均值不等式应用

均值不等式应用（精选8篇）

均值不等式应用 第1篇

教师寄语：一切的方法都要落实到动手实践中

高三一轮复习数学学案

均值不等式及其应用

一．考纲要求及重难点

要求：1.了解均值不等式的证明过程.2.会用均值不等式解决简单的最大（小）值问题.重难点：1.主要考查应用不等式求最值和不等式的证明.2.对均值不等式的考查多以选择题和填空题的形式出现，难度为中低档题，若出现证明题难度也不会太大.二．考点梳理

ab1.均值定理：；

2（1）均值不等式成立的条件是_________.（2）等号成立的条件是：当且仅当_________时取等号.（3）其中_________称为正数a,b的算术平均值，_________称为正数a，b的几何平均值.2.利用均值定理求最值

M2

1）.两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若a，b∈R，且a＋b＝M，M为定值，则ab≤，4＋

等号当且仅当a＝b时成立.简记：和定积最大。

2）.两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若a，b∈R，且ab＝P，P为定值，则a＋b≥2P，＋

等号当且仅当a＝b时成立.简记：积定和最小。

3、几个重要的不等式

（1）ab2ab(a,b∈R)（2）22ba 2(a,b同号）ab

a2b2ab2ab2()（a,bR）（3）ab()（a,bR）（4）22

2三、学情自测

1、已知a0，b0，且ab2，则（）

112222A、abB、abC、ab2D、ab3 222、给出下列不等式：①a12a212；③x221，其中正确的个数是 x1A、0B、1C、2D、31的最大值是___________。x4、长为24cm的铁丝做成长方形模型，则模型的最大面积为___________。

125.已知正数a,b，满足ab1，则的最小值为 ab3、设x0，则y33x

均值不等式及其应用第 1页（共4页）

四．典例分析

考向一：利用均值不等式求最值

212xy22x3xy4yz0,则当z取得最大值时,xyz的最大例

1、（2013山东）设正实数x,y,z满足

值为（）

A．0

B．1 9C．4 D．

3x27x10变式训练1.若x1，求函数f(x)的最大值。x

12.（2013天津数学）设a + b = 2, b>0, 则当a = ______时,考向

二、利用均值不等式证明简单不等式

例

2、已知x0,y0,z0，求证：（变式训练

2、已知a,b,c都是实数，求证：abc

2221|a|取得最小值.2|a|byzxzxy)()()8 xxyyzz1(abc)2abbcac

3考向

三、均值不等式的实际应用

例

3、小王于年初用50万元购买一辆大货车,第一年因缴纳各种费用需支出6万元,从第二年起,每年都比

上一年增加支出2万元,假定该年每年的运输收入均为25万元.小王在该车运输累计收入超过总支出后,考虑将大货车作为二手车出售,若该车在第x年年底出售,其销售价格为25x万元(国家规定大货车的报废年限为10年).(1)大货车运输到第几年年底,该车运输累计收入超过总支出?

(2)在第几年年底将大货车出售,能使小王获得的年平均利润最大?)(利润=累计收入+销售收入-总支出)

变式训练：

如图：动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成。

（1）现有可围36米长钢筋网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？

（2）若使每间虎笼面积为24m，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使四间虎笼的钢筋网总长最小？

五、当堂检测

1、若a,bR且ab0，则下列不等式中，恒成立的是（）

2A、ab2abB、ab、11ba、2 abab2、若函数f(x)x1(x2)在xa处取得最小值，则a（）x

2A、1B、1C、3D、4ab3、已知log2log21，则39的最小值为___________。ab

4.若点A1,1在直线mxny20上,其中mn0,则11的最小值为__________.mn

六、课堂小结

七、课后巩固

511、已知x，则函数y4x2的最大值是（）44x

51A、2B、3C、1D、2(ab)22、已知x0,y0,x,a,b,y成等差数列，x,c,d,y成等比数列，则的最小值是 cd

A、0B、1C、2D、43、已知b0，直线(b1)xay20与直线xby10互相垂直，则ab的最小值为（）

A、1B、2C、D、4、已知x0,y0,xyxy8，则xy最小值是___________。

5、若对任意x0,22xa恒成立，则a的取值范围是___________。2x3x1

6.某工厂去年的某产品的年销售量为100万只,每只产品的销售价为10元,每只产品固定成本为8元,今年,工厂第一次投入100万元,并计划以后每年比上一年多投入100万元,预计销售量从今年开始每年比上一年增加10万只,第n次投入后,每只产品的固定成本为g(n)k0,k为常数,nN),若产品销售价保持不变,第n次投入后的年利润为f(n)万元.(1)求k的值,并求出f(n)的表达式;

(2)若今年是第1年,则第几年年利润最高?最高利润为多少万元?

均值不等式应用 第2篇

均值不等式的应用策略

作者：黄秀娟

来源：《数理化学习·高三版》2013年第09期

高中阶段常用的不等式主要有以下两种形式：

（1）如果a，b∈R那么a2+b2≥2ab（当且仅 当a=b时取等号）.（2）如果a，b都是正数，那么

21/a+1/b

≤ab≤a+b2

均值不等式的灵活应用 第3篇

均值不等式具有将“和式”与“积式”互化的放缩功能, 创造运用均值不等式的条件, 合理拆添项或配凑因式是解题的关键, 满足取等条件是前提.“和定积最大, 积定和最小”、“一正二定三相等”是常用的口诀.

例1 (1) 已知x>1, y>1且lgx+lgy=4, 则lgxlgy的最大值是 ( )

$\begin{array}{l}(\text{A})4(\text{B})2\\ (\text{C})1(\text{D})\frac{1}{4}\end{array}$

(2) 若点P (x, y) 在经过A (3, 0) , B (1, 1) 两点的直线上, 那么2x+4y的最小值等于 ( )

$\begin{array}{l}(\text{A})2\sqrt{2}(\text{B})4\sqrt{2}\\ (\text{C})16(\text{D})8\end{array}$

(3) 若2ax-by+2=0 (a, b>0) 过圆x2+y2+2x-4y+1=0的圆心, 则ab的最大值是 ( )

$\begin{array}{l}(\text{A})\frac{1}{4}(\text{B})\frac{1}{2}\\ (\text{C})1(\text{D})2\end{array}$

(4) 某民营企业的一种电子产品, 2006年的产量在2005年的基础上增长率为a, 2007年的产量在2006年的基础上增长率为b (a, b>0) , 若这两年的平均增长率为q, 则 ( )

$\begin{array}{l}(\text{A})q=\frac{a+b}{2}(\text{B})q\ge \frac{a+b}{2}\\ (\text{C})q\frac{a+b}{2}(\text{D})\text{大}\text{小}\text{关}\text{系}\text{不}\text{确}\text{定}\end{array}$

解析: (1) 选$(\text{A}).\lg x\cdot \lg y(\frac{\text{l}\text{g}x+\text{l}\text{g}y}{2}){}^2=4.$

(2) 选 (B) .AB的直线方程为x+2y=3, 由$2{}^x+4{}^y\ge 2\sqrt{2{}^{x+2y}}=4\sqrt{2}.$

(3) 选 (A) .圆心为 (-1, 2) , 从而a+b=1, 故$ab(\frac{a+b}{2}){}^2=\frac{1}{4}.$

(4) 选 (C) .由$(1+q){}^2=(1+a)(1+b)(\frac{1+a+1+b}{2}){}^2$而得.

例2 (1) 若正数a, b满足ab=a+b+3, 则ab的取值范围是.

(2) 周长为$\sqrt{2}+1$的直角三角形面积的最大值为.

(3) 在△ABC中, 三边a, b, c的对角为A, B, C, 若满足2b=a+c, 则角B的取值范围是.

(4) 现有两个定值电阻, 串联后等效电阻值为R, 并联后等效电阻值为r, 若R=kr, 则实数k的取值范围是.

(5) 一批货物随17列货车从A市以v千米/小时匀速直达B市, 已知两地铁路线长400千米, 为了安全, 两列货车间距离不得小于$(\frac{v}{20}){}^2$千米, 那么这批物资全部运到B市, 最快需要小时.

解析: (1) 解法1:$ab=a+b+3\ge 2\sqrt{ab}+3$, 由题意得ab≥9, 当a=b时取等号, 故填[9, +∞) .

解法2:$ab=a+b+3\ge 3\sqrt[3]{3ab}$, 从而ab≥9, 当a=b=3时取等号, 故填[9, +∞) .

解法3:ab=a+b+3得 (a-1) b=a+3, 因为a, b为正数, 故a>1, 从而$b=\frac{a+3}{a-1}$, 所以$ab=\frac{a{}^2+3a}{a-1}=\frac{a{}^2-1+3a-3+4}{a-1}=a+4+\frac{4}{a-1}=a-1+\frac{4}{a-1}+5\ge 9$.故填[9, +∞) .

(2) 设直角边为a、b, 从而$a+b+\sqrt{a{}^2+b{}^2}=\sqrt{2}+1$, 又因为$a+b+\sqrt{a{}^2+b{}^2}\ge 2\sqrt{ab}+\sqrt{2ab}=(2+\sqrt{2})\sqrt{ab}$, 所以$(2+\sqrt{2})\sqrt{ab}\sqrt{2}+1$, 故$ab\frac{1}{2}$, 面积$S=\frac{1}{2}ab\frac{1}{4}$, 故填$\frac{1}{4}.$

(3) 由余弦定理得$\cos B=\frac{a{}^2+c{}^2-b{}^2}{2ac}=\frac{a{}^2+c{}^2-(\frac{a+c}{2}){}^2}{2ac}=\frac{3(a{}^2+c{}^2)-2ac}{8ac}\ge \frac{3\cdot 2ac-2ac}{8ac}=\frac{1}{2}$, 由于余弦函数在 (0, π) 上是减函数, 故填$0<B\frac{\text{π}}{3}.$

(4) 设两个定值电阻的电阻值分别为R1, R2, 则$\{\begin{array}{l}R=R{}_1+R{}_2,\\ r=\frac{R{}_{1}R{}_2}{R{}_1+R{}_2}.\end{array}$又因为R=kr, 所以$k=\frac{(R{}_1+R{}_2){}^2}{R{}_{1}R{}_2}=\frac{R{}_1^2+R{}_2^2+2R{}_{1}R{}_2}{R{}_{1}R{}_2}\ge \frac{4R{}_{1}R{}_2}{R{}_{1}R{}_2}=4$, 所以实数k的取值范围是[4, +∞) .

(5) 设这批物资全部运到B市, 需要t小时, 则

$\begin{array}{l}t=\frac{400+16(\frac{v}{20}){}^2}{v}=\frac{400}{v}+\frac{16v}{400}\ge \\ 2\sqrt{\frac{400}{v}\cdot \frac{16v}{400}}=8\end{array}$

, 所以这批物资 全部运到B市, 最快需要8小时.

江苏省南京市溧水县第二高级中学

均值不等式的应用 第4篇

关键词：均值不等式；n次多项式；基本元素

设a1，a2，…，an∈R+，n∈N且n＞1，则■≥■（*）

（当且仅当a1=a2=…=an，时，“=”成立）

利用（*）式，能解决数学中许多诸如不等式、函数最值等问题。本文重在探究如何应用（*）式去解决一类关于n次多项式的不等式的证明问题.

为研究问题方便，不妨称满足（*）式中的a1，a2，…，an为基本元素，由这些元素构成的和式a1+a2+…+an与积式a1a2…an称为基本式.

一、所涉及的命题中，明显含有a1+a2+…+an和a1a2…an等基本式，可选用a1，a2，…，an为基本元素，直接利用（*）式证明

例1：设a1，a2，…，an∈R+求证（a1+a2+…+an）（■+■+…+■）≥n2

分析：由于题目中明显含有和式（a1+a2+…+an）与 （■+■+…+■），故可选ai和■（i=1，2，3，…，n）为基本元素，由（*）式着手解决。

简证：选ai和■（i=1，2，3，…，n）为基本元素，由均值不等式可得，a1+a2+∧+an≥n■（1）

■+■+∧+■≥n■（2）

（1）×（2）：（a1+a2+…+an）（■+■+…+■）≥n2 证毕.

例2：设a1，a2，…，an为不相等的正数，且S=a1+a2+…+an，

试证：■+■+…+■＞■

分析：题目中，明显含有和式■+■+…+■，故可选■（i=1，2，…，n）为基本元素，再利用均值不等式解决。

简证：选■（i=1，2，…，n）为基本元素，由均值不等式得：

■（■+■+…+■）＞■（1）

考虑（1）式根号内的分母，选s-ai（i=1，2，…，n）为基本元素，再由均值不等式得：

■＞

■，

又由已知S=a1+a2+…+an，所以■＞■，（2）

（1）×（2）：■（■+■+…+■）＞■=s

所以■+■+…+■＞■

由以上证明发现，巧妙选定基本元素■和s-ai是证明这个命题的关键。

二、所涉及的命题形式中，不能明确体现基本元素 a1，a2，…，an，此类题目较难.解决这类问题的关键是根据命题的形式与特点，利用以前所学过的数学知识，设法分离出满足（*）式基本元素a1，a2，…，an，再利用均值不等式解决

例3.设n∈N且n＞1，求证n！＜■n

分析：考虑到，n！=1·2·3…n，我们选1，2，3，…，n为基本元素，利用均值不等式着手解决。

简证：因为n！=1·2·3…·n，所以可选1、2、3、…n为基本元素

由（*）式■＞■，即：■＞■ ∴n！＜■n

通过拆分n！，继而发现基本元素1，2，3，…，n，再利用均值不等式入手解决，这样使看来无法下手的問题，变得有章可循，有法可依，证明起来轻松异常。

例4.设n是大于1的自然数，求证：2n-1＞n■

分析：据等比数列求和公式知，2n-1=1+2+22+…+2n-1，所以可选1，2，22，…，2n为基本元素，由均值不等式着手解决。

简证：由（*）式：1+2+22+…+2n-1＞n■ 可得：2n-1＞n■

所以2n-1＞n■.证毕。

由证明发现，通过把2n-1拆分为1+2+22+…+2n-1 使毫无思路，难于下手的不等式问题通过均值不等式迎刃而解。

三、所涉及的命题中明显含有“式子的n次方”，我们可将它转化为“ｎ个式子的乘积”，使之出现基本式a1a2…an，进而确定基本元素a1，a2，…，an，再利用均值不等式解决

例5．设n为大于1的自然数，且０＜x＜1，证明：1+■n+1≥1+■n

分析：考虑到，1+■n＝1×1+■×1+■×…×1+■，可选1和n个1+■作为基本元素，再利用均值不等式解决。

简证：由于1+■n＝１×■，所以，利用均值不等式，■≥■，即■≥■也即1+■≥■，两边开n次方得：1+■n+1≥1+■n，命题得证。

此例的证明方法很多，比如常见的构造函数法，都比较麻烦。采用均值不等式证明，思路清晰，简明易懂，令人耳目一新！证明的关键是，由拆分“式子的n次方”进而去发现“基本元素”，再由均值不等式着手完成。

例6.设m、n、r为正整数且两两不等，求证：■m+n+r＞mmnnrr

分析：拆分■，■，■，可选m个m，n个n，r个r （总共有（m+n+r）项）为基本元素，再利用均值不等式解决.

证明：由（*）式：＞■＞

■

（上式中m个m，n个n，r个r相加）

即■＞■，两边式子都进行（m+n+r）次方，

所以■m+n+r＞mmnnrr.命题得证。

谈对均值不等式的理解和应用 第5篇

均值不等式是不等式一章中最基础、应用最广泛的灵活因子，它是考查素质、能力的一个窗口，是高考的热点。对均值不等式的应用可从以下三个方面着手。通过特征分析，用于证不等式

均值不等式：

1)

2)

两端的结构、数字具有如下特征：

1)次数相等；

2)项数相等或不等式右侧系数与左侧项数相等；

3)左和右积。

当要证的不等式具有上述特征时，考虑用均值不等式证明。

例1．已知a，b，c为不全相等的正数，求证：a(b+c)+b(c+a)+c(a+b)>6abc.分析：观察要证不等式的两端都是关于a，b，c的3次多项式，左侧6项，右侧6项，左和右积，具备均值不等式的特征。

证明:∵ b+c≥2bc, a>0, ∴ a(b+c)≥2abc

同理，b(c+a)≥2bac, c(a+b)≥2cab, 又 ∵a，b，c不全相等，∴ 上述三个不等式中等号不能同时成立，因此

a(b+c)+b(c+a)+c(a+b)>6abc。

***2222

2例2.若a，b，c∈R，且a+b+c＝1，求证+.分析：由a，b，c ∈R，联想均值不等式成立的条件，并把1＝a+b+c代换+中的“1”，要证不等式变为,即，亦即，发现

互为倒数，已具备均值不等式的特征。

证明：∵a,b,c∈R,+

∴，,∴,∴

.∵ a+b+c=1, ∴

.说明：1)此题的证明方法采用的是综合法。用综合法证不等式即由已知不等式推证要证不等式。

2)在附加条件的变换下，要证的不等式会隐含均值不等式的部分特征，显示其一个或两个特征，这时，仍可考虑用特征分析法，合理选择思路，寻找解决问题的切入点。抓条件“一正、二定、三等”求最值

由均值不等式2)，推证出最值定理及其使用的前提条件：“一正、二定、三等”，求最值时，三者缺一不可。

例3.已知x, y∈R且9x+16y＝144，求xy的最大值。

分析：由题设一正：x, y∈R，二定: 9x+16y＝144。求积的最大值，可考虑用均值不等式++

求解。

解：∵ x, y∈R，+

∴，当且仅当9x=16y，即

时，(xy)max=36.说明：本题若改为：x,y∈R且9x+16y=144，求xy的最大值呢？请同学们一试。抓“当且仅当„„等号成立”的条件，实现相等与不等的转化

在均值不等式中“当且仅当„„等号成立”的“当且仅当”是“充要条件”的同义词，它给出了相等与不等的界，是相等与不等转化的突破口。

例4．在ΔABC中，若三边a，b，c满足条件(a+b+c)=27abc，试判定三角形ABC的形状。

分析：(a+b+c)=27abc，具有三元均值不等式的结构特征，且属均值不等式的特例(取等号情形)，所以有下面解法。

解：∵a>0, b>0, c>0，故有不等式

当且仅当

a=b=c时，上式等号成立，故三角形为等边三角形。

（见阅读材料），即(a+b+c)3332227abc，例5．已知x,y,z为正实数，且x+y+z=3,.求x+y+z的值。22

2解：

由题设得。

∵ x,y,z>0, ∴,∴.此不等式等号成立，当且仅当上述三个不等式的等号同时成立，即, ∴x=1,y=1, z=1, ∴x+y+z=3.222222

说明：均值不等式给出了相等、不等的界，即等号成立的条件。

均值不等式应用 第6篇

均值不等式是数学中的一个重要公式：公式内容为Hn ≤Gn ≤An ≤ Qn，即调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数。不过在行测考试的数学运算中，涉及均值不等式的考察仅仅用于几何平均数和算术平均数，这个知识点一般是结合几何问题和利润问题来考察的。中公教育专家认为大家在应用过程中不需要死记公式，领会下面两句话就可以快速解题了：

(1)两个数的和为定值时，这两个数越接近，它们的乘积越大。(2)两个数的乘积为定值时，这两个数越接近，它们的和越小。

规律中的“两个数”可以替换成“多个数”。比如说当a+b=24的时候。a×b可以取到最大值，此时a×b的最大值为144。a=b=12的时候取到最大值。反过来。当a×b=64时，a+b在a=b=8的时候取到最小值16。

例1.现在有一段长为40米的篱笆，要围成一个矩形菜园，菜园的一边是足够长的墙，请问当矩形的长和宽分别人多少的时候，这个矩形菜园的面积最大?

A 100 B 150 C 1600/9 D 200 答案：D。中公解析：假设矩形的长为a，宽为b，根据题意，有a+2b=40，矩形的面积为a×b，这里要注意不是a=b 的时候a×b取得最大值，而应该把2b看作一个整体，即a=2b时候，a×2b取得最大值，同时a×b也取得了最大值。a=2b=20，所以 a=20，b=10，矩形的最大面积为a×b=200，故答案选择D。

均值不等式证明 第7篇

xy+1/xy≥17/

41=x+y≥2√(xy)

得xy≤1/4

而xy+1/xy≥

2当且仅当xy=1/xy时取等

也就是xy=1时

画出xy+1/xy图像得

01时，单调增

而xy≤1/4

∴xy+1/xy≥(1/4)+1/(1/4)=4+1/4=17/4

得证

继续追问：

拜托，用单调性谁不会，让你用均值定理来证

补充回答：

我真不明白我上面的方法为什么不是用均值不等式证的法二：

证xy+1/xy≥17/4

即证4(xy)²-17xy+4≥0

即证(4xy-1)(xy-4)≥0

即证xy≥4，xy≤1/4

而x,y∈R+，x+y=

1显然xy≥4不可能成立

∵1=x+y≥2√(xy)

∴xy≤1/4，得证

法三：

∵同理0

xy+1/xy-17/4

=(4x²y²-4-17xy)/4xy

=(1-4xy)(4-xy)/4xy

≥0

∴xy+1/xy≥17/4

试问怎样叫“利用均值不等式证明”，是说只能用均值不等式不能穿插别的途径?!

二、已知a>b>c，求证：1/(a-b)+1/(b-c)+1/(c-a)>0

a-c=(a-b)+(b-c)≥2√(a-b)*(b-c)

于是c-a≤-2√(a-b)*(b-c)<0

即：1/(c-a)≥-1/【2√(a-b)*(b-c)】

那么

1/(a-b)+1/(b-c)+1/(c-a)

≥1/(a-b)+1/(b-c)-1/【2√(a-b)*(b-c)】

≥2/【√(a-b)*(b-c)】-1/【2√(a-b)*(b-c)】=(3/2)/【2√(a-b)*(b-c)】>0

三、1、调和平均数：Hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an)

2、几何平均数：Gn=(a1a2...an)^(1/n)

3、算术平均数：An=(a1+a2+...+an)/n4、平方平均数：Qn=√(a1^2+a2^2+...+an^2)/n这四种平均数满足Hn≤Gn≤An≤Qn的式子即为均值不等式。

概念：

1、调和平均数：Hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an)

2、几何平均数：Gn=(a1a2...an)^(1/n)

3、算术平均数：An=(a1+a2+...+an)/n4、平方平均数：Qn=√

这四种平均数满足Hn≤Gn≤An≤Qn

a1、a2、…、an∈R+，当且仅当a1=a2=…=an时劝=”号

均值不等式的一般形式：设函数D(r)=^(1/r)(当r不等于0时);

(a1a2...an)^(1/n)(当r=0时)(即D(0)=(a1a2...an)^(1/n))

则有：当r注意到Hn≤Gn≤An≤Qn仅是上述不等式的特殊情形，即D(-1)≤D(0)≤D(1)≤D(2)

由以上简化，有一个简单结论，中学常用2/(1/a+1/b)≤√ab≤(a+b)/2≤√

方法很多，数学归纳法(第一或反向归纳)、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等

用数学归纳法证明，需要一个辅助结论。

引理：设A≥0，B≥0，则(A+B)^n≥A^n+nA^(n-1)B。

注：引理的正确性较明显，条件A≥0，B≥0可以弱化为A≥0，A+B≥0,有兴趣的同学可以想想如何证明(用数学归纳法)。

原题等价于：((a1+a2+…+an)/n)^n≥a1a2…an。

当n=2时易证;

假设当n=k时命题成立，即

((a1+a2+…+ak)/k)^k≥a1a2…ak。那么当n=k+1时，不妨设a(k+1)是a1，a2，…，a(k+1)中最大者，则

ka(k+1)≥a1+a2+…+ak。

设s=a1+a2+…+ak，{/(k+1)}^(k+1)

={s/k+/}^(k+1)

≥(s/k)^(k+1)+(k+1)(s/k)^k/k(k+1)用引理

=(s/k)^k*a(k+1)

≥a1a2…a(k+1)。用归纳假设

下面介绍个好理解的方法

琴生不等式法

琴生不等式：上凸函数f(x)，x1,x2,...xn是函数f(x)在区间(a,b)内的任意n个点，则有：f≥1/n*

设f(x)=lnx，f(x)为上凸增函数

所以，ln≥1/n*=ln

即(x1+x2+...+xn)/n≥(x1*x2*...*xn)^(1/n)

浅谈均值不等式的应用 第8篇

1 在初等数学中的应用

1.1 简单累加累乘

利用均值不等式证明不等式是一个学习难点, 这里介绍一下技巧。

根据北京召开的第二十届国际数学家大会的会标为基础, 我们可以很容易的解答此题。

其中等号成立当且仅当时成立。

像这样, 首先看已知条件, 运用均值不等式的定义, 再通过论证、推导等得出我们要证的结论, 是今后常常用到的方法, 这种方法对知识的综合性要求比较高。

1.2 求最值

利用均值不等式求最值是高中数学的一个重点。运用时必须具备三个必要条件——即一正 (各项的值为正) 、二定 (各项的和或积为定值) 、三相等 (取等号的条件) 。应用均值不等式求最值有直接求最值、巧妙变形求最值、结合待定系数法求最值三个层次, 下面通过具体实例说明如何求最值。

能通过拆项、换元、平方等多种变形技巧, 凑成“和为定值求积的最值”或“积为定值求和的最值”, 这是应该掌握的第二层次。

总结:在研究均值不等式时, 往往先研究均值不等式的几何背景, 并且对均值不等式的几何背景进行解释, 使得我们可以更加直观的看出结论, 从而良好地把握问题。在这个过程中, 可以适度的提供空间的探究, 通过大量且缜密的思考, 可以准确地得出问题的结论。此外, 加强重视均值不等式解决实际问题, 循序渐进地堆应用数学的意识及能力的培养。

2 对于高等数学均值不等式的作用

解:利用元均值不等式

3 利用均值不等式解决极值问题

通常, 求解函数极值题型, 首先, 写出此函数的解析式, 之后, 判断是否可以利用均值不等式来解决此题。利用微积分解决极值问题是可行并且是有效的, 除此之外, 求解一些极值问题中的特殊类型也可用均值不等式。运用均值不等式可以解决诸多相像的问题。但是, 利用均值不等式, 解答一些特殊的极值问题简洁又方便, 非常独到。解决这类问题只要求很少的基础知识, 非常容易理解。

4 利用均值不等式注意事项

(1) 不同的均值不等式对实数的取值范围有不同的要求, 如果实数在二次根号下, 要求实数大于等于零。 (2) 均值不等式是带有等号的不等式, 在解答此类问题时, 首先, 要考虑等号成立的条件。 (3) 为了便于掌握均值不等式, 可以运用多种形式, 例如, 符号表达、图形表达、生活用语。把生活语言表述成符号, 容易看出其与均值不等式的密切关系。 (4) 解答圆的直径与弦长大小的比较也可用均值不等式, 体现了均值不等式的几何意义。这是一个典型的几何问题, 在实际应用中有很多用处。 (5) 在周长相等的全部矩形中, 面积是最大的是正方形。在面积相等的全部矩形中, 周长最小的是正方形。这个结论通过反复验证、分析, 具有普遍意义。

5 总结

均值不等式是中学的一个重点, 也是一个难点, 但是它的应用很广泛, 尤其是在求函数最值的时候。事实上, 利用均值不等式求最值, “一正、二定、三相等”的条件很重要, 特别是“等号条件的成立”。但是, 在运用均值不等式的时候, 往往就容易产生这样或那样的错误。

通过本文的阐述, 让我们了解均值不等式的应用, 提醒读者正确使用均值不等式。利用均值不等式的常用技巧进行归纳, 另外, 利用均值不等式求配凑, 也是一个重点。通过本文的概括, 有助于进一步了解均值不等式的使用。本文是对利用均值不等式求最值的方法的延伸。

在以前的学习中, 均值不等式经常会接触, 只不过不够全面。在重新研究均值不等式的过程中, 其性质可以全面的总结, 对均值不等式的性质以及研究整理均值不等式的过程, 进行周密的讨论。学习对应的方法以及思路, 从而提高对均值不等式的认识。另外, 可以根据实际的情况, 对均值不等式问题, 做出适当的扩展, 也可以在教学中予以改进和提高。

摘要：均值不等式在很多领域都占有重要的地位, 但它的应用是一个难点, 本文从初等数学, 高等数学, 实际生活三个方面论述了均值不等式的应用, 有利于对均值不等式的进一步理解及应用。

关键词：均值不等式,应用,技巧

参考文献

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