比例法解应用题奥数

比例法解应用题奥数（精选6篇）

比例法解应用题奥数 第1篇

比例法解题

运用比和正、反比例的知识来解答分数应用题，可以达到化繁为简，化难为易的神奇效果。运用比例法解题要注意以下几点：（1）要善于灵活地把分数、倍数和比进行相互转化，沟通它们之间地联系。（2）在应用比例性质解题时，要弄清题中某一数量是否一定，然后再判断成什么比例。

1、加工同样数量地零件，甲地工作效率是乙的

2、甲、乙两车分别从A、B两地同时相向而行，甲每小时行40千米，乙行完全程要7小时，两车相遇时，甲行了全程的

3、甲、乙两人进行骑车比赛，甲骑了全程的5，因此甲比乙多用12分钟，求乙用了多少分钟？ 64，求A、B两地的距离。776时，乙骑了全程的，这时两人相距140米，如果继续按原87速骑下去，当甲到达终点时，乙距终点还有多少米？

4、甲、乙两车分别从A、B两地同时相对而行，8小时相遇。相遇后两车继续按原速前进，又行了6小时后甲车到达B地，乙车离A地还有140千米。A、B两地相距多少千米？

5、甲、乙两台抽水机，甲机21小时抽水，乙机要抽3小时，已知两台抽水机同时抽30小时可以把满池2水抽干。如果单独把满池水抽干，甲、乙两台抽水机各需要多少小时？

6、果园里有桃树和梨树共184棵，已知桃树棵树的23等于梨树棵树的。桃树和梨树各有多少棵？ 54

7、两支蜡烛长度不同，粗细也不同，长烛能点燃7小时，短烛能点燃10小时，现在同时点燃4小时候，两支蜡烛的长度相同，那么原来短烛长度是原来长烛长度的几分之几？

8、春芽小学六年级（1）班女生人数的

9、有两袋大米，第二袋比第一袋重15千克，第一袋大米重量的各重多少千克？

32等于男生人数的，男生比女生多3人，男生有多少人？ 4312恰好是第二袋大米重量的。两袋大米3710、下图是一个园林的规划图，其中正方形的水池占地多少平方米？

36是草地，圆的是竹林，竹林比草地多占地450平方米，47

11、甲、乙两个修路队共修540米的一段路，甲队修了分得任务的的任务正好相等。甲、乙两队原来各分得多少修路任务？

12、姐妹养兔100只，姐姐养的

13、有三种水果共重360千克，已知橘子重量的多少千克？

14、甲、乙、丙三人共加工720个零件，甲加工的零件个数是乙的34，乙队修了分得任务的，两队剩下4511比妹妹养的多16只，求姐妹俩各养兔多少只？ 310111等于苹果重量的，等于香蕉重量的。三种水果各有23534，乙加工的零件个数是丙的，甲、45乙、丙三人各加工多少个零件？

15、甲、乙两车分别从A、B两地同时出发相向而行，出发时，甲、乙两车的速度比是5：4，相遇后，甲车的速度减少20%，乙车的速度增加20%。这样当甲车到达B 地时，乙车离A地还有20千米。求A、B两地相距多少钱米？

16、三个人的存款原来共是2980元，因为甲用了380元，乙存了700元，丙用了自己存款的1，这时三个3人存款的比为5：3：2，求三个人现在各存款多少元？

17、A、B两地相距100千米，甲骑自行车从A地到B地，出发3小时后，乙骑摩托车也从A地驶往B地，并且比甲早到2小时。如果乙的速度是甲的2.5倍，问甲、乙每小时各行多少千米？

18、某校选出一些同学参加数学竞赛，其中男同学比女同学多10人，评选结果：女同学50%获奖，男同学获奖的与未获奖的人数比是3：7，获奖人数总共是27人，试问参赛的同学共有多少人？ 作图法解题

图形具有直观的特点，能把各种数据信息的关系表示得十分清晰。解题时，把题目中复杂的数量关系，用线段图直观地表示出来，进行分析、推理和计算，是降低解题难度的一种好方法。

1、一根竹竿露出水面2米，泥中部分占全长

2、一桶油，第一次用去

3、某校六（1）班有学生46人，六（2）班比全年级人数的的

4、一只空水缸，早晨放满了水，白天用去其中的20%，傍晚又用去29升，这时，水缸中的水比半缸多1升，问：早上放入水缸（）升水？

5、六年级三个班学生参加栽树，一班栽树39棵，二班栽的棵树是一班的多5棵，三班栽树（）棵？

6、小红邮票的张数是小明的邮票（）张？

7、化肥厂运一批化肥，第一天运了总数的批化肥共有（）吨？

8、甲乙两车分别从A、B两城同时相向开出，相遇后继续前进，当两车相距126千米时，甲车距B地的路程占A、B两地距离的40%，乙车距A地还有全程的20%，A、B两地相距（）千米？

2，水中部分比泥中部分多1米，这根竹竿全长（）米 51，第二次比第一次多用去20千克，还剩16千克，这桶油有（）千克？ 51多2人，这两个班人数的和共占全年级人数35，六年级共有学生（）人？ 721，三班栽的比二班多1倍还323，如果小明送10张邮票给小红，则两人的邮票张数相等。小明和小红各有511多16吨，第二天运了总数的少2吨，还剩88吨没有运，这869、一根绳子剪去20%后又接上5米，比原来短

10、一根钢条截下全长的

11、一堆砖，用去了它的少块？

3，现在绳子长（）米？ 2011，再接上15米，结果比原来的长度多，求钢条原来长（）。（接头不计算）8231后，又增加了340块，这时砖的总块数比原来没有用时的块数多，原来有多10812、甲乙两车同时从A、B两地相向而行，相遇时，乙车行的路程占甲车行的米，共行了全程的80%，求A、B两地相距多少千米？

13、乙堆煤比甲堆煤多24吨，甲堆煤运走

2，相遇后甲车又行了96千331后，剩下的等于乙堆煤的，甲堆煤多少吨？ 4514、一批煤分两批运完，第一次运了总数的一半还多10吨，第二次运的比第一次的一半多2吨，这批煤共多少吨？

15、食堂有大小两堆煤，一共重24吨。大堆煤用去

16、一辆公共汽车在发车时，车上共有乘客72人，到了一个车站，男乘客下去了

1后，还比小堆煤多4吨。这两堆煤原来各有多少吨？ 41；女乘客不但没有下车，8反而上来3人，这时男、女乘客的人数正好相等。求车上原来有男、女乘客各多少人？

17、甲、乙、丙三人共储蓄387元，甲比乙多储13元，丙是乙的75%，甲、乙、丙三人各储多少元？

18、某小学组织四、五、六年级学生参加红十字会活动，四、五年级参加人数占总人数的参加人数比总人数的9，五、六年级152还多8人，已知五年级有48人参加，求四、六年级各有多少人参加？ 3转化法解题

找准分数应用题中的“量”、“率”对应关系，是解答分数应用题的关键。复杂的分数应用题，常常含有几个不同的单位“1”。解题时，必须根据题目的具体情况，将不同的单位“1”转化成统一的单位“1”，使隐蔽的数量关系明朗化，达到解决问题的目的。

假设法解题

运用假设创设一个新条件进行运算，使结果与题目中的原有条件产生矛盾，最后加以适当调整，消除因假设而产生的差异的解题方法就是假设法

18、修一段路，甲工程队单独修75天完成，乙工程队单独修50天完成，现在由两个工程队合修，中途甲工程队临时支援别的工程几天，结果整段修了40天才完工，甲工程队中途离开几天？

19、甲乙两人合加工一批零件，8天可以完成，中途甲因事停工3天，因此两人共用了10天才完成，如果由单独加工这批零件需要多少天才能完成？

20、一件工作，甲独做要20天完成，乙独做要12天完成。这件工作，先由甲做了若干天，然后由乙继续做完，从开始到完工共用了14天。问：甲、乙两人各做了多少天？ 还原法解题

已知某个数量经过加、减、乘、除等运算后所得的结果，要求这个数量是多少，就可以运用还原法来解。解答时，一般按照题意的叙述顺序由后向前倒推着算，采用逆向思维逐步还原的方法来解决。

定量法解题

分数应用题中有许多量前后发生变化的题型，有一个数量变化，另一个数量不变的；也有一个数量变化，同时引起另一个数量也产生变化的。定量法解题就是要在这变化中抓住不变量，将不变量作为标准，有目的地转化数量关系，找到解题线索。一般情况下，变量四种类型：（1）分量不变；（2）和不变；（3）差不变；（4）积不变。

9、甲、乙两个车间，乙车间工人比甲车间工人多40%，甲车间调出80人，乙车间调进80人，这时甲车间工人比乙车间工人少40%，甲、乙两个车间现在共有多少人？

10、甲、乙两包糖的重量比是4：1，如果从甲包取出10克放入乙包后，甲、乙两包糖的重量比变为7：5，那么两包糖重量的总和是多少克？

分合法解题：

工程题是特殊的分数应用题，它是从分率的角度研究工作总量、工作时间、工作效率三者之间关系的问题。其特点是：将工作总量看作单位“1”，用分率表示工作效率。稍复杂的工程题中，工作效率往往隐藏在题目条件里，工作工程也较为复杂，我们可以采取分干合想、合干分想的拆并思想来解题。

限定法解题：

在分数应用题中，有些题型看上去似乎缺少一些必要的条件，无从下手。其实，它们不是缺少条件，而是有些条件隐含在题意中，这些隐含条件可能是原有的公理、公式、定理、性质；可能与实际问题联系紧密；可能在题中前后条件的相互制约中。用限定法解题，就是要发现题中的制约因素，找到题中的隐含条件来确定数量的取值范围或关系，进而获取所需条件。

代数法解题：

一些复杂分数应用题由于数量多，关系复杂、隐蔽，或单位“1”难统一等原因，要直接列式解答比较困难，我们就可以用代数法来解。运用代数法解题关键是要根据题意，找准等量关系，列出适当的方程。一般情况下，可根据以下关系寻找等量关系：（1）相等关系：甲数量=乙数量。（2）相差关系：小数量+差=大数量。（3）倍数关系：小数量×倍数=大数量。（4）比例关系：

10、要把40千克浓度为15%的盐水稀释成浓度为8%的盐水，应加多少千克水？

11、含盐6%的盐水400克，要配制成含盐20%的盐水，应加盐多少克？

12、商店购进十二生肖玩具1000个，运输途中破损了一些，未破损的好玩具卖完后，利润率为50%；破损的玩具降价出售，亏损了10%。最后结算，商店总的利润率为39.2%，商店卖出好玩具有多少个？

13、某工程由甲单独做63天，再由乙单独做28天即可完成。如果由甲、乙合做，48天就可完成。现在甲先单独做42天，然后再由乙单独完成，那么还要多少天？

15、有若干堆围棋子，每堆棋子数一样多，且每堆白子都占28%，小明从某一堆中拿走一半棋子，而且拿走的都是黑子。现在，在所有的棋子中，白子将占32%，那么，共有棋子多少堆？

比例法解应用题奥数 第2篇

1.一段路程分成上坡、平路、下坡三段，各段路的路程长之比依次是1:2:3，某人走各段路所用的时间之比依次是4:5:6，已知他上坡时速度为每小时3千米，路程全长50千米，问此人走完全程用了多少时间？

2.在60米赛跑中，甲冲过终点线时，比乙领先10米，乙比丙领先20米，假如乙和丙的速度始终不变，那么当乙到达终点时，将比丙领先多少米？

3.小华和小明各走一段路，小华走的路程比小明多 1/4，小明用的时间比小华用的多1/5 ，问小明的速度是小华的`几分之几？

4.甲、乙、丙各有一些钱，甲、乙的钱数之比是5:4，甲、乙的钱数之比是3:4.如果丙给乙18元，那么两人的钱数相等，甲、乙、丙三人共有多少元钱？

5.下面是四个互相咬合着的齿轮，其中最大的那个齿轮通过顺时针旋转可带动其他三个齿轮，各齿轮的齿数依次为16,12,10,6.如图所示，当最大的齿轮按照顺时针方向恰好旋转7周时，各个齿轮上面箭头所指的四个汉字是什么？

6.三名工人师傅张强、李辉和王充分别加工200个零件。他们同时开始工作，当李辉加工200个零件的任务全部完成时，张强才加工了160个，王充还有48个没有加工。当张强加工200个零件的任务全部完成时，王充还有多少个零件没有加工？

7.有甲、乙、丙三个梯形，它们的高之比是1:2:3，上底之比依次是6:9:4，下底之比依次是12:15:10.已知甲梯形的面积是30平方厘米，那么乙与丙两个梯形的面积之和是多少平方厘米？

8.中国航天员杨利伟飞天成功，费俊龙和聂海胜实现从单人到多人的太空飞行，比美国和前苏联从单人到多人太空飞行的时间间隔分别缩短1年和1年半。前苏联、美国、中国从单人到多人太空飞行的时间间隔的最简单自然数比是多少？

9.A、B、C是三个顺次咬合的齿轮，已知A旋转7圈时，C旋转6圈。求：

（1）如果A的齿轮数是24，那么C的齿轮是多少？

（2）如果B旋转7圈，C旋转1圈，那么当A旋转8圈时，B旋转了多少圈？

模型法解应用题 第3篇

关键词：中学数学,模型,应用题

应用题教学在中学数学中是一个比较难以处理的问题, 学生难以接受的是如何列代数式、如何列方程.针对这些问题, 笔者进行了长期的观察与研究, 总结了一套行之有效的方法, 那就是模型法.模型法的主要步骤为:

1.列代数式的关键是熟悉问题的模型

所谓模型, 就是实际问题的数量关系式.比如:

(1) 工程问题的模型:工作量=工作效率工作时间.

(2) 路程问题的模型:路程=运行速度运行时间.

(3) 浓度问题的模型:浓度undefined

(4) 变化率问题的模型:b=a (1±x) n, 其中a为原来的量 (即标准量) , b为变化后的量 (即比较量) , +x为增长率, -x为下降率, n为变化次数.

(5) 等比数列的模型:an=a1qn-1, 其中an为通项, a1为首项, q为公比.

(6) 几何问题的模型:所有几何公式都可以称为几何模型.

三角形面积undefined底边高.

梯形面积undefined (上底边长+下底边长) 高.

由以上这些模型, 其中任何一个量都可以通过公式变换用其他量表示出来, 这样模型公式就很多了, 但尽管如此, 只要做到举一反三, 都可以化多为少、化整为零.

2.列方程或函数式的关键是充分理解题意所给的等量关系

利用已经列出的代数式, 再根据题意, 把这些代数式用等号或不等号连接起来, 就得到方程、方程组或不等式、不等式组.

例1 有一项工程, 甲独做比乙独做少用2天, 如果由甲独做2天后, 再由乙独做3天, 可以完成任务, 如果单独由甲或乙做, 各需几天?

解 设甲独做需x天, 乙独做需y天, 则y=x+2, 再由工程模型列代数式:

甲的工作效率为undefined, 乙的工作效率为undefined

甲独做2天的工作量应为undefined, 乙独做3天的工作量应为undefined, 最后, 依题意的等量关系, 列出以下方程组:

undefined

解得

undefined

答:甲单独完成需4天, 乙单独完成需6天.

例2 有一项工程, 由甲乙两队合做需36天, 由乙丙两队合做需45天, 由甲丙两队合做需60天, 问:哪个队单独做最快?

解 应选单独做天数最少的工程队.

设三个队单独做, 甲需x天, 乙需y天, 丙需z天.

于是, 由工程模型得, 甲队的工作效率是undefined, 乙队的工作效率是undefined, 丙队的工作效率是undefined, 再由题意所给的等量关系, 列出方程.

∵甲乙两队合做需36天, undefined

∵乙丙两队合做需45天, undefined

∵甲丙两队合做需60天, undefined

这就得到三个方程所构成的分式方程组.解这个方程组, 不必去分母, 可以用特殊解法.

undefined

①+④, 得undefined (天) .

①-④, 得undefined (天) .

undefined

∴乙队单独做最快.

例3 甲乙两个粮库分别调运20万千克和25万千克的大米送往A, B两城市, 而A城需大米17万千克, B城需28万千克, 已知甲粮库运往A, B两城市的运费是每万千克分别为600元和550元, 乙粮库运往A, B两城市的运费是每万千克分别为650元和620元, 问:这样调运的总运费会不会突破3000元?为什么?怎样调运, 使得运费最少?

解 这是一道函数的最值问题, 应该列出运费函数, 再进行讨论.不妨先设从甲粮库运x万千克到A城, 则从甲粮库运 (20-x) 万千克到B城, 从乙粮库运 (17-x) 万千克到A城, 从乙粮库运[28- (20-x) ]=8+x (万千克) 到B城, 如果设总运费为w (x) , 则

显然, w (x) 是一次函数.

∵k=20>0, ∴w (x) 是一次增函数.

当x=20时, w (x) 的最大值=2020+27010=27410;

当x=0时, w (x) 的最小值=200+27010=27010.

答:不管怎样调运, 总运费的最大值只是27410, 不会突破30000元.

当x=0时, 也就是说, 从甲粮库调0万千克到A城, 调20万千克到B城, 从乙粮库调17万千克到A城, 调8+0=8万千克到B城, 这样调运, 运费最少.

例4 甲乙两班同时从学校A出发去距离学校75公里的军营B进行军训, 甲班学生步行速度为每小时4公里, 乙班学生步行速度为每小时5公里, 学校有一辆汽车, 该车空车运行的速度为每小时40公里, 载人时的速度为每小时20公里, 且这辆汽车一次只能载一个班的学生, 现在要求两个班的学生同时到达军营, 问:他们至少需要多少时间才能到达?

解 本题为路程问题, 列代数式必须根据路程模型, 由题意知A, B两地相距75公里, 设汽车先把甲班运到距离学校x公里的D处, 然后甲班学生下车步行到军营, 而汽车立即返回到C处, 接从学校出发步行y公里到C处的乙班学生, 乙班学生上车后, 汽车立即开到军营, 这时, 甲班和乙班同时到达军营.如图:

由路程模型, 列出以下代数式:

甲班乘汽车从A到D, 所需时间为undefined

甲班从D步行到B, 所需时间为undefined

汽车从D空车返回C, 所需时间为undefined

乙班乘汽车从C到B, 所需时间为undefined

乙班从A步行到C, 所需时间为undefined

由题意所给的等量关系,

∵甲班乘汽车从A到D的时间加上汽车从D空车返回C所需时间恰等于乙班从A步行到C的时间, 即t1+t3=t5;

甲班从D步行到B所需时间恰等于汽车空车从D到C的时间加乙班乘车从C到B的时间, 即t2=t3+t4,

∴列方程

undefined

这是二元一次方程组, 解得

undefined

故两个班同时到达军营的时间为

undefined (小时) .

例5 甲、乙两人同时从A地沿同一路线去B地, 甲用一半的时间以a千米/时的速度行走, 另一半的时间以b千米/时的速度行走;而乙用一半的路程以a千米/时的速度行走, 另一半路程以b千米/时的速度行走, 问:甲和乙谁先到达目的地?

解 这也是路程问题, 应该运用路程模型.

设A, B两地距离为s千米, 则

甲走完全程所需时间为undefined,

undefined

模型法解应用题的主要步骤分为三步:第一步, 设未知数, 有些问题直接设未知数为x, 如例1、例2, 而有些问题不宜直接设, 而是采用间接设法, 如例4、例5;第二步, 熟悉模型, 列代数式, 充分理解实际问题属于哪种模型, 然后就用这种模型, 列出相应的代数式;第三步, 寻找等量关系, 列出方程 (或函数式) , 这些等量关系有时比较直观, 有时又比较隐蔽, 寻找等量关系时, 既要细心, 也要耐心.

参考文献

[1]九年义务教育教材 (六年级) [M].北京:人民教育出版社, 2010.

[2]马德彬.从课本到奥数 (七年级) [M].上海:华东师范大学出版社, 2011.

列表法解初中常见应用题 第4篇

关键题：设元 未知数 列表 应用题

【分类号】G633.6

正文：

在现行的教学改革中，素质教育已深入人心，培养全面发展的人才是现如今教育的重点及趋势。可是，现在的学生特别是农村学生的水平却没有得到很好的提高。学生的知识面广了，可是对问题的分析解决能力却没有跟上。这在数学教学中体现较为明显。例如在数学应用题的教学中，有许多学生对应用题的解题效果都没有新思想，只是如是的照搬老师的解题方法和格式。对于同一类型的题目往往只会照搬老师讲过的方法，被动的完成；可是，对一同一类型的不同问题，在没有老师的指导下，就不能独立完成了。

那么，如何在课堂上针对应用题进行有效的教学呢？

一、理解什么是未知数。

学生都知道，初中应用题都要设未知数进行解题。可是，为什么要设这个未知数，有许多学生只是机械的知道要设元，不能对这个已设的未知数进行应用。未知数设完了，不是让我们去求出吗？如何应用？

其实，当你设完了这个未知数，题目给也就多了一个相当重要的“已知条件”了。这个“已知条件”就是你设的这个未知数。

例1：一件商品按成本价提高40%后标价，再打8折销售，售价为240元，那么，这件商品的成本是多少？

面对这个应用题，学生必做的一件事，就是设成本为x元。可是，设元后，学生就把注意力转移到如何去找题目中的等量关系了，费尽了心思。可是，如果注意到，当设成本为x元后，也就是说成本是一个“已知量”了。换句话说，把题目中的未知量成本用字母x来表示，也就是说“成本就知道了”。那么，根据题意，标价就是（1+40%）x元，实际的售价是打完8折后的价格也就是0.8·（1+40%）x元，因售价为240元也就是0.8·（1+40%）x =240，那么这个问题就解决了。

二、掌握和充分使用好已设的未知数。

这也是最重要的部分了，当能掌握设元，把未知量转化为“已知量”时，如何正确并充分的使用这个“已知条件” ，从而轻松、准确的解应用题就是关键了。通过列表法就可以充分掌握和使用设元得到的这个重要的“已知量”来轻松的解决应用题了。

例2：王老师和小明想从距紫峰中学5千米远的青阳大润发商场去购买学习用品；已知摩托车的速度是自行车速度的3倍；若王老师骑摩托车比小明骑自行车早到20分钟。求小明骑自行车的速度。

分析：设小明骑自行车的速度为x千米/每小时，则王老师骑摩托车的速度为3x千米/每小时。因为是行程问题，所以涉及到的量有三个，路程、速度、时间。因为，我们可以通过列表

根据题意，我们可以很快的完成这个表格。那么时间呢？因为，时间=路程÷速度。所以，王老师所用的时间就是5/3x，小明所用的时间5/x。根据题意，王老师骑摩托车比小明骑自行车早到20分钟，也就是1/3小时。所以，本题可很快列出方程 。

当然，这种方法不仅适合于行程问题，只要能清楚题目当中存在着哪些量，都可以采用这种方法来解决。例如有关工程问题，利率问题等。

例3：某大队要筑一条水坝，需要在规定时期内完成，若由甲队去做，则恰好如期完成；若由乙队去做，则需要超过规定时期三天才能完成。现由甲、乙两队合作2天，余下的工程由乙队独自去做，恰好在规定日期内完成。则规定的日期是多少天？

分析：可设规定的日期为x天。因本题涉及到的量有三个，甲，乙，甲乙合作，所以，本题可列表如下：

因甲、乙两队合作2天，余下的工程由乙队独自去做，恰好在规定日期内完成。所以，可列出方程 。本题相对复杂，可是当知道了规定的时间为x天，则甲、乙及甲乙合作的工作效率就可以知道，通过表格可以很清楚的表示出来，减轻了学生的负担。当然，这个题目要正确的让学生理解甲乙合作的工作总量，因为，有些学生也会一样的认为工作总量为1。然而不是。这里要主要体会这种方法的三个量其实必有一个量是可以在题中直接找到的，而另一个量也定含有未知数的，第三个量就定是用已有的两个量来表示。就如甲乙合作这个问题，在列表中，容易知道合作时间为2天，而工作效率是两个工作效率和，所以，工作总量=工作效率×工作时间来得到。这是本题的关键。

综上所述，解初中数学应用题，只要掌握了其中的方法和技巧，以不变应万变。而这个技巧就是能充分的理解和应用好设元，把握好在题目当中给我们的这个隐形已知量。技巧就是确定题型，明确题目所涉及的相关量并用列表的形式把其中的量表示出来；再结合题目当中显然的已知条件列出方程。

表面上，这也是一种机械化；可是，当学生体会并能充分重视设元，就会在学习数学中重视每一个细节，追求每一个步骤的原因、理由，從而使思维更加紧密。当学生能列出表格时，就说明学生能独立去分析题目，取舍题目中的条件，从而学会分析，有自己的思维，因为这种列表的方式，方法并不唯一。这就在某程度上达到培养学生能力的目的，使学生能感受数学魅力，享受数学。

参考文献

[1]全日制义务教育《数学课程标准》，北京师范大学出版社

[2]华东师范大学版《数学（八年级）（下）》，华东师范大学出版社

比例法解应用题奥数 第5篇

本教程共30讲

比和比例

比的概念是借助于除法的概念建立的。

两个数相除叫做两个数的比。例如，5÷6可记作5∶6。

比值。

表示两个比相等的式子叫做比例（式）。如，3∶7=9∶21。判断两个比是否成比例，就要看它们的比值是否相等。两个比的比值相等，这两个比能组成比例，否则不能组成比例。

在任意一个比例中，两个外项的积等于两个内项的积。即：如果a∶b=c∶d，那么a×d=b×c。

两个数的比叫做单比，两个以上的数的比叫做连比。例如a∶b∶c。连比中的“∶”不能用“÷”代替，不能把连比看成连除。把两个比化为连比，关键是使第一个比的后项等于第二个比的前项，方法是把这两项化成它们的最小公倍数。例如，甲∶乙=5∶6，乙∶丙=4∶3，因为[6，4]=12，所以

5∶ 6=10∶ 12，4∶3=12∶9，得到甲∶乙∶丙=10∶12∶9。

例1 已知3∶(x-1)=7∶9，求x。

解： 7×(x-1)=3×9，x-1=3×9÷7，例2 六年级一班的男、女生比例为3∶2，又来了4名女生后，全班共有44人。求现在的男、女生人数之比。

分析与解：原来共有学生44-4=40（人），由男、女生人数之比为3∶2知，如果将人数分为5份，那么男生占3份，女生占2份。由此求出

女生增加4人变为16+4=20（人），男生人数不变，现在男、女生人数之比为 24∶20=6∶5。

在例2中，我们用到了按比例分配的方法。

将一个总量按照一定的比分成若干个分量叫做按比例分配。按比例分配的方法是将按已知比分配变为按份数分配，把比的各项相加得到总份数，各项与总份数之比就是各个分量在总量中所占的分率，由此可求得各个分量。

例3 配制一种农药，其中生石灰、硫磺粉和水的重量比是1∶2∶12，现在要配制这种农药2700千克，求各种原料分别需要多少千克。

分析：总量是2700千克，各分量的比是1∶2∶12，总份数是1+2+12=15，答：生石灰、硫磺粉、水分别需要180，360和2160千克。

在按比例分配的问题中，也可以先求出每份的量，再求出各个分量。如例3中，总份数是1+2+12=15，每份的量是2700÷15=180（千克），然后用每份的量分别乘以各分量的份数，即用180千克分别乘以1，2，12，就可以求出各个分量。

例4 师徒二人共加工零件400个，师傅加工一个零件用9分钟，徒弟加工一个零件用15分钟。完成任务时，师傅比徒弟多加工多少个零件？

分析与解：解法很多，这里只用按比例分配做。师傅与徒弟的工作效率

有多少学生？

按比例分配得到

例6 某高速公路收费站对于过往车辆收费标准是：大客车30元，小客车15元，小轿车10元。某日通过该收费站的大客车和小客车数量之比是5∶6，小客车与小轿车之比是4∶11，收取小轿车的通行费比大客车多210元。求这天这三种车辆通过的数量。

分析与解：大客车、小轿车通过的数量都是与小客车相比，如果能将5∶6中的6与4∶11中的4统一成[4，6]=12，就可以得到大客车∶小客车∶小轿车的连比。

由5∶6=10∶12和4∶11=12∶33，得到

大客车∶小客车∶小轿车=10∶12∶33。

以10辆大客车、12辆小客车、33辆小轿车为一组。因为每组中收取小轿车的通行费比大客车多10×33-30×10=30（元），所以这天通过的车辆共有210÷30=7（组）。这天通过

大客车=10×7=70（辆），小客车=12×7=84（辆），小轿车=33×7=231（辆）。

练习8

1.一块长方形的地，长和宽的比是5∶3，周长是96米，求这块地的面积。

2.一个长方体，长与宽的比是4∶3，宽与高的比是5∶4，体积是450分米3。问：长方体的长、宽、高各多少厘米？

3.一把小刀售价6元。如果小明买了这把小刀，那么小明与小强的钱数之比是3∶5；如果小强买了这把小刀，那么小明与小强的钱数之比是9∶11。问：两人原来共有多少钱？

5.甲、乙、丙三人分138只贝壳，甲每取走5只乙就取走4只，乙每取走5只丙就取走6只。问：最后三人各分到多少只贝壳？

6.一条路全长60千米，分成上坡、平路、下坡三段，各段路程的长度之比是1∶2∶3，某人走各段路程所用的时间之比是3∶4∶5。已知他走平路的速度是5千米/时，他走完全程用多少时间？

7.某俱乐部男、女会员的人数之比是3∶2，分为甲、乙、丙三组，甲、乙、丙三组的人数之比是10∶8∶7。如果甲组中男、女会员的人数之比是3∶1，乙组中男、女会员的人数之比是5∶3，那么丙组中男、女会员的人数之比是多少？

答案与提示练习8

1.540米2。

2.长100厘米，宽75厘米，高60厘米。

解：长∶宽∶高=20∶15∶12，450000÷(20×15×12)=125=53。

长=20×5=100（厘米），宽=15×5=75（厘米），高=12×5=60（厘米）。

3.86元。

解：设小明有x元钱。根据小强的钱数可列方程

36+50=86（元）。

4.2640元。

5.甲50只，乙40只，丙48只。

解：甲∶乙∶丙=25∶20∶24，138÷(25+20+24)=2，甲=2×25=50（只），乙=2×20=40（只），丙=2×24=48（只）。

6.12时。

小学六年级奥数教案比和比例 2 第6篇

例1 已知3∶(x-1)=7∶9，求x。

例2 六年级一班的男、女生比例为3∶2，又来了4名女生后，全班共有44人。求现在的男、女生人数之比。

分析与解：原来共有学生44-4=40（人），由男、女生人数之比为3∶2知，如果将人数分为5份，那么男生占3份，女生占2份。由此求出

女生增加4人变为16+4=20（人），男生人数不变，现在男、女生人数之比为 24∶20=6∶5。

在例2中，我们用到了按比例分配的方法。将一个总量按照一定的比分成若干个分量叫做按比例分配。按比例分配的方法是将按已知比分配变为按份数分配，把比的各项相加得到总份数，各项与总份数之比就是各个分量在总量中所占的分率，由此可求得各个分量。

例3 配制一种农药，其中生石灰、硫磺粉和水的重量比是1∶2∶12，现在要配制这种农药2700千克，求各种原料分别需要多少千克。

分析：总量是2700千克，各分量的比是1∶2∶12，总份数是1+2+12=15，答：生石灰、硫磺粉、水分别需要180，360和2160千克。

在按比例分配的问题中，也可以先求出每份的量，再求出各个分量。如例3中，总份数是1+2+12=15，每份的量是2700÷15=180（千克），然后用每份的量分别乘以各分量的份数，即用180千克分别乘以1，2，12，就可以求出各个分量。

例4 师徒二人共加工零件400个，师傅加工一个零件用9分钟，徒弟加工一个零件用15分钟。完成任务时，师傅比徒弟多加工多少个零件？

分析与解：解法很多，这里只用按比例分配做。师傅与徒弟的工作效率

有多少学生？

按比例分配得到

例6 某高速公路收费站对于过往车辆收费标准是：大客车30元，小客车15元，小轿车10元。某日通过该收费站的大客车和小客车数量之比是5∶6，小客车与小轿车之比是4∶11，收取小轿车的通行费比大客车多210元。求这天这三种车辆通过的数量。

分析与解：大客车、小轿车通过的数量都是与小客车相比，如果能将5∶6中的6与4∶11中的4统一成[4，6]=12，就可以得到大客车∶小客车∶小轿车的连比。由5∶6=10∶12和4∶11=12∶33，得到大客车∶小客车∶小轿车=10∶12∶33。以10辆大客车、12辆小客车、33辆小轿车为一组。因为每组中收取小轿车的通行费比大客车多10×33-30×10=30（元），所以这天通过的车辆共有210÷30=7（组）。这天通过大客车=10×7=70（辆），小客车=12×7=84（辆），小轿车=33×7=231（辆）。

练习: 1.一块长方形的地，长和宽的比是5∶3，周长是96米，求这块地的面积。

2.一个长方体，长与宽的比是4∶3，宽与高的比是5∶4，体积是450分米3。问：长方体的长、宽、高各多少厘米？

3.一把小刀售价6元。如果小明买了这把小刀，那么小明与小强的钱数之比是3∶

5；如果小强买了这把小刀，那么小明与小强的钱数之比是9∶11。问：两人原来共有多少钱？

5.甲、乙、丙三人分138只贝壳，甲每取走5只乙就取走4只，乙每取走5只丙就取走6只。问：最后三人各分到多少只贝壳？

6.一条路全长60千米，分成上坡、平路、下坡三段，各段路程的长度之比是1∶2∶3，某人走各段路程所用的时间之比是3∶4∶5。已知他走平路的速度是5千米/时，他走完全程用多少时间？