给出了，这三个条件基本上是以比较直接的形式给出的，具体证明只要简单组合一下这三个条件就可以了.

证明：∵E是BC的中点，

∴BE=CE.

在△ABE和△DCE中，

∵BE=CE，∠1=∠2，AE=DE，

∴△ABE≌△DCE.

∴AB=DC.

【反思】这种只要直接组合已知条件证明三角形全等的题主要考查基础知识，给出证明时注意几何语句的书写规范.

情形二 探寻“夹角”相等实现“SAS”判定

例2 已知：如图2，OP是∠AOC和∠BOD的平分线，OA=OC，OB=OD.

求证：AB=CD.

【分析】由题意，我们只要证得△AOB≌△COD即可得到结论.这两个三角形全等的条件已直接给出了两组边对应相等，是不是能找到它们的夹角呢？显然，题目已知条件给了“OP是∠AOC和∠BOD的平分线”，能给我们以帮助，可以得到∠AOP=∠COP，∠BOP=∠DOP，进而由角的差可以得到两个三角形的∠AOB=∠COD，从而获得三角形全等的必要条件.

证明：∵OP是∠AOC和∠BOD的平分线，

∴ ∠AOP=∠COP，∠BOP=∠DOP.

∴∠AOB=∠COD.

在△AOB和△COD中，

OA=OC，

∠AOB=∠COD，

OB=OD，

∴△AOB≌△COD. ∴AB=CD.

【反思】本题也是比较典型的考查全等三角形的基础问题，只要经过简单的探究就能得到一个间接给出的有效条件从而实现问题的解决，解题时注意题目中一些间接信息的转译，一些间接信息是发现有效条件的来源.

情形三 探寻一组“有效的边”相等应用“SAS”判定

例3 如图，点C，E，B，F在同一直线上，∠C=∠F，AC=DF，EC=BF.求证：△ABC≌△DEF.

【分析】由题意，题中直接给出一组对应角、一组对应边相等，还差一组对应边（BC=EF）就可以应用“SAS”判定两个三角形全等了.观察所给的条件EC=BF，我们可以利用线段的和得到有效的一组对应边BC=EF，于是问题获得解决.

证明：∵EC=BF，

∴EC+BE=BF+BE，即BC=EF.

在△ABC与△DEF中，

AC=DF，

∠C=∠F，

BC=EF，

∴△ABC≌△DEF（SAS）.

【反思】本题寻找另一组“有效的对应边”也是通过题目中间接信息得出的，这种给出一组非对应边的线段相等，从而根据线段的和及等式性质得到对应边相等的解题思路（或意识）是非常重要的，同学们要注意积累.

最后链接一道新考题，帮助同学们巩固本文所讲内容.

小试牛刀

（2015·重庆卷）如图4，△ABC和△EFD分别在线段AE的两侧，点C，D在线段AE上，AC=DE，AB∥EF. 求证：BC=FD.

全等三角形证明题01 第10篇

A D

B E C F

2．如图，已知D是△ABC的AC边上的一点，DF交AB于E点，DE＝EF，FB∥AC．求证：AE＝BE．

A E D F

B C

3．如图，已知点A、E、F，C在一条直线上，BF＝DE，AB＝CD，AE＝CF，求证：DE∥BF．

D C

E F A B

4．如图，已知AB＝AC，AD＝AE，BD＝CE，求证：312．

A 1E

3D2 BC

5．如图，已知若AB＝CD，AB∥CD，F、E分别在AB、CD上，且FC∥BE，AD分别交FC、BE于G、H．求证：AG＝DH．

C E D H G A F B

6．如图，已知已知A、C、B三点在同一直线上，△ABD和△BCE都是等边三角形．求证：AE＝DC．

D

A C B

E

7．如图，已知AB＝AE，∠B＝∠E，BC＝ED，F是CD的中点．求证：AF⊥CD．

A

B E

C F D

全等三角形证明题01 8．如图，已知DC∥AB，FC∥AE，且DF＝BE．求证：AD＝BC．

D C

F E A B

9．如图，已知AB＝AC，AE＝AD，BD和CE于O．求证：⑴ ∠OBE＝∠OCD； ⑵ ∠OAE＝∠OAD． A

E D

O

C B

10．如图，已知点A、B、C在同一直线上；分别以 AB、BC为边在直线同旁作等边△ABD和等边△BCE，AE、CD分交BD、BE于P、Q．求证：BP＝BQ．

D E

P Q

A C B

11．如图，已知在△ABC中，分别以AC、BC为一边作等边△ACD与△BEC，连结AE、BD相交于O点．求证：AE＝BD．

D C E O

B A

12．如图所示，△ABC、△ADE均为等边三角形，连结CD、BE，M、N分别为CD、BE的中点．求证；△AMN为等边三角形．

B

A N

D

全等三角形证明写理由 第11篇

１．已知：AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求证：∠B=2∠C

证明：延长AB到，使AE＝，连接DE

∵AD平分∠BAC

∴∠EAD＝∠CAD（）

∵AE＝AC，AD＝AD

∴△AED≌△ACD（）

∴∠E＝∠C（）

∵AC＝AB+BD∴AE＝AB+BD（）

∵AE＝AB+BE∴BD＝BE（）

∴∠BDE＝∠E

∵∠ABC＝∠E+∠BDE∴∠ABC＝2∠E

∴∠ABC＝2∠C

2． 已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE

证明： 在AE上取F，使EF＝EB，连接CF

∵CE⊥AB∴∠CEB＝∠CEF＝90°（）

∵EB＝EF，CE＝CE，∴△CEB≌△CEF（）

∴∠B＝∠CFE

∵∠B＋∠D＝180°，∠CFE＋∠CFA＝180°

∴∠D＝∠CFA（）

∵AC平分∠BAD∴∠DAC＝∠FAC

∵AC＝AC

∴△ADC≌△AFC（）∴AD＝AF

∴AE＝AF＋FE＝AD＋BE

3．如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。求证：BC=AB+DC。证明：在BC上截取BF=AB，连接EF

∵BE平分∠ABC

∴∠ABE=∠FBE

又∵BE=BE

∴⊿ABE≌⊿FBE（）

∴∠A=∠BFE

∵AB//CD

∴∠A+∠D=180º（）

∵∠BFE+∠CFE=180º∴∠D=∠CFE（）

又∵∠DCE=∠FCE，CE平分∠BCCE，CE=CE

∴⊿DCE≌⊿FCE（）

∴CD=CF∴BC=BF+CF=AB+CD

４．已知：AB=CD，∠A=∠D，求证：∠B=∠C

证明：设线段AB,CD所在的直线交于E，（当ADBC时，E点是射线AB,DC的交点）．∵∠A=∠D，∴ ∠＝∠（）∴△AED是等腰三角形（）

∴AE=DE而AB=CD∴BE=CE（）

∴△BEC是等腰三角形∴∠B=∠C.（）

５． 如图，在△ABC中，BD=DC，∠1=∠2，求证：AD⊥BC． 证明：延长AD至BC于点E,∵BD=DC∴△BDC是等腰三角形（）

∴∠DBC=∠DCB（）

又∵∠1=∠2∴∠DBC+∠1=∠DCB+∠2（）

即∠ABC=∠ACB∴△ABC是等腰三角形（）

∴AB=AC

在△ABD和△ACD中

∵ AB=AC（），∠1=∠2（），BD=DC（）

∴△ABD≌△ACD（）∴∠BAD=∠CAD

∵ AB=AC∴AE是BC边上的）

∴AE⊥BC即AD⊥BC

６． 如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC。求证：（1）EC=BF；（2）EC⊥BF

证明：（1）∵AE⊥AB，AF⊥AC，∴∠BAE=∠CAF=90°（）

∴∠BAE+∠BAC=∠CAF+∠BAC（）

即∠EAC=∠BAF，E 在△ABF和△AEC中，∵AE=AB，∠EAC=∠BAF，AF=AC，∴△ABF≌△AEC（）∴EC=BF；

C（2）如图，根据（1），△ABF≌△AEC，∴∠AEC=∠ABF，∵AE⊥AB，∴∠BAE=90°，∴∠AEC+∠ADE=90°，∵∠ADE=∠BDM（）∴∠ABF+∠BDM=90°（）在△BDM中，∵∠BMD=180°-∠ABF-∠BDM=180°-90°=90°，∴EC⊥BF．

７．如图：BE⊥AC，CF⊥AB，BM=AC，CN=AB。求证：（1）AM=AN；（2）AM⊥AN。

证明：（1）∵BE⊥AC，CF⊥AB ∴∠ABM+∠BAC=90°，∠ACN+∠BAC=90° ∴∠ABM=∠CAN（）∵BM=AC，CN=AB

∴△ABM≌△NAC（）∴AM=AN（2）∵△ABM≌△NAC（）∴∠BAM=∠N

∵∠N+∠４=90°∴∠３+∠４=90°即∠MAN=90°∴AM⊥AN

８．△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AD是BC边上的中线，过C作AD的垂线，交AB于点E，交AD于点F，求证：∠ADC＝∠BDE． 证明：作CG⊥AB于Ｇ，交AD于H, ∵ △ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°

∴∠ACH=45º,∠BCH=45º ∵∠CAH=90º-∠CDA, ∠BCE=90º-∠CDA ∴∠CAH=∠BCE（）

又∵AC=CB, ∠ACH=∠B=45º ∴△ACH≌△CBE（）∴CH=BE又∵∠DCH=∠B=45º, CD=DB

初二数学全等三角形证明 第12篇

班别_______姓名_______学号_______2007-5-1

51.如图,AB=CD,AD、BC相交于点O，(1)要使△ABO≌△DCO,应添加的条件为.(添加一个条件即可)

(2)添加条件后,证明△

ABO≌△DCO

2.已知：如图，AB//DE，且AB=DE.(l）请你只添加一个条件，使△ABC≌△DEF,你添加的条件是.(2）添加条件后，证明△ABC≌△DEF.3、如图，点E在AB上，AC=AD，请你添加一个条件，使图中存在全等三角形，并给予证明。

所添条件为，你得到的一对全等三角形是

证明：ABOCD(第12题)

4、如图，在△ABC中，D为BC边的中点，过D点分别作DE∥AB交AC于点E，DF∥AC交AB于点F.（1）证明：△BDF≌△DCE ；AFE

BC D

(第4 题图)

5．如图9，已知∠1 = ∠2，AB = AC．求证：BD = CDBDA

图 9

6．如图，已知∠1＝∠2，∠C＝∠D，求证：AC＝BD．

A

B7、如图，在ABCD中，BEAC于点E，DFAC于点Ｆ．

求证：AECF；AD

BC8、如图,已知点M、N分别是平行四边形ABCD的边AB、、DC的中点,求证: ∠DAN=∠BCM.9．如图，AC和BD相交于点E，AB∥CD，BE=DE。求证：AB=CD

A

B E

第9题图

10、已知：如图10，在△ABC中，AB=AC，点D，E在边BC上，且BD=CE．

求证：AD=AE．

_B

_C

_ M

_N

_A

_D

D

C

图10

C12、如图（4），在△ABD和△ACE中，有下列四个等式：○

第八课 三角形全等证明 第13篇

一、作平行线

例1如图1所示, 已知AB=AC, CE=BD, 那么线段DG和GE有什么关系呢?请说明理由。

分析:观察此图可猜想DG=GE。要证两线段相等, 通常是通过证明三形全等或利用等角对等边来实现。而此题这两种思路都无法直接证明两线段相等。

提示:作“平行线”找等角, 条件明晰证全等。

方法一:过点D作DF∥AC,

先证明DB=DF, 由此可得DF=CE。

再证明△DGF≌△EGC, 从而可得GD=GE。

方法二:可过点E作EH∥AB, 交BC的延长线于点H。通过证明△EGH≌△DGB可得GD=GE。

二、截取等线段

例2如图2所示, 在△ABC中, ∠B=2∠C, AD平分∠BAC, 求证:AC=AB+BD。

分析:同学们对于证明一条线等于两条线段之和较为陌生, 找不到思路。

提示:截长补短法。

方法一:如图2所示, 在AC上截取AE=AB, 可证明△ABD≌△AED, 由此可得BD=DE, 从而只需证EC=DE即可。

方法二:如图3所示, 延长AB至点E, 使BE=BD, 连接ED, 由∠ABD=2∠C, 且∠ABD=2∠E, 可证△AED≌△ACD。从而可推出AE=AC。即可证AC=AB+BD。

方法三:与方法二思路基本相同, 延长AB至E, 使AE=AC, 因而只需证BE=BD, 可证明△AED≌△ACD, 并由∠B=2∠C, 可证∠E=∠BDE, 从而有BE=BD。

三、倍长中线法

例3如图4所示, 在△ABC中, AC=5, 中线AD=4, 求AB的取值范围。

分析:同学们面对此类题, 感觉无从下手, 但可从D为BC的中点寻找突破口。

提示:倍长中线法或构造中位线法。

方法一:如图4所示延长中线AD至点E, 使得DE=AD, 连接BE, 由△AD≌EDB, 可得BE=AC=5, AE=2AD=8, 在△AEB中, 可得3

方法二:如图5所示, 作AC中点F, 连接DF, 则AF=AC=,

在△ADF中有:

故3

四、等面积法或等积法

例4如图6所示, 在△ABC中:∠ACB=90°, CD平分∠ACB, AE⊥CD于点D, AE交CB于点E, EF⊥AB于点F, AC=3, BC=4, 求AF的长。

分析:题给信息中线与线垂直的条件较多很显然, 要求AF的长, 需多次运用勾股定理。

提示:利用等面积法或等积法。根据题中的条件, 易求AB、AE、CD的长, 要求AF则需先求EF或以EF为中间线段搭桥, 对同学们而言, 难度较大。若用等面积法、则可迎刃而解。

解:因为S△A B C=S△A C E+S△A B E,

即

解得

然后由勾股定理可求得:

五、作垂线

例5如图7所示, 在△ABC中, ∠B=60°, ∠A与∠C的平分线AE、CF相交于点O, 那么OF=OE吗?为什么?

分析:此题若不作辅助线, 要证OE=OF, 几乎无路可寻。

提示:遇“平分线”作垂线显垂足。

解:连接BO, 并分别作OM⊥AB、ON⊥BC于点M、N。

因为∠B=60°, AE、CF平分∠BAC、∠ACB。

所以2∠OAC+2∠OCA+∠B=180°, 且OM=ON。

所以∠OAC+∠OCA=60°。

则∠AOC=120°=∠EOF。

∠MON=360°-∠BMO-∠BNO-∠B=120°。

故∠MON-∠FON=∠EOF-∠FON,

即∠MOF=∠EON。

所以Rt△MOF≌Rt△EON。

初中数学证明三角形全等找角 第14篇

【摘要】“全等三角形的证明”是初中平面几何的重要内容之一，是研究图形性质的基础，而且在近几年的中考中时有出现，新课标的要求是“探索并掌握两个三角形全等的条件”，因此掌握三角形全等的证明及运用方法对初中生来说至关重要。证明三角形全等找角、边相等是最关键的步骤。如何找对应角、对应边相等，做如下总结。

【关键词】全等三角形相等角相等边

我们在初中课本上学过的三角形全等的证明方法有“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”，对于直角三角形还有“HL”。在做题的过程中我们时常发现，全等的条件往往隐藏在复杂的图形中，要找的条件就是相等的角、相等的边，初中阶段找相等的角、相等的边有以下几种情况。

一、相等的角

1、利用平行直线性质

两直线平行的性质定理：1.两直线平行，同位角相等

2.两直线平行，内错角相等

例、如图一所示，直线AD、BE相交于点C，AB∥DE，AB=DE

求证：△ABC≌△DBC

此题知道AB∥DE，根据平行线的性质可得

∠A=∠D ,∠B=∠E(两直线平行，内错角相等)

由ASA可证全等。图一

2、巧用公共角

要点：在证两三角形全等时首先看两个三角形是不是有公共交点，如果有公共交点，在看他们是否存在公共角。

例、如图二所示，D在AB上，E在AC上，AB=AC, ∠B=∠C.求证：△ABE≌△ADC

此题∠A是公共角，利用ASA可证全等。

3、利用等边对等角图二 要点：注意相等的两条边一定要在同一个三角形内才能利

用等边对等角

例.、如图三在△ABC中，AB=AC，AD是三角形的中线

求证：△ABD≌△ACD

此题已知AB=AC，由等边对等角可得

∠B=∠C.4、利用对顶角相等图三 例、已知：如图四，四边形ABCD中, AC、BD交于O点,AO=OC , BA⊥AC , DC⊥AC．垂足分别为A , C．

求证：AB=CD图四 此题利用对顶角相当可得∠AOB=∠DOC.利用AAS

可得△AOB≌△COD,再根据全等三角形对应边相等得到

AB=CD5、利用等量代换关系找出角相等

（1）∠A+公共角=∠B+公共角

例1.已知：如图五，AE=AC，AD=AB，∠EAC=∠DAB，求证：△EAD≌△CAB．

由图形可知：

∠DAE=∠EAC+∠DAC A ∠BAC=∠DAB+∠DAC

因此可得∠DAE=∠BAC图五

利用SAS可证△EAD≌△CAB

例

2、已知:如图六,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE.求证:BD=CE

由图形可知：

∠DAB=∠BAC-∠DAC

∠EAC=∠DAE-∠DAC

因此可得∠DAB=∠EAC

利用SAS可证△BAD≌△CAE图六

(2)同角（等角）的补角相等；同角（等角）的余角相等

已知:如图,∠1=∠2,BC=EF,AC=DE,E、C在直线BF上．

求证:∠A=∠D

由图形可知：图七 B

由等角的补角相等可得∠DEC=∠ACE

利用SAS可得△ABC≌△DEF

(3)同角（等角）的余角相等 D

在直角三角形中常用到同角（等角）的余角相等得到相等的角。例：如图八△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,AE是BC边上的中线，过C作

B图八 ECF⊥AE, 垂足为F,过B作BD⊥BC交CF的延长线于

D.求证:AE=CD;

由图形中可以看出：

∠D+∠BCD=90°;∠CAE+∠BCD=90°

由同角的余角相等得到∠D=∠CAE，利用AAS可得△BCD≌△CAE6、结合旋转和对称图形的性质。

例1．如图九，把一张矩形的纸ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在点E处，BE与AD•交于点F．图九

求证：△ABF≌△EDF；

根据对称的性质我们可以得到∠A=∠E=90°,利用AAS可以证明△ABF≌△EDF。

二、相等的边

1、利用等角对等边 ADAC

3CB

（注意：必须在同一个三角形中才能考虑）

例、如图十，已知∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AB=CD

已知∠3=∠4，根据等角对等边可得OB=OC

利用AAS证明出△ABO≌△DCO。

2、利用公共边相等图十 A

（若果要证明的两个全等三角形有两个相同的对应点，那么可么马上得出它们具有公共边）

D例、如图十一，已知AB=AC，DB=DC，求证：∠BAD=∠CAD CB由图形可知AD是△ABD和△ACD的公共边，利用SSS可得 AB△ABD

≌△ACD

F3、利用等量代换

图十一 F

AB+公共边=DE+公共边

例，如图十二：AB=CD，AE=DF，CE=FB。求证：∠B=∠C

E图中：BE=BF+EF;CF=CE+EF.因此可以得到BE=CF

利用SSS可证△ABE≌△DCF因此得到∠B=∠C CD4、利用线段中点或三角形中线定理，或者等边三角形的性质

例、如图十三：∠B=∠C，ME⊥AB，MF⊥AC，垂足

图十二

分别为E、F，M是BC的中点。求证：ME=MF

M是BC的中点，则可以得到BM=CM;利用AAS可得△BME≌△CMF

C例题、如图十四，△ABE和△ACF是等边三角形，求证：CE=BF图十三 F △ABE和△ACF是等边三角形，则AE=AB，AC=AF

∠EAC=∠BAE+∠BAC;∠BAF=∠CAF+∠BAC.则∠EAC=∠BAF

那么△AEC≌△ABF,则可得CE=BF

C

图十四

5、利用三角形角平分线定理

（三角形角平分线上的点到角两边的距离相等）

注意、必须是角平分线上的点

例题、如图十五，在ΔABC中，AD平分∠BAC，DE垂直AB,DF垂直AC,垂足分别为E、F。求证：AE=AF

AD平分∠BAC, DE垂直AB,DF垂直AC,则根据角平分线

性质可得到DE=DF，那么Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）

则可得到AE=AF

图十五 例题、已知：如图十六，BD为∠ABC的平分线，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD

于M，•PN⊥CD于N，判断PM与PN的关系．

A由题意知△ABD≌△CBD(SAS)可得BD也是∠AD的角平分线，PM⊥AD，PN⊥CD，由角平分线的性质

可得PM=PN

证明三角形全等的一般思路 第15篇

全等三角形具有对应边相等和对应角相等的性质，是证明线段相等或角相等的依据，因此，掌握全等三角形的证明方法特别重要。下面举例介绍证明两个三角形全等的一般思路，供同学们学习时参考。

一、当已知两个三角形中有两边对应相等时，找夹角相等（SAS）或第三边相等（SSS）。例1.如图1，已知：AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，且B、C、D在同一条直线上。

求证：AD＝BE

A

E

BCD

图

1分析：要证AD＝BE

注意到AD是△ABD或△ACD的边，BE是△DEB或△BCE的边，只需证明△ABD≌△DEB或△ACD≌△BCE，显然△ABD和△DEB不全等，而在△ACD和△BCE中，AC＝BC，CD＝CE，故只需证它们的夹角∠ACD＝∠BCE即可。

而∠ACD＝∠ACE＋60°，∠BCE＝∠ACE＋60°

故△ACD≌△BCE（SAS）

二、当已知两个三角形中有两角对应相等时，找夹边对应相等（ASA）或找任一等角的对边对应相等（AAS）

例2.如图2，已知点A、B、C、D在同一直线上，AC＝BD，AM∥CN，BM∥DN。求证：AM＝CN

MN

ACBD

图

分析：要证AM＝CN

只要证△ABM≌△CDN，在这两个三角形中，由于AM∥CN，BM∥DN，可得 ∠A＝∠NCD，∠ABM＝∠D

可见有两角对应相等，故只需证其夹边相等即可。

又由于AC＝BD，而ABACCB，CDBDCB

故AB＝CD

故△ABM≌△CDN（ASA）

三、当已知两个三角形中，有一边和一角对应相等时，可找另一角对应相等（AAS，ASA）或找夹等角的另一边对应相等（SAS）

例3.如图3，已知：∠CAB＝∠DBA，AC＝BD，AC交BD于点O。

求证：△CAB≌DBA

DC

AB

图

3分析：要证△CAB≌△DBA

在这两个三角形中，有一角对应相等（∠CAB＝∠DBA）

一边对应相等（AC＝BD）

故可找夹等角的边（AB、BA）对应相等即可（利用SAS）。

四、已知两直角三角形中，当有一边对应相等时，可找另一边对应相等或一锐角对应相等

例4.如图4，已知AB＝AC，AD＝AG，AE⊥BG交BG的延长线于E，AF⊥CD交CD的延长线于F。

求证：AE＝AF

A

E

G

BC

图

4分析：要证AE＝AF

只需证Rt△AEB≌Rt△AFC，在这两个直角三角形中，已有AB＝AC

故只需证∠B＝∠C即可

而要证∠B＝∠C

需证△ABG≌△ACD，这显然易证（SAS）。

五、当已知图形中无现存的全等三角形时，可通过添作辅助线构成证题所需的三角形 例5.如图5，已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BD是中线，AE⊥BD于F，交BC于E。

求证：∠ADB＝∠CDE

A

图5

分析：由于结论中的两个角分属的两个三角形不全等，故需作辅助线。注意到AE⊥BD，∠BAC＝90°，有∠1＝∠2，又AB＝AC。故可以∠2为一内角，以AC为一直角边构造一个与△ABD全等的直角三角形，为此，过C作CG⊥AC交AE的延长线于G，则△ABD≌△CAG，故∠ADB＝∠CGA。

对照结论需证∠CGA＝∠CDE

又要证△CGE≌△CDE，这可由

巧用全等三角形证明边角问题 第16篇

巧用全等三角形证明边角问题

作者：王进

来源：《中学生数理化·八年级数学人教版》2013年第12期

全等三角形的证明题综合整理 第17篇

1.已知：如图 , AB=CD , AE=DF , 且AEBC于E , DFBC于F． 求证：∠B=∠C

2.已知：如图 , E, B, F, C四点在同一直线上, ∠A=∠D=90° , BE=FC, AB=DF． 求证：∠E=∠C

3.已知：如图 , DN=EM , 且DN⊥AB于D , EM⊥AC于E , BM=CN． 求证：∠B=∠C.4.如图 , ABBC于B , ADDC于D , 且CB=CD , AC , BD相交于O． 求证：∠ABD=∠ADB

5.已知：如图 , CE⊥AB于E , BF⊥CD于F , 且BF=CE． 求证：BE=CF．

6.求证：一直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等．

7.已知：如图 , AE , FC都垂直于BD , 垂足为E、F , AD=BC , BE=DF． 求证：OA=OC.8.已知：如图 , AB=CD , D、B到AC的距离DE=BF． 求证：AB∥CD．

9.已知：如图 , OC=OD , ADOB于D , BCOA于C.求证：EA=EB．

10.如图 , 已知：∠ACB和∠ADB都是直角 , BC=BD , E是AB上任一点 , 求证：CE=DE．

11.已知：如图，∠A=∠D=90°，AC，BD交于O，AC=BD.求证：OB=OC．

12.已知：如图 , 四边形ABCD中 , AB∥CD , AD∥BC． 求证：△ABD≌△CDB

13.如图,已知:AD∥BC,AD=BC．求证:AB∥CD．

14.如图,已知:AC=DF,AC∥FD,AE=DB,求证:△ABC≌△DEF

15.已知:如图,点B,E,C,F在同一直线上,AB∥DE,且AB=DE,BE=CF.求证:AC∥DF．

16.已知:如图,AD是BC上的中线 ,且DF=DE．求证:BE∥CF．

17.如图 , △ABC中 , AD是从顶点A引出的一射线交BC于D , BE⊥AD于E , CF⊥AD于F , 且BE=CF , 求证：BD=DC

18.如图, AB, CD, EF交于O点, 且AC=BD, AC∥DB.求证：O是EF的中点．

19.已知：如图 , AB⊥BC于B , EF⊥AC于G , DF⊥BC于D , BC=DF． 求证：AC=EF．

20.已知：如图 , AD为CE的垂直平分线 , EF∥BC.求证：△EDN≌△CDN≌△EMN．

21.已知：如图AB=CD,AD=BC 求证：AD∥BC

22.已知：如图 , △ABC和△ADC有公共边AC , E是AC上一点 , AB=AD , BE=DE． 求证：∠ABC=∠ADC

23.已知：如图 , 点A、C、B、D在同一条直线上 , AC=BD , AM=CN , BM=DN 求证：AM∥CN , BM∥DN 24.已知：如图 , AB=AE , AC=AD , BC=DE , C , D在BE边上． 求证：∠CAE=∠DAB．

25.已知:如图,四边形ABCD中,AD∥BC,AD=BC．求证:∠B=∠D．

26.已知:如图,点E、F在BC上,BE=CF,AB=DC,∠B=∠C．求证:AF=DE．

27.已知：如图 , E、D、B、F在同一条直线上 , AD∥CB , ∠BAD=∠BCD , DE=BF． 求证：AE∥CF

28.已知：如图 , AB=AC , AD=AE , 求证：△OBD≌△OCE

29.已知：如图 , AE=BF , AD∥BC , AD=BC.AB、CD交于O点． 求证：OE=OF．

30.已知：如图AC⊥CD于C , BD⊥CD于D , M是AB的中点 ,连结CM并延长交BD于点F．

求证：AC=BF．

31.已知：如图 , AB=DC , BD=AC , AC , BD交于O． 求证：△AOB≌△DOC． 32.如图 , 已知：AB=AC , BD=CD , E为AD上一点 , 求证：∠BED=∠CED

33.已知：如图 , AD=AE , BD=CE , AF⊥BC , 且F是BC的中点． 求证：∠D=∠E

34.已知：如图 , AB=CD , AD=BC ,O为BD中点 , 过O作直线分别与DA、BC的延长线交于E、F．求证：OE=OF

35.已知：如图 , ∠1=∠2 , AB⊥BC , AD⊥DC , 垂足分别为B、D ． 求证：AB=AD．

36.如果两个三角形的两角和夹边上的高对应相等 , 那么这两个三角形全等．

37.如图在△ABC和△DBC中 , ∠1=∠2 , ∠3=∠4 ,P是BC上任意一点．求证：PA=PD.38.已知：如图 , E是AD上的一点 , AB=AC , AE=BD , CE=BD+DE． 求证：∠B=∠CAE．

39.已知：如图 , AB=CD , BC=DA , E、F是AC上两点 , 且AE=CF． 求证：BF=DE

40.已知:如图,∠1=∠2,BD=CD,求证:AD是∠BAC的平分线．

41.已知:如图,∠1=∠2,BE=CF,AC=DE,E、C在直线BF上．求证:∠A=∠D

42.已知:如图,点A、B、C、D在同一条直线上,AC=DB,AE=DF,EA⊥AD,FD⊥AD,垂足分别是A、D.求证:BE∥CF

43.如图:已知AE=CE,BE=DE,∠1=∠2 求证:AB=CD

44.已知 ：如图 , A、E、F、B在一条直线上 , AC=BD , AE=BF , CF=DE． 求证：AD=BC．

45.已知 ：如图 , 四边形 ABCD中 , AD∥BC , F是AB的中点 , DF交CB延长线 于E , CE=CD．

求证：∠ADE=∠EDC． 46.如图,有一池塘,要测池塘两端A、B的距离,可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C,连结AC并延长到D,使CD=CA.连结BC并延长到E,使EC=CB,连结DE,量出DE的长,就是A、B的距离.写出你的证明．

47.已知:如图,AM=BM,∠CMB=∠DMA,MC=MD．求证:AC=BD

48.已知:如图,AB=AC,AE平分∠BAC.求证:∠DBE=∠DCE．

49.已知：如图 , E、F是DA、BC延长线上的点 , AD=BC ,AB=CD ,∠E=∠F．求证：EB∥DF．

50.如果两个三角形有两条边和其中一边上的中线对应相等 , 那么这两个三角形全等．

51.已知：如图 , OA=OE , OB=OF , 直线FA与BE交于C , AB和EF交于O , 求证：∠1=∠2．

52.已知:如图,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE.求证:BD=CE

53.已知:如图,△ABC中,点E、F分别在AB、AC边上,点D是BC边中点,且EF∥BC,DE=DF． 求证:∠B=∠C 54.已知:如图,AC、BD相交于O点,O是AC、BD的公共中点.求证:AB∥CD,AD∥BC．

55.已知：如图 , BC是△ABC和△DCB 的公共边 , AB=DC , AC=DB , AE、DF分别垂直BC于E , F． 求证：AE=DF．

56.已知 ：如图 , AB=AC , EB=EC , AE的延长线交BC于D． 求证：BD=CD．

57.如图:已知,AD=AB,AC=AE,∠DAB=∠CAE,求证:BE=CD

58.如图,△ABC中,∠ACB=90°,CE⊥AB于E,AD=AC,AF平分∠CAE交CE于F． 求证:FD∥CB

59.已知:如图,D、E分别是△ABC的边AB,AC的中点,点F在DE的延长线上,且EF=DE． 求证:(1)BD=FC(2)AB∥CF

60.已知:如图,AC=AB,AE=AD,∠1=∠2.求证:∠3=∠4

61.求证:全等三角形对应中线相等． 62.如图,已知:△ABC中,BE,CF分别为AC边和AB边上的高,在BE上截取BP=AC,延长CF,并截取CQ=AB.求证:AP=AQ．

63.已知：如图∠1=∠2 , ∠3=∠4.求证：AD=BC AC=BD．

64.已知：四边形ABCD中 , AC、BD交于O点 , AO=OC , BAAC，DCAC垂足分别为A , C．求证：AD=BC

65.求证：三角形一边的两个端点 , 到这边上的中线的距离相等．

66.已知：如图 , AB=AD , DC=CB．求证：∠B=∠D

67.已知:如图,AB=DC,OC=OB,AB、CD交于点O．求证:AC=DB．

68.已知：如图 , AB∥CD , ∠1=∠2 , O是AD的中点 , EF、AD交于O． 求证：O也是EF的中点．

69.已知：如图 , FB=CE , AB∥ED , AC∥FD.F、C在直线BE上． 求证：AB=DE , AC=DF．

70.已知：如图 , ∠1=∠2 , ∠3=∠4 , DE=CE．E是BC上的一点． 求证：AE=BE

71.已知：如图AC∥BD , AE和BE分别平分∠CAB和∠DBA , CD过点E． 求证AB＝AC＋BD

72.已知：如图 , ∠1=∠2 , ∠3=∠4． 求证：∠ADC=∠BCD

73.已知：如图：AB=CD , BE=CF , AF=DE． 求证：△ABE≌△DCF

74.已知：如图 , AB=AC , AD=AE , BD=CE． 求证：∠BAC=∠DAE．

75.如图 , 已知：DC=AB , DF=BE , CF=AE , 求证：AO=CO EO=FO．