理科数列高考试题

理科数列高考试题（精选6篇）

理科数列高考试题 第1篇

近六年广东理科数学高考数列命题特点

通过分析近六年广东理科数学数列考题，总结如下：数列题年年有但难度波动较大，其中2007年、2008年、2011年、2012年均与已知递推关系求数列的通项公式有关，2008年，、2009年、2011年、2012年与不等式证明有关，2007年、2008年、2012年与数列求和有关。值得关注的试题类型：

1.证明一个数列是等差（等比）数列（注意最后下结论时要写上以谁为首项，谁为公差（或公比）的数列；

2.知数列是等差、等比数列，已知五个元素a1,an,n,Sn,d或q中的任意三个，运用方程的思想，求出其余两个，即“知三求二”。

3.求数列的通项公式（方法有：定义法、累加法、累乘法、迭代法等）。(1)已知Sn，求an.(2)

anAan1Ban2，an对递推数列模型要适当掌握，如anpan1f(n)，Aan1B

Can1D

2Aan1B和an等等，此类题目一般具有较好的区分功能，题目有明显的铺垫，问与问Can1D

之间联系紧密，往往承上启下。应试者要善于运用题目的设问，顺着出题者的“桥梁”走，正确把握出题者的意图。此类题目另一特点是综合性强，几乎涵盖了等差数列，等比数列的全部基本知识和基本技能，往往还牵涉不等式证明。

4.求数列的前n项的和（方法有：倒序相加，错位相减，裂项相消，拆项组合，公式法）。

5．数列是特殊的函数，在数列问题中常常隐藏对函数问题的考察，注意运用函数的性质证明不等式（如2009年），或证明函数单调性后通过赋值证明数列不等式，都应引起我们的重视。

6.数列问题还常常与不等式的证明，不等式恒成立结合在一起，证明不等式的常用方法有放缩法，数学归纳法，构造函数法，综合法，分析法，反证法等等，应注意使用基本不等式，二项式定理。

理科数列高考试题 第2篇

1、A2、A3、B4、C5、D6、A7、624;

8、52;

9、2;

10、①②

11、解 ∵a3＋a13＝2a8，a3＋a8＋a13＝12，∴a8＝4，a3＋a13＝8，a3＝1，a3＝7，则由已知得解得或 a3a13＝7，a13＝7，a13＝1.a13－a37－13334由a3＝1，a13＝7，可知d＝＝故an＝a3＋(n－－； 10555513－3

a13－a31－73－3＝－3n44由a3＝7，a13＝1，可知d＝＝.故an＝a3＋(n－3)·51055513－3

34344综上可得，an＝n－，或an＝－n＋.5555

nn＋3

12、(1)证明 ∵a＝(n，Sn)，b＝(4，n＋3)共线，∴n(n＋3)－4Sn＝0，∴Sn＝ 4

n＋1n＋11∴a1＝S1＝1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，a1＝1满足此式，∴an＝∴an＋1－an＝，222

1∴数列{an}为首项为1，公差为的等差数列． 2

1112(2)解 ∵2nn＋1，nannn＋1

112n1111111－－∴Tn＝＋…＋＝22＋223＋…＋2nn＋1＝a12a2nann＋1.＋

13、(1)证明 f(an)＝4＋(n－1)×2＝2n＋2，即logaan＝2n＋2，可得an＝a2n2.＋＋a2n2a2n2

2a∴－＋＝a(n≥2)为定值．∴{an}为以a2为公比的等比数列． aan－1a

＋＋＋(2)解 bn＝anf(an)＝a2n2logaa2n2＝(2n＋2)a2n2.＋＋当a＝2时，bn＝(2n＋2)2n2＝(n＋1)2n2.＋Sn＝2·2＋3·24＋4·25＋…＋(n＋1)·2n2，①

＋＋2Sn＝2·24＋3·25＋4·26＋…＋n·2n2＋(n＋1)·2n3，②

＋＋①－②，得－Sn＝2·23＋24＋25＋…＋2n2－(n＋1)·2n3

－241－2n1＋＋＋＋＋＝16＋－(n＋1)·2n3＝16＋2n3－24－n·2n3－2n3＝－n·2n3.1－2

＋∴Sn＝n·2n3.214、解：设该地区总面积为1,2006年底绿化面积为a1＝，经过n年后绿洲面积为an＋1，设5

2006年底沙漠面积为b1，经过n年后沙漠面积为bn＋1，则a1＋b1＝1，an＋bn＝1 43343∴an＋1＝92%·an＋12%(1－an)＝an＋，即an＋1＝an－． 525555314314n∴{an－}an＋1＝－().555555

1314n141lg 2∵an＋1>50%，∴－()>∴()nlog4＝≈3 5552521－3lg 225

如何应对高考数列问题 第3篇

一、夯实基础, 加深理解

高考作为一种选拔性考试, 试题设置有容易题、中档题、难度题。即使是有区分度的难题, 那些基础扎实的考生也能得分, 故在常规教学中, 教师应让学生打下扎实的基础, 注重对等差数列、等比数列概念及其相关性质的教学, 让学生能充分利用等差、等比数列公式求解相应的基础题、中档题, 力争会解难度题。

如高考题:已知等差数列{an}中, 前n项和为sn, 且s10=100, s100=10, 求s110的值。

很多考生由于对数列是等差数列, 以及等差数列的性质理解不深刻, 导致失分。事实上, 只要学生基础扎实, 对等差数列性质理解透彻, 由数列{an}是等差数列, 则an=a1+ (n-1) d, am=a1+ (m-1) d, 那么不难得出 (其中n≠m, d为公差) , 同时也可从通项公式an=a1+ (n-1) d=dn+ (a1-d) 理解, 将直线方程与之类比, 公差d正好是斜率, 于是得到问题的简单解法:由从而解得s110=-110。由此可见, 夯实基础, 加深理解是何等重要。

二、注重学法指导, 培养分析、综合、归纳能力

学生对事物的认识遵循从感性到理性, 由浅入深的规律。当学生对等差、等比数列的学习有了一定的基础之后教师应对学法进行指导, 加强分析、综合、归纳的点拨, 构建学生知识体系, 提升学生认知水平, 培养学生高考解题能力。

如:在学了等差等比数列通项公式后, 师生对数列这一章进行反思、分析、综合, 最后可归纳出求递推数列通项公式的一般思路和方法:

类型1:an+1-an=d (d为常数)

类型2: (q为常数)

类型3:an+1=λan+c (其中λ为常数且不等于0和1)

类型4:an+1-an=f (n) (其中f (n) 可求和)

类型5:an+1=λan+f (n) (其中可求和)

类型6:an+1=anα (其中an不为0, α∈R)

类型7:给Sn与an的关系, 求出通项公式。

对于类型1、类型2它们分别是等差、等比数列, 可按相应公式求出通项公式。

对于类型3:an+1=λan+c可设 (an+1+x) =λ (an+x) ,

展开得an+1=λan+ (λ-1) x,

从而令 (λ-1) x=c, 即即数列为首项, λ为公比的数列, 从而可求出an的表达式。

对于类型4:已知an+1-an=f (n) (其中f (n) 为可求和) , 那么有:an= (an-an-1) + (an-1-an-2) ++ (a2-a1) +a1,

即有an=f (n-1) +f (n-2) ++f (1) +a1,

这样求出f (n-1) +f (n-2) ++f (1) +a1, 即可得an。

对于类型5:由an+1=λan+f (n) 两边同时除以λn+1, 得

从而可得an。

对于类型6:已知an+1=anα (其中an≠0, α∈R) , 则两边取对数得logban+1=αlogban (其中b>0, 且b≠1) 。

那么数列为首项, α为公比的等比数列, 可求出an。

对于类型7:若给定Sn与an的关系, 求通项公式an。

三、加强变式教学指导, 培养答题思维

近几年来, 高考解答题部分与数列问题相关的内容有一定难度, 对于学生的学习能力、分析和解决问题的能力要求有一定提高, 它不仅要求学生有扎实的基础, 而且要求学生善于联想与转化, 能把一个新问题进行变式, 转化为熟悉的问题。认真分析近几年高考的变化趋势, 教师应注重培养学生创新思维, 加强学法指导, 使学生能寻求解决问题的突破口和方法。

例6: (2007天津) 在数列{an}中, a1=1, 且an+1=4an-3n+1 (n∈n+) ,

(1) 证明:数列{an-n}是等比数列。

例7: (2008全国Ⅱ) 设数列{an}的前n项和为Sn, a1=a, an+1=Sn+3n,

(1) 设bn=Sn-3n, 求数列{bn}的通项公式。

例8: (2008四川卷) 设数列{an}的前n项和为Sn, 已知:ban-2n= (b-1) Sn,

(1) 证明:当b=2时, 数列{an-n2n-1}是等比数列。

这几道高考试题, 对学生来说都有一定难度, 如何找到解决问题的突破口和方法是教师与学生需要共同面对的问题。其实, 在平时教学中我们如果能让学生尽量多角度去思考, 尽量寻求不同的解法, 不断创新, 拓展思维, 提高解题能力和创新能力, 这类题就是小菜一碟。

经过认真的观察和分析, 不难发现以上问题都有一定的相似性, 都是一个递推关系, 求解与之相关的另一个数列的通项公式或求证与之相关的另一个数列是等比或等差数列。在结构上有可类比之处。另外, 已知和未知间有一定的暗示, 我们不妨在“猜”与“凑”之间猜测解题的方向与突破口, 把已知的递推关系向所要求解的未知方向上转化、变形, 寻找他们的内在联系, 不失为一种科学的态度和方法。基于此:

例6:已知:a1=1, an+1=4an-3n+1, 未知:求证数列{a1-n}是等比数列。

联想:将数列{an+1-an}看作一个新数列, 则它的第 (n+1) 项应为an+1- (n+1) ,

从而将an+1=4an-3n+1两边同时减去 (n+1) ,

并化简得[an+1- (n+1) ]=4[an-n], 从而问题解决。

例7:已知:an+1=Sn+3n, 未知:求bn=Sn-3n的通项公式。

解题方向:变形、转化出bn+1=sn+1-3n+1

联想:an+1=Sn+3n, 消去an+1用an+1与sn+1的关系,

从而:sn+1-Sn=Sn+3n, 即sn+1=2Sn+3n,

两边减去3n+1得sn+1-3n+1=2Sn+3n-3n+1=2 (Sn-3n) ,

到此问题得解。

例8:把b=2代入已知得:

已知:2an-2n=Sn, 未知:求证数列{an-n2n-1}是等比数列。

猜想解题方向:将已知转化、变形,

使之产生得 (an+1- (n+1) 2n) , (an-n2n-1) , (an-1- (n-1) 2n-2) 这样的项。

故首先考虑消去Sn, 用Sn与an的关系, 则由2an-2n=Sn (1)

将 (1) - (2) 得an=2an-1+2再两边减去n2n-1得an-n2n-1=2an-1+2-2n-1=2 (an-1- (n-1) 2n-2) ,

从而数列{an-n2n-1}是等比数列。

摘要：高考数列是一个难点, 我省考生得分率较低。如何应对这一情况, 本文从三方面进行了分析与论述。

高考数列试题的分类点评和解析 第4篇

第一大类只考查数列本身的知识，此类题目又可分为四个类型

A型：考查考生对等差数列和等比数列的概念、性质、通项公式、求和公式以及其它求和方法的掌握情况，题目容易，基本不用拐弯，大部分考生都可轻松完成。此类题目属于容易题，也是高考出现频率最高的题。备考时，一定要加强对等差数列和等比数列的概念的理解，对通项公式、求和公式充分掌握；对分组求和法、错位相减法、裂项相消法 、倒序相加法、并项求和法等求和要熟练掌握；对教材中推导通项公式的累加法、累乘法要做到灵活运用。

B型：考查公式：an=S1，（n=1）

Sn-Sn-1，（n≥2）

例1.（2013年高考广东卷（文））设各项均为正数的数列｛an｝的前n项和为Sn，满足4Sn=[an+1][2]-4n-1，n∈N∗且a2，a5，a14构成等比数列.

（1）证明：a2=；

（2）求数列｛an｝的通项公式；

（3）证明：对一切正整数n，有++…+<.

【解析】（略）

点评：此类题目所给的条件是和“Sn”与通项“an”混合的式子，属于中档题。解题的关键在于对变量的统一，即根据关系式an=S1，（n=1）

Sn-Sn-1，（n≥2），把“和”化为“通项”或把“通项”化为“和”，一般若是求an，就先消去Sn；若是求Sn，就先消去an，然后对已知等式作等价变形，把问题转化为等差、等比数列或其它特殊数列来求解，就可以完成题目的解答。当然有时也采用以退为进的办法，求的是an，却偏偏先消去an，先求Sn后再求an，因此构造新数列时要抓住题目的信息，不能乱变形，同时，此类问题易错的地方是许多考生没有对n进行分类讨论，导致丢失了n=1的情况。广东高考文科数学2012年、2013 年已连续两年出现了这类题。

C型：双数列题

例2.（2012高考浙江文19） 已知数列｛an｝的前n项和为Sn，且Sn=2n2+n，n∈N∗，数列｛bn｝满足an=4log2bn+3，n∈N﹡.

（1）求an，bn；（节选）

【解析】：由Sn=2n2+n，n∈N∗，得：当n=1时，a1=S1=3；

当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n2+n-［2（n-1）2+（n-1）］=4n-1，n∈N﹡.

由an=4log2bn+3，得bn=2n-1

例3.（2012高考江苏20）已知各项均为正数的两个数列｛an｝和｛bn｝满足：an+1=，n∈N∗，

（1）设bn+1=1+，n∈N∗，求证：数列｛（）2｝是等差数列；（节选）

【解析】（略）

点评：此类题目难易不定，高考出现的频率较高。一般解题思路是先求出an（或bn）， 再利用已知就可以求出bn（或an），或者联立解方程组，或者联立变形。

D型：考查数列知识的综合性题目。此类题目难度较大，充分考查数列的相关知识，特别是由数列的递推关系求解数列的通项公式是近几年高考的热门考点之一，而对于一阶分式型递推式的通项公式的求法，更是作为一大难点常在高考中出现。

例4.（2011年高考广东卷理科20）设b>0，数列｛an｝满足a1=b，an=（n≥2），

（1）求数列｛an｝的通项公式；（节选）

【解析】：（1）由a1=b>0，知an=>0，=+.

令An=，A1=，

当n≥2时，An=+An-1

=++…++A1

=++…++.

①当b≠2时，An==，②当b=2时，An=.

an=

，b≠2

2，b=2

点评：此类题目属于难题。全面考查考生的数列基本功，特别是已知递推关系，求通项公式的能力。备考时，对形如an=kan-1+b、an=kan-1+bn（k，b为常数）、an=、an+2=pan+1+qan的递推数列求通项公式要熟练掌握。一般来说，只要求出了通项公式，其它问题也就迎刃而解了。

第二大类数列知识与其他数学知识的交汇性试题

将数列与函数、不等式、三角、导数等综合在一起的题目，在近几年各地高考试题中都有出现。

例5.（2009广东文20）已知点（1，）是函数f（x）=ax（a>0，且a≠1）的图像上一点。等比数列｛an｝的前n项和为f（n）-c，数列｛bn｝（bn>0）的首项为c，且前n项和Sn满足Sn-Sn-1=+（n≥2）。

（1）求数列｛an｝和｛bn｝的通项公式；（节选）

【解析】（略）

例6.（2013年高考广东数学（理））设数列｛an｝的前n项和为Sn.已知a1=1，=an+1-n2-n-，n∈N∗.

（1）求a2的值；

（2）求数列｛an｝的通项公式；

（3）证明：对一切正整数n，有++…+<.

【解析】（略）

点评：数列与函数、不等式、三角、导数等的综合题目，只要轻轻摘去函数、不等式、三角、导数这层“面纱”，立即露出数列的“庐山真面目”，也就是求通项公式和求和问题。

第三大类 数列应用题

例7.（2011年高考陕西卷理科14）植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为 （米）。

【解析】：设树苗集中放置在第i号坑旁边，则20名同学往返所走的路程总和为

l=2［（i-1）+（i-2）+…+2+1+1+

2+…+（19-i）+（20-i）］×10

=（i2-21i+210）×20=［（i-）2+］×20即i=10或11时lmin=2000

例8.（2012高考湖南文20）某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产，该企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%，预计以后每年资金年增长率与第一年的相同。公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产。设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元。

（Ⅰ）用d表示a1，a2，并写出an+1与an的关系式；

（Ⅱ）若公司希望经过m（m≥3）年使企业的剩余资金为4000万元，试确定企业每年上缴资金d的值（用m表示）.

【解析】（Ⅰ）由题意得a1=2000（1+50%）-d=3000-d，

a2=a1（1+50%）-d=a1-d，所以an+1=an（1+50%）-d=an-d.

（Ⅱ）由（Ⅰ）得an=an-1-d=（）2an-2-d-d=（an-2-d）-d

=…=（）n-1a1-d［1++（）2+

…+（）n-2］.

整理得an=（）n-1（3000-d）-2d［（）n-1-1］=（）n-1（3000-3d）+2d.

由题意，an=4000，∴（）n-1

（3000-3d）+2d=4000，

解得d==.

故该企业每年上缴资金d的值为缴时，经过m（m≥3）年企业的剩余资金为4000万元。

点评：解等差、等比数列应用题时，首先要认真审题，深刻理解问题的实际背景，理清蕴含在语言中的数学关系，把应用问题抽象为数学中的等差、等比数列问题，然后利用等差、等比数列知识求解。此类题目，体现了把实际问题数学化的能力，也就是所谓的数学建模能力。

总之，高考数列有难有易。易的是等差、等比数列的通项公式和求和方法，难的是转化，要求考生具有较强的数学能力。备考时一定要因人而异，做到容易题不放过，难题尽力就可以了。

责任编辑 邹韵文

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数列，既是高中数学必修内容，又是高等数学的重要基石，各个省、市的高考都把它作为最重要的考查内容。从近几年的高考试题看，有关数列的试题在每年的高考试题中一般是一大一小，所占比例较大，这是因为数列知识是考查学生转化和化归、分类讨论、推理论证及探索问题能力的重要题源，容易命制背景新颖的试题，较好地体现高考的选拔功能。很多考生在备考时，总觉得数列试题很难、好乱，不知道如何复习和总结。其实，总结近几年的高考考点可知，数列试题基本可分为以下三大类。

第一大类只考查数列本身的知识，此类题目又可分为四个类型

A型：考查考生对等差数列和等比数列的概念、性质、通项公式、求和公式以及其它求和方法的掌握情况，题目容易，基本不用拐弯，大部分考生都可轻松完成。此类题目属于容易题，也是高考出现频率最高的题。备考时，一定要加强对等差数列和等比数列的概念的理解，对通项公式、求和公式充分掌握；对分组求和法、错位相减法、裂项相消法 、倒序相加法、并项求和法等求和要熟练掌握；对教材中推导通项公式的累加法、累乘法要做到灵活运用。

B型：考查公式：an=S1，（n=1）

Sn-Sn-1，（n≥2）

例1.（2013年高考广东卷（文））设各项均为正数的数列｛an｝的前n项和为Sn，满足4Sn=[an+1][2]-4n-1，n∈N∗且a2，a5，a14构成等比数列.

（1）证明：a2=；

（2）求数列｛an｝的通项公式；

（3）证明：对一切正整数n，有++…+<.

【解析】（略）

点评：此类题目所给的条件是和“Sn”与通项“an”混合的式子，属于中档题。解题的关键在于对变量的统一，即根据关系式an=S1，（n=1）

Sn-Sn-1，（n≥2），把“和”化为“通项”或把“通项”化为“和”，一般若是求an，就先消去Sn；若是求Sn，就先消去an，然后对已知等式作等价变形，把问题转化为等差、等比数列或其它特殊数列来求解，就可以完成题目的解答。当然有时也采用以退为进的办法，求的是an，却偏偏先消去an，先求Sn后再求an，因此构造新数列时要抓住题目的信息，不能乱变形，同时，此类问题易错的地方是许多考生没有对n进行分类讨论，导致丢失了n=1的情况。广东高考文科数学2012年、2013 年已连续两年出现了这类题。

C型：双数列题

例2.（2012高考浙江文19） 已知数列｛an｝的前n项和为Sn，且Sn=2n2+n，n∈N∗，数列｛bn｝满足an=4log2bn+3，n∈N﹡.

（1）求an，bn；（节选）

【解析】：由Sn=2n2+n，n∈N∗，得：当n=1时，a1=S1=3；

当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n2+n-［2（n-1）2+（n-1）］=4n-1，n∈N﹡.

由an=4log2bn+3，得bn=2n-1

例3.（2012高考江苏20）已知各项均为正数的两个数列｛an｝和｛bn｝满足：an+1=，n∈N∗，

（1）设bn+1=1+，n∈N∗，求证：数列｛（）2｝是等差数列；（节选）

【解析】（略）

点评：此类题目难易不定，高考出现的频率较高。一般解题思路是先求出an（或bn）， 再利用已知就可以求出bn（或an），或者联立解方程组，或者联立变形。

D型：考查数列知识的综合性题目。此类题目难度较大，充分考查数列的相关知识，特别是由数列的递推关系求解数列的通项公式是近几年高考的热门考点之一，而对于一阶分式型递推式的通项公式的求法，更是作为一大难点常在高考中出现。

例4.（2011年高考广东卷理科20）设b>0，数列｛an｝满足a1=b，an=（n≥2），

（1）求数列｛an｝的通项公式；（节选）

【解析】：（1）由a1=b>0，知an=>0，=+.

令An=，A1=，

当n≥2时，An=+An-1

=++…++A1

=++…++.

①当b≠2时，An==，②当b=2时，An=.

an=

，b≠2

2，b=2

点评：此类题目属于难题。全面考查考生的数列基本功，特别是已知递推关系，求通项公式的能力。备考时，对形如an=kan-1+b、an=kan-1+bn（k，b为常数）、an=、an+2=pan+1+qan的递推数列求通项公式要熟练掌握。一般来说，只要求出了通项公式，其它问题也就迎刃而解了。

第二大类数列知识与其他数学知识的交汇性试题

将数列与函数、不等式、三角、导数等综合在一起的题目，在近几年各地高考试题中都有出现。

例5.（2009广东文20）已知点（1，）是函数f（x）=ax（a>0，且a≠1）的图像上一点。等比数列｛an｝的前n项和为f（n）-c，数列｛bn｝（bn>0）的首项为c，且前n项和Sn满足Sn-Sn-1=+（n≥2）。

（1）求数列｛an｝和｛bn｝的通项公式；（节选）

【解析】（略）

例6.（2013年高考广东数学（理））设数列｛an｝的前n项和为Sn.已知a1=1，=an+1-n2-n-，n∈N∗.

（1）求a2的值；

（2）求数列｛an｝的通项公式；

（3）证明：对一切正整数n，有++…+<.

【解析】（略）

点评：数列与函数、不等式、三角、导数等的综合题目，只要轻轻摘去函数、不等式、三角、导数这层“面纱”，立即露出数列的“庐山真面目”，也就是求通项公式和求和问题。

第三大类 数列应用题

例7.（2011年高考陕西卷理科14）植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为 （米）。

【解析】：设树苗集中放置在第i号坑旁边，则20名同学往返所走的路程总和为

l=2［（i-1）+（i-2）+…+2+1+1+

2+…+（19-i）+（20-i）］×10

=（i2-21i+210）×20=［（i-）2+］×20即i=10或11时lmin=2000

例8.（2012高考湖南文20）某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产，该企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%，预计以后每年资金年增长率与第一年的相同。公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产。设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元。

（Ⅰ）用d表示a1，a2，并写出an+1与an的关系式；

（Ⅱ）若公司希望经过m（m≥3）年使企业的剩余资金为4000万元，试确定企业每年上缴资金d的值（用m表示）.

【解析】（Ⅰ）由题意得a1=2000（1+50%）-d=3000-d，

a2=a1（1+50%）-d=a1-d，所以an+1=an（1+50%）-d=an-d.

（Ⅱ）由（Ⅰ）得an=an-1-d=（）2an-2-d-d=（an-2-d）-d

=…=（）n-1a1-d［1++（）2+

…+（）n-2］.

整理得an=（）n-1（3000-d）-2d［（）n-1-1］=（）n-1（3000-3d）+2d.

由题意，an=4000，∴（）n-1

（3000-3d）+2d=4000，

解得d==.

故该企业每年上缴资金d的值为缴时，经过m（m≥3）年企业的剩余资金为4000万元。

点评：解等差、等比数列应用题时，首先要认真审题，深刻理解问题的实际背景，理清蕴含在语言中的数学关系，把应用问题抽象为数学中的等差、等比数列问题，然后利用等差、等比数列知识求解。此类题目，体现了把实际问题数学化的能力，也就是所谓的数学建模能力。

总之，高考数列有难有易。易的是等差、等比数列的通项公式和求和方法，难的是转化，要求考生具有较强的数学能力。备考时一定要因人而异，做到容易题不放过，难题尽力就可以了。

责任编辑 邹韵文

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数列，既是高中数学必修内容，又是高等数学的重要基石，各个省、市的高考都把它作为最重要的考查内容。从近几年的高考试题看，有关数列的试题在每年的高考试题中一般是一大一小，所占比例较大，这是因为数列知识是考查学生转化和化归、分类讨论、推理论证及探索问题能力的重要题源，容易命制背景新颖的试题，较好地体现高考的选拔功能。很多考生在备考时，总觉得数列试题很难、好乱，不知道如何复习和总结。其实，总结近几年的高考考点可知，数列试题基本可分为以下三大类。

第一大类只考查数列本身的知识，此类题目又可分为四个类型

A型：考查考生对等差数列和等比数列的概念、性质、通项公式、求和公式以及其它求和方法的掌握情况，题目容易，基本不用拐弯，大部分考生都可轻松完成。此类题目属于容易题，也是高考出现频率最高的题。备考时，一定要加强对等差数列和等比数列的概念的理解，对通项公式、求和公式充分掌握；对分组求和法、错位相减法、裂项相消法 、倒序相加法、并项求和法等求和要熟练掌握；对教材中推导通项公式的累加法、累乘法要做到灵活运用。

B型：考查公式：an=S1，（n=1）

Sn-Sn-1，（n≥2）

例1.（2013年高考广东卷（文））设各项均为正数的数列｛an｝的前n项和为Sn，满足4Sn=[an+1][2]-4n-1，n∈N∗且a2，a5，a14构成等比数列.

（1）证明：a2=；

（2）求数列｛an｝的通项公式；

（3）证明：对一切正整数n，有++…+<.

【解析】（略）

点评：此类题目所给的条件是和“Sn”与通项“an”混合的式子，属于中档题。解题的关键在于对变量的统一，即根据关系式an=S1，（n=1）

Sn-Sn-1，（n≥2），把“和”化为“通项”或把“通项”化为“和”，一般若是求an，就先消去Sn；若是求Sn，就先消去an，然后对已知等式作等价变形，把问题转化为等差、等比数列或其它特殊数列来求解，就可以完成题目的解答。当然有时也采用以退为进的办法，求的是an，却偏偏先消去an，先求Sn后再求an，因此构造新数列时要抓住题目的信息，不能乱变形，同时，此类问题易错的地方是许多考生没有对n进行分类讨论，导致丢失了n=1的情况。广东高考文科数学2012年、2013 年已连续两年出现了这类题。

C型：双数列题

例2.（2012高考浙江文19） 已知数列｛an｝的前n项和为Sn，且Sn=2n2+n，n∈N∗，数列｛bn｝满足an=4log2bn+3，n∈N﹡.

（1）求an，bn；（节选）

【解析】：由Sn=2n2+n，n∈N∗，得：当n=1时，a1=S1=3；

当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n2+n-［2（n-1）2+（n-1）］=4n-1，n∈N﹡.

由an=4log2bn+3，得bn=2n-1

例3.（2012高考江苏20）已知各项均为正数的两个数列｛an｝和｛bn｝满足：an+1=，n∈N∗，

（1）设bn+1=1+，n∈N∗，求证：数列｛（）2｝是等差数列；（节选）

【解析】（略）

点评：此类题目难易不定，高考出现的频率较高。一般解题思路是先求出an（或bn）， 再利用已知就可以求出bn（或an），或者联立解方程组，或者联立变形。

D型：考查数列知识的综合性题目。此类题目难度较大，充分考查数列的相关知识，特别是由数列的递推关系求解数列的通项公式是近几年高考的热门考点之一，而对于一阶分式型递推式的通项公式的求法，更是作为一大难点常在高考中出现。

例4.（2011年高考广东卷理科20）设b>0，数列｛an｝满足a1=b，an=（n≥2），

（1）求数列｛an｝的通项公式；（节选）

【解析】：（1）由a1=b>0，知an=>0，=+.

令An=，A1=，

当n≥2时，An=+An-1

=++…++A1

=++…++.

①当b≠2时，An==，②当b=2时，An=.

an=

，b≠2

2，b=2

点评：此类题目属于难题。全面考查考生的数列基本功，特别是已知递推关系，求通项公式的能力。备考时，对形如an=kan-1+b、an=kan-1+bn（k，b为常数）、an=、an+2=pan+1+qan的递推数列求通项公式要熟练掌握。一般来说，只要求出了通项公式，其它问题也就迎刃而解了。

第二大类数列知识与其他数学知识的交汇性试题

将数列与函数、不等式、三角、导数等综合在一起的题目，在近几年各地高考试题中都有出现。

例5.（2009广东文20）已知点（1，）是函数f（x）=ax（a>0，且a≠1）的图像上一点。等比数列｛an｝的前n项和为f（n）-c，数列｛bn｝（bn>0）的首项为c，且前n项和Sn满足Sn-Sn-1=+（n≥2）。

（1）求数列｛an｝和｛bn｝的通项公式；（节选）

【解析】（略）

例6.（2013年高考广东数学（理））设数列｛an｝的前n项和为Sn.已知a1=1，=an+1-n2-n-，n∈N∗.

（1）求a2的值；

（2）求数列｛an｝的通项公式；

（3）证明：对一切正整数n，有++…+<.

【解析】（略）

点评：数列与函数、不等式、三角、导数等的综合题目，只要轻轻摘去函数、不等式、三角、导数这层“面纱”，立即露出数列的“庐山真面目”，也就是求通项公式和求和问题。

第三大类 数列应用题

例7.（2011年高考陕西卷理科14）植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为 （米）。

【解析】：设树苗集中放置在第i号坑旁边，则20名同学往返所走的路程总和为

l=2［（i-1）+（i-2）+…+2+1+1+

2+…+（19-i）+（20-i）］×10

=（i2-21i+210）×20=［（i-）2+］×20即i=10或11时lmin=2000

例8.（2012高考湖南文20）某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产，该企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%，预计以后每年资金年增长率与第一年的相同。公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产。设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元。

（Ⅰ）用d表示a1，a2，并写出an+1与an的关系式；

（Ⅱ）若公司希望经过m（m≥3）年使企业的剩余资金为4000万元，试确定企业每年上缴资金d的值（用m表示）.

【解析】（Ⅰ）由题意得a1=2000（1+50%）-d=3000-d，

a2=a1（1+50%）-d=a1-d，所以an+1=an（1+50%）-d=an-d.

（Ⅱ）由（Ⅰ）得an=an-1-d=（）2an-2-d-d=（an-2-d）-d

=…=（）n-1a1-d［1++（）2+

…+（）n-2］.

整理得an=（）n-1（3000-d）-2d［（）n-1-1］=（）n-1（3000-3d）+2d.

由题意，an=4000，∴（）n-1

（3000-3d）+2d=4000，

解得d==.

故该企业每年上缴资金d的值为缴时，经过m（m≥3）年企业的剩余资金为4000万元。

点评：解等差、等比数列应用题时，首先要认真审题，深刻理解问题的实际背景，理清蕴含在语言中的数学关系，把应用问题抽象为数学中的等差、等比数列问题，然后利用等差、等比数列知识求解。此类题目，体现了把实际问题数学化的能力，也就是所谓的数学建模能力。

总之，高考数列有难有易。易的是等差、等比数列的通项公式和求和方法，难的是转化，要求考生具有较强的数学能力。备考时一定要因人而异，做到容易题不放过，难题尽力就可以了。

责任编辑 邹韵文

2013高考试题分类——数列 第5篇

（1）若a1c2，求a2及a3；（2）求证：对任意nN,an1anc，；

（3）是否存在a1，使得a1,a2,an,成等差数列？若存在，求出所有这样的a1，若不

存在，说明理由.（2013四川卷）16．(本小题满分12分)在等差数列{an}中，a2a18，且a4为a2和a3的等比中项，求数列{an}的首项、公差及前n项和．

(2013上海春季卷)27．（本题满分8分）

已知数列{an}的前n项和为Snnn，数列{bn}满足bn22an*，求lim（b1b2bn）。n

(2013上海春季卷)30．（本题满分13分）本题共有2个小题，第一小题满分4分，第二小题满分9分。

在平面直角坐标系xOy中，点A在y轴正半轴上，点Pn在x轴上，其横坐标为xn，且{xn}

是首项为

1、公比为2的等比数列，记PnAPn1n，nN。

（1）若3arctan1，求点A的坐标； 3，求n的最大值及相应n的值。（2）若点A的坐标

为(0

（2013北京卷）20.(本小题共13分)

已知{an}是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为An，第n项之后各项an1，an2,…的最小值记为Bn，dn=An－Bn。

(I)若{an}为2，1，4，3，2，1，4，3，…，是一个周期为4的数列(即对任意n∈N*，an4an)，写出d1，d2，d3，d4的值；

(II)设d为非负整数，证明：dn=－d(n=1,2,3…)的充分必要条件为{an}为公差为d的等差数列；(III)证明：若a1=2，dn=1(n=1,2,3，…)，则{an}的项只能是1或者2，且有无穷多项为1.（2013湖北卷）18．已知等比数列an满足：a2a310，a1a2a3125。（I）求数列an的通项公式；（II）是否存在正整数m，使得

1？若存在，求m的最小值；若不存在，a1a2am

说明理由。

（2013广东卷）19．（本小题满分14分）

设数列an的前n项和为Sn.已知a11,(Ⅰ)求a2的值；

(Ⅱ)求数列an的通项公式；(Ⅲ)证明:对一切正整数n,有

（2013大纲卷）17．（本小题满分10分）等差数列an的前n项和为Sn，已知S3=a2，2Sn12

an1n2n,nN*.n33

1117

.a1a2an4

且S1,S2,S4成等比数列，求an的通项式。

18．（2013浙江卷）在公差为d的等差数列{an}中，已知a110，且a1,2a22,5a3成等

比数列。

（1）求d,an；（2）若d0，求|a1||a2||a3||an|.（2013天津卷）19．(本小题满分14分)已知首项为的等比数列{an}不是递减数列, 其前n2

项和为Sn(nN*), 且S3 + a3, S5 + a5, S4 + a4成等差数列.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)设TnSn

(nN*), 求数列{Tn}的最大项的值与最小项的值.Sn

（2013陕西卷）17.(本小题满分12分)设{an}是公比为q的等比数列.(Ⅰ)导{an}的前n项和公式;

(Ⅱ)设q≠1, 证明数列{an1}不是等

比数列.（2013山东卷）20．（本小题满分12分）设等差数列an的前n项和为Sn，且S44S2，a2n2an1.（Ⅰ）求数列an的通项公式；（Ⅱ）设数列bn前n项和为Tn，且 Tn

求数列cn的前n项和Rn。

（2013江西卷）17.（本小题满分12分）正项数列{an}的前项和{an}满足：

2sn(n2n1)snn(2n)0

an1

.令cnb2n(nN*).（为常数）n

（1）求数列{an}的通项公式an；（2）令bn

（2013江苏卷）19．本小题满分16分。设{an}是首项为a，公差为d的等差数列(d0)，n15*

T，数列{b}的前项和为。证明：对于任意的，都有 nNTnnnn

(n2)2a264

Sn是其前n项和。记bn

nSn*，其中c为实数。nN2

nc

（1）若c0，且b1，b2，b4成等比数列，证明：SnknSk（k,nN）；（2）若{bn}是等差数列，证明：c0。（2013江苏卷）23．本小题满分10分。

k个



1k-1

1，-2，-2,3,，3-,，3-，4-，4-，4，设数列an：（-4）1k-k，，（-）1k，即当

*

（k1）k（kk1）k1

kN时，an（-1）k，记Sna1a2annN，n22



对于lN，定义集合PlnSn是an的整数倍，nN，且1nl







（1）求集合P11中元素的个数；（2）求集合P2000中元素的个数。

(2013上海春季卷)11．若等差数列的前6项和为23，前9项和为57，则数列的前n项和

Sn=。

（2013安徽卷）14．如图，互不-相同的点A1,A2,Xn,和B1,B2,Bn,分别在角O的两条边上，所有AnBn相互平行，且所有梯形AnBnBn1An1的面积均相等。设OAnan.若

a11,a22,则数列an的通项公式是_________。

（2013北京卷）10.若等比数列{an}满足a2＋a4=20，a3＋a5=40，则公比q；前n项和Sn（2013福建卷）9．已知等比数列{an}的公比为q，记bnam(n1)1am(n1)2...am(n1)m,cnam(n1)1am(n1)2...am(n1)m(m,nN*),则以下结论一定正确的是（）

A．数列{bn}为等差数列，公差为qB．数列{bn}为等比数列，公比为qC．数列{cn}为等比数列，公比为q

m2m

2m

D．数列{cn}为等比数列，公比为q

mm

（2013大纲卷）6．已知数列an满足3an1an0,a2，则an的前10项和等于 3

10

10

613（A）



10

31331+3（B13（C）（D）

10

a11，Sn为其前n项和，（2013重庆卷）12．已知an是等差数列，公差d0，若a1,a2,a5

成等比数列，则S8_____

（2013课标卷Ⅱ）3．等比数列an的前n项和为Sn，已知S3a210a1，a59，则a1

（A）

（B）3

（C）

（D）9

（2013课标卷Ⅰ）14.若数列{an}的前n项和为Sn＝

an，则数列{an}的通项公式是33

江苏省高考试题选讲 数列 第6篇

高考试题选讲——数列

1【2004江苏】20.设无穷等差数列{an}的前n项和为Sn.3

(1)若首项a1，公差d1，求满足S2(Sk)2的正整数k；

2k

(2)求所有的无穷等差数列{an}，使得对于一切正整数k都有S2(Sk)2成立.k

2【2005江苏】23已知a1,a6,a11且(5n8)Sn1

123

⑴求A与B的值；

⑵证明：数列a为等差数列；

n

⑶证明：不等式aaa1对任何正整数m,nmnmn

(5n2)SnAnB,n1,2,3,，其中A.B

3【2006江苏】21．设数列{an}、{bn}、{c}满足：baa,ca2a3a(n1,2,3,)nnn2nnn1n2n

证明{an}为等差数列的充分必要条件是{cn}为等差数列且bb(n1,2,3,)

nn1

4【2007江苏】20．已知｛an｝是等差数列｛bn｝是公比为q的等比数列，a1=b1，a2=b2≠a1，记Sn为数列｛bn｝的前n项和。（1）若bk=am（m，k是大于2的正整数），求证：Sk-1=（m－1）a1；（4分）

（2）若b3=ai（i是某个正整数），求证：q是整数，且数列｛bn｝中每一项都是数列｛an｝中的项；（8分）

（3）是否存在这样的正数q，使等比数列｛bn｝中有三项成等差数列？若存在，写出一个q的值，并加以说明；若不存在，请

说明理由；（4分）

5【2008江苏】19.（1）设a1,a2,,an是各项均不为零的等差数列（n，且公差d0，若将此数列删去某4）的数值；②求n的所有可能值；

一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列：①当n =4时，求a1

d

（2）求证：对于一个给定的正整数n(n≥4)，存在一个各项及公差都不为零的等差数列b1,b2,,bn，其中任意三项（按原来顺序）都不能组成等比数列．

6【2009江苏】17．（本小题满分14分）

an是公差不为零的等差数列，Sn为其前n项和，满足a（1）求数列a的通项公式及前n项和Sn；（2）试求所有的正整数m，使得为数列a中的项.aa

设

n

mm1

22222a3a4a5,S77

n

am

27【2010江苏】

19、（本小题满分16分）设各项均为正数的数列

an的前n项和为Sn，已知2a2a1a3，数列Sn

是公差为d的等差数列。

（1）求数列an的通项公式（用n,d表示）；（2）设

c为实数对满足mn3k且mn的任意正整数m,n,k不等式SmSncSk都成立求证：c的最大值为9。

8.【2011江苏】20、设M为部分正整数组成的集合，数列{an}的首项a1当n>k时，Snk（1）设M=｛1｝，a2

1，前n项和为Sn，已知对任意整数k属于M，Snk2(SnSk)都成立

2，求a5的值；