函数及其图像范文

函数及其图像范文（精选12篇）

函数及其图像 第1篇

1.作函数图像的常用方法

(1) 描点法作图:结合函数的性质, 如定义域、单调性、极值点、奇偶性、周期性、对称性、截距等.

(2) 利用图像变换作图:

平移变换: (m, n>0)

y=f (x) (向右平移m个单位) y=f (x-m) ;

y=f (x) (向左平移m个单位) y=f (x+m) ;

y=f (x) (向上平移n个单位) y=f (x) +n;

y=f (x) (向下平移n个单位) y=f (x) -n.

伸缩变换: (m, n>1)

对称变换:

y=f (x) (关于x轴对称) y=-f (x) ;

y=f (x) (关于y轴对称) y=f (-x) ;

y=f (x) (关于原点对称) y=-f (-x) ;

y=f (x) (关于直线y=x对称) y=f-1 (x) ;

y=f (x) (关于直线x=m对称) y=f (2m-x) ;

y=f (x) (关于直线y=n对称) y=2n-f (x) .

y=f (x) (y轴右侧图像不变, 去掉左侧图像并作出与右侧对称的图像) y=f (|x|) ;

y=f (x) (x轴上方图像不变, 将x轴下方图像沿x轴向上翻折) y=|f (x) |.

2.图像的对称性

常见函数的对称性有:

(1) 函数y=f (x) 的图像关于直线y=x对称圳f-1 (x) =f (x) ;

(2) 函数y=f (x) 的图像关于直线x=a对称圳对于定义域内任意的x都有f (a+x) =f (a-x) .

下面先以二次函数的性质图像举例说明:

在复习函数的单调性时, 必须让学生对二次函数y=ax2+bx+c在对称轴两侧区间上的单调性的结论用定义进行严格的论证, 使它建立在严密理论的基础上, 与此同时, 进一步充分利用函数图像的直观性, 给学生配以适当的练习, 使学生逐步自觉地利用图像学习二次函数有关的一些函数单调性.

例1画出下列函数的图像, 并通过图像研究其单调性.

这里要使学生注意这些函数与二次函数的差异和联系.掌握把含有绝对值记号的函数用分段函数去表示, 然后画出其图像.

例2设f (x) =x2-2x-1在区间[t, t+1]上的最小值是g (t) .求g (t) 并画出y=g (t) 的图像.

解f (x) =x2-2x-1= (x-1) 2-2, 在x=1时取最小值-2.

当1∈[t, t+1]即0t1时, g (t) =-2;

当t>1时, g (t) =f (t) =t2-2t-1;

当t<0时, g (t) =f (t+1) =t2-2.

首先要让学生弄清楚题意, 一般地, 一个二次函数在实数集合R上或者只有最小值或者只有最大值, 但当定义域发生变化时, 取最大或最小值的情况也随之发生变化.这也是学生在学习时容易出错的地方, 我们可以辅以图像帮助理解.

二次函数, 它有着丰富的内涵和外延.作为最基本的幂函数, 可以以它为代表来研究函数的性质, 可以建立起函数、方程、不等式之间的联系, 可以编拟出层出不穷、灵活多变的数学问题, 考查学生的数学基础知识和综合数学素质, 特别是能从解答的深入程度中, 区分出学生运用数学知识和思想方法解决数学问题的能力

我们可以再以其他函数为例对图像的变换应用加以说明.

例3 f (x) =2sinx是定义在区间[-10, 10]上的奇函数, 令g (x) =af (x) +b, 则下列关于函数g (x) 的叙述正确的是 () .

A.若a<0, 则函数g (x) 的图像关于原点对称

B.若a=1, 0

C.若a=-2, b=0, 则函数g (x) 的图像关于y轴对称

D.若a≠0, b=2, 则方程g (x) =0有三个实根

解析当若a=1, 00, g (3) =f (3) +b<-2+b<0, 所以当x∈ (2, 3) 时, 必有g (x) =0, 故B正确.

例4已知函数y=ex的图像与函数y=f (x) 的图像关于直线y=x对称, 则以下选项正确的是 () .

解析函数y=ex的图像与函数y=f (x) 的图像关于直线y=x对称, 所以y=f (x) 是y=ex的反函数, 即f (x) =ln x.

函数及其图像 第2篇

（二）一、素质教育目标

（一）知识教学点：1．理解自变量的取值范围和函数值的定义，对解析式为只含有一个自变量的简单的整式、分式、二次根式的函数，会确定它们的自变量的取值范围和求它们的函数值；2．使学生在了解函数的解析表示法的基础上，进一步认识与了解函数的意义；3．能在已知函数值的情况下求出相对应的自变量的值．

（二）能力训练点：1．在确定自变量取值范围的过程中，培养学生分析问题和解决问题的能力；2．在求函数值的过程中进一步加强对学生运算能力的培养．

（三）德育渗透点：通过函数的教学，使学生体会事物是互相联系和有规律地变化着的．

二、教学重点、难点和疑点 1．教学重点：求自变量的取值范围和已知自变量的值求函数值．因为在通常情况下，自变量是有一定的变化范围的，而且对于在一定范围内变化的自变量，函数值也有一定的变化范围．

2．教学难点：求自变量的取值范围．因为自变量的取值范围，决定了函数值的变化范围．

三、教学步骤

（一）明确目标

上节课我们学习了数学中一个很重要的基本概念——函数，这节课我们将来学习与函数有关的一些知识．

（二）整体感知 提问：1．根据上节课所学知识，请你举一个函数的例子，并写出函数表达式，同时请说明它为什么是函数．

由于这个问题较基本，而且可以因人而异，所以可选择几个中下层次的学生来回答，培养学生的参与意识及能力．在学生回答的同时，把这些式子写在黑板上，留待后用．

2．（从上面出现的函数关系式中选出较恰当的一个）请你说出这个式子中的常量与变量，自变量与函数．

由学生回答，互相评价即可．

根据上述问题中给出的函数关系式，指出：（板书）这几个函数关系式，都是利用数学式子（即解析式，在此处不必扩充解析式的定义）来表示的，我们称这种用数学式子表示函数的方法叫做解析法．

提问：上述定义里的“这种”，你认为是什么含意？ 由学生讨论，适当引导学生，可找学习较好的学生回答，然后教师加以总结，除了解析法之外，函数还有其它的表示法．例如：在本章开始时，所给出的温度图表，其实就是用图象表示函数，这些我们将在以后学习．

提问：1．看函数解析式S=πR2，若单纯以式子出现，这里的自变量R的取值范围是怎样的？ 2．若给出圆的面积公式S=πR2，这里的自变量R的取值范围又是怎样的？ 这两个问题由学生讨论回答，在此处提出这样的问题，主要是使学生明确：在用解析式表示函数时，要考虑自变量的取值必须使解析式有意义．（教师总结）

下面我们就来看一下求自变量取值范围的例题：（出示幻灯）

例1 求下例函数中自变量x的取值范围：（1）y=2x+3；（2）

提问：①看这几道题，自变量在什么样的式子中？ ②上述式子，在什么样的条件下有意义？

教师提问之后，剩下的工作可由学生自行完成，然后由学生回答，互相评价即可．

练习:1

练习2 由学生讨论完成这道题．

注意：关于x的取值范围，纠正学生中易出现的x＞0这种错误，向学生解释明白（或由学生自行解释）：字数一定是整数的．

上面，我们主要是讨论如何确定自变量的取值范围，那么在这样的取值范围内，函数值有没有变化呢？应怎样求出特定自变量值的情况下函数的值呢？由学生思考．

看函数y=x（30-x），当自变量x=5时，对应的函数值是多少？ 由学生思考之后．口述过程．教师板书完成此题． 下面，我们来看一个例题：（出示幻灯）例3 求下列函数当x=2时的函数值：

由学生独立完成，找两名同学上黑板板演，第1名同学做（1）、（2）题；第2名同学做（3）、（4）题．然后根据学生做题的情况，总结，纠正出现的错误．

提问：求函数值的问题实际就是求什么的问题？

提这个问题主要是使学生能对所学的知识有正确地认识，而且能正确归类，便于学生理解、记忆．

这个问题由学生思考回答，若是没有思路，可以启发学生从解题的方法上找结果，总结：实际就是求代数式值的问题．

练习1，2题

由学生独立完成，教师巡回指导，口答答案即可．

刚才，我们研究了怎样由自变量的值求函数值，试想，若已知函数值应怎样求对应的自变量的值呢？

由学生讨论方法，与上述例题的方式正好相反，之后出示例题：（出示幻灯）例3 当x取什么值时，下列函数值为0：（1）y=3x-5；（2）y=2x2-5x+3． 提问：函数值为0，是什么意思？

由学生思考、总结：函数值为0，即y=0．然后由学生独立完成，找两名同学板演，最后加以总结，评价即可．

练习三：当x取什么值时，下列函数值为0：

由学生独立完成，若学生在做题时有一定的困难或有错误出现，教师应及时加以纠正．

（三）重点、难点的学习与目标完成过程 本节课的教学重点是求自变量的取值范围，为了让学生明确为何要确定自变量的取值范围，首先引出了函数的解析式，然后通过一个具体的解析式S=πR2的不同含义，使学生明确上述问题．在学生知道了为什么要确定自变量的取值范围之后，就开始通过各种不同类型的问题，让学生进一步理解自变量的取值范围实际就是使函数解析式有意义的那一部分值．同时，能使学生对不同类型的问题找到求自变量取值范围的方法，在小结中形成规律，便于学生的记忆和应用．

同时，在研究了自变量的取值范围之后，又很自然地使学生想到，随着自变量的值不同，对应的函数值也就不同，因此又引出了已知自变量的值求函数值和已知函数值求自变量的值这两个问题，使学生能很容易地接受．

（四）总结、扩展

教师提问，学生思考回答．

1．这节课我们介绍了一种什么样的表示函数的方法？ 2．用解析法表示函数应注意什么问题？ 3．求函数的自变量的取值范围的方法是怎样的？

对第3题，由学生先讨论之后回答，对有欠缺的部分互相补充，形成有规律而且完整的知识．

答：（1）要使函数的解析式有意义：

①函数的解析式是整式时，自变量可以取全体实数；

②函数的解析式是分式时，自变量的取值要使分母不为0；

③函数的解析式是二次根式时，自变量的取值要使被开方数是非负数．（2）对实际问题中的函数关系，要使实际问题有意义．

4．如何在给定自变量的情况下求函数值？又如何在给定函数值的情况下求自变量的值？

四、布置作业

1．教材习题3，5，6，7题

函数及其图像 第3篇

关键词 新教材 思维 能力

一、读题,理解题意,弄清已知条件中量与量之间的关系

例6:A城有肥料200吨,B城有肥料300吨,现要把这些肥料全部运往C、D两乡,从A城往C、D两乡运肥料的费用分别为每吨20元和25元;从B城往C、D两乡运肥料的费用分别为每吨15元和24元,现C乡需要肥料240吨,D乡需要肥料260吨,怎样调运总运费最少?

在讲例6时,我首先让学生自学读题,弄清题意,理清量与量之间的关系;明确所问的问题,解答下列问题:

题中给出了哪些已知条件?量与量之间是什么的关系?请用适当的形式表示量与量与量关系。

二 、问题探究,培养学生的"探究能力"

(一)题中要我们解决什么样的问题?请根据你对问题的理解给出一种解答方式。根据学生对问题的理解,教师可提示:

“题中的问题是设计一种调运方案,使运费最少。从问题看,调运方案不止一种,但要找的是运费最少的哪一种方案。请你说出其中的一种调运方案,并计算其总运费是多少。”

调运方案设计(学生):

方案1:从A地运往C地200吨,从A地运往D地0吨,从B地运往C地40吨,从B地运往D地260吨,总运费W=200X20+0X25+40X15+260X24=10840(元)

方案2:从A地运往C地0吨,从A地运往D地200吨,从B地运往C地240吨,从B地运往D地60吨,总运费W=20X0+200X25+240X15+60X24=10040(元)

方案3 从A地运往C地100吨,从A地运往D地100吨,从B地运往C地140吨,从B地运往D地160吨,总运费W=100X20+100X25+140X15+160X24=10440(元)

方案4:从A地运往C地50吨,从A地运往D地150吨,从B地运往C地190吨,从B地运往D地110吨,总运费W=50X20+150X25+190X15+110X24=10240(元)

在解决这一个问题的过程中,学生自己动脑设计方案,自己动手计算,最后加以比较、分析、做出判断,增加了学生学习的兴趣,使学生探究问题的能力得以提高,使学生体验了成功的喜悦,使学生的自主性得以体现,也给学生下一步继续探究提出了问题:能否有更简单的方法解决这一个问题呢?

(二)寻求最佳方案。

结合上一个问题的探究和老师的提示,学生很容易回答出“影响总运费的量有运费和货物运输量,但是运费是常量,总运费和运输量是变量”,“总运费随运输数量的变化而变化,且对于运输量的每一个确定的值,总运费有唯一确定的值与其对应,”这就启发学生用“函数”的思想方法来解决这一个问题,引出本题如下的解法:

解:设总运费为Y元,A城运往C乡的肥料为X吨,A城运往D乡的肥料为(200-X)吨,则B城运往C乡的肥料为(240-X)吨,B城运往D乡的肥料为(60+X)吨,依题意得:

Y=20X+25(200-X)+15(240-X)+24(60+X)

化簡,得:

Y=4X+10040

很容易得出 0≤X≤200

因为,Y是X的一次函数,且随X的减小而减小。

所以,当X=0时,有最小值Y=10040

因此,从A城运往C乡的肥料为0吨,A城运往D乡的肥料为200吨,B城运往C乡的肥料为240吨,B城运往D乡的肥料为60吨时,总运费最少,总运费最小值为10040元。

在这个问题中,由于A城存货量为200吨,小于C乡需货量240吨,很容易看出自变量X的取值范围。用函数解决这个问题的过程中,由于存货量和需求量之间的相等关系,可设一个自变量,再用这个自变量和已知量去表示相关的量。

(三)一题多变,灵活应用。

在本题的最后,课本设计了互换此题的一个条件,让学生再来解决问题。

问题:若A城有肥料300吨,B城有肥料200吨,其他条件不变,又该怎么样调运呢?

(解法与前面相同,只是自变量的取值范围不同)

解:设总运费为Y元,A城运往C乡的肥料为x吨,A城运往D乡的肥料为(300-X)吨,则B城运往C乡的肥料为(240-X)吨,B城运往D乡的肥料为(-40+X)吨,依题意得:

Y=20X+25(300-X)+15(240-X)+24(-40+X)

化简,得:Y=4X+10140

在确定自变量的取值范围的时候,有的同学说:0≤X≤300,还有地说0≤X≤240,学生均提出了疑问,最后经过思考得出自变量的取值范围需满足

X≥0,且300-X≥0,且240-X≥0,且-40+X≥0

∴40≤X≤240

因为Y是X的一次函数,且随X的减小而减小。

所以,当X=40时,最小值Y=40X40+10140=11740

设计这个问题,一是为了强化学生用函数解决问题的方法,另外也是让学生体会与第一题的不同点,从中悟出求自变量取值范围的方法,培养学生根据实际问题的需要,灵活解决问题的能力,克服学生死搬硬套、简单模仿的坏习惯。

三、课后自学--巩固成果,深化提高

(一)本节课把第34页的练习和35页的第九题作为作业题,其中第34页的练习题涉及了了一个调运量这个新名词,让学生认真阅读题,从中悟出调运量的计算方法,培养学生的阅读能力。

函数及其图像 第4篇

二次函数是最重要的初等函数之一, 中学数学的很多问题最后都要划归为二次函数处理。二次函数的图像和性质是解决二次函数问题的关键。静态的图像不便于揭示二次函数变化的规律, 信息技术的引入正好可以帮助学生解决这一问题。

●学生分析

学生在初中已学过二次函数的基本知识, 到高中要继续应用这些知识解决与二次函数有关的问题。含参数的二次函数问题, 尤其是含参数的二次函数在闭区间上的最值问题对学生来说是一个难点。利用操作简便的几何画板软件, 可以帮助学生找到参数变化引起函数图像变化的规律, 从而突破难点。

●教学目标

知识与能力目标:通过探究二次函数y=ax2+bx+c (a≠0) 的参数a、b、c的变化对图像形状的改变, 掌握二次函数的图像和性质, 并能应用所学知识解决含参数的二次函数在给定范围内的最值问题。

过程与方法目标:利用几何画板软件搭建一个“数学实验室”, 利用计算机超强的计算功能和画图功能, 在短时间内完成大量运算和作图, 从中探究数学知识的内在规律。从而达到理解、掌握、运用知识的目的;渗透“数形结合”的思想。

情感态度与价值观目标:学生在自主学习的过程中, 激发学习数学的自信心和积极性, 培养不断发现、探索新知的精神, 提高观察问题、分析问题的能力, 增强勇于战胜困难的勇气。同时, 增强应用信息技术的能力和意识。

●教学重点

探究参数a、b、c的变化对函数y=ax2+bx+c的图像的影响。

●教学难点

含参数的二次函数在闭区间上的最值问题。

●工具资源

设计课件以网页形式呈现, 交互性强, 学生可以根据课件设计的步骤逐步深入学习, 制作了“几何画板课件Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ”供学生选用, 运用搭建的“数学实验室” (即提供的几何画板平台) , 自主探究, 突破难点, 提高分析问题、解决问题的能力, 培养自信心和实践能力。

●设施环境

网络教室环境, 学生人手一机。

●教学过程

1.复习引入

师:二次函数y=2x2的图像与y=-2x2, 以及与的图像之间的关系是怎样的?

生:开口方向、开口大小不同。

师:打开几何画板课件 (I) , 利用软件画出上述函数图像 (如图1) , 进行检验, 并归纳得出x2前面系数的变化对图像的影响。

生:x2前面系数的变化影响抛物线的开口方向和开口的大小。变化规律是:系数为正, 开口向上, 系数为负, 开口向下;系数的绝对值越大, 开口越小, 反之则越大。

设计意图:复习初中已学过x2前面系数的变化对图像的影响, 初步体会由特殊到一般的研究顺序。

2.新课讲解

(1) 体验二次函数图像研究二次函数的性质、一元二次方程、一元二次不等式的便利。

教师示范画y=x2-x-2的图像, 让学生观察其顶点、对称轴、开口方向、与y轴交点情况。由图观察出方程x2-x-2=0的两根, 并观察出x2-x-2>0的解集。

改变系数, 通过在几何画板上画出函数图像同样能解决以上的求解方程和不等式的解的问题。

设计意图:体会二次函数图像对研究与一元二次有关的问题的重要性, 从而激发学生对深入研究二次函数图像的求知欲。

(2) 探究二次函数的一次项系数的变化对图像的影响。

师:请同学们在几何画板上画出第一组二次函数

的图像 (如图2) 。探究一次项系数变化对图像的影响。

生:一次项系数的变化使得抛物线对称轴的位置发生变化, 继而使得顶点位置随之发生变化。图像与y轴的交点不变。

师:抛物线的开口方向和开口的大小如何变化?

生:抛物线的开口方向不变, 开口的大小发生变化。

师: (对学生在此处的错误要及时纠正) 抛物线的开口的大小实际上并未发生改变, 直观上的变化是因为顶点位置发生了上下移动引起的。

(3) 探究二次函数的常数项变化对图像的影响。

师:画第二组函数

的图像, 探究常数项c的变化对图像的影响。

生:常数项c的变化使得图像与y轴的交点及顶点的位置发生改变, 对图像的对称轴、开口方向及大小不会有影响。

(4) 探究二次函数各项的系数连续变化对图像的影响。

教师打开几何画板课件 (Ⅱ) 。演示a、b、c分别连续变化时y=ax2+bx+c图像的变化 (如图3) 。

师:请同学们以四人为一组在独立思考的基础上以小组为单位, 动手利用几何画板课件 (Ⅱ) 探究a、b、c分别连续变化时y=ax2+bx+c图像的变化规律, 并完成以下练习题。

学生操作, 并做练习题:

(用A、B、C、D、E填空) 二次函数y=ax2+bx+c的图像中, 仅变化a时, ______变;______不变。仅变化b时, ______变;______不变。仅变化c时, ______变;______不变。

A.开口方向B.开口大小C.对称轴的位置D.顶点坐标E.与轴交点

教师深入小组参与活动, 倾听学生的交流, 重点指导完成操作。力争让学生自己操作、思考、总结, 在不断的摸索中找到问题答案。

设计意图:此环节达到了一个小高潮, 此处充分体现了现代信息技术处理动态图形的优势, 给学生以强烈的震撼:那么复杂的参数问题在此竟是如此的直白。

(5) 分析图像变化的原理。

师:请同学们将二次函数配方:用系数表示出对称轴:, 顶点坐标, 与y轴交点 (0, c) , 不难发现对称轴与a、b有关, 顶点坐标与a、b、c都有关, 与y轴交点仅与c有关。

设计意图:此环节达到了“画龙点睛”的效果, 学生会恍然大悟, 不仅知其然, 还知其所以然。

(6) 应用举例。

例:已知函数

y=x2-bx+1 (0≤x≤1) , 试用b表示函数的最小值。

师:这是一个含参数的二次函数在闭区间上求最值的问题, 0≤x≤1内, 二次函数图像只有一部分 (如图4) , 随着b的变化, 这部分的图像形状也会发生改变, 从而使最小值对应的位置也会发生变化, 故需要讨论。如何分类讨论, 通过动手实验找出分类的标准。

生:画动态的二次函数图像, 通过连续改变参数b的取值找到函数取得最值的位置, 从而找到分类讨论的分类标准。

师:回答的很好!说明你已经具备动态图像的意识。下面请同学们以小组为单位动手在几何画板上画出这个动态的二次函数图像, 或者打开几何画板课件 (Ⅲ) , 通过操作改变参数b的取值进而找出分类的标准, 并完成此题。

教师深入学生指导, 让学生自己操作、思考, 在摸索中找到问题答案。

展示学生解答。

解:函数顶点横坐标为, 即对称轴方程:

设计意图:提高学生应用知识解决实际问题的能力。

3.课堂练习

师:有了几何画板作为工具, 可以帮助我们在短时间完成大量的变式练习, 迅速提高解题能力。请同学们通过修改系数、改变参数b的位置、改变区间的端点等方式对此题加以改编, 运用同样的方法, 进行变式训练。

设计意图:依靠变式提升演练水准, 不仅提高运用二次函数图像解决问题的能力, 也提高应用信息技术辅助学习的能力。

●教学反思

本节课利用数学软件搭建一个“数学实验室”, 利用计算机超强的计算功能和画图功能, 让学生在短时间内完成大量运算和作图, 达到了教师的预期目标。

课堂上注重教师的示范、引导与学生的自主探究相结合, 学生人手一机积极参与。在第一部分教学阶段, 从探究参数a、b、c的变化对函数y=ax2+bx+c的图像的影响, 到自我归纳其中的变化规律, 均由学生独立探究完成。最后再由教师分析所得到的这种“规律”的理论依据, 让学生的形象思维上升到理性思维。

在第二部分教学阶段, 应用举例, 分析:在0≤x≤1内, 二次函数图像只有一部分, 随着参数b的变化, 这部分的图像形状也会发生改变, 从而使最小值对应的位置也会发生变化, 故需要讨论。如何分类讨论, 通过动手实验找出分类的标准, 渗透“数形结合”的数学思想。

课堂练习部分, 通过改编例题, 让学生应用所学到知识解决问题, 活学活用, 强化本节知识。

二次函数是中学数学的热门话题, 很多问题最后都要划归为二次函数来解决, 熟练掌握、运用二次函数图像和性质始终是高中数学的一个重要内容。几何画板为数学搭建了一个“做数学实验”的平台, 有助于学生更好地掌握数学知识, 更深地理解数学思想。总之, 本节课选择了中学数学的一个既是重点又是难点的课题, 借助于现代教育技术突出了重点, 突破了难点。从课堂、课后学生的反馈来看, 取得了较理想的效果。

反思不足之处:学生的主体突出不够, 教师讲得太多;课堂练习部分设计开放得不够, 应放手学生自行改编例题, 而不是将改编好了的题让学生去做;课件制作有待进一步改进, 交互性、开放性需加强, 内容还可以更丰富一些。

二次函数是中学数学的重要章节, 是体现数形一一对应的数学思想的典型内容。数学中的许多二维问题均可划归为二次函数来解决。因此, 二次函数是中学数学的一个十分重要的教学内容。

教者充分利用几何画板的功能, 搭建了一个“数学实验室”。在网络环境下, 通过教师的示范, 引导学生观察二次函数的顶点、对称轴、开口方向与y轴交点的情况;在此基础上让学生亲自操作几何画板, 先后画出两条不同的二次函数曲线, 分别探究一次项系数和常数项的变化对图像的影响, 进而探究出曲线和最值变化的规律。是一次扬信息技术之优, 充分体现数学学科特征的好的实践。

教者在教学过程中坚持了数学思想的学习和实践。数形结合是数学学科的重要特征之一。教者利用几何画板软件的快速计算功能和超强画图功能, 在45分钟内多次完成二次函数的作图任务, 迅速地实现二次函数图形随着a、b、c参数的变化而变化的教学过程, 让学生身临其境地观察到参数与图形一一对应的变化关系。

函数图像解决路程问题 第5篇

中考对函数知识的考查主要是运用函数知识来解决实际生活问题.函数实际应用型问题是把题中数量关系抽象为函数模型，如一次函数、二次函数、反比例函数以及它们的分段函数，进而应用函数进行分析、研究、解决有关问题.函数问题的实质是研究两变量之间的对应关系，用函数思想构建数学模型解决实际问题.

例1：“五一节”期间，王老师一家自驾游去了离家170千米的某地，下面是他们离家的距离y（千米）与汽车行驶时间x（小时）之间的函数图像，当他们离目的地还有20千米时，汽车一共行驶的时间是（ ）.

A. 2小时 B. 2.2小时 C. 2.25小时 D. 2.4小时

考点：函数的图像.

解析：设AB段的函数解析式是y=kx+b，

y=kx+b的图像过A（1.5，90），B（2.5，170），

1.5k+b=90，2.5k+b=170， 解得k=80，b=-30.

∴AB段函数的解析式是y=80x-30.

离目的地还有20千米时，即y=170-20=150千米，

当y=150时，80x-30=150， x=2.25小时.

故选：C.

解题反思：本题考查一次函数的应用，利用待定系数法求解析式，利用函数值求自变量的值.

例2：小明从家出发，外出散步，到一个公共阅报栏前看了一会儿报后，继续散步了一段时间，然后回家.如图描述了小明在散步过程中离家的距离s（米）与散步所用的时间t（分）函数关系.根据图像，下列信息错误的是（ ）.

A. 小明看报用时8分钟

B. 公共阅报栏距小明家200米

C. 小明离家最远的距离为400米

D. 小明从出发到回家共用时16分钟

考点：函数的图像.

解析：A. 看报用时8-4=4分钟，A项错误；B. 公共阅报栏距小明家200米，B项正确；C. 由图可知，12分钟时小明离家最远，小明离家最远的距离为400米，C项正确；D. 由图可知小明从出发到回家共用时16分钟，D项正确.

故选：A.

解题反思：本题考查利用函数的图像解决实际问题的能力，正确理解函数图像横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图像得到函数问题的相应答案.

例3：甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步500米，先到终点的人原地休息.已知甲先出发2秒.在跑步过程中，甲、乙两人的距离y（米）与乙出发的时间t（秒）之间的关系如图所示，给出以下结论：①a=8；②b=92；③c=123. 其中正确的是（ ）.

A. ①②③ B. ①②

C. ①③ D. ②③

考点：一次函数的应用.

解析：易得乙出发时，两人相距8米，除以时间2秒即为甲的速度；由于出现两人距离为0米的情况，那么乙的速度较快.乙100秒跑完总路程500米可得乙的速度，进而求得100秒时两人相距的距离可得b的值，同法求得两人距离为0米时，相应的时间，让两人相距的距离除以甲的速度，再加上100秒即为c的值.

解：甲的速度为：8÷2=4（米/秒）；

乙的速度为：500÷100=5（米/秒）；

b=5100-4（100+2）=92（米）；

5a-4（a+2）=0，

解得a=8，

c=100+92÷4=123（秒），

∴正确的有①②③.

故选：A.

解题反思：得到甲乙两人的速度是解决本题的突破点；得到相应行程的关系式是解决本题的关键.

例4：早晨，小刚沿着通往学校唯一的一条路（直路）上学，途中发现忘带饭盒，停下往家里打电话，妈妈接到电话后带上饭盒马上赶往学校，同时小刚返回，两人相遇后，小刚立即赶往学校，妈妈回家.15分钟后妈妈到家，再经过3分钟小刚到达学校，小刚始终以100米/分的速度步行，小刚和妈妈的距离y（米）与小刚打完电话后的步行时间t（分）之间的函数关系如图，下列四种说法：

①打电话时，小刚和妈妈的距离为1 250米；

②打完电话后，经过23分钟小刚到达学校；

③小刚和妈妈相遇后，妈妈回家的速度为150米/分；

④小刚家与学校的距离为2 550米.其中正确的个数是（ ）.

A. 1个

B. 2个

C. 3个

D. 4个

考点：函数的图像.

解析：①由图可知打电话时，小刚和妈妈的距离为1 250米是正确的；

②因为打完电话后5分钟两人相遇后，小刚立即赶往学校，妈妈回家，15分钟后妈妈到家，再经过3分钟小刚到达学校，经过5+15+3=23分钟小刚到达学校，所以②是正确的；

③打完电话后5分钟两人相遇前，妈妈的速度是1 250÷5-100=150米/分，走的路程为1505=750米，妈妈回家的速度是750÷15=50米/分，所以妈妈回家的速度为150米/分是错误的；

④小刚家与学校的距离为750+（15+3）100=

2 550米，所以④是正确的.

正确的答案有①②④.故选：C.

解题反思：此题考查函数的图像的实际意义，结合题意正确理解函数图像，利用基本行程问题解决问题.

一次函数图像性质 第6篇

关键词：初中数学；一次函数；图像性质

中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2014）12-295-01

《一次函数图像性质》这节课是新人教版八年级下册“19.2.2一次函数”（第二课时）的内容，下面我从四个方面谈谈我对这节课的一些粗浅认识：

一、目标分析

（一）知识与技能目标

1、利用前面学习的函数图像的画法通过列表、描点、连线画出一次函数的图像；2、使学生理解函数 与函数 图象之间的关系，会利用两个合适的点画出一次函数的图象，掌握k、b的意义和作用。

（二）过程与方法目标

1、通过描点法来研究一次函数图象，在动手绘制一次函数的图象的过程中，让学生经历“动手----比较----讨论---归纳”的数学活动，通过对一次函数图象的分析，归纳k、b的正负对函数图象变化趋势和函数性质的影响，让学生经历知识的探究、归纳的过程，体会数形结合思想方法和分类讨论思想方法的应用，同时培养学生的观察能力和抽象概括能力。2、通过从具体一次函数的图象特征抽象得到一般形式一次函数的图象特征，进而得到函数的性质，使学生经历从特殊到一般的研究问题的过程，体会从特殊到一般的研究问题的方法。

二、教学中问题诊断分析

在本节课的学习中，学生对于通过具体函数图象猜想一次函数图象的形状和k的正负对于函数图象的变化趋势和函数性质的影响并不困难，但是学生容易停留在只从“形”的角度认识一次函数的图象和性质，不会用函数和变量去思考问题，即从“数”——解析式的角度加深理解。所以，我们在进行教学时，有意识地加强对一次函数 与正比例函数 解析式的分析与比较，突出数学知识所蕴涵的数学思想和数学方法，以此加深学生对数形结合思想的体会，使学生逐步地增强应用数形结合思想解决问题的意识和能力。

三、本节课的教法特点及预期效果分析

1、由于本课的教学内容是在学生以往学习了正比例函数的图象和性质以及一次函数的定义的基础上进行的，因此这节课从复习正比例函数图像和性质开始，反思正比例函数是特殊的一次函数，正比例函数图像是一条直线，一次函数的图像是怎样的呢？体现特殊与一般的关系并引发猜想；这个问题吸引学生的注意力，再引出本课的内容，让学生在复习的过程中感受正函数模型图像与性质的研究方法。

2、根据本节课的教材内容特点，为了更直观、形象地突出重点、突破难点，提高课堂效率，课前设计了预习导学案，让学生提前一天家庭作业在第一个平面直角坐标系中画出y=2x和y=2x+3,y=2x-2的图象及在第二个平面直角坐标系中画出y=-2x和y=-2x+1,y=-2x-4的图象，因为本章几节课已经学习了列表、描点、连线画出函数图像，因此画出这几个函数图像对于学生来说不成问题；并且让学生类比正比例函数图像与性质的研究方法，观察所画的图像写出自己通过画图过程中的发现；y=2x和y=2x+3,y=2x-2这一组函数解析式中k值都等于2，它们的函数图像有什么特点呢？学生在画图中不难发现画出了一组平行线，同理画出y=-2x和y=-2x+1,y=-2x-4图像，也验证了学生的猜想；在导学案中出一组填空题提示学生深入思考探索发现一次函数解析式中k、b与一次函数图像的关系；这样既节省了课堂时间更增强了学生探索的欲望，通过在家的独立思考，在课堂上让学生交流探索发现，学生之间互相交流探索结果，互相讲解，探索交流完让学生以小组为单位派代表到讲台上交流探索发现，在前置学习和课堂教学过程中，通过设置带有探究性的问题，创设问题情境，引导学生动手实践探索，合作交流，最后全班一起归纳结论，并通过学生亲自动手绘制函数图象，让学生亲身体验知识的产生、发展和形成的过程。最后让学生运用探索出来的一次函数的图像的性质解决问题，这样把节省了课堂时间，回归到数学本质上来，让学生把更多的精力放在运用知识解决数学问题。

3、八年级的学生好奇、好学、好动，所以在教学过程中通过让学生自己动手画图，同学之间交流画法，谈谈想法等活动，充分发挥学生的主体性，进一步激发学生的求知欲。

函数及其图像 第7篇

对于正弦函数、余弦函数的图像的教学, 很多教师都觉得第一课时内容不好处理, 难点在于一方面要给正弦函数、余弦函数下定义, 运用沙子实验直观呈现正弦曲线图像的形成, 增强学生的感性认识;另一方面诱导学生用单位圆的正弦线准确地画出正弦函数图像、运用诱导公式画余弦函数图像、总结出用五点作图法画图像。画正弦曲线、余弦曲线图像实质是高一函数的三种表示方法转换 (列表法、解析式法、图像法) , 大部分内容是老师示范操作, 学生学习作图方法。

一、引入方式的思考

首先要直接给正弦函数或余弦函数下定义, 温习函数定义, 明确角与函数值的对应关系是多对一的关系。

其次, 在实际的课堂的教学中, 包括优质课比赛中, 发现部分老师实验引入:运用课本中利用沙子做实验形成正弦函数图像过程, 有部分老师运用电脑演示这个实验过程, 此处的情境的创设可以为学生提供直观认识。或者操作引入:用白纸卷成圆筒, 用剪子斜剪开来, 看看剪得痕迹的曲线形状, 告诉学生这是优美的正弦曲线, 但图像不是很精确。再者用熟悉的函数图像引入:我们已经学过一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等等, 在研究各种函数时常常通过图像来研究性质, 所以我们首先要熟悉图形, 会作函数图像。如设问:我们一起来看下面的图1~图4, 你熟悉吗?图4是什么曲线呢?然后通过几何画板动态的演示, 来激起学生学习的欲望。

二、用正弦线画正弦曲线的思考

学生首先想到是描点作图法, 但描点作图法易出现的第一个问题是:其一, 描点作图, 三角函数值不准确, 因而作图不精确;其二, 能不能用有限个点描述整个实数集上的正弦函数的图像呢?如果能, 选取什么区间比较合适呢?在了解描点作图像不精确的情况下, 学生会主动地联想到单位圆中的正弦线, 发现正弦线随角的变化而呈周而复始的变化, 因而可以猜想正弦曲线也会随角度的变化而成周而复始的变化, 因而只需画部分区间, 其余的区间正弦图像会周而复始地变化, 也就是为周期函数的定义的产生作准备。

第二个问题:任意的点P (x, Sinx) , 很多学生对角为实数, 特别把角x作为实数在X轴上表示不太明白, 这是教学的难点。具体的教学操作中, 有教师认为:可以把单位圆的周长放在以原点为起点的X轴上, 再把它12等份, 可以更好地感知角为实数, 这种做法多数教师开始称好, 后来大家发现, 如果不是单位圆时, 如半径为2的圆, 学生可能也把圆的周长放在以原点为起点的X轴上, 再12等份, 就会产生错误, 把它作为课后思考供学生讨论或者当堂讲清楚比较合适。

很多老师赞成课本的说法:在直角坐标系的x轴上任意取一点O1, 以O1以为圆心作单位圆, 从⊙O1与x轴的交点A起把⊙分成12等份 (份数宜取6的倍数, 份数越多, 画出的图像越精确) 。过⊙O1上的各分点作x轴的垂线, 可以得到对应于等角的正弦线 (相当于列表) 。相应地再把x轴上从0到2π这一段 (2π≈6.28) 分成12等份。把角x的正弦线向右平移, 使它的起点与x轴上的点x重合。再用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来, 就得到了函数y=sinz在[O, 2π]上的图像, 再将其向左、右平行移动 (每次2π个单位长度) , 就可以得到正弦函数y=sinx在z∈R上的图像, 即正弦曲线。 (这一过程用课件处理, 要求同学们用三角变换说清理由) 。

在函数y=sinx, x∈[0, 2π]的图像上, 起着关键作用的点只有以下五个:。在精确度要求不太高时, 我们常常先找出这五个关键点, 然后用光滑曲线将它们连结起来, 就可得到函数的简图。今后, 我们将经常使用这种近似的“五点 (画图) 法”。

三、余弦曲线的画法的几种思考与尝试

首先, 大多数学生受正弦图像画法思维定式的影响, 会很快想到用单位圆中的余弦线作余弦函数的图像, 经过讨论, 学生会探究出以下问题:第一, 余弦线横躺在X轴上, 不像正弦线那样直立的, 怎样把余弦线直立起来呢?第二, 教学中, 如果再利用单位圆画余弦函数图像, 学生弄清原理后, 觉得整节课基本上都是用三角函数线作图, 学生会索然寡味, 一节课下来, 师生都忙于精确作图, 会偏离本课的正常的教学目标。第三, 如果一节课这样执行下来, 课堂效率低下。可否改为学生回家上网查询, 研究用单位画余弦图像呢?

其次, 图像对于理解变量之间的关系具有十分重要的意义, 它作为揭示变化规律方式之一, 有着其他方式不可替代的作用。作出函数的图像是将三角公式和函数值转化为几何形式的过程。因此, 作图是“看见”相应公式和函数, 观察该函数变化的途径之一。

函数图像应用大盘点 第8篇

一、利用函数图像研究函数的性质

例1已知f(x)=3-x2,g(x)=2x,若F(x)=min{f(x),g(x)},

(1)试求F(x)的最大值;

(2)求函数G(x)=F(logax)(0<a<1)的单调递减区间.

分析 :将表达式F(x)=min {f(x),g(x)}进行展开,得到分段函数图像后,画出图像,根据图像就可得到最大值和单调区间.

解:∵画出这个函数图像如图所示:

(1)由图易知图中最高点A的纵坐标即为所求,

解方程组

得(x,y)=(1,2)或(x,y)=(-3,-6),

所以函数F(x)的最大值是2.

(2)从图像看出函数F(x)在区间(-∞,1]上是增函数,令logax≤1,得到x≥a,

任意x1,x2∈[a,+∞),当x1<x2时,因为0<a<1,所以1≥logax1>logax2,所以F(logax1)>F(logax2),即G(x1)>G(x2),G(x)的单调递减区间是[a,+∞).

点评:分段函数的最值一般均用图像法画出各分段函数,然后观察出它们在各段图像上的最值点,并比较它们最值的大小;另外数形结合法是确定函数单调区间的常用方法,函数的单调区间形象直观地反映在图像中.

二、利用函数图像解不等式

例2偶函数y=f(x),奇函数y=g(x)的定义域均为[-4,4],f(x)在[-4,0],g(x)在[0,4]上的图像如图所示,求不等式f(x)/g(x)<0的解集.

分析:本题的核心是解不等式f(x)<0(>0)与g(x)>0(<0),在二者没有具体表达式的情况下,应该先画出函数f(x)、g(x)的图像,然后观察图像得解集.

解:根据奇偶函数的图像的对称性画出f(x)、g(x)在整个定义域上的图像,如图:

∴2<x<4 或 -2<x<0

所以不等式f(x)/g(x)<0的解集是:

{x 2<x<4 或 -2<x<0 }.

点评:不等式f(x)/g(x)<0的解集就是函数f(x)>0[或f(x)<0]的图像在函数g(x)<0[或g(x)>0]图像上(或下)方的点的横坐标的集合,深刻理解这一点是利用图解法解不等式的前提.

三、利用函数图像研究方程

例3(1)若方程x2-2x+m=0有两根,其中一根在(0,1)内,另一根在(1,2)内,求实数m的取值范围;

(2)若方程x2-2 x +m=0有四个根,求实数m的范围.

分析:已知中给出方程的根的情况非常复杂,如直接从求解的角度来研究有些困难,可以考虑根据方程与对应函数的关系,利用函数图像直观观察找相应条件,借助图形来解决这个代数问题.

解:(1)令f(x)=x2-2x+m,由条件说明f(x)的图像与x轴的交点分别在区间(0,1)和(1,2)内,画出示意图,

即所求实数m的取值范围是(0,1).

(2)令g(x)=x2-2 x ,h(x)=-m,画出它俩的图像如图:

从图像看出 -1<-m<0即0<m<1时,g(x)与h(x) 的图像有四个交点,此时方程x2-2 x +m=0有四个根. 即所求实数m的取值范围是(0,1).

点评:函数与方程是紧密相连的两个概念,连接点就在于“方程x2-2 x +m=0的实数根就是函数g(x)与h(x)的图像交点的横坐标”,这类问题一般不是直接解方程,而是根据函数的图像或性质直接进行判断,尤其是那些方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合的方法求解.

函数图像解析设计与实现 第9篇

1 系统分析与总体设计

1.1 系统地预期目标

本系统主要是为了解决有关函数图像的一些实际问题。如函数图像的绘制、参数分析、不同函数的对比以及复合函数图像等。支持以下主要功能：函数类型选择，可以任意选择所要绘制、分析的函数类型。参数设置，坐标系设置(指定坐标原点位置、单位长度设定)。图像颜色设置，描点，绘制图像，参数分析，图像保存、打印输出等。除了常见的一般函数外，尽管有些复杂的函数图像，用一般方法不能精确地绘制其图像，通过本系统可得出其大致曲线。支持任意函数解析，包括图像绘制、参数分析、图像变换等。本系统采用先进的技术算法，保证系统的先进性、可靠性、实用性、可扩充性，满足用户的需求。尤其是可扩充性，采用面向对象的设计思想[2]，使其具有很好的扩充性，以求功能进一步完善。

1.2 系统流程

如图1所示。

2 创新特色

整个系统界面布局简单合理，方便使用。最主要特点是函数图像绘制速度快，图像平滑，不存在延时现象，即便是执行“参数分析”功能时，图像输出依然快速平稳。系统中使用了自定义函数等手段，限制了文本输入时不合理内容的输入。系统中的“按钮”、“文本框”等控件[3]的相关属性设置合理，仅在需要时显示或可用，避免了产生错误。函数图像颜色可任意设定，此功能在把多个函数绘制到同一个坐标系中时，更显重要。系统的容错技术运用得当，保证了程序的正常运行，无中途退出现象。使用者可以根据需要，灵活指定坐标原点所在位置，从而合理分配4个象限的大小，使绘制出的函数图像能更好地显示。“描点”功能可根据给定的x值自动计算f(x)或F(x)的值，并可输出到坐标平面中。参数分析功能可以及时、直观地反映出参数变化所导致的函数图像变化，同时函数表达式的显示同步。支持将多个函数图像以不同颜色绘制在同一个坐标系当中，最后添加的函数图像颜色可以更改。函数图像的绘制功能能够根据输入的参数值，绘制出满足需要的初等函数图像。还可以绘制出基本图形包括圆、椭圆、三角形、四边形等。复合函数功能强大，可将多层基本型函数复合到一起，绘制出基本函数的变形函数。

3 系统开发与实现

系统的功能主要是绘制函数图像以对函数图像的解析、保存和打印等。其中函数的类型有单一函数和复合函数两种。单一函数又包括一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数和三角函数(正弦、余弦、正切、余切)等。复合函数则是将单一函数中的任意2个或3个组合到一起构成的。有时如果需要把多个函数的图像绘制到一个坐标系当中作比较和对比，可以执行绘制其他函数，在询问对话框中选“是”按钮，这样便可以将接下来需要绘制的函数图像绘制到已完成图像的坐标系中了。由于系统在设计时考虑的因素比较多，因此可以将无限多个函数的图像绘制到同一个坐标系中。

3.1 时钟控制动画

在系统的启动位置加入了一段由时钟控件产生的动画效果，对整个系统起到了点缀的作用。所加入的这段动画和函数图像还是很有关系的。先后出现的两片树叶的形状组合到一起，就是x和y，寓意坐标平面，让人们对后面的内容产生了想象的空间。实现方法：树叶是通过绘制的直线组合成的。连续出现的直线是时钟控件的Change事件响应而成的。

3.2 指定坐标原点、绘制网格

默认的坐标系是在图片框的内部坐标是以左上角点作为原点即(0,0)，向右和向下分别为横轴方向和纵轴方向，按这个规则构成屏幕坐标系。这一点与所需要绘制的函数图像要使用的4个象限坐标系是完全不同的。如果不经过一定的转换要在原有的坐标系上实现函数图像的绘制根本就是不可能的。因此，坐标转换非常关键。坐标转换的方法大致如下描述,可用原点平移法来实现：即明确原坐标系，新坐标系中原坐标和新坐标之间的关系。完成了坐标的转换，从而得到了一个新的能够实现4个象限的新坐标系。

指定原点功能的实现：已有的其他函数图像绘制类的软件往往是4个象限等分，这样在布局上经常有一些令人不满意的地方。比如指数函数和对数函数，函数图像只能分布在一、四象限，此时如果使坐标原点在等分的基础上向左平移一些单位，即减少二、三象限的大小，增加一、四象限，这样在同样大小的面积中，图像所占比重大大增加，使图像显示更加清楚。这样的情况还有很多，因此灵活的设置坐标原点的位置对图像布局而言意义重大。而原点位置和坐标转换有直接关系，综合多元的因素把原点指定到网格辅助线的交点上最为合理。既实现了灵活设置坐标原点的位置，又使坐标转换时的数值相对简单。在程序设计时，应实现在点击任意位置，从而把原点指定到距点击位置最近的网格交汇点上，也就是“原点吸附”。H为P点到其左端相邻网格交汇点的水平距离，H=x mod L。如果H>L/2，则说明P点距右端临近交汇点的距离短，反之则是到左端的距离近。同样的方法可以得知垂直方向的情况W=y mod R。如果如图2所示，H

指定原点时，通过原点吸附功能把原点捕捉到网格上，为更好地绘制坐标提供有利保障。

3.3 校验输入内容的合理性和计算结果

本系统为“函数图像解析”，主要功能是绘制函数图像进行参数分析。根据函数定义，在有些情况下参数值决定该函数是否有意义。如果输入的参数使函数没有意义，本系统则提示重新输入。在输入参数的时候用文本框来接收参数值，主要用Text1_Change事件来执行相应程序段，验证输入参数是否有意义。

3.4 图像绘制

理论上的函数图像应该是平滑的曲线，但在一般的显示输出时，由于计算精度和显示精度等因素，图像曲线的输出都是相对平滑的，精度的问题处理得好，输出的结果才好。系统中使用了“相邻差值短线堆积法”来模拟整个函数的图像。具体地说就是把函数定义域上差值为微小定值的两个自变量及其所对应的函数值，共同确定的线段输出。当自变量遍历整个定义域后，所有的线段堆叠在一起就模拟了函数的图像。其中的差值控制适当，图像的输出速度和平滑度就能达到满意的效果。

4 结语

本系统已开发完毕，能够实现如下主要功能：函数类型选择、参数设置、坐标系设置、描点、绘制图像、参数分析等。不仅能够绘制常用的单一函数的图像，而且能够绘制复合函数的图像，支持函数图像的保存和打印输出功能。本系统创新特色之处主要的有如下几点。函数图像绘制速度快，图像平滑，执行参数分析时依然快速平稳。使用者可以根据需要，灵活指定坐标原点所在的位置，合理分配4个象限的大小，使所绘制的图像能更好的显示。本系统所绘制的图像完全符合数学习惯，功能、使用和界面上都比较完善，操作简单，使用方便。明显优于已有的函数图像类软件。

参考文献

[1]李劲松.浅议计算机辅助教学的优势[D].课程教材教学研究,2001.

[2]刘长毅.软件开发技术[M].科学出版社,2009.

浅谈“函数图像平移”的应用 第10篇

不管是定理还是规律, 对初中生来说证明都是很难的.初中数学教师在教学中应该和学生一起探究这方面的知识.先搞清楚函数图像平移规律的来源, 理解和掌握函数图像平移的规律, 再快速地进行函数解析式的相互转化, 从而轻松解决这类问题.因此笔者认为, 函数图像平移的教学应用要注意以下三个方面.

一、探究坐标轴的平移与函数图像平移之间的关系

点的坐标和函数解析式 (曲线方程) 是对一定的坐标系来说的.例如, 在坐标系xOy中, 直线l:y=2x, 如图1所示, 另一直线l′:y-2=2 (x+1) (即y=2x+4) 过点O′ (-1, 2) .如果取坐标系x′O′y′ (O′x′∥Ox, O′y′∥Oy) , 将原点O (0, 0) 移到O′ (-1, 2) , 那么在这个新坐标系x′O′y′中, 直线l′ (或y-2=2 (x+1) ) 的解析式变成y′=2x′, y′=2x′与y=2x有何关系呢?由图1可知, 直线l∥l′, l和l′可以看成是互相平移而得到的.直线l′看成由l先向左平移1个单位, 再向上平移2个单位得到;反之直线l也可以看成由l′先向右平移1个单位, 再向下平移2个单位而得到的.

新坐标系的坐标轴方向和长度单位都不改变, 只是改变原点的位置, 这种坐标系的变换叫做坐标轴的平移, 简称移轴[1].

那么, 在平移的情况下, 同一个点在两个不同的坐标系中坐标之间的关系, 函数图像平移之间解析式的转化规律如何?

如图2, 设O′在原坐标系中的坐标为 (h, k) , 以O′原点平移坐标轴, 建立新坐标系x′O′y′, 设平面内任意一点M在原坐标系中的坐标为 (x, y) , 在新的坐标系中的坐标为 (x′, y′) , 点M到x轴、y轴的垂足分别是M1、M2, 从图2可以看出:

点M的原坐标、新坐标之间有以上的关系, 公式 (1) 、 (2) 叫做平移 (移轴) 公式.

从图2可以看出, 点O向右平移了|h|个单位, 再向上平移了|k|个单位.相应的点O (0, 0) 经过平移变换变成点O′ (h, k) ;点M的坐标 (x, y) 也随之经过平移变换坐标变成 (x-h, y-k) .

由移轴的关系我们可以知道:当h>0时, 对应点向正方向 (向右) 平移|h|个单位;当h<0时, 对应点向负方向 (向左) 平移|h|个单位;当k>0时, 对应点向正方向 (向上) 平移|k|个单位;当k<0时, 对应点向负方向 (向下) 平移|k|个单位.结合点的坐标平移公式与变换规律, 可概括成6个字:正向减, 负向加.

由此进一步引申推出:点M (x, y) 是函数图像 (曲线方程f (x) ) 的组成部分, 经过某种平移变换后, 对应点M′的坐标也相应的发生了变换, 变成了M′ (x′, y′) , 对应函数解析式也随着发生了变换, 应用平移公式{y′=y-kx′=x-h进行代换就可求出相应的函数解析式了.

【例1】 平移坐标轴, 把原点移到O′ (3, -2) , 求下列各点的新坐标.

O (0, 0) 、A (3, -2) 、B (5, 2) 、C (3, -4) .

解:依题意得, h=3, k=-2, 把已知各点的原坐标分别代入

便得到它们的新坐标:O (-3, 2) 、A (0, 0) 、B (2, 4) 、C (0, -2) .

【例2】 将二次函数y=-2 (x-1) 2+3的图像先向左平移2个单位, 再向上平移3个单位得到的新二次函数的解析式是____.

二、利用函数图像平移规律解决函数图像平移的问题

初中数学教学中有关函数图像平移的问题, 涉及比较多的是一次函数和二次函数.函数解析式一般是写成y与x的函数关系式, 在教学中一定要注意x、y两个变量的位置关系, 利用平移公式代换时, 不能混淆.

【例3】 把二次函数y=x2+bx+c的图像沿y轴向下平移1个单位长度, 再沿x轴向左平移5个单位长度后, 得到抛物线的顶点坐标是 (-2, 0) , 写出原抛物线所对应的函数关系式.

解:目标就是求出b、c, 原抛物线解析式为y=x2+bx+c. ①

根据题意知, 新抛物线的解析式为y= (x+2) 2, 即为y=x2+4x+4. ②

由坐标平移公式得:.x′=x+5, y′=y+1. ③

把③式代入①式有:y+1= (x+5) 2+b (x+5) +c,

整理得y=x2+ (b+10) x+ (5b+c+24) .④

∴原抛物线解析式为y=x2-6x+10.

【例4】 如图3, 已知抛物线y=x2+bx+c过点 (1, -5) , (0, -10) .

(1) 求抛物线的解析式;

(2) 如果点P (m, m) 在抛物线上, 求所有点P的坐标;

(3) 将抛物线向上平移k个单位后, 抛物线上恰好只有一个P (m, m) 点, 求k的值.

解: (1) 易知c=-10, 设y=x2+bx-10, 把点 (1, -5) 坐标代入得12+b-10=-5, 则b=4, 抛物线的解析式为y=x2+4x-10.

(2) 点P (m, m) 在抛物线上, 把点P (m, m) 坐标代入y=x2+4x-10得m2+4 m-10=m, 即m2+3 m-10=0, 解得m1=-5, m2=2,

∴所有点P的坐标为P1 (-5, -5) 、P2 (2, 2) .

(3) 如图4, 由平移知:新抛物线为y-k=x2+4x-10, 即y=x2+4x+ (k-10) , 只有一个点P (m, m) 在抛物线上, 其实抛物线y=x2+4x+ (k-10) 与直线y=x相切.把点P (m, m) 坐标代入抛物线y=x2+4x+ (k-10) 得到对应含m的方程m=m2+4 m+ (k-10) , 则方程m2+3 m+ (k-10) =0只有一个实数根, 即Δ=0.

∴32-4×1× (k-10) =0, 解得

三、总结函数图像平移规律的教学经验, 因材施教

初中数学中函数图像平移规律的教学, 知识点较抽象, 不易理解, 需要教师在教学中与学生一起探究摸索.通过例子动手画出函数平移的图像, 也可利用几何画板进行操作、演练, 从点的坐标平移变换入手, 找到坐标平移变换的规律, 然后加以布置适当的巩固练习, 使学生对知识的印象更加深刻.教师所设计的练习难度应由浅入深, 使之适应学习不同程度的学生, 最终达到提高学生解决问题能力的目的.

摘要：本文通过阐述探究坐标轴的平移与函数图像平移之间的关系, 利用函数图像平移的规律解决函数图像平移的问题.总结函数图像平移的规律, 让学生从点的坐标平移变换入手, 找到坐标平移变换的规律, 提高学生解决问题的能力.

关键词：初中数学,函数图像,平移,应用

参考文献

如何结合函数图像解决“路程问题” 第11篇

中考对函数知识的考查主要是运用函数知识来解决实际生活问题.函数实际应用型问题是把题中数量关系抽象为函数模型，如一次函数、二次函数、反比例函数以及它们的分段函数，进而应用函数进行分析、研究、解决有关问题.函数问题的实质是研究两变量之间的对应关系，用函数思想构建数学模型解决实际问题.

例1：“五一节”期间，王老师一家自驾游去了离家170千米的某地，下面是他们离家的距离y（千米）与汽车行驶时间x（小时）之间的函数图像，当他们离目的地还有20千米时，汽车一共行驶的时间是（ ）.

A. 2小时 B. 2.2小时 C. 2.25小时 D. 2.4小时

考点：函数的图像.

解析：设AB段的函数解析式是y=kx+b，

y=kx+b的图像过A（1.5，90），B（2.5，170），

1.5k+b=90，2.5k+b=170， 解得k=80，b=-30.

∴AB段函数的解析式是y=80x-30.

离目的地还有20千米时，即y=170-20=150千米，

当y=150时，80x-30=150， x=2.25小时.

故选：C.

解题反思：本题考查一次函数的应用，利用待定系数法求解析式，利用函数值求自变量的值.

例2：小明从家出发，外出散步，到一个公共阅报栏前看了一会儿报后，继续散步了一段时间，然后回家.如图描述了小明在散步过程中离家的距离s（米）与散步所用的时间t（分）函数关系.根据图像，下列信息错误的是（ ）.

A. 小明看报用时8分钟

B. 公共阅报栏距小明家200米

C. 小明离家最远的距离为400米

D. 小明从出发到回家共用时16分钟

考点：函数的图像.

解析：A. 看报用时8-4=4分钟，A项错误；B. 公共阅报栏距小明家200米，B项正确；C. 由图可知，12分钟时小明离家最远，小明离家最远的距离为400米，C项正确；D. 由图可知小明从出发到回家共用时16分钟，D项正确.

故选：A.

解题反思：本题考查利用函数的图像解决实际问题的能力，正确理解函数图像横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图像得到函数问题的相应答案.

例3：甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步500米，先到终点的人原地休息.已知甲先出发2秒.在跑步过程中，甲、乙两人的距离y（米）与乙出发的时间t（秒）之间的关系如图所示，给出以下结论：①a=8；②b=92；③c=123. 其中正确的是（ ）.

A. ①②③ B. ①②

C. ①③ D. ②③

考点：一次函数的应用.

解析：易得乙出发时，两人相距8米，除以时间2秒即为甲的速度；由于出现两人距离为0米的情况，那么乙的速度较快.乙100秒跑完总路程500米可得乙的速度，进而求得100秒时两人相距的距离可得b的值，同法求得两人距离为0米时，相应的时间，让两人相距的距离除以甲的速度，再加上100秒即为c的值.

解：甲的速度为：8÷2=4（米/秒）；

乙的速度为：500÷100=5（米/秒）；

b=5×100-4×（100+2）=92（米）；

5a-4×（a+2）=0，

解得a=8，

c=100+92÷4=123（秒），

∴正确的有①②③.

故选：A.

解题反思：得到甲乙两人的速度是解决本题的突破点；得到相应行程的关系式是解决本题的关键.

例4：早晨，小刚沿着通往学校唯一的一条路（直路）上学，途中发现忘带饭盒，停下往家里打电话，妈妈接到电话后带上饭盒马上赶往学校，同时小刚返回，两人相遇后，小刚立即赶往学校，妈妈回家.15分钟后妈妈到家，再经过3分钟小刚到达学校，小刚始终以100米/分的速度步行，小刚和妈妈的距离y（米）与小刚打完电话后的步行时间t（分）之间的函数关系如图，下列四种说法：

①打电话时，小刚和妈妈的距离为1 250米；

②打完电话后，经过23分钟小刚到达学校；

③小刚和妈妈相遇后，妈妈回家的速度为150米/分；

④小刚家与学校的距离为2 550米.其中正确的个数是（ ）.

A. 1个

B. 2个

C. 3个

D. 4个

考点：函数的图像.

解析：①由图可知打电话时，小刚和妈妈的距离为1 250米是正确的；

②因为打完电话后5分钟两人相遇后，小刚立即赶往学校，妈妈回家，15分钟后妈妈到家，再经过3分钟小刚到达学校，经过5+15+3=23分钟小刚到达学校，所以②是正确的；

③打完电话后5分钟两人相遇前，妈妈的速度是1 250÷5-100=150米/分，走的路程为150×5=750米，妈妈回家的速度是750÷15=50米/分，所以妈妈回家的速度为150米/分是错误的；

④小刚家与学校的距离为750+（15+3）×100=

2 550米，所以④是正确的.

正确的答案有①②④.故选：C.

解题反思：此题考查函数的图像的实际意义，结合题意正确理解函数图像，利用基本行程问题解决问题.

三次函数的图像和性质 第12篇

一、性质

1. 定义域:从函数解析式可以看出其定义域为R.

2. 值域:由于对函数值y起决定地位的是ax3项, 所以其值域为R.

对f (x) =ax3+bx2+cx+d (a≠0) 求导, 得f′ (x) =3ax2+2bx+c, 记Δ= (2b) 2-4 (3a) c=4b2-12ac.

3. 单调性:

(1) a>0.

(1) 当Δ0时, f′ (x) ≥0对x∈R恒成立, 函数的递增区间为 (-∞, +∞) ;

(2) 当Δ>0时, 方程f′ (x) =0有两个不等的实数根, 记为x1, x2, 不妨设x1

∴f (x) =ax3+bx2+cx+d的增区间为 (-∞, x1) , (x2, +∞) , 减区间为 (x1, x2) .

(2) a<0.

(1) 当Δ0时, f′ (x) 0对x∈R恒成立, 函数的递减区间为 (-∞, +∞) ;

(2) 当Δ>0时, 方程f′ (x) =0有两个不等的实数根, 记为x1, x2, 不妨设x1

∴f (x) =ax3+bx2+cx+d的增区间为 (x1, x2) ;减区间为 (-∞, x1) , (x2, +∞) .

4. 极值当:Δ0时, f′ (x) ≥0恒成立或f′ (x) 0恒成立, 函数f (x) 无极值, 当Δ>0时, 函数f (x) 取得极大值和极小值.

5. 对称性:函数f (x) =ax3+bx2+cx+d (a≠0) 的图像关于点对称. (证明略)

二、图像

三次函数y=ax3+bx2+cx+d (a≠0) 的示意图如下:

1.a>0且Δ>02.a>0且Δ0

3.a<0且Δ>04.a<0且Δ0

注以上四个图像是利用作图工具几何画板作出的, 体现了在不同情况下的函数变化趋势, 由于三次函数图像的特殊性, 因而作者省略了坐标系.