倒立摆系统论文
倒立摆系统论文（精选9篇）
倒立摆系统论文 第1篇
关键词：倒立摆,自控原理,实验设计,MATLAB
自动控制原理是电气信息类学生的一门重要专业课,理论内容多且概念抽象,学生涉及实际系统的理论知识运用较少,使得学生学习兴趣不高,影响学习效果。倒立摆系统具有结构简单、直观性和趣味性等优点,且在理论上涉及了控制理论中的很多关键问题,其控制方法在军工、航天、机器人和一般工业过程领域中都有着广泛的用途,因而成为控制理论教学和科研中不可多得的典型模型。
本文设计了基于倒立摆系统的自控原理辅助教学实验,以提高自控原理课程的教学效果。根据二类本科院校的学生特点,确定以直线一级倒立摆的稳定控制为目标,进行实验环节设计,具体阐述了对倒立摆系统的建模,传统P I D控制器设计和基于现代控制理论的L Q R控制器的设计、调试和仿真的整个过程。通过实验使学生能理论联系实际的理解和解决相关控制问题,实际教学验证了其良好的教学效果。
一、实验准备
1. 以兴趣为内驱力,激发学生的学习动力
倒立摆系统由计算机、运动控制卡、伺服机构、倒立摆本体和光电码盘几大部分组成一个闭环系统。利用倒立摆实际装置直观性、趣味性的特点激发学生学习兴趣,并通过讲明倒立摆系统的研究意义,引导学生进行主动学习。只有学生对实验产生兴趣,才会以积极的态度准备和开展实验,并愿意积极思考。本环节需让学生感受实际系统与理论所讨论的区别,控制环节与机械部分、信号采集和处理部分以及执行机构间的联系。
引入控制系统设计中广泛使用的M A T L A B软件,介绍系统仿真的意义,进行简单的说明,包括实验中用到的语句(如验证系统的稳定性)及实验中涉及到的simulink工具箱中相关模块的使用。由于MATLAB软件可读性强,学生一般不仅不会感觉难,反而会有很大的学习热情。同时需提醒同学科学研究工作注重基础,但更侧重于创新问题的提出。
2. 实验设计
根据二类本科学生的实际情况,以直线一级倒立摆系统的稳定控制为目标,按照一般的系统设计步骤(系统建模,模型仿真,控制器设计,系统仿真,实验验证)进行实验设计。实验环节包括建立倒立摆系统的数学模型;设计系统的PID控制器和LQR控制器,确定实验方案;通过MATLAB/simulink进行控制系统的仿真研究;有能力的同学,可进一步探讨控制方法对实物倒立摆的控制效果。需注意在实验前需给予学生理论到实际过渡所需的资料收集和思考时间。
二、建立倒立摆系统的数学模型
要进行倒立摆系统的控制研究,首先要对系统建立数学模型,这是设计控制器和进行仿真的基础。传统控制方法需建立倒立摆系统的线性化传函模型,现代控制方法较多地使用系统的状态方程表示。常见的数学建模方法是刚体动力学原理建模法。物理模型如图1所示。根据刚体动力学原理分析可得出如下公式:
为分析方便,假设摆杆和小车均为刚体,摆杆匀质;忽略一切摩擦,小车与摆杆间可灵活的在-π/2到π/2间转动。
其中:M为小车质量;m为摆杆质量;l为摆杆长度;小车位置x;Q摆杆与垂线的夹角;小车水平受力F。到此就建立好了系统的数学模型
由于,所以代入公式(1),求得系统的简化模型。
给定倒立摆系统的参数:
根据(2),得到系统的传递函数:
由数学模型可推导出系统的状态方程:
其中:
此环节需让学生明确建立系统模型并进行线性化处理的原因,工程的近似处理思想和了解常用的建模方法,并明确所讨论倒立摆的输入输出变量。
三、倒立摆PID控制器的设计
1. PID控制器
在经典控制理论中,P I D控制是简单而有效的控制方法,现仍在工业控制中广泛应用。学生应明确P I D控制器原理,在得到的系统数模型基础上,完成P I D控制器的设计和仿真任务,实现倒立摆系统的稳定控制。要求(1)通过调节比例、积分、微分系数总结其对系统的作用,并与理论结果进行对比;(2)对倒立摆系统的控制效果用性能指标进行衡量,如上升时间、超调量、调整时间、稳态特性、动态特性等进行描述;(3)PID参数在调试过程中的遇到的问题及思考解决途径。图2是学生建立的双闭环PID控制器的仿真模型。图3为对应的仿真曲线。
实际中由于P I D参数调整经验因素成分大,若想实现倒立摆的稳定控制,需多次参数调整,部分同学会提出P I D参数不易整定的问题。故引导学生考虑利用自控原理中极点配置法进行参数的初值设定,但请同学思考两者的结合点和实现途径。
2. 极点配置法用于PID参数整定
极点配置法是自控原理中常用的方法。配置闭环极点的条件是受控系统可控且需将极点配置在左半复平面。首先利用得到的系统状态方程,进行条件判定。由MATLAB语句R=rank(ctrb(A,B))可验证系统满足可控性的条件,由MATLAB语句K=place(A,B,P)配置系统极点P=[-1+i;-1-i;-2+i;-2-i],得K=[-26.4322-4.0521-1.2377-1.8201]。分别设置为内外环PD整定参数为KP1=26.4322,KD1=4.0521,KP2=1.2377,KD3=1.8201,在此基础上微调参数,可得到P I D最后整定参数,减少整定时间。请同学体会提出问题到解决问题的思维过程,并讨论配置的极点与系统响应之间的关系。
四、倒立摆LQR控制器的设计
线性二次型最优控制(L Q R)是现代控制理论的重要组成部分,其理论依据是极小值原理,求解出的最优控制规律为状态变量的线性反馈,工程上容易实现,因许多控制问题又可概括为线性二次型最优控制问题,所以实际应用广泛。
基于状态方程的各个参数,设定初始状态x0、Q和R的取值,x0=[0.1;0;-0.1;0],Q取单位阵,R取1,Q=diag(1000 1 10 1)时仿真曲线如图4所示,比传统P I D控制效果好。由自控原理课程中涉及现代控制理论部分不多,此部分可做为有能力同学的知识扩充。并可在进一步进行实物倒立摆的实验验证工作,检验实际对象的控制效果。
五、结束语
本文以直线一级倒立摆系统为研究对象,设计了基于MATLAB的倒立摆系统实验,包括系统的建模环节、PID控制器设计和仿真环节、PID参数整定环节和L Q R控制器设计仿真环节,理论与实际进行结合,较完整的体现了实际系统的设计过程。同时对提高自动控制原理教学效果也具有积极的作用。目前,所设计实验已用于本校电类自控原理课程的辅助教学中,取得了良好的教学效果。在此感谢学校大学生科研训练计划(SRTP)的资助。
参考文献
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[4]李东,陈强,孙振国,等.倒立摆教学实验系统的设计与应用[J].实验技术与管理,2006,23:100～102
单片机在倒立摆控制系统的应用 第2篇
摘要：通过对一阶旋转倒立摆系统原理的分析，选用单片机作为控制器，直流电机作为执行器，电位器式角度传感器作为回馈环节，采用ＰＩＤ控制算法设计实现了一阶旋转倒立摆控制系统。实验结果表明该系统在稳定的基础上具有较强的鲁棒性，验证了ＰＩＤ控制算法在一阶旋转倒立摆系统中应用的可行性和有效性。
０ 引言
倒立摆作为一种典型的控制系统实验装置，具有非线性、自然不稳定等特性，常用来作为检验某种控制理论或方法是否合理的典型方案。一阶倒立摆系统能用多种理论和方法来实现其稳定控制，如ＰＩＤ、自我调整、状态回馈、模糊控制及人工神经元网络等多种理论和方法都能在倒立摆系统控制上得到实现。
１系统构成及工作原理
图１为一阶旋转倒立摆结构示意图。直流电机作为唯一的动力装置，与旋臂保持刚性连接，带动旋臂在水平面内旋转，旋臂的一端通过转轴（本系统选用电位器角度传感器）与摆杆连接，摆杆可做垂直于旋臂的圆周运动。在自然状态下，摆杆为竖直下垂状态。倒立摆控制的目的是通过控制直流电动机的运动状态，使摆杆保持倒立状态。
图１倒立摆结构示意图
系统工作原理如下：摆杆摆动时，角度传感器检测摆杆的角度，根据角度传感器的输出特性，其输出电压经Ａ／Ｄ转换器转换成电压数字量，该数字量与期望的值进行比较产生偏差，通过单片机对该偏差进行处理，即ＰＩＤ控制运算，根据运算结果产生控制信号控制电机和旋臂的转动，使摆杆的角度与期望的角度更接近。
倒立摆控制系统结构框图如图２所示，单片机（５１单片机）为控制器，直流电机为执行器，倒立摆为被控对象，倒立摆角度为被控量，角度传感器和模数转换器构成反馈回路。
图２倒立摆控制系统结构框图
２ 倒立摆控制系统的硬件设计
２．１单片机最小系统
该系统中选用了ＳＴＣ９０Ｃ５１单片机，该型单片机
具有以下特点：①八位ＭＣＵ核，与传统８０５１相容；②大容量存储空间，包括６４ｋＢ程序空间，１２８０Ｂ
ＳＲＡＭ等；③具有４个八位并行Ｉ／Ｏ口，３个定时／计数器，２个外部中断源和１个全双工ＵＡＲＴ传输口；④５Ｖ供电时，最高支持８０ＭＨｚ振荡频率，具备高速浮点运算能力，适合倒立摆系统等较为复杂的控制系统使用。５１单片机最小系统如图３所示。
图3 51单片机最小系统
２．２摆杆角度检测
检测摆杆角度所用到的角度传感器种类非常多，常用的有电位器式角度传感器、光电编码器、陀螺仪模块等。由于电位器式角度传感器原理简单，检测精度取决于所用Ａ／Ｄ转换器的精度，成本相对较低，因此，综合多方面要求，本系统选用电位器式角度传感器。
传感器返回的电压信号无法被单片机直接识别，所以需要通过Ａ／Ｄ转换，将模拟电压信号转换为二进制数的形式，然后单片机才能计算出偏差，进而产生相应的输出。Ａ／Ｄ转换器常用的有８位和１２位输出，在本系统中选用８位Ａ／Ｄ转换器即可满足控制要求，其型号选用ＡＤＣ0809，相应电路原理图见图４。
图4 Ａ／Ｄ转换电路
Ａ／Ｄ转换器的时钟脉冲为单片机ＡＬＥ引脚输出的脉冲经７４ＬＳ７４芯片分频之后得到，Ａ／Ｄ转换器的８位数字信号通过单片机的Ｐ０口进行采集与处理。
２．３驱动电路
本系统选用的直流电机额定电压为２４Ｖ，额定功率为３０Ｗ，单片机的Ｉ／Ｏ口不足以提供如此大的驱动能力，故需采用驱动电路。常用的直流电机驱动芯片为Ｌ２９８Ｎ，可驱动两路直流电机，最大驱动电压为４６Ｖ，最大电流２Ａ～３Ａ，满足设计要求。直流电机驱动电路如图５所示。
图５ 直流电机驱动电路
图５中，Ｌ２９８Ｎ的ＥＮＡ为使能端，可作为单片机ＰＷＭ（脉宽调制）控制端，控制直流电机转速；ＩＮ１和ＩＮ２为信号输入端，ＯＵＴ１和ＯＵＴ２为输出端，输出
状态与输入状态对应，控制直流电机转向。输出端的二极管为续流二极管，起保护电动机线圈的作用。
３倒立摆控制系统的软件设计
３．１控制算法
本系统采用ＰＩＤ控制算法，ＰＩＤ算法适用于负荷变化大、容量滞后较大、控制质量要求高的控制系统。ＰＩＤ算法有３个可设定参数，即比例放大系数ＫＰ、积分时间常数ＴＩ、微分时间常数ＴＤ。比例调节的作用是使调节过程趋于稳定，但会产生稳态误差；积分作用可消除被调量的稳态误差，但由于积分饱和等原因可能会使系统振荡甚至使系统不稳定；微分作用能有效地减小动态偏差［４］。其传递函数为：
其中：ｕ（ｋ）为第ｋ个采样时刻的输出；ｅ（ｋ）为第ｋ个采样时刻的偏差值；Ｔ为采样周期；ＫＰ为比例放大系数；ＴＩ为积分时间常数；ＴＤ为微分时间常数。
在实时性要求较高的倒立摆系统中，积分作用常常使系统对偏差的调节变慢，使动态相应变慢。因此要尽量弱化或者消除积分作用，使用ＰＤ调节规律即可。在该系统中，输入变量为给定值与实际检测到角度的差值，输出变量控制所产生的ＰＷＭ波形的占空比。由于旋臂、摆杆以及电动机的各项参数很难准确把握，且干扰较多，难以建立精确的数学模型，因此采用试验法整定参数的数值，即根据系统表现出的状态，调节各参数的数值，直至系统达到稳定。
３．２程序流程图
倒立摆系统主程序流程图见图６。其中，Ｕ为ＰＩＤ运算的输出值，为输出ＰＷＭ波形的占空比，由于所选单片机不具备专用ＰＷＭ输出引脚，需要利用定时器Ｔ０模拟其波形输出，定时器Ｔ０中断子程序流程图见图７。在本系统中，采样周期选择为１０ｍｓ，由定时器Ｔ１控制，定时器Ｔ１中断子程序流程图见图８。
４系统测试
本系统测试所用到的倒立摆模型为自制简易模型，测试过程如下：外力将摆杆拉起至接近倒立状态（与倒立状态相差２０°左右）；给系统上电，同时撤去外力，观察到摆杆迅速呈倒立状态，经过几次调整，即可长时间保持倒立状态。系统达到稳定状态的效果如图在摆杆保持倒立状态时，施加一扰动，即轻碰摆杆或旋臂，系统经过短时间的调整之后，仍可以自动调节至稳定状态，说明该系统具备较强的鲁棒性。
５结论
本系统采用单片机作为一阶旋转倒立摆系统的控制器，执行了数据采集、数据处理（ＰＩＤ运算）、控制直流电机运行状态等操作，成功使该系统稳定，其经济性和实用性得到了很好的展现。同时也体现了经典ＰＩＤ控制理论在一阶倒立摆系统中使用时良好的控制效果。
参考文献：
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单级旋转倒立摆的控制系统设计 第3篇
1 系统方案设计
倒立摆系统包括五大部分:主控芯片及外围电路、光电隔离部分、电机及驱动部分、位置检测部分。
1.1 主控芯片及外围电路
系统采用MSP430作为主控芯片。MSP430单片机采用高效的精简指令集 (RISC) 结构, 有16个快速响应中断, 内部集成了多通道12-bit A/D、PWM、I/O端口以及最多可达64K的Flash和2K RAM等资源, 价格便宜, 完全满足系统设计要求[1]。
外围电路有时钟晶振、复位电路、JTAG调试接口、PWM输出、角度传感器数字输入接口等。
1.2 电机模块选择
采用全桥PWM控制直流电机正、反转, 带动旋转臂转动, 从而实现倒立摆旋转。直流电机调速性能好, 调速范围广, 易于平滑调节;起动、制动转矩大, 易于快速起动、停车, 控制方便, 因此能够很平滑的带动旋转臂转动, 且可以使倒立摆完成360°旋转。系统采用纳英特直流伺服电机NST360D012控制旋转臂运动。
1.3 光电隔离模块选择
HCPL2631是双通道高速光耦合器, 传输速率高, 最大波特率可达10Mbps, 可以很好地将编码器采集到的信号快速地传递给单片机, 因此系统采用HC-PL2631光耦芯片。
1.4 电机驱动模块选择
因MSP430主控芯片I/O逻辑为3.3V, 不能直接驱动电机, 需要先通过光耦隔离以减少电机对单片机的干扰, 然后经过驱动芯片驱动电机。L298N是一个具有高电压大电流的全桥驱动芯片, 工作频率高, 且带有控制使能端, 用该芯片作为电机驱动, 操作方便, 稳定性好, 性能优良。因此系统采用L298N作为电机驱动芯片。
1.5 摆杆位置检测模块选择
光电编码器是一种通过光电转换将输出轴上的机械几何位移量转换成脉冲或数字量的传感器, 响应速度快, 精度高, 可以准确地测量倒立摆的位置和速度。系统选用欧姆龙E6A2-CW3旋转型光电编码器, 可以精准快速地定位, 达到系统要求。
1.6 系统总体方案
基于以上各模块的选择, 系统总体方案如图1所示。
2 系统理论分析与仿真
2.1 旋转倒立摆模型
单级旋转倒立摆由水平旋臂和自由摆动的摆杆组成, 如图2所示。其中水平旋臂由直流伺服电机驱动并作水平旋转, 摆杆和旋臂用铰链连接, 且摆杆只能在旋臂垂直的平面内作2自由度摆动。
根据受力分析及拉格朗日方程建立模型[2], 得出系统方程组:
式中, J1为旋臂的转动惯量, 2.510-3kgm2;m为摆杆质量, 0.1kg;r为旋臂长度, 0.3m;L为摆杆质心到铰链距离, 0.4m;θ为旋臂水平相对零位的角度;坠为摆杆与竖直方向零位的角度;ηm为直流电机效率, 取0.75;ηg为变速器效率, 取0.92;Kt为电机力矩系数, 取810-3Nm/A;Kg为变速器齿轮比, 6:1;u为控制电压V;Km为反向电势系数, 810-3Vs/rad;Rm为直流电机电枢电阻, 2.5Ω;Beq为粘性阻尼系数, 4.210-3Nms/rad;g为重力加速度, 取9.8m/s2[3]。代入上述常数, 并取坠趋近于0, 则可将方程组线性化, 整理得:
其中y为输出矩阵。
通过MATLAB工具可计算:
由此可知倒立摆近似线性系统, 具有能控性和能观测性[4]。
2.2 LQR算法的MATLAB仿真
关于LQR算法理论有大量参考文献可供查阅[5]。MATLAB功能强大, 可以仿真线性系统的LQR算法, 自动生成最优反馈矩阵, 从而控制线性系统快速稳定。图3为单级旋转倒立摆经过线性化后的仿真结构图, state-space为状态空间, 右侧为状态空间的各种矩阵参数A, B, C和D[6]。反馈矩阵参数由MATLAB自动算出, 求反馈系数矩阵的MATLAB代码如下:
3 流程图
图6为系统流程图, 摆杆稳定后亮绿灯, 但仍然有控制电压, 因为倒立摆系统是动态稳定的, 而非静态;亮红灯表示倒立摆还未达到稳定, 处于控制状态。
4 测试数据和结果分析
经过多次测试, 结果如表1所示。
从测试数据可以看出, 系统控制时间与理论仿真时间比较接近。在15°左右, 倒立摆约3s就完成了稳定控制, 控制速度较快, 效果非常好。随着初始角加大, 控制时间也较长, 速度也较慢, 特别在60°时, 控制时间达8s以上。
倒立摆系统本身是严重非线性的, LQR算法实质是基于平衡点附近的线性化处理, 这种近似和实际系统有偏差。所以在大角度范围内, 控制效果不明显, 时间也较长。
参考文献
[1]张日希, 等.MSP430系列单片机实用C语言程序设计[M].北京:人民邮电出版社, 2005
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倒立摆专题 第4篇
第1章：绪论
1.1 倒立摆的发展历史及现状
控制理论教学领域，开展各种理论教学、控制实验、验证新理论的正确性的理想实验平台就是倒立摆控制系统。对倒立摆系统的研究能有效的反映控制中的许多典型问题，同时兼具多变性、强非线性和自然不稳定性等优点，通过对倒立摆的控制，用来检验新的控制方法是否有较强的处理非线性和不稳定性问题。倒立摆系统作为一个实验装置，形象直观、结构简单、构件组成参数和形状易于改变、成本低廉，且控制效果可以通过其稳定性直观地体现,也可以通过摆杆角度、小车位移和稳定时间直接度量其实验效果,直观显著。因而从诞生之日就受到国内外学者的广泛研究。
倒立摆系统的最初研究始于二十世纪50年代末，麻省理工学院的控制论专家根据火箭发射助推器的原理设计出一级倒立摆实验设备。1966年Schaefer和Cannon应用Bang Bang控制理论将一个曲轴稳定于倒置位置，在60年代后期作为一个典型的不稳定严重非线性证例提出了倒立摆的概念，并用其检验控制方法对不稳定、非线性和快速性系统的控制能力受到世界各国许多科学家的重视。而后人们又参照双足机器人控制问题研制出二级倒立摆控制设备，从而提高了检验控制理论或方法的能力，也拓宽了控制理论或方法的检验范围。对倒立摆研究较多的是美国、日本等发达国家，如Kawamoto-Sh.等讨论了有关倒立摆的非线性控制的问题以及倒立摆的模糊控制的稳定性问题为其后的倒立摆模糊控制研究开辟了道路，美国国家航空和宇航局Torres-Pornales,Wilfredo等人研究了从倒立摆的建模、系统分析到非线性控制器设计的一系列问题，比较深入的研究了倒立摆的非线性控制问题并进行了实物仿真;科罗拉多州大学的Hauser.J正在从事基于哈密尔顿函数的倒立摆控制问题的研究;日本东京大学的Sugihara.Tomorniehi等研究了倒立摆的实时控制问题及其在机器人控制中的应用问题。此外，还有如德国宇航中心的Schreiber等研究了倒立摆的零空间运动控制问题，分析了倒立摆的零空间运动特性与其稳定性之间的联系。
国内研究倒立摆系统的控制问题起步虽晚，但成果也还是挺多较早的，如尹征琦等于1985年采用模拟调节器，实现了对倒立摆系统的稳定控制;梁任秋等于1987年讨论了设计小车一二阶倒立摆系统数学控制器的一般方法;任章、徐建民于1995年利用振荡器控制原理，提出了在倒立摆的支撑点的垂直方向上加入一零均值的高频震荡信号以改善倒立摆系统的稳定性。同年，程福雁先生等研究了使用参变量模糊控制对倒立摆进行实时控制的问题。北京理工大学的蒋国飞、吴沧浦等实现了状态未离散化的倒立摆的无模型学习控制。仿真表明该方法不仅能成功解决确定和随机倒立摆模型的平衡控制具有很好的学习效果。
90年代以来,由于数学基础理论、控制理论和计算机技术的发展,不断地有新的控制理论和控制思想问世,使得倒立摆控制系统的研究和应用更加广泛和深入,把这些理论应用在实际的实物控制和分析中己经成为当前控制理论研究和应用的核心问题。人们为了检验新的控制方法是否具有良好的处理多变量、非线性和绝对不稳定型的能力,不断提升倒立摆系统的复杂性和难度,如增加摆杆的级数,加大摆杆的长度,改变摆的形状和放置的形式等。2002年8月,北京师范大学教授李洪兴领导的复杂系统智能控制实验室,首次成功实现了直线运动四级倒立摆实物系统控制,2003年10月,他们采用高维变论域自适应控制理论,在世界
洛阳理工学院毕业设计（论文）
上第一个成功地实现了平面运动三级倒立摆实物系统控制。但是多年来小车一多级摆系统的控制研究主要集中在摆倒立点的稳定控制方面,同时也只是针对在水平轨道上的研究,而对于在倾斜轨道上的倒立摆的研究,还不多见。然而对于摆的摆起倒立稳定控制,由于小车多级摆摆起倒立稳定的高难性,目前国际上罕见小车二级摆以上实际系统的摆起倒立成功的例子。在小车二级摆摆起倒立控制的研究中,一般采用了混杂控制转换的方法,即将控制过程分为摆起和倒立稳摆两个阶段。在摆起阶段,采取基于能量的控制(K.J.Astrom,K.Furuta,W.spong),通过不断增加两摆杆的能量,直至达到倒立稳摆的位置。这样的方法对于小车单摆系统摆起倒立十分有效。然而,由于能量是一个标量,基于能量正反馈的方法在摆起过程中,无法兼顾和有效控制欠驱动多摆杆之间的相对运动,存在着摆杆与摆杆之间相对运动难以协调控制的问题。其它的采用直接数字求解动态方程获得理想轨迹,然后将其与实时参数比较形成闭环控制的方法,以及部分反馈线性化等方法,但这些方法都同样存在对摆杆之间相对运动难以协调控制的问题。捷克学者J.Rubl,在研究直线小车二级摆的摆起倒立过程中,运用了数字方法、最优控制与分段线性化结合的综合控制方法,解决了水平轨道上小车二级摆摆起倒立控制的实物实现问题。重庆大学李祖枢教授等人利用仿人智能控制方法分别成功地实现了在水平轨道上和在倾斜轨道上小车二级摆的摆起倒立稳定实时控制,而小车三级摆的摆起倒立稳定控制,由于控制难度更大,国际上尚无成功的先例。近年来在结合模糊控制与神经网络等方面也取得了很多成果。
总之，倒立摆系统是一种能够有效检验控制理论和控制算法的实验设备。目前应用于倒立摆系统的算法主要有以下几类:经典控制(LMI，PDI)、现代控制(LQR 最优控制法，极点配置法)、变结构倒立摆系统最初研究开始于二十世纪 50 年代，麻省理工学院的控制论专家们根据火箭发射的原理设计出了一级倒立摆实验装置；发展到今天，倒立摆系统已经由原来的一级直线倒立摆衍生出了异常丰富的类别。按照倒立摆摆杆的数目可以分为一级倒立摆、二级倒立摆、三级倒立摆、四级倒立摆等，且控制难度也随着摆杆的级数增加而变大；按照倒立摆系统结构的不同，可以分为：直线倒立摆系统、旋转倒立摆系统、平面倒立摆系统、复合倒立摆系统等；按照倒立摆摆杆的不同还可以分为刚性倒立摆和柔性倒立摆。在检验不同的控制方法对各种复杂的、不稳定的、非线性系统的控制效果中得到广泛的应用，并且越来越受到世界各国科研工作者的重视
2.该课题的意义：
随着实际工程控制系统的研究发展的需要，对于理论方面的研究迫切需要一 个平台去检验新理论的正确性和在实际中的可行性，倒立摆系统作为一个具有绝 对不稳定、高阶次、多变量、强藕合的典型的非线性系统，是检验控制理论和方 法的理想模型，所以本文选择倒立摆系统作为研究对象具有重要的理论意义和应 用价值。相对于其他研究倒立摆系统的控制方法，Backstepping方法最大的优点是不必对系统进行线性化，可以直接对系统进行递推性的控制器设计，保留了被控象中有用的非线性项，使得控制设计更接近实际情况，而且所设计的控制器具有很强的鲁棒性。而且国内外用此方法研究倒立摆系统的成果还不多见，因而具有很大的理论研究价值;由于当前国内外对于倒立摆系统的研究大都仍只局限于理论分析或计算机软件的数值仿真而缺少实际的实验检验分析，而MATLABSim-ulink就是提供了进行仿真实验的良好平台，它利用自带的模块建立系统模型，然后进行仿真，形象直观，非常有利于研究者进行分析和总结，同
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时可以利用MATLAB-RTW实时工具箱构建实时控制平台，把设计好的控制器建立的Simulink仿真樟型连接在实时内核中运行，驱动外部硬件设备，实现对倒立摆系统的实时控制，倒立摆的控制模型与直立行走机器人的平衡控制、两轮小车的自平衡控制、导弹拦截控制、火箭发射时的垂直控制、卫星飞行中的姿态控制和航空对接控制等涉及平衡和角度的控制问题非常相似，所以在机器人、航天、军工等领域和一般的工业过程中都有着广泛的应用。倒立摆系统作为研究控制理论的一种典型的实验装置，具有较为简单的结构、可以有效地检验众多控制方法的有效性、参数和模型易于改变、相对低廉的成本等优点，研究控制理论的很多科研人员一直将它们视为主要的研究对象，用它们来描述线性控制领域中不稳定系统的稳定性以及在非线性控制领域中的无源性控制、变结构控制、非线性观测器、自由行走、非线性模型降阶、摩擦补偿等控制思想，且从中不断开发出新的控制方法和控制理论，所以倒立摆系统是研究智能控制方法较为理想的实验装置。倒立摆系统自身是一个典型的多变量、非线性、高阶次、强耦合和绝对不稳定系统，许多抽象的控制概念如系统的可控性、稳定性、系统的抗干扰能力和系统的收敛速度等，都可以由倒立摆系统直观地展示出来。此外，通过倒立摆系统还可以研究非线性观测器、变结构控制、目标定位控制、摩擦补偿和混合系统等。不仅如此，倒立摆系统也是进行控制理论教学的理想平台。传统的教学中，实验只是作为理论教学延伸，往往是理论知识的比重大于实验，即使有实验课程也只是学生完全按照实验指导书上的指导去完成实验，整个实验过程中学生们完全是消极的被动的接收知识，甚至学生对实验方法、内容完全没有兴趣。很显然，这种实验教学方法难以培养学生综合素质和实践能力。所以必须在实验环节的内容和形式上进行改革与创新，以培养学生的创新意识和实践动手能力。因此，进行设计性、开放性的综合实验具有极其重要的现实意义。若在控制理论的教学中，如果构建一个高效的合理的倒立摆系统实验平台，就可以在深入理解控制理论知识的同时，还可以让学生们对硬件回路仿真技术的开发流程有一定的了解，并掌握基于 MATLAB 的实时仿真操作，这样就可以从理论和实践上提高学生对控制理论的兴趣和认识。将倒立摆系统研究应用于高校的控制理论教学和实验早已在欧美等教育发达地区流行多年。因此，倒立摆控制策略的研究在我国高校的控制理论教学和实验中具有广阔的前景。较理想的控制效果，能够快速稳定并且有很强的抗干扰能力。
3.本论文的主要工作：
本论文是对一级倒立摆系统的LQR控制器设计。验证算法采用实验室的倒立摆装置。用 Matlab 中的 Simulink 搭接仿真的实验原理图，编写恰当的模糊规则，通过对隶属度曲线以及参数的适当调整，得到理想的仿真曲线。最后，通过倒立摆实验装置来验证所设计的模糊控制算法的可行性。具体内容如下：
第一章是绪论部分，主要概括介绍了倒立摆控制系统研究的发展历史及现状，本课题研究的背景和意义，本文主要研究的内容及章节安排以及本文的创新点。初步了解目前倒立摆的研究现状以及研究热点,论述了控制理论在倒立摆系 统运用的不断发展和完善,智能控制器越来越受到专家学者的关注。
第二章是预备知识，主要概述了本文主要用到的倒立摆装置，Matlab仿真平台简介及应用。
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第三章详细介绍了一级倒立摆控制系统的工作原理、两轮小车的硬件设计。包括自平衡小车的组成模块及工作原理、各模块硬件设计。
第四章介绍了MATLAB/Simulink建模原理，利用本文设计的非线性控制器在 MATLAB环境下对系统进行了离线仿真分析、能控性分析、能观性分析，基于卡尔曼滤波器的LQR控制器设计。对单级倒立摆进行了详细的受力分析,建立倒立摆系统的数学模型,并对倒立摆系统进行定性分析。证明了倒立摆系统是开环不稳定的,但在平衡点是能观的和能控的,可以对系统进行控制器的设计,使系统稳定。
第五章介绍了基于MATLAB的倒立摆实时控制系统，利用所设计的非线性控 制器对实际的硬件系统进行了控制实验，并和固高公司提供的控制器对系统的控 制效果进行了对比，然后利用所设计的非线性控制器对倒立摆系统进行了实时控 制开发的研究。
第二章：倒立摆简介： 1.倒立摆简介：
倒立摆系统是非线性、强藕合、多变量和自然不稳定的系统。在控制过程中，它能有效的反映诸如可镇定性、鲁棒性、随动性以及跟踪等许多控制中的关键问 题，是检验各种控制理论的理想模型。迄今，人们己经利用古典控制理论、现代 控制理论以及各种智能控制理论实现了多种倒立摆系统的控制。因此，对倒立摆 系统的研究无论在理论上还是在实际上均有很大的意义。
倒立摆系统包含倒立摆本体、电控箱及由计算机和运动控制卡组成的控制平台三大部分，组成了一个闭环系统。其中电控箱内主要有以下部件:(1)交流伺服驱动器(2)1/0接口板(3)开关电源
控制平台主要部分组成:(1)与IBM PC/AI机兼容的PC机，带PCI/SCI总线插槽(2)GT400-SV-PCI运动控制卡
(3)GT400-SV-PCI运动控制卡用户接口软件
电机通过同步带驱动小车在滑杆上来回运动，以保持摆杆平衡。其工作原理 框图如图3-1所示，以直线一级倒立摆为例。电机编码器和角码器向运动控制卡反
馈小车和摆杆位置，小车的位移可以根据光电码盘1的反馈通过换算获得，速度信
号可以通过对位移的差分得到，并同时反馈给伺服驱动器和运动控制卡;摆杆的 角度由光电码盘2测量得到，而角速度信号可以通过对角度的差分得到，并同时反
馈给控制卡和伺服驱动器。计算机从运动控制卡中读取实时数据，确定控制决策(小车向哪个方向移动，移动速度，加速度等)，并由运动控制卡来实现控制决 策，产生相应的控制量，使电机转动，带动小车运动，保持摆杆平衡。
硬件部分包括计算机、运动控制卡、电控箱、伺服系统、倒立摆本体和旋转光电编码器、位移传感器等几大部分，它们构成一
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个闭环
系统。伺服电机通过同步皮带与小车相连接，并带动小车同步运动，以此来控制小
车在水平轨道上做直线运动。匀质刚体摆杆与小车相连，由小车的水平移动来控制摆杆 的稳定竖直倒立。旋转光电编码器是一种角位移传感器，其输出的检测信号是数字信号，因此可以直接进入计算机进行处理，而不需放大和转换等过程，使用非常方便。可以用
它准确的测出倒立摆摆杆的偏转角度。将旋转光电编码器、位移传感器、以及状态反馈
信息输入运动控制器，而运动控制卡中采集的这些信息经一定的控制算法会得出控制信
息并将被输入伺服电机。通过这样一个闭环系统就能达到倒立摆的稳定控制。其中计算
机从运动控制卡实时读取数据，计算并确定控制决策，即根据倒立摆的实时状态不断地
调用相应的函数程序如速度、加速度等，经过电控箱内的转换电路产生相应的控制量，由此驱动伺服电机转动的
倒立摆系统由机械部分和电路部分组成。机械部分包括底座、框架、滑轨、齿 轮带、轮、电机、小车和摆体等。电路部分由测量电位器、C805lF020单片机(A/D 转换器、D/A转换器)、计算机、信号放大与功率放大、电机等组成。计算机作为数
字控制器实现对系统的实时控制,同时也为操作者提供人一机界面,完成对系统的
监督管理功能:如实时画图、数据采集等。C8051F020单片机(A/D转换器、D/A 转换器)完成模数、数模的转换,放大器用于电压和功率放大。电动机是系统的执 行元件和速度反馈元件,电位器是倒立摆角度的反馈测量元件。一级倒立摆系统的
整套机械部件分别安装在两块底板上,底板上固定着导轨支架、电机底座、滚动轴
承等,通过导轨支架安装好小车滑行导轨,小车用电机和滚动轴承通过传动皮带实
现运动,小车连接着角位移电位器。单级倒立摆原理结构图如图1.1所示。倒立摆是一个数字式的闭环控制系统,其工作原理:小车在电动机的拖动下沿 固定的直线轨道进行运动,相应的产生了小车的直线位移和倒立摆的转角。小车位
移通过电动机电位器测得,角位移由安装在倒立摆轴上的电位器测得。角位移经过
刀D转换送到计算机经过计算机内部的实时控制程序运算产生控制指令。该控制指
令经D/A变换、再经功率放大,然后输出给电动机,产生相应的控制作用,从而实
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东北大学硕士学位论文第1章绪论 现对小车位移和倒立摆角位移的控制。)))))))}}}(臼臼
图1.1单级倒立摆原理结构图
Fig.1.1ThePrineiPleofsingleinvertedPendulumstrueturedrawing 倒立摆控制系统是一个复杂的、不稳定的、非线性系统,是进行控制理论教学 及开展各种控制实验的理想实验平台。对倒立摆系统的研究能有效的反映控制中的
许多典型问题:如非线性问题、鲁棒性问题、镇定问题、随动问题以及跟踪问题等。
通过对倒立摆的控制,用来检验新的控制方法是否有较强的处理非线性和不稳定性
问题的能力。同时,其控制方法在军工、航天、机器人和一般工业过程领域中都有
着广泛的用途,如机器人行走过程中的平衡控制、火箭发射中的垂直度控制和卫星
飞行中的姿态控制等,且对于揭示定性定量转换规律和策略具有普遍意义
2.MATLAB简介及应用：
第三章 两轮小车硬件设计（1、自平衡小车的组成模块及工作原理
2、各模块硬件设计）第四章 一级倒立摆的数学建模（1、一级倒立摆的数学建模
系统的建模就是用形式化模型或者抽象的表示方法，对事物本身和外部的 某些因素进行描述。科学家们通过大量的观察和实验，建立了抽象的表示方法
和定律，这些方法和定律是对现实世界中一些已被证明正确的假设加以形式化。
例如：爱因斯坦的相对论和牛顿万有引力定律等等。实物系统的建模找出了所
要建模系统的基本性质，人们可以在模型上进行试验推理、研究和设计，从而
获得控制实物系统的方法。系统建模帮助人们不断地加深对事物现象的认识，并且启发人们去进行可以获得满意结果的实验。因此，系统建模是研究系统的
前提条件和十分有效地手段。
系统建模是对系统进行仿真、分析、设计、控制和优化的基础。在建模过 程中，要想模型能包含实际系统的全部信息，是难以现实的。这是因为模型中
存在着过多的实体，实体之间又存在相互关联。因此，包含实际系统的全部信
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息的模型难以获得，也难以处理。对于建立好的模型，通常存在着两个相互矛
盾的因素：简单化和精确性。为了使模型尽可能的精确和简单，建模者通常要
决定忽略那些次要的因素，忽略次要因素的前提是：忽略这些因素以后不会显
著地改变整个模型行为，相反能够使模型更加简单化
建立系统数学模型的方法一般有两种：第一种是机理建模，根据现实对象 的特性，分析其存在的因果关系，找出反映现实对象内部的规律，所建立的模
型一般都具有明确的物理意义或者现实意义。第二种是实验建模，将现实对象
看作一个“黑箱”，由于内部的规律并不能直接的得到，必须分析现实对象的输
入数据和输出数据，用统计学方法分析。根据分析得出的结论，按先前规定的
标准来选出一个实验数据最符合的模型。这种方法也称为系统辩识。倒立摆系
统的形状较为规则，是一个绝对不稳定的系统，用实验建模方法获取其数学模
型有一定的困难。故在下面的论文中采用机理建模对一级倒立摆系统建模。
在忽略了空气阻力和各种摩擦之后，可将直线型一级倒立摆系统抽象成小车 和匀质摆杆组成的系统，如图所示:
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图3-2一级倒立摆系统的力学示意图 系统中小车和摆杆的受力分析图如图 2.2 所示。其中，N 和 P 为小车与摆杆相 互作用力的水平和垂直方向的分量。
将摆杆视为刚体，则一级倒立摆系统的参数为:小车质量M，摆杆质量m，摆 杆重心到铰链的长度l，重力加速度g，小车位置x，摆杆角度9，作用在小车上 的驱动力F。当小车在水平方向运动时，若忽略摩擦力矩的非线性，对小车和摆 杆进行水平和垂直方向受力分析，如图:
1、运用牛顿力学分析方法建立了一级倒立摆系统的数学模型。并对倒立摆系统进
行定性分析。证明了倒立摆系统是开环不稳定的,但在平衡点是能观的和能控的,可以
对系统进行控制器的设计,使系统稳定。
2、通过建立模糊规则,研究倒立摆系统的模糊控制算法。本文把摆杆的角度和角 速度作为输入量,单独组成一个角度控制器;把小车的位置和速度作为输入量,组成另
一个位置控制器。从而实现“摆体不倒,小车停住”的总体控制目标。
3、倒立摆模糊控制仿真。本文利用Simulink建立倒立摆系统模型,实现了倒立摆
模糊控制系统的仿真。仿真结果表明:模糊控制器不仅可以使摆杆稳定,还可以使小车
稳定在特定位置。
由于倒立摆系统存在不确定性、耦合性等特性,在数学上完全准确的描述它
几乎是不可能的。为简化系统,解决实际系统中的控制问题,我们在建模时要忽
略了一些次要因素,如空气阻力、伺服电机的静摩擦力、系统连接处的松弛程度、洛阳理工学院毕业设计（论文）
摆杆连接处质量分布不均匀、传送带的弹性、传动齿轮的间隙等,并将小车抽象
为质点,认为摆杆是匀质刚体,从而将二级直线倒立摆简化成小车和摆杆组成的
系统,建立一个较为精确地倒立摆系统的数学模型。
目前,对倒立摆系统建模一般采用两种方法:牛顿力学分析方法,欧拉—拉
格朗日原理(Lagrange方程)[41]。建立被控对象的数学模型常采用牛顿力学的方法，建立倒立摆系统的数学模型先分析小车和各个摆体的受力情况,然后列出小车和
各个摆体在X方向和Y方向的运动方程以及各摆体相对各个转轴处的转动力矩平衡
式。再通过求解各摆体运动方程和各个转轴处的转动力矩平衡方程得到倒立摆系
统的数学模型。可见,采用牛顿运动定律建模,需要解算大量的微分方程组,而
且要考虑到质点组受到的约束条件,建模将更加复杂
倒立摆系统的数学建模一般有牛顿欧拉法和拉格朗日法两种。对于结构相对简单的
一级直线倒立摆可以使用牛顿欧拉法，先对小车和摆杆进行受力分析，并分别求出他们 的运动方程。将线性化后的两个运动方程进行拉普拉斯变换。最后整理后可以得到系统 的状态空间方程 [1-9]。但在对二级、三级以上的倒立摆进行数学建模时，这种方法就显
得有些复杂。牛顿运动定律来求解质点组的运动问题时，计算量会比较大。在许多实际 的运算中，求解微分方程组会遇到较大的困难。有时，还需要确定各质点间的位移、相
互作用力、速度、加速度等关系来解决质点组中存在约束情况，联立求解这些方程组就 更为困难 [10-13]。为了简化倒立摆系统的数学建模过程，本章采用了分析力学中的拉格朗 日方程推导直线倒立摆的数学模型，并对该系统的可控性进行了分析。
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2、能空性分析
3、能观性分析
4、基于卡尔曼滤波器的LQR控制器设计）
第五章 基于MATLAB的仿真（1、基于MATLAB的倒立摆模型
于在教学和工程实验领域广泛应用的 MATLAB/Simulink平台，MATLAB 实时控
制软件实验平台，使得实验和先进算法研究变得无比轻松。在不需要熟练掌握其他编程
语言的基础上就能做控制理论实验，只需要把精力集中在控制算法研究上而不需要接触
艰深的硬件接口。现在，在此平台上可以把系统的建模、仿真和实时控制，用户的建模
和仿真结果不需要太多修改就可以直接在同一平台上针对实际物理设备进行控制实验 验证。
MATLAB 实时控制软件的特点：实控软件采用了 MATLAB/Simulink 的实时工具箱
RTW（Real-Time Workshop）实现控制任务，运行在 Windows 操作系统基础上，专用的
实时内核代替 Windows 操作系统接管了实时控制任务。内核任务执行的最小周期是
1ms，大大地提高了系统控制的实时性，完全可以满足 Windows 下较高的实时性控制要
求而不用担心 Windows 本身的实时性问题。
嵌入式组合控制直线一级倒立摆系统 第5篇
小车倒立摆控制能有效反映控制中的许多关键问题,如镇定问题、非线性问题、鲁棒性问题[1]、随动问题及跟踪问题,因此成为学习自动控制理论,研究自动控制算法较为合适的实验对象之一。同时,它还具有工程应用背景,为理论到实践的转化提供了桥梁[2]。因此,对倒立摆系统的研究在理论上和方法论上均具有深远意义[3,4]。
本文针对本科自动控制原理课程设计中倒立摆摆杆偏角控制器的在线仿真存在:手扶摆杆起摆不安全,单变量摆杆角度控制器无法同时控制小车的位置,实验观测不便等问题,提出并设计了基于固高公司起摆控制、最优小车位置控制、嵌入学生摆杆偏角控制的组合式控制系统。在线仿真实验表明,组合式控制系统对直线一级倒立摆的控制有效,能满足本科自动控制原理课程设计及实验的安全、自动、直观、迅捷、可靠的要求。
1 系统建模
小车直线一级倒立摆系统的控制目标[5]是摆杆偏角最大不超过±5°,小车在轨道中间位置左右偏移不超过±10 cm,以达到一种动态的平衡。
小车直线一级倒立摆实验系统[6]如图1所示。对小车和摆杆做受力分析,根据牛顿运动定律,可得小车直线一级倒立摆动力学模型如式(1)所示。
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式中:M为小车质量;m为摆杆质量;b为小车摩擦系数;l为摆杆长;I为摆杆转动惯量;θ为摆杆偏角;x为小车位移;F为小车受力。
由于θ=π+φ,且φ1(换算成弧度比较),u代表被控对象的输入力F,则对式(1)进行线性化处理,可得式(2),如下:
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对质量均匀摆杆, 取undefined,由线性系统理论[7]得系统的状态空间如式(3)所示:
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2 嵌入式组合控制器的设计
2.1 系统能控性分析[8]
被控系统状态完全可控性矩阵Uc=[B AB A2B A3B],通过计算可得rank(Uc)=4,即矩阵Uc的秩等于系统状态变量维数;被控系统输出完全可控性矩阵Uo=[CB CAB CA2B CA3B D],求得rank(Uo),即矩阵Uo的秩等于系统输出向量维数。所以系统可控,可以对系统进行控制器设计,使系统稳定。
本文所使用的控制器是由自动起摆控制器Swing-up Controller、线性二次调节器LQR Controller和学生设计的控制器Controller1组成的嵌入式组合控制器。在Simulink中搭建直线一级倒立摆嵌入式组合控制系统,如图2所示。
自动起摆控制器Swing-up Controller能够控制直线一级倒立摆由静止下垂的稳定平衡状态自动转化到竖直向上的不稳定平衡状态,而无需给摆杆施加力的作用,就可以实现摆杆的自动摆起。
2.2 LQR控制器原理[9]
针对线性系统的状态方程undefined和输出方程y(t)=Cx(t)+Du(t),LQR方法通过确定最佳控制量u(t)=-Kx(t)中的矩阵K,使得控制性能指标J=∫∞0[xT(t)Qx(t)+uT(t)Ru(t)]dt取极小值。其中,x是状态向量;u是控制向量;R为正定厄米特或实对称矩阵;Q为正定或半正定厄米特或实对称矩阵。参数R和Q分别用来平衡输入量和状态量的权重。
2.3 系统的结构
系统主要由被控对象、起摆控制器、LQR控制器、学生控制器、位置给定器、角度给定器、运算器和扰动信号发生器等构成。整个系统是在固高公司提供的直线单级倒立摆控制系统基础上,设计逻辑切换单元(LOG),把学生控制器嵌入系统中,形成嵌入式组合控制的倒立摆控制系统。
2.4 系统的功能
(1) 能够实现摆杆的自动摆起。
(2) 当摆杆偏角进入±20°范围时,自动切换到LQR控制器,以实现摆角的控制和稳摆;
(3) 当摆杆偏角进入±5°范围时,自动切换到学生控制器稳摆。
在稳摆过程中,始终由LQR控制器控制小车在适宜位置运动。加入干扰信号后,可以同时在线观测到小车位置、摆杆角度被控过程和干扰信号的波形。整个运行过程无需人工干预,实现了安全、自动、迅捷、可靠的设计目标。多路显示器Scop可实时显示小车位置、摆杆角度、干扰信号的动态变化情况。
2.5 LOG模块内部结构
LOG模块内部结构如图3所示。
图3中左端端子分别为:端子1为摆杆偏角进入±20°范围时的加速度输入端;端子2为倒立摆摆杆的角度输入端;端子3为摆杆偏角进入±5°范围时的加速度输入端,端子4为干扰信号的输入端。中间的Abs和Switch框分别为取绝对值模块和选择开关模块。右端Acc为逻辑切换单元输出,即加速度信号。
2.6 逻辑切换单元原理
当摆杆偏角进入±20°范围时,自动切换到LQR控制器,以实现摆角的控制和稳摆;当摆杆偏角进入±5°范围时,自动切换到作者设计的控制器稳摆。
3 仿真实验
本文所用实际系统的模型参数为:l=0.25 m,g=9.8 m/s2,采样周期T=0.020 s。
将上述参数代入第1节中系统状态空间方程式(3),可得系统的实际模型(4)如下:
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取
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,由LQR(A,B,Q,R)得系统的反馈增益矩阵:
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在线仿真[10]的实时小车位置(单位:m)、摆杆角度(单位:(°))和干扰变化波形如图4所示。
嵌入式组合式控制器控制过程中小车位置Pos、摆杆角度Angle和干扰信号Dist的在线仿真响应波形变化情况分析如表1所示。结果表明本文提出的嵌入式组合式控制算法对直线单级倒立摆系统的控制正确、有效。能够达到自动和安全的控制效果,满足系统的设计要求。
4 结 论
本文根据线性系统理论、最优控制理论和自动控制原理设计了组合式控制器,其可行性和有效性在单级直线倒立摆系统上得到了验证。该控制器具有简单、直观和易于实现的特点。只要摆杆的初始角度在±20°范围内,嵌入式组合控制器都能使倒立摆控制系统保持稳定的倒立平衡状态。本文建立的实验平台也可作为控制系学生的《自动控制原理》课程设计实验及考核平台。
摘要：倒立摆系统广泛应用于对各种控制理论和控制策略的正确性和有效性的检验。针对固高公司直线一级倒立摆系统,提出一种嵌入式组合控制直线一级倒立摆系统。在线仿真实验表明,该系统达到了自动、安全的效果。分析系统响应曲线可知,嵌入式组合的控制算法正确、有效。
关键词：倒立摆,嵌入式组合式控制器,在线仿真,组合控制算法
参考文献
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倒立摆的串级控制系统设计 第6篇
关键词：倒立摆,串级控制,设计
0前言
倒立摆是一种典型的快速、多变量、非线性、绝对不稳定系统。人们试图寻找不同的控制方法以实现对倒立摆的控制,以便检验或说明该方法对严重非线性和绝对不稳定系统的控制能力。
目前,已经报道了多种先进的控制方案如最优控制、自适应控制、智能控制等在倒立摆平台上成功应用[1]。但是比较少有报道在保证倒立摆摆杆不倒的条件下,使小车位置可控。
1 直线一级倒立摆的数学模型
首先给出直线一级倒立摆的数学模型。由动力学理论可以推导出直线一级倒立摆的运动方程,对其运动方程进行近视处理可到简化模型如式(1)。
式中:x为小车的位移;θ为摆杆与垂直向上方向的夹角;F为被控对象的作用力;M为小车质量;m为摆杆质量;J为摆杆惯量;2l为摆杆的长度;g为重力加速度。参数分别取值为M=1kg,m=1kg,l=0.3m,J=0.03kg*m*m。
将作用力F为系统的输入量,可以得到模型为:
电动机、驱动器、机械传动装置三个环节可近似为一个比例环节,比例增益为1.6。
2 串级控制系统设计
一级倒立摆系统位置伺服控制的核心是在保证摆杆不倒的条件下,使小车位置可控。应用串级控制原理进行设计控制系统如图1所示。
设计原则是先内环后外环,与双闭环直流调速系统电流调节器、转速调节器设计相类似。
1)内环控制器的设计
内环是要求根据跟随性最佳原则来设计,由于内环角度被控对象是不稳定的,采用比例或者比例积分控制是不稳定。内环按照典I系统设计,对系统内环应该采用反馈校正进行控制,其框图如图2所示。
设W2(s)=K3=-20,则内环控制系统的闭环传递函数为:
内环为二阶最佳系统,即ξ=0.707,PD控制器的传递函数为W2′(s)=0.17675s+1.625。
2)外环控制器的设计
外环的前向通道传递函数为:
表明是一个高阶带不稳定零点的非最小相位系统,表明车位的控制采用比例或者比例积分方案也是不稳定。应用工程设计方法,对外环模型进行降阶处理,降阶处理的条件与双闭环直流调速系统中一致。先忽略GB2(s)的高次项,可以近似为一阶传递函数为:
其次,对模型G1(s)进行降阶处理,G1(s)的传递函数为:
为了使得外环具有比较好的抗干扰能力,外环控制器应该按照典II系统设计,显然,外环控制器应该为PD形式,其传递函数为:
则,外环的系统开环传递函数为:
式中时间常数T=0.177。
为了使得典II系统具有比较好的抗干扰能力,应该取典II系统的中频段宽度h=5,这样,可以得到:
3 仿真实验
根据上节设计的控制器参数及被控对象的模型,由于进行了近似处理,在仿真过程中外环的控制器参数进行优化,K4=0.2,K5=1。仿真实验结果如图3、图4所示。图3可以看出系统大约在3s就稳定了,小车位置就稳定在1,控制效果良好。图4表明在30s加入了一个单位为1的位置扰动,小车位置仍然稳定在1,表明了具有较好的抗扰能力。
4 结论
通过应用双闭环控制系统的设计方法对一级倒立摆系统进行控制,在保证倒立摆摆杆不倒的条件下,使小车位置可控的,应用工程设计进行设计是可行的,仿真结果表明该控制方案可以达到良好的控制效果。
参考文献
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倒立摆系统论文 第7篇
倒立摆是日常生活中许多重心在上、支点在下的控制问题的抽象模型, 本身是一种自然不稳定体, 它在控制过程中能有效地反映控制中许多抽象而关键的问题, 如系统的非线性、可控性、鲁棒性等问题。对倒立摆系统的控制就是使小车以及摆杆尽快地达到预期的平衡位置, 而且还要使它们不会有太强的振荡幅度、速度以及角速度, 当倒立摆系统达到期望位置后, 系统能克服一定范围的扰动而保持平衡。作为一种控制装置, 它具有形象直观、结构简单、便于模拟实现多种不同控制方法的特点, 作为一个被控对象它是一个高阶次、非线性、多变量、强耦合、不稳定的快速系统, 只有采取行之有效的方法才能使它的稳定效果明了, 因此对倒立摆的研究也成为控制理论中经久不衰的研究课题。
1一级倒立摆系统的数学模型
对于倒立摆系统来说, 如果忽略了空气阻力和各种摩擦之后, 可将直线一级倒立摆系统抽象成沿着光滑导轨运动的小车和通过轴承连接的匀质摆杆组成, 如图1所示。其中, 小车的质量M=1.32 kg, 摆杆质量m=0.07 kg, 摆杆质心到转动轴心距离l=0.2 m, 摆杆与垂直向下方向的夹角为θ, 小车滑动摩擦系数fc=0.1。
倒立摆控制系统数学模型的建立方法一般有利用牛顿力学的分析方法和分析力学中的拉格朗日方程建模两种。本文采用的是拉格朗日方程建模。
一级倒立摆系统的拉格朗日方程[2]应为:
式中:L是拉格朗日算子;V是系统动能;G是系统势能。
式中:D是系统耗散能;fi为系统在第i个广义坐标上的外力。
一级倒立摆系统的总动能为:
一级倒立摆系统的势能为:
一级倒立摆系统的耗散能为:
一级倒立摆系统的拉格朗日方程为:
将式 (1) ～式 (5) 代入式 (6) 得到:
一级倒立摆系统有4个状态变量, 分别是x,
2倒立摆性能分析[4,5]
系统的能控性是控制器设计的前提, 所以在设计前对系统进行能控性分析, 根据能控性矩阵T0=[B, AB, A2B, A3B], 利用Matlab中的rank命令, 可以得出rank (T0) =4。由此可知, 系统是完全可控的, 因此可以对系统进行控制器的设计, 使系统稳定。
3LQR控制器的设计[1,6]
3.1 LQR控制器原理
线性二次型调节器的控制对象是线性系统, 这个线性系统必须是状态空间的形式, 即:
就可获得P值以及最优反馈增益矩阵K值:
LQR用于单级摆的原理图如图2所示[9]。
3.2 加权矩阵Q和R的选择[10]
在选取Q和R时, 主要从以下几方面考虑:
(1) Q是正定或半正定矩阵, R是正定矩阵。
(2) Q阵中对角线上的元素与状态变量一一对应, 数值越大, 则表示该状态变量对系统的影响越显著。
(3) 加权矩阵R不要过小, 否则会导致控制量的增大。控制量太大会超过系统执行机构的能力, R阵也不要太大, 否则控制作用太小会影响控制性能。
综合以上考虑, 取Q=diag ([100, 100, 100, 100]) , R=1, 利用Matlab提供的LQR函数, 可得控制器的增益矩阵:
K=[-10.000 0 -24.140 8 250.036 0 158.553 3]
3.3 利用遗传算法优化Q阵
遗传算法是一种基于生物界中的自然选择原理和自然遗传机制的随机搜索算法, 它模拟了生物界中的生命进化机制, 并用在人工系统中实现特定目标的优化。
采用遗传算法优化加权阵Q的具体步骤如下:
(1) 选择编码策略, 把参数转换成染色体结构空间。
(2) 确定解码方法。
(3) 确定优化目标函数的类型及数学描述形式, 在LQR最优控制中取目标函数J, J=trace (P) 。
(4) 设计遗传算子。
(5) 确定遗传策略。设群体大小为80, 最大迭代次数为200, 交叉概率选为0.9, 变异概率选为0.01, 并随机产生初始群体。
(6) 计算群体中的个体或染色体解码后的适应值。在本设计中将适应值取为目标函数值的倒数, 即f=1/J。
(7) 进行遗传算法搜索过程, 即采用随机采样的方法选择个体, 通过交叉和变异产生新个体, 再计算新个体的目标函数值J′。
(8) 判断群体性能是否满足指标或者是否完成迭代次数, 若不满足则重复步骤 (7) 。
通过上述算法即可确定使目标函数值最小加权矩阵Q中待优化元素的值, 从而确定反馈控制规律的向量K。
4仿真结果及分析
取Q=diag ([100, 100, 100, 100]) , R=1时, 得到的一级倒立摆仿真波形如图3所示。由图可见, 小车经过5.2 s达到平衡, 而摆角经过6.5 s达到平衡。对Q阵优化后系统响应超调量减少, 响应速度加快, 调节时间减少, 系统的静态特性和动态特性都得到改善, 如图4所示。
5结语
本文利用拉格朗日方程建立了直线一级倒立摆控制系统的数学模型, 在此基础上分析了该系统的性能, 并利用LQR控制器进行控制。结果表明, LQR控制器对该系统具有良好的控制作用。
摘要：为了对一级倒立摆这个非线形、强耦合、多变量和自然不稳定系统的平衡性进行有效地控制, 首先利用lagrange方程对系统进行了数学建模, 设计了LQR控制器对其进行稳定性控制, 并利用遗传算法优化加权矩阵, 得出了比较理想的控制参数, 最后利用Matlab对控制结果进行了仿真和分析。实验结果表明, LQR控制方法具有较强的鲁棒性和较好的控制效果。
关键词：倒立摆,LQR,Matlab,自动控制
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倒立摆系统论文 第8篇
网络技术的快速发展, 使得远程诊断、远程检测、远程信息反馈、远程控制等成为了可能。网络控制与传统的控制系统相比, 打破了空间物理位置上的限制, 拓宽了控制系统活动的场所, 降低了系统的连接复杂性, 减少了运行成本和维护费用, 便于实现管控一体化, 提高了信息集成度。网络控制在工业生产上的应用, 使得整个工业生产的模式发生了巨大的变化。网络控制系统方面的研究也越来越受到国内外更多学者的关注。
倒立摆作为一种典型的实验设备, 其具有的非线性、强耦合、多变量和自然不稳定等特点, 在控制过程中, 能有效地反映诸如可镇定性、鲁棒性、随动性以及跟踪等许多控制中的关键问题, 使其成为控制理论应用的研究热点, 是检验控制算法的理想实验平台, 但它也是一种昂贵的试验器材, 因此开发远程倒立摆实验系统有着一定的现实意义。
1 实验系统的方案设计
1.1 远程监控方案的选择
从系统体系结构的角度看, 远程监控主要有以下3个方案:基于主机/终端模式的远程监控方案;基于C/S (Client/Server) 模式的远程监控方案;基于B/S (Browser/Server) 模式的远程监控方案。
第一种方案是一种比较落后的模式, 现在已经基本不用了。对于后两种方案:C/S结构由Client计算机、Server计算机和中间的数据库服务器组成, 采用Intranet技术, 适用于局域网环境, 只支持用户数有限的情况 (当用户数量增多时, 性能会明显下降, 代码可重用性差, 开发费用较低, 开发周期较短) ;B/S结构采用Internet/Intranet技术, 适用于广域网环境, 支持更多的客户, 可根据访问量动态配置Web服务器、应用服务器, 以保证系统性能, 客户端只需标准的浏览器, 采用面向对象技术, 代码可重用性好, 系统扩展维护简单, 但开发周期较长, 开发费用较高。
考虑到本实验系统用户数量不多, 以及C/S结构开发周期短、开发费用低等优点, 网络实验系统采用C/S结构。C/S结构的响应过程:Server打开侦听, 等待Client连接, Client向Server提出连接请求, 如果Server空闲则接受Client的连接, 发出接受响应信号, 这样便建立了一个Socket, 按固定的数据格式进行数据传输。
基于工业以太网的倒立摆实验系统拓扑结构如图1所示。
1.2 客户端
客户端采用在客户端安装应用程序的模式访问服务器。该模式能提供较为完善的功能, 但要求用户先安装客户端程序, 且系统升级时, 使用者也要相应地安装升级程序。该模式在Windows平台下使用Visual C++编写客户端程序。用户只需在客户端安装应用软件、选择软件内置的控制算法就可进行试验, 获取实时的实验数据。
1.3 服务器
服务器负责客户端与控制端的通信及数据库管理。通信部分用于实现客户端和控制端之间的连接和数据交换, 记录维护登录用户队列和已启动的实验, 并按照登录先后顺序为用户安排实验。数据库部分用于记录试验历史数据以及维护用户的信息, 以便对连接请求进行验证。
实验时, 服务器一直侦听用户的接入请求并判断用户的合法性, 如果满足试验条件, 服务器将为用户与倒立摆控制器开辟一条虚拟连接通道, 用于传递用户与现场试验装置之间的数据。同时服务器记录用户的相应命令和将实验数据传到数据库。
1.4 控制端
控制端由通信程序、控制程序和试验监控程序3个部分组成。通信程序负责和服务器的联系, 接收由服务器发过来的控制命令, 同时将打包的实验结果数据返回给服务器。控制程序按照控制命令对倒立摆进行控制, 并将实验结果打包交给通信程序。试验监控程序通过服务器控制通信程序和控制程序的启动和停止。
2 软件实现
倒立摆远程监控系统的软件系统主要由3个部分组成:倒立摆控制模块、网络通信与数据管理模块、客户端模块。
2.1 倒立摆控制模块
倒立摆控制模块工作在控制现场, 主要负责接收服务器发来的命令, 根据控制卡采集的数据对倒立摆进行控制, 以及向服务器发送数据。
2.2 网络通信与数据管理模块
网络通信与数据管理模块工作在中间服务器上, 实现客户端与监控计算机的通信以及实验数据和用户信息的管理。
网络通信模块实现了基于Socket机制的通信过程, 使用面向连接协议的客户端/服务器模式。通信过程包括服务器端和客户端Socket的建立和连接、Socket间数据的收发以及数据收发完毕后结束Socket连接。服务器与客户端的Socket连接过程如图2所示。
服务器首先启动, 通过调用socket () 建立自己的Socket, 然后调用bind () 将该Socket绑定到指定的端口号, 进入监听状态, 并准备接收来自客户端的连接请求。连接是客户端发起的, 客户端在建立自己的Socket后, 调用connect () 向服务器发起连接请求。服务器监测到连接请求后接受连接, 这样就建立起一个完整的Socket连接。之后就可以通过套接字进行网络通信, 通过send () 和recv () 发送和接收数据。需要指出的是, 对倒立摆的控制实时性要求很高, 同时还要发送实时实验数据, 数据量较大, 客户端要发送命令给服务器, 同时服务器又要把现场数据发送给客户端, 这两者是并行的, 因此, 需要应用多线程编程。
数据管理模块的主要任务是将每次的实验数据保存到数据库以及管理客户端信息, 客户端信息用以对连接请求进行验证。
2.3 客户端模块
客户端模块实现用户对倒立摆系统的控制及实验数据的获取。用户首先在客户端输入用户名和密码登录, 通过验证后即可建立与中间服务器的连接, 通过中间服务器与现场控制端进行通信。用户在客户端进行参数设置, 通过中间服务器传递给现场控制端, 从而对倒立摆进行控制。同时把倒立摆控制模块发来的数据在窗口绘制成波形图, 并设置定时器对窗口进行定时刷新, 这样就可以实时直观地反映出倒立摆的运动情况, 达到对倒立摆进行远程监控的目的。
3 结语
本文介绍了基于C/S模式的倒立摆远程控制实验系统的实现方案。该方案具有开发周期短、开发费用低等优点。实验表明, 采用C/S模式结合Socket数据通信方式, 能够保证基于C/S模式的倒立摆远程控制实验系统数据通信的实时性和现场控制计算机的安全性。
参考文献
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倒立摆系统论文 第9篇
关键词：根轨迹法,校正设计,主导极点,倒立摆
1 引言
在经典控制理论中,根轨迹法是一种分析和设计线性定常系统的图解方法,由于它具有方便快捷的特点,已经成为经典控制理论中最基本的方法之一。关于根轨迹法校正,有不少文献给出了较详细的介绍[1、2],还总结出了一些具体实现方法,如几何法、解析法等,它们的校正补偿器都采用固定的结构模式。然而,实践中控制对象通常是较复杂的,因此在实际的控制系统设计时,校正补偿器有时不必拘泥于采用某种固定的模式,而应该以达到预期的性能指标为目的,方法越简单越好。倒立摆是自动控制领域典型的控制对象,经常用来研究和检验控制策略与方法[3,4]。本文以直线一级倒立摆为研究对象,采用一种根轨迹校正法,无须繁琐的几何作图和复杂的数学解析,仅需遵循绘制根轨迹的基本原则和一些定性的分析,便完成了控制系统的设计,达到了预期的性能指标,方法简单、快捷,对于高阶控制系统的设计具有一定的参考价值。
2 控制对象的建模及其分析[3,4]
若忽略各种阻力和摩擦力,可将直线一级倒立摆抽象成小车和均匀质杆组成的系统,如图1所示。
图中小车质量M=1.096kg,摆杆质量m=0.109kg,半杆长l=0.25m,小车摩擦系数b=0.1N/m/sec,摆杆转动惯量I=0.0034kgm2,重力加速度g=9.8m/s2,φ是摆杆与垂线向上的夹角(rad),x是小车的水平位移(m),u是加在小车上的控制。倒立摆是一个多变量系统,而经典控制理论研究的对象主要是单输入单输出的系统,因此本文只探讨对摆杆角度的平衡控制问题。运用牛顿力学定律建立系统的运动方程,消掉中间变量,将方程在平衡点(φ=0,x=0)附近线性化处理,经过整理后可以得到以控制u为输入、摆杆角度φ为输出的倒立摆对象开环传递函数为:
其中q=[(M+m)(I+ml 2)-(ml)2]
代入实际参数后:
对控制对象的模型分析如下:
(1)开环零极点
一个零点:z0=0(原点处);
三个极点:p1=-5.2780,p2=-0.0830,p3=5.2727(在右半平面)。
(2)校正前开环传递函数的根轨迹如图2(a)所示,由于存在一个右极点,系统肯定不稳定,其脉冲响应如图2(b)所示。
3 根轨迹法的控制系统设计[5,6]
控制系统原理如图3(a)所示,在图中输出被控量y为摆杆与垂直线的夹角,输入给定r=0,即摆杆垂直角度的控制目标为零,f是对系统施加的脉冲扰动,u是加在小车上的控制。考虑到给定r=0,原理图变换成图3(b)所示。
系统设计的性能指标要求为:试设计控制器以产生合适的控制u,使得摆杆能够克服外界脉冲扰动f的影响,以较小的超调量σ%<1.5%,较短的调节时间ts<2s恢复到垂直平衡的位置。根轨迹法控制器设计的基本思想是借助根轨迹曲线进行控制系统的校正设计。由于决定系统性能的主导极点往往不在系统的根轨迹上,而添加开环零点或极点可使根轨迹曲线发生改变,因此只要在s平面恰当的位置增添开环零点或极点,使得闭环系统根轨迹出现的方位和形状朝有利于性能提高的方向变化,就能够达到期望的性能指标要求。下面将详细介绍校正设计的全过程。
第1步:在原点处添加一个极点p0=0,抵消掉原点处的零点z0=0。这是对图2(a)的根轨迹图分析后采取的初步策略。这时根轨迹变为图4,还剩下三个极点:p1=-5.2780,p2=-0.0830,p3=5.2727,它们是对应的三条根轨迹的起点,其中第一条起于p1,在负实轴上向左终止于无限远处,而后两条根轨迹在正实轴上会合后分别向上向下分离,并分别沿着与正实轴成±60度的两条渐近线,向右半平面终止于无限远处,它们永远不会到达左半平面,系统不会稳定。
第2步:基于主导极点的初步校正。为了使系统稳定,而且还要满足期望的性能指标,必须设法使右半平面的两条根轨迹“调头”转向左半平面,而且迫使它们的方位和形状有利于改善系统的稳定性和动态性能。根据根轨迹“起于开环极点,终止于开环零点”和“对称于实轴”的基本规律,应在左半平面“恰当地”添加两个开环零点z1和z2,问题的关键是如何确定z1和z2的具体位置。由于根轨迹的实质是系统闭环特征根在s平面上变化的轨迹,因此要确定两个零点,即“终点”的位置,必须首先研究根轨迹“路径”即特征根所应遵循的规律。
由于倒立摆是一个高阶系统,它应具有一对共轭主导极点,其位置对系统动态性能起决定性的影响,因此可把系统近似成二阶欠阻尼系统来处理,相应地可把对系统性能指标要求转化为对系统希望的主导极点位置的要求[5]。本文中对系统期望的性能指标为:超调量σ%<1.5%,调节时间ts<2s。图5展示了二阶欠阻尼系统闭环极点位置、结构参数与动态性能的关系。根据对性能指标超调量的要求σ%<1.5%,对应的阻尼比ξ>0.8,图中β=arcosξ=arcos0.8≈37°,则可确定期望的主导极点应位于图中β<37°且β>-37°虚线夹角的扇形区域内。对调节时间ts<2s,由ts=4/ξωn得ξωn=4/ts=4/2=2,可知希望的主导极点应在图中垂直虚线(小于-2)之左。现在要同时满足超调量和调节时间的指标,希望的极点应位于图5中黑线区域以内。
通过对闭环极点的位置与动态性能关系的进一步研究表明[5,6]:要提高系统的平稳性以减小响应超调,应使闭环极点靠近实轴;要提高系统的快速性,则闭环极点应远离虚轴;要求动态过程尽快结束,应该使闭环极点在容许的区域内远离原点。但闭环极点距离虚轴或原点也不宜过远,否则控制力会过大,在系统结构参数和硬件上会受到制约。综合上述的分析并根据实践经验,可以将“希望的主导极点范围”限制在图5中下列区域:(1)必须在黑线区域以内;(2)尽量靠近负实轴;(3)相对比较靠近-2垂直线。
参考上述主导极点的范围,确定两个零点的位置就比较有把握了。为使问题简化,取两个实数零点,初步将两个零点确定在负实轴上的z1=-2和z2=-3的位置,此时绘制的根轨迹如图6(a)所示,根轨迹的“形状”达到了预期的目的:使右半平面的两条根轨迹“调头”转向了左半平面,在负实轴上会合后,终止于这两个零点。
第3步:检验控制系统的性能指标。通过第1步和第2步,共添加了一个开环极点和两个开环零点,为了检验校正后控制系统的性能指标,根据图3的原理图,在Matlab环境下编写程序代码,构建倒立摆闭环控制系统,以单位脉冲信号来模拟干扰输入f,计算并观察闭环系统的单位脉冲响应输出y,程序中充分利用了Matlab提供的函数rlocfind[7],它能使用户非常容易得到根轨迹上的极点对应的根轨迹增益K,使得程序设计非常简便。在图6(a)的根轨迹上,在其“希望的主导极点范围”段上选取了一对闭环极点-2.48+0.09i和-2.48-0.09i,并返回了增益值K=85.5871来求取相应的闭环脉冲响应。此时摆杆角度的单位脉冲响应如图6(b)所示,可以看出系统的稳定性和超调量满足要求,但调节时间ts>3s较长,系统性能还有进一步完善的空间。
第4步:进一步完善的校正。根据前面的研究表明,为了缩短调节时间,应将主导点的位置向左做适当移动,这只需将两个开环零点的位置向左适当移动,经过进一步调整,最终将两个零点的位置确定为z1=-3和z2=-4。此时的根轨迹如图7(a),按照与前面同样的原则和方法,最终得到的单位脉冲响应图7(b)。系统的性能得到了提高,基本达到了预期的设计目标。通过上述探讨作出如下总结。
实际的控制对象通常复杂多样,有时可不拘泥于固定的方式,需要具体问题具体分析,设计方法越简单快捷越好。因此在着手进行根轨迹校正之前,要对控制对象的零极点分布情况、根轨迹曲线的特点和对象的特性进行认真的研究和分析。
对于高阶或复杂系统的校正,通常不能一步到位,往往需要几个步骤才能完成。本文首先在原点处添加一个极点消掉那里的零点,可使得下一步的校正工作更为简化。
采用根轨迹校正法要遵循根轨迹的基本法则,灵活运用,不必抠得太死,面面俱到;开环零极点对根轨迹曲线的影响乃至对闭环系统性能的影响是根轨迹校正法的基础和灵魂。
本文的“主导极点法”是将高阶系统近似成二阶系统的处理方法,是一种很近似的工程设计方法,实际中要具体问题具体分析,灵活应用,不容易一步到位,往往还需根据实际情况进行反复校正。
4 结束语
本文针对倒立摆控制系统的设计问题,采用了一种根轨迹方法,完成了控制系统的设计,满足了预期的性能指标。它以达到性能指标为目的,以分析和改进根轨迹曲线为主要手段,无须常规方法的几何作图或数学解析,设计过程简单、直观、快捷,对于高阶控制系统的设计具有一定的参考价值。
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倒立摆系统论文
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