差分格式范文-盘古文库

差分格式范文（精选5篇）

差分格式第1篇

关键词：四阶抛物方程,区域分裂,并行差分格式,稳定性

随着高性能的计算机的发展,区域分裂法越来越受到重视。至今这一领域的研究主要集中在对二阶空间导数的扩散方程(包括对流扩散方程)、三阶空间导数的色散方程的研究[1,2,3,4,5],而关于四阶抛物型方程,还没有见到稳定性限制宽松、又具有并行本性的区域分裂差分格式。

本文以下述四阶抛物型方程初边值问题

为模型,建立一个区域分裂并行差分格式,并进行稳定性、收敛性的讨论。

1格式的构造

构造差分格式如下:

用平行线x=xj=jh(j=0,1,)和t=tn=nτ(n=0,1,,N)将区域(0,l)(0,T)划分成矩形网格,其中h=l J和τ=TN分别是空间和时间网格步长,J和N是自然数。Δτ、Δ+、Δ-、Δ+Δ-、Δ2+和Δ2+Δ2-分别如下:

该格式在点j=2,3,,k-1,k+2,,J-2为纯隐格式,在点j=k,k+1为纯显式.并且能够在两部分2jk-1与k+2jJ-2的隐式计算完全独立。因此,这是一个具有并行本性的差分格式。

2格式的稳定性

不妨设f(x,t)=0。

用un+1jh乘以(2)式的两端,并对j=2,3,k-求和得

用un+1jh乘以(3)式的两端,并对j=k,k+1求和,得

令,把(6)式与(7)式相加,得

代换方程

且把式(2)、式(3)带入式(8)左侧的后两项,得到

记yj=Δ2+un+1j,则(9)式可重新写成

定义

则(10)式可化为(12)

如果F非负定,则Mn+1Mn

现导出条件,证明F非负定

令,则F可重新表示为

由不等式

对任意的j,有F≥F1+F2。

F1,F2均为二次型,重新写成

当an≥0时,-2rbn-r(n=2,3,,J-k-3),所以b2n4r2。

由an的特点可知:若a2≥a1,a3≥a1,则有an≥a1(n=4,,J-k-2)。

于是,对于上述数列,

若上述五式同时成立,则F1≥0,F2≥0,从而F≥0。

下面解同时满足5式的r的最大值,并且用r0表示。

因为f3(ε)f5(ε)f2(ε),f1(ε)f4(ε),并且f3(ε)单调下降,f1(ε)单调上升,所以r的最大值r0应为f3(ε)与f1(ε)的交点。

令f3(ε)=f1(ε),得ε=。于是得下面引理得证。

引理1如果r0.24,则F1≥0,F2≥0,从而Mn+1Mn。

定理1如果r0.24,则区域分裂差分格式(2)～(5)是L2范稳定的。

证明由引理1知,当r0.24时,MnM 0,这里n为任意的非负整数。

因此,‖un‖2Mn+Mn-12M 02 1+(10+530r2)‖u0‖2。于是,格式稳定。

3格式的收敛性

定理2如果r0.24,则区域分裂差分格式(2)～式(5)是L2范收敛的。

证明:enj满足

又由定理1,则知:若r0.24,则区域分裂差分格式(2)～式(5)是L2范收敛的。

4数值算例

考虑下述模型:

该问题的精确解为v(x,t)=30e-t(x-x2)2。

根据前面的讨论,该格式的收敛条件为r0.24。

下面在步长h=0.01,k=的情况下,考察满足收敛条件和不满足收敛条件时,差分解的L2模‖un‖随时间变化的情况。

图1表示取r=0.24时,‖un‖的变化情况。

图2表示取r=0.26时,‖un‖的变化情况

从计算结果可以看出:

(1)r=0.24时,数值解的L2模随时间的增长而减小,说明r满足收敛条件时,差分解收敛,符合前面的理论分析;

(2)r=0.26时,数值解的L2模随时间的增长而增大,说明r不满足收敛条件时,差分解不收敛,亦符合前面的理论分析。

参考文献

[1]Dawson C N,Du Qiang,Dupont TF.A finite difference domain de-composition algorithm for numerical solution of the heat equation.Math Comput,1991;(57):63—71

[2]张宝琳.热传导方程有限差分区域分裂显隐算法的注记.航空计算技术,1998;28(3):51—54

[3]Zhu Shaohong,Zhao J.The alternating segment explicit-implicit method for the dispersive equation.Applied Mathematics Letters,2001;(14):657—662

[4]王文洽.色散方程的一类新的并行交替分段隐格式.计算数学,2005;27(2):129—140

差分格式第2篇

提高反应―扩散方程有限差分格式的稳定性问题

This paper deals with the special nonlinear reaction-diffusion equation.The finite difference scheme with incremental unknowns approximating to the differential equation (2.1) is set up by means of introducing incremental unknowns methods.Through the stability analyzing for the scheme,it was shown that the stability conditions of the finite difference schemes with the incremental unknowns are greatly improved when compared with the stability conditions of the corresponding classic difference scheme.

作者：徐琛梅 XU Chen-mei 作者单位：College of Mathematics and Information Science,Henan University,Kaifen9 475001,China 刊名：数学季刊（英文版） ISTIC PKU英文刊名：CHINESE QUARTERLY JOURNAL OF MATHEMATICS 年，卷(期)： 23(3) 分类号：O241.84 关键词：reaction-diffusion equation difference scheme stability problem incremental unknowns

差分格式第3篇

对流扩散方程常常用来描述大气、河流等污染中污染物质的扩散与分布、工业领域的流动与传热传质、交通流等众多物理现象。在描述湖泊、河流、大气及地下水中污染物的浓度分布、流体流动、泥沙输移等过程时,经常会遇到求解对流扩散方程。对这类方程特别是非线性对流扩散方程的数值计算方法的研究具有重要的理论和现实意义。主要的研究方法有构造特征差分格式和有限元方法及其各种变形方法等[1,2,3]。谢志华等[4]给出了时间推进采用四阶Runge-Kutta方法,空间导数采用QUICK格式求解此类问题。本文通过分别求解一阶导数和二阶导数与函数值线性组合构成的线性方程组。针对非线性对流扩散方程本文结合高阶紧致差分格式与显、隐式Adams方法的优点[5],对于空间导数上采用三点四阶紧差分格式进行离散,得到半离散形式的非线性常微分方程,为避免非线性方程组的计算,时间方向上采用改进的四步预测校正的线性多步法进行推进,从而使截断误差达到O(τ4+h4),最后给出了数值算例验证了该方法具有良好的性能。

1数值方法

对于非线性对流扩散方程

${\begin{matrix} u_{t} - (f (u))_{x} - ν u_{x x} = f (x, t) ； a < x < b, 0 < t Τ \\ u (a, t) = f_{1} (t), u (b, t) = f_{2} (t); \\ 0 < t Τ \\ u (x, 0) = g (x) ； a < x < b \end{matrix} (1)$

式(1)中:(0,T]是时间域, ν>0, u分别表示流体的速度和常黏性系数,f(x,t),f1(t),f2(t),g(x)均为已知的足够光滑函数。

为构造微分方程问题(1)的有限差分逼近,首先将求解区域[a,b][0,T]进行网格剖分,选取正整数M和N,并令空间步长:h=(b-a)/M,时间步长:τ=T/N, 网格点为(xi,tn),其中:xi=a+ih,i=0,1,,M,tn=nτ,n=0,1,,N, u $_{i}^{n}$ 表示在网格节点(xi,tn)处的速度值。

1.1紧致差分格式的构造

对于一阶导数(对流项)构造三点四阶紧致格式[6],设系数ai-1,ai,ai+1,mi-1,mi,mi+1满足:

$a_{i - 1} u_{i - 1}^{´} + a_{i} u_{i}^{´} + a_{i + 1} u_{i + 1}^{´} = \frac{1}{h} (m_{i - 1} u_{i - 1} + m_{i} u_{i} +$

mi+1ui+1) (2)

将式(2)两端分别在xi点进行Taylor展开, 有

$\begin{array}{l} a_{i - 1} [\frac{\partial u_{i}}{\partial x} - h \frac{\partial^{2} u_{i}}{\partial x^{2}} + \frac{h^{2}}{2} \frac{\partial^{3} u_{i}}{\partial x^{3}} - \frac{h^{3}}{3!} \frac{\partial^{4} u_{i}}{\partial x^{4}} + \dots] + a_{i} \frac{\partial u_{i}}{\partial x} + a_{i + 1} [\frac{\partial u_{i}}{\partial x} + h \frac{\partial^{2} u_{i}}{\partial x^{2}} + \frac{h^{2}}{2} \frac{\partial^{3} u_{i}}{\partial x^{3}} + \frac{h^{3}}{3!} \frac{\partial^{4} u_{i}}{\partial x^{4}} + \dots] = \\ \frac{m_{i - 1}}{h} [u_{i} - h \frac{\partial u_{i}}{\partial x} + \frac{h^{2}}{2} \frac{\partial^{2} u_{i}}{\partial x^{2}} - \frac{h^{3}}{3!} \frac{\partial^{3} u_{i}}{\partial x^{3}} + \dots] + \frac{m_{i}}{h} u_{i} + \\ \frac{m_{i + 1}}{h} [u_{i} + h \frac{\partial u_{i}}{\partial x} + \frac{h^{2}}{2} \frac{\partial^{2} u_{i}}{\partial x^{2}} + \frac{h^{3}}{3!} \frac{\partial^{3} u_{i}}{\partial x^{3}} + \dots] 。 \end{array}$

得到关于hj,j=-1,0,1,2,3的系数线性方程组。

通过求解此欠定线性方程组(令mi+1=1),可以得到能够以4阶精度逼近一阶导数的紧致的差分格式:

$u_{i - 1}^{´} + 4 u_{i}^{´} + u_{i + 1}^{´} = \frac{3}{h} (- u_{i - 1} + u_{i + 1})$ ;

(i=2,3,,M-1) (3)

式(3)中: $u_{i}^{´} = \frac{d u (x)}{d x} |_{x = x_{i}}$ ,式(3)的截断误差为 $R = - \frac{h^{4}}{15} \frac{\partial^{5} u}{\partial^{5} x} + Ο (h^{5})$ 。

由文献[7]可知,当边界节点的格式精度较内点格式的精度低一阶时,可保证此离散格式达到内点的精度。因此在边界处只需要达到3阶精度,即可保证整个格式达到4阶精度。

当i=1时

$2 u_{1}^{´} + u_{2}^{´} = \frac{1}{h} (- \frac{1}{2} u_{0} - 2 u_{1} + \frac{5}{2} u_{2}) (4)$

当i=M-1时

$u_{Μ - 2}^{´} + 2 u_{Μ - 1}^{´} = \frac{1}{h} (- \frac{5}{2} u_{Μ - 2} + 2 u_{Μ - 1} + \frac{1}{2} u_{Μ}) (5)$

边界点的截断误差均为O(h3),式(3)式(5)的矩阵形式为

$A_{1} U^{´} = Μ_{1} U + Η_{1} (6)$

式(6)中:

$\begin{array}{l} A_{1} = (\begin{matrix} 2 & 1 & 0 & \dots & 0 \\ 1 & 4 & 1 & 0 \\ ⋮ & ⋱ & ⋱ & ⋱ & ⋮ \\ 0 & \dots & 1 & 4 & 1 \\ 0 & \dots & 0 & 1 & 2 \end{matrix}), \\ Η_{1} = \frac{1}{2 h} (\begin{matrix} - u_{0} \\ 0 \\ ⋮ \\ 0 \\ u_{Μ} \end{matrix}) ‚ \end{array}$

$Μ_{1} = \frac{3}{h} (\begin{matrix} - \frac{2}{3} & \frac{5}{6} & 0 & \dots & 0 \\ - 1 & 0 & 1 & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 0 & \dots & - 1 & 0 & 1 \\ 0 & \dots & 0 & - \frac{5}{6} & \frac{2}{3} \end{matrix})$

。

因此 U′=A $_{1}^{- 1}$ (M1U+H1)。

类似地可以得到以四阶精度逼近二阶导数项(扩散项)的三点紧致格式:

$u_{i - 1}^{˝} + 10 u_{i}^{˝} + u_{i + 1}^{˝} = \frac{12}{h^{2}} (u_{i - 1} - 2 u_{i} + u_{i + 1})$ ;

(i=2,3,,M-1) (7)

式(7)中: $u_{i}^{˝} = \frac{d^{2} u (x)}{d x^{2}} |_{x = x_{i}}$ ,式(7)的截断误差为O(h4)。

当i=1时

$- u_{1}^{˝} + u_{2}^{˝} = \frac{1}{h^{2}} (- u_{0} + 3 u_{1} - 3 u_{2} + u_{3}) (8)$

当i=M-1时

$u_{Μ - 2}^{˝} - u_{Μ - 1}^{˝} = \frac{1}{h^{2}} (u_{Μ - 3} - 3 u_{Μ - 2} + 3 u_{Μ - 1} - u_{Μ}) (9)$

边界点的截断误差均为O(h3)。式(7)式(9)的矩阵形式为

$A_{2} U^{˝} = Μ_{2} U + Η_{2} (10)$

式(10)中:

因此 U″=A $_{2}^{- 1}$ (M2U+H2)

方程(1)的四阶紧致差分的半离散形式为:

$\begin{array}{l} \frac{\partial U}{\partial t} = - A_{1}^{- 1} (Μ_{1} f (U) + Η_{1}) + \\ v A_{2}^{- 1} (Μ_{2} U + Η_{2}) + F (X) (11) \end{array}$

式(11)中: U=(u2,u3,uM-1)T。A1,A2,M1,M2,H1,H2的取值同式(6),式(10)。

1.2时间方向离散

式(11)为非线性常微分方程组,直接利用隐式格式或者Crank-Nicolson格式计算,需要利用迭代法求解一个非线性方程组,计算花费特别大。因此选用预报校正的四步Adams方法[5]求解的此非线性常微分方程的初值问题。

对于常微分方程初值问题:

$U_{t} = L (U, t) ； U (0) = U_{0} (12)$

式(12)中:L为空间离散算子。

将四阶显式和隐式Adams格式匹配,构成Adams预报校正系统。

对预报公式与校正公式得到的数值解 $\bar{U}_{n + 1}$ ,Un+1分别在tn点进行Taylor展开与准确值相减,得到式(13)的误差表达式。

$\begin{matrix} U (t_{n + 1}) - \bar{U}_{n + 1} = \frac{251}{270} h^{5} U^{(5)} (ξ_{n}) ； ξ_{n} \in (t_{n}, t_{n + 1}) 。 \\ U (t_{n + 1}) - U_{n + 1} = - \frac{19}{270} h^{5} U^{(5)} (η_{n}) ； η_{n} \in (t_{n}, t_{n + 1}) 。 \end{matrix}$

假设U(5)(t)在[tn,tn+1]上变化不大,则两式相除可以消去U(5)(ξn)、U(5)(ηn),得到两个近似值的事后误差估计式:

${\begin{matrix} U (t_{n + 1}) - \bar{U}_{n + 1} \approx \frac{251}{270} (U_{n + 1} - \bar{U}_{n + 1}) \\ U (t_{n + 1}) - U_{n + 1} \approx - \frac{19}{270} (U_{n + 1} - \bar{U}_{n + 1}) \end{matrix} (14)$

利用事后误差估计式(14)作为数值解 $\bar{U}_{n + 1}$ 、Un+1的补偿可以进一步提高精度。因此改进的Adams预报校正系统为:

式(15)中pn,cn分别表示第n步的预报值和校正值。

改进的预报校正系统(15)需要用到前几步的信息Un,Ln,Ln-1,Ln-2,Ln-3,cn-pn,这些值不能自己计算,需要利用同精度的单步方法提供初始值信息,这里利用四阶Runge-Kutta方法,计算初始值L1,L2,L3,一般令c3-p3=0。

方程(1)的空间半离散格式为L(U,t)=-A $_{1}^{- 1}$ (M1f(U)+H1)+vA $_{2}^{- 1}$ (M2U+H2)+F(X),顺序求解式(15),即可得到初边值问题(1)的解。

2数值试验

为验证本文格式的性能,分别对常系数对流扩散方程和非线性的Burgers方程进行求解。

算例1:常系数对流扩散方程

${\begin{matrix} \frac{\partial u}{\partial t} + c \frac{\partial u}{\partial x} = ν \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} ； & x \in [0, 1], t \geq 0 \\ u (0, t) = u (1, t) = 0 ； & t \geq 0 \\ u (x, 0) = \sin (π x) e^{\frac{c x}{2 ν}} ； & x \in [0, 1] 。 \end{matrix}$

其精确解为: $u (x, t) = \sin (π x) e^{\frac{c x}{2 ν} - t (\frac{c^{2}}{4 ν} + ν π^{2})}$ 。

取c=0.1,ν=0.01 m2/s, T=20 s,步长τ=0.001 s,表1给出了T=20 s时刻,本文格式与Crank-Nicolson格式,文献[8]中的格式在不同步长h下的L2误差及收敛阶。

从表1可已看出:本文的格式精度明显高于Crank-Nicolson格式,与文献[8]的格式精度相当,除前3步外,时间每推进一步仅需要计算两次半离散方程的右端函数值,与四阶Runge-Kutta方法相比,函数值的计算次数几乎节省一半,描述问题的方程越复杂时,该格式的效率越高。

算例2 非线性Burgers方程

${\begin{matrix} \frac{\partial u}{\partial t} + u \frac{\partial u}{\partial x} = v \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}, & 0 < x < 1, 0 < t Τ \\ u (x, 0) = \frac{2 v s i n (π x)}{α + \cos (π x)}, & 0 < x < 1 \\ u (0, t) = u (1, t) = 0, & 0 < t Τ 。 \end{matrix}$

其中:α>1是参数。

该问题的准确解为:

$u (x, t) = \frac{2 ν π e^{- π^{2} ν t} \sin (π x)}{α + e^{- π^{2} ν t} \cos (π x)}$ 。

针对不同网格尺度分别利用空间中心差分的显式Euler方法,基于中心差分的预报校正MacCormack方法和本文提出的基于四阶紧致差分格式的改进预报校正线性多步方法的进行计算,在不同网格尺度下的误差及收敛阶见表2,t=0.5 s, t=0.9 s时刻各方法的计算结果如图1所示。通过表2的计算结果可以看出:本文所用方法的计算效果明显好于显式Euler方法,与MacCormack方法,计算误差更小,收敛阶接近四阶。在相同误差控制条件下,本文的方法可以选用较大的空间步长,可以进一步减少计算量。

3结论

本文给出了一种求解非线性对流扩散方程的高精度格式,利用四阶紧致差分格式逼近空间导数,时间方向上采用改进的预报校正的线性多步方法(开始的前三步需要利用四阶Runge-Kutta方法计算)进行推进,避免了非线性代数方程组的复杂计算,截断误差达到O(τ4+h4)。通过数值算例表明,本文的格式能够有效地求解非线性对流扩散方程。另外,可以利用本文推导高阶格式的思想得到其他的高精度格式,时间推进也可以采用其他高阶格式,本文的格式构造简单,易于编程实现,并且可以直接推广到高维问题。

摘要：结合预报校正线性多步法与高阶紧致差分格式方法的优点,空间导数采用四阶紧致差分格式进行离散之后,对得到的空间半离散格式采用改进的预报校正的线性多步法进行时间推进,得到一种时空方向均为四阶精度的求解非线性对流扩散方程的高精度方法。数值试验表明该格式可以有效求解非线性对流扩散方程,验证了格式的良好性能。

关键词：紧致差分格式,预报校正,线性多步法,非线性对流扩散方程

参考文献

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[2]崔翔鹏,贺力平.非线性对流反应扩散方程的预估-校正单调迭代差分方法.上海交通大学学报,2007;41(10):1731—1736

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[5]王能超.数值分析简明教程.北京:高等教育出版社,2003

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[7] Gustaffon B.The convergence rate for difference approximation tomixed initial boundary value problems.MatheMatics of Computa-tions,1975;29(130):396—406

差分格式第4篇

近几年来,FDTD以其直观、简单、高效、适应性强等优点而逐渐成为电磁仿真领域应用最多的计算方法,FDTD也在这一过程中被不断的发展和完善。然而近几年来对FDTD的研究工作主要集中在吸收边界条件的提出和完善、提高计算精度、削减计算机内存和计算时间、向色散介质推广等方面[1],在差分网格的改进方面的工作却很少。其实Yee提出的差分网格是有必要加以改进的,这主要是因为Yee网格中电场各分量或磁场各分量不在同一点,若要计算一点的电矢量或磁矢量,必须借助各种插值方法。在充分研究的基础上,对传统的Yee网格作必要的改进,克服了Yee网格的不足,而且用基于这种改进网格的差分格式计算任一电磁分量时,用到了其周围更多的数据,使计算精度得到了提高。

1 改进的Yee网格

1966 年,K. S. Yee对耦合偏微分方程引入了一种差分格式。按照K. S. Yee的差分算法,首先在空间建立矩形差分网格,网格节点与一组相应的整数标号一一对应,网格的每一节点与一组相应的整数标号一一对应:

而该点的任一函数F( x,y,z,t) 在时刻nΔt的值可以表示为:

其中,Δx、Δy、Δz为矩形网格分别沿x、y、z方向的空间步长,Δt为时间步长。

具体的K. S. Yee差分网格如图1 所示。这一网格的特点是每一磁场分量由4 个电场分量环绕着,每一电场分量也由4 个磁场分量环绕着。

这种电磁场分量的空间取样方式不仅符合法拉第感应定律和安培环路定律的自然结构,而且这种电磁场各分量的空间相对位置也适合于麦克斯韦方程的差分计算,能够恰当地描述电磁场的传播特性。此外,电场和磁场在时间顺序上交替抽样,抽样时间间隔彼此相差半个时间步,使麦克斯韦旋度方程离散以后构成显式差分方程,从而可以在时间上迭代求解,而不需要进行矩阵求逆运算。因而,由给定相应电磁问题的初始值,FDTD方法就可以逐步推进地求得以后各个时刻空间电磁场的分布。Yee在离散Maxwell方程时使用了以下具有二阶精度的中心差分公式:

以及平均值近似:

中心差分的具体表达式如下:

通过基本算式,逐个时间步长对模拟区域各网格点的电、磁场分量交替进行计算,在执行到适当的时间步数后,即可获得需要的时域数值结果。

2 基于改进Yee网格的FDTD差分格式

Yee基于他提出的网格给出了经典的FDTD差分格式。相应于网格的改进,FDTD差分格式也应有新的形式。

将化为:

式中,Eyn( i,j,k + 1 /2) 、Eyn( i,j,k - 1 /2) 、Ezn( i,j +1 /2,k) 和Ezn( i,j - 1 /2,k) 不是数据取样时空中的值,对四个E分量在空间作双向插值,如Eyn( i,j,k +1 /2) 可写为:

Eyn( i,j,k - 1 /2) 、Ezn( i,j + 1 /2,k) 和Ezn( i,j -1 /2,k) 的展开式可类似写出,为节省篇幅,此处不再给出。

把式( 8) 等代入式( 7) ,并经过推导,可得:

用同样的方法可得:

Hn+1/2y(i,j,k)、Hn+1/2z(i,j,k)、En+1y(i+1/2,j+1/2,k+1/2)和En+1z(i+1/2,j+1/2,k+1/2)可类似写出,为节省篇幅,此处从略[2,3]。

这样就得到了基于改进Yee网格的新的FDTD差分格式。

3 数值实验

为了验证改进Yee网格的有效性和实用性,本文编程进行了数值实验,数值实验主要验证改进Yee网格与常规网格的区别。程序中取空间步长Δx = Δy = 0. 05m,时间步长 Δt = Δx /2c ,仿真区域的范围为( 0 ≤ i ≤ 200,0 ≤ j ≤ 150) ,总场区的范围为( 50 ≤ i ≤150,20 ≤ j ≤130) 。吸收边界条件采用WEFDTD的完全匹配层( Perfectly Matched Layer,PML) 吸收边界条件[2,4,5,6,7]。

实验用简谐波和高斯脉冲来模拟。其中 λ =1. 0m ,n0= 50 ,ndecay= 20。具体如图2 - 3 所示。

图2 - 3 给出了总场区中一点( 100,75) 在分别使用两种不同方法的模拟结果,可以看出符合得很好。

4 结束语

差分格式的解法是至关重要的,而直接法和迭代法长期以来受到人们的青睐。采用直接法时,计算机必须存储系数矩阵元素,而具体应用到高阶矩阵时要求计算机有较大的存储量,后来通常采用将大型稀疏矩阵的非零元素通过一个一维数组来存取,同时给出每个非零元素在此一维数组中地址信息可以大大节省计算机的存储空间,但计算程序的复杂性亦随之增加。由于差分格式的系数矩阵元素的规律性,往往采用迭代法。在用计算程序实现迭代时用到哪个元素就算出哪个元素,不用时并不保留,这样对计算机存储量的需求显著降低,其缺点是计算时间可能较长,因此提高迭代法的收敛速度成为其应用中首先要关心的问题。

摘要：Yee网格中电场各分量或磁场各分量不在同一点,若要计算一点的电矢量或磁矢量,必须借助各种插值方法。对传统的Yee网格作必要的改进,克服了Yee网格的不足,而且用基于这种改进网格的差分格式计算任一电磁分量时,用到了其周围更多的数据,使计算精度得到了提高。

关键词：Yee网格,差分格式,线性插值,数据采样,电磁场分量

参考文献

[1]王建永,赵长青,陈秉岩.FDTD(2M,2N)的一种实现方法[J].成都信息工程学院学报,2006,21(4):559-561.

[2]葛德彪,闫玉波.电磁波时域有限差分方法[M].西安:西安电子科技大学出版社,2002:26.

[3]刘玉铃,卢振武,任智斌,等.旋转体时域有限差分法对轴对称亚波长衍射光学元件的分析[J].光子学报,2003,32(10):1259-1263.

[4]赵长青.WE-FDTD中近似吸收边界条件的角点计算[J].信息技术,2014,38(4):42-43.

[5]王秉中.计算电磁学[M].北京:科学出版社,2002:61-64.

[6]付强,刘长军.交替方向隐式时域有限差分算法的应用与发展[J].成都信息工程学院学报,2005,20(1):22-26.

差分格式第5篇

1 差分格式的建立

一维对流占优扩散方程

对x - t平面进行矩形网格剖分,分别取h,τ 为空间步长与时间步长,xj= jh ,tk= kτ

作指数变换,对流扩散方程变为扩散方程

下面对(2)式推导差分格式

即

将右端偏导项离散

将上两式代入(3)式得

即

其中

利用反变换得到对流扩散方程的C-N紧致差分格式

其中

其中k=1,2,⋯,N-1,j=1,2,…,M-1。

由上面的推导得到

定理1 对流扩散方程(1)的C-N紧致差分格式(5)的截断误差为O(τ2+ h4)

2 数值特性

定理2 对流扩散方程(1)的C-N紧致差分格式(5)是无条件稳定的

证明:差分格式(4)对应的齐次差分格式为

得到增长因子为

|G| ≤ 1 ,差分格式(4)是无条件稳定的,所以差分格式(5)也是无条件稳定的

3 差分格式的计算

将差分格式(5)改写成便于计算的形式,并代入边界条件后,得到

因为差分格式系数矩阵为对角占优阵,所以差分方程的解存在且唯一。

4 数值实验

使用前面的差分格式(5)求解下面的对流扩散方程的初边值问题。定义网格点(xj,tn)上的误差,使用指标来度量第n个时间层上的总体误差。

算例1:

该问题的准确解为

相应的初边值条件为

取 ε = 0.1 ,空间网格步长为h = 0.1 ,时间网格步长为τ = 0.01,计算结果绘制成图像如下:

例2,考虑以下一维常系数模型问题

解析解设为,右端函数由解析解确定

取a = 1,ε = 0.1 ,空间和时间网格步长h = 0.1,τ = 0.01 ,计算到t = 2 。

5 结论

通过上述两个数值实验,可看出本格式可实现对流扩散方程的求解。

参考文献

[1]王同科.一维对流扩散方程C-N特征差分格式[J].应用数学,2001,14(4):55-60.

[2]王文洽.变系数对流扩散方程的交替分段Crank-Nicolson方法[J].应用数学和力学,2004,24(1):29-36.

[3]由同顺.对流扩散方程的本质非振荡特征差分方法[J].应用数学,2000,13(4):89-94.

[4]田振夫.一维对流扩散方程的四阶精度有限差分法[J].宁夏大学学报:自然科学版,1995,16(1):30-35.

[5]葛永斌,田振夫,詹咏,等.求解扩散方程的一种高精度紧致隐式差分方法[J].上海理工大学学报,2005,27(2):107-110.

[6]葛永斌,田振夫,吴文权.含源项非定常对流扩散方程的高精度紧致隐式差分方法[J].水动力学研究与进展(辑),2006,12(5):619-625.

[7]杨志峰,陈国谦.含源扩散方程的一种高精度差分方法[J].北京师范大学学报:自然科学版,1992,28(3):315-316

[8]杨志峰,陈国谦.含源汇非定常对流扩散问题紧致四阶差分格式[J].科学通报,1993,38(2):113-116.

[9]王煊,杨志峰.基于非均匀网格求解非线性对流扩散问题的一种高精度差分格式[J].北京师范大学学报,自然科学版2003,39(1):131-137.

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